MATRIKS HERMITIAN DAN FUNGSI MONOTON OPERATOR.

MATRIKS HERMITIAN DAN FUNGSI MONOTON OPERATOR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat untuk Memperoleh Gelar

Sarjana Sains Program Studi Matematika

Konsentrasi Aljabar

Oleh

IRMATUL HASANAH 0905927

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG 2013

Matriks Hermitian dan Fungsi

Monoton Operator

Oleh Irmatul Hasanah

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Irmatul Hasanah 2013 Universitas Pendidikan Indonesia

Maret 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian, dengan dicetak ulang, difoto kopi, atau cara lainnya tanpa ijin dari penulis.

IRMATUL HASANAH

MATRIKS HERMITIAN DAN FUNGSI MONOTON OPERATOR DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH

PEMBIMBING:

Pembimbing I

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si NIP. 196901191993031001

Pembimbing II

Dr. Sumanang Muhtar Gozali, M.Si NIP. 197411242005011001

Mengetahui

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

ABSTRAK

Suatu matriks Hermitian adalah matriks kompleks berukuran yang memenuhi dimana adalah adjoin dari dan didefinisikan sebagai ̅ Matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik, diantaranya matriks Hermitian dapat didiagonalkan secara uniter, artinya terdapat matriks uniter sehingga membentuk matriks diagonal . Kemudian matriks Hermitian memiliki nilai eigen berupa bilangan real.

Dengan karakteristik-karakteristik tersebut, dapat didefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian. Suatu fungsi real yang kontinu pada interval disebut monoton operator pada jika untuk setiap matriks Hermitian yang nilai eigennya terletak di dan maka . Selanjutnya, pada skripsi ini akan dibahas beberapa contoh fungsi monoton yang juga merupakan fungsi monoton operator seperti fungsi pada setiap interval dan contoh fungsi monoton tetapi bukan merupakan fungsi monoton operator seperti fungsi pada .

Kata kunci: matriks Hermitian, matriks uniter, nilai eigen, fungsi monoton

vi

ABSTRACT

A Hermitian matrix is a complex matrix of size that satisfies where is the adjoint of and is defined as ̅ . Hermitian matrix has several characteristics, including didiagonalkan Hermitian can be unitary, meaning that there is a unitary matrix to form a diagonal matrix . Then the Hermitian matrix has eigenvalues a real number.

With these characteristics, can be defined a function of Hermitian matrix. real function is continuous on the interval is called operator monotone on if for any Hermitian matrix whose eigenvalues lie in and then . Furthermore, in this paper we will present several examples which monotone functions is also monotone operator functions such as the function for all at every interval and sample monotone function but it is not a monotone operator functions as functions on .

Keywords: Hermitian matrix, unitary matrix, eigenvalues, operator

DAFTAR ISI

LEMBAR PERNYATAAN ... ...i

KATA PENGANTAR ... ..ii

UCAPAN TERIMA KASIH ... .iii

ABSTRAK ... .vi

DAFTAR ISI ... vii

DAFTAR SIMBOL ... .ix

BAB I. PENDAHULUAN ... .1

1.1 Latar Belakang ... .1

1.2 Perumusan Masalah ... .2

1.3 Tujuan Penulisan ... .2

1.4 Manfaat Penulisan ... .3

1.5 Sistematika Penulisan ... .3

BAB II. OPERATOR DI RUANG HILBERT ... .5

2.1 Bilangan Kompleks ... .5

2.2 Ruang Vektor Kompleks ... .6

2.3 Matriks ... .7

2.4 Transformasi Linear ... .9

2.6 Operator di Ruang Hilbert ... 19

BAB III. MATRIKS HERMITIAN ... 24

3.1 Matriks Uniter ... 24

3.2 Matriks Hermitian ... 26

3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian ... 30

3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian ... 31

BAB IV. FUNGSI MONOTON OPERATOR ... 33

4.1 Fungsi Real Kontinu ... 33

4.2 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf ... 34

4.3 Fungsi dari Matriks Hermitian ... 34

4.4 Fungsi Monoton Operator ... 35

4.5 Operator Konveks dan Operator Konkaf ... 46

4.6 Fungsi Monoton Operator dan Fungsi Operator Konkaf ... 46

BAB V. PENUTUP ... 50

5.1 Kesimpulan ... 50

5.2 Rekomendasi ... 50

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Penulisan

Sebuah operator linear pada ruang Hilbert kompleks berdimensi hingga dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yang terkait dengan basis tertentu. Salah satu bentuk matriks kompleks yang khusus adalah matriks Hermitian karena memiliki karakteristik dapat didiagonalkan secara uniter dan nilai eigennya adalah bilangan real. Dengan karakteristik-karakteristik ini, dapat didefinisikan suatu fungsi dari matriks Hermitian.

Suatu fungsi real yang kontinu pada interval disebut monoton operator pada , dinotasikan , jika untuk setiap matriks Hermitian yang semua nilai eigennya terletak di dan maka . Fungsi untuk setiap pada setiap interval adalah fungsi monoton yang juga adalah monoton operator. Sementara fungsi pada adalah fungsi monoton tetapi bukan fungsi monoton operator sebab terdapat matriks positif

sedemikian sehingga

positif tetapi tidak positif.

Berdasarkan dua contoh di atas, penulis tertarik untuk mengkaji lebih lanjut mengenai sifat-sifat fungsi monoton operator.

2

Beberapa materi yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah ruang Hilbert, operator linear dari ruang Hilbert, operator linear yang dinyatakan dalam bentuk matriks, matriks uniter, matriks Hermitian, diagonalisasi matriks Hermitian, konsep urutan pada matriks Hermitian, fungsi dari matriks Hermitian, fungsi monoton operator, fungsi operator konveks, dan fungsi operator konkaf.

1.2 Perumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah dalam penulisan skripsi ini, masalahnya dirumuskan sebagai berikut:

1. Bagaimanakah bentuk fungsi dari matriks Hermitian?

2. Bagaimanakah kaitan fungsi monoton dengan fungsi monoton operator? 3. Bagaimanakah syarat perlu dan cukup sebuah fungsi monoton agar menjadi

fungsi monoton operator?

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan skripsi ini, yaitu:

1. Untuk mengetahui bentuk fungsi dari matriks Hermitian.

2. Untuk mengetahui kaitan antara fungsi monoton dengan fungsi monoton operator.

3. Untuk mengetahui syarat perlu dan cukup sebuah fungsi monoton agar menjadi fungsi monoton operator.

3

1.4 Manfaat Penulisan

Adapun manfaat penulisan ini adalah untuk mengetahui karakteristik dari matriks Hermitian, bentuk fungsi dari matriks Hermitian, dan untuk mengetahui bentuk serta karakteristik dari fungsi monoton operator beserta contohnya.

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini dibagi menjadi lima bab, yang pertama yaitu BAB I berisi pendahuluan yang memuat latar belakang penulisan, perumusan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II memuat konsep operator di ruang Hilbert, berisi konsep-konsep penting yang mendasari matriks Hermitian dan fungsi monoton operator. Bab ini memuat enam bagian, yaitu bilangan kompleks, ruang vektor kompleks, matriks, transformasi linear, ruang Hilbert, dan operator di ruang Hilbert.

BAB III memuat konsep matriks Hermitian yang menjelaskan matriks Hermitian dan karakteristiknya. Bab ini terdiri dari empat bagian, yaitu matriks uniter, matriks Hermitian, nilai eigen pada matriks Hermitian, dan konsep urutan pada matriks Hermitian.

Selanjutnya BAB IV memuat konsep fungsi monoton operator. Pada bab ini dibahas fungsi monoton yang sekaligus merupakan fungsi monoton operator dan fungsi monoton tetapi bukan merupakan fungsi monoton operator, juga kaitan antara fungsi monoton operator dengan fungsi operator konkaf. Bab ini terdiri dari beberapa bagian, yaitu fungsi real kontinu, fungsi konveks dan fungsi konkaf,

4

fungsi monoton operator, operator konveks dan operator konkaf, fungsi monoton operator dan fungsi operator konkaf.

Terakhir BAB V adalah penutup dari skripsi ini, berisi kesimpulan dari kajian yang telah dibahas mulai dari BAB II sampai BAB IV dan rekomendasi kepada pembaca untuk penelitian lebih lanjut.

BAB III

MATRIKS HERMITIAN

Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas dari matriks persegi khusus. Sebelum membahas matriks Hermitian, ada konsep yang perlu diketahui, yaitu konjuget transpos.

Seperti yang telah dibahas pada bab sebelumnya, jika matriks ( berukuran dengan entri-entri bilangan kompleks, konjuget transpos yang didefinisikan dengan ̅ adalah matriks berukuran dimana entri ke nya adalah ̅̅̅̅.

Contoh 3.1 : Perhatikan matriks kompleks

Konjuget transpos adalah

̅ ( ) 3.1 Matriks Uniter

Definisi 3.1.1 (Anton & Rorres, 2005: 818). Suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut uniter jika .

25

Pernyataan dalam Definisi 3.1.1 ekuivalen dengan matriks disebut matriks uniter jika . Berikut ini adalah contoh dari matriks uniter:

Contoh 3.1.2: Diberikan matriks

Maka

Akibatnya kita peroleh bahwa

Sehingga matriks adalah matriks uniter.

Teorema 3.1.3 (Anton & Rorres, 2005: 819). Jika adalah matriks berukuran

dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen (a) adalah uniter

(b) vektor-vektor baris membentuk sebuah himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean

26

(c) vektor-vektor kolom membentuk suatu himpunan ortonormal di dengan hasilkali dalam Euclidean.

Definisi 3.1.4 (Anton & Rorres, 2005: 820). adalah matriks kompleks berukuran . dikatakan secara uniter dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks uniter sedemikian sehingga adalah matriks diagonal; matriks dikatakan secara uniter mendiagonalisasi .

3.2 Matriks Hermitian

Kajian mengenai matriks Hermitian menjadi sangat penting karena matriks Hermitian memiliki beberapa karakteristik. Salah satu karakteristik yang paling utama dari matriks Hermitian yaitu memiliki nilai eigen berupa bilangan real sehingga kita dapat mendefinisikan sebuah fungsi dari matriks Hermitian.

Definisi 3.2.1 (Anton & Rorres, 2005: 821). Suatu matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut matriks Hermitian atau disebut juga self-adjoin jika .

Contoh: Matriks

adalah matriks Hermitian, sebab

27

Definisi 3.2.2 (Anton & Rorres, 2005: 821). Matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks disebut normal jika

Setiap matriks Hermitian adalah normal karena dan setiap matriks uniter adalah normal karena .

Teorema 3.2.3 (Anton & Rorres, 2005: 822). Jika matriks persegi dengan entri-entri bilangan kompleks, maka pernyataan berikut ekuivalen

(a) secara uniter dapat didiagonalisasi.

(b) memiliki sebuah himpunan ortonormal yang terdiri dari vektor eigen. (c) adalah matriks normal.

Kita perlu memperhatikan bahwa suatu matriks normal dapat didiagonalisasi secara uniter dimana vektor-vektor kolomnya merupakan vektor eigen dari dan vektor-vektor eigen yang berbeda dalam ruang eigen adalah orthogonal.

Adapun prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah matriks normal adalah sebagai berikut:

Langkah 1. Tentukan basis dari setiap ruang eigen dari matriks .

Langkah 2. Gunakan proses Gram-Schmidt pada setiap basis dalam Langkah 1 untuk mendapatkan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen.

28

Langkah 3. Bentuk matriks yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang diperoleh dari langkah 2. Matriks ini secara uniter mendiagonalisasi .

Contoh 3.2.4:

)

Matriks adalah matriks Hermitian yang terdiagonalkan secara uniter. Perhatikan bahwa polinomial karakteristik dari matriks adalah

kemudian persamaan karakteristik dari matriks adalah

dan diperoleh nilai-nilai eigen , dan . Kemudian akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen dan .

Perhatikan bahwa untuk ,

Dengan proses eleminasi Gauss-Jordan diperoleh

29

Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen adalah

jadi, ruang eigen berdimensi 1 dengan basis

Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh

_{‖ ‖}

(

√ √ ₎

Dengan cara yang sama, dilakukan untuk nilai eigen dan diperoleh basis

( )

Dengan proses Gram-Schmidt, ortonormalisasi vektor basis sehingga diperoleh

_{‖ ‖}

(

√ √ ₎ Kemudian bentuk matriks , diperoleh

30

(

√

√

√ _{√ )}

Sehingga matriks yang diperoleh adalah matriks yang mendiagonalisasi matriks .

3.3 Nilai Eigen pada Matriks Hermitian

Definisi 3.3.1 (Horn & Johnson, 1990: 35). Misalkan . Maka sebuah vektor taknol pada disebut vektor eigen dari jika memenuhi persamaan berikut

,

dimana adalah skalar real atau kompleks . Skalar disebut nilai eigen dari dan disebut vektor eigen dari yang bersesuaian dengan nilai eigen .

Perhatikan bahwa

ekuivalen dengan

.

Agar nilai dapat menjadi nilai eigen, maka persamaan diatas harus memiliki solusi yang taknol, yaitu yang disebut sebagai persamaan karakteristik matriks .

31

Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan adalah matriks Hermitian, maka

(a) adalah bilangan real untuk setiap , (b) nilai eigen dari adalah bilangan real

Bukti:

(a) Perhatikan bahwa .

kemudian ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Karena ̅̅̅̅̅̅̅, maka adalah bilangan real.

(b) Misalkan nilai eigen dari adalah dan adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen . Maka . Kemudian perhatikan bahwa

̅

Karena ̅, maka nilai eigen adalah bilangan real.

3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian

Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang digunakan adalah semidefinit positif atau positif.

Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada . Misalkan . Hasilkali dalam standar dari didefinisikan sebagai

32

dimana adalah adjoin dari yang didefinisikan sebagai ̅ .

Definisi 3.4.1. Misalkan adalah suatu matriks Hermitian. Matriks dikatakan semidefinit positif atau positif (ditulis ) jika untuk setiap .

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika adalah matriks Hermitian, maka untuk setiap berlaku . Perhatikan bahwa

Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian. Misalkan dan adalah Matriks Hermitian. Jika artinya adalah positif atau ditulis dengan , maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Misalkan adalah fungsi real yang monoton yang terdefinisi pada interval . Jika adalah matriks Hermitian yang semua nilai eigen berada di , maka fungsi dari matriks Hermitian didefinisikan dengan dan

(

)

Sebuah fungsi real yang monoton pada interval akan menjadi fungsi monoton operator apabila untuk setiap dua matriks Hermitian dan yang semua nilai eigennya berada pada dan memenuhi , maka .

Sebuah fungsi real monoton pada interval akan menjadi fungsi monoton operator jika dan hanya jika fungsi adalah fungsi operator konkaf.

5.2 Rekomendasi

Dalam makalah ini, penulis mengkaji fungsi monoton operator, sedangkan pada fungsi operator konkaf, penulis mengenalkan bentuk dan contohnya. Untuk itu, disarankan kepada para pembaca untuk mengkaji lebih lanjut fungsi operator konkaf.

51

Irmatul Hasanah, 2013

Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator

Beberapa contoh konkrit yang penulis bahas adalah matriks Hermitian dengan . Oleh karena itu, penulis harapkan kepada para pembaca agar meneliti lebih lanjut untuk .

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G. & Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Bhatia, Rajendra. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.

Churchill, R.V & Brown, W.J. (1990). Complex Variables and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill.

Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1990). Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.

Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Howard, A. & Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1 Edisi Kedelapan (Refina Indriasari & Irzam harmein, Trans.). Jakarta: Erlangga.

MacCluer, Barbara. D. (2009). Elementary Functional Analysis. New York: Springer.

Raeburn, I. (1993). Algebras: Lecture Notes From Courses at The University of Newcastle. Australia: University of Newcastle.

Retherford, J.R. (1993). Hilbert Space: Compact Operators and the Trace Theorem. Cambridge: University Press.

Rigdon, S.F., Purcell, E.J., & Varberg, Dale. (2003). Kalkulus Jilid 1 Edisi Kedelapan (I Nyoman Susila, Trans.). Jakarta: Erlangga.

53

Uchiyama, Mitsuru. (2010). Linear Algebra and its Applications, Majorization and Some Operator monotone Function. Dalam Linear Algebra and Its Applications [Online], Vol 432 (2010), 6 halaman. Tersedia: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379508005557. Universitas Pendidikan Indonesia. (2009). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.

31

Irmatul Hasanah, 2013

Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

Teorema 3.3.2 (Horn & Johnson, 1990: 170). Misalkan adalah matriks Hermitian, maka

(a) adalah bilangan real untuk setiap , (b) nilai eigen dari adalah bilangan real

Bukti:

(a) Perhatikan bahwa .

kemudian ̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Karena ̅̅̅̅̅̅̅ , maka adalah bilangan real.

(b) Misalkan nilai eigen dari adalah dan adalah vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen . Maka . Kemudian perhatikan bahwa

̅

Karena ̅, maka nilai eigen adalah bilangan real.

3.4 Konsep Urutan pada Matriks Hermitian

Konsep urutan pada matriks Hermitian ini merupakan konsep yang paling penting dalam mendefinisikan sebuah fungsi monoton operator. Sifat urutan yang digunakan adalah semidefinit positif atau positif.

Sebelum membahas konsep urutan pada matriks Hermitian, akan dibahas terlebih dahulu mengenai hasilkali dalam standar pada . Misalkan . Hasilkali dalam standar dari didefinisikan sebagai

32

dimana adalah adjoin dari yang didefinisikan sebagai ̅ .

Definisi 3.4.1. Misalkan adalah suatu matriks Hermitian. Matriks dikatakan semidefinit positif atau positif (ditulis ) jika untuk setiap .

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa jika adalah matriks Hermitian, maka untuk setiap berlaku . Perhatikan bahwa

Kemudian, akan dibahas mengenai konsep urutan pada matriks Hermitian. Misalkan dan adalah Matriks Hermitian. Jika artinya adalah positif atau ditulis dengan , maka berdasarkan Definisi 3.4.1 diperoleh

Irmatul Hasanah, 2013

Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

BAB V PENUTUP

5.1 Kesimpulan

Misalkan adalah fungsi real yang monoton yang terdefinisi pada interval . Jika adalah matriks Hermitian yang semua nilai eigen berada di , maka fungsi dari matriks Hermitian didefinisikan dengan dan

(

)

Sebuah fungsi real yang monoton pada interval akan menjadi fungsi monoton operator apabila untuk setiap dua matriks Hermitian dan yang semua nilai eigennya berada pada dan memenuhi , maka .

Sebuah fungsi real monoton pada interval akan menjadi fungsi monoton operator jika dan hanya jika fungsi adalah fungsi operator konkaf.

5.2 Rekomendasi

Dalam makalah ini, penulis mengkaji fungsi monoton operator, sedangkan pada fungsi operator konkaf, penulis mengenalkan bentuk dan contohnya. Untuk itu, disarankan kepada para pembaca untuk mengkaji lebih lanjut fungsi operator konkaf.

51

Beberapa contoh konkrit yang penulis bahas adalah matriks Hermitian dengan . Oleh karena itu, penulis harapkan kepada para pembaca agar meneliti lebih lanjut untuk .

Irmatul Hasanah, 2013

Matriks Hermitian Dan Fungsi Monoton Operator

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu| perpustakaan.upi.edu

DAFTAR PUSTAKA

Bartle, R.G. & Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Bhatia, Rajendra. (1997). Matrix Analysis. New York: Springer.

Churchill, R.V & Brown, W.J. (1990). Complex Variables and Its Applications. Singapore: McGraw-Hill.

Horn, R.A. & Johnson, C.R. (1990). Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.

Howard, A. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra, Ninth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Howard, A. & Rorres, C. (2004). Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi Jilid 1

Edisi Kedelapan (Refina Indriasari & Irzam harmein, Trans.). Jakarta:

Erlangga.

MacCluer, Barbara. D. (2009). Elementary Functional Analysis. New York: Springer.

Raeburn, I. (1993). Algebras: Lecture Notes From Courses at The University of Newcastle. Australia: University of Newcastle.

Retherford, J.R. (1993). Hilbert Space: Compact Operators and the Trace

Theorem. Cambridge: University Press.

Rigdon, S.F., Purcell, E.J., & Varberg, Dale. (2003). Kalkulus Jilid 1 Edisi

53

Uchiyama, Mitsuru. (2010). Linear Algebra and its Applications, Majorization

and Some Operator monotone Function. Dalam Linear Algebra and Its Applications [Online], Vol 432 (2010), 6 halaman. Tersedia:

http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0024379508005557. Universitas Pendidikan Indonesia. (2009). Pedoman Penulisan Karya Ilmiah.