PENERAPAN MATRIKS LAPLACIAN PADA PERHITUNGAN BANYAKNYA POHON PERENTANG PADA GRAF TRIPARTISI LENGKAP.

vii

PENERAPAN MATRIKS LAPLACIAN PADA PERHITUNGAN BANYAKNYA POHON PERENTANG

PADA GRAF TRIPARTISI LENGKAP

Oleh : Siti Hanafian NIM. 09305144034

ABSTRAK

Matriks Laplacian dapat digunaan untuk menghitung banyaknya pohon perentang pada suatu graf, yaitu dengan menghitung kofaktor dari matriks

Laplacian tersebut. Tujuan penulisan ini adalah menggunakan matriks Laplacian dalam perhitungan banyaknya pohon perentang pada graf tripartisi

lengkap dan untuk menentukan bentuk umum banyaknya pohon perentang

pada graf tripartisi lengkap .

Hasil dari penulisan ini, langkah-langkah untuk menentukan banyaknya pohon perentang pada graf tripartisi lengkap yaitu : 1) Menentukan matriks ikatan; 2) Menentukan matriks derajat; 3) Menentukan matriks Laplacian;

4) Menghitung kofaktor matriks Laplacian. Langkah 1 dan langkah 2 tidak

harus dikerjakan urut, bisa juga mengerjakan langkah 1 kemudian baru langkah 2.

Berdasarkan hasil perhitungan, banyaknya pohon perentang pada graf

tripartisi lengkap yaitu :

dengan bilangan asli.

Kata Kunci: pohon, pohon perentang, graf tripartisi lengkap, kofaktor, matriks ikatan, matriks derajat, dan matriks laplacian

1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Salah satu materi dalam graf adalah pohon (tree). Pohon didefinisikan sebagai graf terhubung yang tidak memuat sikel (Chartrand dan Lesniak, 1996:57). Teori tentang pohon telah banyak dikembangkan dalam

mendukung penerapan graf dalam berbagai bidang ilmu. Kirchoff (1824 –

1887) mengembangkan teori-teori pohon untuk diterapkan dalam jaringan listrik. Selanjutnya Arthur Cayley (1821-1895) mengembangkan sebuah graf

sewaktu mencacah isomer hidrokarbon jenuh .

Teori tentang pohon yang telah banyak diterapkan dalam permasalahan nyata yaitu pohon perentang (Spanning Tree). Menurut Chatrand dan Lesniak (1996: 4), pohon perentang adalah subgraf dari sebuah graf yang berupa pohon dan memuat semua simpul pada graf , sedangkan

suatu graf disebut subgraf dari graf jika dan

.

Penerapan pohon perentang pada permasalahan nyata contohnya adalah pada jaringan listrik. Pada permasalahan pemasangan jaringan listrik pada suatu kota yang pertama kali dilakukan adalah memodelkan masalah tersebut dalam bentuk graf. Selanjutnya yaitu menentukan lintasan kabel terpendek dengan menentukan pohon perentang minimum pada graf yang menggambarkan jaringan listrik tersebut. Selain menentukan lintasan terpendek pada jaringan kabel, permasalahan lain yaitu berapa banyak bentuk

2

jaringan listrik yang dapat dilakukan maka caranya yaitu dengan menghitung banyaknya pohon perentang pada graf tersebut.

Model graf tripartisi dapat digunakan dalam menggambarkan bentuk jaringan listrik pada suatu kota. Menurut Stepanie Bowles (2004:12) Graf tripartisi adalah graf yang memuat tiga himpunan simpul, simpul-simpul dalam suatu himpunan terhubung hanya ke simpul-simpul pada himpunan-himpunan yang lain. Graf tripartisi lengkap adalah adalah graf tripartisi yang semua simpul dari suatu himpunan terhubung ke semua simpul-simpul yang ada pada dua himpunan yang lain.

Pada jaringan listrik yang berbentuk graf tripartisi lengkap simpul-simpul menunjukkan rumah-rumah pada kota tersebut, sedangkan rusuk-rusuknya menunjukkan kabel yang menghubungkan listrik pada setiap rumah

di kota tersebut. Misalkan dalam kota terdapat 7 rumah yaitu , , ,

, , , dan . Rumah , , dan tidak dapat dihubungkan oleh

kabel karena antar rumah tersebut sangat berbahaya jika terdapat kabel listrik

yang melintas, begitupun dengan rumah dan serta rumah dan .

Berikut adalah graf yang menggambarkan jaringan listrik di kota tersebut.

Gambar 1.1 Jaringan Listrik kota

3

Jaringan listrik kota tersebut belum optimum oleh karena itu perlu dicari pohon perentang minimum. Kemudian dari hasil pencarian pohon perentang minimum didapatkan suatu jaringan listrik optimum. Selain mencari jaringan listrik optimum, permasalahan lain dalam jaringan listrik ini yang muncul adalah berapa banyak jaringan listrik yang dapat diterapkan, untuk mengetahuinya maka dicarilah banyaknya pohon perentang pada jaringan listrik kota tersebut.

Untuk menentukan banyaknya pohon perentang dari suatu graf terhubung, biasanya dilakukan dengan cara mendaftarkan semua pohon perentang yang mungkin bisa dibentuk dari graf tersebut. Namun hal ini akan memakan banyak waktu jika graf tersebut memiliki banyak simpul dan rusuk, sehingga perlu suatu metode yang lebih praktis untuk menghitung banyaknya pohon perentang pada suatu graf. Salah satu caranya yaitu dengan merepresentasikan graf tersebut dalam bentuk matriks.

Metode dalam menghitung banyaknya pohon perentang pada suatu graf yang berhubungan dengan matriks adalah dengan menentukan matriks

Lapalcian dari graf , kemudian menghitung kofaktor dari matriks Laplacian

tersebut. Cara ini terdapat dalam suatu teorema yang disebut dengan Teorema Matriks Pohon yang diperkenalkan oleh Khirchhoff. Selain dengan menghitung kofaktor matriks Laplacian, cara yang lain yaitu dengan menggunakan nilai eigen dari matriks Laplacian. Dalam skripsi ini yang dibahas hanya dengan menggunakan kofaktor matriks Laplacian saja.

4

Dalam beberapa graf khusus banyaknya pohon perentang dapat dibentuk dalam suatu rumus tergantung dari banyaknya simpul ataupun banyaknya rusuk. Dalam perhitungan banyaknya pohon perentang pada suatu graf sebelumnya telah dilakukan oleh Novia Dwi Rahmwati. Dalam skripsinya Novia Dwi Rahmawati (2010) membahas tentang perhitungan banyaknya pohon perentang pada graf bipartisi lengkap dengan menghitung nilai kofaktor dari matriks Laplacian dari beberapa graf bipartisi lengkap, kemudian dirumuskan dalam bentuk umum.

Dalam skripsi ini akan di bahas cara menghitung banyaknya pohon perentang pada graf tripartisi lengkap sesuai dengan menghitung kofaktor matriks Laplacian.

B. Batasan Masalah

Perhitungan banyaknya pohon perentang suatu graf dengan menggunakan matriks Laplacian terdapat dua cara yaitu dengan menggunakan kofaktor matriks Laplacian dan nilai eigen matriks Laplacian. Kemudian yang dibahas dalam skripsi ini adalah dengan menggunakan kofaktor matriks Laplacian.

C. Rumusan Masalah

1. Bagaimana cara menghitung banyaknya pohon perentang pada graf

tripartisi lengkap dengan matriks Laplacian ?

2. Bagaimana hasil perhitungan banyaknya pohon perentang pada graf

5

D. Tujuan Penulisan

1. Mengetahui cara menghitung banyaknya pohon perentang pada graf

tripartisi lengkap menggunakan matriks Lapalcian

2. Mengetahui banyaknya pohon perentang pada graf tripartisi lengkap.

E. Manfaat Penulisan

1. Bagi Penulis

Dengan mengetahui cara menghitung banyaknya pohon perentang pada graf Tripartisi lengkap menggunakan matriks Laplacian maka diharapkan dapat menambah referensi pengetahuan teori dan aplikasinya di bidang teori graf dan aljabar.

2. Bagi Ilmu Pengetahuan

Penulisan ini diharapkan dapat memberikan konstribusi bagi

pengembangan Teori Graf dan aljabar.

3. Bagi Instansi

Penulisan ini diharapkan dapat dijadikan sebagai salah satu referensi informasi bagi pihak yang berkepentingan.

6

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

A. Graf

1. Pengertian Graf

Definisi 2.1.1(Chartrand dan Lesniak, 1996:1)

Sebuah graf adalah himpunan tidak kosong dari objek-objek yang

dinamakan simpul dengan sebuah himpunan pasangan tidak berurutan dari simpul-simpul yang berbeda di yang disebut rusuk. Himpunan simpul

dinotasikan dan himpunan rusuk dinotasikan .

Gambar 2.1. Graf Contoh :

pada graf , maka :

Definisi 2.1.2 (Wilson,1985:11)

Dua simpul dan dikatakan berikatan (adjacent) jika terdapat sebuah

rusuk yang menghubungkannya, kemudian misalkan terdapat ,

7

Contoh :

Pada Gambar 2.1 pada graf , simpul berikatan dengan simpul dan

, tetapi simpul tidak berikatan dengan simpul . Sementara itu rusuk

hadir pada simpul dan , rusuk hadir pada simpul dan , dll.

2. Jenis - Jenis Graf

a. Berdasarkan Ada atau Tidaknya Arah

Berdasarkan ada atau tidaknya arah, graf dapat dikolompokkan menjadi dua yaitu Graf Tidak Berarah /undirected graph dan Graf Berarah/directed graph atau biasa disebut digraf

Definisi 2.1.3(Chartrand dan Lesniak,1996:25)

Sebuah digraf adalah sebuah himpunan berhingga yang terdiri dari objek-objek yang disebut dengan simpul bersama dengan himpunan pasangan

berurutan dari simpul-simpul yang berbeda di yaitu rusuk yang

berarah. Simpul dari dinotasikan dan rusuk dari dinotasikan

.

Dari definisi di atas dapat dikatakan bahwa digraf adalah graf yang mempunyai rusuk yang berarah Sedangkan jika tidak punya arah maka disebut dengan graf tidak berarah atau undirected graph yaitu sesuai dengan Definisi 2.1.1

Contoh :

Contoh graf tidak berarah adalah pada Gambar 2.1, sedangkan graf berarah adalah sebagai berikut:

8

Gambar 2.2. Graf : Graf Berarah

b. Berdasarkan Ada Atau Tidaknya Loop dan Rusuk Ganda

Berdasarkan ada atau tidaknya loop dan rusuk ganda dikelompokkan menjadi Graf Sederhana dan Graf Tidak Sederhana.

Definisi 2.1.4(Bondy dan Murty,1982:3)

Graf dikatakan sederhana jika tidak memuat gelang (loop) maupun rusuk ganda. Sedangkan graf yang memuat rusuk ganda atau gelang dinamakan graf tidak sederhana

Contoh :

Contoh graf sederhana adalah graf pada Gambar 2.1, sedangkan contoh graf tidak sederhana adalah pada Gambar 2.3.

9

3. Derajat Simpul (Degree vertex) Definisi 2.1.5(Rosen, 2012:652)

Derajat (degree) dari suatu graf tidak berarah adalah banyaknya rusuk yang hadir pada simpul tersebut. Jika terdapat loop pada simpul tersebut maka derajat simpul tersebut dihitung dua kali. Derajat dari simpul dinotasikan

Contoh :

Graf pada Gambar 2.3 derajat masing-masing simpulnya adalah

, , , , ,

, , , , dan

Teorema 2.1.6(Chartrand dan Lesniak, 1996:3)

Misalkan adalah sebuah graf tidak berarah dengan rusuk,

maka :

Bukti :

Setiap menghitung derajat suatu simpul di , maka suatu rusuk dihitung 1 kali. Karena setiap rusuk menghubungkan dua titik berbeda maka ketika menghitung derajat semua simpul, rusuk akan terhitung dua kali. Dengan demikian diperoleh bahwa jumlah semua derajat simpul graf sama dengan 2 kali jumlah rusuk graf .

10

4. Subgraf

Definisi 2.1.7(Chatrand dan Lesniak, 1996: 4)

Sebuah graf disebut subgraf (graf bagian) dari graf jika

dan .

Contoh :

Pada Gambar 2.1 pada graf maka salah satu subgrafnya adalah :

Gambar 2.4. Subgraf

B. Keterhubungan

1. Jalan, Jejak, Lintasan, Sirkuit, dan Sikel. Definisi 2.2.1(Grimaldi, 2004:515)

Misalkan dan adalah simpul dari sebuah graf . Maka jalan (Walk)

pada graf (graf tanpa loop) dari ke adalah sebuah barisan berhingga:

Dari simpul-simpul dan rusuk-rusuk dari , yang dimulai pada simpul

dan berakhir pada simpul dan melibatkan rusuk , dengan

. Panjang dari jalan adalah , yaitu banyaknya rusuk pada jalan.

(Ketika dan , maka jalan ini disebut dengan jalan kosong.

11

yaitu dengan . Maka jalan disebut terbuka jika simpul awal

dan simpul akhirnya berbeda, yaitu .

Contoh :

Pada graf , adalah sebuah jalan dengan

panjang 3, Sedangkan adalah sebuah jalan

dengan panjang 4.

Definisi 2.2.2(Chartrand dan Lesniak, 1996:17)

Misalkan adalah jalan pada graf , maka jejak (Trail) adalah jalan yang

tidak terdapat rusuk yang berulang. Contoh :

Pada graf , contoh jejak yaitu:

Definisi 2.2.3(Chatrand dan Lesniak, 1996:17)

Misalkan adalah jalan pada graf , maka lintasan (Path) adalah jalan

yang tidak terdapat simpul yang berulang. Contoh :

Pada graf , contoh lintasan yaitu :

Definisi 2.2.4(Chartrand dan Lesniak, 1996:18)

Sirkuit adalah jejak tertutup atau dapat dikatakan jalan tertutup yang tidak terdapat rusuk berulang.

Contoh :

12

Definisi 2.2.5(Grimaldi, 2004:516)

Sikel adalah lintasan tertutup atau dapat dikatakan jalan tertutup yang tidak terdapat simpul yang berulang

Contoh :

Pada graf , contoh sikel yaitu :

2. Graf Terhubung, Tak Terhubung, dan Komponen Terhubung Definisi 2.2.6(Grimaldi, 2003:517)

Misalkan adalah graf tidak berarah. Graf disebut terhubung

jika terdapat lintasan pada setiap dua simpul di , jika tidak terdapat

lintasan maka graf tersebut tidak terhubung atau disconnected.

Contoh graf terhubung adalah pada Gambar 2.1 yaitu graf sedangkan

graf tidak terhubung yaitu :

Gambar 2.5. Graf : Graf Tidak Terhubung

Definisi 2.2.7(Chartrand dan Lesniak,1997:18)

Komponen terhubung dari graf adalah subgraf terhubung dari graf yang tidak memuat subgraf terhubung yang lain dari graf . Misalkan dan

13

dan , maka . Banyaknya komponen dari dinotasikan

dengan Contoh:

Pada graf tak terhubung pada Gambar 2.5 yaitu graf memuat 5

komponen, dituliskan , misalnya saja , , , ,

dan . Graf memuat , , , , dan . Graf memuat

, , dan . Graf memuat . Graf memuat . Graf

memuat .

C. Graf Khusus

Beberapa graf khusus yang akan dijabarkan adalah graf Kosong, graf lengkap, graf partisi, graf tripartisi, dan graf tripartisi lengkap.

1. Graf Kosong/ Null Graph Definisi 2.3.1(Wilson, 1996:17)

Graf Kosong (Null Graph) adalah graf yang himpunan rusuknya kosong.

Graf kosong dengan simpul dinotasikan .

Gambar 2.6. Graf

2. Graf Lengkap (Complete Graph)

Definisi 2.3.2(Chartrand dan Lesniak, 1996: 6)

Sebuah graf disebut graf lengkap jika setiap dua titik yang berbeda dari graf tersebut saling terhubung. Graf lengkap dengan titik dinotasikan dengan

14

Gambar 2.7. Graf lengkap

3. Graf Tripartisi Lengkap (Complete Tripartite Graph) Definisi 2.3.3(Chatrand dan Lesniak,1996:8)

Sebuah graf dikatakan -partisi dengan , jika himpunan simpul

dapat dipartisi menjadi himpunan simpul yaitu , , …., ( yang

disebut dengan himpunan partisi) sedemikian sehingga setiap anggota dari

menghubungkan sebuah simpul dari ke sebuah simpul dari ,

dengan .

Definisi 2.3.4(Chatrand dan Lesniak,1996:8)

Graf k partisi lengkap G didefinisikan sebagai graf partisi dengan

himpunan partisinya itu mempunyai tambahan sifat yaitu jika

dan maka . Jika , maka graf

tersebut dinotasikan atau .

Definisi 2.3.5 (Bowles, 2004:2)

Graf tripartisi dilambangkan dengan . Graf tripartisi adalah graf yang

memuat tiga himpunan simpul, yaitu dan , dengan ,

, dan , dengan dan adalah banyaknya simpul pada

masing-masing himpunan simpul. Simpul-simpul dalam suatu himpunan terhubung hanya ke simpul-simpul pada himpunan-himpunan yang lain.

15

Dalam hal ini simpul-simpul yang terdapat pada hanya terhubung ke

simpul-simpul yang terdapat pada himpunan atau .

Definisi 2.3.6 (Bowles, 2004:2)

Graf Tripartisi Lengkap adalah graf tripartisi yang semua simpul-simpul dari suatu himpunan terhubung ke semua simpul-simpul yang ada pada dua himpunan yang lain.

Gambar 2.8. Graf Tripartisi Lengkap

Graf di atas adalah graf tripartisi lengkap maka menurut definisi:

, sehingga ,

sehingga

, sehingga

D. Pohon (Tree)

1. Pengertian Pohon

Definisi 2.4.1 (Chartrand dan Lesniak, 1996:57)

Pohon adalah graf terhubung yang tidak memiliki sikel. Gambar 2.9 menunjukkan pohon dengan 1,2,3, dan 4 simpul.

16

Teorema 2.4.2 (Rosen, 2012:752)

Sebuah pohon dengan banyaknya simpul mempunyai rusuk.

Bukti :

Misalkan banyaknya rusuk adalah sehingga dapat dituliskan :

Akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan induksi

matematika.

a. Untuk maka yaitu sebuah graf kosong,

yaitu pohon dengan 1 simpul.

b. Asumsikan bahwa berlaku untuk semua pohon dengan

banyaknya simpul dan banyaknya rusuk dengan

c. Akan ditunjukkan bahwa berlaku untuk dengan banyaknya

simpul

Jadi terbukti bahwa sebuah pohon mempunyai rusuk

2. Pohon Perentang (Spanning Tree) Definisi 2.4.3 (Rosen,2014:785)

Pohon perentang dari graf adalah subgraf dari yang merupakan pohon yang memuat setiap simpul pada graf

17

Pohon perentang dari graf yaitu :

Gambar 2.10. Pohon Perentang pada Graf

Selanjutnya suatu graf memiliki banyaknya pohon perentang yang berbeda-beda. Untuk mengetahui banyaknya pohon perentang suatu graf dapat dilakukan secara manual dengan mendaftarkan satu persatu pohon perentang graf tersebut. Selain dengan cara manual menghitung banyaknya pohon perentang suatu graf juga dapat dilakukan dengan metode

Deletion-Contraction.

Dasar dalam perhitungan Deletion-Contraction adalah dengan membagi graf menjadi dua bagian. Bagian yang pertama yaitu pohon perentang dari graf yang akan dihitung pohon perentangnya tanpa rusuk , sedangkan bagian yang lain yaitu pohon perentang dari graf yang akan dihitung pohon perentangnya dengan memampatkan rusuk .

Operasi Deletion-Contraction (Penghapusan-Pemampatan) pada graf menurut Sugeng Mardiyono (1996:53) yaitu :

1. Penghapusan yaitu menghapus rusuk dari graf , sehingga graf yang

18

2. Pemampatan, yaitu memampatan rusuk pada graf . Misalkan rusuk

dibentuk oleh dua simpul yaitu dan , kemudian rusuk dihapus dari

graf , setelah itu dan dihimpitkan. Sehingga graf yang dihasilkan

dari operasi ini disimbolkan

Contoh :

Gambar 2.11. Graf dan graf dari graf

Kemudian metode Deletion-Contraction akan digunakan untuk menghitung banyaknya pohon perentang pada suatu graf.

Teorema 2.4.4 (Mardiyono, 1996:54)

Misalkan terdapat sebuah graf , dan adalah banyaknya pohon

perentang dari graf . Jika , dengan bukan berupa loop. maka:

Bukti :

Pohon perentang dari graf terdiri dari pohon perentang yang tidak memuat rusuk dan pohon perentang yang memuat rusuk . Pohon

perentang dari graf graf yang tidak memuat rusuk yaitu adalah

19

Kemudian untuk setiap pohon perentang di yang memuat rusuk ,

terdapat korespondensi 1-1 dengan pohon perentang di , sehingga

sama dengan banyaknya pohon perentang pada graf yang memuat rusuk .

Misalkan pada graf pada Gambar 2.1 dipilih rusuk , sehingga

banyaknya pohon perentang pada graf yang memuat rusuk sama

dengan banyaknya pohon perentang pada graf . Dengan :

Gambar 2.12. Graf

Pohon perentang di yang memuat rusuk yaitu :

Gambar 2.13. Pohon perentang di yang memuat rusuk

Pohon perentang di , yaitu:

20

Langkah-langkah perhitungan banyaknya pohon perentang dengan metode Deletion-Contraction menurut Sugeng Mardiyono (1996:53-55) yaitu :

1. Menentukan suatu rusuk dari graf tersebut.

2. Membentuk graf dengan cara menghapus rusuk pada graf .

3. Membentuk graf dengan cara memampatan rusuk pada graf .

4. Menghitung banyaknya pohon perentang pada graf sesuai dengan

rumus pada Teorema 2.4.4

5. Mengulangi langkah 1 sampai dengan 4 untuk masing-masing graf yang

telah dihasilkan.

6. Mengulangi langkah 5 sampai diperoleh graf yang paling sederhana.

Contoh :

Misalkan terdapat graf sebagai berikut :

Gambar 2.15. Graf

Kemudian akan dihitung banyaknya pohon perentang dari graf tersebut. Sebelumnya akan ditentukan rusuk pada graf tersebut.

21

Maka :

Kemudian tentukan yaitu rusuk yang dihapus dan dipampatkan dari graf baru yang didapatkan sehingga menjadi :

Kemudian tentukan yaitu rusuk yang dihapus dan dipampatkan dari graf baru yang didapatkan sehingga menjadi :

E. Matriks

1. Matriks dan Operasi Matriks

Sebelum membahas lebih jauh tentang matriks terlebih dahulu akan di kemukakan definisi dari matriks.

22

Definisi 2.5.1(Anton,1991:22)

Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks.

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

Contoh :

Matriks pada contoh di atas mempunyai 3 baris dan 2 kolom sehingga ukurannya adalah 3 kali 2(ditulis 3 x 2). Angka pertama selalu menunjukkan banyaknya baris dan angka kedua menunjukkan banyaknya kolom.

2. Operasi Baris Elementer (OBE) dan Operasi Kolom Elementer (OKE)

Setelah membahas tentang definisi matriks dan operasi matriks selanjutnya akan diperkenalkan sebuah metode eliminasi yang dikenal dengan nama operasi baris elementer (OBE).

Definisi 2.5.2 (Anton, 1991:5)

Operasi baris elementer merupakan operasi aritmatika (penjumlahan dan perkalian) yang dikenakan pada setiap unsur dalam suatu baris pada sebuah matriks. Operasi baris elementer meliputi :

1) Pertukaran baris

2) Perkalian suatu baris dengan konstanta bukan nol

23

Definisi 2.5.3 (Lipschutz dan Lipson, 2001:76)

Operasi kolom elementer adalah operasi yang sama dengan operasi baris elementer namun dikenakan pada setiap unsur dalam suatu kolom pada sebuah matriks. Operasi kolom elementer meliputi :

1) Pertukaran kolom

2) Perkalian suatu kolm dengan konstantan bukan nol 3) Penjumlahan suatu kolom dengan kolom lainnya

3. Matriks Diagonal

Definisi 2.5.4 (Budhi, 1997:36)

Matriks berukuran yang entri bukan nolnya hanya ada pada diagonal,

yaitu entri pada disebut matriks diagonal.

Contoh :

F. Determinan

1. Pengertian Determinan

Definisi 2.6.1 ( Anton dan Rorres, 2010:93)

Misalkan terdapat matriks :

Determinan sebuah matriks dilambangkan dengan , yang

24

2. Perhitungan Determinan Matriks

a.Menggunakan ekspansi kofaktor

Sebelum membahas tentang cara menghitung determinan dengan menggunakan ekspansi kofaktor terlebih dahulu akan dikemukakan definisi dari kofaktor. Berikut adalah definisi dari kofaktor.

Definisi 2.6.2 (Anton,1991:77)

Jika adalah suatu matriks n x n, maka minor entri dinyatakan oleh

dan didefinisikan menjadi determinan submatriks yang didapatkan dengan menghapus baris ke i dan kolom ke j dari matriks . Bilangan

dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor entri .Atau dapat dituliskan :

Definisi 2.6.3(Hadley,1997:90)

Misalkan adalah matriks , maka menurut definisi dari determinan

maka determinan dari matriks dapat dituliskan :

Dengan adalah sembarang baris dari matriks .

Dalam menggunakan ekspansi kofaktor ini hanya satu elemen dari setiap baris dan kolom dari yang dapat digunakan. Misalkan ekspansi baris pertama, maka entri-entri yang akan digunakan hanyalah entri-entri pada baris pertama pada matriks . Hal ini juga berlaku untuk ekspansi kolom. Sehingga dapat dituliskan :

25

(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke-i) Dan

(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke-j) Contoh :

Hitunglah determinan matriks berikut :

b. Menggunakan reduksi baris

Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara langsung. Gagasan utama metode ini adalah untuk menerapkan operasi baris elementer. Contoh :

Hitunglah dengan :

Maka dengan mereduksi didapatkan

maka

26

maka

maka

maka 3. Sifat Determinan

Sifat determinan yang akan dibahas adalah determinan matriks yang dua barisnya ditukar.

Teorema 2.6.4 (Anton, 1991: 67)

Jika matriks adalah matriks yang didapatkan dari dengan menukarkan dua baris (kolom) dari maka

Bukti :

Misalkan terdapat matriks : dengan

kemudian dengan melakukan pertukaran baris : ,

misalkan , maka :

Kemudian jika pertukaran itu terjadi sebanyak kali maka dapat dituliskan :

27

4. Matriks Equi-Cofactor

Definisi 2.6.5 (Chen, 1976:225)

Sebuah matriks berukuran disebut sebagai matriks Equi-Cofactor jika

hasil penjumlahan entri-entri setiap baris dan setiap kolom dari matriks tersebut adalah (nol).

Lemma 2.6.6 (Chen, 1976:226)

Misalkan adalah matriks berukuran , jika hasil penjumlahan

entri-entri dari setiap baris dan setiap kolom dari matriks adalah , maka

kofaktor dari entri-entri setiap baris dari matriks adalah sama. Bukti :

Misalkan dengan ukuran ,

Kemudian pilih kofaktor pada baris ke- , dan pilih kolom ke- dan kolom ke- , serta asumsikan bahwa

Akan dibuktikan bahwa : , dengan

Kemudian pilih

Sehingga akan dibuktikan bahwa :

Kofaktor ke- dari matriks kofaktor ke- dari matriks

Atau dapat dituliskan : Dengan :

28

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) u  n

n w w s s r r     )1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w u w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw u r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n u w s s r r n u w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Dari matriks di atas dapat dituliskan bahwa :

...(1) ...(2)

Dengan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     )1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw u s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11 Dan

29

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Lalu pada matriks jumlahkan semua entri-entrinya pada setiap baris, maka

hasilnya yaitu :

... (3)

Sehingga matriks dapat dituliskan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n n r k k nk r n n n wn ww w w ws s w n r k k wk r w w w n w w w w w s w s w n r k k k w r w w w sn sw w s ss s s n r k k sk r s s s n s w s w s s s s s n r k k k s r s s s rn rw w r rs s r n r k k rk r r r r n r w r w r s r s r n r k k k r r r r r n w w s s n r k k k r n w w s s n r k k k r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( , 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( , 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( , 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( , 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( , 1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( , 1 ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 , 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 , 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Selanjutnya adalah menghitung determinan dari matriks . Perhitungan

determinan matriks akan dilakukan dengan menerapkan operasi kolom

30

Iterasi 1 :

, , ...., , , ..., , , ..., ,

, ...,

Diperoleh :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rs r r r r n r w r w r s r s r s r r r r r n w w s s s r n w w s s s r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Iterasi 2 :

, , ....,

Diperoleh :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns ns s n r n n n wn ww w w ws ws s w r w w w n w w w w w s w s w s w r w w w sn sw w s ss ss s s r s s s n s w s w s s s s s s s r s s s rn rw w r rs rs s r r r r r n r w r w r s r s r s r r r r r n w w s s s r n w w s s s r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 12 11

Dari iterasi kedua ini pertukaran baris terjadi sebanyak , terlihat

bahwa pada kolom ke- semua entri-entrinya bernilai negatif, sehingga

31

... (4)

Dengan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns ns s n r n n n wn ww w w ws ws s w r w w w n w w w w w s w s w s w r w w w sn sw w s ss ss s s r s s s n s w s w s s s s s s s r s s s rn rw w r rs rs s r r r r r n r w r w r s r s r s r r r r r n w w s s s r n w w s s s r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 12 11

Terlihat bahwa entri-entri pada matriks sama dengan entri-entri pada

matriks , sehingga , sehingga :

... (5)

Lalu masukkan (5) ke (2), sehingga diperoleh :

Karena , maka terbukti bahwa

Teorema 2.6.7 (Chen, 1976 :226)

Jika adalah matriks Equi-Cofactor maka semua kofaktor dari matriks bernilai sama.

32

Dari Lemma 2.6.6 telah terbukti bahwa ,

Dengan langkah yang sama pada pembuktian Lemma 2.6.6, kemudian pilih kofaktor pada kolom ke- , dan pilih baris ke- dan baris ke- , serta asumsikan bahwa

Akan dibuktikan bahwa : , dengan

Kemudian pilih . Sehingga akan dibuktikan bahwa :

Kofaktor ke- dari matriks kofaktor ke- dari matriks

Dengan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Dari matriks dapat dituliskan bahwa :

...(1) ...(2) Dengan :

33

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11 Dan

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     )1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw u w ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s rn rw w r rs s r rr r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Lalu pada matriks , jumlahkan semua entri-entrinya pada setiap kolom

sehingga hasilnya yaitu :

...(3)

34

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s n r k k kn n r k k kw n r k k w k n r k k ks n r k k s k n r k k kr n r k k r k n r k k k n r k k k n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( , 1 , 1 , 1 ) 1 ( , 1 , 1 ) 1 ( , 1 , 1 ) 1 ( , 1 2 , 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Selanjutnya adalah menghitung determinan dari matriks . Perhitungan

determinan matriks akan dilakukan dengan menerapkan operasi baris

elementer.

Iterasi 1 :

, , ...., , , ..., , , ..., ,

, ...,

Sehingga menghasilkan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s n s w s w s s s s s r s r s s s sn sw w s ss s s sr r s s s n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Iterasi 2 :

, , ....,

35

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s sn sw w s ss s s sr r s s s n r w r w r s r s r r r r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Pada iterasi 2 ini pertukaran baris terjadi sebanyak dan pada baris

semua entrinya bernilai negatif, sehingga menurut Teorema 2.6.4 maka

determinan matriks yaitu :

... (4)

Dengan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s sn sw w s ss s s sr r s s s n r w r w r s r s r r r r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Dapat dilihat bahwa entri-entri pada matrik sama dengan entri-entri pada

matriks , sehingga , sehingga :

...(5) Kemudian (5) dimasukkan di (2), sehingga diperoleh :

36

Karena , maka terbukti bahwa dengan

Dari pembuktian di atas dan menurut Lemma 2.6.6 maka terbukti bahwa

jika adalah matriks Equi-Cofactor maka semua kofaktor dari matriks

bernilai sama.

G. Representasi Graf dalam Matriks

Suatu graf dapat dituliskan dalam bentuk matriks, terdapat beberapa matriks yang mewakilkan suatu graf. Matriks yang akan dibahas adalah matriks ikatan, matriks derajat, dan matriks Laplacian.

a. Matriks Ikatan (Adjacency Matrix)

Definisi 2.7.1(Chartrand dan Lesniak,1997:1)

Misalkan graf dengan himpunan simpul dan

himpunan rusuk . Matriks ikatan adalah matriks

yang dapat dituliskan , dengan:

Pada matriks ikatan dari graf memiliki nilai 0 pada diagonal utamanya. Contoh :

37

4 3 2

1 v v v

v

4 3 2 1

v v v v

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

b. Matriks Derajat (Degree Matrix)

Definisi 2.7.4(Chartrand dan Lesniak, 1997:65)

Misalkan adalah graf dengan , matriks derajat

adalah yaitu matriks dengan :

Contoh :

Sebagai contoh, matriks derajat dari graf pada Gambar 2.1 yaitu :

4 3 2

1 v v v

v

4 3 2 1

v v v v

3 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 2

c. Matriks Laplacian (Laplacian Matrix)

Definisi 2.7.5 (Bronson, Costa, & Saccoman, 2014: 317)

Pada sebuah graf misalkan adalah matriks ikatan dan adalah matriks

derajat, maka matriks Laplacian dinotasikan dengan .

38

Contoh :

Matriks Laplacian pada Gambar 2.1 adalah :

Dari definisi matriks Laplacian diketahui bahwa matriks Laplacian diperoleh dari matriks derajat dikurangi matriks ikatan. Entri-entrinya

bernilai saat dan bernilai saat , sehingga hasil

penjumlahan semua entrinya pada tiap-tiap baris dan kolom adalah . Oleh karena itu menurut Teorema 2.6.7 matriks Laplacian adalah matriks

76

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.

Anton, H & Rorres, C. (2010). Elementary Linear Algebra: Application Version. 3rd. ed. Florida :John Wiley & Sons, Inc.

Bowles, Stepanie. (2004). The Linear Cutwidth of Complete Bipartite and

Tripartite Graph. Journal University of San Bernardino, California. Hlm.

1-16.

Bondy, J.A. & Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory With Application. New York: Elsevier Science Publishing Co., Inc.

Bronson, R., Costa, G. B. & Saccoman, J.T. (2014). Linear Algebra, Alogarithms,

Application, and Techniques. 3rd. ed. Amsterdam: Elsevier.

Budhi, Wono S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Chartrand, G & Lesniak, L. (1996). Graph and Digraph. 3rd. ed. New York:

Chapman & Hall/CRC.

Chen, W. K. (1976). Applied Graph Theory:Graphs and Electrical Network. rev. ed. New York: North Holland.

Dwi Rahmawati, Novia. (2010). Aplikasi Teorema Matriks Pohon untuk Menentukan Banyaknya Pohon Rentangan pada Graf Bipartisi Komplit . Abstrak Hasil Penelitian UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. Malang: Lembaga Penelitian UIN maulana Malik Ibrahim.

Modabish, Abdulhafidh. (2012). Enumeration Of The Number of Spanning Trees in Some Special Planar Maps. University Mohammed V-Agdal. 2012.

Thesis Abstract International. 2587.

Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics An Applied

Introduction. 5rd .ed. New York: Pearson Addison-Wesley.

Hadley, G. (1977). Linear Algebra. 7rd. ed. New York: Addison-Wesley

77

Kocay, William & Kreher, Donal D. (2005). Graphs, Algorithms, and

Optimization. New York: Chapman & Hall/CRC.

Lipschutz, Seymour and Lipson, Marc L. (2001). Schaum’s Outlines Aljabar

Linear. 3rd. ed. (Alih bahasa: Refina Indriasari, S.T., M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.

Mardiyono, Sugeng. (1996). Matematika Diskret. Yogyakarta: FMIPA UNY

Rossen, Kennet. (2012). Discrete Mathematics and it’s Application. 7rd. ed. New

York:McGraw-HillCompanies Inc.

Wilson, Robin J. (1985). Introduction to Graph Theory. 3rd .ed. New York:

35

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s sn sw w s ss s s sr r s s s n r w r w r s r s r r r r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Pada iterasi 2 ini pertukaran baris terjadi sebanyak dan pada baris

semua entrinya bernilai negatif, sehingga menurut Teorema 2.6.4 maka

determinan matriks yaitu :

... (4)

Dengan :

1 2  (r 1) r  (s 1) s  (w 1) w  n

n w w s s r r     ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 nn nw w n ns s n nr r n n n wn ww w w ws s w wr r w w w n w w w w w s w s w r w r w w w sn sw w s ss s s sr r s s s sn sw w s ss s s sr r s s s n r w r w r s r s r r r r r r r n r w r w r s r s r r r r r r r n w w s s r r n w w s s r r a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a                                                                                         ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 1 ( 2 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 2 2 ) 1 ( 1 2 ) 1 ( 2 22 21 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 12 11

Dapat dilihat bahwa entri-entri pada matrik sama dengan entri-entri pada

matriks , sehingga , sehingga :

...(5) Kemudian (5) dimasukkan di (2), sehingga diperoleh :

36

Karena , maka terbukti bahwa dengan

Dari pembuktian di atas dan menurut Lemma 2.6.6 maka terbukti bahwa

jika adalah matriks Equi-Cofactor maka semua kofaktor dari matriks

bernilai sama.

G. Representasi Graf dalam Matriks

Suatu graf dapat dituliskan dalam bentuk matriks, terdapat beberapa matriks yang mewakilkan suatu graf. Matriks yang akan dibahas adalah matriks ikatan, matriks derajat, dan matriks Laplacian.

a. Matriks Ikatan (Adjacency Matrix)

Definisi 2.7.1(Chartrand dan Lesniak,1997:1)

Misalkan graf dengan himpunan simpul dan

himpunan rusuk . Matriks ikatan adalah matriks

yang dapat dituliskan , dengan:

Pada matriks ikatan dari graf memiliki nilai 0 pada diagonal utamanya. Contoh :

37

4 3 2

1 v v v

v

4 3 2 1

v v v v

0 1 1 1

1 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 0

b. Matriks Derajat (Degree Matrix)

Definisi 2.7.4(Chartrand dan Lesniak, 1997:65)

Misalkan adalah graf dengan , matriks derajat

adalah yaitu matriks dengan :

Contoh :

Sebagai contoh, matriks derajat dari graf pada Gambar 2.1 yaitu :

4 3 2

1 v v v

v

4 3 2 1

v v v v

3 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 2

c. Matriks Laplacian (Laplacian Matrix)

Definisi 2.7.5 (Bronson, Costa, & Saccoman, 2014: 317)

Pada sebuah graf misalkan adalah matriks ikatan dan adalah matriks

derajat, maka matriks Laplacian dinotasikan dengan .

38

Contoh :

Matriks Laplacian pada Gambar 2.1 adalah :

Dari definisi matriks Laplacian diketahui bahwa matriks Laplacian diperoleh dari matriks derajat dikurangi matriks ikatan. Entri-entrinya

bernilai saat dan bernilai saat , sehingga hasil

penjumlahan semua entrinya pada tiap-tiap baris dan kolom adalah . Oleh karena itu menurut Teorema 2.6.7 matriks Laplacian adalah matriks

76

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard. (1991). Aljabar Linier Elementer. (Alih bahasa: Pantur Silaban, Ph. D & Drs. I. Nyoman Susila, M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.

Anton, H & Rorres, C. (2010). Elementary Linear Algebra: Application Version. 3rd. ed. Florida :John Wiley & Sons, Inc.

Bowles, Stepanie. (2004). The Linear Cutwidth of Complete Bipartite and

Tripartite Graph. Journal University of San Bernardino, California. Hlm.

1-16.

Bondy, J.A. & Murty, U.S.R. (1976). Graph Theory With Application. New York: Elsevier Science Publishing Co., Inc.

Bronson, R., Costa, G. B. & Saccoman, J.T. (2014). Linear Algebra, Alogarithms,

Application, and Techniques. 3rd. ed. Amsterdam: Elsevier.

Budhi, Wono S. (1995). Aljabar Linear. Jakarta: Gramedia Pustaka Utama.

Chartrand, G & Lesniak, L. (1996). Graph and Digraph. 3rd. ed. New York:

Chapman & Hall/CRC.

Chen, W. K. (1976). Applied Graph Theory:Graphs and Electrical Network. rev. ed. New York: North Holland.

Dwi Rahmawati, Novia. (2010). Aplikasi Teorema Matriks Pohon untuk Menentukan Banyaknya Pohon Rentangan pada Graf Bipartisi Komplit . Abstrak Hasil Penelitian UIN Maulana Malik Ibrahim Malang. Malang: Lembaga Penelitian UIN maulana Malik Ibrahim.

Modabish, Abdulhafidh. (2012). Enumeration Of The Number of Spanning Trees in Some Special Planar Maps. University Mohammed V-Agdal. 2012.

Thesis Abstract International. 2587.

Grimaldi, Ralph P. (2004). Discrete and Combinatorial Mathematics An Applied

Introduction. 5rd .ed. New York: Pearson Addison-Wesley.

Hadley, G. (1977). Linear Algebra. 7rd. ed. New York: Addison-Wesley

77

Kocay, William & Kreher, Donal D. (2005). Graphs, Algorithms, and

Optimization. New York: Chapman & Hall/CRC.

Lipschutz, Seymour and Lipson, Marc L. (2001). Schaum’s Outlines Aljabar

Linear. 3rd. ed. (Alih bahasa: Refina Indriasari, S.T., M.Sc.). Jakarta: Penerbit Erlangga.

Mardiyono, Sugeng. (1996). Matematika Diskret. Yogyakarta: FMIPA UNY

Rossen, Kennet. (2012). Discrete Mathematics and it’s Application. 7rd. ed. New

York:McGraw-HillCompanies Inc.

Wilson, Robin J. (1985). Introduction to Graph Theory. 3rd .ed. New York: