APLIKASI TEOREMA MATRIKS POHON UNTUK MENCARI JUMLAH POHON RENTANG PADA GRAF RODA (WN).
APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK
MENCARI JUMLAH POHON RENTANG
PADA GRAF RODA (Wn)
Oleh:
Riadi Setiawan
NIM 408211035
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga skripsi yang
berjudul “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon untuk Mencari Jumlah Pohon
Rentang pada Graf Roda (Wn)” ini dapat terselesaikan dengan baik. Shalawat
serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi Besar
Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan
yang terang benderang.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan terima
kasih kepada:
1.
Bapak Mulyono, S.Si., M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang
sangat berharga selama penulisan skripsi ini, di tengah-tengah kesibukan
beliau sehari-hari.
2.
Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika yang telah
banyak membantu saya baik selama perkuliahan dan dalam menyusun skripsi
ini.
3.
Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua JurusanMatematika.
4.
Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D selaku Dekan FMIPA.
5.
Bapak Dr. Edi Syahputra, M.Pd, Bapak Dr. E. Elvis Napitulu, M.S dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Penguji.
6.
Segenap dosen Matematika FMIPA yang telah berjasa memberikan
bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
7.
Seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED, khususnya kepada
pegawai lab. Matematika, Bang Herman.
8.
Seluruh staf pegawai di lingkungan Perpustakaan UNIMED yang telah
membantu penulis.
v
9.
Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan hormat
kepada ayahanda, ibunda dan seluruh keluarga tercinta, Kak Wina Wulandari,
S.Pd dan Adik Dimas Hendrawan untuk semua kasih sayang, doa, motivasi,
dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
10. Secara khusus juga penulis ucapkan terima kasih kepada Dea Ardianti, S.E
yang telah memberikan kasih sayang, doa, semangat dan motivasi kepada
penulis baik selama perkuliahan dan dalam penyusunan skripsi ini.
11. Teman-teman matematika angkatan 2008 khususnya Andi Pranata, Riana,
Dalida, Eko Wahyudi, Marsinta Sinaga, Katrin Jenny Sirait, Rico Joslen
Tamba dan Richard Fernando Sitorus beserta semua pihak yang telah
memberi dukungan dan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Teman-teman sejurusan angkatan 2008 seperjuangan yang telah bahumembahu dalam menyusun skripsi ini.
13. Abang-abang senior angkatan 2007 yang telah berjasa memberi informasi dan
motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi
Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan
dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi
ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Medan, Mei 2013
Penulis,
Riadi Setiawan
NIM. 408211035
iii
APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK MENCARI JUMLAH
POHON RENTANG PADA GRAF RODA (Wn)
Riadi Setiawan (NIM 408211035)
ABSTRAK
Salah satu permasalahan dalam topik graf adalah menentukan jumlah
pohon rentang dari suatu graf. Pohon rentang adalah subgraf dari graf G yang
mengandung semua simpul dari G dan merupakan suatu pohon. Untuk
menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya dilakukan dengan
cara memotong/memutus sisi-sisi sehingga graf tersebut tidak lagi mengandung
suatu sikel.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk umum jumlah
pohon rentang pada graf roda (Wn) dengan menggunakan teorema matriks-pohon.
Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian pustaka
(library research) dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut: (1)
Menggambar graf roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan nN; (2) Menentukan matriks
berelasi (adjacency matrices) dan matriks derajat (degree matrices) dari graf roda
(Wn); (3) Mencari nilai selisih dari matriks derajat dan matriks berelasi (matriks
Laplacian) dari graf roda (Wn); (4) Mencari nilai kofaktor dari matriks Laplacian
dari graf roda (Wn); (5) Melihat pola jumlah pohon rentang dari graf roda (Wn);
(6) merumuskan pola ke dalam teorema; (7) membuktikan teorema. Berdasarkan
hasil pembahasan dapat diperoleh bahwa bentuk umum jumlah pohon rentang graf
roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan n N adalah
Kata kunci
: graf, graf roda, pohon rentang, matriks derajat, matriks berelasi,
kofaktor
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaar Penelitian
Halaman
i
ii
iii
iv
vi
viii
x
xi
1
1
3
3
4
4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf
2.1.1. Definisi Graf
2.1.2. Berelasi (Adjacent) dan Bersisian (Incident)
2.1.3. Graf Roda
2.1.4. Derajat Simpul
2.2. Graf Terhubung
2.3. Pohon
2.3.1. Definisi Pohon
2.3.2. Pohon Rentang
2.4. Matriks
2.4.1. Definisi Matriks
2.4.2. Operasi Matriks
2.4.3. Determinan Matriks
2.5. Matriks Graf
2.5.1. Matriks Berelasi dan Matriks Bersisian
2.5.2. Matriks Derajat
2.6. Teorema Matriks-Pohon
5
5
5
7
8
9
11
12
12
13
13
14
15
16
18
18
19
20
BAB III. METODE PENELITIAN
3.1. Tempat dan Waktu Penelitian
3.2. Jenis Penelitian
3.3. Prosedur
24
24
24
24
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1. Pohon Rentang dari Graf Roda W3
4.1.1. Pohon Rentang T1 dari W3
25
25
26
vii
4.1.2. Pohon Rentang T2 dari W3
4.1.3. Pohon Rentang T3 dari W3
4.1.4. Pohon Rentang T4 dari W3
4.1.5. Pohon Rentang T5 dari W3
4.1.6. Pohon Rentang T6 dari W3
4.1.7. Pohon Rentang T7 dari W3
4.1.8. Pohon Rentang T8 dari W3
4.1.9. Pohon Rentang T9 dari W3
4.1.10. Pohon Rentang T10 dari W3
4.1.11. Pohon Rentang T11 dari W3
4.1.12. Pohon Rentang T12 dari W3
4.1.13. Pohon Rentang T13 dari W3
4.1.14. Pohon Rentang T14 dari W3
4.1.15. Pohon Rentang T15 dari W3
4.1.16. Pohon Rentang T16 dari W3
4.2. Pohon Rentang dari Graf Roda W4
4.3. Pohon Rentang dari Graf Roda W5
4.4. Pohon Rentang dari Graf Roda W6
27
27
28
28
29
29
30
31
31
32
32
33
33
34
34
35
36
37
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
43
Daftar Pustaka
44
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1. Jumlah pohon rentang graf roda (Wn)
39
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1. Contoh graf sederhana G
6
Gambar 2.2. Sembarang graf G, G1 dan G2
7
Gambar 2.3. Graf G dengan jalur e = (u, v) menghubungkan
simpul u dan v
8
Gambar 2.4. Graf dengan jalur ganda dan lop
8
Gambar 2.5. Graf lingkaran (Cn), n = 3, 4, 5 dan 6
9
Gambar 2.6. Graf roda (Wn), dengan n = 3, 4, 5 dan 6
9
Gambar 2.7. Graf tak-sederhana
10
Gambar 2.8. Graf sederhana
11
Gambar 2.9. Pohon
13
Gambar 2.10. Graf G dan tiga buah pohon rentangnya, T1, T2
dan T3
13
Gambar 2.11. Graf sederhana
19
Gambar 4.1. Graf roda W3
25
Gambar 4.2. Graf rentang T1
26
Gambar 4.3. Graf rentang T2
27
Gambar 4.4. Graf rentang T3
27
Gambar 4.5. Graf rentang T4
28
Gambar 4.6. Graf rentang T5
28
Gambar 4.7. Graf rentang T6
29
Gambar 4.8. Graf rentang T7
29
Gambar 4.9. Graf rentang T8
30
Gambar 4.10. Graf rentang T10
31
Gambar 4.11. Graf rentang T11
31
Gambar 4.12. Graf rentang T11
32
Gambar 4.13. Graf rentang T12
32
Gambar 4.14. Graf rentang T13
33
Gambar 4.15. Graf rentang T14
33
ix
Gambar 4.16. Graf rentang T15
34
Gambar 4.17. Graf rentang T16
34
Gambar 4.18. Graf roda W4
35
Gambar 4.19. Graf roda W5
36
Gambar 4.20. Graf roda W6
37
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Perhitungan C11 dari T1
45
Lampiran 2. Perhitungan C11 dari T2
46
Lampiran 3. Perhitungan C11 dari T3
47
Lampiran 4. Perhitungan C11 dari T4
48
Lampiran 5. Perhitungan C11 dari T5
49
Lampiran 6. Perhitungan C11 dari T6
50
Lampiran 7. Perhitungan C11 dari T7
51
Lampiran 8. Perhitungan C11 dari T8
52
Lampiran 9. Perhitungan C11 dari T9
53
Lampiran 10. Perhitungan C11 dari T10
54
Lampiran 11. Perhitungan C11 dari T11
55
Lampiran 12. Perhitungan C11 dari T12
56
Lampiran 13. Perhitungan C11 dari T13
57
Lampiran 14. Perhitungan C11 dari T14
58
Lampiran 15. Perhitungan C11 dari T15
59
Lampiran 16. Perhitungan C11 dari T16
60
Lampiran 17. Perhitungan C11 dari W3
61
Lampiran 18. Perhitungan C11 dari W4
62
Lampiran 19. Perhitungan C11 dari W5
63
Lampiran 20. Perhitungan C11 dari W6
64
Lampiran 21. Pohon rentang dari graf roda W3
65
Lampiran 22. Beberapa pohon rentang dari graf roda W4
66
Lampiran 23. Beberapa pohon rentang dari graf roda W5
67
Lampiran 24. Beberapa pohon rentang dari graf roda W6
68
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu sering disebut sebagai ibu
sekaligus pelayan ilmu pengetahuan. Hal itu karena matematika merupakan salah
satu ilmu pengetahuan dasar yang merupakan sumber dari ilmu pengetahuan
terapan. Sedangkan dikatakan sebagai pelayan karena matematika juga sering
dipakai untuk membantu mempermudah penyelesaian permasalahan yang ada di
dalam ilmu-ilmu lainnya.
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang masih menarik
untuk dibahas karena teori-teorinya masih aplikatif sampai saat ini dan dapat
diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan
mengkaji dan menganalisis model atau rumusan, teori graf dapat diperlihatkan
peranan
dan
kegunaannya
dalam
memecahkan
berbagai
permasalahan.
Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil
aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek lainnya.
Salah satu topik dari teori graf adalah tentang pohon. Konsep pohon
merupakan konsep yang paling penting karena konsep ini mampu mendukung
penerapan graf dalam berbagai ilmu. Kirchoff (1824 – 1887) mengembangkan
teori pohon untuk mengembangkan teori pohon untuk diterapkan dalam jaringan
listrik. Selanjutnya, Arthur Cayley (1821 – 1895) mengembangkan graf jenis ini
sewaktu mencacah isomer hidrokarbon jenuh CnH2n+2. Sekarang pohon digunakan
luas dalam linguistik dan ilmu komputer (Munir, 2007 : 359).
Pohon adalah graf terhubung yang asiklik (tidak memuat sikel). Sebuah
pohon selalu terdiri dari n simpul dan n – 1 jalur. Pohon yang merupakan subgraf
dari suatu graf terhubung G, yang memuat seluruh simpul dari G disebut pohon
rentang (spanning tree).
Menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf merupakan
masalah tersendiri dalam teori graf. Selama ini dikenal dua algortima, algoritma
Prim dan algoritma Kruskal. Namun kedua algoritma tersebut biasa digunakan
1
untuk mendapatkan pohon rentang minimal yaitu pohon rentang dari suatu graf
yang memiliki bobot, dimana pohon rentang minimal dari graf tersebut adalah
pohon rentang dengan jumlah bobot terkecil, bukan untuk mencari berapa banyak
atau jumlah dari pohon rentang dari suatu graf.
Dalam mencari jumlah pohon rentang suatu graf, ada dua metode yang
digunakan, yaitu Metode Edge Exchange dan Metode Matriks. Kedua metode ini
bisa digunakan dalam mencari jumlah pohon rentang (spanning tree) yang terjadi
pada graf terhubung baik berarah maupun tak berarah. Kelebihan dari Metode
Edge Exchange adalah dapat dengan mudah dan praktis dalam menentukan pohon
rentang yang terjadi, sedang kelemahannya tidak dapat mengetahui jumlah pohon
rentang secara langsung dan tidak menghasilkan bentuk-bentuk mayornya.
Sedangkan untuk Metode Matriks kelebihannya adalah dapat menentukan secara
langsung jumlah pohon rentang dan dapat diketahui bentuk-bentuk mayornya.
Sedang kelemahannya adalah membutuhkan waktu yang lebih lama dan
memerlukan ketelitian khusus (Muayyad, 2010:2).
Dalam menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya
dilakukan dengan cara menghapus/menghilangkan jalur-jalur sehingga graf
tersebut tidak lagi mengandung sikel. Maka untuk membentuk pohon rentang dari
suatu graf G adalah dengan cara menghapus salah satu atau lebih jalur sehingga
graf G tidak lagi memuat sikel.
Menurut penulis, penghitungan dengan cara tersebut untuk menentukan
jumlah pohon rentang dari suatu graf memerlukan waktu yang lama, misalnya
untuk menentukan banyaknya pohon rentang dari graf roda (Wn) dengan n > 10,
sehingga perlu digunakan cara atau rumusan baku untuk menentukan banyaknya
pohon rentang dari suatu graf.
Ada beberapa masalah dalam teori graf yang bisa lebih mudah
diselesaikan apabila graf yang dihadapi direpresentasikan dalam bentuk matriks.
Bentuk graf yang dinyatakan dalam suatu matriks kemudian diselesaikan dengan
metode-metode yang berlaku pada matriks. Bentuk graf yang dinyatakan dalam
suatu matriks kemudian diselesaikan dengan metode-metode yang berlaku pada
matriks, sesuai dengan teorema yang sudah ada, yaitu teorema matriks-pohon.
2
Teorema matriks-pohon ini memiliki kelemahan yaitu tidak dapat
digunakan pada graf berbobot sehingga penelitian yang dilakukan bukan
penelitian lapangan atau studi kasus tetapi penelitian literatur. Namun, dalam
beberapa hal, hasil teorema ini dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Contohnya seperti kasus pasar malam, dimana untuk mencari panjang kabel
minimum dari suatu permainan ”bianglala” dapat digunakan pola pohon rentang
dari graf roda.
Dari penelitian mengenai pohon rentang yang sudah dilakukan adalah
menentukan banyaknya pohon rentang pada graf komplit (Kn) dan graf bipartit
komplit (Km,n).
Maka berdasarkan uraian tersebut penulis bermaksud mengajukan
penelitian untuk skripsi ini dengan judul, “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon
untuk Mencari Jumlah Pohon Rentang pada Graf Roda (Wn)”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam
penulisan skripsi ini adalah bagaimana bentuk umum jumlah pohon rentang dari
graf roda (Wn) dengan aplikasi teorema matriks-pohon?
1.3 Batasan Masalah
Penulis merasa perlu menetapkan batasan masalah dalam penelitian ini,
antara lain:
1. Karena banyaknya jenis-jenis graf terhubung, maka penulis hanya meneliti
graf roda (Wn) saja dengan menggunakan teorema matriks-pohon.
2. Graf roda (Wn) adalah suatu graf terhubung, dimana n bilangan bulat dan
dimulai dengan n > 3sehingga penulis hanya akan meneliti graf roda dengan n
= 3, 4, 5 dan 6 kemudian mencari bentuk baku dari rumus jumlah pohon
rentang pada graf roda tersebut.
3
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian skripsi ini
adalah menentukan bentuk umum jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn)
dengan aplikasi teorema matriks-pohon.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Bagi peneliti, untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin
ilmu yang telah dipelajari untuk mengkaji permasalahan tentang aplikasi
teorema matriks-pohon untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf
roda (Wn).
2. Bagi
pemerhati
matematika,
sebagai
tambahan
pengetahuan
bidang
matematika, khususnya teori graf mengenai aplikasi teorema matriks-pohon
untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn).
3. Bagi Universitas Negeri Medan, untuk bahan kepustakaan yang dijadikan
sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di jurusan matematika
untuk mata kuliah matematika diskrit.
4
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 2003. Aljabar Linier Elementer, Ed. Kelima. Jakarta: Erlangga.
Dhand, Vivek. The Matrix-Tree Theorem.
(Online: http:www.math.msu.edu/~dhand/ diakses November 2012)
Johnsonbaugh, Richard. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta: PT.
Prenhallindo
Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka
Utama.
Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit, Ed. Ketiga. Bandung: Informatika
Nanang Kartiadi, Muayyad. 2010. Aplikasi Spanning Tree Untuk Menentukan
Hambatan Total Pada Rangkaian Listrik. Skripsi. FST. UIN Maulana
Malik Ibrahim. Malang.
Rasyad, Rasdihan. 2003. Aljabar Linier Untuk Umum. Jakarta:PT. Grasindo
Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Penertbit Andi.
Skiena. 1990. Implementing Discrete Mathematics Combinatorics and Graph
Theory with Mathematics.
(Online: http:www.mathworld.wolfram.com/Matrix-TreeTheorem.html
diakses November 2012)
Thomassen, Carsten.Supplementary Notes for Graph Theory I, First Edition.
Denmark: DTU Mathematics.
Wallis, W. D. 2000. A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2nd Ed. Boston:
Birkhäuser
West, Douglas B. 2002. Introduction to Graph Theory, 2nd Ed. New Delhi:
Prentice of Hall
Wibonson, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
44
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 1Maret 1990. Ayah bernama
Mulianto dan Ibu bernama Sumarni, dan merupakan anak kedua dari tiga
bersaudara. Pada tahun 1996, penulis masuk SD Negeri 1 Bunga Jeumpa Aceh
Utara. Lalu pada kelas 4 SD, penulis pindah ke Medan dan masuk SD Swasta
Darussalam, Martubung. Setahun kemudian, tepatnya kelas 5 SD, penulis pindah
ke Kota Kisaran dan masuk ke SD Negeri 017973 dan lulus pada tahun 2002 di
SD tersebut.
Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Kisaran,
dan lulus pada tahun 2005. Tahun 2005, penulis kembali pindah ke Medan dan
melanjutkan sekolah di SMA Swasta Dharmawangsa, dan lulus pada tahun 2008.
Pada tahun 2008, penulis melanjutkan pendidikan di Universitas Negeri Medan,
tepatnya di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama perkuliahan, penulis pernah aktif di organisasi kemahasiswaan
seperti Himpunan Mahasiswa Islam (HMI) FMIPA UNIMED periode 2008-2010
dan Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ) Matematika periode 2008-2009 sebagai
anggota dan periode 2009-2010 sebagai ketua. Penulis akhirnya dapat
menyelesaikan studinya dengan baik pada tanggal 16 Juli 2013.
MENCARI JUMLAH POHON RENTANG
PADA GRAF RODA (Wn)
Oleh:
Riadi Setiawan
NIM 408211035
Program Studi Matematika
SKRIPSI
Diajukan Untuk Memenuhi Syarat Memperoleh Gelar
Sarjana Sain
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI MEDAN
MEDAN
2013
iv
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang
telah memberikan curahan rahmat, taufiq dan hidayah-Nya sehingga skripsi yang
berjudul “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon untuk Mencari Jumlah Pohon
Rentang pada Graf Roda (Wn)” ini dapat terselesaikan dengan baik. Shalawat
serta salam semoga tetap terlimpahkan kepada junjungan kita Nabi Besar
Muhammad SAW yang telah membawa kita dari jalan yang gelap menuju jalan
yang terang benderang.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak akan
mendapatkan suatu hasil yang baik tanpa adanya bimbingan, bantuan, saran serta
doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis menyampaikan ungkapan terima
kasih kepada:
1.
Bapak Mulyono, S.Si., M.Si selaku Dosen Pembimbing Skripsi yang telah
banyak memberikan pengarahan, bimbingan, dan petunjuk-petunjuk yang
sangat berharga selama penulisan skripsi ini, di tengah-tengah kesibukan
beliau sehari-hari.
2.
Ibu Dra. Nerli Khairani, M.Si sebagai Ketua Prodi Matematika yang telah
banyak membantu saya baik selama perkuliahan dan dalam menyusun skripsi
ini.
3.
Bapak Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd selaku Ketua JurusanMatematika.
4.
Bapak Prof. Drs. Motlan, M.Sc., Ph.D selaku Dekan FMIPA.
5.
Bapak Dr. Edi Syahputra, M.Pd, Bapak Dr. E. Elvis Napitulu, M.S dan Ibu
Dra. Nerli Khairani, M.Si selaku Dosen Penguji.
6.
Segenap dosen Matematika FMIPA yang telah berjasa memberikan
bimbingan kepada penulis semenjak mengikuti perkuliahan.
7.
Seluruh staf pegawai di lingkungan FMIPA UNIMED, khususnya kepada
pegawai lab. Matematika, Bang Herman.
8.
Seluruh staf pegawai di lingkungan Perpustakaan UNIMED yang telah
membantu penulis.
v
9.
Secara khusus dan istimewa penulis mengucapkan terima kasih dan hormat
kepada ayahanda, ibunda dan seluruh keluarga tercinta, Kak Wina Wulandari,
S.Pd dan Adik Dimas Hendrawan untuk semua kasih sayang, doa, motivasi,
dan jerih payah sehingga penulis dapat menyelesaikan studi.
10. Secara khusus juga penulis ucapkan terima kasih kepada Dea Ardianti, S.E
yang telah memberikan kasih sayang, doa, semangat dan motivasi kepada
penulis baik selama perkuliahan dan dalam penyusunan skripsi ini.
11. Teman-teman matematika angkatan 2008 khususnya Andi Pranata, Riana,
Dalida, Eko Wahyudi, Marsinta Sinaga, Katrin Jenny Sirait, Rico Joslen
Tamba dan Richard Fernando Sitorus beserta semua pihak yang telah
memberi dukungan dan bantuan dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Teman-teman sejurusan angkatan 2008 seperjuangan yang telah bahumembahu dalam menyusun skripsi ini.
13. Abang-abang senior angkatan 2007 yang telah berjasa memberi informasi dan
motivasi kepada penulis untuk menyelesaikan skripsi
Semoga Allah SWT memberikan balasan yang baik atas semua bantuan
dan bimbingan yang telah diberikan. Akhirnya, penulis berharap semoga skripsi
ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan bagi pembaca pada umumnya.
Medan, Mei 2013
Penulis,
Riadi Setiawan
NIM. 408211035
iii
APLIKASI TEOREMA MATRIKS-POHON UNTUK MENCARI JUMLAH
POHON RENTANG PADA GRAF RODA (Wn)
Riadi Setiawan (NIM 408211035)
ABSTRAK
Salah satu permasalahan dalam topik graf adalah menentukan jumlah
pohon rentang dari suatu graf. Pohon rentang adalah subgraf dari graf G yang
mengandung semua simpul dari G dan merupakan suatu pohon. Untuk
menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya dilakukan dengan
cara memotong/memutus sisi-sisi sehingga graf tersebut tidak lagi mengandung
suatu sikel.
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan bentuk umum jumlah
pohon rentang pada graf roda (Wn) dengan menggunakan teorema matriks-pohon.
Dalam penelitian ini, metode yang digunakan adalah metode penelitian pustaka
(library research) dengan langkah-langkah penelitian sebagai berikut: (1)
Menggambar graf roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan nN; (2) Menentukan matriks
berelasi (adjacency matrices) dan matriks derajat (degree matrices) dari graf roda
(Wn); (3) Mencari nilai selisih dari matriks derajat dan matriks berelasi (matriks
Laplacian) dari graf roda (Wn); (4) Mencari nilai kofaktor dari matriks Laplacian
dari graf roda (Wn); (5) Melihat pola jumlah pohon rentang dari graf roda (Wn);
(6) merumuskan pola ke dalam teorema; (7) membuktikan teorema. Berdasarkan
hasil pembahasan dapat diperoleh bahwa bentuk umum jumlah pohon rentang graf
roda (Wn) dengan n ≥ 3 dan n N adalah
Kata kunci
: graf, graf roda, pohon rentang, matriks derajat, matriks berelasi,
kofaktor
vi
DAFTAR ISI
Lembar Pengesahan
Riwayat Hidup
Abstrak
Kata Pengantar
Daftar Isi
Daftar Gambar
Daftar Tabel
Daftar Lampiran
BAB I. PENDAHULUAN
1.1. Latar Belakang
1.2. Rumusan Masalah
1.3. Batasan Masalah
1.4. Tujuan Penelitian
1.5. Manfaar Penelitian
Halaman
i
ii
iii
iv
vi
viii
x
xi
1
1
3
3
4
4
BAB II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Graf
2.1.1. Definisi Graf
2.1.2. Berelasi (Adjacent) dan Bersisian (Incident)
2.1.3. Graf Roda
2.1.4. Derajat Simpul
2.2. Graf Terhubung
2.3. Pohon
2.3.1. Definisi Pohon
2.3.2. Pohon Rentang
2.4. Matriks
2.4.1. Definisi Matriks
2.4.2. Operasi Matriks
2.4.3. Determinan Matriks
2.5. Matriks Graf
2.5.1. Matriks Berelasi dan Matriks Bersisian
2.5.2. Matriks Derajat
2.6. Teorema Matriks-Pohon
5
5
5
7
8
9
11
12
12
13
13
14
15
16
18
18
19
20
BAB III. METODE PENELITIAN
3.1. Tempat dan Waktu Penelitian
3.2. Jenis Penelitian
3.3. Prosedur
24
24
24
24
BAB IV. PEMBAHASAN
4.1. Pohon Rentang dari Graf Roda W3
4.1.1. Pohon Rentang T1 dari W3
25
25
26
vii
4.1.2. Pohon Rentang T2 dari W3
4.1.3. Pohon Rentang T3 dari W3
4.1.4. Pohon Rentang T4 dari W3
4.1.5. Pohon Rentang T5 dari W3
4.1.6. Pohon Rentang T6 dari W3
4.1.7. Pohon Rentang T7 dari W3
4.1.8. Pohon Rentang T8 dari W3
4.1.9. Pohon Rentang T9 dari W3
4.1.10. Pohon Rentang T10 dari W3
4.1.11. Pohon Rentang T11 dari W3
4.1.12. Pohon Rentang T12 dari W3
4.1.13. Pohon Rentang T13 dari W3
4.1.14. Pohon Rentang T14 dari W3
4.1.15. Pohon Rentang T15 dari W3
4.1.16. Pohon Rentang T16 dari W3
4.2. Pohon Rentang dari Graf Roda W4
4.3. Pohon Rentang dari Graf Roda W5
4.4. Pohon Rentang dari Graf Roda W6
27
27
28
28
29
29
30
31
31
32
32
33
33
34
34
35
36
37
BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN
43
Daftar Pustaka
44
x
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 4.1. Jumlah pohon rentang graf roda (Wn)
39
viii
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1. Contoh graf sederhana G
6
Gambar 2.2. Sembarang graf G, G1 dan G2
7
Gambar 2.3. Graf G dengan jalur e = (u, v) menghubungkan
simpul u dan v
8
Gambar 2.4. Graf dengan jalur ganda dan lop
8
Gambar 2.5. Graf lingkaran (Cn), n = 3, 4, 5 dan 6
9
Gambar 2.6. Graf roda (Wn), dengan n = 3, 4, 5 dan 6
9
Gambar 2.7. Graf tak-sederhana
10
Gambar 2.8. Graf sederhana
11
Gambar 2.9. Pohon
13
Gambar 2.10. Graf G dan tiga buah pohon rentangnya, T1, T2
dan T3
13
Gambar 2.11. Graf sederhana
19
Gambar 4.1. Graf roda W3
25
Gambar 4.2. Graf rentang T1
26
Gambar 4.3. Graf rentang T2
27
Gambar 4.4. Graf rentang T3
27
Gambar 4.5. Graf rentang T4
28
Gambar 4.6. Graf rentang T5
28
Gambar 4.7. Graf rentang T6
29
Gambar 4.8. Graf rentang T7
29
Gambar 4.9. Graf rentang T8
30
Gambar 4.10. Graf rentang T10
31
Gambar 4.11. Graf rentang T11
31
Gambar 4.12. Graf rentang T11
32
Gambar 4.13. Graf rentang T12
32
Gambar 4.14. Graf rentang T13
33
Gambar 4.15. Graf rentang T14
33
ix
Gambar 4.16. Graf rentang T15
34
Gambar 4.17. Graf rentang T16
34
Gambar 4.18. Graf roda W4
35
Gambar 4.19. Graf roda W5
36
Gambar 4.20. Graf roda W6
37
xi
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Perhitungan C11 dari T1
45
Lampiran 2. Perhitungan C11 dari T2
46
Lampiran 3. Perhitungan C11 dari T3
47
Lampiran 4. Perhitungan C11 dari T4
48
Lampiran 5. Perhitungan C11 dari T5
49
Lampiran 6. Perhitungan C11 dari T6
50
Lampiran 7. Perhitungan C11 dari T7
51
Lampiran 8. Perhitungan C11 dari T8
52
Lampiran 9. Perhitungan C11 dari T9
53
Lampiran 10. Perhitungan C11 dari T10
54
Lampiran 11. Perhitungan C11 dari T11
55
Lampiran 12. Perhitungan C11 dari T12
56
Lampiran 13. Perhitungan C11 dari T13
57
Lampiran 14. Perhitungan C11 dari T14
58
Lampiran 15. Perhitungan C11 dari T15
59
Lampiran 16. Perhitungan C11 dari T16
60
Lampiran 17. Perhitungan C11 dari W3
61
Lampiran 18. Perhitungan C11 dari W4
62
Lampiran 19. Perhitungan C11 dari W5
63
Lampiran 20. Perhitungan C11 dari W6
64
Lampiran 21. Pohon rentang dari graf roda W3
65
Lampiran 22. Beberapa pohon rentang dari graf roda W4
66
Lampiran 23. Beberapa pohon rentang dari graf roda W5
67
Lampiran 24. Beberapa pohon rentang dari graf roda W6
68
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika sebagai salah satu disiplin ilmu sering disebut sebagai ibu
sekaligus pelayan ilmu pengetahuan. Hal itu karena matematika merupakan salah
satu ilmu pengetahuan dasar yang merupakan sumber dari ilmu pengetahuan
terapan. Sedangkan dikatakan sebagai pelayan karena matematika juga sering
dipakai untuk membantu mempermudah penyelesaian permasalahan yang ada di
dalam ilmu-ilmu lainnya.
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang masih menarik
untuk dibahas karena teori-teorinya masih aplikatif sampai saat ini dan dapat
diterapkan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Dengan
mengkaji dan menganalisis model atau rumusan, teori graf dapat diperlihatkan
peranan
dan
kegunaannya
dalam
memecahkan
berbagai
permasalahan.
Permasalahan yang dirumuskan dengan teori graf dibuat sederhana, yaitu diambil
aspek-aspek yang diperlukan dan dibuang aspek-aspek lainnya.
Salah satu topik dari teori graf adalah tentang pohon. Konsep pohon
merupakan konsep yang paling penting karena konsep ini mampu mendukung
penerapan graf dalam berbagai ilmu. Kirchoff (1824 – 1887) mengembangkan
teori pohon untuk mengembangkan teori pohon untuk diterapkan dalam jaringan
listrik. Selanjutnya, Arthur Cayley (1821 – 1895) mengembangkan graf jenis ini
sewaktu mencacah isomer hidrokarbon jenuh CnH2n+2. Sekarang pohon digunakan
luas dalam linguistik dan ilmu komputer (Munir, 2007 : 359).
Pohon adalah graf terhubung yang asiklik (tidak memuat sikel). Sebuah
pohon selalu terdiri dari n simpul dan n – 1 jalur. Pohon yang merupakan subgraf
dari suatu graf terhubung G, yang memuat seluruh simpul dari G disebut pohon
rentang (spanning tree).
Menentukan banyaknya pohon rentang dari suatu graf merupakan
masalah tersendiri dalam teori graf. Selama ini dikenal dua algortima, algoritma
Prim dan algoritma Kruskal. Namun kedua algoritma tersebut biasa digunakan
1
untuk mendapatkan pohon rentang minimal yaitu pohon rentang dari suatu graf
yang memiliki bobot, dimana pohon rentang minimal dari graf tersebut adalah
pohon rentang dengan jumlah bobot terkecil, bukan untuk mencari berapa banyak
atau jumlah dari pohon rentang dari suatu graf.
Dalam mencari jumlah pohon rentang suatu graf, ada dua metode yang
digunakan, yaitu Metode Edge Exchange dan Metode Matriks. Kedua metode ini
bisa digunakan dalam mencari jumlah pohon rentang (spanning tree) yang terjadi
pada graf terhubung baik berarah maupun tak berarah. Kelebihan dari Metode
Edge Exchange adalah dapat dengan mudah dan praktis dalam menentukan pohon
rentang yang terjadi, sedang kelemahannya tidak dapat mengetahui jumlah pohon
rentang secara langsung dan tidak menghasilkan bentuk-bentuk mayornya.
Sedangkan untuk Metode Matriks kelebihannya adalah dapat menentukan secara
langsung jumlah pohon rentang dan dapat diketahui bentuk-bentuk mayornya.
Sedang kelemahannya adalah membutuhkan waktu yang lebih lama dan
memerlukan ketelitian khusus (Muayyad, 2010:2).
Dalam menentukan pohon rentang dari suatu graf terhubung, biasanya
dilakukan dengan cara menghapus/menghilangkan jalur-jalur sehingga graf
tersebut tidak lagi mengandung sikel. Maka untuk membentuk pohon rentang dari
suatu graf G adalah dengan cara menghapus salah satu atau lebih jalur sehingga
graf G tidak lagi memuat sikel.
Menurut penulis, penghitungan dengan cara tersebut untuk menentukan
jumlah pohon rentang dari suatu graf memerlukan waktu yang lama, misalnya
untuk menentukan banyaknya pohon rentang dari graf roda (Wn) dengan n > 10,
sehingga perlu digunakan cara atau rumusan baku untuk menentukan banyaknya
pohon rentang dari suatu graf.
Ada beberapa masalah dalam teori graf yang bisa lebih mudah
diselesaikan apabila graf yang dihadapi direpresentasikan dalam bentuk matriks.
Bentuk graf yang dinyatakan dalam suatu matriks kemudian diselesaikan dengan
metode-metode yang berlaku pada matriks. Bentuk graf yang dinyatakan dalam
suatu matriks kemudian diselesaikan dengan metode-metode yang berlaku pada
matriks, sesuai dengan teorema yang sudah ada, yaitu teorema matriks-pohon.
2
Teorema matriks-pohon ini memiliki kelemahan yaitu tidak dapat
digunakan pada graf berbobot sehingga penelitian yang dilakukan bukan
penelitian lapangan atau studi kasus tetapi penelitian literatur. Namun, dalam
beberapa hal, hasil teorema ini dapat digunakan dalam kehidupan sehari-hari.
Contohnya seperti kasus pasar malam, dimana untuk mencari panjang kabel
minimum dari suatu permainan ”bianglala” dapat digunakan pola pohon rentang
dari graf roda.
Dari penelitian mengenai pohon rentang yang sudah dilakukan adalah
menentukan banyaknya pohon rentang pada graf komplit (Kn) dan graf bipartit
komplit (Km,n).
Maka berdasarkan uraian tersebut penulis bermaksud mengajukan
penelitian untuk skripsi ini dengan judul, “Aplikasi Teorema Matriks-Pohon
untuk Mencari Jumlah Pohon Rentang pada Graf Roda (Wn)”.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka rumusan masalah dalam
penulisan skripsi ini adalah bagaimana bentuk umum jumlah pohon rentang dari
graf roda (Wn) dengan aplikasi teorema matriks-pohon?
1.3 Batasan Masalah
Penulis merasa perlu menetapkan batasan masalah dalam penelitian ini,
antara lain:
1. Karena banyaknya jenis-jenis graf terhubung, maka penulis hanya meneliti
graf roda (Wn) saja dengan menggunakan teorema matriks-pohon.
2. Graf roda (Wn) adalah suatu graf terhubung, dimana n bilangan bulat dan
dimulai dengan n > 3sehingga penulis hanya akan meneliti graf roda dengan n
= 3, 4, 5 dan 6 kemudian mencari bentuk baku dari rumus jumlah pohon
rentang pada graf roda tersebut.
3
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian skripsi ini
adalah menentukan bentuk umum jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn)
dengan aplikasi teorema matriks-pohon.
1.5 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penulisan skripsi ini adalah:
1. Bagi peneliti, untuk memperdalam dan mengembangkan wawasan disiplin
ilmu yang telah dipelajari untuk mengkaji permasalahan tentang aplikasi
teorema matriks-pohon untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf
roda (Wn).
2. Bagi
pemerhati
matematika,
sebagai
tambahan
pengetahuan
bidang
matematika, khususnya teori graf mengenai aplikasi teorema matriks-pohon
untuk menentukan jumlah pohon rentang pada graf roda (Wn).
3. Bagi Universitas Negeri Medan, untuk bahan kepustakaan yang dijadikan
sarana pengembangan wawasan keilmuan khususnya di jurusan matematika
untuk mata kuliah matematika diskrit.
4
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard. 2003. Aljabar Linier Elementer, Ed. Kelima. Jakarta: Erlangga.
Dhand, Vivek. The Matrix-Tree Theorem.
(Online: http:www.math.msu.edu/~dhand/ diakses November 2012)
Johnsonbaugh, Richard. 2002. Matematika Diskrit Jilid 2. Jakarta: PT.
Prenhallindo
Liu, C. L. 1995. Dasar-Dasar Matematika Diskrit. Jakarta: PT. Gramedia Pustaka
Utama.
Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit, Ed. Ketiga. Bandung: Informatika
Nanang Kartiadi, Muayyad. 2010. Aplikasi Spanning Tree Untuk Menentukan
Hambatan Total Pada Rangkaian Listrik. Skripsi. FST. UIN Maulana
Malik Ibrahim. Malang.
Rasyad, Rasdihan. 2003. Aljabar Linier Untuk Umum. Jakarta:PT. Grasindo
Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya Pada Ilmu Komputer.
Yogyakarta: Penertbit Andi.
Skiena. 1990. Implementing Discrete Mathematics Combinatorics and Graph
Theory with Mathematics.
(Online: http:www.mathworld.wolfram.com/Matrix-TreeTheorem.html
diakses November 2012)
Thomassen, Carsten.Supplementary Notes for Graph Theory I, First Edition.
Denmark: DTU Mathematics.
Wallis, W. D. 2000. A Beginner’s Guide to Graph Theory, 2nd Ed. Boston:
Birkhäuser
West, Douglas B. 2002. Introduction to Graph Theory, 2nd Ed. New Delhi:
Prentice of Hall
Wibonson, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.
44
ii
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Medan, pada tanggal 1Maret 1990. Ayah bernama
Mulianto dan Ibu bernama Sumarni, dan merupakan anak kedua dari tiga
bersaudara. Pada tahun 1996, penulis masuk SD Negeri 1 Bunga Jeumpa Aceh
Utara. Lalu pada kelas 4 SD, penulis pindah ke Medan dan masuk SD Swasta
Darussalam, Martubung. Setahun kemudian, tepatnya kelas 5 SD, penulis pindah
ke Kota Kisaran dan masuk ke SD Negeri 017973 dan lulus pada tahun 2002 di
SD tersebut.
Pada tahun 2002, penulis melanjutkan sekolah di SMP Negeri 1 Kisaran,
dan lulus pada tahun 2005. Tahun 2005, penulis kembali pindah ke Medan dan
melanjutkan sekolah di SMA Swasta Dharmawangsa, dan lulus pada tahun 2008.
Pada tahun 2008, penulis melanjutkan pendidikan di Universitas Negeri Medan,
tepatnya di Program Studi Matematika Jurusan Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama perkuliahan, penulis pernah aktif di organisasi kemahasiswaan
seperti Himpunan Mahasiswa Islam (HMI) FMIPA UNIMED periode 2008-2010
dan Himpunan Mahasiswa Jurusan (HMJ) Matematika periode 2008-2009 sebagai
anggota dan periode 2009-2010 sebagai ketua. Penulis akhirnya dapat
menyelesaikan studinya dengan baik pada tanggal 16 Juli 2013.