INTEGRAL KHUSUS | FATAHILLAH | Faktor Exacta
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
INTEGRAL KHUSUS
FATAHILLAH
Program Studi Pendidikan Fisika
Fakultas Teknik, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indraprasta PGRI
Jl. Nangka No. 58 C, Tanjung Barat, Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530
Email: sandusin.unindra@gmail.com
Abstracts. In given the lecture for Mathematics or another names is Calculus we must following
the based of Recana Perkuliahan Semester (RPS) and therefore we didn’t to introduction for
student Specific Integrals and therefore we introduction specific integrals.
Abstrak. Dalam melaksanakan tugas perkuliahan, para rekan dosen mengikuti silabus yang tertera
pada Recana Perkuliahan Semester (RPS) untuk integral khusus tidak diajarkan. Aplikasi integral
inimeliputi:Notasi berindeks, Tensor danChronecker. Dalam rangka menambah wawasan
pengetahuan maka penulis merasa perlu membicarakan hal ini. Disini akan dibahas tentang
integral-integral khusus dengan menggunakan teknik tensor.
Kata kunci
Integral, Lintasan, Notasi berindeks, Tensor, Chronecker
PENDAHULUAN
Pada tulisan ini akan ditampilkan integral-integral yang jarang dibahas didalam
perkuliahan-perkuliahan kalkulus pada umumnya terutama aplikasi-aplikasi indeksnya.
Disini penulis dalam penyusunan tulisan ini dilengkapi dengan tuntunan dari Prof. Pantur
Silaban, Ph.D. Disamping itu penulis juga sedang berusaha berkonsultasi dengan Prof.
Erwin Sucipto, Ph.D di Bethel College, Indiana Amerika Serikat karena beliau dikenal
oleh penulis sebagai kakak kelas penulis di ITB, 1973. Dengan misi demi pengembangan
penguasaan materi maka penulis memberanikan diri untuk membuat tulisan ini.
METODE
Kajian ini berdasarkan dengan mencoba membuktikan sendiri dari daftar integral dari
Literatur
yang berjudul: “Abromowitz, Milton, and Irene A. Stegun, editors, Handbook of
Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National
Bureau of Standards, AppliedMathematical Series, 55, U.S. Government Printing Office,
Washington, D.C., 1964. Dimana pada buku tersebut tidak terdapat pembuktian secara
tertulis tentang tabel integralnyadan penulis memilih berdasarkan pengalaman dari temanteman dosen yang belumdapat menyelesaikannyasecaraanalitis. Ada 2 jenis pembahasan
yaitu dengan menjawab pertanyaan integraldan dengan membuktikan suatu integral pada
tabel.
Integral Khusus
Invers dan kebalikkan.
Invers dan kebalikkan adalah dua hal yang berbeda jika dipandang secara matematis.
Invers adalah kebalikkan secara fungsi atau kebalikan secara operator. Sedangkan
kebalikkan diartikan sebagai fungsi kebalikkan.
Contoh fungsi kebalikkan:
=
↔
= ,
=
↔
=
- 266 -
,
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
↔
=
↔
=
=
↔
Contoh fungsi invers:
↔
=
=
↔
=
=
=
,
=
=
,
=
,
=
,
=
=
↔
↔
=
= ,
↔
= √ ,
↔
,
= ↔
= ,
↔
=
=
=
↔
↔
=
=
=
,
↔
=
↔
=
=
=
,
=
dst
↔
=
,
=
↔
=
=
↔
=
| |
↔
= | |, dst.
=
Karena bilangan 10 dan keduanya lebih besar dari nol, maka y> 0 sehingga untuk
menghindari harga negatip, maka harga y diberi tanda mutlak seperti | |. Untuk bilangan
dasar C tidak perlu diberi tanda harga mutlak karena bisa saja C berharga negatip.
Contoh invers operator:
,
( )-
( )↔
∫ ( )
( ),
↔
↔
dst.
Pada contoh terakhir berarti bila diketahui turunan suatu fungsi maka akan diketahui juga
inversnya berupa fungsi asal (sebelum diturunkan) yang diistilahkan sebagai “integrasi”
fungsi.
Sifat-sifat turunan fungsi
Pembahasan: = tak tentu.
Agar menghasilkan hal tertentu maka jangan nol akan tetapi mendekati nol atau
populernya
(
* ( )+
limit
nol
)
=
( )
=
,
(
)
=
=
(
( )
.
=
)
( ),
jika:
Selanjutnya
tertentu.
( )
=
maka:
Sehingga
(
)
( )
=
didefinisikanlah:
( )
* ( )+
, ( * ( )+ = turunan ( )
terhadap dan bentuk invers nya disebut “integral ( ) terhadap ” dengan lambang:
∫ ( ) .
Sehingga dapat juga diturunkan fungsi-fungsi: ( ) ( ),
* ( ) ( )+ =
{
*(
( )
}
( )
=
=
,jadi:∫
, jadi:∫
( ) ( )
( )
( )
dan
=
( ) ( )
)( )+ =
Turunan dari fungsi
=
( )
=
* ( )+
, atau:{ }
, * ( )+- =
| .
|
( ) ( )atau: *
( )
( )
( )
dan (
+ =
* ( )+
“aturan
( )
)( )
rantai”.
. Dengan memakai sifat diatas maka:
/|
|
- 267 -
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
HASIL DAN PEMBAHASAN
Teknik khusus pengintegralan
Untuk mencari jawaban suatupengintegralan dapat ditempuh dengan beberapa cara
yang dinamakan teknik pengintegralan. Ada beberapa teknik pengintegralan yaitucara
parsial, substitusi dan cara penderetan. Ketiga cara ini dipakai untuk teknik-teknik khusus
pengintegralan.
Contoh:
dan (b). ∫
1. Tentukanlah integral berikut: (a). ∫
Jawab:
(
)
(
)
=∫
=
(a) ∫
∫
(
∫
=
∫
=
∫
=
|
Atau: ∫
|
√ |
=
|
Jadi: ∫
=
∫
=
∫
∫
|
|.
√ |
|
=
|
∫
)
|
|, atau: ∫
=
∫
Sehingga:
) (
=
∫
∫
=
)(
{
|
=
|
|}
∫
=
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa:
(b)
2.
∫
√ |
=
Tentukanlah integral berikut: (a). ∫
Jawab:
(a) ∫
=∫
=
∫
=
=
(
∫
)(
(
∫
=
=
√ |
Jadi: ∫
=
=
) (
√ |
|
|
dan (b). ∫
(
)
∫
)
=
*(
∫
∫
√ |
∫
|)atau ∫
|∫
=
√ |
|
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
(b) ∫
√ |
=
3. Tentukanlah: (a). ∫
Jawab:
, (b). ∫
, (c). ∫
- 268 -
|
dan (d). ∫
) +
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
(a) ∫
∫
=
|
Jadi:∫
(b) ∫
∫
=
|
=
|
= ∫
(
(
∫
=
= ∫(
) (
)
)(
)
∫(
=
|
=
(c) ∫
|
)
∫
=
. /
=
Jadi:∫
(d) ∫
=
=
∫
∫
= ∫
.
(
(
/
√
(
) (
)(
)
=
=
/
∫
√
|
|
Jadi:∫
, atau:
√
.
.
√
|
/ √
/ √
/
∫
=
√
|
√
|
√
|
√
=
|
|
√
=
.
√
√
- 269 -
|
|
√
|
}
{
)(
|
/ √
)
(
=
. /
)
(
)(
|
= ∫.
(
)
,
|) =
√
√
√
√
√
|
|
|
√
=
∫
=
)
)
(
)
=
=
|
,
=
, atau:
)
)
|
} (
∫
| =
dan
/
=
/ √
.
=
|
,
(
.
dan
( |
|
=
∫(
=
=
}
=
)
=
∫
=
|
= ∫
dan (
∫.
Maka:
|
= ∫(
∫
=
|
, maka:
∫
. /
= ∫
=
)
∫{
√
=
= 0 atau:
sehingga:
( )
=
=
)
=
, dimana:
. /
)
| |) =
. Jadi:∫
=
maka:
=
|
∫
, maka:
)
=
)
|
=
)(
= ∫{
}
∫(
(
∫ ( )(
)=
( )=
=
maka:
= 0 dan (
=
dan
= =
Sehingga: ∫ {
|
=
∫.
=
|
|
/
,
,
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
4. Tentukanlah integral berikut:
(a). ∫ √
, (b). ∫ √
∫√
Jawab:
(a) ∫ √
= ∫(
(b) ∫ √
=
=
Jadi:∫ √
→
Maka: ∫
∫.
=
=
√
Sehingga:∫ √
=
∫
|
=
√
√ √
√
|
=
√
√
√
√
=
√
|
|=
|
√(
)(
)
√
,
{
=
(
)
∫
∫
. /
=
√
∫
√
=
= ∫
)=
,
(
→
=
}
)}
√
. /
+
( )
)
= , maka: ∫ √(
) , maka:
=
=(
√| .
√ √
=
. /
=
|=
)}
)
.
=
=
=
{ ∫
)} =
. /
∫
√
Maka:
= (
(
(
)
Jadi:∫ √
(f) ∫ √
∫
dan (d).
) }=(
√
, dimana:
= ∫ √*
)
, ambil:
, dimana: =
)(
∫
)
= ∫ {(
(
=
(e) ∫ √
= ∫ √(
= ∫√
= (
/
. /
Jadi: ∫ √
)
=
. /
{
=
√
∫
√
{
=
=(
, (c). ∫ √
/|
|=
|
) √(
)
|
.
√(
=
=
=
- 270 -
√
=
=
√
|= |
|=
√
|=
|
|
√(
.
∫
=
|
=
√
) √
=
√| .
√
√
√
/|
|
|
|
) √
= (
, atau:
)
=
.
|
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
Sehingga: ∫
∫
=
=
(
=
.
∫
√
∫
√
Jadi:∫
(b) ∫
√
=∫
√
=
∫
(c) ∫
√
(
(
Jadi:∫
√
(d) ∫
√
(
= ∫(
{ .
)
(
, (c). ∫
√
√
√
√
= ∫ (
, dimana:
)} =
{ (
√
/} =
√
. /
=∫
}
=
,
dan
)}
=∫
)
- 271 -
)
√
√
)
,
→
=
(
∫
,
/=
∫
{ (
. /
, bila:
}
/
=
√.
=
√
{ (
√
(
=
)}
)}
= dan
=
=
∫
)
→
/
=
) =
=
=
/}=
)}=
√{
sehingga:∫
=
|
) = (
=
{ .
√
√.
|
|
dan (d). ∫
=
√
.
{ (
∫
. /. Jadi:∫
√
=
= ∫
√
=
√
=
dimana:
=
√|
, dimana:
=
=
)=
∫
)
√
∫
=
√
)
/=
=
, maka: ∫
√
)(
. /
Maka:
√
= (
=∫
√{
√
)
= ∫
√
{ (
∫
√
. /
∫
=∫
, (b). ∫
= ∫
√
Maka: ∫
√
=
√
=
)
= (
=
√
=
5. Tentukanlah:(a). ∫
√
Jawab:
√
∫
∫
Jadi:∫ √
(a) ∫
/
=
.
= ∫
√
=
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
= (
)(
Sehingga: ∫
=
/
.
√
(
=
√
(
Jadi:∫
√
√
√
(
√
=
√
)
=
Sehingga:
= ,
Ambil:
√
Maka:√ ∫
=
√ ∫
=√ ∫ (
Jadi:∫ √
7. Buktikanlah: (a). ∫
(a) ∫
=
√
√ (
√ {
√
(
,
(
)=
=√ ∫
)
)= √ (
=
√
√
(
= ∫√ {
=√ ∫
. /
√
- 272 -
√
=
) =
√
=∫
}]
=
.
√
)
√
=√
,
)= √
)=
(
√
}]
√
√ ∫
=
√
√
(
=
}=√ ∫
=
/
√
=
√ ∫
=
)
√
, maka: √ ∫
=
√.
) =
/=√ ∫
,
=
√
(b) ∫
√ .
=∫
√
√
dan (b). ∫
=
√ ∫
√
(
∫
=
(
) = [ {(
) √
[ {(
dan
/
=
)=
=
√ ∫
= √ (
√
Jadi:∫ √
∫ √
Bukti:
)
)
√
=
.
∫
=
Ambil:
sehingga:
=
atau:
=
=
6. Tentukanlah: (a). ∫
Jawab:
(a) ∫
√
)
=√ ∫
√
=
=
√
(
√
),
,
)=
=
=
= √ ∫
√
√
√ .
/} .
=√ ∫
=
√
/ dan (b).
/, ambil:
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
.
/
)(
(
Sehingga:
/
√
=
√
√
= √
√
√
(
)
(
∫
.
=∫
√
=
√
∫
{
√ √
) =
=
=
).
√.
√
∫
/ } {.
√.
/
/ .
/
/
(
(
(
.
√(
}
)
,
/
√
- 273 -
√ .
)=
)(
√
∫√
√
/
=
/
=
. /
=
√
. /
. /
√
)
√
∫
=
√.
.
. / =
,
. /
∫
. /=
. /
= ,
. / =
√
√
, maka:
, sehingga:
√
√
/
.
) (
. /=
/=
) (
)
)(
)
=∫
(
)) =
. / . /
=
√
(
=
√
/
. //= √
) (
/
. /=
. / . /
.
,
√ .
. / =
. /
∫
√
∫
(
)=√
. / . /
√
(
,
(
.
,
)
)
) =
/ . /=
=
(
(
(
)=
. / . /, ambil:
∫√
Bukti:
∫
)) (
∫√
8. Buktikanlah:∫
√
(
= √ ∫ √.
.
√
,
=
∫√
Jadi:∫
∫
)= ,
= √
√
√
(
√
Jadi: ∫
= √
)=
√
Atau:
(b) ∫
(
.
√
/
(
∫
)
√
√
=
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
=√
, sehingga:
∫
=
,
√
=
√(
Fatahillah – Integral Khusus
√
dimana:
√
= ,
∫
)(
)
√
Jadi: ∫
= ,
=√ (
=
√(
dan
, maka: √
=
√
=
)∫
)(
(
,
√
∫
√
=
)
√
=
)
Menghitung panjang lintasan pada koordinat kartesian
̇ ̇
Dengan menggunakan metoda: = ∫ √
atau: = ∫ √
, maka
diperolehpenyelesaian dari contoh soal sbb:
1. Partikel bergerakdengan posisi setiap saatnya adalah: =
, =
=
meter, tentukanlah lintasannya dari t = detik ke t = detik.
Jawab:
=∫
=∫
√
√ ̇
=∫
√( ̇ )
= ∫
√(
=∫
̇
̇ ̇
̇
( ̇)
√( (
̇
=∫
))
̇
√
( ̇)
)
(
̇
( (
̇
̇
=∫
=∫
=∫
√( ̇ )
. /
( (
(
̇
( ̇ )
√. /
))
)
√ ̇
)
dan
( ̇ )
. /
))
( )= *
( ( ))
(
)
(
)+
+= *
+ = 0,169668 meter. Jadi: =
*
=
0,169668
2. Partikel bergerak dengan posisi setiap saatnya adalah: =
, =
dan
=
meter, tentukanlah lintasannya dari t = detik ke t = detik.
Jawab:
∫
=∫
√ ̇
√
̇
̇ ̇
̇
̇
=∫
̇
̇
√
̇
̇
- 274 -
=∫
√ ̇
̇
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
=∫
∫
Fatahillah – Integral Khusus
√( ̇ )
( ̇ )
√. /
. /
√( (
∫
=∫
∫
=∫
√
√(
))
)
. /
=
( (
(
√( ̇ )
=∫
))
( ) ( )=∫
( ̇)
( (
( (
)
)
√(
√
=∫
( ̇ )
√
=
))
))
= ∫
( ̇)
=
( ) ( )
√
( ) ( ), ambil:
( )=
, sehingga:S =
meter.
3. Peluru ditembakkan diatas bidang datar dengan laju kecepatan awal = 200
dan sudut elevasi =
, bila laju percepatan gravitasi bumi g = 10
,
tentukanlah panjang lintasan peluru diudara sebelum jatuh ketanah .
Jawab:
Uraian laju kecepatan peluru:
= 160
=
=
=
=
=
=
=
∫
√
=∫
√( ̇ )
=∫
√
=∫
=
∫
√
√
=
=
=
(
√(
∫
∫
̇ ̇
)
=∫
( ̇ )
(
̇
√
=∫
)
̇
√( ̇ )
=
=
(
√(
√(
)√(
)
)
, maka:
=
, pada titik puncak A:
=0=
=0→
,
=
= 12 + 12 = 24 detik =
=
)
=(
= 12 detik =
sehingga:
=∫
= 120
)
)
(
=
|
(
( |
) √(
=∫
( ̇)
∫
√ ̇
̇
=∫
√
=∫
√
)
̇
̇
̇
=
), dimana:
)
√ ̇
,
= ∫ √(
)
|, maka panjang lintasannya S =
( | )
+= *
+= 1095,173 meter.
= *
4. Peluru ditembakkan diatas bidang miring dengan sudut kemiringan =
yang
dan sudut elevasi
menuju kebawah dengan laju kecepatan awal
= 200
- 275 -
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
=
, bila laju percepatan gravitasi bumi g = 10
lintasan peluru diudara sebelum jatuh ketanah .
Jawab:
Uraian laju kecepatan peluru:
= 160
=
=
=
=
=
=
)
, pada titik puncak A:
meter,
=
)=
(
=
=
=
(
= 720
,
=
√( ̇ )
√
)√(
√
=
= 0, (
= 0, (
=
3) ∫
4) ∫
5) ∫
6) ∫ √
7) ∫ √
8) ∫ √
,
( ̇ )
̇
(
)
̇
=∫
|
(
=
, atau:
) (
)=0
) =
,
=
, ambil:
= 12 + 29 = 41 detik.
=∫
√( ̇ )
)
√ ̇
=
) √(
̇
√ ̇
=∫
( ̇)
√
=∫
)
|
( |
)=
̇
*
√ |
=
√ |
=
=
=
=
|
=
|
|
|
√
=
=
√
|
√
√
|
dan ∫
|
√(
|
|
=
√
. /
) √
√
√
- 276 -
|
̇
̇
+=
PENUTUP
Simpulan
Dari tulisan diatas maka terdapat beberapa simpulan sebagai berikut:
2) ∫
(
) =
. Atau
Sehingga panjang lintasan adalah:S =
2198,61meter
1) ∫
= 12 detik
=
,
Sehingga: = ∫
=∫
=0→
=0=
=
(
)
= 29 detik dan
=∫
=(
, maka:
=
=
=
= 120
=
, tentukanlah panjang
. /
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
9) ∫
10) ∫
Saran
√
√
Fatahillah – Integral Khusus
=
=
√
√(
. /
)(
)
Berdasarkan dari uraian dan kesimpulan diatas maka penulis menyarankan kepada
rekan-rekan pengajar di prodi Pendidikan Fisika khususnya mata kuliah Kalkulus
terutama dalam hal memberikan contoh soal tentang soal-soal integral supaya tidak
semata-mata langsung diberikan berdasarkan tabel integral saja saja, jadi cobalah
diberikan uraian teknik-teknik penyelesaian pengintegralannya agar supaya para
mahasiswa dapat melihat dan belajar sendiri pengerjaan soalnya tidak berdasarkan tabel
semata. Ingat matematika itu bukan doktrin.
DAFTAR PUSTAKA
Abromowitz, Milton, and Irene A. Stegun, editors, Handbook of Mathematical
Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of
Standards, Applied Mathematical Series, 55, U.S. Government Printing Office,
Washington, D.C., 1964
Arfken, George, Mathematical Method for Physicists, Academic Press, New York, 2nd
ed., 1970
Bak, Thor A., and Jonas Lichtenberg, Mathematics for Scientists, Benjamin, New York,
1966
Buck, R. Creighton, and Ellen F. Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill, New York,
3 nd ed, 1978
Byrd, P. F., and Morris D.Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineer and
Physicists, Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1954
Chisholm, J. S. R., and Rosa M Morris, Mathematical Method in Physics, North
Holland, Amsterdam, 2nd ed., 1966
Churchill, Ruel V., Moderns Operational Methods in Engineering, McGraw-Hill, New
York, 3 nd ed., 1972
Courant, Richard, and Herbert Robbins, What is Mathematics?, Oxford University
Press, 1941
Dwass, Meyer, Probability: Theory and Applications, Benjamin, New York, 1970
- 277 -
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
INTEGRAL KHUSUS
FATAHILLAH
Program Studi Pendidikan Fisika
Fakultas Teknik, Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Indraprasta PGRI
Jl. Nangka No. 58 C, Tanjung Barat, Jagakarsa, Jakarta Selatan 12530
Email: sandusin.unindra@gmail.com
Abstracts. In given the lecture for Mathematics or another names is Calculus we must following
the based of Recana Perkuliahan Semester (RPS) and therefore we didn’t to introduction for
student Specific Integrals and therefore we introduction specific integrals.
Abstrak. Dalam melaksanakan tugas perkuliahan, para rekan dosen mengikuti silabus yang tertera
pada Recana Perkuliahan Semester (RPS) untuk integral khusus tidak diajarkan. Aplikasi integral
inimeliputi:Notasi berindeks, Tensor danChronecker. Dalam rangka menambah wawasan
pengetahuan maka penulis merasa perlu membicarakan hal ini. Disini akan dibahas tentang
integral-integral khusus dengan menggunakan teknik tensor.
Kata kunci
Integral, Lintasan, Notasi berindeks, Tensor, Chronecker
PENDAHULUAN
Pada tulisan ini akan ditampilkan integral-integral yang jarang dibahas didalam
perkuliahan-perkuliahan kalkulus pada umumnya terutama aplikasi-aplikasi indeksnya.
Disini penulis dalam penyusunan tulisan ini dilengkapi dengan tuntunan dari Prof. Pantur
Silaban, Ph.D. Disamping itu penulis juga sedang berusaha berkonsultasi dengan Prof.
Erwin Sucipto, Ph.D di Bethel College, Indiana Amerika Serikat karena beliau dikenal
oleh penulis sebagai kakak kelas penulis di ITB, 1973. Dengan misi demi pengembangan
penguasaan materi maka penulis memberanikan diri untuk membuat tulisan ini.
METODE
Kajian ini berdasarkan dengan mencoba membuktikan sendiri dari daftar integral dari
Literatur
yang berjudul: “Abromowitz, Milton, and Irene A. Stegun, editors, Handbook of
Mathematical Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National
Bureau of Standards, AppliedMathematical Series, 55, U.S. Government Printing Office,
Washington, D.C., 1964. Dimana pada buku tersebut tidak terdapat pembuktian secara
tertulis tentang tabel integralnyadan penulis memilih berdasarkan pengalaman dari temanteman dosen yang belumdapat menyelesaikannyasecaraanalitis. Ada 2 jenis pembahasan
yaitu dengan menjawab pertanyaan integraldan dengan membuktikan suatu integral pada
tabel.
Integral Khusus
Invers dan kebalikkan.
Invers dan kebalikkan adalah dua hal yang berbeda jika dipandang secara matematis.
Invers adalah kebalikkan secara fungsi atau kebalikan secara operator. Sedangkan
kebalikkan diartikan sebagai fungsi kebalikkan.
Contoh fungsi kebalikkan:
=
↔
= ,
=
↔
=
- 266 -
,
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
↔
=
↔
=
=
↔
Contoh fungsi invers:
↔
=
=
↔
=
=
=
,
=
=
,
=
,
=
,
=
=
↔
↔
=
= ,
↔
= √ ,
↔
,
= ↔
= ,
↔
=
=
=
↔
↔
=
=
=
,
↔
=
↔
=
=
=
,
=
dst
↔
=
,
=
↔
=
=
↔
=
| |
↔
= | |, dst.
=
Karena bilangan 10 dan keduanya lebih besar dari nol, maka y> 0 sehingga untuk
menghindari harga negatip, maka harga y diberi tanda mutlak seperti | |. Untuk bilangan
dasar C tidak perlu diberi tanda harga mutlak karena bisa saja C berharga negatip.
Contoh invers operator:
,
( )-
( )↔
∫ ( )
( ),
↔
↔
dst.
Pada contoh terakhir berarti bila diketahui turunan suatu fungsi maka akan diketahui juga
inversnya berupa fungsi asal (sebelum diturunkan) yang diistilahkan sebagai “integrasi”
fungsi.
Sifat-sifat turunan fungsi
Pembahasan: = tak tentu.
Agar menghasilkan hal tertentu maka jangan nol akan tetapi mendekati nol atau
populernya
(
* ( )+
limit
nol
)
=
( )
=
,
(
)
=
=
(
( )
.
=
)
( ),
jika:
Selanjutnya
tertentu.
( )
=
maka:
Sehingga
(
)
( )
=
didefinisikanlah:
( )
* ( )+
, ( * ( )+ = turunan ( )
terhadap dan bentuk invers nya disebut “integral ( ) terhadap ” dengan lambang:
∫ ( ) .
Sehingga dapat juga diturunkan fungsi-fungsi: ( ) ( ),
* ( ) ( )+ =
{
*(
( )
}
( )
=
=
,jadi:∫
, jadi:∫
( ) ( )
( )
( )
dan
=
( ) ( )
)( )+ =
Turunan dari fungsi
=
( )
=
* ( )+
, atau:{ }
, * ( )+- =
| .
|
( ) ( )atau: *
( )
( )
( )
dan (
+ =
* ( )+
“aturan
( )
)( )
rantai”.
. Dengan memakai sifat diatas maka:
/|
|
- 267 -
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
HASIL DAN PEMBAHASAN
Teknik khusus pengintegralan
Untuk mencari jawaban suatupengintegralan dapat ditempuh dengan beberapa cara
yang dinamakan teknik pengintegralan. Ada beberapa teknik pengintegralan yaitucara
parsial, substitusi dan cara penderetan. Ketiga cara ini dipakai untuk teknik-teknik khusus
pengintegralan.
Contoh:
dan (b). ∫
1. Tentukanlah integral berikut: (a). ∫
Jawab:
(
)
(
)
=∫
=
(a) ∫
∫
(
∫
=
∫
=
∫
=
|
Atau: ∫
|
√ |
=
|
Jadi: ∫
=
∫
=
∫
∫
|
|.
√ |
|
=
|
∫
)
|
|, atau: ∫
=
∫
Sehingga:
) (
=
∫
∫
=
)(
{
|
=
|
|}
∫
=
Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan bahwa:
(b)
2.
∫
√ |
=
Tentukanlah integral berikut: (a). ∫
Jawab:
(a) ∫
=∫
=
∫
=
=
(
∫
)(
(
∫
=
=
√ |
Jadi: ∫
=
=
) (
√ |
|
|
dan (b). ∫
(
)
∫
)
=
*(
∫
∫
√ |
∫
|)atau ∫
|∫
=
√ |
|
Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa:
(b) ∫
√ |
=
3. Tentukanlah: (a). ∫
Jawab:
, (b). ∫
, (c). ∫
- 268 -
|
dan (d). ∫
) +
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
(a) ∫
∫
=
|
Jadi:∫
(b) ∫
∫
=
|
=
|
= ∫
(
(
∫
=
= ∫(
) (
)
)(
)
∫(
=
|
=
(c) ∫
|
)
∫
=
. /
=
Jadi:∫
(d) ∫
=
=
∫
∫
= ∫
.
(
(
/
√
(
) (
)(
)
=
=
/
∫
√
|
|
Jadi:∫
, atau:
√
.
.
√
|
/ √
/ √
/
∫
=
√
|
√
|
√
|
√
=
|
|
√
=
.
√
√
- 269 -
|
|
√
|
}
{
)(
|
/ √
)
(
=
. /
)
(
)(
|
= ∫.
(
)
,
|) =
√
√
√
√
√
|
|
|
√
=
∫
=
)
)
(
)
=
=
|
,
=
, atau:
)
)
|
} (
∫
| =
dan
/
=
/ √
.
=
|
,
(
.
dan
( |
|
=
∫(
=
=
}
=
)
=
∫
=
|
= ∫
dan (
∫.
Maka:
|
= ∫(
∫
=
|
, maka:
∫
. /
= ∫
=
)
∫{
√
=
= 0 atau:
sehingga:
( )
=
=
)
=
, dimana:
. /
)
| |) =
. Jadi:∫
=
maka:
=
|
∫
, maka:
)
=
)
|
=
)(
= ∫{
}
∫(
(
∫ ( )(
)=
( )=
=
maka:
= 0 dan (
=
dan
= =
Sehingga: ∫ {
|
=
∫.
=
|
|
/
,
,
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
4. Tentukanlah integral berikut:
(a). ∫ √
, (b). ∫ √
∫√
Jawab:
(a) ∫ √
= ∫(
(b) ∫ √
=
=
Jadi:∫ √
→
Maka: ∫
∫.
=
=
√
Sehingga:∫ √
=
∫
|
=
√
√ √
√
|
=
√
√
√
√
=
√
|
|=
|
√(
)(
)
√
,
{
=
(
)
∫
∫
. /
=
√
∫
√
=
= ∫
)=
,
(
→
=
}
)}
√
. /
+
( )
)
= , maka: ∫ √(
) , maka:
=
=(
√| .
√ √
=
. /
=
|=
)}
)
.
=
=
=
{ ∫
)} =
. /
∫
√
Maka:
= (
(
(
)
Jadi:∫ √
(f) ∫ √
∫
dan (d).
) }=(
√
, dimana:
= ∫ √*
)
, ambil:
, dimana: =
)(
∫
)
= ∫ {(
(
=
(e) ∫ √
= ∫ √(
= ∫√
= (
/
. /
Jadi: ∫ √
)
=
. /
{
=
√
∫
√
{
=
=(
, (c). ∫ √
/|
|=
|
) √(
)
|
.
√(
=
=
=
- 270 -
√
=
=
√
|= |
|=
√
|=
|
|
√(
.
∫
=
|
=
√
) √
=
√| .
√
√
√
/|
|
|
|
) √
= (
, atau:
)
=
.
|
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
Sehingga: ∫
∫
=
=
(
=
.
∫
√
∫
√
Jadi:∫
(b) ∫
√
=∫
√
=
∫
(c) ∫
√
(
(
Jadi:∫
√
(d) ∫
√
(
= ∫(
{ .
)
(
, (c). ∫
√
√
√
√
= ∫ (
, dimana:
)} =
{ (
√
/} =
√
. /
=∫
}
=
,
dan
)}
=∫
)
- 271 -
)
√
√
)
,
→
=
(
∫
,
/=
∫
{ (
. /
, bila:
}
/
=
√.
=
√
{ (
√
(
=
)}
)}
= dan
=
=
∫
)
→
/
=
) =
=
=
/}=
)}=
√{
sehingga:∫
=
|
) = (
=
{ .
√
√.
|
|
dan (d). ∫
=
√
.
{ (
∫
. /. Jadi:∫
√
=
= ∫
√
=
√
=
dimana:
=
√|
, dimana:
=
=
)=
∫
)
√
∫
=
√
)
/=
=
, maka: ∫
√
)(
. /
Maka:
√
= (
=∫
√{
√
)
= ∫
√
{ (
∫
√
. /
∫
=∫
, (b). ∫
= ∫
√
Maka: ∫
√
=
√
=
)
= (
=
√
=
5. Tentukanlah:(a). ∫
√
Jawab:
√
∫
∫
Jadi:∫ √
(a) ∫
/
=
.
= ∫
√
=
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
= (
)(
Sehingga: ∫
=
/
.
√
(
=
√
(
Jadi:∫
√
√
√
(
√
=
√
)
=
Sehingga:
= ,
Ambil:
√
Maka:√ ∫
=
√ ∫
=√ ∫ (
Jadi:∫ √
7. Buktikanlah: (a). ∫
(a) ∫
=
√
√ (
√ {
√
(
,
(
)=
=√ ∫
)
)= √ (
=
√
√
(
= ∫√ {
=√ ∫
. /
√
- 272 -
√
=
) =
√
=∫
}]
=
.
√
)
√
=√
,
)= √
)=
(
√
}]
√
√ ∫
=
√
√
(
=
}=√ ∫
=
/
√
=
√ ∫
=
)
√
, maka: √ ∫
=
√.
) =
/=√ ∫
,
=
√
(b) ∫
√ .
=∫
√
√
dan (b). ∫
=
√ ∫
√
(
∫
=
(
) = [ {(
) √
[ {(
dan
/
=
)=
=
√ ∫
= √ (
√
Jadi:∫ √
∫ √
Bukti:
)
)
√
=
.
∫
=
Ambil:
sehingga:
=
atau:
=
=
6. Tentukanlah: (a). ∫
Jawab:
(a) ∫
√
)
=√ ∫
√
=
=
√
(
√
),
,
)=
=
=
= √ ∫
√
√
√ .
/} .
=√ ∫
=
√
/ dan (b).
/, ambil:
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
.
/
)(
(
Sehingga:
/
√
=
√
√
= √
√
√
(
)
(
∫
.
=∫
√
=
√
∫
{
√ √
) =
=
=
).
√.
√
∫
/ } {.
√.
/
/ .
/
/
(
(
(
.
√(
}
)
,
/
√
- 273 -
√ .
)=
)(
√
∫√
√
/
=
/
=
. /
=
√
. /
. /
√
)
√
∫
=
√.
.
. / =
,
. /
∫
. /=
. /
= ,
. / =
√
√
, maka:
, sehingga:
√
√
/
.
) (
. /=
/=
) (
)
)(
)
=∫
(
)) =
. / . /
=
√
(
=
√
/
. //= √
) (
/
. /=
. / . /
.
,
√ .
. / =
. /
∫
√
∫
(
)=√
. / . /
√
(
,
(
.
,
)
)
) =
/ . /=
=
(
(
(
)=
. / . /, ambil:
∫√
Bukti:
∫
)) (
∫√
8. Buktikanlah:∫
√
(
= √ ∫ √.
.
√
,
=
∫√
Jadi:∫
∫
)= ,
= √
√
√
(
√
Jadi: ∫
= √
)=
√
Atau:
(b) ∫
(
.
√
/
(
∫
)
√
√
=
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
=√
, sehingga:
∫
=
,
√
=
√(
Fatahillah – Integral Khusus
√
dimana:
√
= ,
∫
)(
)
√
Jadi: ∫
= ,
=√ (
=
√(
dan
, maka: √
=
√
=
)∫
)(
(
,
√
∫
√
=
)
√
=
)
Menghitung panjang lintasan pada koordinat kartesian
̇ ̇
Dengan menggunakan metoda: = ∫ √
atau: = ∫ √
, maka
diperolehpenyelesaian dari contoh soal sbb:
1. Partikel bergerakdengan posisi setiap saatnya adalah: =
, =
=
meter, tentukanlah lintasannya dari t = detik ke t = detik.
Jawab:
=∫
=∫
√
√ ̇
=∫
√( ̇ )
= ∫
√(
=∫
̇
̇ ̇
̇
( ̇)
√( (
̇
=∫
))
̇
√
( ̇)
)
(
̇
( (
̇
̇
=∫
=∫
=∫
√( ̇ )
. /
( (
(
̇
( ̇ )
√. /
))
)
√ ̇
)
dan
( ̇ )
. /
))
( )= *
( ( ))
(
)
(
)+
+= *
+ = 0,169668 meter. Jadi: =
*
=
0,169668
2. Partikel bergerak dengan posisi setiap saatnya adalah: =
, =
dan
=
meter, tentukanlah lintasannya dari t = detik ke t = detik.
Jawab:
∫
=∫
√ ̇
√
̇
̇ ̇
̇
̇
=∫
̇
̇
√
̇
̇
- 274 -
=∫
√ ̇
̇
=
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
=∫
∫
Fatahillah – Integral Khusus
√( ̇ )
( ̇ )
√. /
. /
√( (
∫
=∫
∫
=∫
√
√(
))
)
. /
=
( (
(
√( ̇ )
=∫
))
( ) ( )=∫
( ̇)
( (
( (
)
)
√(
√
=∫
( ̇ )
√
=
))
))
= ∫
( ̇)
=
( ) ( )
√
( ) ( ), ambil:
( )=
, sehingga:S =
meter.
3. Peluru ditembakkan diatas bidang datar dengan laju kecepatan awal = 200
dan sudut elevasi =
, bila laju percepatan gravitasi bumi g = 10
,
tentukanlah panjang lintasan peluru diudara sebelum jatuh ketanah .
Jawab:
Uraian laju kecepatan peluru:
= 160
=
=
=
=
=
=
=
∫
√
=∫
√( ̇ )
=∫
√
=∫
=
∫
√
√
=
=
=
(
√(
∫
∫
̇ ̇
)
=∫
( ̇ )
(
̇
√
=∫
)
̇
√( ̇ )
=
=
(
√(
√(
)√(
)
)
, maka:
=
, pada titik puncak A:
=0=
=0→
,
=
= 12 + 12 = 24 detik =
=
)
=(
= 12 detik =
sehingga:
=∫
= 120
)
)
(
=
|
(
( |
) √(
=∫
( ̇)
∫
√ ̇
̇
=∫
√
=∫
√
)
̇
̇
̇
=
), dimana:
)
√ ̇
,
= ∫ √(
)
|, maka panjang lintasannya S =
( | )
+= *
+= 1095,173 meter.
= *
4. Peluru ditembakkan diatas bidang miring dengan sudut kemiringan =
yang
dan sudut elevasi
menuju kebawah dengan laju kecepatan awal
= 200
- 275 -
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
Fatahillah – Integral Khusus
=
, bila laju percepatan gravitasi bumi g = 10
lintasan peluru diudara sebelum jatuh ketanah .
Jawab:
Uraian laju kecepatan peluru:
= 160
=
=
=
=
=
=
)
, pada titik puncak A:
meter,
=
)=
(
=
=
=
(
= 720
,
=
√( ̇ )
√
)√(
√
=
= 0, (
= 0, (
=
3) ∫
4) ∫
5) ∫
6) ∫ √
7) ∫ √
8) ∫ √
,
( ̇ )
̇
(
)
̇
=∫
|
(
=
, atau:
) (
)=0
) =
,
=
, ambil:
= 12 + 29 = 41 detik.
=∫
√( ̇ )
)
√ ̇
=
) √(
̇
√ ̇
=∫
( ̇)
√
=∫
)
|
( |
)=
̇
*
√ |
=
√ |
=
=
=
=
|
=
|
|
|
√
=
=
√
|
√
√
|
dan ∫
|
√(
|
|
=
√
. /
) √
√
√
- 276 -
|
̇
̇
+=
PENUTUP
Simpulan
Dari tulisan diatas maka terdapat beberapa simpulan sebagai berikut:
2) ∫
(
) =
. Atau
Sehingga panjang lintasan adalah:S =
2198,61meter
1) ∫
= 12 detik
=
,
Sehingga: = ∫
=∫
=0→
=0=
=
(
)
= 29 detik dan
=∫
=(
, maka:
=
=
=
= 120
=
, tentukanlah panjang
. /
Faktor Exacta10 (3): 266-277, 2017
p-ISSN: 1979-276X
e- ISSN: 2502-339X
9) ∫
10) ∫
Saran
√
√
Fatahillah – Integral Khusus
=
=
√
√(
. /
)(
)
Berdasarkan dari uraian dan kesimpulan diatas maka penulis menyarankan kepada
rekan-rekan pengajar di prodi Pendidikan Fisika khususnya mata kuliah Kalkulus
terutama dalam hal memberikan contoh soal tentang soal-soal integral supaya tidak
semata-mata langsung diberikan berdasarkan tabel integral saja saja, jadi cobalah
diberikan uraian teknik-teknik penyelesaian pengintegralannya agar supaya para
mahasiswa dapat melihat dan belajar sendiri pengerjaan soalnya tidak berdasarkan tabel
semata. Ingat matematika itu bukan doktrin.
DAFTAR PUSTAKA
Abromowitz, Milton, and Irene A. Stegun, editors, Handbook of Mathematical
Functions With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, National Bureau of
Standards, Applied Mathematical Series, 55, U.S. Government Printing Office,
Washington, D.C., 1964
Arfken, George, Mathematical Method for Physicists, Academic Press, New York, 2nd
ed., 1970
Bak, Thor A., and Jonas Lichtenberg, Mathematics for Scientists, Benjamin, New York,
1966
Buck, R. Creighton, and Ellen F. Buck, Advanced Calculus, McGraw-Hill, New York,
3 nd ed, 1978
Byrd, P. F., and Morris D.Friedman, Handbook of Elliptic Integrals for Engineer and
Physicists, Springer, Berlin-Gottingen-Heidelberg, 1954
Chisholm, J. S. R., and Rosa M Morris, Mathematical Method in Physics, North
Holland, Amsterdam, 2nd ed., 1966
Churchill, Ruel V., Moderns Operational Methods in Engineering, McGraw-Hill, New
York, 3 nd ed., 1972
Courant, Richard, and Herbert Robbins, What is Mathematics?, Oxford University
Press, 1941
Dwass, Meyer, Probability: Theory and Applications, Benjamin, New York, 1970
- 277 -