M odul Teo r i Tek ni k Rise t O per as ion al

STMIK TRIGUNADHARMA AUTHORED BY: MUHAMMAD IKHSAN, ST., MKOM.

Kata Pengantar

Modul Teori Teknik Riset Operasional

Teknik Riset Operasional adalah membahasa pokok-pokok dan garis besar pemodelan matematis dalam penelitian operasional, model-model dan teknik-teknik solusi masalah programa linier, masalah penugasan, masalah programa sasaran (global Programming). Memberikan ketrampilan untuk merumuskan dan memecahkan permsalahan nyata dalam disiplin Teknik Komputer dengan menggunakan model-model dan teknik-teknik solusi tersebut.

Materi Pengajaran : Modul 01

: Riset Operasional Modul 02

: Program Linear Modul 03

: Permasalahan Minimasi Modul 04

: Metode Simplex Modul 05

: Penyimpangan Penyimpangan Bentuk Standar Modul 06

: Dualitas Modul 07

: Masalah Penugasan (Assignment Problem) .

Modul 08 : Metode Transportasi , MKom

Modul 09 : Optimalisasi Dengan Metode Modi an, ST.

Modul 10 : Optimalisasi Dengan Metode Vam hs

Modul 11 : Model Network ad Ik

Modul 12 : CPM amm

uh Modul 13 : Lampiran Soal Latihan. M

d by:

uthore W ASSALAM , l |A

na io

ras

M UHAMMAD I KHSAN , ST., M.K OM iset Ope R

Teknik

Modul -1 RISET OPERASIONAL

Pengertian Riset Operasional (RO)

Riset Operasi berasal dari Inggris yang merupakan suatu hasil studi operasi-operasi militer selama Perang Dunia II. Istilah riset operasi pertama kali digunakan pada tahun 1940 oleh Mc Closky dan Trefthen di suatu kota kecil, Bowdsey, Inggris.

Kata operasi dapat disefinisikan sebagai tindakan-tindakan yang diterapkan pada beberapa masalah atau hipotesa. Sementara riset dapat didefinisikan sebagai suatu proses yang terorganisasi dalam mencari kebenaran akan masalah atau hipotesa.

Definisi 1

RO adalah penerapan metode-metode ilmiah terhadap masalah-masalah rumit yang muncul dalam pengarahan dan pengelolaan dari suatu sistem besar manusia, mesin, bahan dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan pertahanan. (Operational Research Society of Great Britain).

Definisi 2

Riset operasi berkaitan dengan menentukan pilihan secara ilmiah bagaimana merancang dan .

menjalankan sistem manusia-mesin secara terbaik, biasanya membutuhkan alokasi sumber daya yang langka. (Operation Research Society of America).

, MKom

Definisi 3

an, ST. Riset operasi adalah seni memberikan jawaban buruk terhadap masalah-masalah, yang jika tidak,

hs memiliki jawaban yang lebih buruk. (T.L. Saaty).

ad Ik

Definisi 4 amm

uh Riset operasi adalah pendekatan dalam pengambilan keputusan yang ditandai dengan penggunaan

M pengetahuan ilmiah melalui usaha kelompok antar disiplin yang bertujuan menentukan penggunaan

d by: terbaik sumber daya yang terbatas. (Hamdi A. Taha).

uthore

Definisi 5

l |A na

Riset operasi dalam arti luas dapat diartikan sebagai penerapan metode-metode, teknikteknik, dan alat- io alat terhadap masalah-masalah yang menyangkut operasi-operasi dari sistem-sistem, sedemikian rupa

ras sehingga memberikan penyelesaian optimal. (Churchman, Ackoff, dan Arnoff). iset Ope

Teknik

iset Ope

RO Dalam Pegambilan Keputusan.

Riset operasi berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dibawah pembatasan sumber daya yang terbatas. Istilah riset operasi sering kali diasosiasikan secara eksklusif dengan penggunaan teknik-teknik matematis untuk membuat model dan menganalisi masalah keputusan. Walaupun matematika dan model matematis merupakan inti dari riset operasi, pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara spesifik, masalah keputusan biasanya mencakup factor-faktor penting yang tidak berwujud dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis.

Sebuah ilustrasi yang baik dari kasus diatas adalah salah satu versi dari masalah elevator yang dikenal luas. Sebagai tanggapan terhadap keluhan para penghuni tentang lambatnya elevator disebuah bangunan perkantoran yang besar, sebuah pemecahan yang didasari oleh analisis teori jalur antrian ditemukan tidak memuaskan. Setelah mempelajari sistem tersebut lebih lanjut, ditemukan bahwa keluhan para penghuni tersebut lebih disebabkan oleh kebosanan, karena pada kenyataannya, waktu menunggu sangat singkat.

Sebuah pemecahan diajukan dimana sebuah cermin panjang dipasang ditempat masukelevator. Keluhan menghilang karena para pengguna elevator asik memandangi dirimereka sendiri dan orang lain sambil menunggu elevator. Ilustrasi elevator ini menggarisbawahi pentingnya memandang aspek matematisdari riset operasi dalam konteks yang lebih luas dari sebuah proses pengambilan keputusanyang unsur-unsurnya tidak dapat diwakili sepenuhnya oleh sebuah model matematis.Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, riset operasi harus dipandang sebagai ilmu danseni. Aspek ilmu terletak dalam penyediaan teknik-teknik matematis dan algoritma untukmemecahkan masalah keputusan yang tepat. Riset operasi adalah sebuah seni karenakeberhasilan dalam semua tahap yang mendahului dan melanjuti pemecahan dari sebuahmodel matematis sebagian besar bergantung pada kreativitras dan kemampuan pribadi darimereka yang menganalisis pengambilan keputusan.

Model-Model RO.

Model adalah abstraksi atau penyederhanaan realitas sistem yang kompleks dimanahanya komponen- komponen yang relevan atau faktor-faktor yang dominan dari masalahyang dianalisis diikutsertakan. Ia menunjukan hubungan-hubungan dari aksi dan reaksidalam pengertian sebab dan akibat. Salah satu alasan pembentukan model adalah untukmenemukan variabel-variabel apa yang penting. Penemuan variabel-variabel yang pentingitu berkaitan erat dengan penyelidikan hubungan yang ada diantara variabel-variabel itu.Teknik-teknik kuantitatif seperti statistic dan simulasi digunakan untuk menyelidikihubungan yang ada diantara banyak variabel dalam suatu model.

Model dapat diklasifikasikan dalam banyak cara, misalnya menurut jenisnya,dimensinya, fungsinya, tujuannya, subyeknya, atau derajad abstraksinya. Criteria yangpaling biasa adalah jenis model. Jenis dasar itu meliputi: Model dapat diklasifikasikan dalam banyak cara, misalnya menurut jenisnya,dimensinya, fungsinya, tujuannya, subyeknya, atau derajad abstraksinya. Criteria yangpaling biasa adalah jenis model. Jenis dasar itu meliputi:

b. Analogue Model Model analogue lebih abstrak disbanding model iconic, karena tak kelihatan samaantara model dengan sistem nyata. Contohnya jaringan pipa tempat air mengalirdapat digunakan dengan pengertian yang sama sebagai distribusi aliran listrik.Contoh lain adalah peta dengan bermacam-macam warna merupakan model analogdimana perbedaan warna menunjukan perbedaan cirri, misalnya biru menunjukanair, kuning menunjukan pegunungan, hijau sebagai dataran rendah, dan lain-lain.

c. Mathematic (Symbolic) Model Model matematik sifatnya paling abstrak. Model ini menggunakan seperangkatsimbol matematik untuk menunjukan komponen-komponen (dan hubungan antarmereka) dari sistem nyata. Namun, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikandalam rumusan matematik. Model ini dapat dibedakan menjadi deterministic danprobabilistic. Model deterministic dibentuk dalam situasi kepastian (certainty).Model ini memerlukan penyederhanaan-penyederhanaan dari realitas karenakepastian jarang terjadi. Model probabilistic meliputi kasus-kasus dimanadiasumsikan ketidakpastian (uncertainty).

uthore l |A na

io ras

iset Ope R

Teknik

Modul -2 PROGRAM LINEAR PROGRAM LINEAR

Program linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untukmenyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkanfungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input.Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaianmasalah dan apa penyebab masalah tersebut.

Dua macam fungsi Program Linear:

Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.

Masalah Maksimisasi

Maksimisasi dapat berupa memaksimalkan keuntungan atau hasil.Contoh: PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2jenis produk, yaitu kain sutera dan

. kain wol. Untuk memproduksi keduaproduk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dantenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari,benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiapunit produk akan bahan baku dan jam tenaga

, MKom kerja dapat dilihat dalam tabelberikut:

d by: uthore

l |A Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kainsutera dan Rp 30 juta untuk na io

kain wol. Masalahnya adalah bagaimanamenentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan ras

diproduksi setiap hariagar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal. Langkah-langkah:

iset Ope R

1. Tentukan variabel Teknik

X 1 =kain sutera

X 2 =kain wol

2. Fungsi tujuan Z max = 40X 1 + 30X 2

3. Fungsi kendala / batasan

1. 2X 1 + 3X 2 60 (benang sutera)

2. 2X 2 30 (benang wol)

3. 2X 1 +X 2 40 (tenaga kerja)

4. Membuat grafik

1. 2X 1 +3X 2 =60

X 1 =0, X 2 =60/3 = 20

X 2 =0, X 1 = 60/2 = 30

2. 2X 2 30

X 2 =15

3. 2X1 + X2 40

X 1 =0, X 2 = 40

X 2 =0, X 1 = 40/2 = 20 .

, MKom an, ST.

uthore l |A

na io

ras iset Ope

R Teknik

Cara mendapatkan solusi optimal:

1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A

X 1 =0, X 2 =0

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0 Titik B

X 1 =20, X 2 =0

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800 Titik C

Mencari titik potong (1) dan (3) 2X 1 + 3X 2 = 60 2X 1 +X 2 = 40 2X 2 =20 X 2 =10

Masukkan X 2 ke kendala (1)

, MKom 2X 1 + 3X 2 = 60

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

d by: 40X 1 + 30X 2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal) uthore

Titik D

masukkan X 2 ke kendala (1)

iset Ope R

2X 1 + 3 . 15 = 60 2X 1 + 45 = 60

Teknik

2X 1 = 15 X 1 = 7,5

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750 Titik E

X 2 = 15

X 1 =0

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450

Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X 1 = 15 dan X 2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta.

2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan. Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik

C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3).

. Mencari titik potong (1) dan (3)

Titik C

, MKom 2X 1 + 3X 2 = 60

Masukkan X 2 ke kendala (1) M 2X 1 + 3X 2 = 60

d by: 2X 1 + 3 . 10 = 60

uthore l |A

2X 1 + 30 = 60 na io

2X 1 = 30 <-> X 1 = 15 ras

masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z

iset Ope 40X 1 + 30X 2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

R Teknik

Modul -3

Permasalahan Minimasi

Permasalahan Minimisasi

Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapaipada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengantitik origin.Contoh :

Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makananyaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandungvitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jellypaling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin danprotein dalam setiap jenis makanan:

. , MKom

an, ST. Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi. hs

ad Ik Langkah – langkah: amm

1) Tentukan variabel uh

X 1 = Royal Bee d by:

X 2 = Royal Jelly uthore

2) Fungsi tujuan l |A

Zmin = 100X 1 + 80X 2

io ras

3) Fungsi kendala

1) 2X 1 +X 2 8 (vitamin) iset Ope

2) 2X 1 + 3X 2 12 (protein) Teknik

3) X 1 2

4) X 2 1

4) Membuat grafik

d by: uthore

l |A na io

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu persilangan garis kendala (1) dan ras (2).

2X 1 +X 2 =8 iset Ope R

2X 1 + 3X 2 = 12 Teknik

2 -2X = -4 <->X 2 =2

masukkan X 2 ke kendala (1) 2X 1 +X 2 =8 2X 1 +2=8

2X 1 = 6 <->X 1 =3 masukkan nilai X 1 dan X 2 ke Z Z min = 100X 1 + 80X 2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460

Kesimpulan :

Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X 1 = 3 dan X 2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah.

SOAL LATIHAN

1. Maksimumkan Z = 3X 1 + 5X 2

3) 6X 1 + 5X 2 30

, MKom

1 X 0 , X 2 0

2. Minimumkan Z = 5 X1 + 2X2 hs

an, ST.

ad Ik Kendala: amm

1) 6X 1 +X 2 6 uh

2) 4X 1 + 3X 2 2

d by:

3) X 1 + 2X 2 4 , X 1 0

uthore

3. PT BAKERY memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dancoklatkeju dengan l |A

keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp400 dan Rp 600. Setiap minggu ditetapkan na

io minimum produksi roti pia 25 unit,bolukismis 130 unit dan coklatkeju 55 unit. Ketiga jenis roti ras

memerlukanpemrosesan tiga kali yaitu penyiapan bahan, peracikan dan pengovenan sepertiterlihat pada tabel berikut:

iset Ope R

Teknik

Bagaimana formulasi program linear masalah PT Bakery tersebut dan hitungsolusi optimalnya!

uthore l |A

na io

ras

iset Ope R

Teknik

Modul -4 METODE SIMPLEX

Metode Simplex

Metode grafik tidak dapat menyelesaikan persoalan linear program yang memilki variabel keputusan yang cukup besar atau lebih dari dua, maka untukmenyelesaikannya digunakan Metode Simplex.

Beberapa ketentuan yang perlu diperhatikan, antara lain:

1. Nilai kanan (NK / RHS) fungsi tujuan harus nol (0).

2. Nilai kanan (RHS) fungsi kendala harus positif. Apabila negatif, nilai tersebut harus dikalikan –1.

3. Fungsi kendala dengan tanda “” harus diubah ke bentuk “=” dengan menambahkan variabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar.

4. Fungsi kendala dengan tanda “” diubah ke bentuk “” dengan cara mengalikan dengan –1, lalu diubah ke bentuk persamaan dengan ditambahkan variabel slack. Kemudian karena RHS-nya negatif, dikalikan lagi dengan –1 dan ditambah artificial variabel (M).

5. Fungsi kendala dengan tanda “=” harus ditambah artificial variabel (M).

Pembuatan Tabel Simplex

Contoh soal: Z = 3X 1 + 5X 2

, MKom Kendala:

an, ST. hs

1) 2X 1 8 ad Ik

2) 3X 2 15 amm

3) 6X 1 + 5X 2 30 M

Langkah-langkah:

d by:

1. Mengubah fungsi tujuan dan fungsi kendala (lihat beberapa ketentuan yang harus uthore

diperhatikan di atas!) Fungsi tujuan

Fungsi kendala

1) 2X 1 8 => 2X 1 +X 3 =8

2) 3X 2 15 => 3X 2 +X 4 = 15

iset Ope R

3) 6X 1 + 5X 2 30 => 6X 1 + 5X 2 +X 5 = 30

(X 3 ,X 4 dan X 5 adalah variabel slack)

Teknik

2. Menyusun persamaan-persamaan ke dalam tabel

3. Memilih kolom kunci Kolom kunci adalah kolom yang mempunyai nilai pada baris Z yang bernilai negatif dengan angka terbesar.

4. Memilih baris kunci amm uh

d by: Baris kunci adalah baris yang mempunyai index terkecil

uthore l |A

na io

ras iset Ope

R Teknik

5. Mengubah nilai-nilai baris kunci => dengan cara membaginya dengan angka kunci Baris baru kunci = baris kunci : angka kunci sehingga tabel menjadi seperti berikut:

6. Mengubah nilai-nilai selain baris kunci sehingga nilai-nilai kolom kunci (selain baris kunci) = 0 amm uh

Baris baru = baris lama – (koefisien angka kolom kunci x nilai baris baru kunci) M

d by: Baris Z Baris lama

[ -3 -5 0 0 0 0 ]

uthore l |A

Baris baru

ras Baris X 3

iset Ope Baris lama

R NBBK

Teknik

Baris baru

Baris X 5 Baris lama

NBBK

5 [ 0 1 0 1/3 0 5 ] Baris baru

6 0 0 -5/3 1 5

Masukkan nilai di atas ke dalam tabel, sehingga tabel menjadi seperti berikut:

7. Melanjutkan perbaikan-perbaikan (langkah 3-6) sampai baris Z tidak ada nilai negatif

uthore l |A

na io

ras iset Ope

R Teknik

Diperoleh hasil: X 1 = 5/6 , X 2 = 5, Z max = 27 ½

SOAL LATIHAN

1. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex Maksimumkan Z = 400X 1 + 300X 2 Fungsi kendala/ batasan:

1) 4X 1 + 6X 2 1200

2) 4X 1 + 2X 2 800

3) X 1 250

4) X 2 300 .

2. Selesaikan linear program berikut ini dengan metode Simplex Maksimumkan Z = 2X 1 + , MKom

3X 2 +X 3 Dengan fungsi kendala:

an, ST. hs

1) X 1 +X 2 +X 3 9

ad Ik

2) 2X 1 + 3X 2 25

amm uh

3) X 2 + 2X 3 10

4) X 1 ,X 2 ,X d by: 3 0

uthore l |A

na io

ras

iset Ope R

Teknik

Modul -5

Penyimpangan Penyimpangan Bentuk Standar

PENYIMPANGAN - PENYIMPANGAN BENTUK STANDAR

1. Fungsi batasan dengan tanda sama dengan (=)

=> ditambah dengan variabel buatan Contoh :

Fungsi kendala:

1) 2X 1 8 => 2X 1 +X 3 =8

2) 3X 2 15 => 3X 2 +X 4 = 15

3) 6X 1 + 5X 2 = 30 => 6X 1 + 5X 2 +X 5 = 30

Fungsi tujuan:

Z = 3X 1 + 5X 2 => Z – 3X 1 – 5X 2 + MX 5 =0

. Nilai setiap variabel dasar (X5) harus sebesar 0, sehingga fungsi tujuan harus dikurangi dengan M

dikalikan dengan baris batasan yang bersangkutan (3). Nilai baris Z sebagai berikut: , MKom

[ -3 -5 0 0 M , 0 ] an, ST.

M [ 6 5 0 0 1 , 30] hs (-6M-3) (-5M-5) 0 0 0 -30M

ad Ik Tabel

amm uh

M d by:

uthore l |A

na io

ras iset Ope

Teknik

2. Fungsi tujuan : Minimisasi

d by: Soal minimisasi harus diubah menjadi maksimisasi dengan cara mengganti tanda positif dan negatif pada

uthore fungsi tujuan. l |A

Contoh: na io

ras

Minimumkan Z = 3X 1 + 5X 2

Fungsi batasan:

1) 2X 1 =8

iset Ope R

2) 3X 2 15

Teknik

3) 6X 1 + 5X 2 30

Penyelesaian: Fungsi batasan:

Fungsi tujuan menjadi:

maksimumkan (-Z) = -3X 1 – 5X 2 –MX 3 – MX 6 diubah menjadi fungsi implisit => -Z + 3X 1 + 5X 2 + MX 3 + MX 6 =0

Nilai – nilai variabel dasar (X3 dan X6 ) harus = 0, maka: [35M00M,0] -M [ 2 0 1 0 0 0 , 8 ] -M [ 6 5 0 0 -1 1 , 30 ] (-8M+3) (-5M+5) 0 0 M 0 , -38M Tabel :

uthore l |A

na io

ras iset Ope

Teknik

(karena –Z= -18, maka Z=18)

Penyelesaian optimal: X 1 = 4, X 2 = 6/5 dan Z min = 18

SOAL LATIHAN

1. Minimumkan Z = 3X1 + 2X2 Fungsi batasan :

1) X 1 + 2X 2 20

2) 3X 1 +X 2 20 , X 1 0 , X 2 0

2. Maksimumkan Z = 4X 1 + 10X 2 + 6X 3

Fungsi batasan:

uthore l |A

na io

ras

iset Ope R

Teknik

Modul -6 DUALITAS

Dualitas

Dalam sebuah pemodelan Pemrograman Linear, terdapat dua konsep yang salingberlawanan. Konsep yang pertama kita sebut Primal dan yang kedua Dual.BentukDual adalah kebalikan dari bentuk Primal. Hubungan Primal dan Dual sebagaiberikut:

Masalah Primal (atau Dual)

Masalah Dual (atau Primal)

Koefisien fungsi tujuan ……………………………………. Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) …………………………………. Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………………………………………………………Variabel yi (atau xi) Bentuk …………………………………………………………yi 0 Bentuk = …………………………………………………………..yi dihilangkan Variabel Xj …………………………………………………………Batasan j

. Xj 0 ……………………………………………………………...Bentuk 

, MKom Xj 0 dihilangkan ……………………………………………Bentuk = an, ST.

uthore l |A na io

ras

iset Ope R

Teknik

ad Ik Primal amm

Minimumkan Z = 2X 1 +X 2

uh M

Fungsi batasan:

1) X 1 + 5X 2 10

ras Dual

iset Ope

Maksimumkan Y = 10 y 1 + 6y 2 + 8y 3

R Fungsi batasan :

1) y 1 +y 2 + 2y 3 2

Teknik

Maksimumkan Z = X 1 + 3X 2 – 2X 3

Fungsi batasan:

Dual Minimumkan Y= 25y 1 + 30y 2 Fungsi batasan:

1) 4y 1 + 7y 2 1

2) 8y 1 + 5y 2 3

3) 6y 1 + 9y 2 -2

SOAL LATIHAN

, MKom

1. Primal an, ST.

Maksimumkan Z = 5X 1 + 7X 2

hs ad Ik

Fungsi batasan:

3) 6X 1 + 7X 2 42

2. Primal l |A na

Maksimumkan Z = X 1 + 3X 2 – 2X 3

io ras

Fungsi batasan:

1) 4X 1 + 8X 2 + 6X 3 = 25

2) 7X 1 + 5X 2 + 9X 3 = 30

iset Ope R

X 1 ,X 2 ,X 3 0

Teknik

3. Primal Minimumkan Z = 3X 1 + 2X 2 +X 3 + 2X 4 + 3X 5 Fungsi batasan:

4. Primal Minimumkan Z = X 1 + 2X 2 +X 3 Fungsi batasan:

iset Ope

Teknik

Modul -7

MASALAH PENUGASAN (ASSIGNMENT PROBLEM)

Masalah Penugasan

Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah Metode Hungarian. Pada Metode Hungarian, jumlah sumber-sumber yang ditugaskan harus sama persis dengan jumlah tugas yang akan diselesaikan. Setiap sumber harus ditugaskan hanya untuk satu tugas. Jadi, masalah penugasan akan mencakup sejumlah n sumber yang mempunyai n tugas, sehingga ada n! (n faktorial) kemungkinan. Masalah ini dapat dijelaskan dengan mudah dalam bentuk matriks segi empat, dimana baris-barisnya menunjukkan sumber-sumber dan kolomkolomnya menunjukkan tugas-tugas.

1. Masalah Minimisasi Contoh: Sebuah perusahaan kecil mempunyai 4 pekerjaan yang berbeda untuk diselesaikan oleh 4 karyawan. Biaya penugasan seorang karyawan untuk pekerjaan yang berbeda adalah berbeda karena sifat pekerjaan berbeda-beda. Setiap karyawan mempunyai tingkat ketrampilan, pengalaman kerja dan latar belakang pendidikan serta latihan yang berbeda pula. Sehingga biaya penyelesaian pekerjaan yang sama oleh para karyawan yang berlainan juga berbeda. Tabel biaya sebagai berikut:

uh Masalahnya adalah bagaimana menugaskan keempat karyawan untuk menyelesaikan keempat

M pekerjaan agar total biaya pekerjaan minimum. Langkah-langkah:

d by:

1. Menyusun tabel biaya seperti tabel di atas. uthore

2. Melakukan pengurangan baris, dengan cara: l |A na

a. memilih biaya terkecil setiap baris ras

b. kurangkan semua biaya dengan biaya terkecil setiap baris iset Ope R

Teknik

Sehingga menghasilkan reduced cost matrix /matrik biaya yang telah dikurangi.

3. Melakukan pengurangan kolom Berdasarkan hasil tabel langkah 2, pilih biaya terkecil setiap kolom untuk mengurangi seluruh biaya dalam kolom-kolom tersebut. Pada contoh di atas hanya dilakukan pada kolom III karena semua kolom lainnya telah mempunyai elemen yang bernilai nol (0). Jika langkah kedua telah menghasilkan paling sedikit satu nilai nol pada setiap kolom, maka langkah ketiga dapat dihilangkan. Berikut matrix total opportunity cost, dimana setiap baris dan kolom terdapat paling sedikit satu nilai nol. Tabel total opportunity cost matrix

4. Membentuk penugasan optimum Prosedur praktis untuk melakukan test optimalisasi adalah dengan menarik sejumlah minimum garis

d by:

uthore horisontal dan/ atau vertikal untuk meliputi seluruh elemen bernilai nol dalam total opportunity l |A

cost matrix. Jika jumlah garis sama dengan jumlah baris/ kolom maka penugasan telah optimal. Jika na

io tidak maka harus direvisi. ras

iset Ope R

Teknik

5. Melakukan revisi tabel

a. Untuk merevisi total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak terliput (dilewati) garis. (pada contoh di atas = 10)

b. Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil (10)

c. Tambahkan angka yang terdapat pada persilangan garis dengan angka terkecil (10) yaitu (50) pada Hasan dan (10) pada Dzakwan. d. Kembali ke langkah 4

Revised matrix:

Berikut tabel penugasannya

amm uh

M d by:

uthore l |A

na io

ras

iset Ope

R Teknik

2. Jumlah Pekerjaan Tidak Sama Dengan Jumlah Karyawan Bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan, maka harus ditambahkan karyawan semu (dummy worker). Biaya semu sama dengan nol karena tidak akan terjadi biaya bila suatu pekerjaan ditugaskan ke karyawan semu. Bila jumlah karyawan lebih banyak daripada pekerjaan, maka ditambahkan pekerjaan semu (dummy job). Sebagai contoh, bila jumlah pekerjaan lebih besar dari jumlah karyawan dapat dilihat pada tabel berikut:

Prosedur penyelesaian sama dengan langkah-langkah sebelumnya.

3. Masalah Maksimisasi Dalam masalah maksimisasi, elemen-elemen matriks menunjukkan tingkat keuntungan. Efektivitas

. pelaksanaan tugas oleh karyawan diukur dengan jumlah kontribusi keuntungan.

, MKom

Contoh: Tabel keuntungan

d by: uthore

a. Seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan Matriks Opportunity Loss. Matriks ini sebenarnya bernilai negatif.

iset Ope R

Teknik

Matriks total opportunity loss

Dari matriks di atas dapat dilihat bahwa seluruh elemen yang bernilai nol baru dapat diliput oleh 4 garis. , MKom Jadi matriks harus direvisi.

an, ST.

c. Merevisi matriks hs ad Ik

amm uh

M d by:

uthore l |A

na io

ras Schedul penugasan optimal dan keuntungan total untuk dua alternatif penyelesaian adalah:

iset Ope R

Teknik

SOAL LATIHAN

1. Sebuah perusahaan pengecoran logam mempunyai empat jenis mesin yang diberi nama M1, M2, M3 dan M4. Setiap mesin mempunyai kapasitas yang berbeda dalam pengoperasiannya. Dalam minggu mendatang perusahaan mendapatkan pesanan untuk menyelesaikan empat jenis pekerjaan (job) yaitu J1, J2, J3 dan J4. Biaya pengoperasian setiap pekerjaan oleh keempat mesin dapat dilihat dalam tabel berikut:

. , MKom

an, ST.

2. Seorang pengusaha konveksi mempunyai 4 orang karyawati yang memproduksi 4 jenis produk. hs

Jumlah produk yang dihasilkan masing-masing karyawan tiap bulannya dapat dilihat pada tabel ad Ik

berikut: amm

uh M

d by: uthore

l |A na

io ras

Buat penugasan agar jumlah produk yang dihasilkan bisa maksimum! iset Ope

Teknik

Modul -8 METODE TRANSPORTASI

Metode Transportasi

Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber- sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempattempat yang membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda. Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:

1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.

2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih efisien dibanding metode NWC.

Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:

1. Stepping Stone (batu loncatan)

2. Modified Distribution Method (MODI) .

Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).

, MKom Contoh masalah transportasi:

d by: uthore

l |A na

io ras

iset Ope R

Teknik

Penyelesaian:

1. Metode NWC

Biaya yang dikeluarkan : (50 . 20) + (40 . 5) +( 60 . 20) + (10.10) + (40.19) = 3260

2. Metode biaya terkecil , MKom

d by: uthore

l |A na

io ras

iset Ope R

Teknik

Biaya yang dikeluarkan : (90 . 5) + (20 . 15) + (40 . 10) + (30 . 25) + (20 . 10) = 2400

Mengoptimalkan tabel:

1. Metode Stepping Stone , misal tabel awal menggunakan yang NWC

Perbaikan 1 dengan cara trial and error

d by: uthore

l |A na io

ras Setelah dihitung dengan trial and error, biaya yang dikeluarkan:

(50 . 15) + (90 . 5) + (10 . 20) + (10 . 10) + (40 . 19) = 2260 iset Ope R

Teknik

Perbaikan 2

Biaya yang dikeluarkan : (50 . 5) + (40 . 8) + (50 . 15) + (10 . 20) + (50 . 10) = 2020

Perbaikan 3

, MKom an, ST.

uthore l |A

na io

ras iset Ope

Teknik

Biaya yang dikeluarkan : (60 . 5) + (30 . 8) + (50 . 15) + (10 .10) + (50 . 10) = 1890 (paling optimal) Jika hasil belum optimal, lakukan perbaikan terus sampai mendapatkan hasil yang optimal.

iset Ope R

Teknik

Modul -9 OPTIMALISASI DENGAN METODE MODI

Metode MODI

Langkah-langkah:

a. Misal tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC

b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom.

c. Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus: Ri

dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dengan cara meng-nol-kan variable R1 atau K1, misal R1= 0 , MKom

d by: letakkan nilai tersebut pada baris / kolom yang bersangkutan

ras iset Ope

R Teknik

(optimal jika pada sel yang kosong, indek perbaikannya 0, jika belum maka pilih yang negatifnya hs besar)

ad Ik

e. Memilih titik tolak perubahan amm uh

Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu H-A M

f. Buat jalur tertutup d by: Berilah tanda positif pada H-A. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (H-B), 1 sel yang isi terdekat

uthore dan sekolom (W-A), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris

l |A atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (W-B) dan beri tanda positif. Selanjutnya

na io

pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang ras bertanda positif (50). Jadi, H-A kemudian berisi 50, H-B berisi 60-50=10, W-B berisi 40+50=90 dan W-

A tidak berisi. iset Ope

Teknik

, MKom P-C

= R3 + K3 = 19 => 5 + K3 = 19 , K3 = 14

an, ST. hs

ad Ik Perbaikan indeks: amm

uthore P-A

iset Ope R

Teknik

Biaya transportasi : (90 . 5) + (50 . 15) + (10 . 10) + (20 . 10) + (30 . 19) = 2070 Hitung sel yang berisi: W-B

, MKom H-C

ad Ik Perbaikan indeks (sel kosong) :

ras iset Ope

R Teknik

Biaya transportasi : (80 . 5) + (10 . 8) + (50 . 15) + (10 . 10) + (30 .10) + (20 . 19) = 2010 Sel berisi:

. W-B = R1 + K2 = 5 => 0 + K2 = 5 , K2 = 5 , MKom

M Indeks perbaikan:

d by: W-A = 20 – 0 – 19 = 1 uthore l |A

H-B = 20 – (-4) – 5 = 19 na

io P-A = 25 – 5 – 19 = 1 ras

iset Ope Indeks perbaikan sudah positif semua, berarti sudah optimal. R

Teknik

42 Teknik Riset Operasional |Authored by: Muhammad Ikhsan, ST., MKom.

Modul -10 OPTIMALISASI DENGAN METODE VAM

Metode VAM

Metode VAM merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan.

Langkah metode VAM:

1. Cari perbedaan dua biaya terkecil, yaitu terkecil pertama dan kedua (kolom dan baris)

2. Pilih perbedaan terbesar antara baris dan kolom

3. Pilih biaya terendah

4. Isi sebanyak mungkin yang bisa dilakukan

5. Hilangkan baris / kolom yang terisi penuh

6. Ulangi langkah 1-5 sampai semua baris dan kolom seluruhnya teralokasikan.

uthore l |A

na io

ras iset Ope

R Teknik

uthore l |A

na io

ras Biaya transportasi :

(10 . 50) + (5 . 60) + (8 . 30) + (15 . 50) + (10 . 10) = 1890 (optimal) iset Ope R

Teknik

SOAL LATIHAN

1. Perhatikan Tabel Dibawah ini :

Selesaikan dengan metode:

a. NWC

b. Biaya terkecil

c. MODI

2. Produksi pabrik A, B , C adalah sebagai berikut:

. , MKom

an, ST. hs

ad Ik Gudang pabrik tersebut mempunyai kapasitas sebagai berikut: amm

uh M

d by: uthore

l |A na

io ras

iset Ope Biaya untuk mendistribusikan barang dari pabrik ke gudang : R

Teknik

b. Selesaikan dengan metode biaya terkecil dan optimalkan dengan metode MODI

c. Selesaikan dengan metode VAM

uthore l |A na

io ras

iset Ope R

Teknik

Modul -11 MODEL NETWORK

Mengapa mempelajari Network Model

Sebuah surve melaporkan bahwa 70% dari pemrograman matematika dapat direpresentasikan dalam model jaringan terhubung

Keterangan BAB

Definisi Network

Sebuah Network (jaringan) terdiri dari sejumlah node-node yang dihubungkan oleh arcs Notasi untuk menggambarkan sebuah jaringan adalah (N,A) dimana N adalah set node-node dan A

adalah set arc-arc Contoh :

N = {1, 2, 3}

A = {(1,2), (2,3)} .

Sebuah Arc dikatakan sebagai directed atau oriented jika mengijinkan aliran positif pada satu arah dan nol pada arah yang berlawanan

, MKom

A directed network has all directed arcs. an, ST.

Sebuah directed network mempunyai semua direct arcs. hs

ad Ik Sebuah path adalah urutan arc yang menggabungkan dua node melalui node yang lain tanpa

memandang arah dari tiap arc. amm uh

Sebuah path membentuk sebuah cycle jika menghubungkan sebuah node ke diri sendiri melalui M

node lain. d by:

Sebuah cycle adalah directed apabila terdiri dari sebuah directed path uthore

l |A na

Network Definition

ras Sebuah connected network adalah adanya tiap dua node yang terhubung oleh minimal sebuah path

iset Ope Tree adalah sebuah connected network yang dapat melibatkan sebuah subset dari node-node yang R

ada dalam network tanpa cycle. Teknik

Sebuah spanning tree adalah tree yang menghubungkansemua node-node dari network, juga tanpa cycle.

Algoritma Minimal Spanning Tree

Misal N = {1, 2, 3, …, n} adalah sebuah set node-node. Tentukan :

Ck Set node-node yang telah permanen terhubung pada iterasi ke k. Node yang sudah terhubung permanen

C’k Set node-node yang akan dihubungkan secara permanen Node yang belum terkoneksi

Step 0: Posisikan C0 = { } dan C’0 = N. Step 1:

. Mulai dengan sembarang node dalam set yang belum terhubung C’0.

, MKom Posisikan C1 = {i} yang mengubah C’1 = N – {i}.

Posisikan k=2. an, ST. hs

Langkah Umum k: ad Ik

Pilih sebuah node, j*, dalam set belum terhubung C’k-1 yang menyatakan arc terpendek ke

amm sebuah node dalam set terhubung Ck-1.

uh M

Hubungkan j* secara permanen ke Ck-1 dan hilangkan dari C’k-1. d by: Ck = Ck-1 + {j*}

uthore Ck = Ck-1 – {j*}

l |A na

Jika set dari node belum terhubung, Ck, kosong, berhenti. io ras Jika tidak, posisikan k = k + 1 dan ulangi langkah tersebut.

iset Ope R

Teknik

Persoalan Minimal Spanning Tree

Persoalan Perusahaan TV kabel Midwest sedang dalam proses penyambungan kabel ke lima area

pembangunan perumahan baru. Persoalan Minimal Spanning Tree

Persoalan Rute Terpendek

uh Persoalan rute terpendek menentukan rute terpendek antara sebuah sumber dan tujuan dalam M

jaringan transportasi. d by:

uthore l |A

na io

ras iset Ope

R Teknik

Penggantian Perlengkapan

Contoh problem

Sebuah tempat persewaan mobil mengembangkan sebuah rencana penggantian untuk mobil- mobilnya untuk jangka waktu 4 tahun mendatang yang dimulai sejak 1 januari 2001 sampai 31 desember 2004.

Sebuah keputusan harus diambil untuk menentukan apakah sebuah mobil harus terus dioperasikan atau diganti. Sebuah mobil harus dioperasikan paling sedikit 1 tahun dan maksimal 3 tahun

Replacement Cost Penyelesaian

. Arcs dari node 1 hanya dapat mencapai node 2,3, dan 4 sebab sebuah mobil hanya dapat

dioperasikan pada tahun pertama,kedua, dan ketiga saja , MKom Angka pada masing-masing arcs menunjukkan biaya penggantian spare part

an, ST. hs

Rute terpendek yang didapat dengan menggunakan TORA adalah 1 -> 3 ->5 ad Ik

Total biaya penggantian yang dibutuhkan amm

$5400 + $7100 = $12500 uh M

Rute Terhandal (Most Reliable Route) d by: Seseorang ingin mencari rute dari rumah ke kantornya. Dia ingin mencari rute teraman yang

uthore mungkin dicapai tanpa dihentikan polisi l |A

Angka pada tiap arcs melambangkan kemungkinan dia selamat melalui jalan itu tanpa dihentikan na

io polisi

ras Kemungkinan orang itu selamat menuju kantornya tanpa dihentikan polisi adalah hasil kali dari

masing-masing kemungkinan di tiap node iset Ope R

Model jaringan Most Reliable route Teknik

Penyelesaian Masalah tersebut dapat diubah menjadi rute jalan terpendek dengan menggunakan transformasi

logaritma Perkalian masing2 arcs dapat diubah menjadi jumlah dari log arcs

pk=p1 x p2 x p3 x…..x pn = log p1 + log p2 +…..+ log pn Dengan mengganti nilai di masing2 arcs dengan nilai log-nya,penyelesaian dapat dicari dengan

menggunakan TORA, hasilnya 1->3->5->7 Peluangnya sampai kantor tanpa dihentikan oleh polisi

0.9 x 0.3 x 0.25 = 0.0675 Representasi Model Rute Terpendek Log Algoritma rute terpendek

Ada dua algoritma yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan mencari rute terpendek Dijkstra’s Algorithm

. Digunakan untuk mencari rute terpendek dari suatu node dengan semua node lain dalam

suatu network , MKom

Floyd’s Algorithm an, ST.

hs Digunakan untuk mencari rute terpendek antara 2 node dalam suatu network ad Ik

Dijkstra’s Algorithm amm

Misalkan ui adalah rute terpendek dari node 1 ke node i, dan dij adalah panjang dari arcs(i,j) maka uh

M [uj,i] = [ui + dij,i] , dij >=0

d by: Label untuk node awal adalah [0,-] menandakan bahwa node tersebut tidak mempunyai

uthore predecessor l |A

na Label suatu node dalam algoritma dijkstra dibedakan menjadi 2

io ras

Temporary Diubah nilainya jika rute yang lebih pendek bisa ditemukan

iset Ope R

Permanent Teknik

Ditentukan jika tidak ada rute lain yang lebih pendek yang dapat ditemukan

Langkah2 Algoritma Dijkstra Tandai label awal dengan label permanent [0,-], set i=1 Hitung label temporary [ui+dij,i] untuk tiap node j yang dapat dicapai dari node i, beri tanda

temporari

Jika node j sudah punya label [uj,k] melalui node lain k dan jika ui+dij<uj, ganti [uj,k] dengan [uj+dij,i]

Jika semua node telah mempunyai label permanen, stop. Jika tidak, pilih label [ur,s] yang mempunyai jarak terpendek(ur) dari semua label temporary. Set i=r dan ulaingi step 1

Contoh di gambar 6.3-4 Iterasi 0

Tandai node 1 dengan label permanen [0,-] Iterasi 1

Node 2 dan 3 dapat dicapai dari node 1 dan dari 2 temporary label itu node 3 mempunyai jarak yg lebih pendek, maka node 3 menjadi label permanen

Iterasi 2

Node 4 dan 5 dapat dicapai dari node 3 dan karena node 4 mempunyai jarak yg lebih pendek,

. node 4 menjadi node permanen

Iterasi 3 , MKom

Node 2 dan 5 dapat dicapai dari node 4. temporary label pada node 2 diganti karena rute yg

an, ST.

lebih pendek didapat dari node 4. Node 5 mempunyai 2 label yg sama jaraknya maka nilainya

hs tidak diganti

ad Ik Iterasi 4

amm uh

Node 2 hanya dapat menuju ke node 3 yang sudah mempunyai label permanen, maka node 2

M diberi label permanen

d by: Node 5 tidak dapat menuju ke node lain sehingga node 5 juga diberi label permanen

uthore l |A

na io ras

iset Ope R

Teknik

Modul -12 CPM

Perhitungan yang dibutuhkan :

Durasi total yg dibutuhkan dlm penyelesaian proyek Mengklasifikasikan aktivitas berdasarkan kritis dan non kritis Dikatakan kritis jika tidak ada celah (“leeway”) dalam penentuan awal & akhir aktivitas Dikatakan non-kritisjika aktivitas mengijinkan slack(waktu senggang), sehingga awal aktivitas dapat dtunda/dipercepat tanpa mempengaruhi keseluruhan jadwal proyek

Event (Node)

Pengertian : suatu titik waktu dimana suatu aktivitas diakhiri & aktivitas yang lain dimulai Unsur-unsurnya :

1. ฀ j = waktu kejadian paling awal dari event j (start)

2. Δ j = waktu kejadian paling akhir dari event j (end)

3. D ij = Durasi aktivitas (i,j) .

, MKom

Forward Pass

an, ST. Perhitungan berawal dari node 1 & secara rekursif berakhir di node n hs

Initial Step. ฀ j =0 ad Ik

General Step

amm ฀ j =max{฀ p +D pj ,฀ q +D qj ,...,฀ v +D vj } uh

Forward pass diakhiri ketika ฀ n telah dihitung M Sesuai definisi, ฀ n adalah durasi/path terpanjang ke node j

d by:

Backward Pass

uthore Perhitungan berawal dari node n & secara rekursif berakhir di node 1 l |A

na io

Initial Step. Δ n =฀ n ras

General Step

Δ j =min{Δ p -D jp ,Δ q -D jq ,..., Δ v -D jv } iset Ope

Backward pass diakhiri ketika Δ 1 di node 1 telah dihitung

Teknik

Syarat Kritis

Δ i =฀ i Δ j =฀ j Δ j -Δ i =฀ j -฀ i =D ij Jika tidak memenuhi, maka disebut non kritis Aktivitas kritis harus menunjukkan path yang tidak boleh diinterupsi yg dapat mempengaruhi network dari start hingga finish

Contoh Tentukan jalur kritis dari jaringan berikut:

Jawaban

d by:

Forward Pass

Node 1. Set □ uthore 1 =0 Node 2. □ 2 = □ 1 +

□ l |A 12 = 0+5 = 5 na

Node 3. □ 3 = max{ □ 1 +D 13 + □ 2 + □ 23 }= max{0+6, 5+3}= 8

Node 4. □ 4 =D 2 + □ 24 = 5+8 = 13

ras

Node 5. □ 5 = max{ □ 3 +D 35 , □ 4 + □ 45 } = max{8+2, 13+0}= 13

Node 6. □ 6 = max{ □ 3 +D 36, □ 4 + □ 46 , □ 5 +D 56 } iset Ope R

= max{8+11, 13+1, 13+12}=25 Teknik

Backward Pass

Node 6. Set Δ 6 =0 Node 5. Δ 6 = Δ 6 -Δ 56 = 25-12 = 13 Node 4. Δ 4 = min{Δ 6 -D 46 -Δ 5 -Δ 45 }= min{25-11, 13-0}= 13 Node 3. Δ 3 = min{Δ 6 -D 36 -Δ 5 -Δ 35 }= min{25-11, 13-2}= 11

Node 2. Δ 2 = min{ Δ 4 -D 24 ,Δ 3 -Δ 23 } = min{13-8, 11-3}= 5 Node 1. Δ 1 = min{ Δ 3 -D 13 ,Δ 2 -Δ 12 } = min{11-6, 5-5}=0

Contoh Buatlah schedule dari jalur gambar 6.54 sebelumnya

Keterangan schedule: Kegiatan kritis (ditunjukkan dng garis tebal) harus dijadwalkan setelah yang lain memastikan project

itu dilengkapi dengan durasi 25 hari yang spesifik Kegiatan non kritis (ditunjukkan dng garis putus-putus) meliputi rentang yang lebih besar dari total

durasi, karena disediakan slack di schedule dengan waktu yang dibagi. Contoh CPM-TORA

Penentuan Float

, MKom Float adalah waktu slack yang didapatkan dengan membagi waktu dari kegiatan non kritis Tiga perhitungan :

an, ST. hs

1. Optimistic Key, a, mengasumsikan pelaksanaan berjalan benar-benar sukses ad Ik

2. Most Likely Time, m, mengasumsikan pelaksanaan berjalan dalam kondisi normal

amm uh

3. Pessimistic Time, b, mengasumsikan pelaksanaan berjalan paling buruk M

D = mean/rata-rata d by:

V = varians uthore l |A

Rumus Probabilitas

na io

μ = waktu pemunculan kejadian tercepat untuk kejadian i ras ST i = Scheduled Time

iset Ope

E = mean R

var = varian Teknik

Dual problem dari LP diatas adalah :

Min w = y 6 –y 1 *y 2 –y 1 ≥ 5(A)

*y 6 –y 3 ≥ 11(F)

*y 3 –y 1 ≥ 6(B)

*y 5 –y 4 ≥ 0(Dummy)

*y 3 –y 2 ≥ 3(C)

*y 6 –y 4 ≥ 1(G)

*y 4 –y 2 ≥ 8(D)

*y 6 –y 5 ≥ 12(H)

*y 5 –y 3 ≥ 2(E)

* semua y i restricted

y i = waktu munculnya node j y 1 =0 Dengan menggunakan TORA, didapat hasil : w=25, y 1 = 0, y 2 = 5, y 3 = 11, y 4 = 13, y 5 = 13, y 6 = 25 Solusi menunjukkan durasi proyek adalah 25 hari dengan path : ADDummyH Solusinya menyatakan bahwa nilai dual positif selalu sama dengan 1, karena penundaan sehari di

. kegiatan kritis manapun akan menyebabkan penundaan proyek selama 1 hari(ingat bahwa variabel dual

dianggap harga per unit dari suatu resource) , MKom an, ST.

d by: uthore

l |A na

io ras

iset Ope R

Teknik

M odul Teo r i Tek ni k Rise t O per as ion al

STMIK TRIGUNADHARMA AUTHORED BY: MUHAMMAD IKHSAN, ST., MKOM.

Kata Pengantar