Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah

  

001

Vektor Vektor adalah ruas garis berarah yang ditentukan oleh panjang dan arahnya. Dua vektor dikatakan sama jika panjang dan arahnya sama.

  Vektor digambarkan sebagai ruas garis dari titik pangkal ke titik ujung dengan tanda panah diujung, dan diberi lambang huruf kecil cetak tebal.

  Panjang vektor Panjang vektor v adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujungnya, dan ditulis || v ||. Vektor satuan Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1 satuan. v

  Untuk sebarang vektor v diperoleh vektor satuan yang panjangnya 1.

  || || v v titik v v ujung u u u u ||v|| v v titik u pangkal = v u π v z

  Vektor posisi Jika titik pangkal vektor v adalah v ₃

  (0,0,0) dan titik ujungnya (v

  1 ,v 2 ,v 3 ), maka v dina- v (v ^{1 ,v 2 ,v 3 )}

  =

  makan vektor posisi , dan ditulis v ,v ,v = ·v

  1

  2 3 Ò. k

  2

  2

  2 v v v v

  1 ,v 2 ,v 3 || || v . j v = ·v Ò ∫ = + + _{2 Panjang vektor}

  1

  2

  3 0 y i

  Vektor basis

  Vektor satuan i = ·1,0,0Ò, j = ·0,1,0Ò,

  v (v ,v ,0) _{1 1 2}

  dan k = ·0,0,1Ò sebagai pembentuk ruang dinama-

  x

  3 v v v v = i j k _{1 2} + + ₃

  kan vektor basis untuk ruang . Vektor v dapat _{2 2 2}

  \ v v v

  || || v = + + _{1 2 3} v v v dinyatakan sebagai v i j k .

  = + +

  1

  2

  3

  Vektor di bidang Vektor posisi di bidang adalah v ,v

  = ·v

  1 2 Ò, vektor de-

  ngan titik pangkal (0,0) dan titik ujung (v

  1 ,v 2 ). Panjang vektor ini adalah

  2 v v

• 2

  = ·1,0Ò

  1

  2

  || || v . Basis baku di bidang terdiri dari vektor satuan i =

  = ·0,1Ò. Vektor v = ·v

  1 2 Ò di bidang ditulis v =

  1

• v v dan j ,v i j.

  2 Vektor nol

  Vektor nol adalah vektor dengan titik pangkal berimpit de-

  3

  \ Kesamaan dua vektor posisi u u u

  ngan titik ujung, arahnya sebarang. Vektor nol di adalah = ·0,0,0Ò.

  Vektor u = ·u

  1 ,u 2 ,u 3 Ò = 1 i 2 j

  3 k dan v v v v v v v ,v ,v i j k sama, ditulis u v , u , u .

  = ·v

  1

  2 3 Ò =

  1

  2

  3 = ¤ u 1 =

  1 2 =

  2 3 =

  3 Vektor dari ruas garis Jika P dan Q adalah titik di bidang (ruang), ma- JJJG PQ

  ka vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q ditulis . Jika titik

  JJJG QP pangkalnya Q dan titik ujungnya P, maka diperoleh vektor .

  

Penjumlahan vektor Pengurangan vektor

v v u

• v

   u

• v

   u

• v

  v v v v u u v

• v

  v u

• v -v

   u u

• v

  u 3u u

  Perkalian vektor dengan skalar

• 2u

  Penjumlahan vektor Untuk vektor u dan v dengan titik ujung u titik

  ∫

• pangkal v, jumlah u dan v (ditulis u v) adalah vektor dari titik pangkal

  u ke titik ujung v. Jumlah dari vektor u = ·u 1 ,u 2 ,u 3 Ò dan v = ·v 1 ,v 2 ,v 3 Ò ada- v u v u v

  lah u v , ,

• = ·u

  1

  1

  2

  2

  3 3 Ò.

  Perkalian vektor dengan skalar Hasilkali vektor u dengan skalar c (di- tulis c u) adalah vektor yang searah u jika c

  > 0, berlawanan arah dengan

  u jika c 1 ,u 2 ,u

  3

  > 0, dan vektor nol jika c = 0. Hasil kali skalar dari u = ·u Ò

  = ·cu

  1

  

2

3 Ò dan panjangnya |

  c dengan skalar c adalah c u ,cu ,cu | || u ||.

• Pengurangan vektor Selisih dari vektor u dan v (ditulis u v) adalah
• vektor u ( -v). Selisih dari vektor u = ·u

  1 ,u 2 ,u 3 Ò dan v = ·v 1 ,v 2 ,v 3 Ò adalah v u v u v u v , ,

  = ·u

  1

  1

  2

  2

  3 3 Ò.

  

Sifat Vektor Untuk sebarang vektor u, v, w dan skalar a, b berlaku:

¾ ¾ ¾ b b

u v = v u u ( -u) = 0 (a ) u = au u

  ¾ ¾ ¾

  ( u v) w = u ( v w) a(b u) = (ab)u + + + + 1 u = u

  = 0 = u = au = | + + + +

  a a a

¾ u u ¾ a( u v) v ¾ || u || | || u ||.

  Contoh Pada gambar diperlihatkan jajargenjang ABCD de- C

  ngan diagonal AC dan BD yang berpotongan di E,

  D P titik-tengah BC, dan Q titik-tengah ED.

  P Q E

  Jika AB = u dan AD = v , nyatakan ruas garis ber-

  B AQ CQ arah AP , , dan dalam vektor u dan v. A ¾ Dari sifat jajargenjang diperoleh

  DC AB BC AD CD BA CB DA , , , dan .

  = =u = =v = = -u = = -v

  1

  1

  = = + = +

• AP AB BP BC ¾ Karena P titik-tengah BC, maka u u v .

  2

  2

¾ Karena Q titik-tengah ED dan E titik potong diagonal AC dan BD, maka

3 BQ BD

  , sehingga

  =

  4

  3

  3

  3

  1

  3 AQ AB BQ BD BA AD u u u ( u v ) u v .

  = = + = + ( ) = + - + = + + +

  4

  4

  4

  4

  4 ¾

  Dengan argumentasi yang sama diperoleh

  3

  3

  3

  3

  1 CQ CB BQ BD BA AD v v v ( u v ) u v .

  = = - + = - + = - + - + = - + + - ( )

  4

  4

  4

  4

  4 Contoh

  Jika u = (1,0,0), v = (1,1,0), w = (1,1,1), dan x = (2,-3,4), ten-

  = + +

  a b c tukan konstanta a, b, dan c agar memenuhi x u v w.

• a b c a b c

  Dari x u v w diperoleh (2, -3,4) = (1,0,0) (1,1,0) (1,1,1), atau = +

  b c c

  (2, ,b ,c)

• 3,4) = (a + + +

  Berdasarkan kesamaan dua vektor diperoleh

• Akibatnya b = -3 - c = -3 - 4 = -7, dan a = 2 - b - c = 2 - (-7) - 4 = 5.

  a b c c = 2, b = -3, dan c = 4.

  a b c

  Jadi konstanta a, b, dan c yang memenuhi x u v w adalah = + +

  a = 5, b = -7, dan c = 4.

  Contoh Jika u dan v

  = ·8,1,-4Ò = ·6,-2,-3Ò, tentukan panjang vektor u,

• v, dan u 2 v.

  2

  2

  2 ¾

  Panjang vektor u adalah || || u

  8 1 ( 4) 81 9 . = + + - = =

  2

  2

  2 ¾

  Panjang vektor v adalah || || v 2 ( 3) ( 6) 49 7 .

  = + - + - = = ¾ Karena u

  2 v

  2 = ·8,1,-4Ò ·6,-2,-3Ò = ·8,1,-4Ò ·12,-4,-6Ò = ·4, 5,-2Ò, - - -

  2

  2

  2

  maka panjang vektor u - - 2 v adalah || u 2 || v = - + + = ( 4) 5 2 45 3 5. =

  Contoh Pada gambar diperlihatkan sebuah

  60 ∞ 45∞ u

  benda dengan berat 200 newton yang digan-

  v

  tung dua kawat bersudut 60 ∞ dan 45∞ dengan

  60 ∞ 45∞

  horisontal. Jika semua gaya terletak di dalam satu bidang dan benda dalam keadaan setim-

  200

  bang, tentukan besarnya gaya tegangan pada w setiap kawat.

  

¾ Misalkan gaya tegangan pada kawat kiri adalah vektor u, pada kawat ka-

  nan adalah vektor v, dan gaya berat benda adalah vektor w. Uraikan gaya tegangan u dan v atas komponen horisontal dan vertikal.

  

¾ Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah kiri dan ka-

  nan harus sama, akibatnya || || cos 60 u || || cos 45 . v Dari sini diperoleh

  =

  1

  1 || || u 2 || || v , sehingga || || u 2 || || v .

  = =

  2

  2 ¾

  Dalam keadaan setimbang besarnya gaya horisontal ke arah atas dan ba-

• wah harus sama, akibatnya || || sin 60 u || || sin 45 v || || 200 w .

  = =

¾ Selesaikan persamaan ini dengan data soal dan || || u 2 || || v , diperoleh

  =

  1

  1

• +

  3 2 || || v 2 || || 200 v ,

  ◊ =

  2

  2

  2

  6 - 400 400

  || || v 100

  6 2 103,5 newton. = = - ◊ = ( ) ª

  6

  2

  6

  2

  6

  2

  dan

  ( ) ( )

  6 - || || u = 2 || || v = 2 100 ◊ 2 = 200 3 1 - ª 146, 4 newton. i

Perkalian titik Hasilkali titik dari vektor u dan v, ditulis u v , didefini-

sikan sebagai berikut.

  = · Ò · Ò = 1 2 1 2 1 1 2 2 i u u u i v v v u v u v u v

• i u u i v v u v u v ¾ Untuk vektor di bidang: u v , , .

  

¾ Untuk vektor di ruang : u v , , , , .

  = · Ò · Ò = + +

  1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 Sifat Perkalian titik Untuk vektor u, v, w dan skalar c berlaku ¾ i i ¾ i i i ¾ c i c i

u v = v u u v w ( ) u v u w ( u v ) ( ) u v

  = = + +

  2 ¾ i ¾ i i i

  0 u u u || || u , u u u 0 , u u u 0

  = = ≥ > ¤ π = ¤ =

  Kaitan hasilkali titik dengan sudut antara dua vektornya

  Jika u, v π dan

  u v i || || || || cos . u v

  q = sudut terkecil dari u dan v, maka = q Kriteria dua vektor saling tegak lurus u v u v i .

  ^ ¤ =

  

(Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika hasilkali titiknya nol)

ortogonal Dua vektor yang saling tegak lurus dinamakan . u

• v

  Bukti dari sifat i u v = || || || || cos . u v

  q Rumus kosinus dari segitiga pada gambar memberikan

  u v

  2

  2

  2

• || u v || || || u || || v 2 || || || || cos . u v

  = q + -

  q

  Dari sifat perkalian titik diperoleh

  2 i i i || u v || ( u v u v ) ( ) u u v ( ) v u v ( ) = - - = - -

  2

  2 i i i i i

u u u v v u v v || || u || || v

- =

• = + - 2 u v

  Samakan kedua bentuk dari || u v || ini, diperoleh i

• 2

  u v = || || || || cos . u v q Contoh Tentukan sudut antara vektor u dan v = ·8,4,-1Ò = ·4,-4,-2Ò. u v i

  Jika u, v 0 dan

  cos . Untuk

  π q = sudut terkecil dari u dan v, maka q =

  || |||| || u v

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  soal ini, || || u

  8 4 ( 1) 81 9 , || || v 4 ( 4) ( 2) 36 6 , = + + - = = = + - + - = =

  18

  1 i

  dan u v 8(4) 4( 4) ( 1)( 2) 18 , sehingga cos . Akibatnya

  = + - + - - = q = = 9 6 ◊

  3

  1

• 1 sudut antara vektor u dan v adalah cos 71 .

  q = ª

  3 Ilustrasi Vektor u dan v

  = ·8,-1,-4Ò = ·1,-4,3Ò saling tegak lurus karena

  i i u v 8, 1, 4 1, 4,3 8 4 12 .

  = · - - Ò · - Ò = + - =

• =
• = .
• =

  a = =

  , dan

  v j v j v i

  b = =

  v

  cos

  2 || |||| || || ||

  ,

  v i v i v i

  v

  cos

  cos

  1 || |||| || || ||

  = + + v i j k , maka

  3 v v v

  2

  

1

  Jika

  a, cos b, dan cos g dina- makan kosinus arah dari v.

  Dalam kaitan ini, cos

  3 || |||| || || ||

  v

  a,

  2

  cos g = - , sehingga sudut arah dari vektor v

  7

  6

  cos b = , dan

  7

  3

  cos a = ,

  7

  v , maka

  g = =

  7 = + + =

  Karena || || 4 9 36

  Contoh Tentukan sudut arah vektor v = ·2,3,-6Ò.

  1 v v v a b g + + = + + = v v v dan vektor (cos a , cos b , cos g ) adalah suatu vektor satuan yang searah dengan v.

  2 || || || || || || cos cos cos

  2

  2

  Catatlah bahwa ^{2 2 2 3 1 2} _{2 2 2}

  v k v k v i

  b, dan g ; di sini a = –(v,i), b = –(v,j), dan g = –(v,j).

  0 dengan vektor basis i, j, k dinamakan su - dut arah dari v, dinyatakan dengan

  Contoh Tentukan semua vektor satuan yang tegak lurus u

  2

  = -

  2 c b

  , sehingga

  2 b c

  4

  Selisih dua persamaan ini memberikan

  ¾

  2 a b c

  dan

  2

  4 a b c

  6

  ·1,2,2Ò = 0. Dari sini diperoleh persamaan

  ∑

  ·1,6,4Ò = 0 dan ·a,b,cÒ

  ∑

  = ·a,b,cÒ adalah suatu vektor yang tegak lurus u dan v, maka ·a,b,cÒ

  ¾ Misalkan w

  = ·1,6,4Ò dan v = ·1,2,2Ò.

  dan

  2

  π

  3

  v

  Sudut tak negatif terkecil antara vektor ruang

  0 y i x

  Sudut arah dan kosinus arah z v k g a b j

  w w s .

  = = = ± · - Ò

  b b · - Ò

  2,1, 2

  1 || || 3| |

  2

  2,1, 2

  sehingga semua vektor satuan yang tegak lurus u dan v adalah

  = + + = w ,

  2 || || (4 1 4) 3| | b b

  = ·a,b,cÒ = ·2b,b,-2bÒ = b·2,1,-2Ò dan

  ¾ Jadi w

  = - - = - + = .

  2 a b c b b b

  4

  = ·2,3,-6Ò adalah

  u v i

Vektor Proyeksi Proyeksi vektor u pada v adalah vektor pr u v

  =

  v

  2 || || v dan ||pr || u dinamakan proyeksi skalar dari u pada v. v u u u pr u q pr v = u ^{2 v = u 2 q} q u q v

• ||u|| cos ^{2 v u 2 ||u|| cos}

  1

  1

  £ £ q p p q p < £

  2

  2 k u (proyeksi u pada v) v, k u (proyeksi u pada v)

  2 = = > 2 = = -kv, k >

  ||u || ||v|| ||u || ||v||

  2 = ||u|| cos q = k 2 = -||u|| cos q = k ∑

  ∑

u v ||v|| cos ||v|| ||v|| v ||v|| cos ||v|| ||v||

  = ||u|| q = k -u = -||u|| q = k

  u v i u v i k k

  = = -

  2

  2 || || v

  || || v u v i u v i

  pr k pr k \ = u u = v = v \ = u u = - = v v

  2 v

  2 2 v

  2 || || v

  || || v Contoh Jika u u dan pr v .

  = ·2,2,-1Ò dan v = ·1,1,2Ò, tentukan pr

  v u i i

  Untuk contoh ini, || || v = 6 , || || 3 u = , dan u v = v u = 2 , sehingga

  u v i 2 1 1 2 v u i 2 4 4

  2 pr u = v = · 1,1,2 Ò = · , , Ò dan pr v = u = · 2, 2, 1 - Ò= · Ò - , , . v

  2 u

  2 6 3 3 3 9 9 9

  9 || || v || || u tali

  Contoh Jika sudut antara tanjakan jalan dan horisontal

  adalah 25 ∞ , tentukan gaya tegangan tali agar dapat me-

  25 ∞ nahan mobil seberat 2 ton dalam keadaan setimbang. xoy

  Buatlah sistem koordinat dengan titik asal sebagai ti-

  y

  tik pusat massa mobil. Dalam sistem koordinat ini,

  T _{a tan}

  W tan

  25 0. = ·0,-2Ò dan T = ·-a,a ∞Ò, > _{25 ∞} -a x Gaya tegangan tali untuk menahan mobil dalam keadaan setimbang adalah panjang proyeksi dari w pada T, yaitu

  25 ∞ a

  | T W | | T W | 2 tan 25 a

i i

||pr W || || || T 0,8452 ton.

  = = = ª

  T

  2

  || || T || || T a 1 tan 25

• 2

  W = 2 ton Cara lain ||pr W || || W ||sin 25 2 0,4663 0,8452 ton.

  Contoh Jika g

  ∫ ax + by + c = 0, a dan b tak semua 0, tunjukkan vektor

  |ax by c |

  ·a,bÒ tegak lurus g dan jarak A(x =

  d ,y ) ke g adalah .

  2 a b

• 2

  Untuk a dan b tak semua 0, terdapat tiga kasus yang mungkin terjadi

  c

• ¾ a by c g y = 0 dan b π 0: g ∫ = ¤ ∫ = - ¤ g // sb-x ¤ ·0,bÒ ^ g.

  b c

• ¾ a ax c g x π 0 dan b = 0: g ∫ = ¤ ∫ = - ¤ g // sb-y ¤ ·a,0Ò ^ g.

  a

c c c c

  π 0 dan b π 0: ,0 Œ dan 0, - Œ ¤ , - Œ ¤

• ¾ a g g g

  

( ) ( ) · Ò

a b a a

c c c c

  ¤ , · , Ò = ¤ , - ^ · , Ò ¤ ·a,bÒ ^ g.

• i a b a b

  · Ò · Ò

  a a a a y g

  Misalkan (x

  1 ,y 1 ) dan n

  Œ = ·a,bÒ adalah vektor yang

  A(x ,y ) n

  tegak lurus garis g ∫ ax + by + c = 0. Buatlah vektor

  d v dari (x ,y ) ke (x ,y ), maka v x , y y v pr v _n

  1 1 = ·x

  1 1 Ò. g

  Karena (x ,y ) , maka ax

  1 1 Œ 1 + by 1 + c = 0, sehingga (x ^{1 ,y 1 )} ax

  1 + by 1 = -c.

  0 x

  Dengan menggunakan proyeksi vektor diperoleh

  | x x y , y i a b , | | v n i | | v n i | · - - Ò · Ò

  1

  1 d A g jarak ( , ) ||pr || v || || n = = = = = n

  2 || || n || a b , ||

  · Ò || || n | ( a x x ) b y ( y ) | | ax by ( ax by )| | ax by c |

  1

  1

  1

  1 = = = .

  2

  2

  2

  2

  2

a b a b a b

• 2

  Perkalian silang

  Hasilkali silang dari vektor ruang u = ·u

  1 ,u 2 ,u 3 Ò dan v ,v ,v ¥ v, didefinisikan sebagai vektor ruang

  = ·v

  1

  2 3 Ò, ditulis u u v u v u v u v u v u v

  ¾ u v ¥ , , ; atau = · Ò - - -

  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 i j k

u u u u u u

  2

  3

  

1

  3

  1

  2 u u u

  ¾ u v ¥ i j k (bentuk determinan)

  = = - +

  1

  2

  3

v v v v v v

  2

  3

  

1

  3

  1

  2 v v v

  1

  2

  3 ¥ u v

  Sifat perkalian silang Untuk vektor ruang u dan v berlaku ∑ ∑

  ¾ u ¥ v ¥ v u (u ¥ v) (u ¥ v)

  ^ u dan u ^ v ( = 0 = v )

  ¾ u, v, dan u ¥ v membentuk sistem tangan-kanan

• –(u,v)

  ¾ || u ¥ v || u || || v || sin

  = || –(u,v)

  u _¥ ||u v|| v

  ¾ u // v ¥ v

  ¤ u = 0

  Ilustrasi Jika u

  = ·1,6,4Ò dan v = ·1,2,2Ò, maka

  i j k 6 4 1 4 1 6

  ¥ u v 1 6 4 i j k

  4 i 2 j 4 k 4, 2, 4 . = = = = · - Ò - + + - 2 2 1 2 1 2

  1 2 2 v ¥ w t u w g

  F O _P ||u||cos g

  ||w|| sin q q g w q v v

  Torsi Pada gambar kiri diperlihatkan sebuah benda dengan titik tetap O

  dan P titik lain pada benda. Di P bekerja gaya F yang memutar benda terhadap sumbu yang melalui O dan tegak lurus bidang (OP,F). Vektor

  OP ¥ F dinamakan torsi , yang searah dengan sumbu putar dan besar-

  t =

  OP OP nya || || || || sin , F ( , ) F .

  q q = –

  Arti geometri perkalian silang Pada gambar tengah diperlihatkan sebu-

  ah jajargenjang yang dibentuk oleh vektor v dan w dengan q = –(v,w). Alas dan tinggi jajar genjang ini adalah || v || dan || w || sin q, sehingga luas-

  

¥

  nya adalah L = || v || || w || sin q = || v w ||. (sifat perkalian silang)

  Perkalian tripel skalar Perkalian tripel skalar dari vektor u, v, dan w ∑

  

¥

  didefinisikan sebagai skalar u (v w). Jika u = ·u

  1 ,u 2 ,u 3 Ò, v = ·v 1 ,v 2 ,v 3 Ò,

  dan w ,w ,w = ·w

  1

  2 3 Ò, maka v v v v v v

  Ê ˆ

  2

  

3

  1

  3

  1

  2 u u u u v w ( ¥ ) , , , , i i

  = · Ò -

  1

  2

  3 Á ˜ w w w w w w

  Ë

  2

  3

  1

  3

  1 2 ¯ u u u

  1

  2

  3

v v v v v v

  2

  3

  

1

  3

  1

  2 u u u v v v .

  =

+ -

=

  1

  2

  3

  1

  2

  3

w w w w w w

  2

  3

  

1

  3

  1

  2 w w w

  1

  2

  3 Arti geometri Perkalian tripel skalar Pada gambar kanan diperlihatkan

  sebuah paralel epipedum yang dibentuk vektor u, v, dan w. Luas alasnya adalah || v ¥ w || dan tingginya adalah || u || | cos ¥ w). g |, dengan g = –(u,v

  Volume paralel epipedum ini adalah

  V ∑ v ¥ w || || u || | cos u || || v ¥ w || | cos (v ¥ w)|.

  Q P a a

• x
• b
• y
• c
• z

• by
• cz

• by
• cz
• by
• cz
• 2,-1),

  A B C

  Ambillah n = ·2,2,-1Ò, maka a

  

= ¥ = - = ·- - Ò = - · - Ò

  n , maka 1 3 4 14, 14,7 7 2,2, 1 4 5 2

  ^

  n dan AC

  ^

  AB

  Karena vektor normal bidang n memenuhi

  = - - - - = ·- Ò

  (1,1,3) (2, 2, 1) 1,3, 4

AB

  = - - - = ·- Ò ( 2,3,1) (2, 2, 1) 4,5, 2 AC

  Vektor yang terletak pada bidang a adalah

  n

  (1,1,3), dan C( -2,3,1).

  B

  a yang melalui titik A(2,

  = Contoh Tentukan persamaan bidang

  2 | |ax by cz d a b c d

  2

  2

  : 2x

  = k, k dicari. Karena a melalui

  A

  = n n i .

  a b – ª n n .

  , maka ( , ) 77, 2

  n n n n n n i

  ◊

  9 cos ( , ) a b a a b

  2 || |||| || 3 3

  2

  Karena

  2 a b

  adalah

  = = n n , dan

  = · - Ò = · Ò n n dengan || || 3, || || 3 a b

  2, 2, 1 , 1, 2, 2 a b

  ). Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua vektor normalnya. Di sini

  = 6, tentukan –( a , b

  = 1 dan b : x

  a : 2x

  Contoh Jika

  z = 1.

  (2, -2,-1), maka k = 4 - 4 + 1 = 1. Jadi a : 2x + 2y -

  =

  d

  ). Jika titik

  PQ ^ n

  terletak pada a . Karena

  PQ x x y y z z = · - - - Ò

  1 , ,

  1

  1

  (x,y,z) pada a , maka vektor

  Q

  1

  PQ = n i

  ,z

  1

  ,y

  1

  = ·a,b,cÒ dan melalui titik P(x

  diperlihatkan bidang a yang tegak lurus vektor tak- nol n

  = · - - - Ò Persamaan kartesis bidang di ruang Pada gambar

  (x,y,z) P (x ₁ ,y ₁ ,z ₁ ) _{1 1 1} , , PQ x x y y z z

  n Q

  , maka

  , akibatnya a

  a : ax

  : a (x

  Jarak titik ke bidang Jarak titik A(x ,y ,z ) ke

  d ; a, b, dan c tak semua nol.

  =

  : ax

  konstanta. Jadi persamaan bidang a adalah a

  k

  ,

  1 = k

  1 + cz

  ax 1 + by

  =

  ) = 0. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk ax

  1

  (z

  )

  1

  y

  (

  )

  1

AB AC

• i j k n .
• 2y
• z
• 2y
• z
• 2y
• 2z
• – = = =

  Tampilan parameter kurva bidang Suatu kurva bidang dapat ditulis-

  kan dalam persamaan parameter x = x(t), y = y(t), t Œ I, kedua fungsi ini

  I

  kontinu pada suatu selang . Cara penulisan lainnya adalah bentuk vektor r(t) = x(t) i + y(t) j, t Œ I = [a,b].

  x Kurva tutup dan kurva sederhana Pada persamaan parameter x (t),

  =

  y y t x y

  (t), [a,b], titik ujung kurva adalah P ( (a), (a) ) dan titik pangkal = Œ

  Q x y kurva adalah (b), (b) .

  ( ) ¾ Suatu kurva dengan titik pangkal dan titik ujung berimpit dinamakan kurva tutup .

  ¾ Suatu kurva yang dijalani tepat satu kali (kecuali titik pangkal dan ti- tik ujungnya) dinamakan kurva sederhana .

  2

  2

  2 x y a

Contoh Tentukan persamaan parameter untuk lingkaran L: .

• =

  y t t

  Persamaan parameter L adalah x cos , y sin , _{x y a (x,y) 2 2 2} = a = a

• = t t t t

  £ £ 2 cos i + a sin j, 0 £ £

  2 _y p, atau r(t) = a p. Titik pangkal L r(0) (a,0) dan titik ujung L _{t a x} ∫ = ∫ r(2 p)

• a 0 x

  (a,0), sehingga L adalah lintasan tutup. Karena L di- _{L jalani tepat satu kali kecuali titik (a,0), maka L adalah} =

• a

  a t a t

  lintasan tutup sederhana. Dari x cos dan y sin = =

  x cos t y sin t = a = a _{Lintasan tutup sederhana}

  2

  2

  2 x y a diperoleh persamaan lingkaran .

• =

  Lintasan tidak tutup dan Lintasan tutup dan tidak Lintasan tutup dan Lintasan tidak tutup sederhana Q sederhana sederhana dan tidak sederhana

  Q P P Kurva bidang Persamaan kartesis Persamaan parameter

  2

  2 x y

  Elips =

• x a t b t t

  1 cos , y sin ,

  2 = = £ £ p

  2

  2 a b

  1

  2

  2 x a t b t t

  sec , y tan , = = p < < p

• 1

  x y

  2 Hiperbol 1 , x = > 0

• 2

  2

  2 a b x a t b t t

  Keterdiferensialan fungsi parameter Jika x

  = x(t), y = y(t), t Œ I mem- punyai turunan pertama yang kontinu dan x ¢(t) π 0 pada selang buka I,

  dy dy dt / maka y adalah fungsi terdiferensialkan terhadap x dengan .

  = dx dx dt / t t t

  Ilustrasi Pada fungsi parameter x cos , y sin , 0

  2 = a = a £ £ p untuk

  2

  2

  2 x y a

  lingkaran L: diperoleh y adalah fungsi dari x dengan turunan

• =

  

dy dy dt / a cos t x

= = = - .

• dx dx dt / a sin t y

  y _2a Sikloid Sikloid adalah kurva bi-

  dang yang merupakan jejak titik

  y P R _{t C sikloid} pada roda lingkaran yang digelin- x

  dingkan sepanjang garis lurus tan-

  a a

0 M N p 2 p x pa tergelincir.

  ¾ C

  Gambar ini adalah roda lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari a digelindingkan sepanjang sb-x dengan jejak titik P mulai dari (0,0).

  ¾

  Pilih parameter t sudut searah jarum jam antara CP dengan posisi ver-

  ON PN at

  tikalnya saat P di titik O. Karena , maka x dan y adalah

  = = x OM ON MN at a t a t

  sin (t sin ) = = = = - - -

  y MP NR NC CR a t a t

  ( cos ) (1 cos ) = = = = -a = + - +

  x a t y a t t ¾ Persamaan parameter sikloid adalah (t sin ), (1 cos ), 0.

  = = > - -

  2

  dy dy dt / a sin t ± = = = , karena

• 2 ay y

  Turunan y terhadap x adalah

• dx dx dt / a (1 cos ) t y y

  y

  2

  2

  2 t a t a t a ay y cos = - fi 1 sin = ± 1 cos = ± 1 - - ( 1 ) = ± 2 . a a

  Dari sini diperoleh 0 £ y £ 2a, titik minimumnya tercapai di x = k◊2 pa dan titik maksimumnya tercapai di x = pa + k◊2pa, k bilangan bulat.

  Luas daerah di bawah satu busur sikloid dan di atas sb-x adalah

  2 a

  2

  2 p p p

  2

  2 Ú Ú Ú

• L y dx a t d a t t a t dt

  (1 cos ) ( ( sin ) ) (1 cos ) = = =

  2 p

  2 p

  1

  1

  3

  1

  2

  2 a t t dt a t t t

  ( 1 2cos cos 2 ) 2sin sin 2 = + + = + - -

  2

  2

  2

  4 Ú

  ( )

  2 a 3 .

  = p

  Fungsi Parameter di Bidang dan Ruang

  r ( ) ( ) i ( ) , j dan di = a £ £ b

• t x t y t t

  Fungsi parameter di bidang adalah

  t x t y t z t t

  ruang adalah r ( ) ( ) i ( ) j ( ) , k . Fungsi parameter ini

  = £ £

• a b + bernilai vektor dengan peubah skalar.

  Fungsi ini memuat informasi titik pangkal, titik ujung, arah, dan berapa

  t

  kali kurva dijalani; arahnya terbalik jika diganti dengan ( (kekuatan) -t). Suatu kurva dapat ditulis sebagai fungsi parameter dengan lebih dari sa- tu cara, aturannya tidak tunggal. (kelemahan)

  

Fungsi Parameter di Bidang Fungsi Parameter di Ruang

y z ₂ \ \ ₃ t _ttkpkl \ = a \ t r

  = a = r(t) t r = a = r(t) t ttkpkl = a t

  = b t ttkujung t t k = _ttkujung b r(t) j r(t) j y t = b t i = b i x x

• t x t y t t t x t y t z t t

  

r ( ) ( ) i ( ) , j r ( ) = ( ) i ( ) j ( ) , k £ £

+ + = a £ £ b a b x x

  = x(t), y = y(t) ∫ fungsi real = x(t), y = y(t), z = z(t) ∫ fungsi real y z