Sebaran Peubah Acak Bersama

Bab 6 Sebaran Peubah Acak Bersama

  6.1 Peubah Acak Ganda

Misalnya terdapat suatu tindakan pelemparan sekeping mata uang seimbang

sebanyak 3 kali, dan X adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul

dari 3 lemparan, serta Y adalah peubah acak banyaknya sisi muka yang muncul

dari 2 lemparan terakhir. Maka dapat ditentukan X = {0, 1, 2, 3} dan Y =

{0, 1, 2}. Fungsi massa peluang dari peubah acak X dan Y secara bersama

dapat ditentukan sebagai berikut: _{     1/8 untuk (x, y) = (0, 0), (1, 0), (2, 2), (3, 2)} P [(X, Y ) = (x, y) = f (x, y) = 2/8 untuk (x, y) = (1, 1), (2, 1) _{   } untuk (x, y) lainnya atau dapat juga disajikan dalam bentuk tabel seperti berikut:

  Y

  X

  1 2 f ^{X (x)} 1/8 1/8 1 1/8 2/8 3/8

  2 2/8 1/8 3/8 _Y 3 1/8 1/8 f (y) 2/8 4/8 2/8

  1 Definisi 6.1.1 .

  

Peubah acak ganda-n, yaitu (X , X , ..., X ) adalah suatu fungsi dari ruang con-

  1 2 n n

  toh S ke ruang bilangan nyata berdimensi n (R ), n = 1, 2, 3, ... Definisi 6.1.2 .

  2 Ambil peubah acak ganda-2 diskret (X, Y ). Suatu fungsi R ke R berikut:

  2

  

f (x, y) = P [(X, Y ) = (x, y)] untuk (x, y) ∈ R

disebut fungsi massa peluang (fmp) dari peubah acak ganda-2 (X, Y )

  

Contoh 1a . Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah (a) P (X + Y = 2), (b)

P (X + Y > 1, (c) P (| X − Y |< 2).

  Definisi 6.1.3 .

Nilai harapan dari suatu fungsi dari peubah acak ganda-2 diskret (X, Y ) adalah

_X

E[g(X, Y )] = g(x, y)f (x, y)

  (x,y)∈(X,Y ) Contoh 1b . Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah E(XY ).

  Teorema 6.1.1 .

  2 Ambil peubah acak diskret (X, Y ) dengan fmp f (x, y) untuk (x, y) ∈ R .

  (i) Fmp marjinal dari peubah acak X adalah _X f (x) = P (X = x) = f (x, y), untuk x ∈ R

  X y∈{y;f (x,y)>0}

  (ii) Fmp marjinal dari peubah acak Y adalah _X f (y) = P (Y = y) = f (x, y), untuk y ∈ R

  Y x∈{x;f (x,y)>0}

  

Contoh 1c . Dari ilustrasi sebelumnya, tentukan fmp marjinal f (x) dan f (y),

  X Y serta E[X] dan E[Y ].

  Definisi 6.1.4 . Kovarian dari peubah acak diskret (X, Y ) adalah

Cov(X, Y ) = E[XY ] − E[X]E[Y ].

  Bila X = Y maka

  2

  2 Cov(X, Y ) = E[X ] − (E[X]) = V ar(X).

  Koefisien korelasi dari peubah acak (X, Y ) adalah _{q q q} Cov(X, Y ) Cov(X, Y )

ρ(X, Y ) = = .

  V ar(X) V ar(Y ) V ar(X)V ar(Y ) dan −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1.

  Contoh 1d . Dari ilustrasi sebelumnya, hitunglah Cov(X, Y ) dan ρ(X, Y ).

6.2 Peubah Acak Kontinu Ganda-2 Definisi 6.2.1 .

  

Ambil peubah acak kontinu ganda-2 (X, Y ). Suatu fungsi f (x, y) ≥ 0 untuk

  X,Y

  2

  

(x, y) ∈ R disebut fungsi kepekatan peluang (fkp) bersama dari peubah acak

  2

  (X, Y ) jika untuk setiap himpunan A ⊆ R berlaku _{Z Z}

P [(X, Y ) ∈ A] = f (x, y)dxdy.

  X,Y (x,y)∈A

  2 Bila A = R maka _{Z Z Z Z} ∞ ∞

P [(X, Y ) ∈ A] = f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy = 1.

₂ X,Y X,Y

  (x,y)∈R −∞ −∞ Definisi 6.2.2 .

  Fkp marjinal dari peubah acak X adalah _Z

  ∞

  

f (x) = f (x, y)dy, untuk x ∈ R

  X X,Y −∞

  Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah _Z

  ∞

f (y) = f (x, y)dx, untuk y ∈ R.

Y X,Y

  −∞

  

Contoh 2 . Peubah acak kontinu (X, Y ) memiliki fungsi kepekatan peluang

sebagai berikut: _{ } 4xy untuk 0 < x < 1, 0 < y < 1 f (x, y) =

  X,Y _

  untuk (x, y) lainnya

  1

  1 Berapa (a) P (X > Y ), (b) P (Y >| X − |), (c) P (XY < ), (d) fkp marjinal

  2

  2

  dari X dan Y ?

  6.3 Fungsi Sebaran Fungsi sebaran dari peubah acak ganda-2 (X, Y ) adalah:

  2 F (x, y) = P [X ≤ x ∩ Y ≤ y], untuk (x, y) ∈ R _{R R} y x

  = f (u, v) . _{u v}

  −∞ d d −∞

  Contoh 3a . Diketahui fungsi kepekatan peluang bersama peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: _{ } 4xy untuk 0 < x < 2, 0 < y < 1 f (x, y) = _ untuk (x, y) lainnya

  Dapatkan fungsi sebaran F (x, y).

6.4 Peubah Acak Ganda-2 Campuran

  1

  0 untuk (x, y) lainnya Dapatkan fungsi sebaran F (x, y).

  6.4.1 Peubah acak X kontinu, Y diskret Sebagai ilustrasi, misalnya fmp/fkp dari peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: f

  X,Y

  (x, y) = ^{       } _{      } 1/6 untuk 0 < x < 1, y = 1 2/6 untuk 0 < x < 1, y = 2 3/12 untuk

  1

  2

  < x < 2

  1

  2

  , y = 3 untuk (x, y) lainnya Fkp marjinal dari peubah acak X adalah: f

  

Contoh 3b . Diketahui fungsi kepekatan peluang bersama peubah acak (X, Y )

sebagai berikut: f (x, y) = ^{ } _ 1 untuk 0 < x < 2, 0 < y < 1 − x/2

  1

  1

• 2
• 2
• 3

  6

  dx =

  6

  _R untuk y = 1

  1

  2

  6

  dx =

  2

  6

  _{R 2} untuk y = 2 _{1 2 1 2}

  3

  12

  1

  dx =

  2

  untuk y = 3 untuk y lainnya

Contoh 4a . Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, tentukan (a) Cov(X, Y ) dan (b)

ρ(X, Y ).

  6.4.2 Peubah acak X diskret, Y kontinu Sebagai ilustrasi, misalnya fmp/fkp dari peubah acak (X, Y ) sebagai berikut: f

  X,Y

  (x, y) = ^{       } _{      } y untuk x = 1, 0 < y < 1

  1

  2

  y untuk x = 2, 0 < y < 1

  1

  8

  y untuk x = 3, 0 < y < 2

  1

  6

  =

  4

  6

  2

  untuk 0 < x <

  (x) = ^{       } _{      }

  2

  1

  6

  6

  12

  

=

  3

  untuk

  1

  1

  2

  < x < 1

  1

  4 Fkp marjinal dari peubah acak X adalah: f

  X

  1

  2

  untuk x lainnya Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah: f

  Y

  (y) = ^{        } _{       } ^R

  1

  untuk 1 < x < 2

  X

  1

  untuk x = 3 untuk x lainnya Fkp marjinal dari peubah acak Y adalah: f

  Y

  (y) = ^{    } _{   } y +

  1

  2

  y +

  8

  1

  

y =

  13

  8

  y untuk 0 < y < 1

  1

  8

  4

  ydy =

  (x) = ^{       } _{      } ^R

  1

  1

  ydy =

  1

  2

  _R untuk x = 1

  1

  2

  8

  ydy =

  1

  4

  _R untuk x = 2

  2

  1

  y untuk 1 < y < 2 untuk y lainnya

Contoh 4b . Berdasarkan ilustrasi sebelumnya, tentukan (a) Cov(X, Y ) dan (b)

ρ(X, Y ).

6.5 Sebaran Bersyarat dan Dua Peubah Acak Bebas Definisi 6.5.1 .

  X,Y

  =

  (1, y) f

  X

  (1) = ^{     } _{    }

  1/8 3/8

  =

  1

  3

  , untuk y = 0

  2/8 3/8

  2

  (y | 1) = f

  3

  , untuk y = 1 , untuk y lainnya dan fmp bersyarat dari peubah acak X bila diketahui X = 3 adalah f

  Y |X

  (y | 3) = f

  X,Y

  (3, y) f

  X

  (3) = ^{ } _

  1/8 1/8

  = 1 , untuk y = 2 , untuk y lainnya

  X,Y

  Y |X

  (x, y) untuk (x, y) ∈ R, serta f

  X

  X

  (x) untuk x ∈ R dan f

  Y

  (y) untuk y ∈ R masing-masing sebagai fmp/fkp marjinal dari peubah acak X dan Y .

  

Ambil peubah acak ganda-2 (X, Y ) yang diskret atau kontinu dengan fmp/fkp

bersama f

  Y |X

  (y | x) = f

  X,Y

  (x, y) f

  (x) , untuk y ∈ R asal f

  Dari ilustrasi di awal bab ini, maka fmp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X = 1 adalah f

  X

  (x) > 0

  

b) Fmp/fkp bersyarat dari peubah acak X bila diketahui Y = y adalah suatu

fungsi dari x sebagai berikut: f

  X|Y

  (x | y) = f

  X,Y

  (x, y) f

  Y

  (y) , untuk x ∈ R asal f

  Y (y) > 0.

  

a) Fmp/fkp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X = x adalah suatu

fungsi dari y sebagai berikut: f

  

Contoh 5a . Peubah acak (X, Y ) kontinu dengan fkp bersama sebagai berikut:

_{ }

  1

  (x + 2y) , untuk 0 < x < 2, 0 < y < 1

  4

  f (x, y) =

  X,Y _

  , untuk (x, y) lainnya

Dapatkan (a) fkp bersyarat dari peubah acak Y bila diketahui X = 1, (b) fkp

  2 bersyarat dari peubah acak X bila diketahui Y = .

  3 Definisi 6.5.2 .

  

Ambil peubah acak ganda-2 (X, Y ) yang diskret/kontinu/campuran dengan

fmp/fkp bersama f (x, y) untuk (x, y) ∈ R, serta f (x) untuk x ∈ R dan

  X,Y

  X

  

f (y) untuk y ∈ R masing-masing sebagai fmp/fkp marjinal dari peubah acak

  Y

  X dan Y . Peubah acak X dan peubah acak Y disebut bebas jika

  2

f (x, y) = f (x).f (y), untuk semua (x, y) ∈ R .

X,Y

  X Y

  

Contoh 5b . Peubah acak (X, Y ) kontinu dengan fkp bersama sebagai berikut:

_{ } xy , untuk 0 < x < 2, 0 < y < 1 f (x, y) =

  X,Y _

  , untuk (x, y) lainnya Apakah X dan Y saling bebas?