Contoh 1.2: Pada pelantunan tiga buah mata uang logam, ditentukan variabel

1
PROBABILITAS
Pengertian
Pada awal perkuliahan, sebelum menjelaskan probabilitas, dibahas sepintas
sebagai pengantar tentang eksperimen, titik sampel, ruang sampel, dan
peristiwa, serta variabel random secara umum. Dasar semua ini, perlu pula
diingat kembali teori himpunan. Selanjutnya, dijelaskan materi probabilitas.

Definisi 1.1: Jika A suatu peristiwa yang bersesuain dengan suatu eksperimen X
dan ruang sample berhingga S yang setiap titik sampelnya berpeluang sama
terjadi, maka probabilitas peristiwa A, ditulis P(A), didefinisikan:
P(A) =

n(A )
n (S )

Contoh 1.1: Pada pelantunan sebuah dadu, tentukan probabilitas dari peristiwa
A : memuat semua titik sampel gasal
B : memuat semua titik sampel prima
C : memuat semua titik sampel yang tak kurang dari 3.
Jawab: P(A) = ½, P(B) = 2/3, dan P(C) = ½.

Apabila X suatu variabel random yang bersesuaian dengan suatu eskperimen X
dan ruang sample S, sedangkan peristiwa A berkaitan dengan suatu harga tertentu
dari X, yaitu xi, maka P(A) = P(X = xi). Dengan demikian, dapat diperoleh untuk
peristiwa-peristiwa lain, sebagai P(B) = P(X £ xi) atau P(C) = P(X ³ xi) atau
P(D) = P(xi £ X £ xj), dan seterusnya.

Contoh 1.2: Pada pelantunan tiga buah mata uang logam, ditentukan variabel
random X : banyaknya ²G² yang nampak. Tentukan:

Bahan Ajar Statistika Matematika I

1

(a) P(X = 0)

(c) P(X = 2)

(e) P(X £ 3)

(g) P(X > 1)

(b) P(X = 1)

(d) P(X = 3)

(f) P(X £ 1)

(h) P(X > 3)

Jawab: dibiarkan sebagai latihan!

Sifat dan Teorema Dasar Probabilitas
Definisi probabilitas (probabilitas a priori) di atas mempunyai beberapa
kelemahan, yaitu
(a) Tidak berlaku untuk ruang sampel takhingga;
(b) Persyaratan: ²Setiap titik sampel berpeluang sama untuk muncul² tidak selalu
dipenuhi oleh setiap eksperimen.
Sehingga untuk mengembangkan teori probabilitas lebih kanjut, disusunlah
beberapa sifat berikut:

1. P(A) adalah bilangan real yang non-negatif untuk setiap peristiwa A dalam S,
P(A) ³ 0
2. P(S) = 1
3. Jika A1, A2, … merupakan peristiwa-peristiwa yang saling asing di S, Ai Ç Aj =
Æ untuk i ¹ j = 1, 2, 3, …, maka P(A1 È A2 È …) = P(A1) + P(A2) + …

Dari sifat-sifat di atas dapat diturunkan beberapa teorema berikut:
Teorema 1.2: P(Ac) = 1 – P(A)
Bukti: Karena A Ç Ac = Æ dan A È Ac = S,
maka P(A È Ac)= P(A) + P(Ac) = P(S) = 1.
Jadi P(Ac) = 1 – P(A).
Teorema 1.3: 0 £ P(A) £ 1

Bahan Ajar Statistika Matematika I

2

Bukti: P(A) ³ 0 jelas. Akan dibuktikan P(A) £ 1, sebagai berikut:
P(Ac) = 1 – P(A) atau P(Ac) = P(A) = 1 – P(Ac)
Karena P(Ac) ³ 0 dan P(A) ³ 0, maka jelas P(A) £ 1.

Teorema 1.4: P(Æ) = 0
Bukti: Karena A È Æ = A dan A Ç Æ = Æ, sehingga
P(A È Æ) = P(A) + P(Æ) = P(A).
Jadi P(Æ) = 0.

Teorema 1.5: Untuk peristiwa-peristiwa A dan B sebarang, berlaku:
P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B)
Bukti: Dari teori himpunan, diketahui bahwa A È B = A È (Ac Ç B), dan
A Ç (Ac Ç B) = Æ. Maka P(A È B) = P(A) + P(Ac Ç B) … (*)
Di lain pihak B = S Ç B = (A È Ac) Ç B = (A Ç B) È (Ac Ç B).
Karena (A Ç B) Ç (Ac Ç B) = Æ, maka P(B) = P(A Ç B) + P(Ac Ç B). (**)
Dari (*) dan (**), diperoleh P(A È B) = P(A) + P(B) - P(A Ç B).

Teorema 1.6: Untuk setiap peristiwa A, B, dan C berlaku
P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)–P(AÇB)–P(AÇC)– P(BÇC)+P(AÇBÇC)
Bukti: P(A È B È C) = P((AÈB) È C)
= P(AÈB) + P(C) - P((AÈB) Ç C)
= P(A) + P(B) – P(A Ç B ) + P(C) – P((A Ç C) È (B Ç C))
= P(A) + P(B) + P(C) – P(A Ç B ) – [P(A Ç C) + P(B Ç C)

- P((A Ç B Ç C)]

Bahan Ajar Statistika Matematika I

3

Teorema 1.7: Jika A Í B, maka P(A) £ P(B)
Bukti: Karena A Í B berarti A È (B – A) = B.
Sehingga P(B) = P(A È (B – A)) = P(A) + P(B – A) – P(A Ç (B – A))
= P(A) + P(B – A) – P(A Ç (B – A))
= P(A) + P(B – A) – P(A Ç B Ç Ac)
= P(A) + P(B – A) – P(A Ç Ac Ç B) ³ P(A)

Peristiwa-peristiwa Saling Lepas dan Saling Bebas
Definisi 1.8: Dua peristiwa A dan B disebut saling lepas, apabila A Ç B = Æ.

Definisi 1.9: Dua peristiwa A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika
P(AÇB) = P(A)P(B).

Definisi 1.10: Tiga peristiwa A, B, dan C disebut saling bebas, jika dan hanya jika

keempat syarat berikut dipenuhi:
P(A Ç B) = P(A)P(B)
P(A Ç C) = P(A)P(C)
P(B Ç C) = P(B)P(C)
P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B)P(C)

Contoh 1.3: Pada pelantunan dua dadu, ditentukan peristiwa-peristiwa berikut:
A = {(x, y) | x = 5},

B = {(x, y) | y = 4},

C = {(x, y) | x > y}

(a) Tentukan peristiwa-peristiwa yang lepas
(b) Tentukan dua peristiwa yang bebas.
Teorema 1.11: Jika A dan B bebas, maka Ac dan Bc bebas, A dan Bc bebas, serta
Ac dan B bebas.

Bahan Ajar Statistika Matematika I

4

Probabilitas Bersyarat
Definisi 1.12: Jika dan A dan B merupakan dua peristiwa di dalam satu ruang
sampel S dan P(A) ¹ 0, maka probabilitas bersyarat dari B jika A diketahui, ditulis
P(B | A), didefinisikan sebagai P(B | A) =

P (A Ç B )
P (A )

Teorema 1.13: Jika A dan B merupakan dua peristiwa di dalam ruang sampel S
dan P(A) ¹ 0, maka berlaku P(A Ç B) = P(A)P(B | A)

Teorema 1.14: Jika A,B, dan C merupakan tiga peristiwa di dalam ruang sampel S
sedemikian hingga P(A) ¹ 0 dan P(A Ç B) ¹ 0, maka
P(A Ç B Ç C) = P(A)P(B | A)P(C | A Ç B)

Teorema 1.15: Jika A dan B dua peristiwa saling bebas, maka P(B|A) = P(B)

Bukti: Untuk Teorema 1.13, 1.14, dan 1.15 dibiarkan sebagai latihan

Contoh 1.4: Suatu industri suku cadang pesawat terbang mengetahui dari
pengalaman sebelumnya bahwa probabilitas suatu pesanan siap dikapalkan pada
waktunya adalah 0.80, dan probabilitas pesanan akan siap dikapalkan dan juga
diantarkan pada saatnya adalah 0.72. Carilah probabilitas, bahwa pesanan tersebut
akan diantarkan pada saatnya jika diketahui telah dikapalkan pada saatnya.
Jawab: Probabilitas yang dicari adalah 0.90.

Bahan Ajar Statistika Matematika I

5

2
Fungsi Distribusi
Variabel Random Diskrit
Definisi 2.1: Jika X suatu variabel random, dan jika banyak harga-harga yang
mungkin dari X adalah berhingga (finite) atau takhingga terhitung (countable
infinite, denumerable), maka X disebut suatu variabel random diskrit. Jadi hargaharga X tersebut dapat disusun sebagai x1, x2, …, xn, …
Definisi 2.2: Jika X suatu variabel random diskrit dengan harga-harga x1, x2, …,
maka suatu fungsi f(x) = P(X = x) disebut suatu fungsi probabilitas atau fungsi

densitas probabilitas (probability density function), disingkat pdf, dari X, apabila
memenuhi syarat-syarat:
(i) f(x) ³ 0 untuk semua x

n

(ii)

å f (x

i

)= 1

i =1

Contoh 2.1: Jika X variabel random diskrit dengan harga-harga 0, 1, 2, …, sedang
P(X = k) = C kn p k q n - k , dengan k, p, dan q non-negatif dan p+q=1, maka P(k)
memenuhi syarat untuk fungsi probabilitas dari X.

Variabel Random Kontinu
Definisi 2.3: X disebut suatu variabel random kontinu, jik aterdapat suatu fungsi f,
yang disebut fungsi densitas probabilitas (pdf) dari X, memenuhi syarat sebagai
berikut:
(i) f(x) ³ 0, untuk semua x
(ii)

ò

¥

f ( x )dx = 1

-¥

(iii) Untuk suatu a, b dengan -¥ < a < b < ¥ diperoleh P(a £ X £ b) =

ò

b

a

f ( x )dx

Bahan Ajar Statistika Matematika I

6

Contoh 2.2: Tunjukkan bahwa f(x) yang didefinisikan sebagai

ìï1, 0 < x < 1
f(x) = í
ïî0, untuk x yang lain
merupakan pdf dari variabel random kontinu X.
Jawab: (i) f(x) ³ 0 jelas dari fungsi di atas;
(ii)

ò

¥

-¥

f ( x )dx =

ò

0

-¥

0 dx +

1

ò 1 dx + ò
0

¥

1

0 dx = 1

Jadi, terbukti f(x) merupakan pdf dari X.

Contoh 2.3: Jika diketahui X variabel random kontinu dengan pdf

ìïcx , 0 £ x £ 2
f(x) = í
ïî0, untuk x yang lain
Carilah: (a) harga konstanta c
(b) P(1/2 < X < 3/2)
Jawab: (a) c = ½

(b) P(1/2 < X < 3/2) = ½

(c) P(X > 1)
(d) Grafik f(x)
(c) P(X > 1) = ¾

Fungsi Distribusi
Definisi 2.4: Jika X suatu variable random, diskrit atau kontinu, maka fungsi
distribusi kumulatif (cummulative distribution function, CDF), ditulis F(x),
didefinisikan sebagai F(x) = P(X £ x).

Fungsi distribusi kumulatif seringkali disebut fungsi distribusi.
Teorema 2.5:
(a) Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi probabilitas f(x), maka:
n

F(x) =

å f (x

i

) di mana xi £ x

i =1

(b) Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas f(x), maka:
F(x) =

ò

x

-¥

f (t )dt

Bahan Ajar Statistika Matematika I

7

Contoh 2.4: Jika suatu variabel random X mempunyai harga 0, 1, dan 2 dengan
probabilitas berturut-turut 1/3, 1/6, dan ½, maka fungsi kumulatifnya adalah
ì0, jika x < 0
ï
ï1 / 3, jika 0 £ x < 1
F(x) = í
ï1 / 2, jika 1 £ x < 2
ï
î1, jika x ³ 2
Grafik fungsinya adalah:
F(x)

0

1

2

3

X

Contoh 2.5: Jika X suatu variabel kontinu dengan fungsi densitas

ìï2 x , untuk 0 < x < 1
f(x) = í
ïî0, untuk x yang lain
maka fungsi kumulatifnya adalah

ì0, jika x £ 0
ïï
F(x) = í x 2 , jika 0 < x < 1
ï
ïî1, jika x ³ 1
Grafiknya dapat dibuat sebagai latihan.

Contoh 2.6: Sasaran tembak pada suatu latihan menembak, membentuk lingkaran
dengan jari-jari R dan berpusat di titik O(0,0). Fungsi distribusi F(x) untuk
variabel random X dapat dicari sebagai latihan.

Bahan Ajar Statistika Matematika I

8

3
Distribusi Multivariat
Distribusi Bivariat dan Trivariat
Definisi 3.1 : J i ka X 1 d a n X 2 variabel-variabel random diskrit, maka fu ng si
f(x1, x2) = P(X1 = x1, X2 = x2) untuk setiap (x1, x2) dalam X1 dan X2, disebut
fungsi probabilitas bersama atau distribusi probabilitas bersama (joint
distribution) dari X1 dan X2.
Teorema 3.2: Suatu fungsi bivariat dapat merupakan distribusi probabilitas
bersama dari sepasang variabel random diskrit X 1 dan X2 jika dan hanya jika
f(x1, x2) memenuhi syarat berikut:
(i)

f(x1, x2) ³ 0 untuk setiap (x1, x2) dalam domainnya;

(ii)

åå f ( x
x1

1

, x 2 ) = 1, di mana ;jumlah dobel berlaku untuk semua

x2

pasangan (x1, x2) yang mungkin dalam doimainnya.

Contoh 3.1: Tentukan harga c sedemikian hingga fungsi f(x1, x2) = cx1x2 untuk x1,
x2 = 1, 2, 3 merupakan distribusi probabilitas bersama.
Jawab: Diselesaikan sendiri, sehingga memperoleh c = 1/36.

Definisi 3.3: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit, maka fungsi:
F(x1, x2) = P(X1 £ x1, X £ x2) =

å å f (s , t ) untuk -¥ < x1 £ ¥, -¥ < x2 £ ¥;

s £x1 t £x 2

di mana, f(s, t) harga-harga dari distribusi probabilitas bersama dari X1 dan X2
pada (s, t); disebut fungsi distribusi bersama, atau distribusi kumulatif bersama
dari X1 dan X2.

Contoh 3.2: Apabila F(x1, x2) distribusi bersama dari variabel random diskrit X1
dan X2 tersebut dalam Contoh 3.1, maka diperoleh F(2, 3) = P(X1 £ 2, X2 £ 3) = ½.
Bahan Ajar Statistika Matematika I

9

Definisi 3.4: Suatu fungsi bivariat dengan harga-harga f(x1, x2) yang didefinasikan
pada x1x2 disebut fungsi densitas probabilitas bersama (joint pdf) dari variabel
random kontinu X1 dan X2 jika dan hanya jika
P[(X1, X2) Î A] =

òò f ( x

1

, x 2 )dx 1 dx 2 untuk setiap region A pada bidang x1x2.

A

Teorema 3.5: Suatu fungai bivariat merupakan suatu fungsi densitas probabilitas
bersama dari sepasang variabel random kontinu X1 dan X2, jika harga-harganya
f(x1, x2) memenuhi syarat
(i) f(x1, x2) ³ 0 untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥
(ii)

¥

ò ò

¥

-¥ -¥

f ( x 1 , x 2 )dx 2 dx 1 = 1

Fungsi densitas probabilitas bersama sering disebut densitas bersama (joint
density)

Contoh 3.3: Jika densitas bersama X1 dan X2 adalah sebagai berikut:
ìï x 1 + x 2 , untuk 0 < x 1 < 1
f(x1, x2) = í
ïî0, untuk x yang lain

maka dengan menyelesaikannya, diperoleh fungsi distribusi bersama adalah
untuk x 1 < 0, x 2 < 0
ì0,
ï1
ï 2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 ), untuk 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
ï
F(x1, x2) = í 12 x 2 ( x 2 + 1),
untuk x 1 > 1, 0 < x 2 < 1
ï1
untuk 0 < x 1 < 1, x 2 > 1
ï 2 x 1 ( x 1 + 1),
ï
untuk x 1 > 1, x 2 > 1
î1,

Bahan Ajar Statistika Matematika I

10

Distribusi Marginal
Definisi 3.6: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit dan f(x1, x2)
adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang
diberikan oleh
g(x1) =

å f (x

1

,x 2)

x2

untuk setiap x1 di dalam range dari X1 disebut densitas marginal dari X1.
Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh
h(x2) =

å f (x

1

,x 2)

x1

untuk setiap x2 di dalam range dari X2 disebut densitas marginal dari X2.

Definisi 3.7: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random kontinu dan f(x1, x2)
adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang
diberikan oleh
g(x1) =

ò

¥

-¥

f ( x 1 , x 2 )dx 2 untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X1.
Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh
h(x2) =

ò

¥

-¥

f ( x 1 , x 2 )dx 1 untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X2.
Contoh 3.4: Jika densitas bersama

ì2
ïï 3 ( x 1 + 2 x 2 ), untuk 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
f(x1, x2) = í
ï
ïî0,
untuk x 1 , x 2 yang lain
maka densitas marginal dari X1 adalah g(x1) = 2/3(x1 + 1), untuk 0 < x1 < 1, dan
densitas marginal dari X2 adalah h(x2) = 1/3(1 + 4x2), untuk 0 < x1 < 1.

Bahan Ajar Statistika Matematika I

11

Seperti halnya pada distribusi univariat, di sini didefinisikan pula fungsi
distribusi marginal dan fungsi distribusi marginal bersama berikut.

Definisi 3.8: Jika F(x1, x2) adalah harga dari fungsi distribusi bersama dari
variabel random X1 dan X2 di titik (x1, x2), maka fungsi G dengan
G(x1) = P(X1 £ x1, X2 = 1) untuk -¥ < x1 < ¥
disebut fungsi distribusi marginal dari X1. Demikian pula fungsi H dengan
H(x 2 ) = P(X 1 = 1, X 2 £ x 2) untuk -¥ < x2 < ¥
disebut fungsi distribusi Marginal dari X2.
Definisi 3.9: Jika F(x1, x2, x3) merupakan harga dari fungsi distribusi bersama
variabel random X1 , X2, dan X3 di titik (x1, x2, x3), maka fungsi G dengan
G(x1, x2) = P(X1 £ x1, X2 £ x2, X3 = 1), untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥.
disebut fungsi distribusi marginal bersama dari X 1 dan X 2 .
Contoh 3.5: Jika diketahui densitas dari variabel random X1 , X2, dan X3 berikut
ìï( x 1 + x 2 )e - x 3 ; 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1, x 3 > 0
f(x1, x2, x3 ) = í
ïî0; x yang lain
maka fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X3 dengan
ì1
-x 3
ïï 2 x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )(1 - e ); 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1, x 3 > 0
F(x1, x2, x3) = í
ï
ïî0; x 1 , x 2 , x 3 yang lain

adalah
; x1 £ 0
ì0,
ï
ï1
G(x1, x3) í x 1 x 2 ( x 1 + x 2 )(1 - e - x 3 ); 0 < x 1 < 1, x 3 > 0
ï2
ï1 - e - x 3
; x 1 ³ 1, x 3 > 0
î
dan fungsi distribusi marginal dari X1 adalah
; x1 £ 0
ì0,
ï
ï1
H(x1) = í x 1 ( x 1 + 1); 0 < x 1 < 1
ï2
ï1
; x1 ³1
î
Bahan Ajar Statistika Matematika I

12

Distribusi Bersyarat
Definisi 3.10: Jika f(x1, x2) adalah harga dari distribusi variabel random diskrit X1
dan X2 di (x1, x2) dan h(x2) adalah harga dari distribusi marginal X2 di x2, maka
fungsi f(x1| x2) =

f (x 1, x 2 )
, h(x2) ¹ 0 untuk setiap range dari X1 (untuk kasus
h (x 2 )

variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut distribusi bersyarat dari X1 jika
diketahui X2 = x2. Demikian pula fungsi W(x2| x1) =

f (x 1, x 2 )
, g(x1) ¹ 0, untuk
g (x 1 )

setiap range dari X2 (untuk kasus variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut
distribusi bersyarat dari X2 jika diketahui X1 = x1, dan g(x1) adalah harga dari
distribusi marginal X1 di x1.

Contoh 3.6: Jika diketahui fungsi densitas variabel random X1 dan X2

ì4 x 1 x 2 ; 0 < x 1 < 1, 0 < x 2 < 1
ï
f(x1, x2) = í
ïî0; x 1 , x 2 yang lain
maka densitas bersyat dari X2 jika X1 = x1 adalah

ì2 x 2 ; 0 < x 2 < 1
ï
f(x2 | x1) = í
ïî0; x 2 yang lain

Bahan Ajar Statistika Matematika I

13