Menyelesaikan Linear Programming Dua Variabel dengan Metode Grafik

  Operations Research

Industrial engineering

Menyelesaikan Linear Programming Dua Variabel dengan Metode Grafik

  Mencari titik potong fungsi kendala dengan sumbu X dan sumbu Y diagram cartesius Menentukan daerah layak Menentukan daerah layak Menentukan garis fungsi tujuan – menggeser Menentukan solusi optimal

Contoh Soal 1

  Reddy Mikks Company memiliki sebuah pabrik kecil yang

menghasilkan cat, baik untuk interior maupun eksterior untuk

didistribusikan kepada para grosir. Dua bahan mentah, A dan B, dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A dipergunakan untuk membuat cat tersebut. Ketersediaan A

maksimum adalah 6 ton satu hari; ketersediaan B adalah 8 ton satu hari. Kebutuhan harian akan bahan mentah per ton cat interior dan eksterior diringkaskan dalam tabel 1. Sebuah

survey pasar telah menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat

interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per interior adalah terbatas pada 2 ton per hari. Harga grosir per ton adalah $3000 untuk cat eksterior dan $2000 untuk cat interior. Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus dihasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor? Contoh Soal 1 (Tabel 1)

Ton Bahan Mentah per Ton Cat Ketersediaan maksimum (ton)

  Eksterior Interior A

  1

  2

  6 A

  1

  2

  6 B

  2

  1

  8

Contoh Soal 1

  Xj = jumlah ton cat jenis j yang diproduksi setiap hari Cj = harga grosir per ton cat jenis j Aij = kebutuhan ton bahan mentah i untuk memproduksi Aij = kebutuhan ton bahan mentah i untuk memproduksi 1 ton cat jenis j Bi = ketersediaan maksimum bahan mentah i per hari j = index jenis cat; 1 = cat eksterior, 2 = cat interior i = index bahan mentah; 1 = bahan A, 2 = bahan B Contoh Soal 1

  Fungsi Tujuan: maksimumkan pendapatan kotor max z = 3000 X1 + 2000 X2

Batasan bahan baku

  Bahan baku A X1 + 2 X2 ≤ 6 Bahan baku B

  2 X1 + X2 ≤ 8

  2 X1 + X2 ≤ 8 Contoh Soal 1

  Batasan permintaan harian

  Permintaan harian cat interior tidak akan lebih dari 1 ton lebih tinggi dari cat eksterior tinggi dari cat eksterior X2 – X1 ≤ 1 Permintaan maksimum harian cat interior adalah 2 ton X2 ≤ 2

  Batasan non negativitas Batasan non negativitas

  X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 Contoh Soal 1

  max z = 3000 X1 + 2000 X2 Subject To: Subject To:

  1) X1 + 2 X2 ≤ 6

  2)

  3) X2 – X1 ≤ 1

  4) X2 ≤ 2

  5) X1 ≥ 0

  5) X1 ≥ 0

  6) X2 ≥ 0 Penyelesaian dengan Grafik

  Contoh Soal 1 Nilai maksimum dicapai pada titik perpotongan garis 1 dan 2 1)

  X1 + 2 X2 ≤ 6 2) 2)

  2 X1 + X2 ≤ 8 Dengan substitusi/eliminasi, dapat diperoleh titik perpotongannya:

  2 X1 + X2 ≤ 8

  X1 = 10/3 X2 = 4/3

Z = 3000 X1 + 2000 X2 = 12667 Kesimpulan: Kesimpulan:

  Cat eksterior yang harus diproduksi = 10/3 ton per hari Cat interior yang harus diproduksi = 4/3 ton per hari Pendapatan kotor maksimum yang bisa didapatkan = $12.667

  Metode Simpleks Menerjemahkan definisi dari titik ekstrim menjadi definisi aljabar Metode simpleks mengharuskan agar setiap batasan ditempatkan dalam bentuk standar khusus dimana semua batasan diekspresikan sebagai persamaan dengan menambahkan variabel slack dan surplus sebagaimana persamaan dengan menambahkan variabel slack dan surplus sebagaimana diperlukan diperlukan

  

Jumlah variabel lebih besar daripada jumlah persamaan sehingga menghasilkan

sejumlah titik pemecahan yang tidak terbatas Titik ekstrim dari ruang ini dapat diidentifikasi secara aljabar sebagai basic solutions dari sistem persamaan simultan tersebut

  Yang dilakukan metode simpleks adalah mengidentifikasi satu pemecahan

dasar awal dan lalu bergerak secara sistematis ke pemecahan dasar lainnya

yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan

  Sebuah pemecahan Sebuah pemecahan

Pemecahan dasar yang bersesuaian dengan nilai optimum akan diidentifikasi dan perhitungan berakhir

Metode simpleks merupakan prosedur perhitungan yang berulang (iteratif) dimana setiap pengulangan (iterasi) berkaitan dengan satu pemecahan dasar Metode Simpleks

  Algoritma Simpleks Primal

  Metode Big-M Metode Two-Phase Metode Two-Phase

  Algoritma Simpleks Dual

Bentuk LP Standar

  Semua batasan adalah persamaan (dengan sisi kanan yang nonnegatif jika model tersebut dipecahkan dengan metode simpleks primal) metode simpleks primal) Semua variabel adalah nonnegatif Fungsi tujuan dapat berupa maksimasi atau minimasi Bentuk LP Standar: Batasan

  Sebuah pertidaksamaan yang berjenis ≤ (≥) dapat dikonversikan menjadi sebuah persamaan dengan menambahkan variabel slack ke (mengurangkan surplus menambahkan variabel slack ke (mengurangkan surplus dari) sisi kiri batasan tersebut Contoh 1:

  Batasan: x1 + 2 x2 ≤ 6 Bentuk standar: x1 + 2 x2 + s1 = 6, s1 ≥ 0

  Contoh 2:

  Batasan: 3 x1 + 2 x2 – 3 x3 ≥ 5 Bentuk standar: 3 x1 + 2 x2 – 3 x3 - s2 = 5, s2 ≥ 0 Bentuk LP Standar: Batasan

  Sisi kanan dari sebuah persamaan dapat selalu dibuat nonnegatif dengan mengalikan kedua sisi dengan -1 Contoh 1:

  Batasan: 2 x1 + 3 x2 – 7 x3 = -5 Bentuk standar: -2 x1 – 3 x2 + 7 x3 = 5 Bentuk LP Standar: Batasan

  Arah pertidaksamaan dibalik ketika kedua sisi dikalikan dengan -1

Contoh 1:

  Batasan: 2 x1 – x2 ≤ -5

• -2 x1 + x2 ≥ 5

  Bentuk standar: -2 x1 + x2 – s = 5

Bentuk LP Standar: Variabel

  Variabel yang tidak dibatasi yi dapat diekspresikan dalam bentuk dua variabel nonnegatif dengan menggunakan substitusi substitusi yi = yi’ – yi” yi’, yi” ≥ 0 Substitusi harus diberlakukan di semua batasan dan dalam fungsi tujuan Dalam pemecahan LP (simpleks) yang optimal, hanya satu dari kedua variabel tersebut (yi’ dan yi”) dapat memiliki dari kedua variabel tersebut (yi’ dan yi”) dapat memiliki nilai positif, tetapi tidak pernah keduanya (jika yi’ > 0, maka yi” = 0; dan sebaliknya) yi’ = variabel slack; yi” = variabel surplus Bentuk LP Standar: Variabel

  yi = -6 yi’ = 0, yi” = 6 yi = 10 yi’ = 10, yi” = 0 yi = 10 yi’ = 10, yi” = 0 yi = 0 yi’ = 0, yi” = 0

  Contoh 1:

Contoh 2:

  Batasan: 2 x1 + 3 x2 – x3 ≤ 10

• ∞ < x1< ∞; x2, x3 ≥ 0 2 (x1’ – x1”) + 3 x2 – x3 ≤ 10 2 (x1’ – x1”) + 3 x2 – x3 ≤ 10 2 x1’ – 2 x1” + 3 x2 – x3 ≤ 10 Bentuk standar: 2 x1’ – 2 x1” + 3 x2 – x3 + s = 10 x1’, x1”, x2, x3 ≥ 0

Bentuk LP Standar: Fungsi Tujuan

  Maksimisasi sebuah fungsi adalah setara dengan minimisasi negatif dari fungsi yang sama, dan demikian pula sebaliknya Contoh 1:

Fungsi tujuan: maksimumkan z = 5 x1 + x2 + 3 x3 Setara dengan: minimumkan (-z) = -5 x1 – x2 – 3 x3

  Kesetaraan berarti bahwa untuk sekelompok batasan yang Kesetaraan berarti bahwa untuk sekelompok batasan yang sama, nilai optimum x1, x2, dan x3 adalah sama dalam kedua kasus tersebut (nilai fungsi tujuan sama secara numerik, hanya saja terlihat dengan tanda yang berbeda)

Latihan 1

  Minimumkan z = 2 x1 + 3x2 Subject To Subject To x1 + x2 = 10

• 2 x1 + 3 x2 ≤ -5 7x1 – 4 x2 ≤ 6 x1 tidak dibatasi x2 ≥ 0

Latihan 1: Bentuk Standar

  Min z – 2 x1’ + 2 x1” – 3 x2 = 0 Subject To: Subject To: x1’ – x1” + x2 = 10

  2 x1’ – 2 x1” – 3 x2 – s2 = 5 7 x1’ – 7 x1” – 4 x2 + s3 = 6 x1’, x1”, x2, s2, s3

  ≥ 0

Pemecahan Dasar

  

Model LP standar memiliki m persamaan dan n variabel yang

tidak diketahui Pemecahan dasar yang berkaitan ditentukan dengan Pemecahan dasar yang berkaitan ditentukan dengan menetapkan n – m variabel sama dengan nol dan lalu memecahkan m persamaan dengan m variabel sisanya, asalkan

terdapat pemecahan yang dihasilkan dan pemecahan itu unik

Dalam LP, n – m variabel yang ditetapkan sama dengan nol

sebagai non basic variables, dimana m variabel sisanya disebut

sebagai basic variables sebagai basic variables Sebuah pemecahan dasar (basic solutions) dikatakan layak (feasible) jika semua nilai pemecahannya adalah non negatif

  

Metode Simpleks Primal: Contoh Soal 1

  max z = 3 X1 + 2 X2 Subject To: Subject To:

  1) X1 + 2 X2 ≤ 6

  2)

  3) X2 – X1 ≤ 1

  4) X2 ≤ 2

  5) X1, X2 ≥ 0

  5) X1, X2 ≥ 0 Metode Simpleks Primal: Bentuk Standar max z = 3 X1 + 2 X2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 + 0 s4 atau

max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0 max z - 3 X1 - 2 X2 - 0 s1 - 0 s2 - 0 s3 - 0 s4 = 0

Subject To:

  X1 + 2 X2 + s1 = 6

• – X1 + x2 + s3 = 1 X2 + s4 = 2 X2 + s4 = 2 X1, X2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0

Metode Simpleks Primal: Bentuk Standar m = 4 persamaan, n = 6 variabel non basic variables (nol) = 6 – 4 = 2 Pemecahan awal (starting solution) Pemecahan awal (starting solution) X1 = 0 dan X2 X1 = 0 dan X2 = 0 s1 = 6, s2 = 8, s3 = 1, s4 =2 Nilai tujuan: z = 3 X1 + 2X2 z – 3 X1 – 2 X2 = 0 z = 0

  Langkah selanjutnya adalah meneliti pergerakan ke sebuah pemecahan dasar yang baru

Kondisi Optimalitas

  Variabel masuk (entering variable) dalam maksimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling negatif dalam persamaan z tujuan Variabel masuk (entering variable) dalam minimisasi adalah non basic variable dengan koefisien yang paling positif dalam persamaan z tujuan Koefisien dengan nilai yang sama dapat dipilih secara sembarang Nilai optimum dalam maksimimasi dicapai ketika semua koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah koefisien non basic variables dalam persamaan z adalah non non negatif

Nilai optimum dalam minimisasi dicapai ketika semua koefisien

non basic variables dalam persamaan z adalah non positif

Kondisi Kelayakan

  Baik untuk masalah maksimisasi maupun minimisasi, variabel keluar (leaving variable) adalah basic variable saat ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimum ini yang memiliki titik potong terkecil (rasio minimum dengan penyebut yang positif secara ketat) dalam arah variabel masuk Nilai yang sama dapat dipilih secara sembarang Langkah Iterasi Formal Metode Simpleks Primal

  1. Dengan menggunakan bentuk standar (dengan sisi kanan

  semua non negatif), tentukan pemecahan dasar awal yang layak yang layak

  2. Pilih variabel masuk dari di antara variabel non dasar

  dengan menggunakan kondisi optimalitas. Bila tidak ditemukan variabel masuk, solusi optimal telah tercapai.

  3. Pilih variabel keluar dari variabel dasar saat ini dengan

  menggunakan kondisi kelayakan 4.

  4. Tentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat Tentukan nilai variabel dasar yang baru dengan membuat

  variabel masuk tersebut sebagai variabel dasar dan variabel keluar sebagai variabel non dasar. Kembali ke langkah 2.

Contoh Soal 1

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 -3 -2

  Fungsi Tujuan s1

  1

  2

  1

  6 Batasan 1 s2

  2

  1

  1

  8 Batasan 2 s3 -1

  1

  1

  1 Batasan 3 s4

  1

  1

  2 Batasan 4

Simpleks Primal: Iterasi 0

  Kolom masuk ↓ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS

  Rasio Rasio z z 1 -3 -3 -2 -2

  1 s1

  1

  2

  1

  6

  6 Persamaan pivot → s2

  2

  1

  1

  8

  4 Positif Terkecil s3 -1

  1

  1 1 -1 s4

  1

  1 2 ~ Elemen pivot

  Mengidentifikasi variabel masuk kolom masuk Menghitung rasio (RHS/kolom masuk) Menghitung rasio (RHS/kolom masuk) Mengidentifikasi variabel keluar persamaan pivot Menentukan elemen pivot perpotongan kolom masuk dengan persamaan pivot Eliminasi Gauss-Jordan

  Melakukan perubahan atas dasar penggunaan dua jenis perhitungan: Persamaan pivot:

  

persamaan pivot baru persamaan pivot lama : elemen pivot

=

  Semua persamaan lainnya, termasuk z:

  

persamaan baru (persamaan lama) (koefisien kolom masuk) x (persamaan pivot baru)

=

• –

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan Pivot

Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS

z s1

  x1 masuk, s2 keluar Elemen pivot = 2

  s1 x1 1 1/2 1/2

  4 s3 s4

  Elemen pivot = 2 persamaan x1 = persamaan s2 : 2

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya

  Persamaan pivot baru 1 1/2 1/2

  4 Koefisien kolom masuk z

• 3 Persamaan z lama

  1 -3 -2 PPB x KKM

• 3 -3/2 -3/2 -12 Persamaan z baru

  1 -1/2 3/2

  12 Persamaan z baru

  = persamaan z lama – (PPB x KKMz) = persamaan z lama – (PPB x KKMz)

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya

  Persamaan pivot baru 1 1/2 1/2

  4 Koefisien kolom masuk s1

  1 Persamaan s1 lama

  1

  2

  1

  6 PPB x KKM 1 1/2 1/2

  4 Persamaan s1 baru 3/2 1 -1/2

  2 Persamaan s1 baru

  = persamaan s1 lama – (PPB x KKMs1) = persamaan s1 lama – (PPB x KKMs1)

Eliminasi Gauss-Jordan: Persamaan lainnya

  Persamaan pivot baru 1 1/2 1/2

  4 Koefisien kolom masuk s3

• 1 Persamaan s3 lama -1

  1

  1

  1 PPB x KKM

• 1 -1/2 -1/2 -4 Persamaan s3 baru

  3/2 1/2

  1

  5 Persamaan s3 baru

  = persamaan s3 lama – (PPB x KKMs3) = persamaan s3 lama – (PPB x KKMs3)

Eliminasi Gauss-Jordan

  Kolom masuk ↓ Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 -1/2 3/2

  12 Persamaan pivot → s1 3/2 1 -1/2 2 4/3 Positif Terkecil x1 1 1/2 1/2

  4

  8 s3 3/2 1/2 1 5 10/3 s4

  1

  1

  2

  2 Elemen pivot Rasio

  Elemen pivot

Iterasi 1:

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS zz x2 1 2/3 -1/3 4/3 x1 s3 s4

  Dasar z x1 x2 s1 s2 s3 s4 RHS z 1 1/3 4/3 12 2/3 x2 x2

  1 x1 1 -1/3 2/3 10/3 s3

  1 2/3 2/3 -1/3 -1/3 4/3 4/3

• 1

  1

  1

  3 s4

• 2/3 1/3 1 2/3

Perbandingan dengan Solusi Grafik

  Big-M Methods Contoh Soal 3

  Min z = 4x1 + x2 Subject to: Subject to:

  3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2

  ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2

  ≥ 0

Contoh Soal 3: Bentuk Standar

  Min z = 4x1 + x2 Subject to: Subject to:

  3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 – s2 = 6 x1 + 2x2 + s3 = 4 x1, x2, s2, s3

  ≥ 0

Contoh Soal 3: Bentuk Standar

  Persamaan pertama dan kedua tidak memiliki variabel yang memainkan peran sebagai variabel slack Menambahkan dua variabel buatan (artificial variable) ke Menambahkan dua variabel buatan (artificial variable) ke dalam kedua persamaan Mengenakan penalti pada kedua variabel buatan dalam fungsi tujuan dengan memberikan koefisien positif yang sangat besar (M, M > 0)

Contoh Soal 3: Bentuk Standar

  Min z = 4x1 + x2 + M R1 + M R2 atau Min z - 4x1 - x2 - M R1 - M R2 = 0 Min z - 4x1 - x2 - M R1 - M R2 = 0 Subject to:

  3x1 + x2 + R1 = 3 4x1 + 3x2 – s2 + R2 = 6 x1 + 2x2 + s3 = 4 x1, x2, s2, R1, R2, s3

  ≥ 0

Mengubah fungsi tujuan

  3x1 + x2 + R1 = 3 R1 = 3 – 3x1 – x2 4x1 + 3x2 – s2 + R2 = 6 R2 = 6 – 4x1 – 3x2 + s2 z = 4x1 + x2 + M R1 + M R2 z = 4x1 + x2 + M(3 – 3x1 – x2) + M(6 – z = 4x1 + x2 + M(3 – 3x1 – x2) + M(6 –

  4x1 – 3x2 + s2) z = (4-7M)x1 + (1-4M)x2 + M s2 + 9M

  z - (4-7M)x1 - (1-4M)x2 - M s2 = 9M

Iterasi 0

  1

  4

  4

  1

  2

  1

  4 Rasio s3

  4

  Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS z 1 -4 + 7M -1 + 4M

  9M R1

  1

  1 6 1,5 s3

  4 3 -1

  1 R2

  3

  1

  1

  3

  2

Iterasi 1

  Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS z x1 1 1/3 1/3

  1 R2 s3 Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS z

  1 (1 + 5M)/3 -M (4 - 7M)/3 4 + 2M Rasio x1 1 1/3 1/3

  1

  3 R2 5/3 -1 -4/3

  1 2 6/5 s3 5/3 -1/3 1 3 9/5

Iterasi 2

  Dasar Dasar z z x1 x1 x2 x2 s2 s2 R1 R1 R2 R2 s3 s3 RHS RHS z x1 x2

  1 -3/5 -4/5 3/5 6/5 s3 Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS Rasio z

  1 1/5 8/5 - M -1/5 - M 18/5 x1

  1 1/5 3/5 -1/5 3/5

  3 x2 1 -3/5 -4/5 3/5 6/5 -2 s3

  1 1 -1

  1

  1

  1

Iterasi 3

  

Dasar Dasar z z x1 x1 x2 x2 s2 s2 R1 R1 R2 R2 s3 s3 RHS RHS

z x1 x2 s2

  

1

1 -1

  1

  1 Dasar z x1 x2 s2 R1 R2 s3 RHS z z

  1 7/5 - M 7/5 - M -M -M -1/5 -1/5 17/5 17/5 x1

  1

  1 2/5 -0,2 2/5 x2

  1 -1/5 3/5 9/5 s2

1

1 -1

  1

  1