KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI MONOTON OPERATOR.
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Matematika
oleh
HANIF TSUROIYAH
0905608
PROGRAM STUDI METEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUANALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
2013
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZHASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
Oleh
Hanif Tsuroiyah
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Hanif Tsuroiyah 2013
Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
HANIF TSUROIYAH
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH
PEMBIMBING
PEMBIMBING I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si.
NIP. 196901191993031001
PEMBIMBING II
Dr. Sumanang Muhtar Gozali, S.Si., M.Si.
NIP. 197411242005011001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D.
NIP. 196101121987031003
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
Sebuah fungsi
dikatakan monoton matriks order jika untuk
setiap
yang nilai eigennya pada dan
maka
. Jika
fungsi monoton matriks order
untuk semua
maka fungsi disebut fungsi
.Tidak semua fungsi
monoton operator, dengan kata lain
⋂
monoton merupakan fungsi monoton operator. Hiroshi Hasegawa dan Denes Petz
memperkenalkan fungsi yang memiliki parameter, selanjutnya dengan
menggunakan konsep fungsi rata-rata dibuktikan bahwa fungsi yang memiliki
parameter ini adalah fungsi monoton operator.
Kata Kunci: monoton matriks, monoton operator, fungsi Petz-Hasegawa,
fungsirata-rata Petz-Hasegawa.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
ABSTRAK
i
KATA PENGANTARii
UCAPAN TERIMA KASIHiii
DAFTAR ISI
v
DAFTAR SIMBOL
vii
BAB 1 PENDAHULUAN ................................................................................. 1
1.1 LatarBelakangMasalah ............................................................................ 1
1.2 RumusanMasalah .................................................................................... 3
1.3 TujuanPenelitian .................................................................................... 3
1.4 ManfaatPenelitian ................................................................................... 3
1.5 Sistematika Penulisan ............................................................................ 4
BAB 2 FUNGSI MONOTON OPERATOR ................................................... 5
2.1 Kemonotonan ..........................................................................................5
2.2 KekonvekandanKekonkavan .................................................................. 6
2.3 FungsiMonotonOperator ......................................................................... 11
BAB 3 FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA ................................... 22
3.1 Fungsi Rata-Rata ..................................................................................22
3.2 Sifat-sifat Rata-Rata ............................................................................. 24
3.2.1 Simetris .......................................................................................24
3.2.2 Homogen ....................................................................................24
3.2.3 Simetris-Homogen ......................................................................26
3.2.4 Kuat ............................................................................................26
3.3 FungsiPetz-Hasegawa ..........................................................................27
3.4 Fungsi Rata-rata Petz-Hasegawa ......................................................... 28
3.5 SifatInternalitas .....................................................................................31
3.6 Kaitan Fungsi Petz-Hasegawa dengan Fungsi Monoton Operator ......37
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 4 PENUTUP..............................................................................................43
4.1 Kesimpulan ...........................................................................................43
4.2 Rekomendasi .........................................................................................43
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal
pertidaksamaan. Untuk pertidaksamaan yang sederhana dapat digunakan metode
kuadrat, yaitu menyelesaikan pertidaksamaan dengan memanfaatkan sifat bahwa
untuk setiap bilangan real
berlaku
, ketaksamaan ini membantu dalam
membuktikan kataksamaan lain. Ketaksamaan segitiga juga dapat dimanfaatkan
unutk menyelesaikan soal pertidaksamaan. Soal pertidaksamaan yang lebih rumit
dapat diselesaikan dengan memanfaatkan ketaksamaan fungsi rata-rata geometri
dan rata-rata aritmatika atau dengan kataksamaan fungsi rata-rata lainnya.
Terdapat beberapa macam fungsi rata-rata misalnya fungsi rata-rata
aritmatika, fungsi rata-rata harmonik dan fungsi rata-rata geometrik. Ketiga
fungsi rata-rata dengan dua variabel tersebut adalah
, dan
√
,
.
Salah satu sifat yang dipenuhi oleh fungsi rata-rata adalah sifat
keinternalan. Rata-rata dari dua variabel selalu berada pada interval nilai
minimum dan nilai maksimum dari kedua nilai itu, yaitu:
(1.1)
Pada tahun 1996 Denes Petz dan Hiroshi Hasegawa memperkenalkan
fungsi
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
2
(1.2)
{
Selanjutnya Adam Besenyei (2012) memperkenalkan sebuah konsep fungsi
rata-rata baru dengan menggunakan fungsi Petz-Hasegawa. Konsep ini
selanjutnya disebut fungsi rata-rata Petz-Hasegawa yang didefinisikan sebagai
berikut:
Untuk
(1.3)
{
Fungsi
simetris
dalam
untuk semua
menganggap
terhadap
titik
,
sehingga
. Oleh karena itu kita selalu
.
Fungsi rata-rata Petz-Hasegawa tidak seperti fungsi rata-rata aritmatika,
fungsi rata-rata harmonik maupun fungsi rata-rata geometrik. Perbedaan yang
paling mencolok adalah fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki nilai parameter
antara
sampai dengan . Walaupun ada fungsi rata-rata lain yang memiliki
parameter, namun fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki keunikan yang tidak
dimiliki oleh fungsi rata-rata lain. Diantara keunikan fungsi rata-rata PetzHasegawa adalah memiliki titik yang mengakibatkan fungsi rata-rata PetzHasegawa simetris yaitu pada saat nilai parameter
, sehingga
.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
3
Pada skripsi ini akan dibahas sifat-sifat khusus yang dimiliki oleh fungsi
Petz-Hasegawa dan kaitannya dengan fungsi monoton operator, yaitu sebuah
fungsi kontinu yang mempertahankan urutan matriks.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada
skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana konstruksi fungsi Petz-Hasegawa?
2. Bagaimana sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa?
3. Bagaimana kaitan fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton operator?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah di muka, maka penelitian ini bertujuan
untuk:
1. Mengetahui konstruksi fungsi Petz-Hasegawa.
2. Mengetahui sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa.
3. Mengetahui kaitan antara fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton
operator.
1.4 Manfaat Penelitian
Dengan menulis skripsi ini diharapkan dapat memperoleh gambaran
tentang sifat-sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa. Selanjutnya dapat mengetahui
kaitan antara fungsi Petz-Hasegawa, fungsi monoton matriks, dan fungsi rata-rata
Petz-Hasegawa.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
4
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana diuraikan di muka, Bab 1
adalah bab pendahuluan yang berisi Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan
Penelitian, Manfaat Penelitian, dan Sistematika Penulisan.
Berikutnya, Bab 2 menjelaskan teori fungsi monoton operator yang
menjadi landasan masalah yang diteliti. Didalamnya dijelaskan Kemonotonan,
Kekonveksan dan Kekonkafan, Fungsi Monoton Operator.
Selanjutnya, Bab 3 merupakan inti dari skripsi ini dimana di dalamnya
dijelaskan fungsi rata-rata yang di dalamnya dijelaskan pengertian dan sifat-sifat
dari fungsi rata-rata, pengertian fungsi Petz-Hasegawa, fungsi rata-rata PetzHasegawa, dan sifat keinternalan yang kemudian mengarah ke pembuktian
Teorema Petz-Hasegawa.
Bagian akhir, yaitu Bab 4, merupakan penutup dari skripsi ini. Di
dalamnya diuraikan kesimpulan dari skripsi ini serta rekomendasi untuk
penelitian lebih lanjut.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 4
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah disampaikan dan hasil temuan
diperoleh kesimpulan bahwa:
1. Fungsi Petz-Hasegawa diperkenalkan oleh Denes Petz dan Hirosi
Hasegawa (1996). Fungsi ini melibatkan parameter dan definisi fungsinya
dibagi menjadi tiga kasus (persamaan 3.7).
2. Nilai dari fungsi rata-rata Petz-Hasegawa berada diantara nilai fungsi ratarata aritmatika dan fungsi rata-rata harmonik. Pada nilai parameter
tertentu, fungsi rata-rata Petz-Hasegawa sama dengan fungsi rata-rata
yang telah kita kenal sebelumnya yaitu fungsi rata-rata harmonik, fungsi
logaritmik, dan fungsi rata-rata kuasa.
3. Berdasarkan kajian yang dijelaskan dalam skripsi ini diperoleh
kesimpulan bahwa fungsi Petz-Hasegawa merupakan fungsi monoton
operator.
4.2 Rekomendasi
Dalam skripsi ini penulis membahas fungsi rata-rata Petz-Hasegawa
yang parameternya hanya
yang digunakan untuk membuktikan
bahwa fungsi Petz-Hasegawa merupakan fungsi monoton operator. Fungsi
yang nilai parameternya lebih luas terdapat dalam fungsi rata-rata Stolarsky
yang telah disinggung pada skripsi ini. Fungsi rata-rata Petz-Hasegawa dapat
dikaitkan dengan operator rata-rata. Kajian mengenai operator rata-rata
dengan fungsi rata-rata Petz-Hasegawa menjadi kajian tersendiri yang lebih
menarik karena akan lebih melibatkan banyak hal.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
Barlte, G. R. & Sherbert, R. D.. (2000). Introduction to Real Analysis, Third
Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Besenyei, A.. (2012). The Hasegawa-Petz Mean: Properties and Inequalities.
Hungary: Departement of Applied Analysis, Eotvos Lorand University.
Besenyei, A. & Petz, D.. (2011). Completely Positive Mappings and Mean
Matrices. Linear Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Bhatia, R.. (1996). Matrix Analysis. New York: Springer.
. (2008). Article: The Logarithmic Mean. New Delhi: Theoretical Statistics
and Mathematics Unit Indian Statistical Institute Delhi Centre 7, SJS
Sansanwal Marg.
Churchill, V. R. & Ward B. J. (1990). Complex Variables and Its Applications.
Singapore: McGraw-Hill.
Dedy, E. & Sumiaty, E. (2001). Fungsi Variabel Kompleks. Bandung: Universitas
Pendidikan Indonesia.
Furuta, T.. (2012 ). Elementary Proof of Petz–Hasegawa Theorem. Springer.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Polya, G. (1934). Inequalities. London: Cambridge
University Press.
Howard, A. & Rorres, C.. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Hansen, F.. (2009). Some Operator Monotone Function. Linear Algebra and its
Applications, Elsevier inc.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Horn, A. R. & Johnson, R. C.. 1990. Matrix Analysis. New York: Cambridge
University Press.
Szabo, V.E.S.. (2007). A class of Matrix Monotone Function. Linear Algebra and
its Applications, Elsevier inc.
Uchiyama, M.. (2000). Operator Monotone Functions which Are Defined
Implicitly and Operator Inequalities. Journal of Functional Analysis,
doi:10.1006_jfan.2000.3617, at http:__www.idealibrary.com.
. (2010). Majorization and Some Operator Monotone Function. Linear
Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Concave Function. (2012). Wikipedia: The free Encyclopedia [Online]. Tersedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function [8 Mei 2012].
www.math.toronto.edu/barbeau/agmproof.pdf :diunduh pada 3/27/2012 ,10:29
Am
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
MONOTON OPERATOR
SKRIPSI
Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains
pada Program Studi Matematika
oleh
HANIF TSUROIYAH
0905608
PROGRAM STUDI METEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUANALAM
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
BANDUNG
2013
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZHASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
Oleh
Hanif Tsuroiyah
Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar
Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
© Hanif Tsuroiyah 2013
Universitas Pendidikan Indonesia
Maret 2013
Hak Cipta dilindungi undang-undang.
Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,
dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
HANIF TSUROIYAH
KAITAN FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA DENGAN FUNGSI
MONOTON OPERATOR
DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH
PEMBIMBING
PEMBIMBING I
Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si.
NIP. 196901191993031001
PEMBIMBING II
Dr. Sumanang Muhtar Gozali, S.Si., M.Si.
NIP. 197411242005011001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,
Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D.
NIP. 196101121987031003
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
ABSTRAK
Sebuah fungsi
dikatakan monoton matriks order jika untuk
setiap
yang nilai eigennya pada dan
maka
. Jika
fungsi monoton matriks order
untuk semua
maka fungsi disebut fungsi
.Tidak semua fungsi
monoton operator, dengan kata lain
⋂
monoton merupakan fungsi monoton operator. Hiroshi Hasegawa dan Denes Petz
memperkenalkan fungsi yang memiliki parameter, selanjutnya dengan
menggunakan konsep fungsi rata-rata dibuktikan bahwa fungsi yang memiliki
parameter ini adalah fungsi monoton operator.
Kata Kunci: monoton matriks, monoton operator, fungsi Petz-Hasegawa,
fungsirata-rata Petz-Hasegawa.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR ISI
ABSTRAK
i
KATA PENGANTARii
UCAPAN TERIMA KASIHiii
DAFTAR ISI
v
DAFTAR SIMBOL
vii
BAB 1 PENDAHULUAN ................................................................................. 1
1.1 LatarBelakangMasalah ............................................................................ 1
1.2 RumusanMasalah .................................................................................... 3
1.3 TujuanPenelitian .................................................................................... 3
1.4 ManfaatPenelitian ................................................................................... 3
1.5 Sistematika Penulisan ............................................................................ 4
BAB 2 FUNGSI MONOTON OPERATOR ................................................... 5
2.1 Kemonotonan ..........................................................................................5
2.2 KekonvekandanKekonkavan .................................................................. 6
2.3 FungsiMonotonOperator ......................................................................... 11
BAB 3 FUNGSI RATA-RATA PETZ-HASEGAWA ................................... 22
3.1 Fungsi Rata-Rata ..................................................................................22
3.2 Sifat-sifat Rata-Rata ............................................................................. 24
3.2.1 Simetris .......................................................................................24
3.2.2 Homogen ....................................................................................24
3.2.3 Simetris-Homogen ......................................................................26
3.2.4 Kuat ............................................................................................26
3.3 FungsiPetz-Hasegawa ..........................................................................27
3.4 Fungsi Rata-rata Petz-Hasegawa ......................................................... 28
3.5 SifatInternalitas .....................................................................................31
3.6 Kaitan Fungsi Petz-Hasegawa dengan Fungsi Monoton Operator ......37
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 4 PENUTUP..............................................................................................43
4.1 Kesimpulan ...........................................................................................43
4.2 Rekomendasi .........................................................................................43
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Terdapat beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan soal
pertidaksamaan. Untuk pertidaksamaan yang sederhana dapat digunakan metode
kuadrat, yaitu menyelesaikan pertidaksamaan dengan memanfaatkan sifat bahwa
untuk setiap bilangan real
berlaku
, ketaksamaan ini membantu dalam
membuktikan kataksamaan lain. Ketaksamaan segitiga juga dapat dimanfaatkan
unutk menyelesaikan soal pertidaksamaan. Soal pertidaksamaan yang lebih rumit
dapat diselesaikan dengan memanfaatkan ketaksamaan fungsi rata-rata geometri
dan rata-rata aritmatika atau dengan kataksamaan fungsi rata-rata lainnya.
Terdapat beberapa macam fungsi rata-rata misalnya fungsi rata-rata
aritmatika, fungsi rata-rata harmonik dan fungsi rata-rata geometrik. Ketiga
fungsi rata-rata dengan dua variabel tersebut adalah
, dan
√
,
.
Salah satu sifat yang dipenuhi oleh fungsi rata-rata adalah sifat
keinternalan. Rata-rata dari dua variabel selalu berada pada interval nilai
minimum dan nilai maksimum dari kedua nilai itu, yaitu:
(1.1)
Pada tahun 1996 Denes Petz dan Hiroshi Hasegawa memperkenalkan
fungsi
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
2
(1.2)
{
Selanjutnya Adam Besenyei (2012) memperkenalkan sebuah konsep fungsi
rata-rata baru dengan menggunakan fungsi Petz-Hasegawa. Konsep ini
selanjutnya disebut fungsi rata-rata Petz-Hasegawa yang didefinisikan sebagai
berikut:
Untuk
(1.3)
{
Fungsi
simetris
dalam
untuk semua
menganggap
terhadap
titik
,
sehingga
. Oleh karena itu kita selalu
.
Fungsi rata-rata Petz-Hasegawa tidak seperti fungsi rata-rata aritmatika,
fungsi rata-rata harmonik maupun fungsi rata-rata geometrik. Perbedaan yang
paling mencolok adalah fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki nilai parameter
antara
sampai dengan . Walaupun ada fungsi rata-rata lain yang memiliki
parameter, namun fungsi rata-rata Petz-Hasegawa memiliki keunikan yang tidak
dimiliki oleh fungsi rata-rata lain. Diantara keunikan fungsi rata-rata PetzHasegawa adalah memiliki titik yang mengakibatkan fungsi rata-rata PetzHasegawa simetris yaitu pada saat nilai parameter
, sehingga
.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
3
Pada skripsi ini akan dibahas sifat-sifat khusus yang dimiliki oleh fungsi
Petz-Hasegawa dan kaitannya dengan fungsi monoton operator, yaitu sebuah
fungsi kontinu yang mempertahankan urutan matriks.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, maka rumusan masalah yang akan dibahas pada
skripsi ini sebagai berikut:
1. Bagaimana konstruksi fungsi Petz-Hasegawa?
2. Bagaimana sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa?
3. Bagaimana kaitan fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton operator?
1.3 Tujuan Penelitian
Sesuai dengan rumusan masalah di muka, maka penelitian ini bertujuan
untuk:
1. Mengetahui konstruksi fungsi Petz-Hasegawa.
2. Mengetahui sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa.
3. Mengetahui kaitan antara fungsi Petz-Hasegawa dengan fungsi monoton
operator.
1.4 Manfaat Penelitian
Dengan menulis skripsi ini diharapkan dapat memperoleh gambaran
tentang sifat-sifat fungsi rata-rata Petz-Hasegawa. Selanjutnya dapat mengetahui
kaitan antara fungsi Petz-Hasegawa, fungsi monoton matriks, dan fungsi rata-rata
Petz-Hasegawa.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
4
1.5 Sistematika Penulisan
Skripsi ini dibagi menjadi lima bab. Sebagaimana diuraikan di muka, Bab 1
adalah bab pendahuluan yang berisi Latar Belakang, Rumusan Masalah, Tujuan
Penelitian, Manfaat Penelitian, dan Sistematika Penulisan.
Berikutnya, Bab 2 menjelaskan teori fungsi monoton operator yang
menjadi landasan masalah yang diteliti. Didalamnya dijelaskan Kemonotonan,
Kekonveksan dan Kekonkafan, Fungsi Monoton Operator.
Selanjutnya, Bab 3 merupakan inti dari skripsi ini dimana di dalamnya
dijelaskan fungsi rata-rata yang di dalamnya dijelaskan pengertian dan sifat-sifat
dari fungsi rata-rata, pengertian fungsi Petz-Hasegawa, fungsi rata-rata PetzHasegawa, dan sifat keinternalan yang kemudian mengarah ke pembuktian
Teorema Petz-Hasegawa.
Bagian akhir, yaitu Bab 4, merupakan penutup dari skripsi ini. Di
dalamnya diuraikan kesimpulan dari skripsi ini serta rekomendasi untuk
penelitian lebih lanjut.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
BAB 4
PENUTUP
4.1 Kesimpulan
Berdasarkan rumusan masalah yang telah disampaikan dan hasil temuan
diperoleh kesimpulan bahwa:
1. Fungsi Petz-Hasegawa diperkenalkan oleh Denes Petz dan Hirosi
Hasegawa (1996). Fungsi ini melibatkan parameter dan definisi fungsinya
dibagi menjadi tiga kasus (persamaan 3.7).
2. Nilai dari fungsi rata-rata Petz-Hasegawa berada diantara nilai fungsi ratarata aritmatika dan fungsi rata-rata harmonik. Pada nilai parameter
tertentu, fungsi rata-rata Petz-Hasegawa sama dengan fungsi rata-rata
yang telah kita kenal sebelumnya yaitu fungsi rata-rata harmonik, fungsi
logaritmik, dan fungsi rata-rata kuasa.
3. Berdasarkan kajian yang dijelaskan dalam skripsi ini diperoleh
kesimpulan bahwa fungsi Petz-Hasegawa merupakan fungsi monoton
operator.
4.2 Rekomendasi
Dalam skripsi ini penulis membahas fungsi rata-rata Petz-Hasegawa
yang parameternya hanya
yang digunakan untuk membuktikan
bahwa fungsi Petz-Hasegawa merupakan fungsi monoton operator. Fungsi
yang nilai parameternya lebih luas terdapat dalam fungsi rata-rata Stolarsky
yang telah disinggung pada skripsi ini. Fungsi rata-rata Petz-Hasegawa dapat
dikaitkan dengan operator rata-rata. Kajian mengenai operator rata-rata
dengan fungsi rata-rata Petz-Hasegawa menjadi kajian tersendiri yang lebih
menarik karena akan lebih melibatkan banyak hal.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
DAFTAR PUSTAKA
Barlte, G. R. & Sherbert, R. D.. (2000). Introduction to Real Analysis, Third
Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Besenyei, A.. (2012). The Hasegawa-Petz Mean: Properties and Inequalities.
Hungary: Departement of Applied Analysis, Eotvos Lorand University.
Besenyei, A. & Petz, D.. (2011). Completely Positive Mappings and Mean
Matrices. Linear Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Bhatia, R.. (1996). Matrix Analysis. New York: Springer.
. (2008). Article: The Logarithmic Mean. New Delhi: Theoretical Statistics
and Mathematics Unit Indian Statistical Institute Delhi Centre 7, SJS
Sansanwal Marg.
Churchill, V. R. & Ward B. J. (1990). Complex Variables and Its Applications.
Singapore: McGraw-Hill.
Dedy, E. & Sumiaty, E. (2001). Fungsi Variabel Kompleks. Bandung: Universitas
Pendidikan Indonesia.
Furuta, T.. (2012 ). Elementary Proof of Petz–Hasegawa Theorem. Springer.
Hardy, G.H., Littlewood, J.E., Polya, G. (1934). Inequalities. London: Cambridge
University Press.
Howard, A. & Rorres, C.. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New
York: John Wiley & Sons, Inc.
Hansen, F.. (2009). Some Operator Monotone Function. Linear Algebra and its
Applications, Elsevier inc.
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu
Horn, A. R. & Johnson, R. C.. 1990. Matrix Analysis. New York: Cambridge
University Press.
Szabo, V.E.S.. (2007). A class of Matrix Monotone Function. Linear Algebra and
its Applications, Elsevier inc.
Uchiyama, M.. (2000). Operator Monotone Functions which Are Defined
Implicitly and Operator Inequalities. Journal of Functional Analysis,
doi:10.1006_jfan.2000.3617, at http:__www.idealibrary.com.
. (2010). Majorization and Some Operator Monotone Function. Linear
Algebra and its Applications, Elsevier inc.
Concave Function. (2012). Wikipedia: The free Encyclopedia [Online]. Tersedia:
http://en.wikipedia.org/wiki/Concave_function [8 Mei 2012].
www.math.toronto.edu/barbeau/agmproof.pdf :diunduh pada 3/27/2012 ,10:29
Am
Hanif Tsuroiyah, 2013
Kaitan Fungsi Rata-Rata Petz-Hasegawa Dengan Fungsi Monoton Operator
Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu