Analisis Waktu Tunggu pada Proses Renewal.

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015
S - 10

Analisis Waktu Tunggu pada Proses Renewal
Suyono, Ibnu Hadi
Fakultas MIPA Universitas Negeri Jakarta
synjkt@yahoo.com

Abstrak—Dalammakalahinidibahashal-hal yang terkait dengan waktutunggupada
proses
renewal.
Waktutunggudidefinisikansebagaiwaktusampaiterjadinyakejadiankendihitungsejakwa
ktu 0 dandinotasikandenganSn. Dalam makalah ini disajikan hasil-hasil penelitian
berupa (1) mean, variansi, fungsi distribusi kumulatif, dan fungsi kepadatan
probabilitas distribusidariSN(t)dimana(N(t), t ≥0)adalahproses renewal dan proses
Poisson (sebagai kasus khusus dari proses renewal); (2) mean, variansi, fungsi
pembangkit momen, limit mean, limit variansi dari jumlah parsial S1 + S2 + ... + Sn
pada proses renewal; dan (3) mean, variansi, transformasi Laplace, dan sifat limit dari
S1 + S2 + ... + SN(t) baik pada proses Poisson maupun proses renewal
Kata kunci:Proses Poisson, proses renewal, transformasi Laplace, waktu tunggu

I.

PENDAHULUAN

Banyaksituasidalamkehidupansehari-haridimanabanyaknyakejadianpadasuatu
interval
waktumenjadiperhatian
yang
menarikuntukdianalisis.
Beberapacontohsituasitersebutadalahbanyaknyanasabah yang datangkesebuah bank selamasehari,
banyaknyaklaimpadasuatuperusahaanasuransiselamasetahun, banyaknyakecelakaan yang terjadi di
suaturuasjalantolselamasebulan, dan lain-lain. Situasi-situasiinidapatdimodelkandengan proses renewal.
Secaramatematis proses renewal dapatdideskripsikansebagaiberikut. Dimulaidarititikwaktut = 0,
misalkanX1menyatakanwaktukejadianpertama,
X2adalahwaktuantarakejadianpertamadankedua,
X3adalahwaktuantarakejadiankeduadanketiga, danseterusnya. Notasikan
Sn = X1 + X2 + … + Xn,
n = 1, 2, 3, …
danS0 = 0. Definisikanuntukt ≥ 0,
N(t) = sup{n : Snt}.

KuantitasbahwaN(t) menyatakanbanyaknyakejadian yang terjadipada interval waktu [0,t] dan
Snadalahwaktutunggu (waiting time) sampaiterjadinyakejadianken.Jikawaktu-waktuantarkejadianX1, X2,
X3, … dianggapsalingindependendanberdistribusiidentikdengansebarangdistribusi, maka proses stokastik
(N(t), t 0) dinamakanproses renewal.Sebagaikasuskhususdari proses renewal,jikawaktuwaktuantarkejadianXiberdistribusieksponensial maka proses (N(t), t 0) dinamakan proses Poisson
homogen.
Proses
renewal,
danjuga
proses
Poisson,
telahbanyakdibahasdalamliteraturdanmendapatperhatiandaribanyakpeneliti.
Dalam
Ross
[1]
telahdibahasdistribusidari proses Poisson, hargaharapan proses Poisson, variansi proses Poisson,
distribusiwaktutungguSn, distribusi proses renewal dansifat-sifatasimtotik proses renewal. Suyonodan van
der Weide[2]membahasalternating proses renewal sebagaigeneralisasidari proses renewal. Suyonodan
van der Weide[3]membahassuperposisidari proses renewal.
Terkaitdenganwaktutunggusampaikejadianken,
untuk

proses
Poisson
telahdibuktikanbahwaSnberdistribusi
gamma,
sedangkanuntuk
proses
renewal
distribusiSnhanyadapatdirumuskanbentukumumnya,
lihat
Ross
[1].
Terdapathal
yang
menarikterkaitdenganwaktutunggu. Jikapada interval waktu [0, t] terjadisebanyakN(t) kejadian,
makawaktutunggusampaiterjadinyakejadianterakhirpada
interval
[0,
t]
adalahSN(t).
TerdapatperbedaanantaraSndanSN(t),

yakniindeksdariSnadalahbilangancacahdandistribusinyahanyatergantungpadadistribusiwaktuantarkejadiante
tapitidaktergantungpada
interval
waktu
[0,
t],
sedangkanindeksdariSN(t)adalah
variable
acakdandistribusinyatergantungpadawaktuantarkejadiandanjugapada interval waktu [0, t]. Dalam makalah
ini
akan
dibahas
sifat-sifat
distribusi
dari
SN(t).SelainitudaribarisanwaktutungguS1,
S2,
…dapatdibentukjumlahparsialJm = S1 + S2 + … + Sn, maupunJN(t)= S1 + S2 + … + SN(t).
Secaramatematiskeduaderetinimenarikuntukdianalisis dan akan dibahas sifat-sifatnya pada makalah ini.

153

ISBN. 978-602-73403-0-5

II.

PEMBAHASAN

A. Distribusi SN(t) pada ProsesPoisson
Pikirkan proses Poisson (N(t), t ≥ 0) dengan waktu-waktu antar kedatangan X1, X2, … yang
berdistribusieksponensial dengan parameter > 0. Definisikan untuk t 0,
SN(t) = X1 + X2 + … + X N(t).
Variabel acak SN(t) menyatakan waktu tunggu sampai terjadinya kejadian terakhir pada interval waktu
[0,t]. Teorema berikut menyajikan sifat-sifat dari SN(t).
Teorema 1.
Pada proses Poisson waktu tunggu SN(t) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
a.

Fungsi distribusi kumulatif dari SN(t) adalah

FS N ( t ) ( x)  e  (t  x ) , 0  x  t.

b.

Fungsi kepadatan probabilitas dari SN(t) adalah

 t
f S N ( t ) ( x)  e  (t  x ) , 0  x  t dan P(S N (t )  0)  e .

c.

Mean dari SN(t) adalah

E[ S N (t ) ]  t 
d.

1





1



e  t

Variansi dari SN(t) adalah

Var[ S N (t ) ] 

1



2



2t



2

e  t 

1



2

e  2 t

Bukti:
a.

Dengan mengkondisikan pada kejadian N(t) = n diperoleh


 N (t )

FS N ( t ) ( x)  PS N (t )  x    P  X i  x | N (t )  n  P( N (t )  n)
n  0  i 1


Jika N(t) = 0 maka SN(t) = S0 = 0 dan untuk x ≥ 0, P(S0x| N(t) = 0) = 1, sehingga


 N (t )
FS N ( t ) ( x)  P( N (t )  0)   P  X i  x | N (t )  n  P( N (t )  n)
n 1  i 1



  PS n  x | N (t )  n P( N (t )  n)
n 0

Jika diberikan N(t) = n, maka distribusi bersama dari S1, S2, ..., Sn sama dengan distribusi bersama order

statistik dari n variabel acak yang saling independen dan berdistribusi identik uniform pada interval (0,t),
lihat Ross [1]. Teorema ini mengimplikasikan bahwa fungsi kepadatan probabilitas bersyarat dari S1, S2,
..., Sn jika diberikan N(t) = n adalah

f ( s1 , s 2 ,..., s n | n) 

n!
, 0  s1  s 2  ...  s n  t .
tn

Sebagai akibat dari teorema di atas, distribusi bersyarat marginal dari Sn jika diberikan N(t) = n adalah

ns nn 1
f S n ( s n | n) 
 f (s1 , s2 ,..., sn | n)ds1ds2 ...dsn1  t n , 0  sn  t .
0 s1  s2 ... sn
Dengan demikian fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Sn jika diberikan N(t) = n adalah

FS n ( s n | n) 

sn



f S n ( x | n)dx 

0

154

nx n 1
 sn 

dx
 
0 t n
 t 

sn

n

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

Jadi
 t
n


 x  e (t )
FS N ( t ) ( x)   FSn ( x | n) P( N (t )  n)    
 e   ( t  x ) , 0  x  t.
n!!
n 0  t 
n 0
n

b.

Fungsi kepadatan probabilitas dari SN(t) adalah

f S N ( t ) ( x) 

d
FS N ( t ) ( x)  e  (t  x ) , 0  x  t.
dx

Waktu tunggu SN(t) mempunyai massa pada titik 0. Jelas bahwa SN(t) = 0 jika dan hanya jika N(t) = 0, dan
N(t) = 0 jika dan hanya jika X1>t. Jadi


P( S N (t )  0)  P( X 1  t )   e x dx  e t .
t

c.

Mean dari SN(t) adalah
t

t

E[ S N (t ) ]  0  P( N (t )  0)   xf S N ( t ) ( x)dx   xe  (t  x ) dx  t 
0

d.

0

1





1



e  t

Momen kedua dari SN(t) adalah
t

E[ S N2 (t ) ]  0  P( N (t )  0)   x 2 f S N ( t ) ( x)dx  t 2 
0

2t



2



2



2



2



2

e  t

Sebagai akibatnya

Var[ S N (t ) ]  E[ S N2 (t ) ]  ( E[ S N (t ) ]) 2 

1



2



2t



2

e t 

1



2

e 2t

B. Distribusi SN(t) pada ProsesRenewal
Pikirkan proses renewal (N(t), t ≥ 0) dengan waktu-waktu antar kedatangan X1, X2, … yang
berdistribusi sebarang dengan fungsi distribusi kumulati F. Sifat-sifat dari SN(t) disajikan dalam bentuk
transformasi Laplace yang dapat diinversi secara numerik, lihat [4].

Teorema 2.
Pada proses renewal waktu tunggu SN(t) mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:
a. Transformasi Laplace dari SN(t) adalah


1  F * ( )

 Eexp  S e dt   [1  F * (   )]
 t

N (t )

0

dimana F* adalah transformasi Laplace-Stieltjes dari F.

155

ISBN. 978-602-73403-0-5

b.

Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dari SN(t) adalah



 ES e

 t

N (t )

dt 

0

 xe

 x

dF ( x)

0

 [1  F * (  )]

dan

 (   ) x

dF ( x)
[1  F * (  )] x e dF ( x)  2  xe
0
0


 [1  F * (   )]




 ES 
2
N (t )

0

2

 x

2

Bukti:
a. Untuk fungsi terukur  dan α, β> 0,
N (t )
 
   t
1  F * ( )
 e dt 

E
X
exp
(
)





i
0   i 1


 [1   e  t  (t ) dF (t )]



0

lihat [5]. Ambil  (t) = t, maka


1  F * ( )

 Eexp  S e dt   [1  F * (   )] .
 t

N (t )

0

b.

Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dariSN(t)masing-masing dapat diperoleh dengan
mencari turunan pertama dan kedua dari transformasi Laplace dari SN(t) terhadap α lalu mengganti α
dengan 0.

C. Sifat-sifat dariJmpada proses renewal
Teorema berikut tentang sifat-sifat dari

m

n

n 1

i 1

J m   S n dimana S n   X i pada proses renewal.

Teorema 3.
Jumlah parsial Jm pada proses renewal memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
a. Mean dari Jm adalah

E[ J m ] 
b.

1
m(m  1)  .
2

Variansi dari Jm adalah

Var[ J m ] 

m(m  1)(2m  1) 2
.
6

156

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

c.

Fungsi pembangkit momen dari Jm adalah
m

M J m (t )   M X (t (m  1  i)) .
i 1

d.

Limit mean dari Jm adalah

lim

m 

e.

E[ J m ] 
 .
2
m2

Limit variansi dari Jm adalah

Var[ J m ]  2

lim
.
m 
3
m3
Bukti:

a.

Mean dari Jm adalah

1
 m
m
E[ J m ]  E  (m  1  i) X i    (m  1  i)   m(m  1) 
2
 i 1
 i 1
b.
c.

Variansi dari Jm adalah

m(m  1)(2m  1) 2
 m
m
2
2
Var[ J m ]  Var  (m  1  i) X i    (m  1  i)  
6
 i 1
 i 1
d.

Fungsi pembangkit momen dari Jm adalah

  m
 m
M J m (t )  E exp   t (m  1  i) X i    M X (t (m  1  i))
 i 1
  i 1
e.

Limit mean dari Jm adalah

E[ J m ]
m(m  1)  
 lim

2
m  m
m 
2
2m 2
lim

f.

Limit variansi dari Jm adalah

Var[ J m ]
m(m  1)(2m  1) 2  2


lim
m
m 
3
m3
6m 3
lim

D. Sifat-sifat dariJN(t)pada proses Poisson

Teorema berikut tentang sifat-sifat dari

N (t )

n

n 1

i 1

J N (t )   S n dimana S n   X i pada proses Poisson.

157

ISBN. 978-602-73403-0-5

Teorema 4.
Jumlah parsial JN(t) pada proses Poisson memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
a. Transformasi Laplace dari JN(t) adalah

  (1  t  e t ) 

E exp  J N (t )   exp 






b.



Mean dari JN(t) adalah





E J N (t ) 
c.

t 2
2

Variansi dari JN(t) adalah

t
Var J  
3

3

N (t )

d.

Limit distribusi dari JN(t) adalah normal dengan mean t2/2 dan variansi t3/3 untuk t.

Bukti:
a. Transformasi Laplace dari JN(t)
n

 

E exp  J N (t )    E exp     S i | N (t )  n P( N (t )  n)
n 0
i 1

 





n
 

  E exp     U i P( N (t )  n)
n 0
i 1

 


dimana Ui saling independen dan berdistribusi identik uniform pada interval (0,t). Karena

Eexp  U i  



1
1  e t
t



maka





E exp  J N (t ) 

n
  (1  t  e t ) 
 ( t )  t
1

e  exp 
   1  e t 

 n!
n  0  t








n

b. Mean dari JN(t)

 n
 N (t )

( t ) n   t
E J N (t )   E   S i | N (t )  nP( N (t )  n)   E[U i ]
e
n!
n  0 i 1
n 0
 i 1






Karena Ui berdistribusi uniform pada interval (0,t) maka



E J N (t )



nt (t ) n t t 2
e 

2
n!
n 0 2


(t ) n 1 t t 2
e 

2
n 1 ( n  1)!


c. Momen kedua dari JN(t)
Momen kedua dari JN(t) dapat dibuktikan secara serupa dengan bukti untuk mean dari JN(t), yakni dengan
menggunakan teknik ekspektasi bersyarat dan menggunakan sifat statistik urutan dari distribusi
eksponensial. Dapat diperiksabahwa





E J N2 (t ) 

t 3
3



2 t 4
4

Sebagai akibatnya, variansi dari JN(t) adalah



 

 

Var J N (t )  E J N2 (t )  E J N (t )
d. Limit distribusi dari JN(t)

158



2



t 3
3

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015

 
J N (t )  12 t 2


E exp  i
1
 
t 3
3
 



  exp 1 i 3t E exp   i 3 J


2
 t t N ( t )  

 







Menggunakan hasil bagian a diperoleh

  i 3

 1
t t 3 / 2 
1
E exp  
J N (t )   exp   i 3t   2 
o(t
)
2
2


t
t
i
3



 
untuk t. Sebagai akibatnya

 
J N (t )  12 t 2

E exp  i
1
 
t 3
3
 


  exp   1  2  untuk t



 2 


yang merupakan fungsi karakteristik dari distribusi normal standar. Jadi dapat disimpulkan bahwa JN(t)
mendekati distribusi normal dengan mean t2/2 dan variansi t3/3 untuk t.
E. Sifat-sifat dariJN(t)pada proses renewal
Untuk membahas sifat-sifat dari JN(t)akan digunakan teori tentang proses titik, lihat [6], [7] dan [8].
Misalkan (,F,P) adalah ruang probabilitas di mana barisan variabel acak non-negative X1, X2, … yang
saling independen dan berdistribusi identik didefinisikan, dan juga barisan variabel acak U1, U2, …, yaitu
barisan variabel acak yang saling independen dan berdistribusi eksponensial dengan parameter 1
didefinisikan, sedemikian hingga barisan (Xi) dan (Ui) saling independen. Misalkan T1, T2, … adalah
barisan jumlah parsial dari U1, U2, …, yakni
Tn = U1 + U2 + … + Un.
Maka pemetaan


 :     (Tn ( ), X n ( ))
n 1

di mana

 ( x, y )

adalah ukuran Dirac pada titik (x,y) merupakan proses Poisson pada E = [0,)  [0,)

dengan ukuran intensitas (dtdx) = dt dF(x). Misalkan M adalah himpunan semua ukuran titik pada E.
Distribusi dari  akan dinotasikan dengan P, yakni P = P o -1.
Definisikan untuk t ≥ 0, fungsional A(t) pada M dengan

A(t ,  )   1[ 0,t ) ( s) x (dsdx) .
E

Definisikan juga

J (t ,  )    1[ 0, x ) (t  A(t ,  )) ([r , s)  [0, ))u1[ 0, s ) (r )  (drdu)  (dsdx)
E E

Maka dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa dengan probabilitas 1,

J N (t )  J (t , )
Teorema 5.
Misalkan
X 1,
X2,
…
adalahbarisanvariabelacak
non-negatif
salingindependendanberdistribusiidentikdengansebarangfungsidistribusiF. Definisikan
Sn = X1 + X2 + … + Xn,
n = 1, 2, 3, …
S0 = 0, dan (N(t), t ≥ 0) adalah proses renewal dengan waktu tunggu Sn. Definisikan untuk t ≥ 0,
N (t )

J N (t )   S n .
n 1

Maka untuk a, b> 0,


 bt
 E (exp{aJ N (t ) }e dt 
0

1  F * (b)  n
F * (a(n  1  i)  b) .

b
n  0 i 1

159

yang

ISBN. 978-602-73403-0-5

Bukti:

E (e

 aJ N ( t )

)   exp{a   1[ 0, x ) (t  A( s,  ))  ([r , s)  [0, ))u1[ 0, s ) (r )  (drdu)  (dsdx)}P (d )
M



EE

 1

[ 0, x )

ME

(t  A( s,  ) exp{a   ([r , s)  [0, ))u1[ 0, s ) (r )  (drdu)} (dsdx)P (d )
E

Dengan menerapkan rumus Palm diperoleh

E (e

 aJ N ( t )



)     1[ 0, x ) (t  A( s,    ( s , x ) ))
0 0M

exp{  a ([r , s)  [0, ))u1[ 0, s ) (r )  (drdu)}P (d )dF ( x)ds
E

Dengan menggunakan teorema Fubini diperoleh


 E (e

 aJ N ( t )

0



1  F * (b)
)e dt 
0 M exp{E [a ([r, s)  [0, )  b]u1[0,s ) (r ) (drdu)}P (d )ds
b
bt

Integral terhadap P dapat ditulis sebagai jumlah integral atas himpunan B n = { M :
([0,s)[0,)) = n}, n = 0, 1, 2, .... Tetapkan sebuah nilai n dan ambil  M sedemiian hingga
([0,s)[0,)) = n dan supp() = ((ti,xi)), i = 1, 2, ... Maka tn< s  tn+1. Untuk ukuran  tersebut, integral
terhadap Pdapat dituliskan sebagai


 [a ([r, s)  [0, )  b]u1[0,s ) (r ) (drdu)   (a[ N  1  i]  b) xi
i 1

E

Karena ukuran Padalah bayangan dari ukuran P di bawah pemetaan , maka dengan menyajikan integral
terhadap Patas Bn sebagai integral terhadap P atas himpunan An = {: Tn() < s  Tn+1()} dan
dengan mengunakan asumsi bahwa barisan (T n) dan (Xn) saling independen, diperoleh

 exp{ [a ([r , s)  [0, )  b]u1

[ 0, s )

Bn

(r )  (drdu) P (d )

E

 n

  exp   (a[n  1  i]  b) X i ( ) P(d )
 i 1

An
n

  F * (a[n  1  i ]  b)
i 1

s n e s
n!

Jadi
n



s n e s
F * (a[n  1  i]  b)
 exp  E [a ([r, s)  [0, )  b]u1[0,s ) (r ) (drdu)P (d )  
n!
n  0 i 1
M



Karena untuk setiap n,

s n e s
0 n! ds  1 maka teorema terbukti.

Teorema 6.
Dengan asumsi sebagaimana pada Teorema 5, jika


 E[ J

N (t )

]e

0

dan jika

bt

E[ X 1e bX1 ]   , maka untuk b>0

E[ X 1e bX1 ]
dt 
.
b[1  F * (b)] 2

E[ X 12 e bX1 ]   , maka untuk b>0

160

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015



bt
2
 E[ J N (t ) ]e dt 
0

[1  F * (b)]E[ X 12 e bX1 ] 2[2  F * (b)]E[ X 1e bX1 ] 2

.
b[1  F * (b)]3
b[1  F * (b)] 4

Bukti:
Transformasi Laplace dari mean dan momen kedua dariJN(t)masing-masing dapat diperoleh dengan
mencari turunan pertama dan kedua dari transformasi Laplace dari SN(t) terhadap α lalu mengganti α
dengan 0.
Teorema 7.
Jika   E[ X 1 ]   maka untuk t menuju tak hingga

E[ J N (t ) ] ~

t2
.
2

Bukti:
Jelas bahwa


e

bt

d E[ J N (t ) ]  lim E[ J N (t ) ]e
t 

0

Karena

bt



 b  E[ J N (t ) ]e bt dt .
0

0  J N (t )  tN (t ) maka
t

0  lim E[ J N (t ) ]e bt  lim tN (t )e bt  lim t   o(1) e bt  0
t 
t 
t 



Sebagai akibatnya




0

0

bt
bt
 e d E[ J N (t ) ]  b E[ J N (t ) ]e dt 

E[ X 1e bX1 ]
[1  F * (b)] 2

Dengan menggunakan teorema konvergensi terdominasi disimpulkan E[ X 1e

bX1

]    o(1) dan

F * (b)  1  b  o(b) untuk b  0.

Jadi


e

 bt

d E[ J N (t ) ] ~

0

Karena

1

2

untuk b  0.

E[ J N (t ) ] tidak turun, maka dengan menggunakan teorema Tauber (dengan  = 2) teorema

terbukti.

III.

SIMPULAN DAN SARAN

WaktutungguSN(t)dan waktu tunggu Sn mempunyai sifat-sifat yang berbeda baik pada proses Poisson
maupun pada proses renewal. Pada proses Poisson SN(t)bukan berdistribusi gamma, bahkan memiliki massa
pada titik t = 0. Mean, variansi, fungsi pembangkit momen, dan sifat-sifat limit dari jumlah parsial Jn = S1 +
S2 + ... + Sndan jumlah parsial JN(t) = S1 + S2 + ... + SN(t)juga berbeda baik pada proses Poisson maupun pada
proses renewal. Sifat-sifat dari SN(t) dan JN(t)pada proses renewal disajikan dalam bentuk transformasi
Laplace yang harus diinversi secara numerik. Distribusi probabilitas dari JN(t)disajikan dalam bentuk
transformasi Laplace ganda yang berbentuk deret tak hingga dengan suku-suku yang sangat kompleks.
Oleh karena itu disarankan untuk dikembangkan suatu prosedur untuk menginversi transformasi Laplace
ganda dari JN(t)yang cepat dan akurat.

DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]

S. M. Ross, Introduction to Probability Models, Seventh Edition, Academic Press, San Diego, 2000.
Suyono and J. A. M. Van der Weide., “A Method for Computing Total Downtime Distributions in Repairable Systems”,
Journal of Applied Probability vol. 40 no. 3, pp. 343-353, 2003.

161

ISBN. 978-602-73403-0-5

[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]

Suyono and J. A. M. Van der Weide, “Note on Superposition of Renewal Processes”, Jurnal Matematika dan Sains vol. 15 no.
2 tahun 2010 pp. 93-100, 2010.
P. W. IsegerandM. A. J. Smith, “A new method for inverting Laplace transforms”, Econometric Institute, EUR Rotterdam,pp.
1 – 14, 1998.
Suyono, Renewal Processes and Repairable Systems, Delft University Press, Delft, 2002.
R. D. Reiss, A Course on Point Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1993.
S. I. Resnick, Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes, Springer-Verlag, Berlin, 1987.
S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkauser, Boston, 1992.

162