1 DDA2313 Mekanik Bendalir (Fluid Mechanics)
DDA2313 Mekanik Bendalir (Fluid Mechanics)
Bab 2 – Statik Bendalir (Fluid Statics)
2.0 Pengenalan
Hidrostatik adalah kajian terhadap bendalir yang tidak bergerak (no movement = static). Dalam
keadaan demikian, bendalir bebas daripada sebarang tegasan ricih dan semua daya yang disebabkan
oleh tekanan statik, bertindak pada sudut tepat dengan sempadan permukaan.
2.1 Keamatan Tekanan Pada Satu Titik
Perhatikan suatu prisma kecil, lebarnya δz yang mengufuk dalam bendalir statik dan terdapat
tekanan px, py, dan ps yang bertindak normal terhadap permukaan prisma sehingga menghasilkan
keseimbangan.
ps
B
δs
A
F
px
C
δy
δz
E
δx
θ
D
py
px = tekanan pada permukaan satah ABEF
py = tekanan pada permukaan satah CDEF
ps = tekanan pada mana-mana sudut θ; permukaan satah ABCD
Daya di arah x (Forces in the x-direction)
Daya tekanan px = px × Keluasan ABEF = px δy δz
Komponen tekanan ps = ̶ (ps × Keluasan ABCD) sin θ = -ps δs δz
(sin θ =
𝛿𝑦
𝛿𝑠
)
𝛿𝑦
𝛿𝑠
= -ps δy δz
Daya tekanan py tidak ada komponen di arah x.
Keseimbangan akan berlaku kalau: px δy δz + (-ps δy δz) = 0, supaya px = ps
Daya di arah y (Forces in the y-direction)
Daya tekanan py = py × Keluasan CDEF = py δx δz
Komponen tekanan ps = ̶ (ps × Keluasan ABCD) cos θ = -ps δs δz
(cos θ =
𝛿𝑥
𝛿𝑠
)
1
𝛿𝑥
𝛿𝑠
= -ps δx δz
1
Komponen berat prisma = –Berat tentu × Isipadu = –ρg × δx δy δz
2
Daya tekanan px tidak ada komponen di arah y.
Keseimbangan akan berlaku kalau: py δx δz + (–ps δx δz) = 0, supaya py = ps
Hukum Pascal (Pascal’s Law)
Maka, px = py = ps
Hukum Pascal = Tekanan pada satu titik tertentu di dalam sesuatu bendalir adalah senilai bagi
semua arah.
2.1.1 Turus Tekanan Bagi Bendalir
Takrif tekanan pada suatu permukaan adalah daya tekanan untuk seunit permukaan itu. Persamaan
asas dalam hidrostatik diberi oleh hubungan antara tekanan, ketumpatan bendalir dan ukur dalam.
Untuk mendapatan hubungan ini, perhatikan satu unsure seperti pada Rajah di bawah.
p
h1
dA
mg
dh = h2 – h1
h2
p + dp
Luas unsur = dA
V = isipadu unsur
p = tekanan
ρ = ketumpatan bendalir
Untuk keseimbangan,
daya bertindak ke atas = daya bertindak di bawah
(p + dp) dA = p dA + mg → p dA + dp dA = p dA + mg
Tetapi m = ρV
V = dA dh
dp dA = mg
Oleh itu, dp dA = ρV g = ρ g dA dh
dp = ρ g dh
Kamirkan antara (1) dan (2)
Kemudian,
𝑝2
𝑑𝑝
𝑝1
= ρg
ℎ2
ℎ1
𝑑ℎ
2
p2 – p1 = ρ g (h2 – h1)
h2 – h1 = dh
p2 – p1 = ρ g dh
p2 = p1 + ρ g dh
Jika h1 = 0, p1 = 0 (tekanan atmosfera), maka p2 = ρ g dh
(2.1)
Analisis yang dibuat adalah mudah kerana keratan lintang unsure adalah seragam. Pascal
menunjukkan bahawa tekanan hanya bergantung kepada tinggi unsure di atas titik yang diambil,
bukan bentuk dan saiz unsure itu iaitu:
Tekanan bendalir berkadar terus dengan ukur dalamnya (p ∝ dh)
Rajah 2.1 Tekanan bergantung kepada tinggi unsur daripada datam yang bawah walaupun bentukbentuk berbeza.
Daripada persamaan (2.1) dan Rajah di atas, didapati tekanan pada datum x – x adalah p = ρ g dh di
mana ρ adalah ketumpatan bendalir. Lazimnya, tekanan hanya bergantung kepada tinggi unsur di
atas titik yang diambil, bukan pada bentuk dan saiz itu iaitu:
dh =
𝑝
𝜌𝑔
dengan p/ρg adalah tinggi tekanan yang bersesuaian dengan p dan ia dikenali sebagai turus
tekanan (pressure head).
Tutorial 2.1
2.1.2 Unit Terus Tekanan
Jika berat tentu (ρg) bendalir seragam dan tetap, semua tekanan dinyatakan dalam bentuk turus.
Oleh itu, tekanan mempunyai unit lelurus mm Raksa (mercury) atau m Air (water).
2.1.3 Tekanan Atmosfera (pa), Tekanan Tolok (pt), Tekanan Mutlak (pm)
Tekanan atmosfera (pa) pada permukaan bumi adalah tekanan yang disebabkan oleh berat udara di
atasnya. Ini mustahil dikira kerana udara adalah bendalir yang boleh mampat dan ketumpatannya
berbeza-beza. Oleh itu, tekanan atmosfera diukur mengikut tinggi turus bendalir yang
disokongnya. Nilai piawainya adalah 10.35 m Air (34 kaki) atau 760 mm Raksa. Didapati tekanan
bendalir (p) pada permukaan bebas (free surface) ialah sama dengan tekanan atmosfera (pa).
3
Tekanan bendalir selalunya diukur dengan menggunakan tolok tekanan. Setiap tolok memberi
bacaan tekanan di atas atau di bawah tekanan atmosfera. Tekanan yang diukur ini dipanggil
tekanan tolok (pt). Jika sesuatu bendalir mempunyai tekanan atmosfera, maka tolok akan mencatat
bacaan sifar, iaitu tekanan atmosfera diambil sebagai datum.
Tekanan mutlak (pm) adalah hasil campur tekanan tolok dan tekanan atmosfera:
pm = pt + pa
Datum Tekanan Atmosfera
Pt (+)
Pt (-)
Pm
Pa
Pa
Pm
Keadaan A
Keadaan B
Keadaan A : pm = pt + pa = ρgh + pa
pt = tekanan tolok yang positif (positive gauge pressure)
Keadaan B : pm = – pt + pa = – ρgh + pa
pt = tekanan tolok yang negatif (negative gauge pressure) dinamakan sedutan (suction)
2.2 Pengukuran Tekanan
Di dalam hal di mana bendalir mempunyai permukaan bebas, maka tekanan pada sebarang titik
adalah ukur dalamnya daripada permukaan bebas itu. Sebaliknya, jika bendalir itu tertutup seperti
di paip dan saluran tertutup, maka tekanan harus diukur dengan menggunakan tolok tekanan yang
tertentu, seperti Barometer (tolok tekanan Aneroid dan Bourdon), Piezometer, Manometer, dan
Mikromanometer.
2.2.1 Barometer
Tekanan atmosfera diukur dengan menggunakan alat yang disebut sebagai barometer. Oleh itu,
tekanan atmosfera juga disebut sebagai tekanan barometer.
Jika bendalir yang digunakan ialah raksa, bacaan h yang terhasil ialah 760 mm Hg. Nilai ini ialah
nilai tekanan piawai atmosfera.
Vakum
Patm
760 mm, Hg
Raksa
Rajah 2.2 Barometer
4
2.2.2 Piezometer
Tekanan di dalam sesuatu paip (bekas) yang dipenuhi bendalir dapat diukur dengan mencucuk
tegak tiub kaca yang terbuka hujungnya ke dalam bekas tersebut.
Bendalir akan naik ke aras senilair dengan turus tekanan static di dalam bekas itu.
h1
A
h2
B
Rajah 2.3 Turus tekanan statik; diukur dengan piezometer
Merujuk kepada Rajah 2.3:
Tekanan di A = ρ·g·h1
Tekana di B = ρ·g·h2
2.2.3 Manometer
Manometer digunakan untuk mencari perbezaan tekanan antara dua titik.
Prinsip asas yang digunakan dalam penggunaan manometer ialah tekanan akan menolak suatu
ketinggian bendalir sehingga daya ke bawah yang disebabkan oleh berat bendalir dalam
manometer itu menyamai tekanan tersebut.
Terdapat beberapa jenis manometer, antaranya:
i) Manometer ringkas (Simple U-tube)
ii) Manometer kerbeza (Differential U-tube)
iii) Manometer kerbeza songsang (Inverted U-tube)
2.2.3.1 Manometer Ringkas
Manometer ini diperbuat daripada tiub-U dengan satu hujung disambung kepada tolok
dan satu lagi dibuka kepada atmosfera.
Biasanya bendalir yang digunakan adalah raksa, sesuai untuk mengukur tekanan tolok
yang tinggi.
P1
P2 = Patm = 0
ρB
ρA
x
y
Rajah 2.4 Manometer Ringkas
5
Px = Py
P x = P 1 + ρA g b
… (1)
P y = P 2 + ρB g a
… (2)
Tetapi, P2 = Patm = 0
Maka, (1) = (2)
P 1 + ρA g b = ρ B g a
Supaya, P1 = ρB g a – ρA g b
Rumusan Manometer Ringkas
2.2.3.2 Manometer Kerbeza
Manometer jenis ini digunakan bagi mengukur perbezaan-perbezaan tekanan di antara
dua titik di dalam bendalir.
ρair
P2
ρr
P1
x
y
Rajah 2.5 Manometer Kerbeza
Px = Py
Px = P1 + ρair g b
… (3)
Py = P2 + ρr g h + ρair g (a – h)
… (4)
Tetapi, (3) = (4)
Maka, P1 + ρair g b = P2 + ρr g h + ρair g (a – h)
P1 – P2 = ρr g h + ρair g (a – b – h)
Rumusan Manometer Kerbeza
6
2.2.3.3 Manometer Kerbeza Songsang
1
x
y
ρudara
2
ρair
Rajah 2.6 Manometer Kerbeza Songsang
Px = Py
P1 = Px + ρair g a + ρudara g h
Tetapi, ρudara sangat kecil (ρudara ≈ 0),
Maka, Px = P1 – ρair g a
… (5)
P2 = Py + ρair g (b + h)
Py = P2 – ρair g (b + h)
… (6)
Kemudian, (5) = (6)
P1 – ρair g a = P2 – ρair g (b + h)
P2 – P1 = ρair g (b + h – a)
P2 – P1 = ρair g (c + h)
Rumusan Manometer Kerbeza Songsang
7
Bab 2 – Statik Bendalir (Fluid Statics)
2.0 Pengenalan
Hidrostatik adalah kajian terhadap bendalir yang tidak bergerak (no movement = static). Dalam
keadaan demikian, bendalir bebas daripada sebarang tegasan ricih dan semua daya yang disebabkan
oleh tekanan statik, bertindak pada sudut tepat dengan sempadan permukaan.
2.1 Keamatan Tekanan Pada Satu Titik
Perhatikan suatu prisma kecil, lebarnya δz yang mengufuk dalam bendalir statik dan terdapat
tekanan px, py, dan ps yang bertindak normal terhadap permukaan prisma sehingga menghasilkan
keseimbangan.
ps
B
δs
A
F
px
C
δy
δz
E
δx
θ
D
py
px = tekanan pada permukaan satah ABEF
py = tekanan pada permukaan satah CDEF
ps = tekanan pada mana-mana sudut θ; permukaan satah ABCD
Daya di arah x (Forces in the x-direction)
Daya tekanan px = px × Keluasan ABEF = px δy δz
Komponen tekanan ps = ̶ (ps × Keluasan ABCD) sin θ = -ps δs δz
(sin θ =
𝛿𝑦
𝛿𝑠
)
𝛿𝑦
𝛿𝑠
= -ps δy δz
Daya tekanan py tidak ada komponen di arah x.
Keseimbangan akan berlaku kalau: px δy δz + (-ps δy δz) = 0, supaya px = ps
Daya di arah y (Forces in the y-direction)
Daya tekanan py = py × Keluasan CDEF = py δx δz
Komponen tekanan ps = ̶ (ps × Keluasan ABCD) cos θ = -ps δs δz
(cos θ =
𝛿𝑥
𝛿𝑠
)
1
𝛿𝑥
𝛿𝑠
= -ps δx δz
1
Komponen berat prisma = –Berat tentu × Isipadu = –ρg × δx δy δz
2
Daya tekanan px tidak ada komponen di arah y.
Keseimbangan akan berlaku kalau: py δx δz + (–ps δx δz) = 0, supaya py = ps
Hukum Pascal (Pascal’s Law)
Maka, px = py = ps
Hukum Pascal = Tekanan pada satu titik tertentu di dalam sesuatu bendalir adalah senilai bagi
semua arah.
2.1.1 Turus Tekanan Bagi Bendalir
Takrif tekanan pada suatu permukaan adalah daya tekanan untuk seunit permukaan itu. Persamaan
asas dalam hidrostatik diberi oleh hubungan antara tekanan, ketumpatan bendalir dan ukur dalam.
Untuk mendapatan hubungan ini, perhatikan satu unsure seperti pada Rajah di bawah.
p
h1
dA
mg
dh = h2 – h1
h2
p + dp
Luas unsur = dA
V = isipadu unsur
p = tekanan
ρ = ketumpatan bendalir
Untuk keseimbangan,
daya bertindak ke atas = daya bertindak di bawah
(p + dp) dA = p dA + mg → p dA + dp dA = p dA + mg
Tetapi m = ρV
V = dA dh
dp dA = mg
Oleh itu, dp dA = ρV g = ρ g dA dh
dp = ρ g dh
Kamirkan antara (1) dan (2)
Kemudian,
𝑝2
𝑑𝑝
𝑝1
= ρg
ℎ2
ℎ1
𝑑ℎ
2
p2 – p1 = ρ g (h2 – h1)
h2 – h1 = dh
p2 – p1 = ρ g dh
p2 = p1 + ρ g dh
Jika h1 = 0, p1 = 0 (tekanan atmosfera), maka p2 = ρ g dh
(2.1)
Analisis yang dibuat adalah mudah kerana keratan lintang unsure adalah seragam. Pascal
menunjukkan bahawa tekanan hanya bergantung kepada tinggi unsure di atas titik yang diambil,
bukan bentuk dan saiz unsure itu iaitu:
Tekanan bendalir berkadar terus dengan ukur dalamnya (p ∝ dh)
Rajah 2.1 Tekanan bergantung kepada tinggi unsur daripada datam yang bawah walaupun bentukbentuk berbeza.
Daripada persamaan (2.1) dan Rajah di atas, didapati tekanan pada datum x – x adalah p = ρ g dh di
mana ρ adalah ketumpatan bendalir. Lazimnya, tekanan hanya bergantung kepada tinggi unsur di
atas titik yang diambil, bukan pada bentuk dan saiz itu iaitu:
dh =
𝑝
𝜌𝑔
dengan p/ρg adalah tinggi tekanan yang bersesuaian dengan p dan ia dikenali sebagai turus
tekanan (pressure head).
Tutorial 2.1
2.1.2 Unit Terus Tekanan
Jika berat tentu (ρg) bendalir seragam dan tetap, semua tekanan dinyatakan dalam bentuk turus.
Oleh itu, tekanan mempunyai unit lelurus mm Raksa (mercury) atau m Air (water).
2.1.3 Tekanan Atmosfera (pa), Tekanan Tolok (pt), Tekanan Mutlak (pm)
Tekanan atmosfera (pa) pada permukaan bumi adalah tekanan yang disebabkan oleh berat udara di
atasnya. Ini mustahil dikira kerana udara adalah bendalir yang boleh mampat dan ketumpatannya
berbeza-beza. Oleh itu, tekanan atmosfera diukur mengikut tinggi turus bendalir yang
disokongnya. Nilai piawainya adalah 10.35 m Air (34 kaki) atau 760 mm Raksa. Didapati tekanan
bendalir (p) pada permukaan bebas (free surface) ialah sama dengan tekanan atmosfera (pa).
3
Tekanan bendalir selalunya diukur dengan menggunakan tolok tekanan. Setiap tolok memberi
bacaan tekanan di atas atau di bawah tekanan atmosfera. Tekanan yang diukur ini dipanggil
tekanan tolok (pt). Jika sesuatu bendalir mempunyai tekanan atmosfera, maka tolok akan mencatat
bacaan sifar, iaitu tekanan atmosfera diambil sebagai datum.
Tekanan mutlak (pm) adalah hasil campur tekanan tolok dan tekanan atmosfera:
pm = pt + pa
Datum Tekanan Atmosfera
Pt (+)
Pt (-)
Pm
Pa
Pa
Pm
Keadaan A
Keadaan B
Keadaan A : pm = pt + pa = ρgh + pa
pt = tekanan tolok yang positif (positive gauge pressure)
Keadaan B : pm = – pt + pa = – ρgh + pa
pt = tekanan tolok yang negatif (negative gauge pressure) dinamakan sedutan (suction)
2.2 Pengukuran Tekanan
Di dalam hal di mana bendalir mempunyai permukaan bebas, maka tekanan pada sebarang titik
adalah ukur dalamnya daripada permukaan bebas itu. Sebaliknya, jika bendalir itu tertutup seperti
di paip dan saluran tertutup, maka tekanan harus diukur dengan menggunakan tolok tekanan yang
tertentu, seperti Barometer (tolok tekanan Aneroid dan Bourdon), Piezometer, Manometer, dan
Mikromanometer.
2.2.1 Barometer
Tekanan atmosfera diukur dengan menggunakan alat yang disebut sebagai barometer. Oleh itu,
tekanan atmosfera juga disebut sebagai tekanan barometer.
Jika bendalir yang digunakan ialah raksa, bacaan h yang terhasil ialah 760 mm Hg. Nilai ini ialah
nilai tekanan piawai atmosfera.
Vakum
Patm
760 mm, Hg
Raksa
Rajah 2.2 Barometer
4
2.2.2 Piezometer
Tekanan di dalam sesuatu paip (bekas) yang dipenuhi bendalir dapat diukur dengan mencucuk
tegak tiub kaca yang terbuka hujungnya ke dalam bekas tersebut.
Bendalir akan naik ke aras senilair dengan turus tekanan static di dalam bekas itu.
h1
A
h2
B
Rajah 2.3 Turus tekanan statik; diukur dengan piezometer
Merujuk kepada Rajah 2.3:
Tekanan di A = ρ·g·h1
Tekana di B = ρ·g·h2
2.2.3 Manometer
Manometer digunakan untuk mencari perbezaan tekanan antara dua titik.
Prinsip asas yang digunakan dalam penggunaan manometer ialah tekanan akan menolak suatu
ketinggian bendalir sehingga daya ke bawah yang disebabkan oleh berat bendalir dalam
manometer itu menyamai tekanan tersebut.
Terdapat beberapa jenis manometer, antaranya:
i) Manometer ringkas (Simple U-tube)
ii) Manometer kerbeza (Differential U-tube)
iii) Manometer kerbeza songsang (Inverted U-tube)
2.2.3.1 Manometer Ringkas
Manometer ini diperbuat daripada tiub-U dengan satu hujung disambung kepada tolok
dan satu lagi dibuka kepada atmosfera.
Biasanya bendalir yang digunakan adalah raksa, sesuai untuk mengukur tekanan tolok
yang tinggi.
P1
P2 = Patm = 0
ρB
ρA
x
y
Rajah 2.4 Manometer Ringkas
5
Px = Py
P x = P 1 + ρA g b
… (1)
P y = P 2 + ρB g a
… (2)
Tetapi, P2 = Patm = 0
Maka, (1) = (2)
P 1 + ρA g b = ρ B g a
Supaya, P1 = ρB g a – ρA g b
Rumusan Manometer Ringkas
2.2.3.2 Manometer Kerbeza
Manometer jenis ini digunakan bagi mengukur perbezaan-perbezaan tekanan di antara
dua titik di dalam bendalir.
ρair
P2
ρr
P1
x
y
Rajah 2.5 Manometer Kerbeza
Px = Py
Px = P1 + ρair g b
… (3)
Py = P2 + ρr g h + ρair g (a – h)
… (4)
Tetapi, (3) = (4)
Maka, P1 + ρair g b = P2 + ρr g h + ρair g (a – h)
P1 – P2 = ρr g h + ρair g (a – b – h)
Rumusan Manometer Kerbeza
6
2.2.3.3 Manometer Kerbeza Songsang
1
x
y
ρudara
2
ρair
Rajah 2.6 Manometer Kerbeza Songsang
Px = Py
P1 = Px + ρair g a + ρudara g h
Tetapi, ρudara sangat kecil (ρudara ≈ 0),
Maka, Px = P1 – ρair g a
… (5)
P2 = Py + ρair g (b + h)
Py = P2 – ρair g (b + h)
… (6)
Kemudian, (5) = (6)
P1 – ρair g a = P2 – ρair g (b + h)
P2 – P1 = ρair g (b + h – a)
P2 – P1 = ρair g (c + h)
Rumusan Manometer Kerbeza Songsang
7