Lecture 8: Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang
Kalkulus Multivariabel I
Integral dalam Ruang Berdimensi n: Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA
Universitas Islam Indonesia 2014
Pendahuluan
Masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang sama dengan integral pada satu variabel Kita akan menggunakan integral lipat untuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan berbagai kerapatan Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadi pengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema Dasar Kalkulus Kedua memainkan peranan yang penting
Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabel di mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecil dengan panjang ∆x k , k = 1, 2, . . . , n, berdasarkan partisi p < x < . . . < x x
: x
1 2 k mengambil sebuah titik contoh ¯ k dari
interval ke-k, kemudian
b n
Z
X f f x (x)dx = lim (¯ k )∆x k
|p|→0
k =1 a
Integral Lipat-Dua
Misalkan f (x, y ) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang R yaitu R = {(x, y ) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Bentuk partisi p pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆x k dan ∆y
k .
Misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆A k = ∆x k ∆y k . Pada x , y persegi panjang R k ambil sebuah titik ( ¯ k ¯ k ) sehingga dapat ditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu
n
X f ( ¯ x , y ¯ )∆A
k k k k =1
Definisi: Integral Lipat-Dua Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika
n
X f x , y , lim ( ¯ k ¯ k )∆A k
|p|→0 =1 k ada, maka f dapat diintegralkan di R.
RR f (x, y )dA disebut integral lipat-dua dari f atas R dan dapat
R
dinyatakan dengan
n
Z Z
X f f x , y (x, y )dA = lim ( ¯ k ¯ k )∆A k
|p|→0
k =1 R
Contoh: RR f
Hampirilah (x, y )dA berikut dengan menghitung jumlah
R
Riemann di mana
2
64 −8x+y
f (x, y ) = dan R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}
16 Penyelesaian:
3 , ¯ y 3 ) = (1, 5), f ( ¯ x 3 , ¯ y 3 ) =
89
8 , ¯ y 8 ) = (3, 7), f ( ¯ x 8 , ¯ y 8 ) =
16 ( ¯ x
105
4 , ¯ y 4 ) = (1, 7), f ( ¯ x 4 , ¯ y 4 ) =
16 ( ¯ x
65
7 , ¯ y 7 ) = (3, 5), f ( ¯ x 7 , ¯ y 7 ) =
16 ( ¯ x
81
16 ( ¯ x
Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fungsi tersebut adalah sebagai berikut ( ¯ x
49
6 , ¯ y 6 ) = (3, 3), f ( ¯ x 6 , ¯ y 6 ) =
16 ( ¯ x
65
2 , ¯ y 2 ) = (1, 3), f ( ¯ x 2 , ¯ y 2 ) =
16 ( ¯ x
41
5 , ¯ y 5 ) = (3, 1), f ( ¯ x 5 , ¯ y 5 ) =
16 ( ¯ x
57
1 , ¯ y 1 ) = (1, 1), f ( ¯ x 1 , ¯ y 1 ) =
16
Karena ∆A = 4, maka diperoleh
k
8 Z Z
X f (x, y )dA = f ( ¯ x , y ¯ )∆A
k k k
k =1 R8 X
f x , y = 4 ( ¯ k ¯ k )
k =1
4(57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89) =
16 = 138
Teorema Keterintegralan Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika fungsi ini kontinu di R, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jika f kontinu di seluruh R, maka f dapat diintegralkan di R.
Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua
1. Bersifat linear
RR RR kf f a. (x, y )dA = k (x, y )dA;
R R RR RR RR f g
b. [f (x, y ) ± g (x, y )]dA = (x, y )dA ± (x, y )dA R R R
2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis Z Z Z Z Z Z f f f
(x, y )dA = (x, y )dA + (x, y )dA
R R R
1
2
3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x, y ) ≤ g (x, y ) untuk seluruh (x, y ) di R, maka Z Z Z Z f (x, y )dA ≤ g (x, y )dA
R R
Perhitungan pada Integral Lipat-Dua
Jika f (x, y ) = 1 di R maka integral lipat-dua merupakan luas dari R ,
Z Z Z Z kdA = k 1dA = kA(R)
R R
Contoh: Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan
1 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 f
(x, y ) = 2 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2 3 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3
RR Hitung f (x, y )dA di mana R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}.
R
Penyelesaian: Buat persegi panjang R
1 , R 2 , dan R 3 sebagai berikut
R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}
1 R 2 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}
R
3 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3}
Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-dua diperoleh: Z Z Z Z Z Z Z Z f (x, y )dA = f (x, y )dA + f (x, y )dA + f (x, y )dA
R R
1 R
2 R
3
= 1A(R
1 ) + 2A(R 2 ) + 3A(R 3 )
= 1(3) + 2(3) + 3(3) = 18
Latihan
1. Misalkan R = {(x, y ) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}, hitung RR 2 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 f
(x, y )dA di mana f (x, y ) = 3 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2
R
2. Misalkan: R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}
R
1 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}
R
2 = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}
RR RR f g Misalkan pula: (x, y )dA = 3, (x, y )dA = 5, dan
R R
RR g (x, y )dA = 2. Hitunglah:
R
1 RR
a. [3f (x, y ) − g (x, y )]dA
R
RR
b. [2g (x, y ) + 3]dA
R
1 RR
3. Hitunglah (1 + x)dA di mana
R
R = {(x, y ) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}. (Petunjuk: sketsalah benda padat tersebut).
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2 . Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series . New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2 . Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus . New York: Mc Graw-Hill.