Nilai rata rata prestasi anak

http://everlastingdiamond.blogspot.com/2013/10/makalah-aplikasi-turunan.html
http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/files/2007/11/ma1123-bab3dan4.pdf
http://lindamath.wordpress.com/2009/03/12/penggunaan-turunan/
http://dwimentari40.blogspot.com/2012/05/makalah-matematika-aplikasiturunan.html?m=1
http://nengintanmsari.wordpress.com/2009/03/15/penggunaan-turunan/

APLIKASI TURUNAN MATEMATIKA DALAM NILAI PURATA (RATA-RATA)

Teorema A
Jika f kontinu pada [a,b dan mempunyai turunan pada (a,b), maka terdapat suatu c є (a,b)
sedemikian sehingga :
f ' ( c )=

f ( b )−f (a)
b−a

Catatan. [f (b) – f (a)]/(b – a) adalah nilai rata-rata f.
Teorema mengatakan bahwa jika grafik sebuah fungsi kontinu mempunyai garis singgung tak
vertikal pada setiap titik antara A dan B, maka terdapat paling sedikit satu titik C pada grafik
antara A dan B sehingga garis singgung di titik C sejajat talibusur AB. Dalam Gambar 1,
hanya terdapat satu titik C yang demikian, dan dalam Gambar 2 terdapat beberapa.

Contoh soal 1 :
Carilah bilangan c yang dijamin teorema nilai rata-rata untuk f(x) = x2+ 2x pada [2,2].

Penyelesaian :
- f’(x) = 2x + 2 dan
- nilai rata rata f yaitu
= f(2) – f(-2) / 2 – (-2)
= 8–0/4=2
Jadi :
f’(c) = 2c + 2 = 2
f’(c) = 2c = 2-2
f’(c) = 0
Jadi, nilai turunan rata – rata dari f(c) = 2c + 2 dari fungsi awal f(x)
= x2+ 2x pada [-2,2] adalah 0.

Contoh Soal 2 :
Pak Dono mengatakan bahwa ia telah menempuh 112
km dalam 2 jam tanpa pernah melampaui 56 km/jam. Tentu saja ia
berbohong. Tetapi bagaimana kita dapat membuktikannya?

Penyelesaian :


misalkan f(t) menyatakan jarak yang ditempuh dalam t jam.
Maka f kontinu dan turunannya, f ’(t), menyatakan kecepatan
pada saat t. Menurut Teorema Nilai Rata-rata, mestilah
terdapat t1 є (0,2)



Jadi, diketahui f(2) = 112
f ' ( c )=

f ( b )−f (a)
b−a



f ’(t1) = [f(2) – f(0)]/(2 – 0) = 56. Ini berarti bahwa Pak Dono

pernah melampaui 56 km/jam.

Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian
sehingga F(x) = G(x) + C
Untuk semua x dalam (a,b)
soal:
Cari bilangan c yang dijamin oleh teorema Nilai rata-rata untuk f(x) = x2 – 3 pada
[1,3]
penyelesaian :
f’(x) = 2x
dan {f(3) – f(1)}/ 3 – 1 = {6 – (-2)}/2 = 8/2 = 4
jadi kita harus menyelesaikan 2C = 4 maka C = 2
jawaban tunggal adalah C = 2