BAB II. OPTIMISASI EKONOMI 1. Maksimisasi Nilai Perusahaan 2. Metode Penyajian Hubungan-hubungan Ekonomi 3. Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata dan Marginal 4. Kalkulus Diferensial 5. Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi
BAB II. OPTIMISASI EKONOMI
1.
Maksimisasi Nilai Perusahaan
2.
Metode Penyajian Hubungan-hubungan
Ekonomi
3.
Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata
dan Marginal
4.
Kalkulus Diferensial
5.
Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi
6.
Penggunaan Turunan untuk Maksimisasi
dan Minimisasi
7.
Optimisasi Fungsi dengan Variabel
Majemuk
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar 08/11/20141
(2)
A. Maksimisasi Nilai Perusahaan
08/11/2014
2
Dalam ekonomi manajerial, tujuan pokok manajemen adalah
memaksimumkan nilai perusahaan.
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
TR
t
= Total Revenue (penerimaan total) pada periode t
TC
t
= Total Cost (biaya total) pada periode t
TR = P x Q
Faktor-faktor berpengaruh terhadap penerimaan (P x Q)
adalah Demand dan Supply:
Desain produk
Strategi periklanan
Kebijakan harga jual produk
Kondisi ekonomi secara umum; dan
(3)
08/11/2014
3
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh MakassarProses pengambilan keputusan yg
rumit, baik dalam masalah optimisasi
terpadu maupun optimisasi parsial
terjadi dalam dua tahap, yakni :
1. Penyajian hubungan ekonomi dalam
bentuk
atau
model
yang
bisa
dianalisis (penyajian masalah melalui
hubungan analitis).
2. Penerapan berbagai teknik untuk
menentukan
penyelesaian
yang
optimal.
(4)
B. Metode Penyajian Hubungan Ekonomi
/2
0
1
4
Hubungan-hubungan ekonomi disajikan dalam bentuk :
Persamaan (hubungan yg kompleks)
Tabel (hubungan yg sederhana)
Grafik (hubungan yg sederhana).
1. Model Persamaan
Hubungan antara jumlah produk yg terjual (Q) dan
penerimaan total (TR) dapat diekspresikan sbb:
TR = f (Q)
TR = P x Q
Misalkan
harga
produk
adalah
konstan
pada
Rp 1.000,00 per unit, maka hubungan antara jumlah
produk yang terjual dengan total penerimaan dapat
dinyatakan dalam suatu fungsi sbb:
(5)
2. Model Tabel dan Grafik
0
8
/1
1
/2
0
1
4
5
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar(6)
(7)
C. Hubungan antara Nilai Total, Rata-rata dan
Marginal
0 8 /1 1 /2 0 1 47
Hubungan antara nilai total, rata-rata dan marginal
sangat berguna dalam analisis optimisasi.
Hubungan marginal didefinisikan sebagai perubahan
variabel dependen dari suatu fungsi yg disebabkan
oleh perubahan salah satu variabel independen
sebesar satu unit.
Pada fungsi TR, penerimaan marginal (MR) adalah
perubahan penerimaan total yg disebabkan oleh
perubahan satu unit barang yg dijual.
Optimisasi
mencakup
analisis
diferensial
atau
perubahan-perubahan.
Tujuan analisis optimisasi adalah untuk menentukan
nilai dari variabel-variabel independen yg bisa
mengoptimalkan fungsi tujuan dari para pembuat
keputusan.
(8)
(9)
08/11/2014
9
(10)
D. Kalkulus Diferensial
Teknik
analisis
kalkulus
diferensial
bisa
digunakan untuk menemukan nilai maksimum
dan minimum dari suatu fungsi tujuan secara
efisien melalui analisis marginal.
Pendekatan kalkulus sangat bermanfaat bagi
masalah optimisasi terkendala yang merupakan
ciri dari proses pembuatan keputusan manajerial.
Diferensiasi : adalah proses penentuan turunan
dari suatu fungsi, yaitu mencari variabel y
berkenaan dengan suatu variabel x apabila
perubahan x (
Δ
x) mendekati nol.
(11)
Turunan adalah mengukur tingkat perubahan seketika
dari suatu fungsi, yaitu bagaimana variabel tidak bebas
berubah sehubungan dengan suatu perubahan unit
yang sangat kecil dalam variabel bebas. Terminologi
untuk turunan adalah :
= turunan y berkenaan dengan x, nilainya sama
dengan limit dari rasio
Δ
x/
Δ
y saat
Δ
x mendekati
nol.
Selain , notasi turunan umumnya dinyatakan
dengan y
’ dan f’(
x).
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
11
x
y
it
dx
dy
x
0
lim
dx
dy
dx
dy
(12)
E. Kaidah-kaidah Penurunan Suatu Fungsi
Fungsi adlh suatu bentuk hubungan matematis yang
menyatakan hubungan ketergantungan antara suatu
variabel dengan satu atau beberapa variabel yang lain.
Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur, yaitu
variabel, koefisien dan konstanta. Namun, sebuah fungsi
tidak harus mengandung sebuah konstanta, jadi mungkin
sekali mengandung konstanta dan mungkin juga tidak.
Tetapi keadaan ini sama sekali tidaklah mengurangi arti dari
sebuah fungsi.
Variabel pembentuk sebuah fungsi dapat dibedakan
menjadi variabel bebas dan variabel tidak bebas.
•
Variabel bebas (independent variable) : adlh variabel yg
nilainya tidak tergantung (tdk ditentukan) oleh variabel lain.
•
Variabel tidak bebas (dependent variable) : adalah variabel
yang nilainya tergantung (dipengaruhi) oleh variabel lain.
(13)
08/11/2014
13
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh MakassarNotasi sebuah fungsi secara umum dinyatakan sebagai :
Y =
(x)
Contoh :
Fungsi linear dan univariat
: Y = 5 + 0,7x
atau dapat pula dinyatakan
:
(x) = 5 + 0,7x
Fungsi non linear dan univariat
: Y = 8
–
4x + x
2
, atau
(x) = 8
–
4x + x
2
(14)
(15)
08/11/2014
15
(16)
(17)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(18)
(19)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(20)
F. Penggunaan Turunan untuk Maksimisasi dan
Minimisasi
Untuk mencari nilai maksimum atau minimum relatif maka
suatu fungsi harus berada pada suatu kondisi mendatar
(tidak menaik juga tidak menurun pada suatu titik).
Jika suatu fungsi tidak menaik juga tidak menurun, maka
turunan dari fungsi pada titik tersebut sama dengan nol.
Syarat pertama dan penting (
necessary condition
) agar
suatu fungsi mencapai maksimum atau minimum relatif
adalah turunan pertama dari fungsi tersebut harus sama
dengan nol.
Syarat kedua atau syarat kecukupan (
sufficient condition
)
adalah turunan kedua harus negatif untuk maksimum relatif
dan turunan kedua harus positif untuk minimum relatif.
(21)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
21
Proses optimisasi seringkali mengharuskan seseorang
untuk mendapatkan nilai maksimum atau minimum dari
suatu fungsi.
Jika suatu fungsi berada pada keadaan maksimum atau
minimum, maka slope atau nilai marginalnya pasti nol.
Turunan suatu fungsi ditunjukkan oleh slope atau nilai
marginalnya pada suatu titik tertentu.
Oleh karena itu, maksimisasi atau minimisasi dari suatu
fungsi terjadi jika turunannya sama dengan nol.
(22)
22
Jika laba total ditetapkan dengan persamaan :
= a
–
bQ + cQ
2
- dQ
3
maka turunan pertama (
first order condition
)
dari fungsi laba
marginal sbg:
2
3
2
cQ
dQ
b
M
dQ
d
Konsep turunan kedua (
second-order condition
) digunakan
untuk membedakan nilai maksimum dengan nilai minimum
dari suatu fungsi. Turunan ini merupakan turunan dari
turunan pertama.
dQ
c
dQ
dM
dQ
d
6
2
2
2
(23)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(24)
(25)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(26)
(27)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
27
Penggunaan Turunan untuk Memaksimumkan Selisih
antara Dua Fungsi
•
Salah satu kaidah dalam ekonomi mikro yaitu
MR = MC
agar laba maksimum dpt tercapai, sebenarnya timbul
berdasarkan pada azas optimisasi kalkulus.
•
Azas tsb timbul dari adanya kenyataan bahwa jarak antara
dua fungsi akan maksimum pada titik dimana slope kedua
fungsi tsb adalah sama.
•
Laba total = TR - TC, & oleh karena itu sama dengan jarak
vertikal antara kedua kurva tsb akan maksimum pada
tingkat output Q
B
dimana slope dari kurva TR & TC tsb
adalah sama.
•
Karena slope kurva TR & TC masing-masing menunjukkan
MR & MC, maka MR = MC
(28)
(29)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(30)
G. Optimisasi Fungsi dengan Variabel Majemuk
Konsep diferensiasi terhadap 3 variabel atau lebih; fungsi
permintaan akan suatu produk dimana kuantitas yang diminta
(Q) ditentukan oleh harga (P) yang telah ditetapkan, tingkat
pengeluaran iklan (A), maka fungsi tsb adalah :
Q = f(P,A)
Dengan menggunakan fungsi permintaan di atas, maka dapat
diperoleh dua turunan parsial, yaitu :
•
Turunan parsial Q pada harga (P) =
•
Turunan parsial Q pada pengeluaran iklan (A) =
P
Q
/
A
Q
/
Kaidah untuk menentukan turunan parsial adalah sama
dengan kaidah dalam turunan yang sederhana. Karena
konsep turunan parsial menggunakan suatu asumsi bahwa
semua variabel, kecuali satu variabel dimana turunan tsb
diturunkan, tidak berubah.
(31)
CONTOH:
0 8 /1 1 /2 0 1 4Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
31
2
1
.
0
25
.
0
39
50
200
.
3
P
A
PA
A
Q
2
1
.
0
)
25
.
0
(
39
50
200
.
3
P
A
A
P
A
Q
0
25
,
0
0
50
0
A
P
Q
= - 50 + 0,25A
A
P
A
Q
2
,
0
25
,
0
39
0
0
= 39 + 0,25P
–
0,2A
0
0
A
Q
dan
P
Q
0
25
,
0
50
A
P
Q
0
2
,
0
25
,
0
39
A
P
A
Q
25
,
0
50
0,25A = 50
A =
= 200
substitusikan
ke persamaan
39 + 0,25P
–
0,2(200) = 0
39 + 0,25P
–
40 = 0
0,25P = 1
P =
25
,
0
1
(32)
(33)
Optimisasi Terkendala
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
33
Optimisasi terkendala dibagi menjadi 2 kelompok, yaitu:
Masalah maksimisasi: laba, penerimaan atau output.
Tunduk kepada: kendala sumberdaya
Masalah minimisasi: biaya
Tunduk kepada: kendala kuantitas atau kualitas output
Masalah optimisasi terkendala dapat dipecahkan dengan
berbagai cara, dalam beberapa kasus, jika persamaan
kendala tidak terlampau rumit
→
persamaan kendala
dipecahkan untuk salah satu variabel-variabel pengambilan
keputusan dulu, kemudian mensubsititusikan variabel tsb ke
dalam fungsi tujuan; apakah perusahaan tsb bertujuan
memaksimumkan atau meminimumkan.
(34)
34
Ex :
Perusahaan memproduksi produknya dengan menggunakan
dua pabriknya & bekerja dengan fungsi biaya total (TC) sbb :
TC = 3X
2
+ 6Y
2
- XY
Dimana X merupakan output dari pabrik yg I & Y merupakan
output dari pabrik II. Manajemen akan menentukan kombinasi
biaya terendah (
least - cost combination
) antara X & Y,
dengan tunduk kepada kendala bahwa produk total harus
20
unit
. Masalah optimisasi terkendala tsb adalah :
Minimumkan :
TC = 3X
2
+ 6Y
2
- XY
Dengan kendala
X + Y = 20
Dengan menyelesaikan kendala X dan mensubstitusikan nilai
tsb ke dalam fungsi tujuan, maka :
(35)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(36)
Oleh karena itu, produksi output 13 unit pada pabrik X & 7 unit
pada pabrik Y adalah kombinasi biaya terendah dalam
menghasilkan 20 unit produk dari perusahaan tsb. Biaya total
(TC) tsb adalah ;
(37)
Angka Pengganda Lagrange
08/11/2014
Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
37
Teknik Lagrange untuk memecahkan masalah-masalah
optimisasi terkendala merupakan suatu cara yang
digunakan untuk mengoptimisasikan sebuah fungsi dengan
cara menggabungkan fungsi tujuan mula-mula dengan
persyaratan kendala.
Persamaan gabungan ini disebut fungsi lagrange. Fungsi ini
dibuat untuk memastikan :
•
Bahwa jika fungsi mencapai nilai maksimum (atau
minimum), fungsi tujuan mula-mula juga akan maksimum
(atau minimum).
•
Bahwa semua persyaratan kendala terpenuhi
Ex :
perusahaan berusaha meminimumkan fungsi
TC = 3X
2
+ 6Y
2
- XY
, dengan tunduk kepada kendala
(38)
(39)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(40)
(41)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(42)
42
Teknik Lagrange merupakan teknik yang lebih kuat
untuk memecahkan masalah optimisasi terkendala
ketimbang metode substitusi.
Teknik ini lebih mudah untuk diterapkan pada
masalah dengan kendala majemuk.
Teknik ini memberikan tambahan informasi yang
sangat berarti bagi para pembuat keputusan, hal
ini disebabkan oleh angka pengganda Lagrange
(
λ
) memiliki suatu interpretasi ekonomis yang
sangat penting.
Secara lebih umum, setiap angka pengganda
Lagrange (
λ)
menunjukkan pengaruh marginal
terhadap penyelesaian fungsi tujuan mula-mula
oleh penurunan atau kenaikan persyaratan
(43)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(1)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(2)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(3)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(4)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
(5)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar
42
Teknik Lagrange merupakan teknik yang lebih kuat
untuk memecahkan masalah optimisasi terkendala
ketimbang metode substitusi.
Teknik ini lebih mudah untuk diterapkan pada
masalah dengan kendala majemuk.
Teknik ini memberikan tambahan informasi yang
sangat berarti bagi para pembuat keputusan, hal
ini disebabkan oleh angka pengganda Lagrange
(
λ
) memiliki suatu interpretasi ekonomis yang
sangat penting.
Secara lebih umum, setiap angka pengganda
Lagrange (
λ)
menunjukkan pengaruh marginal
terhadap penyelesaian fungsi tujuan mula-mula
oleh penurunan atau kenaikan persyaratan
kendala sebesar 1 unit.
(6)
08/11/2014 Dr. SRI MARDIYATI, S.P., M.P. PPS Unismuh Makassar