A.4.4.6.4. Bahan Ajar PPT Fisika, Gerak Lurus
GERAK LURUS
Dr. V. Lilik Hariyanto, M.Pd.
PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL
PERENCANAAN
FT UNY
Difinisi: Suatu perubahan letak yang terus
menerus.
Y
a
O
xo
b
c
X
(x – xo)
x
Koordinat +, bila benda berada disebelah kanan titik asal
Koordinat - , bila benda berada disebelah kiri titik asal.
Jadi: koordinat titik a ialah xo.
koordinat titik b ialah x.
Perpindahan benda: sebagai vektor yang ditarik dari a ke b
besarnya (x – xo).
Perpindahan tetap sama, meskipun benda bergerak dari a ke c,
kembali lagi ke b.
KESIMPULAN:
Perpindahan tetap didefinisikan sebagai vektor, artinya senantiasa berupa
vektor dari titik awal sd titik akhir
Jarak total yang ditempuh oleh benda (ac dan cb) disebut sebagai panjang
lintasan (skalar)
Difinisi Kecepatan rata-rata: perbandingan perpindahannya dengan
selang waktu terjadinya perpindahan itu
Kecepatan rata-rata (Vektor) =
Perpindahan (Vektor)
Selang waktu (Skalar)
Misal : saat to, benda di titik a.
t, benda di titik b.
(t – to), selang waktu selalu positif
Kecepatan rata-rata ( v ) =
x - xo
t - to
Kelajuan rata-rata (Skalar) =
…………………………………… ( 1 )
Panjang Lintasan (Skalar)
Selang waktu (Skalar)
Persamaan (1) dapat
ditulis:
(x – xo) = v (t – to)
…………………………………… ( 2 )
Artinya:
Perpindahan sama dengan hasil kali kecepatan rata-rata dengan
selang waktu
Untuk mencari koordinat x
:
x = xo + v (t – to)
…………………………………… ( 3 )
Jika selang waktu mulai dihitung di titik a, maka t o
=0
x = xo + v t
…………………………………… ( 4 )
Bila a di titik asal, xo = 0, maka :
x = vt
…………………………………… ( 5 )
Difinisi: Kecepatan sebuah benda bergerak pada satu
saat
tertentu atau pada titik tertentu dilintasannya.
(perpindahan dibagi selang waktu)
Y
O
a
c
b
d
e
X
v mula-mula a – e, berturut-turut lebih pendek ad, ac, ab, makin
pendek mendekati a.
Dalam hitung analisa, perpindahan ab adalah ∆ x
selang waktu ∆ t
Jadi kecepatan ratarata
Harga limit kecepatan rata-rata, bila ∆ x dan
∆x
∆ t kecilnya tak terhingga, merupakan
v =
∆t
kecepatan sesaat.
v = Lim
∆t
∆x
∆t
=
dx
dt
…………………………………… ( 6 )
0
Difinisi: Perbandingan perubahan kecepatan terhadap selang
waktu
Y
Kecepatan sesaat di titik a adalah
vo (Vektor)
b
a
O
X
vo
v
Kecepatan sesaat di titik b adalah
v
Perubahan
kecepatan (Vektor)
Percepatan rata-rata (Vektor) =
a=
v - vo
t - to
Selang waktu (Skalar)
…………………………………… ( 7 )
v – vo = selisih
Percepatan sesaat pada sebuah titik sebagai percepatan rata-rata
sepanjang perpindahan yang sangat kecil sekali yang didalamnya
termasuk titik tersebut
Jika ∆v : perubahan kecepatan selama selang waktu ∆t, maka:
a=
∆v
∆t
Karena v =
a =
a = Lim
d
∆t
dx
dt
dx
∆v
∆t
=
dv
dt
………………… ( 8 )
0
, maka :
( dt )
dt
a =
d2x
d t2
………………… ( 9 )
Artinya kecepatannya berubah dengan kecepatan sama selama
gerakan itu.
Harga rata-rata suatu besaran yang tidak berubah = harga
konstan besaran itu.
Jadi percepatan rata-rata a dapat diganti dengan percepatan tetap
a, sehingga persamaan 7 menjadi :
a=
v - vo
t - to
…….. ( 10 )
v = vo + a (t – to)
………… ( 11 )
Dimana:
a
: cepatnya perubahan kecepatan atau perubahannya per
satuan
waktu
(t – to)
: lamanya selang waktu yang ditinjau.
a (t – to) : perubahan total dari kecepatan
Jika perhitungan waktu dimulai bila kecepatan = vo, maka to = 0,
sehinga:
v = vo + at
…………………………………………….………… ( 12 )
Persamaan untuk koordinatnya pada setiap waktu. Lihat persamaan
(2).
Perpindahan benda yang bergerak pada sb X.
(x – xo) = v (t – to)
Bila percepatan konstan, maka kecepatan rata-rata selama setiap
selang waktu :
v=
vo + v
2
…………………………………………….………… ( 13 )
Catatan: Persamaan (13) tidak betul secara umum, tapi hanya
betul bila percepatan tetap
Jika
v=
v = vo + a (t – to)
Persamaan 11 disubtitusi pada persamaan 13
vo + [ vo + a (t – to) ]
v = vo +
2
1
2
Jika persamaan 14 disubtitusi ke persamaan
2
(x – xo) = vo (t – to) +
1
2
a (t – to)2
a (t – to)
………… ( 14 )
(x – xo) = v (t – to)
……………………………………… ( 15 )
Kalau perhitungan waktu, saat kecepatan = vo, maka to = 0
x = v ot +
1
2
at2 + C2
…………………………………………………… ( 16 )
Bila posisi awal benda di titik asal, maka xo = 0.
x = v ot +
1
2
at2
…………………………………………………… ( 17 )
Dan jika kecepatan awal vo dan percepatan konstsn a
diketahui, dengan mencari harga t (persamaan 12)
disubtitusikan pada persamaan 17, didapat:
v2 = vo 2 + 2a (x – xo)
………………………………………………( 18 )
Bila xo = 0.
v2 = vo 2 + 2 a x
………………………………………………( 19 )
Persamaan 12, 17 dan 19: bentuk persamaan yang biasa dari
persamaan-persamaan untuk gerak dengan percepatan konstan
Persamaan gerak lurus dengan percepatan tetap dapat
diturunkan dengan integrasi.
a =
dv
dt
∫dv ∫ a d t
;a=
konstan
v = at + C1
=
Dimana: C1 merupakan bilangan konstan dari integrasi
Bila v = vo pada saat t = 0, maka vo = 0 + C1, sehingga :
v = vo + at
dx
dt
= vo + at
Persamaan 12. Oleh karena :
∫d x ∫ v
=
o
d t + ∫ a t dt
Bila:
X =0, pada saat t = 0, maka
C2 = 0
v =
dx
dt
x = v ot +
Maka :
1
2
at2 + C2
……………( 17 )
Dari persamaan
8,
a =
dv
dt
a =v
=
a =
dv dx
dt
dx
dv
dx
=
dv
dt
, a=
konstan
dx dv
dt
∫ v dv =∫
dx
a dx
Bila v = vo pada saat x = 0, maka C3 =
dan
v2 = vo 2 + 2 a x
v
1
2
dv
dx
v2 = ax + C3
v o2
…………………………………………………..( 19 )
Percepatan sama dengan nol = kecepatan tidak berubah
(konstan)
Dari persamaan 12:
v = vo + at
a = 0, maka v =
vo
Artinya: kecepatan adalah tetap =
kecepatan awal.
x = v ot +
x = xo + v t
1
2
at2 + C2
, bila a =
0
xo =
0
x = vt
Gerak dengan percepatan (hampir) konstan = benda jatuh ke
bumi.
Percepatan benda jatuh bebas = percepatan sebagai akibat
gravitasi (g).
Besar g = 32 ft/sec2; 9,8 m/dt2; 980 cm/dt2.
Berlaku pula persamaan 12; 17 dan 19 dengan mengganti a =
g.
v = vo + gt
v = gt
Bila vo = 0,
maka :
y = vot +
1
2
v2 = vo 2 + 2 g y
gt
2
y =
1
2
gt2
v2 = 2 g y
Sebuah bola dilemparkan (hampir) vertikal ke atas dari tepi
atas sebuah gedung. Bola ini meninggalkan tangan si
pelempar dengan kecepatan 48 ft/sec, dan sewaktu jatuh
tidak mengenai tepi atas gedung. Bila g = 32 ft/sec2.
? ft
? ft
Tentukan:
(Abaikan tahanan udara)
Tinggi maksimum yang dicapai oleh
bola itu
? ft
Waktu untuk mencapai tinggi
maksimum
Posisi dan kecepatan 2 detik dan 5
detik sesudah bola terlepas dari
tangan.
Kecepatan awal, arah ke
atas ( + )
vo = + 48
ft/sec
Percepatan menuju ke
g= - 32
bawah
ft/sec2
Mencari titik tertinggi (kecepatan pada
titik ini = 0)
v = vo + gt
0 = 48 + (
-32 ) t
v2 = vo 2 + 2 g y
02 = (48)2 + 2 (
-32 ) y
t = 1,5 sec
y = + 36 ft
Tinggi titik juga dapat ditentukan
berdasarkan
t = 1,5
sec
1
y = vot +
gt2
y = (48 . 1,5) + ½ (-32)
2
(1,5)2
y = + 36 ft
Posisi dan kecepatan bola, 2 detik sesudah
dilempar
y = v ot +
v = vo + gt
1
2
gt2
y = (48 . 2) + ½ (-32)
(2)2
v = 48 + (32) (2)
v = - 16
ft/sec
Dengan perkataan lain: bola 32 ft di atas titik
asal dan bergerak ke bawah dengan
kecepatan 16 ft/sec
Posisi 5 detik sesudah
dilempar
y=y = (48 . 5) + ½ (-32)
160 ft
(5)2
v = - 112
v = 48 + (ft/sec
32) (5)
y = + 32
ft
Dr. V. Lilik Hariyanto, M.Pd.
PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL
PERENCANAAN
FT UNY
Difinisi: Suatu perubahan letak yang terus
menerus.
Y
a
O
xo
b
c
X
(x – xo)
x
Koordinat +, bila benda berada disebelah kanan titik asal
Koordinat - , bila benda berada disebelah kiri titik asal.
Jadi: koordinat titik a ialah xo.
koordinat titik b ialah x.
Perpindahan benda: sebagai vektor yang ditarik dari a ke b
besarnya (x – xo).
Perpindahan tetap sama, meskipun benda bergerak dari a ke c,
kembali lagi ke b.
KESIMPULAN:
Perpindahan tetap didefinisikan sebagai vektor, artinya senantiasa berupa
vektor dari titik awal sd titik akhir
Jarak total yang ditempuh oleh benda (ac dan cb) disebut sebagai panjang
lintasan (skalar)
Difinisi Kecepatan rata-rata: perbandingan perpindahannya dengan
selang waktu terjadinya perpindahan itu
Kecepatan rata-rata (Vektor) =
Perpindahan (Vektor)
Selang waktu (Skalar)
Misal : saat to, benda di titik a.
t, benda di titik b.
(t – to), selang waktu selalu positif
Kecepatan rata-rata ( v ) =
x - xo
t - to
Kelajuan rata-rata (Skalar) =
…………………………………… ( 1 )
Panjang Lintasan (Skalar)
Selang waktu (Skalar)
Persamaan (1) dapat
ditulis:
(x – xo) = v (t – to)
…………………………………… ( 2 )
Artinya:
Perpindahan sama dengan hasil kali kecepatan rata-rata dengan
selang waktu
Untuk mencari koordinat x
:
x = xo + v (t – to)
…………………………………… ( 3 )
Jika selang waktu mulai dihitung di titik a, maka t o
=0
x = xo + v t
…………………………………… ( 4 )
Bila a di titik asal, xo = 0, maka :
x = vt
…………………………………… ( 5 )
Difinisi: Kecepatan sebuah benda bergerak pada satu
saat
tertentu atau pada titik tertentu dilintasannya.
(perpindahan dibagi selang waktu)
Y
O
a
c
b
d
e
X
v mula-mula a – e, berturut-turut lebih pendek ad, ac, ab, makin
pendek mendekati a.
Dalam hitung analisa, perpindahan ab adalah ∆ x
selang waktu ∆ t
Jadi kecepatan ratarata
Harga limit kecepatan rata-rata, bila ∆ x dan
∆x
∆ t kecilnya tak terhingga, merupakan
v =
∆t
kecepatan sesaat.
v = Lim
∆t
∆x
∆t
=
dx
dt
…………………………………… ( 6 )
0
Difinisi: Perbandingan perubahan kecepatan terhadap selang
waktu
Y
Kecepatan sesaat di titik a adalah
vo (Vektor)
b
a
O
X
vo
v
Kecepatan sesaat di titik b adalah
v
Perubahan
kecepatan (Vektor)
Percepatan rata-rata (Vektor) =
a=
v - vo
t - to
Selang waktu (Skalar)
…………………………………… ( 7 )
v – vo = selisih
Percepatan sesaat pada sebuah titik sebagai percepatan rata-rata
sepanjang perpindahan yang sangat kecil sekali yang didalamnya
termasuk titik tersebut
Jika ∆v : perubahan kecepatan selama selang waktu ∆t, maka:
a=
∆v
∆t
Karena v =
a =
a = Lim
d
∆t
dx
dt
dx
∆v
∆t
=
dv
dt
………………… ( 8 )
0
, maka :
( dt )
dt
a =
d2x
d t2
………………… ( 9 )
Artinya kecepatannya berubah dengan kecepatan sama selama
gerakan itu.
Harga rata-rata suatu besaran yang tidak berubah = harga
konstan besaran itu.
Jadi percepatan rata-rata a dapat diganti dengan percepatan tetap
a, sehingga persamaan 7 menjadi :
a=
v - vo
t - to
…….. ( 10 )
v = vo + a (t – to)
………… ( 11 )
Dimana:
a
: cepatnya perubahan kecepatan atau perubahannya per
satuan
waktu
(t – to)
: lamanya selang waktu yang ditinjau.
a (t – to) : perubahan total dari kecepatan
Jika perhitungan waktu dimulai bila kecepatan = vo, maka to = 0,
sehinga:
v = vo + at
…………………………………………….………… ( 12 )
Persamaan untuk koordinatnya pada setiap waktu. Lihat persamaan
(2).
Perpindahan benda yang bergerak pada sb X.
(x – xo) = v (t – to)
Bila percepatan konstan, maka kecepatan rata-rata selama setiap
selang waktu :
v=
vo + v
2
…………………………………………….………… ( 13 )
Catatan: Persamaan (13) tidak betul secara umum, tapi hanya
betul bila percepatan tetap
Jika
v=
v = vo + a (t – to)
Persamaan 11 disubtitusi pada persamaan 13
vo + [ vo + a (t – to) ]
v = vo +
2
1
2
Jika persamaan 14 disubtitusi ke persamaan
2
(x – xo) = vo (t – to) +
1
2
a (t – to)2
a (t – to)
………… ( 14 )
(x – xo) = v (t – to)
……………………………………… ( 15 )
Kalau perhitungan waktu, saat kecepatan = vo, maka to = 0
x = v ot +
1
2
at2 + C2
…………………………………………………… ( 16 )
Bila posisi awal benda di titik asal, maka xo = 0.
x = v ot +
1
2
at2
…………………………………………………… ( 17 )
Dan jika kecepatan awal vo dan percepatan konstsn a
diketahui, dengan mencari harga t (persamaan 12)
disubtitusikan pada persamaan 17, didapat:
v2 = vo 2 + 2a (x – xo)
………………………………………………( 18 )
Bila xo = 0.
v2 = vo 2 + 2 a x
………………………………………………( 19 )
Persamaan 12, 17 dan 19: bentuk persamaan yang biasa dari
persamaan-persamaan untuk gerak dengan percepatan konstan
Persamaan gerak lurus dengan percepatan tetap dapat
diturunkan dengan integrasi.
a =
dv
dt
∫dv ∫ a d t
;a=
konstan
v = at + C1
=
Dimana: C1 merupakan bilangan konstan dari integrasi
Bila v = vo pada saat t = 0, maka vo = 0 + C1, sehingga :
v = vo + at
dx
dt
= vo + at
Persamaan 12. Oleh karena :
∫d x ∫ v
=
o
d t + ∫ a t dt
Bila:
X =0, pada saat t = 0, maka
C2 = 0
v =
dx
dt
x = v ot +
Maka :
1
2
at2 + C2
……………( 17 )
Dari persamaan
8,
a =
dv
dt
a =v
=
a =
dv dx
dt
dx
dv
dx
=
dv
dt
, a=
konstan
dx dv
dt
∫ v dv =∫
dx
a dx
Bila v = vo pada saat x = 0, maka C3 =
dan
v2 = vo 2 + 2 a x
v
1
2
dv
dx
v2 = ax + C3
v o2
…………………………………………………..( 19 )
Percepatan sama dengan nol = kecepatan tidak berubah
(konstan)
Dari persamaan 12:
v = vo + at
a = 0, maka v =
vo
Artinya: kecepatan adalah tetap =
kecepatan awal.
x = v ot +
x = xo + v t
1
2
at2 + C2
, bila a =
0
xo =
0
x = vt
Gerak dengan percepatan (hampir) konstan = benda jatuh ke
bumi.
Percepatan benda jatuh bebas = percepatan sebagai akibat
gravitasi (g).
Besar g = 32 ft/sec2; 9,8 m/dt2; 980 cm/dt2.
Berlaku pula persamaan 12; 17 dan 19 dengan mengganti a =
g.
v = vo + gt
v = gt
Bila vo = 0,
maka :
y = vot +
1
2
v2 = vo 2 + 2 g y
gt
2
y =
1
2
gt2
v2 = 2 g y
Sebuah bola dilemparkan (hampir) vertikal ke atas dari tepi
atas sebuah gedung. Bola ini meninggalkan tangan si
pelempar dengan kecepatan 48 ft/sec, dan sewaktu jatuh
tidak mengenai tepi atas gedung. Bila g = 32 ft/sec2.
? ft
? ft
Tentukan:
(Abaikan tahanan udara)
Tinggi maksimum yang dicapai oleh
bola itu
? ft
Waktu untuk mencapai tinggi
maksimum
Posisi dan kecepatan 2 detik dan 5
detik sesudah bola terlepas dari
tangan.
Kecepatan awal, arah ke
atas ( + )
vo = + 48
ft/sec
Percepatan menuju ke
g= - 32
bawah
ft/sec2
Mencari titik tertinggi (kecepatan pada
titik ini = 0)
v = vo + gt
0 = 48 + (
-32 ) t
v2 = vo 2 + 2 g y
02 = (48)2 + 2 (
-32 ) y
t = 1,5 sec
y = + 36 ft
Tinggi titik juga dapat ditentukan
berdasarkan
t = 1,5
sec
1
y = vot +
gt2
y = (48 . 1,5) + ½ (-32)
2
(1,5)2
y = + 36 ft
Posisi dan kecepatan bola, 2 detik sesudah
dilempar
y = v ot +
v = vo + gt
1
2
gt2
y = (48 . 2) + ½ (-32)
(2)2
v = 48 + (32) (2)
v = - 16
ft/sec
Dengan perkataan lain: bola 32 ft di atas titik
asal dan bergerak ke bawah dengan
kecepatan 16 ft/sec
Posisi 5 detik sesudah
dilempar
y=y = (48 . 5) + ½ (-32)
160 ft
(5)2
v = - 112
v = 48 + (ft/sec
32) (5)
y = + 32
ft