Bab II Fungsi Linear 13

Bab II : Fungsi Linear |

13

Dalil : Grafik dari fungsi-fungsi linear (linear artinya pangkat satu atau straight) adalah suatu garis lurus.

2.1. GARIS LURUS MELALUI TITIK ASAL (0,0)
Tarik Garis dari titik O ke titik P dimana OP terletak

Sb. Y

pada garis g.
Titik Q juga terletak pada garis g.
g

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik
O (0,0)  y = mx

Q(x,y)
y
P(a,b)

b

Bukti : Perhatikan segitiga OPP’ dan segitiga OQQ’

Sb. X
a

Q’

P’

QQ’ : PP’ = Q’O : P’O

x

y:b=x:a
ay = bx
y=

b
b
x ; jika  m
a
a

y = mx

(terbukti)

2.2. BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS LURUS
Sb. Y

Garis 1 memotong sumbu X di titik A (-a,0) dan titik B(0,b)
Titik P terletak pada garis 1, sehingga PP’//BO
l

Buktikan bahwa persamaan umum garis lurus adalah
P(x,y)

y=

y
B(0,b)

b
x +b
a

Sb. X

A(-a,0)
x

Bukti
BO : PP’ = AO : AP’
b : y = -a : (-a + x)
-ay = b (-a + x)
-ay = -ab : bx
y= 

b
x +b (terbukti)
a

atau y = mx + b, persamaan garis lurus yang memotong sumbu y (0,b)
By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com

14 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2.3. SYARAT 3 BUAH TITIK TERLETAK PADA SEBUAH GARIS LURUS
Sesuai dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linear adalah sebuah garis lurus.
Misalkan fungsi linear itu y = ax + b
Sb. Y

Titik A, B dan C terletak pada grafik y =ax+b

A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b
B (x2, y2) terletak pada grafik  y2 = ax2 + b -

B(x2,y2)
C(x3,y3)
x1

y3



y2

A(x1,y1)



y1
Sb. X

0

y1 - y2 = a(x1 –x2) .... (i)

A (x1, y1) terletak pada grafik  y1 = ax1 + b
B (x2, y2) terletak pada grafik  y3 = ax3 + b -

x2
x3

i  
ii 

y1  y 2 a   x1  x2 

y1  y3 a   x1  x3 

y1 – y3 = a(x1 –x3) ..... (ii)

Syarat Bahwa (x1,y1), (x2,y2) dan (x3,y3)

terletak pada sebuah garis lurus

y1  y 2 x1  x 2

y1  y3 x1  x3

BB' CC '

AB' AC '
tg

 = tg 
 =   titik A, B, C terletak pada satu garis lurus.

Sehingga pengertian dari (2.1.) sampai dengan (2.3.) dapatlah disimpulkan sebagai berikut ;
1.

Persamaan garis lurus melalui pusat y = mx dimana m = tg  dengan m merupakan koefisien arah /
gradien / bilangan arah / kemiringan / kecendrungan garis.

2.

Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y = mx + b dengan m = tg
(0,b). tg

3.

 adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu X positif.

Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit
ax + by + c = 0

y

 ax  c
b

a
a
a

y   x  c , Sehingga m = 
 tg  = 
b
b
b

 dan garis ini melalui titik

Bab II : Fungsi Linear |

15

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh : Jarak antara titik O dengan salah satu titik pada garis itu
dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu X positif
Perhatikan segitiga OBP

r
b

o

sin    
sin   90



Sb. Y



r
b

cos  sin    
P(x,y)

r



(  + 90o)

y

Sb. X


A
Q

0
x

b cos 
sin    

B
Q

persamaan garis kutub atau
persamaan garis polar

2.4. PERSAMAAN GARIS MELAUI TITIK P(x1,y1), DENGAN GRADIEN m
Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n
Titik P(x1,y1) dilalui oleh garis y = mx + n ........ (i)

 y1 = mx1 + n .......(ii)

y = mx + n
y1 = mx1 + n
y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis lurus melalui titik P(x1,y1) dengan gradien m

2.5. PERSAMAAN GARIS MELALUI DUA TITIK
Persamaan melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)
Persamaan garis lurus  y = mx + n
Persamaan garis melalui A(x1,y1)  y – y1 = m(x – x1) ...........................(i)
Titik B(x2,y2) terletak pada garis y – y1 = m(x – x1)

 y2 – y1 = m(x2 – x1) ...............................(ii)
By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com

16 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

y  y1
m x  x1 

y 2  y1 m x 2  x1 

i  
ii 

y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1

persamaan garis melalui dua titik

(y – y1) (x2 – x1) = (y2 – y1) (x – x1)

y  y1 

y 2  y1
x  x1 
x 2  x1

y  y1  m x  x1 
m

y  y1
x  x1

2.6. PERSAMAAN GARIS MELALUI P(a,0) DAN Q(0,b)
Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan Q(0,b)

y  y1
x  x1

y 2  y1 x 2  x1

Sb. Y

y0 xa

b0 0a

Q(0,b)

y xa

b
a
P(a,0)

Sb. X

y
x
  1
b
a

0
)

x y
 1
a b

bx + ay = ab
persamaan garis
melalui P(a,0) dan
Q(0,b)

2.7. Persamaan Garis Hesse (Persamaan Garis Normal)
Tarik garis melalui titik O  garis g  OP
B(0,b)

Karena OP  g, disebut persamaan garis normal, Kita
misalkan n dan sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif

b

P

n



=
A(a,0)

0
a



Perhatikan segitiga OPB, siku-siku di P

Bab II : Fungsi Linear |

Maka sin  

n
n
b
...................................(i)
b
sin 

Perhatikan OPA, siku-siku di P

cos  

n
n
a
...........................................(ii)
a
cos 

Karena garis g memotong ABX di titik A(a,0) dan B(o,b),
maka persamaan garis g adalah

x y
  1 ...................(iii)
a b

(i) dan (ii) substitusikan ke (iii)

x
n



cos 

y
n

1

sin 

x cos y sin 

1
n
n
x cos
x cos

xn

 + y sin  = n (n positif)

 + y sin  - n = 0

Catatan :
1.

Karena n positif (jarak titik O (0,0) ke garis g) maka suku ke-3 selalu negatif

2.

Koefisien x = cos 

cos2  + sin2  = 1

Koefisien y = sin 

 mengingat kedua syarat di atas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat dirubah ke
persamaan normal Hesse

Contoh 5:
Rubahlah persamaan -3x – 4y + 10 = 0 ke dalam persamaan normal Hesse
Penyelesaian :
-3x – 4y + 10 = 0
3x + 4y - 10 = 0

x (-1)

: 32  4 2 = 5

3
4
x y20
5
5

By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com

17

18 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

3
Cos  
5

4
5

Sin

 =

Sin

 = 0,8
 = Sin 49,4o

Cos

  0,6

Sin

Cos

 = Cos 36,87o

 = 49,4o

 = 36,87o

 x cos 36,87o + y sin 49,4o

2.8. HUBUNGAN ANTAR GARIS (SIKAP 2 GARIS LURUS)
1.

Garis yang Berpotongan
Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0

( dikalikan dengan b2)

Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0

(dikalikan dengan b1)

a1b2x + b1b2y + b2c1 = 0
a2 b1x + b1b2y + b1c2 = 0

-

(a1b2 - a2 b1)x + (b2c1 - b1c2) = 0
x=

b1c2  b2 c1
a1b2  a2 b1

Garis l1  a1x + b1y + c1 = 0

(dikalikan dengan a2)

Garis l2  a2x + b2y + c2 = 0

(dikalikan dengan a1)

a1a2x + a2b1y + a2c1 = 0
a1a2x + a1b2y + a1c2 = 0 (a2b1 - a1b2)y + (a2c1 - a1c2) = 0

y

a2 c1  a1c2
a2b1  a1b2

Kemungkinan-kemungkinan :
a.

Jika a1b2 - a2 b1  0, berarti harga x, setiap ada harga x pasti ada harga y.
(x,y) disebut titik perpotongan l1 dan l2.

 Syarat : a1b2 - a2 b1  0
a1b2  a2 b1

a1 b1

a 2 b2

Syarat 2 garis bepotongan

Bab II : Fungsi Linear |

b.

Jika a1b2 - a2 b1 = 0, berarti  a1  b1
a 2 b2
Tapi b2c1 - b1c2  0  b1  c1 sehingga a1  b1  c1
b2 c 2
a 2 b2 c 2
Maka 0  x  0 , ini berarti tidak ada harga (x,y) yang memenuhi

2.

Garis yang Sejajar
Jika l1 dan l2 tidak berpotongan atau sejajar, berarti tidak ada titik potongnya
Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0
b2c1 - b1c2  0

a
b
c
b1 c1
 1  1  1

a 2 b2 c 2
b2 c 2
3.

Syarat garis sejajar

Garis Berhimpit
Syarat : a1b2 - a2 b1 = 0

a1 b1

a 2 b2
b2c1 - b1c2 = 0

b1 c1

b2 c 2

 a1  b1  c1
a2

b2

Syarat garis berhimpit

c2

2.9. SUDUT ANTARA DUA GARIS
Jika l1

 y = m1x + b1

l2

 y = m2x + b2

Sb. Y
y = m2 x + b 2
y = m1 x + b 1

Sudut perpotongan =



tg  1 = m1
tg  2 = m2



1

2
Sb. X

1 =  2 + 
 = 1   2

By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com

19

20 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

tg

 = tg  1   2
=

m  m2
tg 1  tg 2
atau tg  = 1
1  m1 m2
1  tg1  tg 2

 = arc. tg

m1  m2
1  m1m2

Kemungkinan-kemungkinannya ;
a.

Untuk

 = 90o  tg 90o =

1  m1m2 

m1  m2
= 
1  m1m2

m1  m2


1  m1m2 = 0
m1m 2 = -1
b.

Untuk

 = 0o  tg 0o = 0

m1  m2
=0
1  m1 m2

m1  m 2 = 0
m1  m 2

Syarat garis sejajar

2.10. JARAK DARI TITIK O (0,0) KE GARIS Ax + By + C = 0
Diketahui : l

 ax + by + c = 0

Ditanya : Jarak titik O ke garis l

 ax + by + c = 0
Penyelesaian:
ax + by + c = 0

Sb. Y

l

: a 2  b2
c
b
a
0
y
x
a 2  b2
a 2  b2
a2  b2

 ax + by + c =

d

0


a
Karena 
 a 2  b 2
Sb. X

2



b
  2
 a  b 2


2


 1


Bab II : Fungsi Linear |

c

Maka d 

a2  b2

d

c

jarak titik ke garis

a 2  b2

2.11. Jarak Antara Dua Garis Sejajar

 a1x + b1y + c1 = 0

Diketahui : l1
Sb. Y

l2

 a2x + b2y + c2 = 0

Ditanya : jarak l1 dan l2
Penyelesaian:
d1 
d2

d

d1

Sb. X

d2 

c1
a  b2
2

c2
a2  b2

0
l1

d = d2 – d1

l2

d

c 2  c1

Jarak antara dua garis sejajar

a2  b2

2.12. JARAK DARI TITIK P(x1,y1) KE GARIS Ax + By + C = 0
Ambil garis l1

 y = mx + b melalui titik P(x1,y1)

Ditanya : jarak titik P(x1,y1) ke garis

Sb. Y

l2

 ax + by + c = 0

Penyelesaian:
l1
d
)

Q(x,y)

m l1 = m Koefisien garis l2

P(x1,y1)
y1

Sb. X
x1
l1

By : Turmudi

 y = mx + b

l2

l2

 ax + by + c = 0

m l2 = 

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

a
b

blog: www.toermoedy.wordpress.com

21

22 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

Persamaan garis l1 // l2 dengan koefisien m

 y – y1 = m2 (x – x1)
y – y1 = 

a
(x – x1)
b

b (y – y1) = - a (x – x1)
by – by1 = - ax + ax1
ax + by – (ax1– by1) = 0, ini berarti c1 = - (ax1+ by1)
karena l1 // l2  d 

d

c1  c 2
a2  b2
ax1  by1  c 2
a2  b2

Jarak dari titik ke garis

2.13. SYARAT 3 GARIS MELALUI SEBUAH TITIK YANG SAMA
l1

 a1x + b1y + c1 = 0

l2

 a2x + b2y + c2 = 0

l3

 a3x + b3y + c3 = 0

Jika l1 memotong l2 di titik P, maka akan diperoleh koordinat titik

 b1c 2  b2 c1 a1c 2  a 2 c1 
,

 a1b2  a2 b1 a1b2  a 2 b1 

P

l3 melalui titik P

 a3  b1c 2  b2 c1  + b3  a1c 2  a2 c1  + c3 = 0
 a1b2  a 2 b1 

ab a b 
2 1 
 1 2

x ( a1b2  a2b1 )

a3 b1 c 2  b2 c1  + b3 a1c 2  a 2 c1  + c3 a1b2  a 2 b1  = 0
a3 b1c2 - a3 b2 c1 + a2 b3c1 - a1b3c2 + a1b2 c3 - a2 b1 c3 = 0

a1b2 c3 + a2 b3c1 + a3 b1c2 - a1b3c 2- a2b1 c3 - a3 b2 c1 = 0
Catatan : Untuk mudah diingat

(+)

(-)

Bab II : Fungsi Linear |

23

2.14. BERKAS GARIS
Berkas suatu garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan
arahnya berlainan.
Jika g1 (P) = 0 dan g2 (P) = 0
Maka diperoleh persamaan

1 g1 +  2 g2 = 0
p
g1 +

g1

Titik
tetap

2
g2 = 0
1

Misalkan

g2

Maka diperoleh : g1 +

 g2 = 0

: 1

2
=  (sebarang konstanta)
1

persamaan berkas garis-garis

Contoh 6:
1.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik asal dan melalui titik potong garis-garis
x + y – 4 = 0 dan 2x – 3y + 6 = 0
Penyelesaian:
Berkas garis : g1 +
(2x – 3y + 6) +

 g2 = 0

 (x + y – 4) = 0 .................(i)

Karena garis yang diminta itu melalui O (0,0) maka ;

2  0  3  0  6  0   0  0  4  0
 4  6
 1

1
................(ii)
2

Subs. (ii)  (i)

 Persamaan garis yang dimaksud adalah
(2x – 3y + 6) + 1

1 (x + y – 4) = 0
2
1
1
1
3 x  1 y  0 , atau y  2 x
2
2
2

By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com

24 | Geometri Analitik Datar dan Ruang

2.

Tentukan persamaan garis yaqng melalui titik potong garis-garis 3x – 4y + 5 = 0 dan
5x + y = 7 serta sejajar dengan garis y = x + 5 !
Penyelesaian :
g1 +

 g2 = 0
 (5x + y – 7) = 0

(3x – 4y + 5) +
(3 + 5  )x + (4 -

 )y + (5 - 7  ) = 0
y

m1 =

3  5
5  7 ..........................(i)
x
4
4

3  5
4

Gradien graris y = x + 5, yaitu m2 = 1
Syarat dua garis sejajar, m1 = m2

3  5
1
= 1   = ..............................(ii)
4
6
Subs. (ii)  (i)

 persamaan garis yang dimaksud adalah (3x – 4y + 5) + 1 (5x + y – 7) = 0
6

x–y+1=0

3.

Diketahui l1

 x – y + 2 = 0, l2  2x - y – 1 = 0 dan l3  x – 3y + 2 = 0

Tentukanlah persamaan garis yang melalui titik potong l1 dan l2 serta tegak lurus l3 !
Penyelesaian :
l4
(x – y + 2) +

 l1 +  l2 = 0

 (x - y – 1) = 0

(1+2  )x – (1+  )y + (2 -

)=0
y=

ml4 =

1  2
1
, ml3 =
1 
3

Syarat : l3  l4  m3  m4 = - 1

1  2
2
x
1 
1 

 1  2  1

  1
 1  3

=



4
5

 Persamaan garis yang
dimaksud y = - 3x + 14

Bab II : Fungsi Linear |

25

2.15. LATIHAN II :
1.

2.

Diketahui  ABC dengan A(1,1), B(5,4) dan C(3,6)
a.

Hitunglah luas  ABC !

b.

Hitunglah garis-garis tinggi dari titik A, B, dan C !

Tentukan persamaan :
a.

Garis melalui titik (-4,0) dan (0,-3) !

b.

Garis yang memotong sumbu x negatif 5 cm (titik A) dan memotong sumbu Y positif di titik B
hingga OB = 5 cm!

c.
3.

Garis melalui titik (-4,0) dan memotong sumbu Y positif 5 cm!

Tentukan persamaan garis lurus melalui titik (3,2), garis tersebut memotong kedua sumbu koordinat
sedemikian hingga membentuk sustu segitiga denagn luas 12 satuan luas!

4.

Suatu garis memotong sumbu X dan sumbu Y, titik P(2,3) terletak di tengah dari segmen garis yang
menghubungkan kedua titik potong di atas. Tentukanlah persamaan garis lurus tersebut !

5.

6.

7.

Tentukan persamaan garis yang melalui A(1,3) dan
a.

Bersudut 135o dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

b.

Tegak lurus pada garis 2x + 3y + 1 = 0 !

c.

Sejajar dengan garis 2x + 3y + 1 = 0 !

Tentukan Jarak ;
a.

Titik A(2,1) ke garis 2y = x – 4 !

b.

Titik asal ke garis x + 2y 2 = 5 !

Sebuah garis melalui titik A(4,0) dan memotong sumbu Y positif di titik B, sedemikian hingga AB = 5cm;
a.

Tentukanlah persamaan garis itu dengan rumus segmen garis !

b.

Dari persamaan yang didapat itu, tentukanlah persamaan normalnya !

8.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik (3,4) dan titik positif garis-garis y = x dan 3x + 5y = 15 !

9.

Tentukan persamaan garis yang melalui titik potong garis-garis : 2x – 3y + 6 = 0 dan
3x – 2y = 0 serta tegak lurus pada garis 4x – 3y = 12 !

10. Dari segitiga ABC dengan titik sudutnya A(3,0), B(6,2), dan C(2,4). Tentukanlah :
a.

Panjang garis-garis tingginya !

b.

Tentukanlah persamaan garis-garis bagi sudut-sudut segitiga itu!

By : Turmudi

E-mail : toermoedy@yahoo.co.id

blog: www.toermoedy.wordpress.com