Banyaknya kolom matriks A harus sama dengan banyaknya kolom matriks B, sehingga n = p
Matriks hasil perkalian antara A dan B adalah matriks dengan ordo m x q
Perkalian dilakukan dengan menjumlahkan hasil kali setiap elemen baris matriks A dengan setiap elemen
kolom matriks B yang sesuai
Contoh 1 Diketahui matriks-matriks :
Manakah diantara operasi-operasi perkalian matriks berikut yang dapat dilakukan :
a. A x B Dapat, karena ordo matriks A adalah 2x3 dan ordo matriks B adalah 3x2, kolom matriks Asama
dengan baris matriks B b. A x C
Tidak, ordo matriks A adalah 2x3 sedangkan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks Atidak sama dengan baris matriks C
c. B x C Dapat, ordo matriks B adalah 3x2 dan ordo matriks C adalah 2x2, kolom matriks B sama
dengan baris matriks C d. C x D
Tidak, ordo matriks C adalah 2x2 sedangkan ordo matriks D adalah 3x2, kolom matriks Ctidak sama dengan baris matriks D
Determinan suatu matriks
Matriks ordo 2x2 Pengertian:
Misalkan:
maka Determinan A ditulis adalah:
Contoh: P=
3 6 4 7
= 3.7−6.4=0
Matriks ordo 3x3 Pengertian:
Cara Sarrus
Misalkan:
13 KELOMPOK VI
Jika maka tentukan
Penghitungan matriks dilakukan dengan cara menambahkan elemen dari kiri atas ke kanan bawah mulai dari a → e → i, b → f → g, dan c → d → h lalu dikurangi dengan elemen dari kanan atas ke kiri bawah mulai dari c
→ e → g, a → f → h, dan b → d → i sehingga menjadi:
Contoh:
maka tentukan
Cara ekspansi baris-kolom
Misalkan:
Jika maka tentukan
dengan ekspansi baris pertama
Matriks Singular Matriks singular adalah matriks yang nilai determinannya 0.
Contoh:
14 KELOMPOK VI
Jika A matriks singular, tentukan nilai x Jawab:
vs Invers matriks
Invers matriks 2x2
Pengertian : pengertian invers : persegi atau buju sangkar yang berordo 2x2 dan 3x3maupun ordo nxn, akan
menjadi topik pembahasan kali ini. Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi matriks yang
berukuran n x n dan matriks tersebut non-singular determinan 0. Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik invertible dan B dinamakan invers dari A
Misalkan:
maka inversnya adalah:
Sifat-sifat invers matriks
Persamaan matriks
Tentukan X matriks dari persamaan:
Jika diketahui matriks A.X=B
15 KELOMPOK VI
Jika diketahui matriks X.A=B
Contoh:
[
y
2
y
2
5 y 3 p+2
]
= y
2
3 p +2 −
y
2
. 5 y ¿
3 p y
2
+ 2 y
2
− 5 y
3
= 3 p y
2
− 5 y
3
+ 2 y
2
Invers matriks ordo 3 x 3
Pengertian invers matriks 3 x3 : sebuah rumus yang membalikan dari rumus awal
determina,yangb dapat ditentukan
menggunakan beberapa cara. Pada pembahaan ini kita
akan menggunakan cara adjoin dan transformasi.
Adjoin adalah matriks kofaktor yang di Transposkan baris jadi kolom , kolom jadi baris
Oke langsung ke contoh soal berikut ini :
Langkah pertama maka kita harus mencari kofaktor dari A , dengan cara sbb:
Langkah kedua, Setelah hasil dari Kofaktor A ditemukan , maka kita mencari ADJOIN nya =
Langkah ketiga , Mencari nilai determinan A :
16 KELOMPOK VI
Langkah terakhir adalah mencari invers matriks A dengan rumus : Invers Matriks nxn
= 1 nilai determinan . Matriks Adjoinnya
jadi matriks invers A adalah = Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi matriks yang berukuran n
x n dan matriks tersebut non-singular determinan 0. Tidak semua matriks
memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.
Definisi :
Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat
dibalik invertible dan B dinamakan invers dari A
Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.
Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang
berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan
Eliminasi Gauss Jordan
.
Contoh 2 :
Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =
Penyelesaian :
Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.
Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi
Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas pada
sebelah kanan yang akan menjadi invers matriks tersebut. 1. baris kedua : B
2
+ -2B
1
[artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama] baris ketiga : B
3
+ -B
1
[artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]
17 KELOMPOK VI
3. baris ketiga : B
3
x -1 [artinya baris ketiga dikali dengan -1]
4. baris kedua : B
2
+ 3B
3
[artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga] baris pertama : B
1
+ -3B
3
[artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]
5. baris pertama : B
1
+ -2B
2
[artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua] Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A
- 1
=
Contoh 3 :
Periksa apakah matriks A
3×3
memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = .
Penyelesaian :
Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer
1. baris pertama : B
1
x 13
2. baris kedua : B
2
+ -2B
1
baris ketiga : B
3
+ 4B
1
Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak
memiliki invers.
BAB III FUNGSI dan RELASI
18 KELOMPOK VI
Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunanlain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawananatau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-
anggota himpunan B.Jika diketahui himpunan A
= {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi “satukurangnya dari” himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah,diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.2.Fungsi
a.Pengertian Fungsi Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B
disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat
satu anggota B
lihat pada gambar disamping, menunjukkan relasi fungsi:
fungsi itu sama dengan relasi dalam disamping ini ada yang
disebut sebagai:
Domain: daerah asal
{
a , b , c
}
Kodomain: daerah sekawan
{
1,2,3
}
Range : daerah hasil
{
1,2,3
}
19 KELOMPOK VI
A = {1,2,3,4} dan B = [1,2,3,4,5,6} apabila di
kaitkan kedua himpunan dengan hubungan “A merupakan setengah dari B” maka relasi tersebut dapat digambarkan dalam diagram
berikut
Fungsi atau Pemetaan Apa sebenarnya yang dimakasud dengan fungsi atau pemetaan? suatu relasi dari A ke B
yang memasangkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B disebut dengan fungsi atau pemetaan dari A ke B. Suatu fungsi umumnya dinotasikan dengan huruf ef kecil f.
Misalny f adalah fungsi yang memtakan dari A ke B, maka fungsi tersebut ditulis
f : A → B A disebut dengan daerah asal [domain]
B disebut dengan daerah kawan [codomain]
Jikaf memetakan x ∈ A ke y ∈B maka dapat sobat hitung katakan bahwa y adalah peta dari x dan dapat ditulis f : x → y f memetakan x ke y atau y adalah fungsi dari x, y = fx.
Contoh
20 KELOMPOK VI
Diagaram disamping adalah pemetaan f: A → B dengan daerah asal A = {a,b,c,d,e}
daerah kawan B = {1,2,3,4,5,6} fa = 1; fb = 2; fc = 3; fd = 4; fe = 5, sehingga
didapat range daerah hasil H = {1,2,3,4,5}
21 KELOMPOK VI
Contoh Misal f: R → R dengan fx+2 = x2-x, tentukan berapa nilai fx dan f1
Kita misalkan y = x + 2, sehingga x = y-2 fy = y-22 – y-2 = y2 – 4y + 4 – y +2 = y2 -5y + 6
sehingga bisa didapat fx = x2 -5x + 6 f1 = 12 -51 + 6 = 2
Komposisi Fungsi meng
hitung dengan
menggabungkan dua fungsi secara berurutan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
Pada diagram di atas fungsi f dikomposisikan dengan fungsi g menghasilkan fungsi h. h dinamakan fungsi komposisi dari fungsi f dan g dinotasikan h = f o g sobat mungkin
sering sebut fog atau f bundaran g. Jadi jika kira rinci
gy = gfx hx = gfx atau h x = g o f x = gfx
Buat lebih jelas kita latihan dengan contoh soal berikut Jika fx = 2x2 + 1 dan gx = x+2
tentukan a. g o f x
b. g o f 5 c. f o g x
d. f o g 3
Jawab: mengkomposisikan fungsi sebenarnya sangat sederhana, sobat hanya perlu mentaati
asas ketika memasukkan nilai x. a. g o f x — kita masukkan fungsi f sebagai x dalam fungsi g
g o f x = gfx = g 2x2+1 = 2x2+1 + 2 = 2x2+3 b. g o f 5 = 252 + 3 = 53
c. f o g x – kita masukkan fungsi g sebagai x dalam fungsi f f o g x = fgx = f x+2 = 2x+22 +1 = 2 x2+4x+4 +1 = 2x2 + 8x +8 + 1 =
2x2 + 8x + 9 d. f o g 3 = 232 + 83 + 9 = 51
Invers Fungsi
22 KELOMPOK VI
jika y = fx maka x = f-1y. Hasil invers dari suatu fungsi dapat merupakan fungsi atau bukan fungsi. Kapan invers
suatu fungsi merupakan fungsi juga? Jawabannya ketik fungsi tersebeut berkorespondensi satu-satu. Ketika suatu fungsi bukan merupkan korespondensi satu-satu maka inversnya
bukan merupakan sebuah fungsi melainkan suatu relasi.
Bagaimana Menentukan Invers Suatu Fungsi? Invers suatu fungsi dapat ditentukan dengan terlebih dahulu memisalkan fungsinya denga
y
Kemudian menyatakan variabel x sebagai fungsi dari y Mengganti
n y
a dalam fungsi menjadi x
Contoh Tentukan ivers dari fungsi fx = 2x + 6
Pembahasan fx = 2x + 6
misal y = 2x + 6 2x = y – 6
x = ½ y – 3 dengan demikian f-1y = ½ y – 3 atau f-1x = ½ x – 3
Contoh 2 Tentukan Invers dari fungsi y = 2x + 3 4x + 5
jawab : y = 2x + 3 4x + 5
y 4x + 5 = 2x + 3 4yx + 5y = 2x + 3
4yx – 2x = 3 – 5y x 4y-2 = 3 – 5y
x = 3 – 5y 4y-2 atau
x = -5y +3 4y – 2 jadi dengan dimikian f-1 y = 2x + 3 4x + 5 = -5y +3 4y – 2
atau f-1x = -5x +3 4x – 2
Soal Nomor 1 Diberikan dua buah fungsi masing-masing fx dan gx berturut-turut adalah:
fx = 3x + 2 gx = 2 − x
Tentukan: a f o gx
b g o fx
23 KELOMPOK VI
a f o gx Masukkan gx nya ke fx
sehingga: f o gx = f gx
= f 2 − x = 32 − x + 2
= 6 − 3x + 2 = − 3x + 8
b g o fx Masukkan f x nya ke g x
sehingga: g o fx = g f x
= g 3x + 2 = 2 − 3x + 2
= 2 − 3x − 2 = − 3x
FUNGSI INVERS Jika diketahui suatu fungsi fx dan memenuhi syarat untuk memilikiinvers, maka invers fungsi dari fx ditulis
f
− 1
x
24 KELOMPOK VI
Inver dari fungsi linier : fx = ax + b maka invers nya adalah :
Fungsi Pecahan :
inversnya adalah :
Fungsi kuadrat : fx = ax
2
+ bx + c inversnya adalah :
Jika fungsi f: Df→Rf adalah fungsi bijektif, maka invers fungsi f adalah fungsi yang
didefinisikan sebagai f -1: Rf →Df dengan kata lain f -1 adalah fungsi dari Rf ke Df .
Perhatikan kembali Definisi 3.4 di atas. Fungsi f: Df →Rf adalah fungsi bijektif, jika
y ∈Rf merupakan peta dari x
∈ Df, maka hubungan antara y dengan fx didefinisikan dengan y = fx. Jika f -1
adalah fungsi invers dari fungsi f, maka untuk setiap x
∈ Rf -1adalah peta dari y ∈ f 1 D
. Hubungan antara x dengan f -1y didefinisikan dengan rumus x = f -1y.
5. Menentukan Rumus Fungsi Invers Masalah-3.6
