Metode Yates: Metode Alternatif Menghitung Kontras
METODE YATES : METODE ALTERNATIF MENGHITUNG KONTRAS
SUTARMAN
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Abstrak
Artikel berikut ini menyajikan salah satu metode, dikenal dengan sebutan metode
Yates, yang dapat digunakan dalam menghitung kontras. Metode ini cukup
sederhana sehingga mudah menggunakannya. Metode ini terutama sangat baik
dalam menghitung kontras dari suatu percobaan faktorial yang berukuran2n .
Pendahuluan
Marilah kita perhatikan percobaan faktorial 22 yang mempunyai n ulangan percobaan
untuk setiap kombinasi perlakuan. Kita simbolkan (1.), a, b, dan ab sebagai
jumlahan dari ulangan-ulangan itu untuk setiap ulangan kombinasi perlakuan. Tabel
berikut adalah tabel dua arah dari jumlahan ulangan-ulangan untuk setiap kombinasi
perlakuan.
tabel 1.1 Jumlahan ulangan tiap kombinasi perlakuan.
B
a0
A
a1
Jumlah
Rata - rata
b0
(1)
a
(1)+a
((1)+a)/2n
b1
b
ab
b+ab
(b+ab)/2n
Jumlahan
(1)+b
a+ab
Rata- rata
((1)+b)/2n
(a+b)/2n
Sekarang kita definisikan kontras –kontras sebagai berikut :
Akontras = (a+b) – ((1)+b) = ab+a-b(1)
Bkontras = (ab+b)– ((1)+a) = ab-a+b–(1)
ABkontras = (ab–b) – (a-(1)) = ab–a-b+(1)
Efek utama dari setiap faktor adalah
ab + a – b – (1)
Akontras
Wa = _____________ = _______
2n
2n
Wb = ab – a + b – (1)
Bkontras
_____________ = ______
2n
2n
Kontras WA merupakan selisih antara rata-rata respon pada taraf rendah dan tinggi
didasari faktor A. Dari kenyataan ini WA disebut sebagai efek utama dari faktor A dan
WB disebut dengan efek utama faktor B. lnteraksi diperoleh dengan menghitung
selisih antara ab-b dan a-(1) atau ab-a-b+(1). Jadi efek utama interaksi adalah
sebagai berikut:
ab -a -b + (1)
ABkontros
WAB = ___________ = ______
2n
2n
©2004 Digitized by USU digital library
1
Jika WAB = 0 maka suatu garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf
faktor A pada taraf kedua faktor B merupakan garis pararel yang hampir mendekati
garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf faktor A pada taraf pertama
faktor B. Garis yang tidak paralel pada gambar 1.1 merupakan gambaran interaksi
antara faktor A dan faktor B.
Gambar 1.1 Interaksi antara A dan B
Sekarang akan kita definisikan jumlah kuadrat – kuadrta faktor A sebagai berikut :
dalam hal ini T1.. = b + (1), T2.. =ab + a, c1=-1, dan c2=1.
Jadi
(Akontros)2
(ab+a+b-(1))2
JKA = ____________ = _______
2n2
22.n
Dengan cara yang sama akan didapat kontras B dan AB sebagai berikut:
JKB =
(AkontrasB)2
(ab - a +b -(1))2
_____________ = _______
2n2
22.n
(ABkontrasB)2
(ab -a -b + (1))2
JKAB = _____________ = ________
2n.2
22.n
Dalam mengitung kontras A, B, dan AB akan lebih mudah bila kita koefisien-koefisien
dari (1), a, b, dan ab disusun dalam tabel seperti berikut ini
©2004 Digitized by USU digital library
2
Tabel 1.2 Tanda Koefisien Efek untuk Percobaan Faktorial 22.
kombinasi
Perlakuan
(1)
a
b
ab
Efek Faktor
A
B
+
+
+
+
+
+
Total
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
Bila percobaan yang kita lakukan adalah percobaan faktorial 23, maka tabel koefisien
dapat disusun sebagai berikut:
Tabel 1.3. Tanda Koefisien Efek Untuk Percobaan Faktorial 23
Kombinasi
Perlakuan
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Total
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
Efek Faktor
AB
C
+
+
+
+
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
Perhatikan kolom AB, AC, dan ABC tanda koefisien merupakan hasil perkalian
kolom-kolom A, B, atau C. Jika kita perhatikan tanda koefisien-koefisien di atas
maka nampaklah bahwa:
1. Untuk efek A, B, dan C, koefisien-koefisien kontras yang masing-masing tidak
mengandung a, b atau c akan bertanda negatif, sedangkan yang mengandung
a, b, atau c bertanda positip.
2. Koefisien kontras AB didapat dengan jalan mengalikan kontras efek A dengan
koefisien kontras efek B. Demikian juga untuk koefisien kontras BC, AC, dan
ABC.
Untuk menghitung kontras dapat dilakukan sebagai berikut, sebagai contoh kontras
ABC (perhatikan tabel 1.3)
ABCkontras = -(1) + a + b -ab + c -ac -bc +abc
dan
JKABC
(ABC kontras)2
= ____________
23.n
Untuk percobaan faktorial 2k dengan n ulangan untuk tiap kombinasi perlakuan,
maka jumlah kuadrat-kuadrat perlakuan dapat dinyatakan sebagai:
JKPerlakuan
(Perlakuankontras)2
= ______________
2k.n
©2004 Digitized by USU digital library
3
Metode Yates
Sangatlah sulit untuk menuliskan tanda-tanda koefisien untuk eksperimen
yang besar. Satu cara sistematis yang digunakan untuk menyusun tabel tersebut
guna mendapatkan efek faktorial telah dikembangkan oleh Yates. Perlakuan
kombinasi dan observasi harus dituliskan dalam bentuk standard. Untuk satu faktor
bentuk standardnya adalah (1) dan a. Untuk dua faktor kita tambahkan b dan ab,
yang diperoleh dengan, mengalikan dua kombinasi perlakuan yang pertama dengan
huruf b. Untuk tiga faktor kita tambahkan c, ac, bc, dan abc, yang diperoleh dengan
mengalikan keempat kombinasi perlakuan yang pertama dengan penambahan huruf
c dan seterusnya. Dalam hal tiga faktor bentuk (urutan) standardnya adalah:
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc. Untuk lebih ringkasnya metode Yates dapat dikerjakan
dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tempatkan kombinasi perlakuan dan jumlahan ulangan dalam satu kolom
dengan urutan standard.
2. Kolom (1.) pada bagian I didapat dengan cara menjumlahkan pasangan
respon yang berdekatan (adjacent pairs), sebagai contoh perlakuan (1) = (1)
+ a, a = b+ ab, b =c+ac, dan ab = bc + abc. Sedangkan yang bagian n
didapat dengan cara mengalikan entri pertama dengan negatif fan
menambahkannya dengan pasangan bertetangga, sebagai contoh, perlakuan
c = -( 1) + a atau c = a-( 1), ac=ab-b, bc = ac -c dan abc=abc-bc.
3. Dengan cara yang sarna kita mengisi kolom kedua dan ketiga.
Tabel 1.4. Metode Yates untuk Percobaan faktorial 23
Komb.
Perl.
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)+a
b+ab
c+ac
bc+abc
a-(1)
ab-b
ac-c
abc-c
(1)+a+b+ab
C+ac+bc+abc
a-(1)+ab-b
ac-c+abc-bc
b+ab-(1)-a
bc+abc-c-ac
ab-b-a+(1)
abc-bc-ac+c
(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc
a-(1)+ab-b+ac-c+abc+bc
b+ab-(1)-a+bc+abc-c-ac
ab-b-a+(1)+abc-bc-ac+c
c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab
ac-c+abc-bc-a+(1)-ab+b
bc+abc-c-ac-b-ab+(1)+a
Abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)
Total
A kontras
B kontras
AB kontras
C kontras
AC kontras
BC kontras
ABC kontras
Contoh.Misalkan eksperimen mengenai hasil semacam zat kimia ditentukan oleh
faktor-faktor temperatur (50 °c dan 60 °C), konsentrasi (40 % dan 50 %),
dan tekanan dengan taraf rendah dan tinggi. Dengan demikian kita peroleh
eksperimen 23. Misalkan eksperimen dilakukan dengan menggunakan
ulangan sebanyak tiga kali, dan hasilnya diberikan pada tabel berikut:
©2004 Digitized by USU digital library
4
Tabel 1.6. Hasil Pengukuran Percobaan Semacam Zat Kimia Karena Temperatur,
Konsentrasi, dan Tekanan Berbeda (n=3).
Temp
0
C
50
Jlh
60
Jlh
40%
Tekanan
Rendah
Tinggi
43,7
45,2
44,1
44,9
43,9
45,9
131,7
135,7
48,2
47,9
47,9
48,0
47,2
45,7
143,3
141,6
50%
Tekanan
Rendah
Tinggi
42,7
45,7
44,1
46,0
45,0
45,9
131,8
137,6
48,9
49,8
48,7
50,1
49,3
52,3
146,9
152,2
Dengan menggunakan metode Yates kita akan menganalisis data di atas seperti
terlihat pada tabel 1.7
Tabel 1.7. Metode Yates Untuk Menghitung Kontras (Data pada Tabel 1..6)
Perlakuan
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Respons
131,7
143,3
131,8
146,9
135,7
141,6
137,6
152,2
Kol (1)
275,0
278,7
277,3
289,3
11,6
15,1
5,9
14,6
Kol (2)
553,7
567,1
26,7
20,5
3,7
12,5
3,5
8,7
Kol (3)
1.120,8
47,2
16,2
12,2
13,4
-6,2
8,8
5,2
JK
52.341,36
92,83
10,94
6,20
7,48
1,60
3,23
1,13
Bilangan-bilangan pada kolom terakhir diperoleh dengan jalan mengkuadratkan
bilangan-bilangan kolom (3), kemudian dibagi dengan 23.n=24
Kesimpulan
Dari prosedur yang sudah kita kerjakan di atas terlihat bahwa metode Yates
ini memberikan suatu kemudahan dalam menghitung kontras yang sekaligus akan
diperoleh jumlah kuadrat-kuadrat dari respons yang bersangkutan. Proses yang
dilakukan terlihat bahwa kita tidak terlalu banyak terlibat dengan notasi-notasi
rumus dalam mencari jumlah kuadrat-kuadrat, yang berakibat kita dapat
menghemat waktu dalam mencari kontras dan jumlah kuadrat-kuadrat.
Kepustakaan
Cochran, W.G., Cox, G.M (1957)Experimental Design. 2nd Edition. John Wiley & Sons,
New York.
Montgomery, Doughlas C. (1991). Design and Analysis of Experiment. Third Edition.
John Wiley & Sons, New York.
Raghvarao, D. (1971) Constructions and Combinatorial Problems in Design of
Experiment. Dover Publications, Inc., New York
©2004 Digitized by USU digital library
5
SUTARMAN
Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Abstrak
Artikel berikut ini menyajikan salah satu metode, dikenal dengan sebutan metode
Yates, yang dapat digunakan dalam menghitung kontras. Metode ini cukup
sederhana sehingga mudah menggunakannya. Metode ini terutama sangat baik
dalam menghitung kontras dari suatu percobaan faktorial yang berukuran2n .
Pendahuluan
Marilah kita perhatikan percobaan faktorial 22 yang mempunyai n ulangan percobaan
untuk setiap kombinasi perlakuan. Kita simbolkan (1.), a, b, dan ab sebagai
jumlahan dari ulangan-ulangan itu untuk setiap ulangan kombinasi perlakuan. Tabel
berikut adalah tabel dua arah dari jumlahan ulangan-ulangan untuk setiap kombinasi
perlakuan.
tabel 1.1 Jumlahan ulangan tiap kombinasi perlakuan.
B
a0
A
a1
Jumlah
Rata - rata
b0
(1)
a
(1)+a
((1)+a)/2n
b1
b
ab
b+ab
(b+ab)/2n
Jumlahan
(1)+b
a+ab
Rata- rata
((1)+b)/2n
(a+b)/2n
Sekarang kita definisikan kontras –kontras sebagai berikut :
Akontras = (a+b) – ((1)+b) = ab+a-b(1)
Bkontras = (ab+b)– ((1)+a) = ab-a+b–(1)
ABkontras = (ab–b) – (a-(1)) = ab–a-b+(1)
Efek utama dari setiap faktor adalah
ab + a – b – (1)
Akontras
Wa = _____________ = _______
2n
2n
Wb = ab – a + b – (1)
Bkontras
_____________ = ______
2n
2n
Kontras WA merupakan selisih antara rata-rata respon pada taraf rendah dan tinggi
didasari faktor A. Dari kenyataan ini WA disebut sebagai efek utama dari faktor A dan
WB disebut dengan efek utama faktor B. lnteraksi diperoleh dengan menghitung
selisih antara ab-b dan a-(1) atau ab-a-b+(1). Jadi efek utama interaksi adalah
sebagai berikut:
ab -a -b + (1)
ABkontros
WAB = ___________ = ______
2n
2n
©2004 Digitized by USU digital library
1
Jika WAB = 0 maka suatu garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf
faktor A pada taraf kedua faktor B merupakan garis pararel yang hampir mendekati
garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf faktor A pada taraf pertama
faktor B. Garis yang tidak paralel pada gambar 1.1 merupakan gambaran interaksi
antara faktor A dan faktor B.
Gambar 1.1 Interaksi antara A dan B
Sekarang akan kita definisikan jumlah kuadrat – kuadrta faktor A sebagai berikut :
dalam hal ini T1.. = b + (1), T2.. =ab + a, c1=-1, dan c2=1.
Jadi
(Akontros)2
(ab+a+b-(1))2
JKA = ____________ = _______
2n2
22.n
Dengan cara yang sama akan didapat kontras B dan AB sebagai berikut:
JKB =
(AkontrasB)2
(ab - a +b -(1))2
_____________ = _______
2n2
22.n
(ABkontrasB)2
(ab -a -b + (1))2
JKAB = _____________ = ________
2n.2
22.n
Dalam mengitung kontras A, B, dan AB akan lebih mudah bila kita koefisien-koefisien
dari (1), a, b, dan ab disusun dalam tabel seperti berikut ini
©2004 Digitized by USU digital library
2
Tabel 1.2 Tanda Koefisien Efek untuk Percobaan Faktorial 22.
kombinasi
Perlakuan
(1)
a
b
ab
Efek Faktor
A
B
+
+
+
+
+
+
Total
+
+
+
+
AB
+
+
+
+
Bila percobaan yang kita lakukan adalah percobaan faktorial 23, maka tabel koefisien
dapat disusun sebagai berikut:
Tabel 1.3. Tanda Koefisien Efek Untuk Percobaan Faktorial 23
Kombinasi
Perlakuan
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Total
+
+
+
+
+
+
+
+
A
+
+
+
+
B
+
+
+
+
Efek Faktor
AB
C
+
+
+
+
+
+
+
+
AC
+
+
+
+
BC
+
+
+
+
ABC
+
+
+
+
Perhatikan kolom AB, AC, dan ABC tanda koefisien merupakan hasil perkalian
kolom-kolom A, B, atau C. Jika kita perhatikan tanda koefisien-koefisien di atas
maka nampaklah bahwa:
1. Untuk efek A, B, dan C, koefisien-koefisien kontras yang masing-masing tidak
mengandung a, b atau c akan bertanda negatif, sedangkan yang mengandung
a, b, atau c bertanda positip.
2. Koefisien kontras AB didapat dengan jalan mengalikan kontras efek A dengan
koefisien kontras efek B. Demikian juga untuk koefisien kontras BC, AC, dan
ABC.
Untuk menghitung kontras dapat dilakukan sebagai berikut, sebagai contoh kontras
ABC (perhatikan tabel 1.3)
ABCkontras = -(1) + a + b -ab + c -ac -bc +abc
dan
JKABC
(ABC kontras)2
= ____________
23.n
Untuk percobaan faktorial 2k dengan n ulangan untuk tiap kombinasi perlakuan,
maka jumlah kuadrat-kuadrat perlakuan dapat dinyatakan sebagai:
JKPerlakuan
(Perlakuankontras)2
= ______________
2k.n
©2004 Digitized by USU digital library
3
Metode Yates
Sangatlah sulit untuk menuliskan tanda-tanda koefisien untuk eksperimen
yang besar. Satu cara sistematis yang digunakan untuk menyusun tabel tersebut
guna mendapatkan efek faktorial telah dikembangkan oleh Yates. Perlakuan
kombinasi dan observasi harus dituliskan dalam bentuk standard. Untuk satu faktor
bentuk standardnya adalah (1) dan a. Untuk dua faktor kita tambahkan b dan ab,
yang diperoleh dengan, mengalikan dua kombinasi perlakuan yang pertama dengan
huruf b. Untuk tiga faktor kita tambahkan c, ac, bc, dan abc, yang diperoleh dengan
mengalikan keempat kombinasi perlakuan yang pertama dengan penambahan huruf
c dan seterusnya. Dalam hal tiga faktor bentuk (urutan) standardnya adalah:
(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc. Untuk lebih ringkasnya metode Yates dapat dikerjakan
dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Tempatkan kombinasi perlakuan dan jumlahan ulangan dalam satu kolom
dengan urutan standard.
2. Kolom (1.) pada bagian I didapat dengan cara menjumlahkan pasangan
respon yang berdekatan (adjacent pairs), sebagai contoh perlakuan (1) = (1)
+ a, a = b+ ab, b =c+ac, dan ab = bc + abc. Sedangkan yang bagian n
didapat dengan cara mengalikan entri pertama dengan negatif fan
menambahkannya dengan pasangan bertetangga, sebagai contoh, perlakuan
c = -( 1) + a atau c = a-( 1), ac=ab-b, bc = ac -c dan abc=abc-bc.
3. Dengan cara yang sarna kita mengisi kolom kedua dan ketiga.
Tabel 1.4. Metode Yates untuk Percobaan faktorial 23
Komb.
Perl.
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)+a
b+ab
c+ac
bc+abc
a-(1)
ab-b
ac-c
abc-c
(1)+a+b+ab
C+ac+bc+abc
a-(1)+ab-b
ac-c+abc-bc
b+ab-(1)-a
bc+abc-c-ac
ab-b-a+(1)
abc-bc-ac+c
(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc
a-(1)+ab-b+ac-c+abc+bc
b+ab-(1)-a+bc+abc-c-ac
ab-b-a+(1)+abc-bc-ac+c
c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab
ac-c+abc-bc-a+(1)-ab+b
bc+abc-c-ac-b-ab+(1)+a
Abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)
Total
A kontras
B kontras
AB kontras
C kontras
AC kontras
BC kontras
ABC kontras
Contoh.Misalkan eksperimen mengenai hasil semacam zat kimia ditentukan oleh
faktor-faktor temperatur (50 °c dan 60 °C), konsentrasi (40 % dan 50 %),
dan tekanan dengan taraf rendah dan tinggi. Dengan demikian kita peroleh
eksperimen 23. Misalkan eksperimen dilakukan dengan menggunakan
ulangan sebanyak tiga kali, dan hasilnya diberikan pada tabel berikut:
©2004 Digitized by USU digital library
4
Tabel 1.6. Hasil Pengukuran Percobaan Semacam Zat Kimia Karena Temperatur,
Konsentrasi, dan Tekanan Berbeda (n=3).
Temp
0
C
50
Jlh
60
Jlh
40%
Tekanan
Rendah
Tinggi
43,7
45,2
44,1
44,9
43,9
45,9
131,7
135,7
48,2
47,9
47,9
48,0
47,2
45,7
143,3
141,6
50%
Tekanan
Rendah
Tinggi
42,7
45,7
44,1
46,0
45,0
45,9
131,8
137,6
48,9
49,8
48,7
50,1
49,3
52,3
146,9
152,2
Dengan menggunakan metode Yates kita akan menganalisis data di atas seperti
terlihat pada tabel 1.7
Tabel 1.7. Metode Yates Untuk Menghitung Kontras (Data pada Tabel 1..6)
Perlakuan
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
Respons
131,7
143,3
131,8
146,9
135,7
141,6
137,6
152,2
Kol (1)
275,0
278,7
277,3
289,3
11,6
15,1
5,9
14,6
Kol (2)
553,7
567,1
26,7
20,5
3,7
12,5
3,5
8,7
Kol (3)
1.120,8
47,2
16,2
12,2
13,4
-6,2
8,8
5,2
JK
52.341,36
92,83
10,94
6,20
7,48
1,60
3,23
1,13
Bilangan-bilangan pada kolom terakhir diperoleh dengan jalan mengkuadratkan
bilangan-bilangan kolom (3), kemudian dibagi dengan 23.n=24
Kesimpulan
Dari prosedur yang sudah kita kerjakan di atas terlihat bahwa metode Yates
ini memberikan suatu kemudahan dalam menghitung kontras yang sekaligus akan
diperoleh jumlah kuadrat-kuadrat dari respons yang bersangkutan. Proses yang
dilakukan terlihat bahwa kita tidak terlalu banyak terlibat dengan notasi-notasi
rumus dalam mencari jumlah kuadrat-kuadrat, yang berakibat kita dapat
menghemat waktu dalam mencari kontras dan jumlah kuadrat-kuadrat.
Kepustakaan
Cochran, W.G., Cox, G.M (1957)Experimental Design. 2nd Edition. John Wiley & Sons,
New York.
Montgomery, Doughlas C. (1991). Design and Analysis of Experiment. Third Edition.
John Wiley & Sons, New York.
Raghvarao, D. (1971) Constructions and Combinatorial Problems in Design of
Experiment. Dover Publications, Inc., New York
©2004 Digitized by USU digital library
5