Catatan Fisika Matematika Ii

KATA PENGANTAR

Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik.

Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, “Ikatlah ilmu dengan menuliskannya”, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan. Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika.

Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta teman- teman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan.

Bagi teman-teman, para pembaca sekalian, saran dan feedback selalu dinanti di muhammadfauzim@gmail.com.

Makassar, September 2015 Muhammad Fauzi Mustamin

1. KALKULUS VEKTOR

Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor.

1.1 Diferensial Vektor

Misalkan sebuah vektor 𝐚 yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel 𝑢. Kita dapat menuliskan vektor tersebut sebagai 𝐚(𝑢). Misalnya pada kordinat kartesian, 𝐚(𝑢) = 𝑎 𝑥 (𝑢)𝐢 + 𝑎 𝑦 (𝑢)𝐣 + 𝑎 𝑧 (𝑢)𝐤.

Perubahan kecil pada vektor 𝐚(𝑢) menghasilkan perubahan ∆𝑢 sehingga ∆𝑎 = 𝑎(𝑢 + ∆𝑢) − 𝑎(𝑢). Diferensial dari 𝐚(𝑢) terhadap 𝑢 didefinisikan :

Gambar 1.1 Skema diferensial vektor.

Pada kordinat kartesian, diferensial vektor (𝑢) = 𝑎 𝑥 (𝑢)𝐢 + 𝑎 𝑦 (𝑢)𝐣 + 𝑎 𝑧 (𝑢)𝐤 :

Pada vektor komposit, setiap vektor atau skalar dapat berupa fungsi dari variabel 𝑢. Dengan mengasumsikan 𝐚 dan 𝐛 adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar 𝑢 dan bahwa 𝜙 adalah fungsi skalar terdiferensiasi terhadap 𝑢 :

Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat ∆𝑢 → 0, perubahannya terhadap 𝑎 akan sangat kecil. Sehingga diperoleh persamaan :

Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada selang waktu :

Dengan 𝐯 adalah kecepatan partikel.

1.2 Integral Vektor

Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers dari diferensiasi. Beberapa poin penting dalam integrasi :

(i) Integral dari vektor atau skalar memiliki perlakuan yang sama dengan integral biasa. (ii) Tetapan dari integrasi haruslah sama dengan sifat alami integral.

Misalnya, jika 𝐚(𝑢) = 𝑑 [𝐀(𝑢)] 𝑑𝑢 ⁄ menghasilkan integral (𝑢) :

Dimana 𝐛 adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari 𝑢 = 𝑢 1 sampai =𝑢 2 :

1.3 Kurva Ruang

Sebuah kurva 𝐶 pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor 𝐫(𝑢) terhubung dengan titik awal 𝑂 dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi 𝑢, vektor tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian :

Dengan 𝑥 = 𝑥(𝑢), 𝑦 = 𝑦(𝑢),dan 𝑧 = 𝑧(𝑢) merupakan persamaan parameter dari kurva tersebut.

Gambar 1.2 Tangen satuan 𝐭̂, normal 𝐧̂ dan binormal 𝐛̂ terhadap kurva 𝐶 pada titik 𝑃. Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑧 = 𝑔(𝑥), yang dapat dikonversei

seperti persamaan parameter :

Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor 𝐫(𝑠), dimana parameter 𝑠 adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang dideskripsikan dengan 𝐫(𝑢), perubahan vektor yang sangat kecil :

Hasil kuadratnya memberikan :

Sehingga didapatkan :

yang dapat diformasi ulang menjadi jarak antara dua titik pada kurva 𝐫(𝑢), dengan 𝑢 = 𝑢 1 dan 𝑢=𝑢 2 :

Jika kurva 𝐶 dideskrippsikan dengan 𝐫(𝑢), pada setiap titik di kurva terebut, 𝑑 𝐫 𝑑𝑢 ⁄ merupakan seuah tangen vektor dari 𝐶 pada titik tersebut, dengan arah 𝑢 meningkat. Pada kasus khusus dimana parameter 𝑢 adalah panjang 𝑠 sepanjang kurva, 𝑑 𝐫 𝑑𝑠 ⁄ adalah satuan vektor tangen dari 𝐶 dan dinotasikan 𝐭̂.

Vektor satuan 𝐛̂ = 𝐭̂ × 𝐧̂, tegak lurus terhadap permukaan datar 𝐭̂ dan 𝐧̂ disebut sebagai binormal terhadap 𝐶. Vektor 𝐛̂, 𝐭̂, dan 𝐧̂ membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap titik di 𝐶.

Secara ringkas, 𝐛̂, t̂, dan 𝐧̂ serta diferensiasinya terhadap 𝑠 saling berhubungan, hubungan ini disebut juga dengan formula Frenet-Serret :

1.4 Operator Vektor

Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan listrik.

Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah mencari gradien dari medan skalar serta mencari divergen dan curl dari medan vektor. Operator ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor 𝛁 atau sering disebut del atau nabla memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian didefinisikan :

Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut.

1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar

Gradien dari medan skalar 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

Secara matematis, grad 𝜙 merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu kali secara parsial terhadap 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧).

Secara umum, perubahan 𝜙 terhadap jarak 𝑠 pada arah :

yang disebut sebagai turunan berarah. Dapat dilihat bahwa

Gambar 1.3 Sifat geometri 𝛁𝜙, 𝑃𝑄 merupakan nilai 𝑑𝜙/𝑑𝑠 pada arah 𝐚̂.

Sifat menarik lain, 𝛁𝜙 merupakan vektor normal pada permukaan 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐 pada setiap titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika 𝐧̂ normal satuan permukaan dengan arah 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) meningkat, maka gradien juga sering dituliskan

𝜕𝑛 ≡ |𝛁𝜙| adalah perubahan 𝜙 pada arah 𝐧̂ dan disebut sebagai turunan normal.

1.4.2 Divergen

Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik.

Divergen dari medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

dimana 𝑎 𝑥 ,𝑎 𝑦 dan 𝑎 𝑧 merupakan komponen dari vektor 𝐚. Jelas terlihat bahwa 𝛁. 𝐚 menghasilkan sebuah medan skalar.

Selanjutnya, jika suatu medan vektor 𝐚 merupakan diferensiasi dari medan skalar, 𝐚 = 𝛁𝜙, maka

𝛁. 𝐚 akan membentuk 𝛁. 𝛁𝜙 atau 𝛁 2 𝜙, dimana

yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial.

1.4.3 Curl

Curl dari sebuah medan vektor 𝐚(𝑥, 𝑦, 𝑧) didefinisikan :

dimana 𝑎 𝑥 ,𝑎 𝑦 dan 𝑎 𝑧 merupakan komponen dari vektor 𝐚. Hasil dari sisi sebelah kanan persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan :

Untuk medan vektor 𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧) yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam sebuah fluida, 𝛁 × 𝐯 adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 ≠ 𝟎, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah 𝛁 × 𝐯 = 𝟎.

Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal tersebut.

Tabel 1.1 Rangkuman kombinasi operator vektor

1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola

Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola. Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola.

1.5.1 Kordinat Silinder

Posisi titik 𝑃 pada kordinat kartesian 𝑥, 𝑦, 𝑧 dapat diekspresikan dalam kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧 seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana :

Gambar 1.4 Kordinat silinder 𝜌, 𝜙, 𝑧

dan 𝜌 ≥ 0, 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋 dan − ∞ < 𝑧 < ∞. Posisi vektor dari titik 𝑃 kemudian dapat ditulis

𝐫 = 𝜌 cos 𝜙 𝐢 + 𝜌 sin 𝜙 𝐣 + 𝑧 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟏)

dimana, dengan melakukan diferensial parsial 𝐫 terhadap 𝜌, 𝜙 dan 𝑧 lalu membagi dengan setiap modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder

𝐞̂ 𝜌 =𝐞 𝜌 = cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐚)

1 𝐞̂ 𝜙 = 𝜙 = − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟐𝐛) 𝜌𝐞

Perpindahan sangat kecil 𝑑𝐫 dari titik 𝑃 memenuhi

Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped sangat kecil, didefinisikan oleh vektor 𝑑𝜌𝐞̂ 𝜌 , 𝜌𝑑𝜙𝐞̂ 𝜙 dan 𝑑𝑧𝐞̂ 𝑧 :

Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder

Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor dalam kordinat silinder.

Tabel 1.2 Opertor vektor dalam kordinat silinder

1.5.2 Kordinat Bola

Posisi titik 𝑃 dalam kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙 dapat diamati pada gamba 1.6, dimana 𝑥 = 𝑟 sin 𝜃 cos 𝜙 ,

𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 ,

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 (𝟏. 𝟐𝟓)

Gambar 1.6 Kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙

dengan 𝑟 ≥ 0, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 dan 0 ≤ 𝜙 < 2𝜋. Posisi vektor 𝑃 dapat dituliskan sebagai

𝐫 = 𝑟 sin 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜙𝐢 + 𝑟 sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + 𝑟 cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟔)

Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap 𝑟, 𝜃, dan 𝜙, lalu membaginya dengan modulus tiap vektor

𝐞̂ 𝑟 = sin 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + sin 𝜃 sin 𝜙 𝐣 + cos 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐚) 𝐞̂ 𝜃 = cos 𝜃 cos 𝜙 𝐢 + cos 𝜃 sin 𝜙 𝐣 − sin 𝜃 𝐤 (𝟏. 𝟐𝟕𝐛) 𝐞̂ 𝜙 = − sin 𝜙 𝐢 + cos 𝜙 𝐣 (𝟏. 𝟐𝟕𝐜)

Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola

𝑑𝐫 = 𝑑𝑟𝐞̂ 𝑟 + 𝑟𝑑𝜃𝐞̂ 𝜃 + 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙𝐞̂ 𝜙

Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang memenuhi

× 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝜙𝐞̂

𝜙 )| = 𝑟 sin 𝜃 ��� (𝟏. 𝟐𝟗)

Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola 𝑟, 𝜃, 𝜙

Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3 merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.

Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan Φ medan skalar dan 𝐚 medan vektor.

1.6 Integral Kalkulus

1.6.1 Integral Garis

Integral garis secara umum memiliki persamaan

Gambar 1.8 Visualisasi integral garis

dimana 𝐚 merepresentasikan fungsi vektor dan 𝑑𝐫 adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil, dengan integralnya dilakukan sepanjang titik 𝑎 sampai titik 𝑏. Saat integrasinya dilakukan untuk lintasan tertutup, 𝑎 = 𝑏, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup

Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari 𝐚 dengan vektor perpindahan elemen kecil 𝑑𝐫 sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya, 𝑊 = ∫ 𝐅. 𝑑𝐫.

Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut konservatif. Sebuah vektor 𝐚 dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah 𝑅 dikatakan konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut.

(i) Integral ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 , dengan

𝐴 dan 𝐵 berada pada daerah 𝑅, tidak bergantung pada lintasan 𝐴 ke 𝐵. Dapat dikatakan bahwa ∮ 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 pada lintasan tertutup adalah nol. (ii) Terdapat fungsi nilai tunggal 𝜙 dari posisi, dimana 𝐚 = 𝛁𝜙.

(iii) 𝛁 × 𝐚 = 0. (iv) 𝐚 ∙ 𝑑𝐫 merupakan diferensial eksak.

Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk bidang memenuhi Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk bidang memenuhi

1.6.2 Integral Permukaan

Integral permukaan secara umum memiliki persamaan

Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan

dimana 𝐚 merupakan fungsi vektor dan 𝑑𝐒 merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai integral tertutup

Jika 𝐚 mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka ∫ 𝐚 ∙ 𝑑𝐒 merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering

disebut sebagai flux. Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan

dimana 𝒏̂ merupakan normal satuan permukaan.

1.6.3 Integral Volume

Integral volume memiliki persamaan umum

dengan 𝜙 fungsi skalar dan 𝑑𝑉 elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧.

Misalnya 𝑇 adalah densitas suatu bahan, maka ∫ 𝑇𝑑𝜏 merepresentasikan massa total.

1.6.4 Teorema Divergence

Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari permukaan tertutup 𝑆 menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup 𝑉. Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi

1.6.5 Teorema Stokes

Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah permukaan terbuka 𝑆 dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan 𝐶 yang menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi

2. DERET

Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa penjumlahan berhingga ataupun penjumlahan tak hingga dari sekumpulan angka. Secara umum, penjumlahan dari 𝑁 bagian dari sebuah deret dapat ditulis :

Jenis deret berhingga, berarti nilai 𝑁 mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga nilai 𝑁 = ∞. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga.

2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen

Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan (2.1), karena deretnya tidak berhingga :

Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit :

Jika nilai 𝑆 menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika 𝑆 menuju ±∞, deretnya dikatakan sebagai deret divergen.

2.2 Uji Konvergen Suatu Deret

2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret

Secara umum, deret tak hingga ∑𝑢 𝑛 dapat memiliki bagian kompleks dan pada kasus khusus terdiri dari nilai positif dan negatif. Untuk sebuah deret, kita dapat mengasumsikan deret lain

∑|𝑢 𝑛 | yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal ∑ 𝑢 𝑛 yang hendak dicari. Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif.

Jika deret ∑|𝑢 𝑛 | konvergen, maka deret ∑ 𝑢 𝑛 juga konvergen, dan ∑𝑢 𝑛 dapat dikatakan sebagai deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut.

Jika deret ∑|𝑢 𝑛 | divergen namun deret ∑ 𝑢 𝑛 konvergen, deretnya dikatakan konvergen kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen.

2.2.2 Konvergensi Deret Positif

Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan :

1. Uji Awal Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret

∑𝑢 𝑛 dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat 𝑛 menuju tak hingga.

Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain untuk membuktikan.

2. Uji Banding Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret.

Misalkan kita memiliki dua deret, ∑𝑢 𝑛 dan ∑𝑣 𝑛 dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret konvergen. Sehingga jika setiap bagian 𝑢 𝑛 pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian dari deret 𝑣 𝑛 , untuk setiap 𝑛 yang lebih besar dari nilai tetap 𝑁 yang bisa bervariasi setiap deret, deret awal ∑𝑢 𝑛 juga merupakan deret konvergen.

Dengan kata lain, jika ∑𝑣 𝑛 konvergen dan

𝑢 𝑛 ≤𝑣 𝑛 , untuk 𝑛 > 𝑁

Maka deret ∑𝑢 𝑛 juga konvergen. Namun jika ∑𝑣 𝑛 divergen dan 𝑢 𝑛 ≥𝑣 𝑛 untuk setiap 𝑛 yang lebih besar untuk nilai tetap, maka

∑𝑢 𝑛 merupakan deret divergen.

3. Uji Perbandingan d’Alembert Jika sebuah deret ∑𝑢 𝑛 dan didefinisikan :

Berlaku hubungan, jika 𝜌 < 1 deretnya konvergen; jika 𝜌 > 1 deretnya divergen; jika 𝜌 = 1 maka deretnya bisa konvergen mapun divergen.

4. Uji Integral Misalkan terdapat sebuah fungsi 𝑓(𝑥) yang secara monoton menurun sepanjang 𝑥 lebih besar

dari niali tetap 𝑥 0 dan untuk 𝑓(𝑛) = 𝑢 𝑛 . Deret ∑𝑢 𝑛 konvergen jika integral pembandingnya berhingga :

Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen.

2.3 Deret Selang Seling

Deret selang seling dapat ditulis sebagai :

Syarat deret selang-seling konvergen adalah

1. Limit dari harga mutlak suku 𝑢 𝑛 adalah 0.

2. Deret selang-seling haruslah deret yang monoton turun untuk setiap suku mutlaknya.

Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen.

2.4 Deret Pangkat

Formasi umum dari deret pngkat adalah :

Dimana 𝑎 0 ,𝑎 1 ,𝑎 2 ,𝑎 3 , …. Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam fisika dan sangat berguna, untuk |𝑥| < 1, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat kecil dan diabaikan.

Dengan menggunakan uji perbandingan d’Alembert, kita dapat melihat bahwa 𝑃(𝑥) konvergen mutlak jika :

Atau dapat ditulis :

Konvergensi dari 𝑃(𝑥) bergantung pada nilai 𝑥, dimana daerah 𝑥 bergantung pada nilai 𝜌.

1. Jika 𝜌 = 0, deretya konvergen untuk semua nilai 𝑥.

2. Jika 𝜌 = ∞, deretnya konvergen hanya untuk nilai 𝑥 = 0.

3. Jika −1 𝜌 ⁄ < 𝑥 < +1 𝜌 ⁄ , deretnya konvergen untuk daerah 𝑥 antara −1 𝜌 ⁄ sampai +1 𝜌 ⁄.

2.5 Deret Taylor

Ekspansi Taylor merupakan alat yang sangat berguna untuk menjabarkan deret pangkat dari sebuah fungsi. Dengan mengasumsikan fungsi 𝑓(𝑥) memiliki sebuah turunan ke-𝑛 yang kontinu pada selang 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, kemudan mengintegralkanya sebanyak 𝑛 :

Dengan mengintegralkan sebanyak 𝑛 kali, didapatkan formasi :

(𝑛 − 1)! 𝑓 Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai (𝑥) :

Dimana 𝑅 𝑛 merupakan pengintegralan 𝑛 kali :

𝑅 𝑛 dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus :

Dengan 𝑎 ≤ 𝜉 ≤ 𝑥. Dengan mengintegralkan 𝑛 kali, didapatkan suku sisa :

Saat fungsi 𝑙𝑖𝑚 𝑅 𝑛 = 0, nilai 𝑓(𝑥) kemudian menjadi deret Taylor :

Atau disederhanakan menjadi :

Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik 𝑥, yang merupakan bagian dari nilai fungsi dan turunannya pada titik 𝑎. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan variable, atau 𝑥 − 𝑎. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi alternative, menggantikan 𝑥 dengan 𝑥 + ℎ dan 𝑎 dengan :

Jika dipilih 𝑎 = 0, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin :

(𝑥) 𝑛

𝑓(𝑥) = ∑

𝑓 (𝑛) (0) (𝟐. 𝟏𝟔)

𝑛!

𝑛=0

3. BILANGAN KOMPLEKS

3.1 Dasar Bilangan Kompleks

Perhatikan persamaan kuadrat berikut :

Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat :

Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan (3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian 𝑖𝑚𝑎𝑗𝑖𝑛𝑒𝑟 karena memilii akar dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian 𝑟𝑖𝑙. Solusi totalnya merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks. Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.

Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat 𝑧 2 − 4𝑧 + 5 = 0

Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai 𝑧, yang merupakan gabungan dari bagian ril 𝑥 dan 𝑖 dikalikan bagian imajiner 𝑦 :

Dengan 𝑖 digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril 𝑥 dinotasikan dengan ℜ𝑧 sementara bagian imajiner 𝑦 dinotasikan sebagai ℑ𝑧.

Pada contoh di atas, √−4 = 2√−1 = 2𝑖, sehingga solusi yang kita dapatka adalah :

Dengan 𝑥 = 2 dan 𝑦 = ±1. Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk :

Dimana komponen dari 𝑧 bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut disebut diagram Argand.

Gambar 3.2 Diagram Argand

3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks

3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks

Modulus dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan sebagai |𝑧| dan didefinisikan :

Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand. Argumen dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan dengan arg 𝑧 dan didefinisikan : Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand. Argumen dari bilangan kompleks 𝑧 dinotasikan dengan arg 𝑧 dan didefinisikan :

Dapat pula dilihat bahwa arg 𝑧 adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai 𝑧 pada diagram Argand dengan sumbu- 𝑥 positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam adalah positif.

Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks 𝑧

Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai 𝑧 ∗ , dimana jika 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka 𝑧 ∗ = 𝑥 − 𝑖𝑦. Secara umum, konjugat kompleks 𝑧 adalah nilai yang sama dengan besar 𝑧 yang jika

dikalikan dengan 𝑧 menghasilkan hasil ril.

Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks

Hal ini dapat diuktikan, misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya akan menghasilkan :

𝑧𝑧 ∗ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥 2 − 𝑖𝑥𝑦 + 𝑖𝑥𝑦 − 𝑖 2 𝑦 2 =𝑥 2 +𝑦 2 = |𝑧| 2 Kompleks konjugat juga dapat dipandang sebagai refleksi dari 𝑧.

3.2.2 Operasi Matematika

Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan biasa :

𝑧 1 +𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 ) + (𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 +𝑥 2 ) + 𝑖(𝑦 1 +𝑦 2 ) (3.6) Untuk perkalian :

𝑧 1 𝑧 2 = (𝑥 1 + 𝑖𝑦 1 )(𝑥 2 + 𝑖𝑦 2 ) = (𝑥 1 𝑥 2 −𝑦 1 𝑦 2 ) + 𝑖(𝑥 1 𝑦 2 +𝑦 1 𝑥 2 ) (3.7) Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi aturan komutatif dan asosiatif :

Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan :

Untuk bilangan kompleks 𝑧 yang dikalikan dengan ±1 dan ±𝑖, menghasilkan suatu pola yang menarik. Ketika mengalikan 𝑧 dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan 𝑧 yang tetap dikedua modulus dan argument.

Adapun dengan mengalikan −1 (argumennya 𝜋) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut 𝜋, dari garis yang menghubungkan titik asal dengan 𝑧 pada diagram Argand. Sama halnya dengan mengalikan 𝑖 atau −𝑖 yang menghasilkan putaran 𝜋 2 ⁄ atau −𝜋 2 ⁄.

Gambar 3.5 Pola menarik saat menglikan bilangan kompleks dengan ±1 dan ±𝑖

Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks 𝑧 1 dan 𝑧 2 , jika keduanya dibagi akan membentuk formasi :

Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah 𝑧 2 :

Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) :

3.3 Representasi Polar

Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat polar (𝑟, 𝜃), yang memenuhi persamaan :

Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian, 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, diperoleh persamaan :

𝑧 = 𝑟 cos 𝜃 + 𝑖 𝑟 sin 𝜃 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃

Dimana 𝑒 𝑖𝜃 merupakan persamaan euler yang sesuai definisi :

𝑒 𝑖𝑛𝜃 = cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟏𝟖)

Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks 𝑧

Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an menggunakan kordinat polar. Sudut 𝜃 secara konvensional terletak pada −𝜋 < 0 ≤ 𝜋, namun karena rotasi 𝜃 adalah sama dengan rotasi 2𝑛𝜋 + 𝜃, dengan 𝑛 adalah bilangan bulat, didapatkan persamaan umum bilangan kompleks :

Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar, 𝑧 1 =𝑟 1 𝑒 𝑖𝜃 1 dan 𝑧 2 = 𝑟 𝑒 𝑖𝜃 2 2 , jika dikalikan :

Sementara untuk pembagian :

3.4 Teorema de Moivre

Kita tahu bahwa (𝑒 𝑖𝜃 ) =𝑒 𝑖𝑛𝜃 , sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan :

(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑖𝑠𝑖𝑛𝜃) 𝑛 = cos 𝑛𝜃 + sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟐)

Hasil ini disebut teorema de Moivre dan sering digunakan dalam maniulasi bilangan kompleks. Manipulasinya anatara lain; mencari identitas trigonometri, mencari akar ke- 𝑛 suatu besaran.

3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri

Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari cos 𝜃 dan sin 𝜃, cos 3𝜃 + 𝑖 sin 3𝜃 = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 3 = (cos 3 𝜃 − 3 cos 𝜃 sin 2 𝜃) + 𝑖(3 sin 𝜃 cos 2 𝜃 − sin 3 𝜃)

Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari cos 𝑛𝜃 dan sin 𝑛𝜃 untuk setiap 𝑛 bilangan bulat.

𝑧 −𝑛 + = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) + (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃)

= cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 + cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2 cos 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟑) Dan

1 𝑧 𝑛 − = (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) 𝑛 − (cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) −𝑛 𝑧 𝑛

= cos 𝑛𝜃 + 𝑖 sin 𝑛𝜃 − cos(−𝑛𝜃) + 𝑖 sin(−𝑛𝜃) = 2𝑖 sin 𝑛𝜃 (𝟑. 𝟐𝟒)

3.4.2 Mencari Akar ke- 𝒏 Persamaan 𝑧 2 = 1 memiliki solusi 𝑧 = ±1. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks,

kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari 𝑧 𝑛 = 1. Ingat bahwa persamaan tersebut memiliki 𝑛 buah solusi. Persamaan 𝑧 𝑛 dapat ditulis ulang :

Dengan 𝑘 adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita dapatkan :

Sehingga, solusi untuk 𝑧 𝑛 = 1 adalah :

Dengan 𝑘 nilainya mulai dari 0,1,2, … , 𝑛 − 1.Nilai 𝑘 yang semakin besar tidak memberi solusi baru karena akarnya telah berulang untuk 𝑘 = 𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 2, dan seterusnya.

Misalna mencari solusi dari 𝑧 3 = 1, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan : 𝑧=𝑒 2𝑖𝑘𝜋 3 ⁄

Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai 𝑘, 𝑧

2 =𝑒 ,𝑧 3 = 𝑒 4𝜋𝑖 3 ⁄ . Ketika memasukkan nilai 𝑘 yang lebih besar, misalya 3, 𝑧 =𝑒 6𝑖𝜋 3 ⁄ 4 =1=𝑧 1 . Sehingga terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk 𝑛 = 3.

Gambar 3.7 Representase geometri solusi 𝑛 𝑧 =1

3.5 Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks dari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya.

Terdapat dua fungsi fundamental, cosh 𝑥 dan sinh 𝑥, yang masing-masing merupakan mirip dengan 𝑐𝑜𝑠𝑥 dan 𝑠𝑖𝑛𝑥. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi :

1 cosh 𝑥 = (𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥 ) (𝟑. 𝟐𝟔)

1 sinh 𝑥 = (𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥 ) (𝟑. 𝟐𝟕)

Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk tanh 𝑥, sech 𝑥, csch 𝑥, dan coth 𝑥.

Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan :

Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi trigonometri :

cosh 𝑥 = cos 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟖) 𝑖 sinh 𝑥 = sin 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟐𝟗)

cos 𝑥 = cosh 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟑𝟎) 𝑖 sin 𝑥 = sinh 𝑖𝑥 (𝟑. 𝟑𝟏)

4. DERET FOURIER

Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut.

4.1 Kondisi Dirichlet

Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi 𝑓(𝑥) memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut harus memenuhi kondisi Dirichlet :

(i) Fungsinya harus periodic (ii) Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu.

(iii) Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode. (iv) Integral sepanjang periode |𝑓(𝑥)| harus konvergen.

Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier Deret Fourier terdiri dari fungsi sinus dan kosinus. Esensi dari hal ini adalah sinus merupakan

fungsi ganjil sementara kosinus merupakan fungsi genap, dimana keduanya merupakan fungsi periodik.

Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya memenuhi sifat matematis berikut :

𝐿 ) 𝑑𝑥 = 0 untuk semua 𝑟 dan 𝑝

dengan 𝑟 dan 𝑝 merupakan bilangan bulat lebih besar atau sama dengan nol. Ekspansi Fourier dari fungsi 𝑓(𝑥) memiliki bentuk umum :

dimana 𝑎 0 ,𝑎 𝑟 , dan 𝑏 𝑟 merupakan koefisien Fourier.

4.2 Koefisien Fourier

Untuk fungsi periodik 𝑓(𝑥) dengan periode 𝐿, koefisien Fourier memenuhi persamaan :

0 atau −𝐿/2. Penjabaran formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan 𝑓(𝑥) pada persamaan (𝟒. 𝟒), dengan cos(2𝜋𝑝𝑥/

dimana 𝑥 0 adalah nilai sembarang namun sering diambil sebagai

𝐿), lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap 𝑥. Hasil dari tahap tersebut, kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan (𝟒. 𝟏), (𝟒. 𝟐), dan (𝟒. 𝟑).

Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien Fourier. Fungsi dengan 𝑥 ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien 𝑎 bernilai Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien Fourier. Fungsi dengan 𝑥 ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien 𝑎 bernilai

4.3 Fungsi Diskontinu

Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi 𝑓(𝑥) hasil ekspansi akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya.

Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal sebagai fenomena Gibbs.

Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah gelombang, dengan (a) satu bagian, (b)

dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan 𝛿 menunjukkan lampauan fungsi.

4.4 Fungsi Non-Periodik

Deret Fourier dapat pula digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi non-periodik pada selang tertentu. Hasil dari selang tersebut kemudan diterapkan kepada selang lain sehingga membentuk suatu fungsi ekspansi periodik.

Misalnya mencari deret Fourier 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 pada selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2. Dari gambar 4.3 terlihat periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian 𝑏 𝑟 bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.

Gaambar 4.3 Fungsi 𝑥 2 dengan selang −2 ≤ 𝑥 ≤ 2.

Dengan persamaan (𝟒. 𝟓), dimana 𝐿 = 4 didapatkan

adapun untuk 𝑎 0 ,

Hasil akhir untuk 𝑓(𝑥), sesuai persamaan (𝟒. 𝟒), didapatkan

4.5 Deret Fourier Kompleks

Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk 𝑖𝑟𝑥 𝑒 = cos 𝑟𝑥 + 𝑖 sin 𝑟𝑥. Secara sepintas, terlihat bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan: Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk 𝑖𝑟𝑥 𝑒 = cos 𝑟𝑥 + 𝑖 sin 𝑟𝑥. Secara sepintas, terlihat bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier. Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan:

yang dapat diturunkan dengan mengalikan 𝑓(𝑥) pada (𝟒. 𝟕) dengan exp (− ) dan

mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal:

0 , 𝑟 ≠ 𝑝 (𝟒. 𝟗) Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan:

Untuk 𝑓(𝑥) real, maka 𝑐 ∗ −𝑟 =𝑐 𝑟 , atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari 𝑐 𝑟 .

4.6 Teorema Parseval

Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang dideskripsikannya. Bentuk umumnya:

Persamaan tersebut menyatakan penjumlahan dari modulus kuadrat dari koefisien deref Fourier kompleks memiliki nilai yang sama dengan |𝑓(𝑥)| 2 dalam satu periode. Teorema Parseval biasa digunakan dalam penjumlahan deret.

5. TRANSFORMASI FOURIER

5.1 Pengantar Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan generalisasi dari deret Fourier yang merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode 𝑇 dapat direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks

Saat periode 𝑇 menuju tak terhingga, frekuensi quantum, ∆𝜔 = 2𝜋/𝑇 menjadi sangat kecil dan spektrum frekuensi yang diizinkan 𝜔 𝑟 menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien 𝑐 𝑟 menjadi fungsi kontinu dengan variabel 𝜔, dimana persamaannya

Substitusi ke persamaan (𝟓. 𝟏), didapatkan bentuk

sampai disini, 𝜔 𝑟 masih merupakan fungsi diskrit 𝑟 yang nilainya 2𝜋𝑟/𝑇. Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur

dari 𝑐 𝑖𝜔 𝑟 𝑡

𝑟 𝑒 sebagai fungsi dari 𝑟 dan jelas bahwa (2𝜋/𝑇)𝑐 𝑟 𝑒 memberikan luas dari persegi panjang (garis putus-putus) ke- 𝑟. Saat 𝑇 menuju ∞, maka ∆𝜔 (= 2𝜋/𝑇) menjadi sangat kecil, lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral,

Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode 𝑇 dan integral Fourier dari suatu fungsi

Sehingga persamaan (𝟓. 𝟑) menjadi

Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier. Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑡) kemudian didefinisikan

dengan inversnya

5.2 Fungsi Delta Dirac ( 𝜹) Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb)

yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu. Fungsi 𝛿-Dirac memiliki sifat

𝛿(𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≠ 0 (𝟓. 𝟕) 𝛿(𝑡) = 0 untuk 𝑡 ≠ 0 (𝟓. 𝟕)

menghasilkan selang integasi pada titik 𝑡 = 𝑎; selain itu integralnya sama dengan nol. Hal ini mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut

∫ 𝛿(𝑡) 𝑑𝑡 = 1 untuk setiap 𝑎, 𝑏 > 0 (𝟓. 𝟗)

memberikan selang integasi 𝑡 = 𝑎. Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain

Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside

𝐻(𝑡) = {1 untuk 𝑡 > 0

0 untuk 𝑡 < 0 (𝟓. 𝟏𝟐)

namun fungsi ini diskontinu pada 𝑡 = 0. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac

Dari teorema inversi Fourier, persamaan (𝟓. 𝟒), dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta Dirac

Adapun transformasi Fourier dari fungsi 𝛿 secara sederhana

5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap

Jika 𝑓(𝑡) ganjil atau genap, teorema inversi Fourier dapat disajikan dalam bentuk berbeda. Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier

sin 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢) sin 𝜔𝑢 𝑑𝑢}

menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil

Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier

cos 𝜔𝑡 {∫ 𝑓(𝑢) cos 𝜔𝑢 𝑑𝑢}

menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil

(𝑡) cos 𝜔𝑡 𝑑𝑡 (𝟓. 𝟏𝟖)

̃(𝜔) 𝑐 cos 𝜔𝑡 𝑑𝜔 (𝟓. 𝟏𝟗)

6. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

6.1 Persamaan Diferensial Orde I

Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives. Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa (tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde tertinggi dari turunannya (derivatives). Persamaan yang hanya mengandung 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ⁄ disebut PDB

orde satu. Untuk persamaan yang mengandung 𝑑 2 𝑦 𝑑𝑥 ⁄ 2 disebut PDB orde 2, dan seterusnya.

6.1.1 Bentuk Umum

Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ⁄ untuk suatu fungsi x dan y. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum :

dimana 𝐹(𝑥, 𝑦) = −𝐴 (𝑥, 𝑦) 𝐵 ⁄ (𝑥, 𝑦), dan 𝐹(𝑥, 𝑦), 𝐴(𝑥, 𝑦), 𝐵(𝑥, 𝑦), secara umum dapat berupa fungsi x dan y.

6.1.2 Persamaan Variabel Pisah

Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam bentuk :

Dimana 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑦) adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus 𝑓(𝑥) atau 𝑔(𝑦) adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis kedalam bentuk integral

yang solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.

6.1.3 Persamaan Eksak

Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum

𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0, dimana 𝜕𝑦 = 𝜕𝑥 (𝟔. 𝟒) Persamaan 𝐴(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝐵(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 dapat dituliskan dalam variable 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦), atau dengan kata

sehingga terlihat hubungan

Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, 𝑑𝑈(𝑥, 𝑦) = 0, sehingga memiliki solusi 𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑐. Dimana 𝑐 disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial eksak.

Dimana untuk 𝐹(𝑦) dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan 𝑈(𝑥, 𝑦) diatas terhadap 𝑦,

kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan 𝐵= .

6.1.4 Persamaan Linear

Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana :

Persamaan tersebut dapat dirubah menjadi persamaan eksak dengan mengalikan factor pengintegralan. Faktor pengintegralan disini hanya berupa fungsi x semata.

Dengan memisalkan faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦), persamaan umum PDB linear menjadi

yang dengan melakukan pengintegralan,

faktor pengintegralan 𝜇(𝑥, 𝑦) dapat ditemukan dengan melihat bahwa :

yang memberikan hubungan sederhana :

Sehingga penyelesaian umumnya memenuhi persamaan

6.1.5 Persamaan Bernoulli

Bentuk umum persamaan Bernouli adalah : 𝑑𝑦

dengan 𝑛 ≠ 0 atau 1 (𝟔. 𝟏𝟎) 𝑑𝑥 + 𝑃

PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear. Hal ini disebabkan karena adanya 𝑦 𝑛 . Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru 𝑣=𝑦 1−𝑛 yang mengakibatkan 𝑑𝑣 = (1 − 𝑛)𝑦 −𝑛 𝑑𝑦.

yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear.

6.1.6 Persamaan Homogen

Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis :

dimana 𝐴(𝑥, 𝑦) dan 𝐵(𝑥, 𝑦) merupakan fungsi homogen dengan derajat yang sama. Sebuah fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) homogen dengan derajat n jika, untuk setiap 𝜆, memenuhi

Misalnya, jika 𝐴=𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 2 dan 𝐵=𝑥 3 −𝑦 3 , kita lihat bahwa A dan B merupakan fungsi homogen dengan derajat 3. Secara umum, untuk fungsi dengan bentuk A dan B, keduanya merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat dari x dan y pada bagian A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat ditulis sebagai fungsi y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi

Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan

6.2 Persamaan Diferensial Orde II

6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum

Bentuk umumnya :

Saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas, akan mengandung n buah konstan.

Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua :

Dimana 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas.

6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan

Seperti di awal pembahasan, saat 𝑄(𝑥) = 0, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya :

Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas. Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi 𝑦 1 (𝑥) dan 𝑦 2 (𝑥) untuk persamaan tersebut, kombinasi linearnya juga merupakan solusi :

Dengan 𝑐 1 dan 𝑐 2 adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan subtitusi 𝑦 1 (𝑥) dan 𝑦 2 (𝑥) pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan 𝑦(𝑥) dua kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal.

Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen 𝑦 1 (𝑥) dan 𝑦 2 (𝑥). Ini berarti antara 𝑦 1 (𝑥) dan 𝑦 2 (𝑥) bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih jelasnya, fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 2𝑥 2 merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 merupakan fungsi bebas secara linear.

Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat koefisiennya, 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat koefisiennya, 𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) dan 𝐶(𝑥) adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah

Dengan 𝐴, 𝐵 dan 𝐶 adalah konstanta dan 𝐴 ≠ 0. Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan

turnuan keduanaya (𝑦’’) ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan pertamanya (𝑦’) yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan (𝑦) menghasilkan

0. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 (dengan 𝑟 adalah konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri 𝑦′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 .

Adapun turunan keduanya

2 𝑦′′ = 𝑟 𝑟𝑥 𝑒 . Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas :

Tapi 𝑒 𝑟𝑥 tidak pernah 0, sehingga 𝑦=𝑒 𝑟𝑥 adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan :

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan 𝐴𝑦 ′′ + 𝐵𝑦 ′ + 𝐶𝑦 = 0. Nilai 𝑟 bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus

akar persamaan kuadrat :

Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan 2 𝐵 − 4𝐴𝐶. Kasus pertama, saat 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 > 0. Kasus ini, akar-akar 𝑟 1 dan 𝑟 2 merupakan persamaan yang

berbeda. Sehingga 𝑦 =𝑒 𝑟 1 𝑥 dan 𝑦 =𝑒 𝑟 2 1 𝑥 2 adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan 𝐴𝑦 ′′ + 𝐵𝑦 ′ + 𝐶𝑦 = 0. Sehingga solusi umumnya dapat ditulis :

(𝟔. 𝟏𝟔) Kasus kedua, saat 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 = 0. Pada kasus ini r 1 =r 2. Sehingga akar-akarnya real dan sama.

Kita misalkan akar-akar sama ini dengan 𝑟. Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat :

Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan :

(𝟔. 𝟏𝟕) Kasus ketiga, saat 𝐵 2 − 4𝐴𝐶 < 0. Pada kasus ini, r 1 dan r 2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita

dapat menuliskan :

𝑟 1 = 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝑟 2 = 𝛼 − 𝑖𝛽

Dimana 𝛼 dan 𝛽 adalah bilangan real (𝛼 = −𝐵 (2𝐴) ⁄ dan 𝛽 = √𝐵 2 − 4𝐴𝐶 (2𝐴) ⁄ ), sehingga dengan menggunakan persamaan Euler :

Solusi yang kita dapatkan menjadi :

1 𝑒 (cos 𝛽𝑥 + 𝑖 sin 𝛽𝑥) + 𝐶 2 𝑒 (cos 𝛽𝑥 − 𝑖 sin 𝛽𝑥) =𝑒 𝛼𝑥 (𝐶 1 cos 𝛽𝑥 + 𝑖𝐶 1 sin 𝛽𝑥 + 𝐶 2 cos 𝛽𝑥 − 𝑖𝐶 2 sin 𝛽𝑥)

=𝑒 𝛼𝑥 ((𝐶 1 +𝐶 2 ) cos 𝛽𝑥 + 𝑖(𝐶 1 −𝐶 2 ) sin 𝛽𝑥)

atau disederhanakan

𝑦=𝑒 𝛼𝑥 (𝑐 1 cos 𝛽𝑥 + 𝑐 2 sin 𝛽𝑥) (𝟔. 𝟏𝟖) Dengan 𝑐 1 =𝐶 1 +𝐶 2 dan 𝑐 2 = 𝑖(𝐶 1 −𝐶 2 ). Formula ini memberikan semua solusi yang

dibutuhkan untuk persamaan diferensial. Rangkuman solsui untuk persamaan diferensial ′′

6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan

Formasi umum dari persamaannya adalah :

Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk homogennya adalah :

Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah :

Dengan 𝑦 𝑝 (𝑥) adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan koefisien konstan.

Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah persamaan :

Dimana 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat solusi partikular 𝑦 𝑝 yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan 𝑄 karena jika 𝑦 adalah polynominal, maka 𝐴𝑦 ′′ + 𝐵𝑦 ′ + 𝐶𝑦 juga merupakan polynominal. Kemudian dilakukan subtitusi 𝑦 𝑝 (𝑥) sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan koefisiennya.

Misalkan 𝑄(𝑥) adalah sebuah polynominal 𝑥 2 , kita dapat mencari solusi khususnya dengan formasi :

Kemudian melakukan diferensiasi sebanyak dua kali, lalu subtitusikan hasilnya pada persamaan awal untuk mencari koefisien.

Adapun ketika Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi 𝐶𝑒 𝑘𝑥 dengan C dan k adalah konstanta, kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama

karena turunan dari 𝑒 𝑘𝑥 adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan 𝑒 𝑘𝑥 . Jika 𝑄(𝑥) adalah fungsi yang terdiri dari 𝐶 cos 𝑘𝑥 dan 𝐶 sin 𝑘𝑥, dengan memperhatikan aturan

penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah fungsi dengan formasi :

𝑦 𝑝 (𝑥) = 𝐴 cos 𝑘𝑥 + 𝐵 sin 𝑘𝑥 (𝟔. 𝟐𝟐)

Kasus lain, ketika 𝑄(𝑥) merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel, kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai dengan fungsi tersebut. Misalkan :

𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 4𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠3𝑥

Kita mencoba solusi khususnya :

𝑦 𝑝 (𝑥) = (𝐴𝑥 + 𝐵) cos 3𝑥 + (𝐶𝑥 + 𝐷) sin 3𝑥

7. TRANSFORMASI LAPLACE

7.1 Definisi

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan, metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi sebagian, periodic, ataupun impulsive.

Transformasi Laplace 𝑓(𝑠) dari fungsi 𝐹(𝑡) didefinisikan :

yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya :

7.2 Fungsi Elementer

Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan 𝐹(𝑡) = 0 untuk 𝑡 < 0. Jika

transformasi Laplacenya menjadi :

Contoh lain,

Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus 𝑐𝑜𝑠ℎ dan 𝑠𝑖𝑛ℎ dapat diketahui. Kita tahu,

), sinh 𝑘𝑡 = 2 (𝑒 −𝑒 ), transformasi Laplacenya menjadi :

Dimana keduanya terpenuhi untuk 𝑠 > 𝑘. Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari cos 𝑘𝑡 dan sin 𝑘𝑡, dimana :

Keduanya berlaku untuk 𝑠 > 0. Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah 𝐹(𝑡) = 𝑡 𝑛 , yang transformasi

dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan :

untuk 𝑠 > 0 dan 𝑛 > −1.

Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel 𝑠 pada pembagi, sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika 𝑓(𝑠) adalah sebuah transformasi Laplace, 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑠) = 0.

Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika 𝑓(𝑠) bersifat asymptotis untuk nilai 𝑠 yang besar sebagai pangkat positif dari 𝑠, tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut.

7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace

Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan sebagai 𝑢(𝑡 − 𝑘),

Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside

dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah :

Misalnya sebuah grafik signal 𝐹(𝑡) dengan tinggi 𝐴 saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 𝑡 0 , dengan menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai :

Transformasi Laplacenya menjadi :

Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac :

untuk 𝑡 0 > 0 (𝟕. 𝟒)

Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac

Untuk 𝑡 0 = 0 perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk 𝑡 ≥ 0. Hasil yang konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan 𝑡≥𝑡 0 , yang hasilnya :

Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat.

7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial

Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan difrensial. Transformasi Laplace menjadikan persamaan diferensial yang dianalisis ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi 𝑓(𝑠). Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.

Gambar 7.3 Diagram alir penggunaan transformasi Laplace untuk diferensial