Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:EJQTDE:
Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations
2005, No. 1, 1-9; http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/
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Ø❍●✦Ù⑧Ú f : R → R ➻➾➽✓➪☎➹➾➚❊➘❵➪❶➹↔➹↔â■✰✂ ➻↔Ô➁➽✝➘✝➳q➻↔❑➲ ❏❋➻Ý➪❶➶✢×❸Üq➶➁➘✽➲➆➻➾➚◗➶
Ø❍● ➡ Ú ò✮➳➁➵✽➸✝➵✬➵✻➴◆➻➾➽➆➲✜Ô✡➚②➽➆➻↔➲➆➻↔á❴➵➑➘❋➚◗➶➁➽➆➲✥➪❶➶✿➲✝➽
c1 , c2
➧
➪❶➶➁Ö α ➽✝Ü➁➘✝➳è➲➆➳✟➪❶➲❵➤◆×❝➚◗➸✣➪❶➹↔➹
ξ∈R
σ ≤ f (ξ) ≤ c1 |ξ|α+1 + c2 .
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➧
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Õ✜➻↔k➶q➷✍Õ✱➵❵➪❶ó✛×❸➚◗➸➆➺❈ÜqL➹Ý➪❶k➲➆(Ω)
➻➾➚◗➶❲×❝➚◗➸
Ø➀Ù ➧ Ù⑧Ú − ➀Ø Ù ➧Û➝ Ú ✞
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u
➻➾➽✓➪➼➽✝➚◗➹↔Üq➲➆➻➾➚◗➶✢➚❶× Ø➀Ù ➧ ⑧Ù Ú − ➀Ø Ù ➧Û➝ Ú ➻✐×✎➪❶➶➁Ö✲➚◗➶q➹↔âä➻✐×
✜Õ ➻↔➲➆➳ ∂u ∈ L (τ, +∞, L (Ω))
×❝➚◗➸✣➪❶➶❧â τ > 0, ➪❶➶➁Ö✲➽✥➪❶➲➆∂t➻➾➽➀×❸â✿➻↔➶q➷
u ∈ L∞ (τ, +∞, H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω))
Z
T
Z
∂
u φ − ∇u∇φ dxdt =
∂t
Ω
Z
2
T
( R
λ
2
2
Z
f (u)φdx)dt,
❝× ➚◗➸✣➪❶➶❧â φ ∈ C ((0, ∞), Ω).
ù✗➚⑧Õ✬➤qÕ✭➵✬➽✝➲✥➪❶➲✝➵✬➚◗Üq➸✓➺❄➪❶➻↔➶è➸✝➵❋➽➆Üq➹↔➲❵➧
✂✁ ✿☎✄✝✆ ✿✟✞✡✠ ❋☞☛✥❋✍✌ ➋✽➉☞➊❧➩✏✎◆➙❴➉❖➊◆➋✘➏❋➋✻➏ (H ) − (H ) ➓✝➋s➏❋➈②➉❸➍❍➏❍↕✱➋➆✟➯ ✑✓✒s➏✥➏✘➒❊➌❄➋➑➉❖➊❊➈❴➉
➫✎➍❖➉❖➊ k ➏✘➒q➎✻➊è➉❖➊❊➈②➉
0
0
Ω f (u) dx
∞
1
Ω
2
0
αN
−2 .
2
ku0 kk0 +2 < d0 ,
k0 ≥ max 0,
✔✸➊◆➋✻✖➛ ✕✬➉❖➊◆➋✻➭✝➋❁✘➋ ✗◗➍❍➏✻➉❖➏
➏✻➒◆➎✻➊❯➉❖➊❊➈②➉s➍ ✙
➏✽➙◗➣⑥➒❊➉❸➍❝➙◗➛ u ✛ ➋✻➭✻➍ ✙✻➩◗➍❍✟➛ ✜✢d✙❋➙◗➭ë>➈◗0➣❖➣ τ > 0
0
u0 ∈ Lk0 +2 (Ω)
Ø ➡◆➧ Ù⑧Ú
➉❖➊◆➋✚✎✳➭➆➙❧➓✻➣➾➋✻➌ Ø➀Ù ➧ Ù⑧Ú ➈❴➯◗➌☎➍❖➉❖➏ä➈
➫✎➍❸➉❖➊ γ = k .
2
➇❁➙◗➭✝➋➆➙ ✛ ➋✻➭✏✕✮➍ ✙ u ∈ L (Ω), ➉❖➊◆➋✽➛ u ∈ L (τ, +∞, L (Ω)) ➈◗➛✳➯❄➍❍➏s➒❊➛➁✤➍ ✽✣ ➒➁✥➋ ✑
✦ ✿✧✞ ✴✖✆✩★ ❋ ò✮➳➁➵✬á◗➪❶➹↔Ü➁➵➑➚❶× d Õ✜➻↔➹↔➹Ñ➬✡➵s➷②➻↔á❴➵✽➶è➻↔➶è➲➆➳➁➵➑➘❋➚◗Üq➸✝➽✥➵✬➚❶×❏➲➆➳➁➵✬Ôq➸✝➚✿➚❶×➆➧
u ∈ L∞ (τ, +∞, Lk0 +2 (Ω)),
0
0
∞
|u|γ u ∈ L∞ (τ, +∞, H01 (Ω)),
∞
∞
0
✂➵✓Ü➁➽✥➵✣➪ ✓✟➪◗➵❋Öq➚❶î ✠ ➪❶➹➾➵✽➸➆ó✿➻↔➶✛➺✍➵✽➲➆➳➁➚✿ÖÞ➽✝➵❋➵ æ Ù ➢★çt➧ ✂Ñ➵✽➲ u ⊆ D(Ω) ➬✡➵✓➽➆Ü➁➘✥➳Þ➲➆➳✟➪❶➲
➻↔➶
➪❶➶➁Ö✍➹➾➵✽➲
➪s➽✝Ô❱➵❋➘✽➻Ý➪❶➹➁➬✟➪◗➽✝➻➾➽❵➧❇✁✂➵✓➽✝➵❋➵✽ó u ➲✝➚✬➬❱➵✮➲➆➳➁➵✣➹↔➻↔➺➼➻↔➲
u →u
➚❶×✎➪➼➽✥➵❋ê❧Ü➁➵✽➶➁➘❋➵ H(u(Ω)) ➽✝Ü➁➘✝➳è➲➆➳✟(w➪❶➲ ) ⊆ H (Ω)
✪ ✆✫✄✬✄✮✭✣❋
0m
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m
0
1
0
1
0
j j
m m
Õ✜➳➁➵✽➸✝➵
um (t) = Σm
j=1 gjm (t)wj ,
➻➾➽✓➲➆➳➁➵✬➽✝➚◗➹↔Üq➲➆➻➾➚◗➶❲➚❶×☞➲➆➳➁➵❿×❸➚◗➹↔➹➾➚⑧Õ✜➻↔➶q➷Þ➚◗➸✝Ö◆➻↔➶✟➪❶➸➆â✲Ö◆✰➻ ✯✰➵✽➸✝➵✽➶❧➲➆➻Ý➪❶➹r➽✝â❊➽➆➲✝➵✽➺
gjm
hu′m , wj i + (um , wj ) =
u (0) = u .
m
om
✱
λ
f (um ) dx
Ω
2 hf (um ), wj i, 1 ≤ j ≤ m,
Ø ➡◆➧Û➡ Ú
Ót➲✮➻➾➽✮➵❵➪◗➽➆â❄➲✝➚☎➽✝➵❋➵✗➲➆➳✟➪❶➲ Ø ➡◆➧Û➡ Ú ➳✟➪◗➽✓➪❈Üq➶q➻➾ê❧Ü➁➵s➽✝➚◗➹↔Üq➲➆➻➾➚◗➶ u ➪◗➘❋➘❋➚◗➸✝Ö◆➻↔➶q➷✍➲✝➚✦➳❧â❊Ô❱➚◗➲➆➳➁➵❋➽✝➵❋➽ (H ) −
➪❶➶➁Ö ☛✮➪❶➸➆➲✥➪❶➶✳✲ ➽✓➵✻➴◆➻➾➽➆➲✝➵✽➶➁➘❋➵❿➲➆➳➁➵❋➚◗➸✝➵✽➺ ➘❋➚◗➶➁➘❋➵✽➸➆➶q➻↔➶q➷✍➚◗➸✝Ö◆➻↔➶✟➪❶➸➆âäÖ◆➻✰✯✡➵✽➸✝➵✽➶✿➲➆➻Ý➪❶➹✸➵❋ê✿Ü✟➪❶➲➆➻➾➚◗➶➁➽ ➽✝➵❋➵
(H
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c3 (τ ), c4 (τ )
kum (t)kk0 +2 ≤ c3 (τ ), ∀t ≥ τ,
kum (t)k∞ ≤ c4 (τ ), ∀t ≥ τ.
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kum kk+2
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k+2
k+α+2 + c6 .
2
k + 2 dt
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kum kkk00 +α+2
≤ c7 kum kαk0 +2 k∇|um |γ um k22 ,
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4
1 d
kum kkk00 +2
≤ (c8 kum kαk0 +2 −
)k∇|um |γ um k22 + c6 .
+2
k0 + 2 dt
(k0 + 2)2
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2
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kum (t)kk0 +2 < d0
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∀ 0 < t < τ.
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kum (t)kk0 +2 ≤ c10 ,
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t ∈]0, τ [.
1 d
γ
2
kum kkk00 +2
+2 + c9 k∇|um | um k2 ≤ c6
k0 + 2 dt
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∀ 0 < t < τ,
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θ
θ
θ
+
+
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m k+α+2
1
2
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m k+2
θ2
m k0 +2
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3
1
k+2
2
k0 + 2
3
q
1
2
3
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θ3
θ1
+
= 1.
k + 2 2(γ + 1)
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➪❶➶➁Ö✲➸✝➵✽➹Ý➪❶➲➆➻➾➚◗➶ Ø ➡◆➧ Ù②Ù⑧Ú ➤◆Õ✱➵✬Öq➵✽➸➆➻↔á❴➵➑➲➆➳✟➪❶➲
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m k0 +2
θ3
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γ+1
θ1
γ
c5 kum kk+α+2
k+α+2 ≤ c12 kum kk+2 k∇|um | um k2
2
γ
2
≤ c13 (k + 2)θ4 kum kk+2
k+2 + (k + 2)2 k∇|um | um k2 ,
θ4
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c14
1 d
k+2
γ
2
θ4
kum kk+2
k+2 + (k + 2)2 k∇|um | um k2 ≤ c15 (k + 2) kum kk+2 + c5 .
k + 2 dt
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1
2
☎
1
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dt
2
1
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R
Ω
f (u1 ) dx
R
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2
2 f (u1 ) − f (u2 )
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(u
)
−
f
(u
)
dx
f
(u
)
+
f
(u
)
dx
2
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Ω
Ω
f (u2 ).
2 R
2
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(H1 )
1 d
kw(t)k22 ≤ c16 kw(t)k22 ,
2 dt
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✵
{T (t), t ≥ 0}
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T (t) : L∞ (Ω) → L∞ (Ω)
u0 → T (t)u0 = u(t, .).
Ót➶✲➲➆➳q➻➾➽✣Ô✟➪❶➸➆➲❵➤qÕ✭➵➑➸✝➵✻×❝➵✽➸✜➲✝➚ æ Ù ➡★ç✰×❝➚◗➸✓Ü➁➽✝➵❋Ö✲➘❋➚◗➶➁➘❋➵✽Ôq➲✝➽❵➧
✂✁ ✿☎✄✝✆ ✿✟✞ ✠✩❋ ❋ ✒❿➏✘➏✘➒❊➌✍➋✱➉❖➊◆➈②➉ (H )−(H ) ➈◗➭✝➋✭➏✽➈❴➉❸➍Ý➏❖↕✱➋➆➯✩✕ ✔✸➊◆➋✻➛ T (t) ✎q➙❶➏✥➏❵➋✘➏✥➏❵➋✘➏✮➈❿➌✍➈✥✗◗➍❖➌✍➈◗➣
➈②➉❝➉❸➭➀➈❧➎❋➉➃➙◗➭ë➫☞➊✿➍❸➎✻➊ä➍❍➏ë➓✝➙◗➒✿➛❱➯❧➋➆➯ä➍❖➛ H (Ω) T L (Ω), ➎✝➙◗➌ ✎◆➈❧➎❋➉✜➈◗➛✳➯✛➎✝➙◗➛➁➛❱➋✝➎❋➉t➋➆➯ä➍❖➛ L (Ω).
✂✁
1
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0
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2
∞
∞
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➘❋➚◗➺➼Ô✟➪◗➘✽➲➆➶➁➵❋➽✝➽
Ø ➻↔➻ Ú ➚❶òr× ➚Þ➚◗➬q➲✥➪❶➤✟➻↔➺ë➶✂Üq➵✻➹↔➴◆➲➆➻➾➻↔➽➆Ôq➲✝➹↔➵✽â ➶➁➘❋➡◆➵✦➧Û➡ ➚❶×✱➬❧➪❶â➬➁➽✝➚◗➸➆➬q➻↔➶q➷✲➤✡➽✝➪◗➵✽Öq➲✝Ö✲➽✗➻↔×❸➶ ➸✝➚◗H➺ (Ω) ➪❶➶➁➲✝Ö❁➚ ➲➆➳➁➵❈➪❶Üq➶➁➶qÖè➻✐×❸➻↔➚◗➶✿➸➆➲✝➺✫
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k∇u k ≤ c (τ ), ∀t ≥ τ > 0.
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Ø ➡◆➧ Ù ➦ Ú
k∇u(t)k ≤ c (τ ), ∀t ≥ τ.
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➵✽➶➁➘❋➵②➤❇➬✿â✕➲➆➳➁➵❋➚◗➸✝➵✽➺ (1.1) Ø æ Ù ➡❶çt➤➞ÔÑ➧Û➡②➝ Ú ➤➞Õ✱➵è➘❋➚◗➶➁➘✽➹↔Ü➁Öq➵✲➲✝➚ô➲➆➳➁➵✲➸✝➵❋➽✝Üq➹↔➲✝➽➼➚❶×❿➲➆➳➁➵❋➚◗➸✝➵✽➺
●
➧
(2.3)
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Z
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k∇um (s)k22 ds ≤ c18 (τ ), ∀t ≥ τ > 0.
2
2
1
0
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×❸➚◗➸➆➺❄➪❶➹✸Öq➵✽➸➆➻↔á②➪❶➲➆➻↔á❴➵❋➽✣➘❵➪❶➶❲➬❱➵➑Öq➚◗➶➁➵ë➪◗➽✓Ø➀➻↔Ù ➶ Ù⑧æ Ú➟❶ç Ú ➤◆Õ✭➵➑➷❴➵✽➲
y(t) ≡ kut k2 ≤ c20 (τ ),
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➹➾Öq➵✽➸✥✲ ➽✣➻↔➶➁➵❋ê❧Ü✟➪❶➹↔➻↔➲✈â❴➤➁â❊➻➾➵✽➹➾Öq➽
●✂✡
➡◆➧ Ù ì Ú
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Ø
y (t) ≤ c (τ )y(t).
➶➼➲➆➳➁➵✜➚◗➲➆➳➁➵✽➸❇➳✟➪❶➶➁Ö✰➤②➲✥➪❶ó❊➻↔➶q➷➑➲➆➳➁➵✜➽✝➘❵➪❶2➹Ý➪❶➸✎Ôq➸✝➚✿Ö◆Ü➁➘✽➲✭➚❶× Ø➀Ù ➧ Ù⑧Ú Õ✜➻↔➲➆➳ u ➤◗Ü➁➽➆➻↔➶q➷ ➞➚◗Üq➶q➷ ✲ ➽❇➻↔➶➁➵❋ê✿Ü✟➪❶➹✐î
➻↔➲tâ❴➤➁➻↔➶✿➲✝➵✽➷②➸✥➪❶➲➆➻↔➶q➷Þ➚◗➶ [t, t + τ ] ➪❶➶➁Ö✲Ü➁➽➆➻↔➶q➷Þ➵❋➽➆➲➆➻↔➺❄➪❶➲✝➵ Ø ➡◆➧ Ù ➦ Ú ➤◆➲➆➳➁➵✽➶è➷②➻↔á❴➵❋➽
utt − △ut =
λf ′ (u)ut
R
Ω
R
f ′ (u)ut dx
3 .
Ω f (u) dx
2 − 2λf (u) RΩ
∞
t
′
21
✁
t
❝× ➚◗➸✗➪❶➶❧â t ≥ τ.
✓q➸✝➚◗➺
Ø ➡◆➧ Ù ì Ú ➪❶➶➁Öè➲➆➳➁➵sÜq➶q➻✐×❸➚◗➸➆➺ ✠ ➸✝➚◗➶❧Õ✱➪❶➹↔➹ ✲ ➽✗➹➾➵✽➺➼➺❄➪◆➤➁Õ✱➵➑➳✟➪❋á❴➵
×❝➚◗➸✣➪❶➶❧â t ≥ τ.
y(t) ≤ c (τ ),
ò✮➳➁➵✽➸✝➵✻×❸➚◗➸✝➵②➤
Z
t+τ
y(s)ds ≤ c23 (τ ),
t
Ø ➡◆➧ Ù ✎ Ú
23
ut ∈ L∞ (τ, ∞, L2 (Ω)).
✄✭â
➀Ø Ù ➧ Ù⑧Ú ➤➁Õ✭➵➑➲➆➳➁➵✽➶è➷❴➵✽➲
➲➆➳✟➪❶➲✓➻➾➽❵➤
−△u ∈ L∞ (τ, ∞, L2 (Ω)),
➾➻ ➽✜➻↔➶✢➪✦➬✡➚◗Üq➶➁Öq➵❋Öè➽➆Üq➬➁➽✥➵✽➲✓➚❶× H (Ω).
➵✽➶➁➘❋➵➑➲➆➳➁➵ë➵✻➴❊➻➾➽➆➲✝➵✽➶➁➘❋➵➑➚❶×❇➪❶➶✢➪❶➬➁➽✝➚◗➸➆➬q➻↔➶q➷Þ➽✝➵✽➲✜➻↔➶ H (Ω) ➻➾➽✣➽➆➳➁➚❵Õ✜➶Ñ➧
2
●
u(t)
2
☞❒ ✎✃❈Ð❇✤✫✢
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2005, No. 1, 1-9; http://www.math.u-szeged.hu/ejqtde/
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u = ∇.(k(u)∇u) + σ(u)|∇ϕ| ,
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∇(σ(u)∇ϕ) = 0,
➲✝➚❄➪☎➽➆➻↔➺➼Ôq➹➾➵s➬qÜq➲✓➸✝➵❵➪❶➹↔➻➾➽➆➲➆➻➾➘ë➵❋ê❧Ü✟➪❶➲➆➻➾➚◗➶ Ø ➽✥➵❋➵ æÛì ç Ú ➧❇í✢➚◗➸✝➵sÔq➸✝➵❋➘✽➻➾➽✥➵✽➹↔â❴➤ u ➸✝➵✽Ôq➸✝➵❋➽✝➵✽➶✿➲✝➽✓➲➆➳➁➵➑➲✝➵✽➺➼Ô✡➵✽➸➀î
➪❶➲➆Üq➸✝➵äÔq➸✝➚✿Ö◆Ü➁➘❋➵❋Ö❯➬❧âï➪❶➶ß➵✽➹➾➵❋➘✽➲➆➸➆➻➾➘✛➘✽Üq➸➆➸✝➵✽➶✿➲➼ð✟➚❵Õ✜➻↔➶q➷❙➲➆➳q➸✝➚◗Üq➷②➳ñ➪❁➘❋➚◗➶➁Ö◆Ü➁➘✽➲✝➚◗➸❵➤ ➲➆➳➁➵ä➵✽➹➾➵❋➘✽➲➆➸➆➻➾➘
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òr➪❶ó❊➻↔➶q➷✲➲➆➳➁➵❈➹Ý➪❶➲➆➲✝➵✽➸➑➲✝➚Þ➬✡➵✦➘❋➚◗➶➁➽✝➲✥➪❶➶❧➲❵➤✰Ôq➸✝➚◗➬q➹➾➵✽➺ Ø➀Ù ➧ ➥ Ú − Ø➀Ù ➧Û➟ Ú ➘❵➪❶➶ô➲➆➳➁➵✽➶❙➬❱➵❈➸✝➵❋Ö◆Ü➁➘❋➵❋Öô➲✝➚✛➲➆➳➁➵
➽➆➻↔➶q➷②➹➾➵ë➶➁➚◗➶q➹➾➚❊➘❵➪❶➹☞➵❋ê❧Ü✟➪❶➲➆➻➾➚◗➶ Ø➀Ù ➧ Ù⑧Ú ➤✟Õ✜➳➁➵✽➸✝➵ f (u) = σ(u) ➪❶➶➁Ö λ = ≥ 0, I ➻➾➽✗➲➆➳➁➵❈➵✽➹➾➵❋➘✽➲➆➸➆➻➾➘
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0 < σ ≤ σ(s) ≤ σ , ∀s ∈ R.
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❮ ✮✜✪✯✬✥❮✱✰☞✧✕✬✲✮✧ ❐➁❐✟❒✩✧✓Ð✸❐✳❮✜❒✫✳
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✁✂➵ë➪◗➽✝➽➆Üq➺✍➵s➲➆➳➁➵s×❝➚◗➹↔➹➾➚❵Õ✜➻↔➶q➷
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c1 , c2
➧
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ξ∈R
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×❝➚◗➸✣➪❶➶❧â τ > 0, ➪❶➶➁Ö✲➽✥➪❶➲➆∂t➻➾➽➀×❸â✿➻↔➶q➷
u ∈ L∞ (τ, +∞, H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω))
Z
T
Z
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u φ − ∇u∇φ dxdt =
∂t
Ω
Z
2
T
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λ
2
2
Z
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0
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∞
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Ω
2
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ku0 kk0 +2 < d0 ,
k0 ≥ max 0,
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0
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2
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u ∈ L∞ (τ, +∞, Lk0 +2 (Ω)),
0
0
∞
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∞
∞
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u →u
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gjm
hu′m , wj i + (um , wj ) =
u (0) = u .
m
om
✱
λ
f (um ) dx
Ω
2 hf (um ), wj i, 1 ≤ j ≤ m,
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τ >0
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✕
c3 (τ ), c4 (τ )
kum (t)kk0 +2 ≤ c3 (τ ), ∀t ≥ τ,
kum (t)k∞ ≤ c4 (τ ), ∀t ≥ τ.
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1
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2
k
4
1 d
kum kk+2
+
k∇|um | 2 um k22 ≤ c5 kum kk+α+2
k+2
k+α+2 + c6 .
2
k + 2 dt
(k + 2)
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+α+2
kum kkk00 +α+2
≤ c7 kum kαk0 +2 k∇|um |γ um k22 ,
ò✮➳❧Ü➁➽❵➤◆×❸➸✝➚◗➺ Ø ◆➡ ➧Û➟ Ú ➪❶➶➁Ö Ø ◆➡ ➧Û➦ Ú ➤qÕ✭➵✬➚◗➬q➲✥➪❶➻↔➶
4
1 d
kum kkk00 +2
≤ (c8 kum kαk0 +2 −
)k∇|um |γ um k22 + c6 .
+2
k0 + 2 dt
(k0 + 2)2
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ku0 kk0 +2 <
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●
τ >0
1
4
α
= d0 .
2
c8 (k0 + 2)
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kum (t)kk0 +2 < d0
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u0
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∀ 0 < t < τ.
➽✣➻↔➶➁➵❋ê✿Ü✟➪❶➹↔➻↔➲tâ❲➪❶➶➁Öè➪★×❸➲✝➵✽➸✓➻↔➶❧➲✝➵✽➷②➸✥➪❶➲➆➻↔➶q➷➁➤✳➻↔➲✮×❝➚◗➹↔➹➾➚❵Õ✓➽✓➲➆➳✟➪❶➲
kum (t)kk0 +2 ≤ c10 ,
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t ∈]0, τ [.
1 d
γ
2
kum kkk00 +2
+2 + c9 k∇|um | um k2 ≤ c6
k0 + 2 dt
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∀ 0 < t < τ,
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➻↔➶❧➲✝➵✽➸➆á②➪❶➹➾➽✣➚❶×☞Ô❱➵✽➸➆➻➾➚❊Öq➵ τØ ➽➆Ü➁Ú ➘✝➳❁➪◗➽ [0, τ ], [τ, t + τ ], .... ➧
Ø ➻↔➻ Ú ✄✱âÞÜ➁➽➆➻↔➶q➷ ●☛✡ ➹➾Öq➵✽➸✥✲ ➽✓➻↔➶➁➵❋ê✿Ü✟➪❶➹↔➻↔➲tâ❴➤✟Õ✭➵➑➷❴➵✽➲
ku k
≤ c ku k ku k
ku k ,
Ø ➡◆➧ Ù②Ù⑧Ú
Õ✜➻↔➲➆➳ θ , θ ➪❶➶➁Ö θ ➽✘➪❶➲➆➻➾➽➀×❖â❊➻↔➶q➷
➪❶➶➁Ö θ + θ + θ = k + α + 2.
θ
θ
θ
+
+
=1
k+α+2
m k+α+2
1
2
11
θ1
m k+2
θ2
m k0 +2
θ3
m q
3
1
k+2
2
k0 + 2
3
q
1
2
3
õ❇ö❊÷❿ò✜ø❿õ✣➤✳➡②➢②➢②➟➼ù❿➚q➧ Ù q➤ ÔÑ➧☞➥
✂➵➑➸✝➵❋ê❧Üq➻↔➸✝➵✬➺✍➚◗➸✝➵❋➚❵á❴➵✽➸
✁
θ3
θ1
+
= 1.
k + 2 2(γ + 1)
✗➽➆➻↔➶q➷✗➲➆➳➁➵➞➬✡➚◗Üq➶➁Öq➵❋Ö◆➶➁➵❋➽✝➽☞➚❶× ku k ➤❶➲➆➳➁➵✭➘✥➳➁➚◗➻➾➘❋➵✭➚❶× q ➤ ❊➚◗➬❱➚◗➹➾➵✽á✦➪❶➶➁✂Ö ✁➞➚◗Üq➶q➷ ✲ ➽❏➻↔➶➁➵❋ê❧Ü✟➪❶➹↔➻↔➲➆➻➾➵❋➽
➪❶➶➁Ö✲➸✝➵✽➹Ý➪❶➲➆➻➾➚◗➶ Ø ➡◆➧ Ù②Ù⑧Ú ➤◆Õ✱➵✬Öq➵✽➸➆➻↔á❴➵➑➲➆➳✟➪❶➲
☎
m k0 +2
θ3
Õ✜➳➁➵✽➸✝➵
γ+1
θ1
γ
c5 kum kk+α+2
k+α+2 ≤ c12 kum kk+2 k∇|um | um k2
2
γ
2
≤ c13 (k + 2)θ4 kum kk+2
k+2 + (k + 2)2 k∇|um | um k2 ,
θ4
➻➾➽✣➽✝➚◗➺✍➵sÔ❱➚②➽✝➻↔➲➆➻↔á❴➵✬➘❋➚◗➶➁➽➆➲✥➪❶➶❧➲❵➧ ● ➵✽➶➁➘❋➵ Ø ◆➡ ➧Û➟ Ú ➬❱➵❋➘❋➚◗➺✍➵❋➽
c14
1 d
k+2
γ
2
θ4
kum kk+2
k+2 + (k + 2)2 k∇|um | um k2 ≤ c15 (k + 2) kum kk+2 + c5 .
k + 2 dt
ò✮➳➁➵✽➸✝➵✻×❸➚◗➸✝➵②➤✟➬❧â✲➪❶ÔqÔq➹↔â✿➻↔➶q➷✍➹➾➵✽➺➼➺❄➪
Õ✭➵✬➘❋➚◗➶➁➘✽➹↔Ü➁Öq➵ë➲✝➚ Ø ◆➡ ➧ ➥ Ú ➧
✪ ✴ ✻✟✻ ✴☎✄ ✿ ✽✥✄ ✽ ✁ ✿✝✆❍✺ ✞ ✺ ✽ ✺❍❀
➡◆➧Û➡ Ú ✴ ✻ m → ∞ ❋ í❲Üq➹↔➲➆➻↔Ôq➹↔â❊➻↔➶q➷ ➲➆➳➁➵ ✆➀➲➆➳å➵❋ê✿Ü✟➪❶➲➆➻➾➚◗➶à➚❶×
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➪❶➶➁Ö❲➻↔➶❧➲✝➵✽➷②➸✥➪❶➲➆➻↔➶q➷✛Õ✜➻↔➲➆➳
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➲➆➳✟➪❶➲
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Õ✱➵❵➪❶óä➻↔➶ L (0, T ; H (Ω)),
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Õ✭➵❵➪❶óä➻↔➶ L (0, T ; H (Ω)),
u →u
➽✝➲➆➸✝➚◗➶q➷②➹↔âÞ➻↔➶ L (0, T ; L (Ω)) ➪❶➶➁Ö✢➪◆➧ ➵➑➻↔➶ Q .
u →u
4 ([ ])
✝
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m
∞
m
2
m
mt
1
0
−1
2
t
2
m
2
2
T
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✡ ÔqÔq➹↔➻➾➵❋Ö❲í❁➪❶➲➆➳➁➵✽➺❄➪❶➲➆➻➾➘❵➪❶➹ ☎❊➘✽➻➾➵✽➶➁➘❋➵❋➽❵➤ ✆ ✢➽➆Ôq➸➆➻↔➶q➷❴➵✽➸➀î➃á❴➵✽➸➆➹Ý➪❶➷
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