Bab 3(2) Determinan Dan INvers Matriks
=
33 atau
21 a
12 a
32
23 a
11 a
13
22 a
13 a
= a
- + a
- + a
- – a a a – a a a - a a a
23
21 a
13 a
31
23 a
12 a
33
22 a
11 a
JIka maka: det(A)= a
- – a
- - a
− − − =
Tentukan determinan matriks Jawab : −
( ) − − −
= − − − − − − − − + − + =
− − − + + =
− −
=
=
= =
!
= " – # $ % & " – $
( ) 1 2 12
1 1
1 0 2
C +
= −
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang baris ke-iC C C
det (A) = a + a + . . . + a =i1 i1 i2 i2 in in
∑
= =
Menghitung det (A) dengan ekspansi kofaktor
sepanjang kolom ke-j det (A) = a C + a C + . . . + a C =∑
1j 1j 2j 2j nj nj
=
' (
= )
2 1 0
A 1 2 1 = = + +
=
∑
=
0 1 2
- = − = − = − = − =
( )
= − = − = − − =− − =−
( ) + = − = − = − = − =
( ) = + − + = − + =
-
= −
= −
= −
=
=
= −
−
=
=
− =
=
=
= − A mempunyai invers jika dan hanya jika det (A) ≠ 0. Beberapa sifat determinan matriks adalah :
Jika A adalah sembarang matriks kuadrat, maka
t det (A) = det (A ) Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran Jika A dan B merupakan matriks kuadrat berukuran sama, maka : det (A) det (B) = det (AB) Jika A mempunyai invers maka :− = Misalkan A n x n dan C ij adalah kofaktor aij, maka 11 12 1 21 22 2 ...
... : : : n n a a a a a a
=
A 11 12 1 21 22 1 n n C C C C C C
=
C Matriks C dinamakan matriks kofaktor A.
Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A, notasi adj(A) 1 2 ... n n nn a a a
1 2 n n nn C C C
= =
Misalkan A memiliki invers maka :
Langkah-langkah mencari invers dengan matriks
1
1 ( ) det( )
A adj A A −
=
Langkah-langkah mencari invers dengan matriks adjoin :
Tentukan det(A) dengan ekspansi kofaktor Tentukan kofaktor dari A Tentukan Matriks Kofaktor A Tentukan Matriks Adj(A)
Tentukan Matriks Kofaktor, Matriks Adjoin, dan
Invers matriks dari matriks berikut.
= −
= −
Solusi:
=
− − =
= = −
= − −
= − − = − −
= − − = − = − − = −
= + = = −
= − = = − = − − −
= − = − − − = = − − = − − =
= − − = − = = = = −
− − = − − = − − = − − Matriks Kofaktor Matriks Adjoin (adj(A))
−
= −
− −
− −
= −
−
Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1)
Determinan Matriks A (ekspansi baris ke-1) ( ) ( )
− − = − = − +
= − − − + − − Invers Matriks A
1
1
− −
4
2
2
11
1
1 A − − − −
1
6
1
1
6
− − = = − = − det( )
11
A −
1 det( )
4
1
4
1 ( )
1
2
2
11
2
2
= − Tentukan invers dari matriks berikut dengan menggunakan matriks adjoin:
= −
= −
= − =
= −
−
= − −
=
− −
= −
=
- , $ , # ,
$
=
↔
$ $
, ,
=
- , ,
, %$
- −
=
− =
$ ) $
, $ ,
) # # . .
) ) / ,
)
esilon baris jika
) $) #
esilon baris tereduksi jika Tentukan matriks esilon baris tereduksi dari:
=
Solusi Solusi
− +
-
-
,
- 0
1
- ) .
/
Tentukan bentuk eselon baris tereduksi dari matriks
berikut: −−
1.
2.
− −
− − −
−
− − −
−
− − −
3.
4.
−
−
− −