BAB 18. Vektor

18. VEKTOR

A. Vektor Secara Geometri

1. Ruas garis berarah AB= b – a

2.

Sudut antara dua vektor adalah 

3. Bila AP : PB = m : n, maka:

B. Vektor Secara Aljabar

1. Komponen dan panjang vektor: a =





















3

2

1

a

a

a

= a1i + a2j + a3k;

|a| = 2 3 2 2 2

1 a a

a  

2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:

ab =





















3

2

1

a

a

a























3

2

1

b

b

b

=



























3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

; ka = k





















3

2

1

a

a

a

=





















3

2

1

ka

ka

ka

Apabila diketahui a =





















3

2

1

a

a

a

dan b =





















3

2

1

b

b

b

, maka:

1. a · b = |a| |b| cos 

= a1b1 + a2b2 + a3b3

2. a · a = |a|2 _{= a}

1a1 + a2a2 + a3a3

3. |a + b|2 _{= |a|}2 _{+ |b|}2 _{+ 2|a||b| cos  = |a|}2 _{+ |b|}2 _{+ 2 a · b}

4. |a – b|2 _{= |a|}2 _{+ |b|}2 _{– 2|a||b| cos  = |a|}2 _{+ |b|}2 _{– 2 a · b}

5. Dua vektor saling tegak lurus jika a · b = 0

D.

Proyeksi Vektor

1. Proyeksi skalar ortogonal Panjang vektor proyeksi b pada a

|p| = | a |

b a

2. Vektor proyeksi ortogonal : vektor proyeksi b pada a

p = a

| a |

b a

2 



SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2004

Diketahui a = i + 2j + 3k,

b = – 3i – 2j – k, dan c = i – 2j + 3k, maka 2a + b – c = …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i + 4j – 2k c. –2i + 4j – 2k d. 2i + 4j + 2k e. –2i + 4j + 2k

Jawab : e 2. UN 2005

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –3, 4), B(5, 0, 1), dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3. Panjang vektor PC adalah …

a. 10

b. 13

c. 15

d. 3 2 e. 9 2

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN Jawab : d

3. EBTANAS 2002

Diketahui a + b = i – j + 4k dan | a – b | = 14. Hasil dari a · b = … a. 4

b. 2 c. 1 d. ₂1 e. 0 Jawab : c

4. EBTANAS 2002

Jika | a | = 2, | b | = 3, dan sudut (a, b) = 120º. Maka | 3a + 2b | = … a. 5

b. 6 c. 10 d. 12 e. 13 Jawab : b

5. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = xi – 4j + 8k tegak lurus vektor b = 2xi + 2xj – 3k, maka nilai x yang memenuhi adalah …

a. –2 atau 6 b. –3 atau 4 c. –4 atau 3 d. –6 atau 2 e. 2 atau 6 Jawab : a 6. UN 2006

Diketahui vektor a = 6xi + 2xj – 8k,

b = –4i + 8j + 10k dan

c = –2i + 3j – 5k. Jika vektor a tegak lurus b maka vektor a – c = …

a. –58i – 20j –3k b. –58i – 23j –3k c. –62i – 20j –3k d. –62i – 23j –3k e. –62i – 23j –3k

SOAL PENYELESAIAN 7. UN 2012/A13

Diketahui vektor

;

6

3

4

;

1

2















































b

p

a



dan

























3

1

2

c



.

Jika a tegak lurus b, maka hasil dari )

2

(a b ·(3c)

adalah…

A. 171 D. –111

B. 63 E. –171

C. –63 Jawab : E 8. UN 2012/B25

Diketahui vektor ai2j xk_, k

j i

b3  2  _{, dan} c2i j2k . Jika a tegak lurus c,

maka (a+b)· (a – c) adalah ...

A. –4

B. –2

C. 0

D. 2

E. 4

Jawab : C 9. UN 2012/D49

Diketahui vektor ai xj3k,

, 2i j k

b   dan ci3j2k. Jika a tegak lurus b maka 2a ·

)

(b c adalah…. A. – 20

B. – 12 C. – 10 D. – 8 E. – 1 Jawab : A 10. UAN 2003

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN

Diberikan vektor a =





















2

2

2

p

dengan p

 Real dan vektor b =





















2

1

1

. Jika a

dan b membentuk sudut 60º, maka kosinus sudut antara vektor a dan a + b

adalah … a. 12₄ 7

b. ₂5 7

c. ₄5 7

d. ₁₄5 7

e. ₇2 7

Jawab : d 11. UN 2012/A13

Diketahui vektor a4i2j2k dan b3i3j . Besar sudut antara vektor a dan b adalah….

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

E. 120

SOAL PENYELESAIAN 12. UN 2012/C37

Diketahui vektor























3

3

2

a



dan

























4

2

3

b



.

Sudut antar vektor a dan b adalah …

A. 135

B. 120

C. 90

D. 60

E. 45

Jawab : C 13. UN 2012/E52

Diketahui titik A (1, 0, –2), B(2, 1, –1), C (2, 0, –3). Sudut antara vektor AB dengan AC adalah….

A. 30

B. 45

C. 60

D. 90

E. 120

Jawab : D

14. UN 2011 PAKET 46

Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika u mewakili

ABdan v mewakili AC, maka sudut

yang dibentuk oleh vector u dan v adalah …

a. 30

b. 45

c. 60

d. 90

e. 120 Jawab : b

15. UN 2010 PAKET A

Diberikan vektor–vektor a = 4i – 2j + 2k

dan b = i + j + 2k. Besar sudut yang dibentuk vektor a dan b sama dengan … a. 30º

b. 45º c. 60º d. 90º

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN

e. 120º Jawab : c

16. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika

AC wakil vektor u dan wakil DH

adalah vektor v, maka sudut antara vektor

u dan v adalah …

a. 0

b. 30

c. 45

d. 60

e. 90

Jawab : e

17. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A.  D. ₆ B. ₂ E. 0 C. ₃ Jawab : B 18. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor

b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7

b. –6

c. 5 d. 6 e. 7 Jawab : e 19. UN 2004

Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan

q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi

q pada p adalah 2, maka x adalah … a. ₆5

b. ₂3 c. 13₂ d. 43₆ e. 53₆ Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2012/A13

Diketahui a5i6j k dan k

j i

b  2  2 . Proyeksi orthogonal

vektor a pada b adalah…. A. i2j2k

B. i2j 2k C. i 2j2k D.  i2j2k E. 2i2j k Jawab : D 21. UN 2012/B25

Diketahui vektor a9i 2j4k dan b2i2jk. Proyeksi orthogonal vektor a pada b adalah ...

A. 4i 4j 2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i 4j8k Jawab : C

22. UN 2012/E52

Proyeksi orthogonal vektor

a = 4i+ j+ 3k pada b= 2i+ j+ 3k adalah….

A. ₁₄13 (2i + j₊₃k ) B. ₁₄15 (2i + j_{+3k )} C.

7 8

(2i+ j₊₃k ) D.

7 9

(2i+ j_{+3k )} E. 4i+2 j+6k Jawab : D

23. UN 2011 PAKET 12

Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector

b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …

a. i – j + k

b. i – 3j + 2k

c. i – 4j + 4k

d. 2i – j + k

e. 6i – 8j + 6k

Jawab : b

24. UN 2011 PAKET 46

Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal

vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k

b. –4i + 4j – 8k

c. –2i + 2j – 4k

d. –i + 2j + 3k

e. –i + j – 2k

Jawab : e

25. UN 2010 PAKET A

Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika _AB wakil vector u, AC wakil vektor v, maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – ₅6 j + 12₅ k

b. 3 5i – 6₅ j + 12₅ k c. ₅9 (5i – 2j + 4k) d. ₄₅27 (5i – 2j + 4k) e. ₅₅9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d

26. UN 2010 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor _AB pada AC adalah …

a. ₄1 (3i + j – 2k) b. ₁₄3 (3i + j – 2k) c.  ₇1(3i + j – 2k) d.  ₁₄3 (3i + j – 2k) e.  ₇3(3i + j – 2k) Jawab : c

27. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan

BC wakil vektor v, maka proyeksi orthogonal vektor u pada v adalah …

a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. ₃1 i + ₃2j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k

Jawab : a

28. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –

SOAL PENYELESAIAN

ACadalah …

a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

29. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap

ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b

30. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah …

a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

31. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan

C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b 32. UAN 2003

Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN

dari vektor v =























4

3

2

terhadap vektor

u =

























1

2

1

, maka w = …

A.























3

1

1

D.























2

4

2

B.

























2

1

0

E.

























2

4

2

C.





















2

1

0

SOAL PENYELESAIAN 33. EBTANAS 2002

Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

A. – ₃4 (2 1 1) D. ( ₃4 1 1) B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C. ₃4(2 1 1) Jawab : C

Pintar matematika dapat terwujud dengan

SOAL PENYELESAIAN e. 120º

Jawab : c

16. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui balok ABCD EFGH dengan AB = 2 cm, BC = 3 cm, dan AE = 4 cm. Jika

AC wakil vektor u dan wakil DH adalah vektor v, maka sudut antara vektor u dan v adalah …

a. 0

b. 30

c. 45

d. 60

e. 90

Jawab : e

17. UN 2011 PAKET 12

Diketahui titik A(5, 1, 3), B(2, –1, –1), dan C(4, 2, –4). Besar sudut ABC = …

A.  D. ₆

B. ₂ E. 0

C. ₃ Jawab : B

18. UN 2008 PAKET A/B

Jika vektor a = –3i – j + xk dan vektor

b = 3i – 2j + 6k. Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 5, maka nilai x = …

a. –7

b. –6

c. 5

d. 6

e. 7

Jawab : e 19. UN 2004

Diketahui p = 6i + 7j – 6k dan

q = xi + j + 4k. Jika panjang proyeksi

q pada p adalah 2, maka x adalah … a. ₆5

b. ₂3 c. 13₂ d. 43₆ e. 53₆ Jawab : c

SOAL PENYELESAIAN 20. UN 2012/A13

Diketahui a5i6j k dan

k j i

b  2  2 . Proyeksi orthogonal

vektor a pada b adalah…. A. i2j2k

B. i2j 2k

C. i 2j2k

D.  i2j2k

E. 2i2j k

Jawab : D 21. UN 2012/B25

Diketahui vektor a9i 2j4k dan b2i2jk. Proyeksi orthogonal vektor a pada b

adalah ...

A. 4i 4j 2k B. 2i2j4k C. 4i4j2k D. 8i8j4k E. 18i 4j8k Jawab : C

22. UN 2012/E52

Proyeksi orthogonal vektor

a = 4i+ j+ 3k pada b= 2i+ j+ 3k adalah….

A. ₁₄13 (2i + j₊₃k ) B. ₁₄15 (2i + j_{+3k )} C.

7 8

(2i+ j₊₃k ) D.

7 9

(2i+ j_{+3k )} E. 4i+2 j+6k

Jawab : D

23. UN 2011 PAKET 12

Diketahui vector a = 4i – 2j + 2k dan vector b = 2i – 6j + 4k. Proyeksi vector orthogonal vector a pada vector b adalah …

a. i – j + k b. i – 3j + 2k c. i – 4j + 4k d. 2i – j + k e. 6i – 8j + 6k Jawab : b

24. UN 2011 PAKET 46

Diketahui vector a = 2i – 4j – 6k dan vector

Pintar matematika dapat terwujud dengan

170

SOAL PENYELESAIAN b = 2i – 2j + 4k. Proyeksi vector orthogonal

vector a pada vector b adalah … a. –4i + 8j + 12k

b. –4i + 4j – 8k c. –2i + 2j – 4k d. –i + 2j + 3k e. –i + j – 2k Jawab : e

25. UN 2010 PAKET A

Diketahui koordinat A(–4, 2, 3), B(7, 8, –1), dan C(1, 0, 7). Jika _AB wakil vector u, AC wakil vektor v,

maka proyeksi u pada v adalah … a. 3i – ₅6 j + 12₅ k

b. 3 5i – 6₅ j + 12₅ k c. ₅9 (5i – 2j + 4k) d. ₄₅27 (5i – 2j + 4k) e. ₅₅9 (5i – 2j + 4k) Jawab : d

26. UN 2010 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, –1, –1), B(–1, 4, –2), dan C(5, 0, –3). Proyeksi vektor _AB pada AC adalah …

a. ₄1 (3i + j – 2k) b. ₁₄3 (3i + j – 2k) c.  ₇1(3i + j – 2k) d.  ₁₄3 (3i + j – 2k) e.  ₇3(3i + j – 2k) Jawab : c

27. UN 2009 PAKET A/B

Diketahui titik A(2,7,8), B(–1,1,–1) dan C(0,3,2). Jika AB wakil vektor u dan

BC wakil vektor v, maka proyeksi

orthogonal vektor u pada v adalah …

a. –3i – 6j – 9k b. i + 2j + 3k c. ₃1 i + ₃2j + k d. –9i – 18j – 27k e. 3i + 6j + 9k

Jawab : a

28. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, – 3, –2). Proyeksi vektor AB pada

SOAL PENYELESAIAN

ACadalah …

a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

29. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap

ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b

30. UN 2007 PAKET A

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(2, –1, – 3), B(–1, 1, –11), dan C(4, –3, –2). Proyeksi vektor AB pada ACadalah …

a. –12i + 12j – 6k b. –6i + 4j – 16k c. –4i + 4j – 2k d. –6i – 4j + 16k e. 12i – 12j + 6k

Jawab : c

31. UN 2007 PAKET B

Diketahui segitiga ABC dengan titik A(–2, 3, 1), B(1, –1, 0), dan

C(–1, 1, 0). Proyeksi vektor AB terhadap ACadalah …

a. 2i – 4j + 2k b. 2i – 4j – 2k c. 2i + 4j – 2k d. i – 2j – k e. i + 2j – k

Jawab : b 32. UAN 2003

Jika w adalah hasil proyeksi orthogonal

Pintar matematika dapat terwujud dengan

172

SOAL PENYELESAIAN

dari vektor v =























4

3

2

terhadap vektor

u =

























1

2

1

, maka w = …

A.























3

1

1

D.























2

4

2

B.

























2

1

0

E.

























2

4

2

C.





















2

1

0

SOAL PENYELESAIAN 33. EBTANAS 2002

Proyeksi vektor ortogonal v = (1 3 3) pada u = (4 2 2) adalah …

A. – ₃4 (2 1 1) D. ( ₃4 1 1) B. –(2 1 1) E. (2 1 1) C. ₃4(2 1 1) Jawab : C

Pintar matematika dapat terwujud dengan

174