FUNGSI MONOTON ALJABAR-C*.

FUNGSI MONOTON ALJABAR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar

Sarjana Sains Program Studi Matematika

Konsentrasi Aljabar

Oleh

NIA YULIANTI 0900477

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

BANDUNG 2013

Fungsi Monoton Aljabar

Oleh Nia Yulianti

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Nia Yulianti 2013 Universitas Pendidikan Indonesia

Maret 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

NIA YULIANTI

FUNGSI MONOTON ALJABAR

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING :

Pembimbing I

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001

Pembimbing II

Dr. Sumanang Muhtar Gozali, M.Si. NIP. 197411242005011001

Diketahui oleh

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

ABSTRAK

Suatu aljabar adalah aljabar Banach yang memenuhi ‖ ‖

‖ ‖ . Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton matriks berorder jika

(1) untuk setiap pasangan dari matriks self-adjoint berukuran dengan nilai eigen pada . Jika (1) berlaku untuk sebarang unsur self-adjoint pada

dengan spektrum pada , maka kita katakan bahwa adalah monoton- . suatu fungsi monoton belum tentu merupakan monoton matriks dan suatu fungsi monoton matriks juga belum tentu merupakan monoton .

Kata kunci: monoton matriks, aljabar , self-adjoint, spektrum, monoton .

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Misalkan adalah fungsi real yang didefinisikan pada sebuah interval . Untuk matriks diagonal dengan entri berada pada , definisikan ( ). Jika adalah sebuah matriks Hermitian dimana nilai eigen berada pada , pilih matriks uniter sedemikian sehingga , dimana adalah matriks diagonal, kemudian definisikan

(Bhatia, 1997: 112).

Aljabar adalah suatu aljabar Banach* yang memenuhi ‖ ‖

‖ ‖ . Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton matriks berorder jika

(1) untuk setiap pasangan dari matriks self-adjoint berukuran dengan nilai eigen pada . Jika (1) berlaku untuk sebarang unsur self-adjoint pada

dengan spektrum pada , maka kita katakan bahwa adalah monoton- . Konsep ini berbeda dengan fungsi monoton pada bilangan real. Dengan demikian tentu saja terdapat perbedaan besar antara fungsi monoton numerik yang kontinu dengan fungsi monoton matriks yang kontinu. Suatu fungsi yang monoton pada real belum tentu merupakan fungsi monoton matriks. Fungsi monoton pada real bisa saja bukan merupakan fungsi monoton matriks dan sebaliknya.

2

Contohnya, walaupun dan adalah fungsi monoton pada interval [ , akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks.

Berdasarkan uraian di atas, penulis termotivasi untuk mengkaji lebih jauh konsep fungsi monoton matriks. Lebih dari itu, didalam makalah ini juga akan dibahas fungsi monoton aljabar .

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah yang akan dibahas pada makalah ini adalah:

1. Bagaimanakah sifat dari fungsi monoton matriks? 2. Bagaimanakah sifat dari fungsi monoton operator?

3. Bagaimanakah contoh fungsi yang monoton numerik tapi tidak monoton matriks?

4. Bagaimanakah sifat fungsi monoton aljabar ? 5. Bagaimanakah contoh fungsi monoton aljabar ?

1.3 Tujuan Penelitian

Sesuai dengan rumusan masalah tersebut, maka tujuan dari penelitian ini untuk:

1. Mengetahui sifat dari fungsi monoton matriks. 2. Mengetahui sifat dari fungsi monoton operator.

3. Memberikan contoh fungsi yang monoton numerik tapi tidak monoton matriks.

3

4. Mengetahui sifat fungsi monoton aljabar . 5. Memberikan contoh fungsi monoton aljabar .

1.4 Manfaat yang Diharapkan

Dengan adanya makalah ini diharapkan dapat diperoleh gambaran sifat-sifat fungsi monoton alajabar . Selanjutnya dapat diketahui keterkaitan fungsi monoton matriks, fungsi monoton operator dan fungsi monoton aljabar

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana yang telah diuraikan di atas, BAB 1 adalah pendahuluan yang berisi Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan Penelitian, dan Sistematika Penulisan.

Berikutnya, BAB 2 menjelaskan teori aljabar yang menjadi landasan utama masalah yang diteliti. Di dalamnya dibahas ruang vektor, ruang hasilkali dalam, ruang bernorm, barisan Cauchy, ruang lengkap, ruang Banach, ruang Hilbert, aljabar Banach, aljabar Banach , dan dibagian akhir dibahas spektrum dan kalkulus fungsional.

BAB 3 merupakan kajian pembuka dari masalah pada skripsi ini, yaitu mengenai fungsi monoton matriks. Di dalamnya dibahas fungsi monoton, fungsi monoton matriks, dan fungsi monoton operator berikut dengan contohnya. Selain itu dibahas pula matriks Hermitian dan matriks uniter, nilai eigen dan vektor eigen.

4

Selanjutnya, BAB 4 merupakan inti dari skripsi ini. Diawali dengan definisi fungsi monoton aljabar , kemudian dilanjutkan dengan pembahasan beberapa teorema terkait fungsi monoton aljabar dan terakhir diberikan contoh fungsi monoton aljabar .

Di bagian akhir, yaitu BAB 5 memuat penutup dari skripsi ini. Di dalamnya diuraikan kesimpulan dari skripsi ini. Kemudian di tutup dengan rekomendasi untuk penelitian lebih lanjut.

BAB 3

FUNGSI MONOTON MATRIKS

Pada bab ini akan dibahas fungsi monoton matriks. Dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks banyak istilah yang harus kita ketahui sebelumnya. Beberapa konsep yang akan dibahas yaitu matriks Hermitian atau matriks self-adjoint, nilai eigen dan vektor eigen. Selanjutnya dikenalkan fungsi monoton dan fungsi monoton operator.

3.1 Matriks Hermitian dan Matriks Uniter

Berikut akan dijelaskan matriks Hermitian dan matriks uniter yang menjadi syarat dalam mengkontruksi fungsi monoton matriks.

Definisi 3.1.1: Matriks Hermitian (Anton & Rorres, 2005: 823)

Misalkan matriks kompleks berukuran , definisikan ̅ . Matriks disebut matriks Hermitian jika . Matriks Hermitian disebut juga sebagai self-adjoint.

Berikut adalah beberapa contoh matriks yang merupakan matriks Hermitian:

Contoh 3.1.2:

Diberikan matriks berikut

[

34

Perhatikan konjuget dari matriks adalah

̅ [

],

selanjutnya diperoleh transpos konjuget dari matriks

̅ [ ]

Karena ̅ maka terbukti bahwa matriks adalah matriks Hermitian.

Contoh 3.1.3:

Akan ditunjukkan matriks [

]

adalah matriks Hermitian.

Perhatikan konjuget dari matriks adalah

̅ [ ]

.

Selanjutnya diperoleh transpos konjuget dari matriks

̅ [ ]

Karena ̅ maka terbukti bahwa matriks adalah matriks Hermitian.

Misalkan dan adalah matriks Hermitian. Notasi menyatakan

adalah semidefinit positif atau definit positif. Berikut akan dibahas semidefinit positif dan definit positif. Sebelumnya akan didefinisikan hasilkali dalam dari dua unsur .

35

Definisi 3.1.4: ( Bhatia, 1997: 2)

Misalkan . Bentuk umum hasilkali dalam pada didefinisikan

,

dimana adalah adjoint dari yaitu ̅

Definisi 3.1.5: (Bhatia, 1997: 4)

Misalkan sebuah matriks Hermitian. Jika untuk setiap , maka dikatakan semidefinit positif ( ). dikatakan definit positif jika

untuk setiap .

Berikut contoh matriks semidefinif positif.

Contoh 3.1.6:

Akan ditunjukkan matriks Hermitian dan berikut merupakan semidefinit positif:

. Ambil sebarang dengan . Perhatikan :

[ ]

36

dan

[ ]

.

Karena dan maka matriks Hermitian dan merupakan matriks semidefinit positif.

Selanjutnya akan dibahas matriks uniter beserta contohnya.

Definisi 3.1.7: Matriks Uniter (Anton & Rorres, 2005: 821)

Sebuah matriks persegi dengan entri bilangan kompleks disebut uniter jika _.

Berikut diberikan contoh matriks yang merupakan matriks uniter :

Contoh 3.1.8:

Diberikan matriks persegi sebagai berikut:

[

]

Akan ditunjukkan bahwa matriks merupakan matriks uniter. Sebelumnya akan dicari invers dari matriks .

( )[

]

37

[

]

[

].

Selanjutnya tentukan transpos konjuget dari matriks .

Perhatikan ̅ [

] dan ̅ [

]

Karena [

], maka matriks merupakan matriks uniter.

3.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan adalah sebuah matriks . Sebuah vektor yang taknol pada disebut vektor eigen dari jika adalah sebuah kelipatan skalar dari ; yaitu

untuk suatu . Selanjutnya skalar disebut nilai eigen dari , dan disebut sebagai vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Perhatikan bahwa

ekuivalen dengan

38

Kemudian disebut persamaan karakteristik matriks . Lebih lanjut adalah sebuah polinomial dalam yang disebut polinomial karakteristik.

Contoh 3.2.1:

Akan ditentukan nilai-nilai eigen dari matriks berikut :

Polinomial karakteristik adalah

det det

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Dengan demikian, nilai-nilai eigen dari matriks adalah dan .

Contoh 3.2.2:

Perhatikan matriks berikut:

[ _]

Sekarang kita akan menentukan nilai-nilai eigen dari matriks . Polinomial karakteristik adalah

det det[

] .

Sehingga persamaan karakteristiknya adalah . Dengan demikian didapatkan nilai-nilai eigen untuk matriks adalah dan .

39

Contoh 3.2.3:

Akan dicari nilai-nilai eigen dari matriks

[

]

Polinomial karakteristik adalah

det det[

]

Nilai-nilai eigen dari oleh karenanya harus memenuhi persamaan kubik

Dengan menyelesaikan persamaan dengan rumus kuadratik, kita dapatkan nilai-nilai eigen dari adalah

√ dan √ .

Contoh 3.2.4:

Sekarang kita akan menentukan nilai-nilai eigen dari matriks segitiga atas berikut:

[ ].

Karena determinan sebuah matriks segitiga adalah hasilkali entri-entrinya yang terletak pada diagonal utama, kita memperoleh

det det[

]

40

Sehingga, persamaan karakteristiknya adalah

, dan nilai-nilai eigennya adalah

, , , yang tidak lain merupakan entri-entri diagonal dari matriks .

3.3 Fungsi Monoton (Bartle & Sherbert, 2000: 149)

Misalkan , sebuah fungsi real dikatakan naik pada jika

dan , maka . Fungsi dikatakan naik kuat pada jika dan , maka . Selanjutnya sebuah fungsi real dikatakan turun pada jika dan , maka

. Fungsi dikatakan turun kuat pada jika dan

, maka .

Jika sebuah fungsi naik (atau turun) pada , maka dikatakan monoton pada . fungsi dikatakan monoton kuat pada jika naik kuat (atau turun kuat) pada .

Berikut merupakan beberapa contoh fungsi yang merupakan fungsi monoton:

1. Fungsi adalah fungsi monoton naik dan . 2. Fungsi pada interval [ adalah fungsi monoton

naik.

41

3.4 Fungsi Monoton Matriks

Berikut akan dibahas fungsi monoton matriks dan contohnya. Sebelumnya akan diberikan beberapa definisi terkait dengan matriks normal dan eksistensi matriks uniter pada sebuah matriks Hermitian.

Definisi 3.4.1 (Nering, 1970):

Matriks disebut normal jika .

Beberapa contoh matriks normal antara lain matriks diagonal, matriks uniter, dan matriks Hermitian.

Teorema 3.4.2 (Nering, 1970):

Sebarang matriks dapat didiagonalkan secara uniter jika dan hanya jika matriks normal.

Setiap matriks Hermitian adalah matriks normal. Sehingga sebarang matriks Hermitian dapat didiagonalkan secara uniter. Dengan kata lain jika matriks Hermitian maka pasti terdapat matriks uniter sedemikian sehingga .

Misalkan adalah fungsi real yang didefinisikan pada sebuah interval . Untuk matriks diagonal di mana entri berada pada , definisikan ( ). Jika adalah sebuah matriks Hermitian di mana nilai eigen berada pada , kita pilih matriks uniter

42

sedemikian sehingga , di mana adalah matriks diagonal, kemudian definisikan .

Dengan demikian kita dapat mendefinisikan untuk setiap matriks Hermitian (sebarang order) dimana nilai eigen berada pada .

Definisi 3.4.3: Fungsi Monoton Matriks (Hansen, Ji, & Tomiyama, 2002)

Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton matriks berorder jika untuk setiap pasangan dari matriks self-adjoint berukuran dengan nilai eigen pada dan , maka

.

Berikut adalah beberapa contoh fungsi monoton yang merupakan fungsi monoton matriks dan yang bukan termasuk fungsi monoton matriks.

1. Akan ditunjukkan fungsi adalah fungsi monoton matriks (pada setiap interval) dan .

Ambil sebarang matriks Hermitian dengan , artinya . Jika Maka dan ,

Selanjutnya akan ditunjukkan . Perhatikan:

43

,

,

, karena dan . Jadi terbukti adalah monoton matriks.

2. Akan ditunjukkan fungsi pada interval [ adalah fungsi monoton matriks.

Ambil sebarang matriks Hermitian dengan . Akan ditunjukkan

Perhatikan:

Jadi terbukti pada interval [ adalah fungsi monoton matriks.

3. Akan ditunjukkan fungsi pada [ bukan fungsi monoton matriks.

Akan dibuktikan terdapat matriks Hermitian di mana , akan tetapi

. Pilih

44

Dapat ditunjukkan bahwa nilai eigen dari matriks berada pada [ . Perhatikan untuk

,

det

, , ,

√

√ , . Jadi, [ .

Perhatikan untuk

,

det

, , ,

√

45

√

√

√ Jadi, [ .

Sekarang akan ditunjukkan

,

.

Akan ditunjukkan

Ambil sebarang dengan .

,

[ ]

.

Karena , maka semidefinit positif. Selanjutnya akan ditentukan nilai dari .

,

46

Diperoleh,

,

Akan ditunjukkan

Pilih , sedemikian sehingga

( ) ( ) , [ ]

[ ]

Terbukti bahwa

Jadi, pada [ bukan fungsi monoton matriks.

Dapat kita ketahui bahwa walaupun suatu fungsi merupakan fungsi monoton, akan tetapi belum tentu merupakan fungsi monoton matriks. Sebagai contoh, fungsi

pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks.

47

3.5 Fungsi Monoton Operator

Definisi 3.5.1: Fungsi Monoton Operator (Sergei dan Tomiyama: 2003)

Suatu fungsi kontinu didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton operator jika dan hanya jika fungsi tersebut monoton matriks berorder untuk setiap bilangan positif , dengan kata lain

⋂ .

Dari definisi di atas diketahui keterkaitan antara fungsi monoton matriks dan fungsi monoton operator. Jika suatu fungsi merupakan monoton operator maka juga merupakan monoton matriks. Akan tetapi, jika suatu fungsi merupakan monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.

Adapun beberapa contoh fungsi yang merupakan monoton operator adalah

(pada setiap interval) , dan pada interval [ , dan pada interval .

BAB 5

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Konsep fungsi monoton pada bilangan real berbeda dengan konsep fungsi monoton matriks. Suatu fungsi monoton pada bilangan real belum tentu merupakan fungsi monoton matriks, demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh, fungsi pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks. Adapun keterkaitan antara fungsi monoton matriks dan fungsi monoton operator yaitu jika suatu fungsi merupakan monoton operator maka juga merupakan monoton matriks. Sebaliknya, jika suatu fungsi merupakan monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.

Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan monoton jika untuk sebarang pasangan dari unsur self-adjoint pada suatu aljabar dengan spektrum pada dan , maka . Adapun contoh fungsi yang merupakan monoton yaitu fungsi

dan . Jika dikaitkan dengan fungsi monoton matriks, fungsi

monoton matriks belum tentu merupakan fungsi monoton .

5.2 Rekomendasi

Dalam makalah ini penulis membahas beberapa fungsi yang merupakan fungsi monoton aljabar- . Untuk bahan kajian selanjutnya kita bisa

56

aljabar , misalnya fungsi pada interval [ untuk . Selanjutnya juga bisa membuktikan fungsi merupakan monoton aljabar berdasarkan dimensi dari representasi tak tereduksi dari aljabar dengan memakai Teorema yang dikemukakan oleh Hansen, Ji, dan Tomiyama mengenai hubungan antara fungsi monoton , dimensi dari representasi tak tereduksi dari aljabar , dan pemetaan lengkap.

REFERENSI

Bartle, R.G. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

D. Silvestrov, S. & Tomiyama, J. (2003). Matrix Monotone Functions on -Algebras. Dalam Information Center for Mathematical Sciences [Online]. Tersedia: http://m.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/981982.pdf .

Hansen, F., Ji, G., & Tomiyama, J. (2002). Gaps between classes of matrix monotone functions. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0204204v1.pdf. Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New

York: John Wiley & Sons, Inc.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and Operator Theory. Sand Diego: Academic Press, Inc.

Nering. (1970). Linear Algebra and Matriks Theory Second Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc.

Osaka, H., D. Silvestrov, S., & Tomiyama, J. (2008). Monotone Operator functions on algebra. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0311072v1.pdf. Rajendra, B. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2011). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah. Bandung: UPI Press.

58

Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia, Tugas Akhir.

46

Diperoleh,

,

Akan ditunjukkan Pilih , sedemikian sehingga

( ) ( ) , [ ]

[ ]

Terbukti bahwa

Jadi, pada [ bukan fungsi monoton matriks.

Dapat kita ketahui bahwa walaupun suatu fungsi merupakan fungsi monoton, akan tetapi belum tentu merupakan fungsi monoton matriks. Sebagai contoh, fungsi pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks.

47

3.5 Fungsi Monoton Operator

Definisi 3.5.1: Fungsi Monoton Operator (Sergei dan Tomiyama: 2003)

Suatu fungsi kontinu didefinisikan pada interval dikatakan fungsi monoton operator jika dan hanya jika fungsi tersebut monoton matriks berorder untuk setiap bilangan positif , dengan kata lain

⋂ .

Dari definisi di atas diketahui keterkaitan antara fungsi monoton matriks dan fungsi monoton operator. Jika suatu fungsi merupakan monoton operator maka juga merupakan monoton matriks. Akan tetapi, jika suatu fungsi merupakan monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.

Adapun beberapa contoh fungsi yang merupakan monoton operator adalah (pada setiap interval) , dan pada interval [ , dan pada interval .

BAB 5

PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Konsep fungsi monoton pada bilangan real berbeda dengan konsep fungsi monoton matriks. Suatu fungsi monoton pada bilangan real belum tentu merupakan fungsi monoton matriks, demikian pula sebaliknya. Sebagai contoh, fungsi pada [ adalah fungsi monoton, akan tetapi bukan merupakan fungsi monoton matriks. Adapun keterkaitan antara fungsi monoton matriks dan fungsi monoton operator yaitu jika suatu fungsi merupakan monoton operator maka juga merupakan monoton matriks. Sebaliknya, jika suatu fungsi merupakan monoton matriks belum tentu merupakan monoton operator.

Sebuah fungsi kontinu yang didefinisikan pada interval dikatakan monoton jika untuk sebarang pasangan dari unsur self-adjoint pada suatu aljabar dengan spektrum pada dan , maka . Adapun contoh fungsi yang merupakan monoton yaitu fungsi

dan . Jika dikaitkan dengan fungsi monoton matriks, fungsi monoton matriks belum tentu merupakan fungsi monoton .

5.2 Rekomendasi

Dalam makalah ini penulis membahas beberapa fungsi yang merupakan fungsi monoton aljabar- . Untuk bahan kajian selanjutnya kita bisa membuktikan suatu fungsi lain yang lebih kompleks apakah merupakan monoton

56

aljabar , misalnya fungsi pada interval [ untuk . Selanjutnya juga bisa membuktikan fungsi merupakan monoton aljabar berdasarkan dimensi dari representasi tak tereduksi dari aljabar dengan memakai Teorema yang dikemukakan oleh Hansen, Ji, dan Tomiyama mengenai hubungan antara fungsi monoton , dimensi dari representasi tak tereduksi dari aljabar , dan pemetaan lengkap.

REFERENSI

Bartle, R.G. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

D. Silvestrov, S. & Tomiyama, J. (2003). Matrix Monotone Functions on -Algebras. Dalam Information Center for Mathematical Sciences [Online]. Tersedia: http://m.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/981982.pdf .

Hansen, F., Ji, G., & Tomiyama, J. (2002). Gaps between classes of matrix monotone functions. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0204204v1.pdf. Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New

York: John Wiley & Sons, Inc.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis With Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Murphy, G.J. (1990). C*-algebras and Operator Theory. Sand Diego: Academic Press, Inc.

Nering. (1970). Linear Algebra and Matriks Theory Second Edition. New York: John Wiley and Sons, Inc.

Osaka, H., D. Silvestrov, S., & Tomiyama, J. (2008). Monotone Operator functions on algebra. Tersedia: http://arxiv.org/pdf/math/0311072v1.pdf.

Rajendra, B. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.

Universitas Pendidikan Indonesia. (2011). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah. Bandung: UPI Press.

58

Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia, Tugas Akhir.