T1__Full text Institutional Repository | Satya Wacana Christian University: Skim Penjumlahan Bilangan Pecahan pada Siswa Kelas V Sekolah Dasar T1 Full text
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN PADA SISWA KELAS V
SEKOLAH DASAR
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana Pendidikan Program
Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
Sevia Eri Ristiyawati
202013003
PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
2017
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN PADA
SISWA KELAS V SEKOLAH DASAR
Sevia Eri Ristiyawati1
Sutriyono 2
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Kristen Satya Wacana
JL. Diponegoro 52 – 60 Salatiga , Jawa Tengah 50711 Indonesia
e-mail : [email protected] dan [email protected]
Abstrak
Skim adalah alat asimilasi dan dengan itu merupakan satu generalisasi. Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan. Skim pikiran merupakan satu bentuk aktivitas pikiran yang digunakan
oleh siswa sebagai bahan mentah untuk proses refleksi dan pengabstrakan. Penelitian ini merupakan penelitian
deskriptif kualitatif yang bertujuan untuk mengetahui secara pasti skim penjumlahan bilangan pecahan yang
dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar. Subjekdalam penelitian ini adalah tiga siswa kelas 5 Sekolah Dasar
yang berusia sekitar 10 – 11 tahun. Teknik analisis data menggunakan empat tahap yaitu data colektion, data
reduction, data display dan data conclution. Hasil penelitian ini menunjukan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa dalam mengerjakan soal penjumlahan bilangan pecahan
yaitu skim pemecah bilangan, skim pengabungan bilangan, skim penjumlahan pembilang, skim kebalikan
pemecah bilangan, skim kebalikan penjumlahan langsung, dan skim kebalikan penjumlahan pembilang dan
skim menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui secara pasti skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar.
Kata Kunci : skim, bilangan pecahan
dengan itu merupakan satu generalisasi.
PENDAHULUAN
Tingkat pendidikan Sekolah Dasar
merupakan landasan yang strategis untuk
mengembangkan
pengetahuan
dasar
matematika sebagai bekal belajar lebih
lanjut di jenjang pendidikan yang lebih
tinggi lagi. Hal tersebut sesuai dengan
tujuan pendidikan dasar yaitu meletakkan
dasar
kecerdasan,
kepribadian,
akhlak
pengetahuan,
mulia
serta
ketrampilan untuk hidup lebih mandiri dan
mengikuti
pendidikan
lebih
lanjut,
sehingga kemampuan berpikir dan daya
serap yang dimiliki oleh masing-masing
siswa berbeda dan beragam (Model KTSP
SD 2007:2).Bruner (Jerome Bruner, 1915)
berpendapat bahwa tanpa memandang
usia/kelompok
usia,
pembelajaran
matematika akan sukses diterima peserta
didik jika dimulai dari tahapan kongkrit
(enactive),
kemudian
tahapan
semi
kongkrit (econic), dan terakhir tahapan
abstrak (symbolic). Apabila pembelajaran
yang diberikan kepada peserta didik
dilakukan melalui ketiga tahapan tersebut
secara urut, maka peserta didik akan
mampu mengembangkan pengetahuannya
jauh melampaui apa yang pernah mereka
terima.
Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik Azis
dalam Sutriyono (2012 : 16) menyatakan
bahwa skim adalah alat asimilasi dan
Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan.
Setiap skim perlu menyesuaikan dirinya
dengan
situasi
penggunaanya
tertentu
supaya
mengimplikasikan
satu
bentuk keseimbangan antara asimilasi dan
akomodasi. Secara lebih khusus, skim
pikiran merupakan satu bentuk aktivitas
pikiran yang digunakan oleh siswa sebagai
bahan mentah untuk proses refleksi dan
pengabstrakan (Piaget dan Inhelder dalam
Sutriyono, 2012). Melalui corak berfikir
siswa dalam pemberian makna pada aspek
tertentu akan dapat dirumuskan penafsiran
siswa
dalam
konteks
khusus
yang
melibatkan materi matematika tertentu.
Tingkah laku siswa dalam bentuk lisan
maupun tertulis merupakan dasar untuk
mengetahui dan dasar untuk mengenal
secara cepat skim yang dimiliki oleh
siswa. Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik
Azis
dalam
Sutriyono
menghubungkan
skim
dengan
akomodasi.
(2012
pembentukan
proses
Asimilasi
:18)
sesuatu
asimilasi
merujuk
dan
proses
menafsir pengalaman baru dan mengatasi
gangguan
persekitaran
dengan
menggunakan skim yang sudah tersedia,
sedangkan akomodasi merujuk pada proses
mengatasi gangguan persekitaran dengan
membentuk skim yang baru, membagi
suatu skim kepada beberapa skim yang
kecil, atau mengubah dan menyesuaikan
siswa. Penjumlahan merupakan operasi
atau mengubah sesuai skim yang telah
yang mutlak yang harus dikuasai oleh
wujud.
siswa dalam belajar matematika. Terdapat
Glasersfeld
dan
Azis
dalam
Sutriyono (2012 : 17) menyatakan bahwa
kesulitan-kesulitan
skim
siswa
memunyai
tiga
pristiwa
dasar.
dalam
yang
dialami
menyelesaikan
operasi
Bagian pertama berfungsi sebagai pencetus
penjumlahan
atau penyebab. Dalam konteks skim,
diantaranya yaitu siswa tidak menguasai
bagian pertama ini bersepadan secara kasar
rumus dan siswa kurang menguasai teknik-
dengan
yang
teknik berhitung seperti penjumlahan,
diajukan oleh behaviorisme, yaitu corak
pengurangan, perkalian dan pembagian
motor
yang
(Arfiani, 2009:7). Kesulitan kedua yaitu
menyusuli bagian pertama, ialah tindakan
karena siswa kurang memahami konsep
(gerak balas) atau satu operasi (aktivitas
utama dalam penyelesaian operasi hitung
pengkonsepan). Bagian ketiga pula ialah
bilangan pecahan yakni konsep pokok
apa yang dinamakan keputusan atau
tersebut yaitu menyamakan penyebut atau
aktivitas lanjutan (yang bersepadan secara
mengganti penyebut dengan nama yang
kasar dengan konsep “peneguhan” yang
sama, menjumlahkan pembilang, serta
diajukan oleh behaviorisme).
apabila antara pembilang dan penyebut
konsep
deria.
“rangsangan”
Bagian
kedua,
bilangan
oleh
pecahan,
Pecahan merupakan bagian dari
dapat disederhanakan kedalam bentuk
materi matematika yang erat kaitannya
pecahan dengan nama biasa yang lebih
dengan masalah yang ada dalamkehidupan
sederhana
sehari-hari.
adalah
Berdasarkan hal tersebut, maka tulisan ini
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bertujuan untuk mengetahui secara pasti
perbandingan dua bilangan pecahan a dan
skim penjumlahan bilangan pecahan yang
b. Secara umum bentuk penulisannya
dimiliki oleh siswa kelas 5 Sekolah Dasar.
Bilangan
pecahan
dengan syarat b 0. Dalam hal ini a
disebut pembilang dan b disebut penyebut
(Cholis Sa’dijah 1998/1999 : 146). Operasi
penjumlahan adalah salah satu operasi
hitung dalam bilangan pecahan. Operasi
penjumlahan bilangan merupakan operasi
prasayarat yang harus dilakukan oleh
(Darhim,
1993:333).
METODE
Jenis penelitian yang digunakan dalam
penelitian ini adalah penelitian deskriptif
kualitatif yang bentuknya studi kasus.
Penelitian kualitatif adalah suatu peneliti
yang mampu menciptakan hubungan yang
akrab pada konteks sosial yang berada
Rekaman video pula merupakan data
pada situasi sosial yang akan diteliti, serta
mentah yang tidak tertulis; (2) Mengolah
memiliki kepekaan melihat setiap gejala
dan
yang ada pada objek penelitian (situasi
berdasarkan tema-tema tertentu untuk
sosial). Dalam penelitian ini melibatkan
menghasilkan protokol secara tertulis; (3)
subjek siswa kelas V dari beberapa sekolah
Dari protokol tertulis, dan informasi-
dasar yang berbeda-beda di Salatiga yang
informasi
terdiri dari 3 siswa dengan berbagai
tertentu; (4) Membangun pola tingkah laku
kriteria.
subjek
Kriteria
tersebut
adalah
(1)
menyusun
dari
lain
yang
data
dibentuk
dikenal
mentah
kasus-kasus
secara
pasti
Kesanggupan subjek untuk terlibat dalam
berdasarkan tema dan analisis kasus yang
penelitian; (2) Mendapatkan ijin dari pihak
dibentuk
orang
anaknya
tingkah laku dirumuskan berdasarkan pada
kegiatan
pola tingkah laku yang telah dikenal pasti.
tua
subjek
diperbolehkan
bahwa
mengikuti
sebelumnya;
(5)
penelitian; (3) Kesanggupan subjek dalam
Skim
menjawab pertnyaan yang diajukan oleh
peristiwa dasar, yaitu satu atau beberapa
peneliti; (4) Pertimbangan untuk membuat
situasi yang berfungsi sebagai pencetus
sebanyak mungkin variasi jawaban subjek
atau penyebab untuk sesuatu tindakan atau
sehingga didapatkan skim yang bervariasi.
operasi,
Penelitian ini dilakukan pada rumah
dilakukan sesuadah peristiwa pertama, dan
masing-masing
akibat atau aktivitas lanjutan sesudah
subjek
di
Salatiga.
Pengambilan data penelitian ini dilakukan
tingkah laku terdiri
Skim-skim
tindakan
atau
dari tiga
operasi
yang
peristiwa kedua.
pada bulan Februari 2017.
HASIL DAN ANALISIS
Teknik
pengumpulan
data
yang
dilakukan dalam penelitian ini adalah
dengan melalui 5 tahapan (Sutriyono, 2012
: 37-38) yaitu : (1) Pemindahan rekaman
video ke dalam bentuk tertulis. Transkip
ini memiliki tiga unsur utama, yaitu reaksi
dan catatan subjek, catatan pengkaji, dan
interaksi antar perngkaji dan subjek selama
wawancara. Transkip tersebut merupakan
data mentah untuk wawancara klinis.
Berdasarkan
wawancara
hasil
pekerjaan
dan
subjek dapat ditemukan
sebanyak enam skim yang digunakan
subjek
ketika
mengerjakan
soal
penjumlahan bilangan pecahan dengan tiga
bentuk penjumlahan dan setiap bentuk
penjumlahan terdapat tiga tipe soal. Ketiga
bentuk penjumlahan soal tersebut adalah
(1)bentuk penjumlahan a + b = dengan
tiga tipe soal yaitu (i) penjumlahan
bilangan bulat dengan bilangan pecahan;
(ii) penjumlahan bilangan pecahan dengan
pecahan
berpenyebut
penjumlahan
sama;
bilangan
(iii)
pecahan
1. Skim Pemecah Bilangan
Skim
pemecah
digunakan
oleh
menyelesaikan
1
subjek
soal
berpenyebut beda, (2) bentuk penjumlahan
a + = c dengan tiga tipe soal yaitu (i)
bilangan
pecahan
penjumlahan
pertama
penjumlahan
bilangan
bilangan
campuran;
bilangan
pecahan
bulat
(ii)
dengan
penjumlahan
ini
dalam
penjumlahan
yang
bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
bilanga
bulat
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
pecahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
bilangan pecahan berpenyebut beda, (3)
bentuk penjumlahan + b= c dengan tiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
tipe soal yaitu (i) penjumlahan bilangan
bilangan digunakan oleh sabjek PY
bulat dengan bilangan campuran; (ii)
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
penjumlahan bilangan pecahan dengan
bilangan pecahan yang berbentuk a + b =
berpenyebut
pecahan
sama;
dengan
bilangan
(iii)
berpenyebut
penjumlahan
beda.
Skim
pemecah
(iii)
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
pecahan
bulat dengan bilangan pecahan. Pencetus
sama;
bilangan
berpenyebut
hasil
skim pemecah bilangan adalah adanya
pekerjaan dan wawancara subjek dalam
anggapan bahwa setiap bilangan harus
menyelesaikan 3 bentuk penjumalahan
berupa
bilangan
dengan tiga tipe soal dalam masing-masing
operasi
skim
berpenyebut
beda.
Berdasarkan
pecahan.
ini
Tindakan
pada
bentuk
bulat
dengan
bentuk penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
diperoleh enam skim, yaitu : 1) Skim
penjumlahan
Pemecah
Skim
bilangan pecahan adalah menggunakan
Bilangan;
Penggabungan
2)
bilanga
Bilangan;
3)
Skim
cara mengubah setiap bentuk bilangan
Pembilang;
4)
Skim
yang bukan pecahan ke dalam bentuk
Kebalikan Penjumlahan Langsung; 5)
pecahan dan kemudian dijumlahakan
Skim Kebalikan Pemecah Bilangan; 6)
bilangan
Skim Kebalikan Penjumlahan Pembilang.
pecahan. Dalam tindakan ini, jika ada
Berikut ini uraian skim penjumlahan
penjumlahan
bilangan pecahan.
bilangan pecahan makan bilangan bulat
Penjumlahan
pecahan
dengan
bilangan
bulat
bilangan
dengan
akan diubah atau dijadikan kebentuk
pecahan
bilangan
kemudian
pecahan
dijumlahakan
dengan
bilangan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 1.
skim ini adalah bilangan penjumlahan
bilangan bulat yang sudah dijadikan
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan bentuk umum
(p+
) = + ” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana dapet hasil lima per dua?
S : Dua dijadikan pecahan menjadi dua per satu, lalu
menyamakan penyebutnya dengan cara mencari KPK
dua dan satu, jadi KPK dua dan satu adalah dua,
sehingga penyebutnya adalah dua. Setelah itu dua dibagi
satu dikali dua sama dengan empat dan dua dibagi dua
dikali satu sama dengan satu, karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal
dijumlahkan jadi hasil lima per dua. (2 diubah dalam
bentuk pecahan menjadi
kemudian dijumlahkan
menjadi
+
=
+
=
)
Gambar 1. Skim pemecah bilangan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan
oleh
menyelesaikan
bilangan
2
soal
pecahan
dalam
berpenyebut beda. Skim penggabungan
penjumlahan
bilangan digunakan oleh sabjek JL dan
subjek
yang
bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
pertama
penjumlahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilanga
bulat
MR
dalam
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b = dengan tipe soal
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
penjumlahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilangan
bilanga
pecahan.
bulat
Pencetus
dengan
skim
penggabungan bilangan adalah terdapat
dengan
bagian
bilangan bulat dikalikan dengan penyebut
dari
bilangan
yang
perlu
bilangan
pecahan
pada bentuk penjumlahan a + b =
kemudian
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
tetap. Hasil yang diharapkan dari skim
bulat dengan bilangan pecahan adalah
ini adalah pembilang yang dihasilkan
menggunakan
dari pengalian dan penjumlahan dari
digabungkan. Tindakan operasi skim ini
semua
cara
bilangan
menggabungkan
sebagai
pembilang
dengan penyebut tetap. Dalam tindakan
ini, jika ada penjumlahan bilangan bulat
dijumlahkan
makan
pembilang
dengan hasil akhir dengan penyebut
bilangan.Hasil pekerjaan dan wawancara
subjek dapat dilihat pada gambar 2.
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan
bentuk umum ( p +
) = + ” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana bisa dapat lima per dua?
S : Dua dikali dua ditambah satu ( menghitung
dengan mengalikan bilangan bulat dengan
penyebut kemudian ditambah dengan
pembilang untuk mendapatkan pembilang yaitu
2 × 2 + 1 = 5, kemudian dengan penyebut
tetap.)
P : Sama dengan?
S : Lima per dua
Gambar 2. Skim penggabungan bilangan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
3. Skim Penjumlahan Pembilang
adalah penjumlahan bilangan pecahan
Skim penjumlahan pembilang ini
berpenyebut beda. Skim penjumlahan
digunakan oleh semua subjek dalam
pembilang digunakan oleh sabjek JL, MR
menyelesaikan
dan PY dalam menyelesaikan
soal
penjumlahan
yang
bilangan
pecahan
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
pertama
penjumlahan
bulat
penjumlahan
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
berpenyebut
adalah penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan
bilanga
bentuk
soal
berbentuk a + b = dengan tipe soal
bilangan
sama
dan
bilangan
pecahan
tipe
soal
pecahan
berpenyebut
beda
.
Pencetus
skim
langsung
dijumlahkan,
sedangkan
penjumlahan pembilang adalah terdapat
bilangan pecahan dengan berpenyebut
penyebut yang sama dan pembilang yang
beda maka terlebih dahulu menyamakan
perlu dijumlahkan. Tindakan operasi
penyebut sesudah menyamakan penyebut
skim ini pada bentuk penjumlahan a + b
dijumlahkan kedua pembilang.
=
soal
yang diharapkan dari skim ini adalah
pecahan
hasil penjumlahan pembilang dengan
dengan
penjumlahan
berpenyebut
penjumlahan
tipe
soal
tipe
bilangan
sama
dan
tipe
bilangan
soal
pecahan
berpenyebut beda adalah menjumlahkan
pembilang
dengan
pembilang
pembilang.
Hasil
Hasil
pekerjaan
dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 3.
untuk
mendapatkan hasil pembilang dengan
penyebut yang sudah sama atau tetap.
Dalam tindakan ini, jika penyebut yang
sudah sama pembilang dengan pembilang
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b
= dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan penyebut
sama) dengan bentuk umum
dibaca ?
+
=
+
” ini
S : Bibi memecah semangka, lalu diberikan kepada Dita
bagian, diberikan kepada Nana bagian. Berapakah
semangka yang diberikan bibi pada Dita dan Nana?
P : Hasilnya berapa ?
S : Hasilnya tiga per tiga
P : Caranya tiga per tiga dari mana ?
S : Dua per tiga ditambah satu per tiga, karena
penyebutnya
sudah sama jadi tinggal ditambahkan pembilangnya. Jadi
hasilnya tiga per tiga. ( penyebut sudah sama, pembilang
ditambah pembilang 2 + 1 = 3, dengan penyebut 3)
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a +
b = dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan
penyebut berbeda) dengan bentuk umum Pecahan +
” ini
+
pecahan (dengan penyebut berbeda)
dibaca ? (mengerjakan soal )
S : Satu per Dua ditambah lima per enam jadi hasilnya
delapan per enam
P : Caranya kamu bisa dapat delapan per enam gimana)
S : Penyebutnya disamakan terlebih dahulu, caranya cari
kelipatan atau KPK dari dua dan enam adalah enam,
jadi penyebutnya adalah enam. Setelah itu enam
dibagi dengan dua dikalikan satu hasilnya tiga dan
enam dibagi enam dikalikan lima hasilnya lima.
Karena penyebutnya sudah sama jadi pembilang
dengan pembilang tinggal ditambahkan menjadi
delapan
per
enam.
(mengerjakan
dengan
menyamakan penyebut dengan mencari KPK atau
kelipatan dari 2 dan 6 = 6 , lalu 6 : 2 × 1 = 3 jadi
dan 6 : 6 × 5 = 5 jadi , jadi hasilnya +
= )
Gambar 3. Skim penjumlahan pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan ini
digunakan
oleh
menyelesaikan
bilangan
2
subjek
soal
pecahan
dalam
penjumlahan
yang
bentuk
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan campuran, tipe
kedua
adalah
penjumlahan
bilangan
pecahan berpenyebut sama, dan yang
ketiga
adalah
pecahan
penjumlahan
berpenyebut
beda.
bilangan
Skim
kebalikan pemecah bilangan digunakan
oleh
sabjek
menyelesaikan
JL
dan
MR
dalam
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dengan tipe soal
penjumlahan
bilangan
bulat
dengan
bilangan pecahan campuran. Pencetus
skim kebalikan pemecah bilangan adalah
operasi
menjadi
penjumlahan
pengurangan
dikebalikankan
dan
adanya
keyakinan bahwa setiap bilangan harus
berupa
bilangan
operasi
skim
pecahan.
ini
Tindakan
pada
bentuk
bulat
dengan
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
penjumlahan
bilangan
bilanga
pecahan
campuran
adalah
menyusun bentuk penjumlahan menjadi
bentuk
pengurangan
dan
mengubah
berpenyebut
sama
makan
bilangan
bilangan yang bukan pecahan menjadi
pecahan dikurangkan dengan bilangan
bentuk pecahan kemudian dikurangkan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
antara bilangan pecahan dengan bilangan
skim
pecahan. Dalam tindakan ini, mengubah
bilangan bulat yang sudah dijadikan
bentuk
kedalam
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
bentuk pecahan biasa dan membalikkan
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
bentuk
dilihat pada gambar 4.
pecahan
campuran
penjumlahan
kebentuk
ini
adalah
hasil
pengurangan
pengurangan kemudian bilangan bulat
atau
yang bukan bilangan pecahan
diubah
kedalam
bentuk
bilangan
pecahan, jika kedua bilangan sudah
S : Caranya tujuh satu per tiga dijadikan pecahan biasa sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi tujuh per satu sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi dua puluh satu per
tiga sama dengan satu per tiga.( mengerjakan dengan
menjadikan pecahan campuran 7 menjadi pecahan biasa
kemudian mengurangkan
−
,
, lalu menyamakan
penyebut dengan cara 3 × 1= 3, kemudian dengan
mengalikan silang antara 22 × 1 = 22 per 3 dan perkalian
silang satunya 7 × 3 = 21 per 3, lalu
P : Bisa dapet tiga dari mana?
−
=
)
S : Tiga di kali satu sama dengan tiga.
P : Dapet dua puluh dua per tiga ?
S : Satu di kali dua puluh dua sama dengan dua puluh dua
per tiga .
P: Dapat dua puluh satu per tiga dari mana?
S : Itu tujuh dikali dengan tiga jadi dua puluh satu per tiga,
lalu dua puluh dua per tiga di kurangi dengan dua puluh satu
per tiga jadi satu per tiga.
Gambar 4. Skim kebalikan pemecah bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
operasi
pada
bentuk
penjumlahan
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
langsung ini digunakan oleh 1 subjek
bulat dengan bilangan pecahan campuran
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
adalah dengan mengurangkan secara
bilangan
penjumlahan a + = cdan + b= c
langsung bilangan bulat dengan bilangan
dengan tipe soal pertama penjumlahan
bilangan pecahan dengan bilangan bulat.
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
Dalam tindakan ini, mengubah bentuk
campuran,
adalah
penjumlahan
menjadi
bentuk
pecahan
pengurangan,
bilangan
pecahan
penjumlahan
kebalikan
ini
penjumlahan a + = c dan + b= c
Langsung
Skim
skim
pecahan
tipe
yang
kedua
bilangan
bentuk
pecahan atau sebaliknya mengurangkan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
campuran langsung dikurangkan dengan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilangan bulat dan bilangan pecahan
berpenyebut
campurang dikurangka dengan bilangan
beda.
Skim
kebalikan
penjumlahan langsung digunakan oleh
pecahan biasa.
sabjek PY dalam menyelesaikan soal
dari skim ini adalah bilangan yang sudah
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dan + b= c dengan
dikurangkan
tipe soal penjumlahan bilanga bulat
dilihat pada gambar 5.
dengan bilangan pecahan campuran.
Pencetus skim kebalikan penjumlahan
langsung adalah operasi penjumlahan
dikebalikanakan menjadi pengurangan
dan jenis bilangan yang berbeda dapat
dioperasikan secara langsung tanpa harus
disamakan terlebih dahulu. Tindakan
Hasil yang diharapkan
secara
langsung.
Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
P : Lalu berapa hasilnya dari Tujuh ditambah titiktitik sama dengan tujuh satu per tiga?
S : Hasilnya satu per tiga
P : Bagaimana caranya ?
S : Tujuh satu per tiga dikurangi tujuh ( mengubah
bentuk
penjumlahan
kedalam
bentuk
pengurangan yaitu hasil dikurangi soal, 7 −
7= )
S : Titik-titik ditambah tiga per tujuh sama dengan lima
tiga per tujuh
P : Berapa hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima ( mengerjakan secara aljabar operasi hitung
bilangan pecahan)
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S :Jadi diubah kedalam bentuk pengurangan jadi lima
tiga per tujuh dikurangi tiga per tujuh, karena tiga
per tujuh dikurangkan maka habis dan tinggal 5 (
menuliskan 5 − =5 )
Gambar 5. Skim kebalikan penjumlahan langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
kebalikan
dalam
penjumlahan
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
cdengan tipe soal pertama penjumlahan
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
campuran,
penjumlahan
ketiga
penjumlahan
adalah
tipe
kedua
bilangan
adalah
pecahan
dan
berpenyebut
kebalikan
pembilang ini digunakan oleh semua
subjek
sama,
pecahan
Pembilang
Skim
berpenyebut
yang
bilangan
beda.
penjumlahan
Skim
pembilang
digunakan oleh sabjek JL, MR dan PY
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang berbentuk a + =
c dan + b= cdengan tipe soal
penjumlahan
berpenyebut
penjumlahan
berpenyebut
bilangan
sama
dan
bilangan
beda
.
pecahan
tipe
soal
pecahan
Pencetus
skim
kebalikan penjumlahan pembilang adalah
mengubah bentuk penjumlahan dengan
cara
membalikkan
pengurangan
penyebut
serta
yang
pembilang
dengan
sudah
yang
perlu
menjadi
bilangan bulat yang diubah kedalam
adanya
bentuk pecahan, kemudian kurangkan
sama
dan
dikurangkan,
pembilang dengan pembilang. Dalam
tindakan
ini,
mengubah
bentuk
kedalam
bentuk
mengubah bentuk penjumlahan dengan
penjumlahan
cara
menjadi
pengurangan jika penyebut sudah sama
keyakinan
pembilang dengan pembilang langsung
membalikkan
pengurangan
dan
adanya
bahwa setiap bilangan berupa bilangan
dikurangkan,
pecahan. Tindakan operasi skim ini pada
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
pecahan dengan berpenyebut beda maka
cdengan tipe soal tipe soalpenjumlahan
sesudah
bilangan pecahan berpenyebut sama dan
dijumlahkan kedua pembilang . Hasil
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
yang diharapkan dari skim ini adalah
berpenyebut beda adalah mengurangkan
hasil
pembilang
pembilang.
dengan
mendapatkan
pembilang
pembilannya
untuk
dan
penyebutnya tetap, dan mengurangkan
sedangkan
bilangan
terlebih dahulu menyamakan penyebut
menyamakan
penyebut
penguranganpembilang
Hasil
dengan
pekerjaan
dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 6.
S : Empat per lima ditambah titik-titik sama dengan
tujuh per lima
P : Berapa hasilnya?
S : Tiga per lima
P : Caranya gimana bisa dapet tiga per lima?
S:(mengubah
bentuk
penjumlahan
dalam
pengurangan), jadi hasil dikurangkan pada soalnya, (
7 – 4), jadi
− =
karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal di
kurangkan.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama dengan
tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan pecahan)
P : Mendapat hasil satu per dua dari mana ?
S : Yang pertama samakan dulu penyebutnya jadi
lima puluh dari 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh. Kemudian (50 : 10) × 13 = 65 dengan
penyebut 50 jadi
dan satunya (50 : 5) × 4 = 40
dengan penyebut 50 jadi
∶
∶
sehingga
=
−
Gambar 6. Skim kebalikan penjumlahanpembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
b= cdengan tipe soal penjumlahan
bilangan pecahan dengan pecahan, dan
Skim menyederhanakan pembilang
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
dan penyebut digunakan oleh 2 subjek
berpenyebut beda . Pencetus untuk
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
Menyederhanakan
pembilang
bilangan
penjumlahan a + b= , a +=c,dan +
penyebut
adalah
b=
untuk
pecahan
cdengan
yang
tipe
soal
bentuk
pertama
ini
dan
adanya
penyederhanaan bialangan yang sama
pembilang
dan
dengan
penyebut.Tindakan operasi skim ini
bilangan pecahan, tipe kedua adalah
pecahan
+ = cdan + b= cdengan tipe soal tipe
berpenyebut beda, dan yang ketiga
soal penjumlahan bilangan pecahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
dengan bilangan pecahan dan tipe soal
berpenyebut
Skim
penjumlahan
dan
berpenyebut
penjumlahan
bilanga
penjumlahan
menyederhanakan
bulat
bilangan
beda.
pembilang
pada bentuk penjumlahan a + = c , a
bilangan
beda adalah membagi
penyebut digunakan oleh sabjek JL dan
penyebut
dan
MR
bilangan
yang
dalam
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b= , a + = c dan +
diharapkan
pecahan
dari
pembilang
sama..
skim
Hasil
ini
dengan
yang
adalah
bilangan yang sudah disederhanakan
=
pembilang
dan
penyebut.
Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 7.
S : Empat tambah dua per empat
P : Hasilnya berapa?
S : hasilnya delapan belas per empat bisa di
sederhanakan kembali dengan dibagi dua
sama dengan sembilan per dua
P : Nah terus kan tadi kamu bilang hasilnya
delapan belas per empat itu dari mana?
S : Dari empat dikali empat sama dengan enam
belas ditambah dua sama dengan delapan
belas per empat lalu dibagi dengan dua,
maka
hasilnya
sembilan
per
dua.(
menghitung dengan mengalikan bilangan
bulat dengan penyebut kemudian ditambah
dengan pembilang untuk mendapatkan
pembilang yaitu 4 × 4 + 2 = 18, kemudian
dengan penyebut tetap. Disederhanakan
kembali
:
:
=
)
S : Titik-titik tambah tiga per tujuh sama
dengan lima tiga per tujuh sama dengan
tiga puluh delapan per tujuh.
P : Tiga puluh delapan per tujuh itu dari
mana?
S : Dari lima tiga per tujuh, lima di kalikan
tujuh ditambah tiga jadi tiga puluh
delapan per tujuh supaya bisa jadi
pecahan biasa.
P : Hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S : Jadi tiga puluh delapan per tujuh dikurangi
tiga per tujuh sama dengan tiga puluh
lima per tujuh sama aja tiga puluh lima
dibagi tujuh sama dengan lima.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama
dengan tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan
pecahan)
P : Gimana caranya bisa dapet satu per dua?
S : Tiga belas per sepuluh dikurangi empat per
lima sama dengan enam puluh lima per lima
puluh dikurangi empat puluh per lima puluh,
sebelumnya di samakan dulu penyebutnya
dengan cara 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh.
P : Terus dapet enam puluh lima sama empat
puluh dari yang pembilang itu gimana?
S : Dengan cara sepuluh dikali empat sama
dengan empat puluh lalu tiga belas dikalikan
lima sama dengan enam puluh lima. (
mengerjakan dengan menggunakan perkalian
silang antara pembilang dan penyebut jadi 13
× 5 = 65 dan 10 × 4 = 40)
P : Lalu hasilnya ?
S : Enam puluh lima per lima puluh dikurangi
empat puluh per lima puluh hasilnya duapuluh
lima per lima puluh, masih bisa
disederhanakan lagi dengan di bagi dua puluh
lima maka hasilnya setengah. ( menuliskan
−
=
∶
= )
∶
Gambar 7. Skim menyederhanakan pembilang dan penyebut
PEMBAHASAN
Terdapat
1. Skim Pemecah Bilangan
7
skim
penjumlahan
bilangan pecahan terhadap siswa kelas V
sekolah dasar. Skim mempunyai urutan
peristiwa dasar yaitu pencetus, tindakan,
operasi
dan
hasil
yang
diharapkan.
Terdapat 7 skim yaitu sebagai berikut :
Skim
pemecah
digunakan
menyelesaikan
oleh
bilangan
subjek
soal
dengan
penjumlahan
dengan
bilangan
yang
dalam
berkaitan
bilangan
pecahan.
ini
bulat
Pencetus
untuk skim pemecah bilangan ini adalah
mempunyai anggapan bahwa setiap suatu
menyelesaikan
bilangan
harus
bilangan
dengan penjumlahan bilangan pecahan
pecahan,
sehingga
operasi
dengan penyebut sama dan penjumlahan
untuk skim pemecah bilangan yaitu
bilangan pecahan dengan penyebut beda.
mengubah bentuk bilangan yang bukan
Pencetus
bentuk pecahan kedalam bentuk pecahan
pembilang ini adalah adanya pembilang
yang selanjutnya dilakukan penjumlahan
yang dijumlahkan dengan penyebut yang
antara dua buah bilangan pecahan. Hasil
sudah sama . Sehingga, tindakan operasi
untuk skim pemecah bilangan adalah
untuk skim penjumlahan bilangan yaitu
penjumlahan bilangan bulat yang sudah
menjumlahkan
dijadikan
pembilang untuk
merupakan
pecahan
tindakan
dengan
bilangan
soal
untuk
yang
skim
berkaitan
penjumlahan
pembilang
dengan
mendapatkan
hasil
pembilang dengan penyebut yang sudah
pecahan.
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
beragam
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan
oleh
subjek
dalam
cara
untuk
menyamakan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
dengan penyebut dan mencari KPK atau
menyelesaikan soal berkaitan dengan
kelipatanny.
penjumlahan
penjumlahan pembilang dan pembilang
bilangan
bulat
dengan
bilangan pecahan. Pencetus untuk skim
pemecah bilangan ini adalah adanya
Hasil
skim
adalah
dengan penyebut yang tetap atau sama.
4. Skim
Kebalikan
suatu bagian dari bilangan yang perlu
Langsung
untuk digabungkan. Sehingga, tindakan
Skim
Penjumlahan
Kebalikan
Penjumlahan
penggabungan
Langsung ini digunakan oleh subjek
bilangan yaitu mengalikan bilangan bulat
dalam menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penyebut dan menjumlahkan
dengan
dengan
dengan bilangan pecahan campuran.
operasi
untuk
skim
pembilang
untuk
dijadikan
penjumlahan
Pencetus
Hasil skim adalah pembilang yang
penjumlahan langsung ini adalah adanya
dihasilkan
operasi
pengalian
dan
penjumlahan dari unsur-unsur bilangan.
Skim penjumlahan pembilang ini
oleh
subjek
penjumlahan
kebalikan
dikebalikankan
menjadi pengurangan dan jenis bilangan
yang beda dapat dijumlahkan secara
3. Skim Penjumlahan Pembilang
digunakan
skim
bulat
pembilang dan penyebut yang tetap.
dari
untuk
bilangan
dalam
langsung
tanpa
disamakan
terlebih
dahulu. Tindakan yang dihasilkan dengan
mengurangkan secara langsung bilangan
penjumlahan
bulat dengan bilangan pecahan atau
penjumlahan pembilang ini digunakan
sebaliknya
bilangan
oleh subjek dalam menyelesaikan soal
pecahan dengan bilangan bulat. Hasil
yang berkaitan dengan penjumlahan
skim
bilangan pecahan dengan penyebut sama,
mengurangkan
adalah
bilangan
yang
sudah
pembilang.
Skim
penjumlahan bilangan pecahan dengan
dikurangkan secara langsung.
penyebut beda dan penjumlahan bilangan
5. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan
bulat dengan bilangan pecahan campuran
.
Pencetus
untuk
skim
ini adalah kebalikan dari skim pemecah
penjumlahan
bilangan. kebalikan pemecah bilangan
operasi pengjumlahan dikebalikankan
digunakan
dalam
menjadi pengurangan dengan penyebut
menyelesaikan soal berkaitan dengan
yang sudah sama dan pembilang yang
penjumlahan
perlu dijumlahkan. Sehingga, tindakan
oleh
subjek
bilangan
bulat
dengan
pembilang
kebalikan
operasi
untuk skim kebalikan pemecah bilangan
penjumlahan
ini adalah mempunyai keyakinan bahwa
mengurangkan
setiap suatu bilangan harus merupakan
pembilang untuk mendapatkan hasil
bilangan pecahan, sehingga tindakan
pembilang dengan penyebut yang sudah
operasi untuk skim pemecah bilangan
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
yaitu mengubah bentuk penjumlahan
beragam
kedalam
dan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
bilangan yang bukan bentuk pecahan
dengan penyebut dan mencari KPK atau
kedalam
kelipatannya.
bentuk
pengurangan
pecahan
yang
skim
adalah
bilangan pecahan campuran. Pencetus
bentuk
untuk
ini
kebalikan
bilangan
yaitu
pembilang
cara
untuk
Hasil
dengan
menyamakan
skim
adalah
selanjutnya dikurangkan antara bilangan
mengurangkan pembilang dan pembilang
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
dengan penyebut yang tetap atau sama.
untuk skim adalah pengurangan bilangan
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
bulat yang sudah dijadikan pecahan
dan Penyebut
dengan bilangan pecahan .
Skim Menyederhanakan pembilang
6. Skim
Kebalikan
Penjumlahan
kebalikan
penyebut
menyelesaikan
Pembilang
Skim
dan
penjumlahan
pembilang ini adalah kebalikan dari skim
dengan
oleh
soal
penjumlahan
subjek
yang
dalam
berkaitan
bilangan
bulat
dengan bilangan pecahan perbenyebut
beda. Pencetus untuk Menyederhanakan
adalah
pembilang dan penyebut ini adalah
disederhanakan pembilang dan penyebut.
adanya penyederhanaan bialangan yang
Skim penjumlahan bilangan pecahan
sama untuk pembilang dan penyebut.
yang dimiliki oleh subjek satu dengan
Tindakan
subjek
yang
dihasilkan
dengan
bilangan
yang
yang
sudah
lainnya
berbeda.
membagi kedua pembilang dan penyebut
Penggunaan skim dalam berbagai bentuk
dengan bilangan yang sama. Hasil skim
soal dan tipe soal yang dilakukan oleh
setiap subjek dapat dilihat pada tabel 1.
Tabel 1
Skim yang digunakan subjek sesuai bentuk dan tipe soal
Bentuk
Tipe Soal
Penjumlahan
a+b=
Subjek Menggunakan Skim Nomor
Skim Setiap
JL
MR
PY
Bentuk Soal
Bilangan bulat + pecahan
2
2,7
1
1,2,7
Pecahan + pecahan
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
5
4,5
6
6
6
6
6,7
6,7
6
6,7
3
3
5
3,5
6
6
6
6
6,7
6,7
6
6,7
2,3,4,6,7
2,3,4,6,7
1,3,5,6
(dengan penyebut sama)
Pecahan + pecahan
a+=c
(dengan penyebut berbeda)
Bilangan bulat + pecahan
campuran
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama)
Pecahan + pecahan
+ b = c
(dengan penyebut berbeda)
Bilangan bulat + pecahan
campuran
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut berbeda)
Skim Setiap Subjek
Keterangan :
1. Skim Pemecah Bilangan
2. Skim Penggabungan Bilangan
3. Skim Penjumlahan Pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
Pembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
SARAN
PENUTUP
Hasil penelitian, pembahasan, dan
1. Saran Teoritis
temuan dalam penelitian mengenai skim
penjumlahan
menunjukan
bilangan
bahwa
pecahan
terdapat
ini
berbagai
macam model dan proses berfikir siswa
yang digunakan dalam menyelesaikan soal
penjumlahan
bilangan
pecahan.
Hal
tersebut menunjukan bahwa siswa satu
dengan yang lain memiliki model dan
proses berfikir yang berbeda dan juga
memiliki model dan proses yang dominan
dalam menyelesaikan soal yang sama yang
disebut
skim
penjumlahan
bilangan
Penelitian ini merupakan penelitian
yang
mendeskripsikan
siswa
dalam
tentang
skim
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan. Kajian
skim siswa menjadi sangat penting
karena dengan mengetahui skim siswa
juga dapat dijadikan refleksi guru atau
pengajar dalam proses pembelajaran.
Oleh
karena
dilakukan
itu
hendaknya
penelitian
perlu
lain
untuk
mengetahui skim siswa pada topik-topik
yang lainnya.
pecahan.
Berdasarkan hasil penelitian dan
pembahasan yang sudah dilakukan, dapat
2. Saran Praktis
a. Bagi Guru
Penelitian ini diharapkan berguna
disimpulkan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan
pecahan
yang
dimiliki oleh 3 subjek. Ketujuh
skim
tersebut
bilangan
antara
lain
skim
pemecah
bilangan, skim pengabungan bilangan,
skim
penjumlahan
kebalikan
pemecah
pembilang,
skim
bilangan,
skim
kebalikan penjumlahan langsung, skim
kebalikan penjumlahan pembilang dan
skimmenyederhanakan
penyebut.
pembilang
dan
bagi
guru
sebagai
dasar
untuk
mengetahui skim yang dimiliki siswa,
sehingga
guru
saat
pembelajaran
belangsung tidak hanya memberikan
contoh soal dan penyelesaian, tetapi guru
diharapkan dapat melakukan tanya jawab
kepada siswa pada saat menyelesaikan
contoh
soal
menanyakan
seperti
halnya
langkah-langkah
guru
dalam
menyelesaikan setiap soal, langkah apa
saja yang dapat diambil dan menanyakan
kepada
siswa
apakah
ada
langkah
alternatif lain yang bisa digunakan dalam
menyelesaikan soal.
Dengan adanya
tanya makan akan membantu siswa
b. Bagi Siswa
mengontruksi pengetahuan yang dimiliki
Siswa yang menjadi objek penelitian
siswa sehingga skim yang dimiliki siswa
dapat meningkatkan skim matematika
juga
Guru
yang sudah dimiliki, sehingga siswa
diharpkan tidak memaksa siswa untuk
dapat menggembangkan kreativitasnya
mengerjakan soal hanya dengan satu cara
untuk
saja tetapi memberi kesempatan siswa
pengerjaan soal yang bervariasi dan
untuk mengerjakan dengan cara siswa
dapat menentukan langkah-langkah yang
masing-masing.
paling efektif dalam mengerjakan soal.
siswa
semakin
juga
berkembang.
Sehingga
akan
terus
pemikiran
mencari
langkah-langkah
berkembang
dengan pengalaman yang siswa miliki.
DAFTAR PUSTAKA
Sugiyono,2007.
Arfiani, Silvia, 2009. Skim Pengurangan
Bilangan
Cacah.
Salatiga:
FKIP
Matematika UKSW.
Moleong,
Penelitian
Lexy
Metode
Penelitian
Pendidikan. Bandung: Alfabeta.
Sugiyono,2013. Memahami penelitian
kualitatif. Bandung: Alfabeta
J,1998.Metodologi
Kualitatif.
Bandung:
PT
Remaja Rosdakarya.
Riska Kumalasari, Agustina, 2012. Skim
Penambahan Bilangan Pecahan. Salatiga:
FKIP Matetatika UKSW.
Sutriyono,2007. Konstruktivisme dalam
Pendidikan Matematika. Salatiga: Pidato
Pengukuran Guru Besar UKSW.
Sutriyono,2012.
Bilangan
Bulat.
Pascasarjana
Pendidikan
Skim
Pengurangan
Salatiga:
Magister
Program
Manajemen
SEKOLAH DASAR
JURNAL
Diajukan untuk memenuhi syarat guna mencapai Gelar Sarjana Pendidikan Program
Studi S1 Pendidikan Matematika
Disusun oleh:
Sevia Eri Ristiyawati
202013003
PROGRAM STUDI S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA
2017
SKIM PENJUMLAHAN BILANGAN PECAHAN PADA
SISWA KELAS V SEKOLAH DASAR
Sevia Eri Ristiyawati1
Sutriyono 2
Pendidikan Matematika FKIP Universitas Kristen Satya Wacana
JL. Diponegoro 52 – 60 Salatiga , Jawa Tengah 50711 Indonesia
e-mail : [email protected] dan [email protected]
Abstrak
Skim adalah alat asimilasi dan dengan itu merupakan satu generalisasi. Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan. Skim pikiran merupakan satu bentuk aktivitas pikiran yang digunakan
oleh siswa sebagai bahan mentah untuk proses refleksi dan pengabstrakan. Penelitian ini merupakan penelitian
deskriptif kualitatif yang bertujuan untuk mengetahui secara pasti skim penjumlahan bilangan pecahan yang
dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar. Subjekdalam penelitian ini adalah tiga siswa kelas 5 Sekolah Dasar
yang berusia sekitar 10 – 11 tahun. Teknik analisis data menggunakan empat tahap yaitu data colektion, data
reduction, data display dan data conclution. Hasil penelitian ini menunjukan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa dalam mengerjakan soal penjumlahan bilangan pecahan
yaitu skim pemecah bilangan, skim pengabungan bilangan, skim penjumlahan pembilang, skim kebalikan
pemecah bilangan, skim kebalikan penjumlahan langsung, dan skim kebalikan penjumlahan pembilang dan
skim menyederhanakan pembilang dan penyebut. Penelitian ini diharapkan dapat mengetahui secara pasti skim
penjumlahan bilangan pecahan yang dimiliki oleh siswa kelas 5 sekolah dasar.
Kata Kunci : skim, bilangan pecahan
dengan itu merupakan satu generalisasi.
PENDAHULUAN
Tingkat pendidikan Sekolah Dasar
merupakan landasan yang strategis untuk
mengembangkan
pengetahuan
dasar
matematika sebagai bekal belajar lebih
lanjut di jenjang pendidikan yang lebih
tinggi lagi. Hal tersebut sesuai dengan
tujuan pendidikan dasar yaitu meletakkan
dasar
kecerdasan,
kepribadian,
akhlak
pengetahuan,
mulia
serta
ketrampilan untuk hidup lebih mandiri dan
mengikuti
pendidikan
lebih
lanjut,
sehingga kemampuan berpikir dan daya
serap yang dimiliki oleh masing-masing
siswa berbeda dan beragam (Model KTSP
SD 2007:2).Bruner (Jerome Bruner, 1915)
berpendapat bahwa tanpa memandang
usia/kelompok
usia,
pembelajaran
matematika akan sukses diterima peserta
didik jika dimulai dari tahapan kongkrit
(enactive),
kemudian
tahapan
semi
kongkrit (econic), dan terakhir tahapan
abstrak (symbolic). Apabila pembelajaran
yang diberikan kepada peserta didik
dilakukan melalui ketiga tahapan tersebut
secara urut, maka peserta didik akan
mampu mengembangkan pengetahuannya
jauh melampaui apa yang pernah mereka
terima.
Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik Azis
dalam Sutriyono (2012 : 16) menyatakan
bahwa skim adalah alat asimilasi dan
Oleh karena itu, skim berhubungan atau
terlibat dalam setiap aktivitas kecerdasan.
Setiap skim perlu menyesuaikan dirinya
dengan
situasi
penggunaanya
tertentu
supaya
mengimplikasikan
satu
bentuk keseimbangan antara asimilasi dan
akomodasi. Secara lebih khusus, skim
pikiran merupakan satu bentuk aktivitas
pikiran yang digunakan oleh siswa sebagai
bahan mentah untuk proses refleksi dan
pengabstrakan (Piaget dan Inhelder dalam
Sutriyono, 2012). Melalui corak berfikir
siswa dalam pemberian makna pada aspek
tertentu akan dapat dirumuskan penafsiran
siswa
dalam
konteks
khusus
yang
melibatkan materi matematika tertentu.
Tingkah laku siswa dalam bentuk lisan
maupun tertulis merupakan dasar untuk
mengetahui dan dasar untuk mengenal
secara cepat skim yang dimiliki oleh
siswa. Piaget, Inhelder, Sinclair dan Nik
Azis
dalam
Sutriyono
menghubungkan
skim
dengan
akomodasi.
(2012
pembentukan
proses
Asimilasi
:18)
sesuatu
asimilasi
merujuk
dan
proses
menafsir pengalaman baru dan mengatasi
gangguan
persekitaran
dengan
menggunakan skim yang sudah tersedia,
sedangkan akomodasi merujuk pada proses
mengatasi gangguan persekitaran dengan
membentuk skim yang baru, membagi
suatu skim kepada beberapa skim yang
kecil, atau mengubah dan menyesuaikan
siswa. Penjumlahan merupakan operasi
atau mengubah sesuai skim yang telah
yang mutlak yang harus dikuasai oleh
wujud.
siswa dalam belajar matematika. Terdapat
Glasersfeld
dan
Azis
dalam
Sutriyono (2012 : 17) menyatakan bahwa
kesulitan-kesulitan
skim
siswa
memunyai
tiga
pristiwa
dasar.
dalam
yang
dialami
menyelesaikan
operasi
Bagian pertama berfungsi sebagai pencetus
penjumlahan
atau penyebab. Dalam konteks skim,
diantaranya yaitu siswa tidak menguasai
bagian pertama ini bersepadan secara kasar
rumus dan siswa kurang menguasai teknik-
dengan
yang
teknik berhitung seperti penjumlahan,
diajukan oleh behaviorisme, yaitu corak
pengurangan, perkalian dan pembagian
motor
yang
(Arfiani, 2009:7). Kesulitan kedua yaitu
menyusuli bagian pertama, ialah tindakan
karena siswa kurang memahami konsep
(gerak balas) atau satu operasi (aktivitas
utama dalam penyelesaian operasi hitung
pengkonsepan). Bagian ketiga pula ialah
bilangan pecahan yakni konsep pokok
apa yang dinamakan keputusan atau
tersebut yaitu menyamakan penyebut atau
aktivitas lanjutan (yang bersepadan secara
mengganti penyebut dengan nama yang
kasar dengan konsep “peneguhan” yang
sama, menjumlahkan pembilang, serta
diajukan oleh behaviorisme).
apabila antara pembilang dan penyebut
konsep
deria.
“rangsangan”
Bagian
kedua,
bilangan
oleh
pecahan,
Pecahan merupakan bagian dari
dapat disederhanakan kedalam bentuk
materi matematika yang erat kaitannya
pecahan dengan nama biasa yang lebih
dengan masalah yang ada dalamkehidupan
sederhana
sehari-hari.
adalah
Berdasarkan hal tersebut, maka tulisan ini
bilangan yang dapat dinyatakan sebagai
bertujuan untuk mengetahui secara pasti
perbandingan dua bilangan pecahan a dan
skim penjumlahan bilangan pecahan yang
b. Secara umum bentuk penulisannya
dimiliki oleh siswa kelas 5 Sekolah Dasar.
Bilangan
pecahan
dengan syarat b 0. Dalam hal ini a
disebut pembilang dan b disebut penyebut
(Cholis Sa’dijah 1998/1999 : 146). Operasi
penjumlahan adalah salah satu operasi
hitung dalam bilangan pecahan. Operasi
penjumlahan bilangan merupakan operasi
prasayarat yang harus dilakukan oleh
(Darhim,
1993:333).
METODE
Jenis penelitian yang digunakan dalam
penelitian ini adalah penelitian deskriptif
kualitatif yang bentuknya studi kasus.
Penelitian kualitatif adalah suatu peneliti
yang mampu menciptakan hubungan yang
akrab pada konteks sosial yang berada
Rekaman video pula merupakan data
pada situasi sosial yang akan diteliti, serta
mentah yang tidak tertulis; (2) Mengolah
memiliki kepekaan melihat setiap gejala
dan
yang ada pada objek penelitian (situasi
berdasarkan tema-tema tertentu untuk
sosial). Dalam penelitian ini melibatkan
menghasilkan protokol secara tertulis; (3)
subjek siswa kelas V dari beberapa sekolah
Dari protokol tertulis, dan informasi-
dasar yang berbeda-beda di Salatiga yang
informasi
terdiri dari 3 siswa dengan berbagai
tertentu; (4) Membangun pola tingkah laku
kriteria.
subjek
Kriteria
tersebut
adalah
(1)
menyusun
dari
lain
yang
data
dibentuk
dikenal
mentah
kasus-kasus
secara
pasti
Kesanggupan subjek untuk terlibat dalam
berdasarkan tema dan analisis kasus yang
penelitian; (2) Mendapatkan ijin dari pihak
dibentuk
orang
anaknya
tingkah laku dirumuskan berdasarkan pada
kegiatan
pola tingkah laku yang telah dikenal pasti.
tua
subjek
diperbolehkan
bahwa
mengikuti
sebelumnya;
(5)
penelitian; (3) Kesanggupan subjek dalam
Skim
menjawab pertnyaan yang diajukan oleh
peristiwa dasar, yaitu satu atau beberapa
peneliti; (4) Pertimbangan untuk membuat
situasi yang berfungsi sebagai pencetus
sebanyak mungkin variasi jawaban subjek
atau penyebab untuk sesuatu tindakan atau
sehingga didapatkan skim yang bervariasi.
operasi,
Penelitian ini dilakukan pada rumah
dilakukan sesuadah peristiwa pertama, dan
masing-masing
akibat atau aktivitas lanjutan sesudah
subjek
di
Salatiga.
Pengambilan data penelitian ini dilakukan
tingkah laku terdiri
Skim-skim
tindakan
atau
dari tiga
operasi
yang
peristiwa kedua.
pada bulan Februari 2017.
HASIL DAN ANALISIS
Teknik
pengumpulan
data
yang
dilakukan dalam penelitian ini adalah
dengan melalui 5 tahapan (Sutriyono, 2012
: 37-38) yaitu : (1) Pemindahan rekaman
video ke dalam bentuk tertulis. Transkip
ini memiliki tiga unsur utama, yaitu reaksi
dan catatan subjek, catatan pengkaji, dan
interaksi antar perngkaji dan subjek selama
wawancara. Transkip tersebut merupakan
data mentah untuk wawancara klinis.
Berdasarkan
wawancara
hasil
pekerjaan
dan
subjek dapat ditemukan
sebanyak enam skim yang digunakan
subjek
ketika
mengerjakan
soal
penjumlahan bilangan pecahan dengan tiga
bentuk penjumlahan dan setiap bentuk
penjumlahan terdapat tiga tipe soal. Ketiga
bentuk penjumlahan soal tersebut adalah
(1)bentuk penjumlahan a + b = dengan
tiga tipe soal yaitu (i) penjumlahan
bilangan bulat dengan bilangan pecahan;
(ii) penjumlahan bilangan pecahan dengan
pecahan
berpenyebut
penjumlahan
sama;
bilangan
(iii)
pecahan
1. Skim Pemecah Bilangan
Skim
pemecah
digunakan
oleh
menyelesaikan
1
subjek
soal
berpenyebut beda, (2) bentuk penjumlahan
a + = c dengan tiga tipe soal yaitu (i)
bilangan
pecahan
penjumlahan
pertama
penjumlahan
bilangan
bilangan
campuran;
bilangan
pecahan
bulat
(ii)
dengan
penjumlahan
ini
dalam
penjumlahan
yang
bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
bilanga
bulat
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
pecahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
bilangan pecahan berpenyebut beda, (3)
bentuk penjumlahan + b= c dengan tiga
adalah penjumlahan bilangan pecahan
tipe soal yaitu (i) penjumlahan bilangan
bilangan digunakan oleh sabjek PY
bulat dengan bilangan campuran; (ii)
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
penjumlahan bilangan pecahan dengan
bilangan pecahan yang berbentuk a + b =
berpenyebut
pecahan
sama;
dengan
bilangan
(iii)
berpenyebut
penjumlahan
beda.
Skim
pemecah
(iii)
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
pecahan
bulat dengan bilangan pecahan. Pencetus
sama;
bilangan
berpenyebut
hasil
skim pemecah bilangan adalah adanya
pekerjaan dan wawancara subjek dalam
anggapan bahwa setiap bilangan harus
menyelesaikan 3 bentuk penjumalahan
berupa
bilangan
dengan tiga tipe soal dalam masing-masing
operasi
skim
berpenyebut
beda.
Berdasarkan
pecahan.
ini
Tindakan
pada
bentuk
bulat
dengan
bentuk penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
diperoleh enam skim, yaitu : 1) Skim
penjumlahan
Pemecah
Skim
bilangan pecahan adalah menggunakan
Bilangan;
Penggabungan
2)
bilanga
Bilangan;
3)
Skim
cara mengubah setiap bentuk bilangan
Pembilang;
4)
Skim
yang bukan pecahan ke dalam bentuk
Kebalikan Penjumlahan Langsung; 5)
pecahan dan kemudian dijumlahakan
Skim Kebalikan Pemecah Bilangan; 6)
bilangan
Skim Kebalikan Penjumlahan Pembilang.
pecahan. Dalam tindakan ini, jika ada
Berikut ini uraian skim penjumlahan
penjumlahan
bilangan pecahan.
bilangan pecahan makan bilangan bulat
Penjumlahan
pecahan
dengan
bilangan
bulat
bilangan
dengan
akan diubah atau dijadikan kebentuk
pecahan
bilangan
kemudian
pecahan
dijumlahakan
dengan
bilangan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 1.
skim ini adalah bilangan penjumlahan
bilangan bulat yang sudah dijadikan
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan bentuk umum
(p+
) = + ” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana dapet hasil lima per dua?
S : Dua dijadikan pecahan menjadi dua per satu, lalu
menyamakan penyebutnya dengan cara mencari KPK
dua dan satu, jadi KPK dua dan satu adalah dua,
sehingga penyebutnya adalah dua. Setelah itu dua dibagi
satu dikali dua sama dengan empat dan dua dibagi dua
dikali satu sama dengan satu, karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal
dijumlahkan jadi hasil lima per dua. (2 diubah dalam
bentuk pecahan menjadi
kemudian dijumlahkan
menjadi
+
=
+
=
)
Gambar 1. Skim pemecah bilangan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan
oleh
menyelesaikan
bilangan
2
soal
pecahan
dalam
berpenyebut beda. Skim penggabungan
penjumlahan
bilangan digunakan oleh sabjek JL dan
subjek
yang
bentuk
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
pertama
penjumlahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilanga
bulat
MR
dalam
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b = dengan tipe soal
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
penjumlahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilangan
bilanga
pecahan.
bulat
Pencetus
dengan
skim
penggabungan bilangan adalah terdapat
dengan
bagian
bilangan bulat dikalikan dengan penyebut
dari
bilangan
yang
perlu
bilangan
pecahan
pada bentuk penjumlahan a + b =
kemudian
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
tetap. Hasil yang diharapkan dari skim
bulat dengan bilangan pecahan adalah
ini adalah pembilang yang dihasilkan
menggunakan
dari pengalian dan penjumlahan dari
digabungkan. Tindakan operasi skim ini
semua
cara
bilangan
menggabungkan
sebagai
pembilang
dengan penyebut tetap. Dalam tindakan
ini, jika ada penjumlahan bilangan bulat
dijumlahkan
makan
pembilang
dengan hasil akhir dengan penyebut
bilangan.Hasil pekerjaan dan wawancara
subjek dapat dilihat pada gambar 2.
P : (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b =
dengan tipe Bilangan bulat + pecahan dan
bentuk umum ( p +
) = + ” ini dibaca?
S : Dua ditambah satu per dua
P : Hasilnya berapa?
S : Lima per dua
P : Caranya gimana bisa dapat lima per dua?
S : Dua dikali dua ditambah satu ( menghitung
dengan mengalikan bilangan bulat dengan
penyebut kemudian ditambah dengan
pembilang untuk mendapatkan pembilang yaitu
2 × 2 + 1 = 5, kemudian dengan penyebut
tetap.)
P : Sama dengan?
S : Lima per dua
Gambar 2. Skim penggabungan bilangan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
3. Skim Penjumlahan Pembilang
adalah penjumlahan bilangan pecahan
Skim penjumlahan pembilang ini
berpenyebut beda. Skim penjumlahan
digunakan oleh semua subjek dalam
pembilang digunakan oleh sabjek JL, MR
menyelesaikan
dan PY dalam menyelesaikan
soal
penjumlahan
yang
bilangan
pecahan
penjumlahan a + b = dengan tipe soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
pertama
penjumlahan
bulat
penjumlahan
dengan bilangan pecahan, tipe kedua
berpenyebut
adalah penjumlahan bilangan pecahan
penjumlahan
bilanga
bentuk
soal
berbentuk a + b = dengan tipe soal
bilangan
sama
dan
bilangan
pecahan
tipe
soal
pecahan
berpenyebut
beda
.
Pencetus
skim
langsung
dijumlahkan,
sedangkan
penjumlahan pembilang adalah terdapat
bilangan pecahan dengan berpenyebut
penyebut yang sama dan pembilang yang
beda maka terlebih dahulu menyamakan
perlu dijumlahkan. Tindakan operasi
penyebut sesudah menyamakan penyebut
skim ini pada bentuk penjumlahan a + b
dijumlahkan kedua pembilang.
=
soal
yang diharapkan dari skim ini adalah
pecahan
hasil penjumlahan pembilang dengan
dengan
penjumlahan
berpenyebut
penjumlahan
tipe
soal
tipe
bilangan
sama
dan
tipe
bilangan
soal
pecahan
berpenyebut beda adalah menjumlahkan
pembilang
dengan
pembilang
pembilang.
Hasil
Hasil
pekerjaan
dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 3.
untuk
mendapatkan hasil pembilang dengan
penyebut yang sudah sama atau tetap.
Dalam tindakan ini, jika penyebut yang
sudah sama pembilang dengan pembilang
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a + b
= dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan penyebut
sama) dengan bentuk umum
dibaca ?
+
=
+
” ini
S : Bibi memecah semangka, lalu diberikan kepada Dita
bagian, diberikan kepada Nana bagian. Berapakah
semangka yang diberikan bibi pada Dita dan Nana?
P : Hasilnya berapa ?
S : Hasilnya tiga per tiga
P : Caranya tiga per tiga dari mana ?
S : Dua per tiga ditambah satu per tiga, karena
penyebutnya
sudah sama jadi tinggal ditambahkan pembilangnya. Jadi
hasilnya tiga per tiga. ( penyebut sudah sama, pembilang
ditambah pembilang 2 + 1 = 3, dengan penyebut 3)
P : Selanjutnya (memberikan soal penjumlahan tipe “a +
b = dengan tipe Pecahan + pecahan(dengan
penyebut berbeda) dengan bentuk umum Pecahan +
” ini
+
pecahan (dengan penyebut berbeda)
dibaca ? (mengerjakan soal )
S : Satu per Dua ditambah lima per enam jadi hasilnya
delapan per enam
P : Caranya kamu bisa dapat delapan per enam gimana)
S : Penyebutnya disamakan terlebih dahulu, caranya cari
kelipatan atau KPK dari dua dan enam adalah enam,
jadi penyebutnya adalah enam. Setelah itu enam
dibagi dengan dua dikalikan satu hasilnya tiga dan
enam dibagi enam dikalikan lima hasilnya lima.
Karena penyebutnya sudah sama jadi pembilang
dengan pembilang tinggal ditambahkan menjadi
delapan
per
enam.
(mengerjakan
dengan
menyamakan penyebut dengan mencari KPK atau
kelipatan dari 2 dan 6 = 6 , lalu 6 : 2 × 1 = 3 jadi
dan 6 : 6 × 5 = 5 jadi , jadi hasilnya +
= )
Gambar 3. Skim penjumlahan pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan ini
digunakan
oleh
menyelesaikan
bilangan
2
subjek
soal
pecahan
dalam
penjumlahan
yang
bentuk
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
pertama penjumlahan bilangan bulat
dengan bilangan pecahan campuran, tipe
kedua
adalah
penjumlahan
bilangan
pecahan berpenyebut sama, dan yang
ketiga
adalah
pecahan
penjumlahan
berpenyebut
beda.
bilangan
Skim
kebalikan pemecah bilangan digunakan
oleh
sabjek
menyelesaikan
JL
dan
MR
dalam
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dengan tipe soal
penjumlahan
bilangan
bulat
dengan
bilangan pecahan campuran. Pencetus
skim kebalikan pemecah bilangan adalah
operasi
menjadi
penjumlahan
pengurangan
dikebalikankan
dan
adanya
keyakinan bahwa setiap bilangan harus
berupa
bilangan
operasi
skim
pecahan.
ini
Tindakan
pada
bentuk
bulat
dengan
penjumlahan a + = c dengan tipe soal
penjumlahan
bilangan
bilanga
pecahan
campuran
adalah
menyusun bentuk penjumlahan menjadi
bentuk
pengurangan
dan
mengubah
berpenyebut
sama
makan
bilangan
bilangan yang bukan pecahan menjadi
pecahan dikurangkan dengan bilangan
bentuk pecahan kemudian dikurangkan
pecahan. Hasil yang diharapkan dari
antara bilangan pecahan dengan bilangan
skim
pecahan. Dalam tindakan ini, mengubah
bilangan bulat yang sudah dijadikan
bentuk
kedalam
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
bentuk pecahan biasa dan membalikkan
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
bentuk
dilihat pada gambar 4.
pecahan
campuran
penjumlahan
kebentuk
ini
adalah
hasil
pengurangan
pengurangan kemudian bilangan bulat
atau
yang bukan bilangan pecahan
diubah
kedalam
bentuk
bilangan
pecahan, jika kedua bilangan sudah
S : Caranya tujuh satu per tiga dijadikan pecahan biasa sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi tujuh per satu sama
dengan dua puluh dua per tiga dikurangi dua puluh satu per
tiga sama dengan satu per tiga.( mengerjakan dengan
menjadikan pecahan campuran 7 menjadi pecahan biasa
kemudian mengurangkan
−
,
, lalu menyamakan
penyebut dengan cara 3 × 1= 3, kemudian dengan
mengalikan silang antara 22 × 1 = 22 per 3 dan perkalian
silang satunya 7 × 3 = 21 per 3, lalu
P : Bisa dapet tiga dari mana?
−
=
)
S : Tiga di kali satu sama dengan tiga.
P : Dapet dua puluh dua per tiga ?
S : Satu di kali dua puluh dua sama dengan dua puluh dua
per tiga .
P: Dapat dua puluh satu per tiga dari mana?
S : Itu tujuh dikali dengan tiga jadi dua puluh satu per tiga,
lalu dua puluh dua per tiga di kurangi dengan dua puluh satu
per tiga jadi satu per tiga.
Gambar 4. Skim kebalikan pemecah bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
operasi
pada
bentuk
penjumlahan
dengan tipe soal penjumlahan bilanga
langsung ini digunakan oleh 1 subjek
bulat dengan bilangan pecahan campuran
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
adalah dengan mengurangkan secara
bilangan
penjumlahan a + = cdan + b= c
langsung bilangan bulat dengan bilangan
dengan tipe soal pertama penjumlahan
bilangan pecahan dengan bilangan bulat.
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
Dalam tindakan ini, mengubah bentuk
campuran,
adalah
penjumlahan
menjadi
bentuk
pecahan
pengurangan,
bilangan
pecahan
penjumlahan
kebalikan
ini
penjumlahan a + = c dan + b= c
Langsung
Skim
skim
pecahan
tipe
yang
kedua
bilangan
bentuk
pecahan atau sebaliknya mengurangkan
berpenyebut sama, dan yang ketiga
campuran langsung dikurangkan dengan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
bilangan bulat dan bilangan pecahan
berpenyebut
campurang dikurangka dengan bilangan
beda.
Skim
kebalikan
penjumlahan langsung digunakan oleh
pecahan biasa.
sabjek PY dalam menyelesaikan soal
dari skim ini adalah bilangan yang sudah
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + = c dan + b= c dengan
dikurangkan
tipe soal penjumlahan bilanga bulat
dilihat pada gambar 5.
dengan bilangan pecahan campuran.
Pencetus skim kebalikan penjumlahan
langsung adalah operasi penjumlahan
dikebalikanakan menjadi pengurangan
dan jenis bilangan yang berbeda dapat
dioperasikan secara langsung tanpa harus
disamakan terlebih dahulu. Tindakan
Hasil yang diharapkan
secara
langsung.
Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
P : Lalu berapa hasilnya dari Tujuh ditambah titiktitik sama dengan tujuh satu per tiga?
S : Hasilnya satu per tiga
P : Bagaimana caranya ?
S : Tujuh satu per tiga dikurangi tujuh ( mengubah
bentuk
penjumlahan
kedalam
bentuk
pengurangan yaitu hasil dikurangi soal, 7 −
7= )
S : Titik-titik ditambah tiga per tujuh sama dengan lima
tiga per tujuh
P : Berapa hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima ( mengerjakan secara aljabar operasi hitung
bilangan pecahan)
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S :Jadi diubah kedalam bentuk pengurangan jadi lima
tiga per tujuh dikurangi tiga per tujuh, karena tiga
per tujuh dikurangkan maka habis dan tinggal 5 (
menuliskan 5 − =5 )
Gambar 5. Skim kebalikan penjumlahan langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
kebalikan
dalam
penjumlahan
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
cdengan tipe soal pertama penjumlahan
bilanga bulat dengan bilangan pecahan
campuran,
penjumlahan
ketiga
penjumlahan
adalah
tipe
kedua
bilangan
adalah
pecahan
dan
berpenyebut
kebalikan
pembilang ini digunakan oleh semua
subjek
sama,
pecahan
Pembilang
Skim
berpenyebut
yang
bilangan
beda.
penjumlahan
Skim
pembilang
digunakan oleh sabjek JL, MR dan PY
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
bilangan pecahan yang berbentuk a + =
c dan + b= cdengan tipe soal
penjumlahan
berpenyebut
penjumlahan
berpenyebut
bilangan
sama
dan
bilangan
beda
.
pecahan
tipe
soal
pecahan
Pencetus
skim
kebalikan penjumlahan pembilang adalah
mengubah bentuk penjumlahan dengan
cara
membalikkan
pengurangan
penyebut
serta
yang
pembilang
dengan
sudah
yang
perlu
menjadi
bilangan bulat yang diubah kedalam
adanya
bentuk pecahan, kemudian kurangkan
sama
dan
dikurangkan,
pembilang dengan pembilang. Dalam
tindakan
ini,
mengubah
bentuk
kedalam
bentuk
mengubah bentuk penjumlahan dengan
penjumlahan
cara
menjadi
pengurangan jika penyebut sudah sama
keyakinan
pembilang dengan pembilang langsung
membalikkan
pengurangan
dan
adanya
bahwa setiap bilangan berupa bilangan
dikurangkan,
pecahan. Tindakan operasi skim ini pada
bentuk penjumlahan a + = cdan + b=
pecahan dengan berpenyebut beda maka
cdengan tipe soal tipe soalpenjumlahan
sesudah
bilangan pecahan berpenyebut sama dan
dijumlahkan kedua pembilang . Hasil
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
yang diharapkan dari skim ini adalah
berpenyebut beda adalah mengurangkan
hasil
pembilang
pembilang.
dengan
mendapatkan
pembilang
pembilannya
untuk
dan
penyebutnya tetap, dan mengurangkan
sedangkan
bilangan
terlebih dahulu menyamakan penyebut
menyamakan
penyebut
penguranganpembilang
Hasil
dengan
pekerjaan
dan
wawancara subjek dapat dilihat pada
gambar 6.
S : Empat per lima ditambah titik-titik sama dengan
tujuh per lima
P : Berapa hasilnya?
S : Tiga per lima
P : Caranya gimana bisa dapet tiga per lima?
S:(mengubah
bentuk
penjumlahan
dalam
pengurangan), jadi hasil dikurangkan pada soalnya, (
7 – 4), jadi
− =
karena penyebutnya sudah
sama maka pembilang dengan pembilang tinggal di
kurangkan.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama dengan
tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan pecahan)
P : Mendapat hasil satu per dua dari mana ?
S : Yang pertama samakan dulu penyebutnya jadi
lima puluh dari 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh. Kemudian (50 : 10) × 13 = 65 dengan
penyebut 50 jadi
dan satunya (50 : 5) × 4 = 40
dengan penyebut 50 jadi
∶
∶
sehingga
=
−
Gambar 6. Skim kebalikan penjumlahanpembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
b= cdengan tipe soal penjumlahan
bilangan pecahan dengan pecahan, dan
Skim menyederhanakan pembilang
tipe soal penjumlahan bilangan pecahan
dan penyebut digunakan oleh 2 subjek
berpenyebut beda . Pencetus untuk
dalam menyelesaikan soal penjumlahan
Menyederhanakan
pembilang
bilangan
penjumlahan a + b= , a +=c,dan +
penyebut
adalah
b=
untuk
pecahan
cdengan
yang
tipe
soal
bentuk
pertama
ini
dan
adanya
penyederhanaan bialangan yang sama
pembilang
dan
dengan
penyebut.Tindakan operasi skim ini
bilangan pecahan, tipe kedua adalah
pecahan
+ = cdan + b= cdengan tipe soal tipe
berpenyebut beda, dan yang ketiga
soal penjumlahan bilangan pecahan
adalah penjumlahan bilangan pecahan
dengan bilangan pecahan dan tipe soal
berpenyebut
Skim
penjumlahan
dan
berpenyebut
penjumlahan
bilanga
penjumlahan
menyederhanakan
bulat
bilangan
beda.
pembilang
pada bentuk penjumlahan a + = c , a
bilangan
beda adalah membagi
penyebut digunakan oleh sabjek JL dan
penyebut
dan
MR
bilangan
yang
dalam
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan yang
berbentuk a + b= , a + = c dan +
diharapkan
pecahan
dari
pembilang
sama..
skim
Hasil
ini
dengan
yang
adalah
bilangan yang sudah disederhanakan
=
pembilang
dan
penyebut.
Hasil
pekerjaan dan wawancara subjek dapat
dilihat pada gambar 7.
S : Empat tambah dua per empat
P : Hasilnya berapa?
S : hasilnya delapan belas per empat bisa di
sederhanakan kembali dengan dibagi dua
sama dengan sembilan per dua
P : Nah terus kan tadi kamu bilang hasilnya
delapan belas per empat itu dari mana?
S : Dari empat dikali empat sama dengan enam
belas ditambah dua sama dengan delapan
belas per empat lalu dibagi dengan dua,
maka
hasilnya
sembilan
per
dua.(
menghitung dengan mengalikan bilangan
bulat dengan penyebut kemudian ditambah
dengan pembilang untuk mendapatkan
pembilang yaitu 4 × 4 + 2 = 18, kemudian
dengan penyebut tetap. Disederhanakan
kembali
:
:
=
)
S : Titik-titik tambah tiga per tujuh sama
dengan lima tiga per tujuh sama dengan
tiga puluh delapan per tujuh.
P : Tiga puluh delapan per tujuh itu dari
mana?
S : Dari lima tiga per tujuh, lima di kalikan
tujuh ditambah tiga jadi tiga puluh
delapan per tujuh supaya bisa jadi
pecahan biasa.
P : Hasilnya yang diperoleh ?
S : Lima
P : Mendapatkan lima dari mana ?
S : Jadi tiga puluh delapan per tujuh dikurangi
tiga per tujuh sama dengan tiga puluh
lima per tujuh sama aja tiga puluh lima
dibagi tujuh sama dengan lima.
S : Titik-titik ditambah empat per lima sama
dengan tiga belas per sepuluh
P : Berapa hasilnya ?
S : Satu per dua ( mengerjakan terlebih dahulu
secara aljabar operasi hitung bilangan
pecahan)
P : Gimana caranya bisa dapet satu per dua?
S : Tiga belas per sepuluh dikurangi empat per
lima sama dengan enam puluh lima per lima
puluh dikurangi empat puluh per lima puluh,
sebelumnya di samakan dulu penyebutnya
dengan cara 5 dikalikan 10 menjadi lima
puluh.
P : Terus dapet enam puluh lima sama empat
puluh dari yang pembilang itu gimana?
S : Dengan cara sepuluh dikali empat sama
dengan empat puluh lalu tiga belas dikalikan
lima sama dengan enam puluh lima. (
mengerjakan dengan menggunakan perkalian
silang antara pembilang dan penyebut jadi 13
× 5 = 65 dan 10 × 4 = 40)
P : Lalu hasilnya ?
S : Enam puluh lima per lima puluh dikurangi
empat puluh per lima puluh hasilnya duapuluh
lima per lima puluh, masih bisa
disederhanakan lagi dengan di bagi dua puluh
lima maka hasilnya setengah. ( menuliskan
−
=
∶
= )
∶
Gambar 7. Skim menyederhanakan pembilang dan penyebut
PEMBAHASAN
Terdapat
1. Skim Pemecah Bilangan
7
skim
penjumlahan
bilangan pecahan terhadap siswa kelas V
sekolah dasar. Skim mempunyai urutan
peristiwa dasar yaitu pencetus, tindakan,
operasi
dan
hasil
yang
diharapkan.
Terdapat 7 skim yaitu sebagai berikut :
Skim
pemecah
digunakan
menyelesaikan
oleh
bilangan
subjek
soal
dengan
penjumlahan
dengan
bilangan
yang
dalam
berkaitan
bilangan
pecahan.
ini
bulat
Pencetus
untuk skim pemecah bilangan ini adalah
mempunyai anggapan bahwa setiap suatu
menyelesaikan
bilangan
harus
bilangan
dengan penjumlahan bilangan pecahan
pecahan,
sehingga
operasi
dengan penyebut sama dan penjumlahan
untuk skim pemecah bilangan yaitu
bilangan pecahan dengan penyebut beda.
mengubah bentuk bilangan yang bukan
Pencetus
bentuk pecahan kedalam bentuk pecahan
pembilang ini adalah adanya pembilang
yang selanjutnya dilakukan penjumlahan
yang dijumlahkan dengan penyebut yang
antara dua buah bilangan pecahan. Hasil
sudah sama . Sehingga, tindakan operasi
untuk skim pemecah bilangan adalah
untuk skim penjumlahan bilangan yaitu
penjumlahan bilangan bulat yang sudah
menjumlahkan
dijadikan
pembilang untuk
merupakan
pecahan
tindakan
dengan
bilangan
soal
untuk
yang
skim
berkaitan
penjumlahan
pembilang
dengan
mendapatkan
hasil
pembilang dengan penyebut yang sudah
pecahan.
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
beragam
2. Skim Penggabungan Bilangan
Skim penggabungan bilangan ini
digunakan
oleh
subjek
dalam
cara
untuk
menyamakan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
dengan penyebut dan mencari KPK atau
menyelesaikan soal berkaitan dengan
kelipatanny.
penjumlahan
penjumlahan pembilang dan pembilang
bilangan
bulat
dengan
bilangan pecahan. Pencetus untuk skim
pemecah bilangan ini adalah adanya
Hasil
skim
adalah
dengan penyebut yang tetap atau sama.
4. Skim
Kebalikan
suatu bagian dari bilangan yang perlu
Langsung
untuk digabungkan. Sehingga, tindakan
Skim
Penjumlahan
Kebalikan
Penjumlahan
penggabungan
Langsung ini digunakan oleh subjek
bilangan yaitu mengalikan bilangan bulat
dalam menyelesaikan soal yang berkaitan
dengan penyebut dan menjumlahkan
dengan
dengan
dengan bilangan pecahan campuran.
operasi
untuk
skim
pembilang
untuk
dijadikan
penjumlahan
Pencetus
Hasil skim adalah pembilang yang
penjumlahan langsung ini adalah adanya
dihasilkan
operasi
pengalian
dan
penjumlahan dari unsur-unsur bilangan.
Skim penjumlahan pembilang ini
oleh
subjek
penjumlahan
kebalikan
dikebalikankan
menjadi pengurangan dan jenis bilangan
yang beda dapat dijumlahkan secara
3. Skim Penjumlahan Pembilang
digunakan
skim
bulat
pembilang dan penyebut yang tetap.
dari
untuk
bilangan
dalam
langsung
tanpa
disamakan
terlebih
dahulu. Tindakan yang dihasilkan dengan
mengurangkan secara langsung bilangan
penjumlahan
bulat dengan bilangan pecahan atau
penjumlahan pembilang ini digunakan
sebaliknya
bilangan
oleh subjek dalam menyelesaikan soal
pecahan dengan bilangan bulat. Hasil
yang berkaitan dengan penjumlahan
skim
bilangan pecahan dengan penyebut sama,
mengurangkan
adalah
bilangan
yang
sudah
pembilang.
Skim
penjumlahan bilangan pecahan dengan
dikurangkan secara langsung.
penyebut beda dan penjumlahan bilangan
5. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
Skim kebalikan pemecah bilangan
bulat dengan bilangan pecahan campuran
.
Pencetus
untuk
skim
ini adalah kebalikan dari skim pemecah
penjumlahan
bilangan. kebalikan pemecah bilangan
operasi pengjumlahan dikebalikankan
digunakan
dalam
menjadi pengurangan dengan penyebut
menyelesaikan soal berkaitan dengan
yang sudah sama dan pembilang yang
penjumlahan
perlu dijumlahkan. Sehingga, tindakan
oleh
subjek
bilangan
bulat
dengan
pembilang
kebalikan
operasi
untuk skim kebalikan pemecah bilangan
penjumlahan
ini adalah mempunyai keyakinan bahwa
mengurangkan
setiap suatu bilangan harus merupakan
pembilang untuk mendapatkan hasil
bilangan pecahan, sehingga tindakan
pembilang dengan penyebut yang sudah
operasi untuk skim pemecah bilangan
sama atau tetap. Didalamnya terdapat
yaitu mengubah bentuk penjumlahan
beragam
kedalam
dan
penyebut yaitu mengalikan penyebut
bilangan yang bukan bentuk pecahan
dengan penyebut dan mencari KPK atau
kedalam
kelipatannya.
bentuk
pengurangan
pecahan
yang
skim
adalah
bilangan pecahan campuran. Pencetus
bentuk
untuk
ini
kebalikan
bilangan
yaitu
pembilang
cara
untuk
Hasil
dengan
menyamakan
skim
adalah
selanjutnya dikurangkan antara bilangan
mengurangkan pembilang dan pembilang
pecahan dengan bilangan pecahan. Hasil
dengan penyebut yang tetap atau sama.
untuk skim adalah pengurangan bilangan
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
bulat yang sudah dijadikan pecahan
dan Penyebut
dengan bilangan pecahan .
Skim Menyederhanakan pembilang
6. Skim
Kebalikan
Penjumlahan
kebalikan
penyebut
menyelesaikan
Pembilang
Skim
dan
penjumlahan
pembilang ini adalah kebalikan dari skim
dengan
oleh
soal
penjumlahan
subjek
yang
dalam
berkaitan
bilangan
bulat
dengan bilangan pecahan perbenyebut
beda. Pencetus untuk Menyederhanakan
adalah
pembilang dan penyebut ini adalah
disederhanakan pembilang dan penyebut.
adanya penyederhanaan bialangan yang
Skim penjumlahan bilangan pecahan
sama untuk pembilang dan penyebut.
yang dimiliki oleh subjek satu dengan
Tindakan
subjek
yang
dihasilkan
dengan
bilangan
yang
yang
sudah
lainnya
berbeda.
membagi kedua pembilang dan penyebut
Penggunaan skim dalam berbagai bentuk
dengan bilangan yang sama. Hasil skim
soal dan tipe soal yang dilakukan oleh
setiap subjek dapat dilihat pada tabel 1.
Tabel 1
Skim yang digunakan subjek sesuai bentuk dan tipe soal
Bentuk
Tipe Soal
Penjumlahan
a+b=
Subjek Menggunakan Skim Nomor
Skim Setiap
JL
MR
PY
Bentuk Soal
Bilangan bulat + pecahan
2
2,7
1
1,2,7
Pecahan + pecahan
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
5
4,5
6
6
6
6
6,7
6,7
6
6,7
3
3
5
3,5
6
6
6
6
6,7
6,7
6
6,7
2,3,4,6,7
2,3,4,6,7
1,3,5,6
(dengan penyebut sama)
Pecahan + pecahan
a+=c
(dengan penyebut berbeda)
Bilangan bulat + pecahan
campuran
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama)
Pecahan + pecahan
+ b = c
(dengan penyebut berbeda)
Bilangan bulat + pecahan
campuran
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut sama
Pecahan + pecahan
(dengan penyebut berbeda)
Skim Setiap Subjek
Keterangan :
1. Skim Pemecah Bilangan
2. Skim Penggabungan Bilangan
3. Skim Penjumlahan Pembilang
4. Skim Kebalikan Pemecah Bilangan
5. Skim Kebalikan Penjumlahan
Langsung
6. Skim Kebalikan Penjumlahan
Pembilang
7. Skim Menyederhanakan Pembilang
dan Penyebut
SARAN
PENUTUP
Hasil penelitian, pembahasan, dan
1. Saran Teoritis
temuan dalam penelitian mengenai skim
penjumlahan
menunjukan
bilangan
bahwa
pecahan
terdapat
ini
berbagai
macam model dan proses berfikir siswa
yang digunakan dalam menyelesaikan soal
penjumlahan
bilangan
pecahan.
Hal
tersebut menunjukan bahwa siswa satu
dengan yang lain memiliki model dan
proses berfikir yang berbeda dan juga
memiliki model dan proses yang dominan
dalam menyelesaikan soal yang sama yang
disebut
skim
penjumlahan
bilangan
Penelitian ini merupakan penelitian
yang
mendeskripsikan
siswa
dalam
tentang
skim
menyelesaikan
soal
penjumlahan bilangan pecahan. Kajian
skim siswa menjadi sangat penting
karena dengan mengetahui skim siswa
juga dapat dijadikan refleksi guru atau
pengajar dalam proses pembelajaran.
Oleh
karena
dilakukan
itu
hendaknya
penelitian
perlu
lain
untuk
mengetahui skim siswa pada topik-topik
yang lainnya.
pecahan.
Berdasarkan hasil penelitian dan
pembahasan yang sudah dilakukan, dapat
2. Saran Praktis
a. Bagi Guru
Penelitian ini diharapkan berguna
disimpulkan bahwa terdapat tujuh skim
penjumlahan
pecahan
yang
dimiliki oleh 3 subjek. Ketujuh
skim
tersebut
bilangan
antara
lain
skim
pemecah
bilangan, skim pengabungan bilangan,
skim
penjumlahan
kebalikan
pemecah
pembilang,
skim
bilangan,
skim
kebalikan penjumlahan langsung, skim
kebalikan penjumlahan pembilang dan
skimmenyederhanakan
penyebut.
pembilang
dan
bagi
guru
sebagai
dasar
untuk
mengetahui skim yang dimiliki siswa,
sehingga
guru
saat
pembelajaran
belangsung tidak hanya memberikan
contoh soal dan penyelesaian, tetapi guru
diharapkan dapat melakukan tanya jawab
kepada siswa pada saat menyelesaikan
contoh
soal
menanyakan
seperti
halnya
langkah-langkah
guru
dalam
menyelesaikan setiap soal, langkah apa
saja yang dapat diambil dan menanyakan
kepada
siswa
apakah
ada
langkah
alternatif lain yang bisa digunakan dalam
menyelesaikan soal.
Dengan adanya
tanya makan akan membantu siswa
b. Bagi Siswa
mengontruksi pengetahuan yang dimiliki
Siswa yang menjadi objek penelitian
siswa sehingga skim yang dimiliki siswa
dapat meningkatkan skim matematika
juga
Guru
yang sudah dimiliki, sehingga siswa
diharpkan tidak memaksa siswa untuk
dapat menggembangkan kreativitasnya
mengerjakan soal hanya dengan satu cara
untuk
saja tetapi memberi kesempatan siswa
pengerjaan soal yang bervariasi dan
untuk mengerjakan dengan cara siswa
dapat menentukan langkah-langkah yang
masing-masing.
paling efektif dalam mengerjakan soal.
siswa
semakin
juga
berkembang.
Sehingga
akan
terus
pemikiran
mencari
langkah-langkah
berkembang
dengan pengalaman yang siswa miliki.
DAFTAR PUSTAKA
Sugiyono,2007.
Arfiani, Silvia, 2009. Skim Pengurangan
Bilangan
Cacah.
Salatiga:
FKIP
Matematika UKSW.
Moleong,
Penelitian
Lexy
Metode
Penelitian
Pendidikan. Bandung: Alfabeta.
Sugiyono,2013. Memahami penelitian
kualitatif. Bandung: Alfabeta
J,1998.Metodologi
Kualitatif.
Bandung:
PT
Remaja Rosdakarya.
Riska Kumalasari, Agustina, 2012. Skim
Penambahan Bilangan Pecahan. Salatiga:
FKIP Matetatika UKSW.
Sutriyono,2007. Konstruktivisme dalam
Pendidikan Matematika. Salatiga: Pidato
Pengukuran Guru Besar UKSW.
Sutriyono,2012.
Bilangan
Bulat.
Pascasarjana
Pendidikan
Skim
Pengurangan
Salatiga:
Magister
Program
Manajemen