Penentuan Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, Dan Block Circulant
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN
BLOCK CIRCULANT
HARYONO HERMANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai
Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block
Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, April 2016
Haryono Hermana
NIM G54090060
ABSTRAK
HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks
Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR
ALIATININGTYAS dan RUHIYAT.
Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari vektor yang setiap
entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua) diperoleh dari satu baris
sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri
diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa
sifatnya.
Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant,
nilai eigen, vektor eigen.
ABSTRACT
HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of
Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by
NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT.
Circulant matrix is a matrix formed from
vectors whose entries on a
certain row (starting from the second row) are obtained from the previous row by
shifting one position to the right such that all its diagonal elements are the same.
In this work we determined the eigenvalues and eigenvector of circulant,
symmetric circulant, and block circulant matrices and discussed their properties.
Keywords:
circulant matrices, symmetric circulant matrices, block circulant
matrices, eigenvalues, eigenvectors.
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN
BLOCK CIRCULANT
HARYONO HERMANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik.
Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan
Februari 2015 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan
Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku
dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala
doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama
masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky,
Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik
kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga
terselesaikannya karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2016
Haryono Hermana
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
0
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Matriks Circulant
2
Matriks Circulant Simetrik
2
Matriks Block Circulant
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3
Konjugat Kompleks
3
PEMBAHASAN
Matriks Circulant
4
4
Matriks Circulant Simetrik
15
Matriks Block Circulant
19
SIMPULAN
32
DAFTAR PUSTAKA
33
LAMPIRAN
34
RIWAYAT HIDUP
35
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-19 ketika
terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada
abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai
matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan
sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 2008).
Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran × yang dibentuk
dari vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari
baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri
sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya
dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial.
Matriks circulant dari
, , … , − adalah
=
−
−
(
−
⋱
−
−
−
−
−
−
−
.
)
Menarik untuk dibahas bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen
dengan teori yang dijelaskan oleh Tee serta melihat sifat-sifat dari matriks
circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini
ialah tulisan Tee (2005) yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and
Alternating Circulant Matrices.
Tujuan Karya Ilmiah
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah
1. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant
simetrik, dan block circulant,
2. membuktikan sifat-sifat matriks circulant, circulant simetrik, dan block
circulant.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang
akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant
simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.
Matriks Circulant
Matriks =
hanya jika , =
= circ
,
,
berukuran × dikatakan matriks circulant jika dan
dengan − ≡ − (mod ) (Jones 2008).
,
,…,
−
≝
Contoh matriks circulant dengan
−
−
(
=
−
⋱
adalah sebagai berikut:
)=
=
−
−
−
−
−
−
−
. (1)
)
.
Matriks Circulant Simetrik
Suatu matriks Circulant
berukuran × dikatakan simetrik jika dan
hanya jika = − untuk = , , … , − . Dikatakan dalam Montaldi (2012)
bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks
circulant simetrik dengan = adalah sebagai berikut:
=
.
Matriks Block Circulant
Dalam Davis (1979), suatu matriks block circulant yang berukuran
×
=
∈ℝ ×
dinotasikan dengan
, , … , − dan
, = circ
,
untuk = , , … , − . Contoh matriks block circulant dengan = dan =
adalah sebagai berikut:
3
,
dengan
dan
=
=
=
=
=
.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah suatu matriks segi berukuran × . Skalar λ disebut
nilai eigen atau nilai karakteristik dari
jika terdapat suatu vektor taknol ,
sehingga
= λ . Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang
berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan
= λ dapat dituliskan dalam
bentuk
−λ
= �.
(2)
Persamaan (2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika − λ
singular atau secara ekuivalen
det − λ = .
(3)
Jika determinan pada persamaan (3) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial
berderajat dalam peubah λ
� λ = det − λ .
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (3) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik
adalah nilai eigen dari (Leon 2001).
Konjugat Kompleks
Misalkan � = + i adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat
kompleks (complex conjugate) dari � dinotasikan dengan simbol � dan
didefinisikan sebagai
�= − i
sehingga � diperoleh dengan cara mengubah bagian imajiner dari positif menjadi
negatif atau sebaliknya. Diketahui jika � adalah sembarang bilangan real maka
nilai � = � (Anton 2004).
4
PEMBAHASAN
Matriks Circulant
Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks circulant
pada persamaan (1) dan juga akan dibahas sifat-sifatnya.
Diberikan
Matriks circulant
=
(
−
)
memiliki
, λ =
= , , ,…, −
dengan = ei � / = ei
+
�
.
�≝
(4)
nilai eigen dan
+
vektor eigen yang berbentuk
+
+
+
= cos � + i sin � (Tee 2005).
Contoh 1:
Diberikan matriks circulant berukuran
=(
×
−
−
(5)
(6)
dengan
),
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
= cos + i sin = , dan
= cos + i sin = − .
Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks
sebagai berikut:
λ =
=
=
λ =
=
=
+
+
+
+
+
−
,
,
−
=( )=
=( )=
, dan
−
.
Jadi nilai eigen pada matriks circulant berukuran × dapat diperoleh dengan
penjumlahan
+
dan pengurangan
− . Kemudian nilai eigen yang
diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai dan .
5
Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
seperti di bawah ini.
| −λ |=
−λ
|
−
−λ
λ −
−λ
|=
=
λ+
secara analitik
−
= .
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ =
λ =
−
+
−
Jika λ =
(
−
(
−
,
λ−
+
�
) �
−
� =
disubstitusikan ke persamaan
�
) � =
− −
Misalkan � =
dengan
(
(
−
� +
+
−
�
) �
� =
=
Misalkan � =
+
disubstitusikan ke persamaan
�
) � =
− +
� =− �
� = −�
= �, diperoleh
∈ ℝ sembarang, maka � = , sehingga diperoleh
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ =
Jika λ =
−λ
=
− � =− �
� =�
=
.
−
− � +
+
dengan
adalah
−λ
=
=
.
= �, diperoleh
∈ ℝ sembarang, maka � = − , sehingga diperoleh
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ =
−
=
.
=
−
−
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori
nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga nilai eigen dan
vektor eigen yang dicari dengan teori tersebut berlaku untuk matriks circulant
berukuran × .
adalah
6
Contoh 2:
Diberikan matriks circulant berukuran
=(
×
dengan
),
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
π
,
= cos + i sin
= cos
= cos
π
π
+ i sin
= ,
π
π
+ i sin
=−
=−
+ i√ , dan
− i√ .
Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks
sebagai berikut:
λ =
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
(− + i√ ) +
λ =
=
+
−
=
−
=
+
=
−
λ =
=
+
−
,
+
+ √
+ √
+
i+
i−
(− − i√ ) +
− √
− √
=(
)=
=(
)=
i+
i−
(− + i√ )
( − i√ − )
− √
i,
(− − i√ )
( + i√ − )
+ √
i,
,
(
− + i√
− − i√
, dan
)
=(
)=
(
− − i√
− + i√
.
)
7
Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran × dapat diperoleh
dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu
+ + . Kemudian nilai eigen
yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai , , dan
.
Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
seperti di bawah ini.
| −λ |=
|
−λ
+
−λ
λ −
−λ
λ +
+
−λ
−
λ−
|=
−
−λ
−
+
=
−
λ= .
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh
λ =
λ =
=
+
(
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
λ = (
=
=
−
−
−
−
−
,
−
−
−
=
=
+
−
− √
−
−
−
−
−
− √
+ √
√−
√ −
+
− √
√ −
− √
i+ √
− √
−
−
−√
i−
+√
+ √
−
+ √
√−
√ −
+
+ √
√ −
+ √
i− √
+ √
i−
i
−
− √
i
−
−
−
)
+
i
i, dan
−
−
i
i.
−
)
+
secara analitik
8
Jika � =
(
−
−
−
−
−
(
+
−
+
−
−
−
� +
� + −
� +
−
maka diperoleh
−
� +
−
� + −
disubstitusikan ke persamaan
−
−
−
−
−
� =
� +
� +
−
�
) (� ) = ( )
�
−
−
= �, diperoleh
�
) (� ) = ( )
�
×
� =
� =
� +
−
−λ
×
(7)
� = .
Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil
−
−
−
+
� =�
+
� +
� =
+
+
+
�
+
� =
Misalkan � = maka � = , substitusikan � =
(7) maka diperoleh
+
+
− −
−
−
� =
� =
+ � =
+ � =
sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan � =
=( )=
( ).
− √
Jika λ = −
−λ
= �, diperoleh
(
(
−λ
�
=
−
+
+ √
+ √
i+
+
adalah
+ √
i disubstitusikan ke persamaan
i+
− √
i
�
) (� ) = ( )
�
�
dengan
� = −λ
+
ke persamaan
i−
�
) (� ) = ( )
�
−λ
−λ
�
=
dan � =
− √
i.
9
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah
=
,
=
,− +
−
√
− +
√−
√
, (− +
−
−
√
,− +
i
−
√
,− +
, − + i√
i
=
�
(
(
−λ
�
�
− √
i disubstitusikan ke persamaan
i+
+ √
i
�
) (� ) = ( )
�
�
dengan
� = −λ
=
i
)
�
i−
�
) (� ) = ( )
�
−λ
−λ
�
=
−
−
−
−
�
= ( , − − i√ , − + i√ ) .
Jika λ = −
+ √
−λ
= �, diperoleh
√ √−
−
+
− √
− √
i+
+ √
i.
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah
=
=
=
, (− +
,− +
√ √−
√
−
−
−
−
i
),
,− +
√
, − + i√ , − +
i
�
− +
√
−
√
√−
−
i
−
�
�
−
�
= ( , − + i√ , − − i√ ) .
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori
nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga teori tersebut
berlaku untuk matriks circulant berukuran × .
10
Dalam Davis (1979) dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real
memiliki nilai eigen
λ =λ
−
,
= , ,…, −
.
(8)
Kemudian untuk nilai eigen λ dan λℎ dengan = ℎ genap selalu bernilai real.
Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta
contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini.
Teorema 1: Diberikan matriks
hanya jika
dengan
=
adalah matriks circulant berukuran
=
Bukti:
Diketahui
maka
=
=
dan
=
(
(
(
berukuran
−
⋱
⋱
−
−
−
−
−
)(
×
matriks circulant jika dan
(9)
dalam bentuk sebagai berikut
.
⋱
(
adalah circulant berukuran
…
…
=
⋱
…
…
(
…
…
⋱
…
…
× .
×
)
dengan
−
−
−
)
−
−
−
⋱
)(
)
,
…
…
⋱
…
…
−
−
)
−
)
11
−
=
(
sehingga
Misalkan
=
=
=
=
=
−
(
−
Jika
−
=
=
=
=
=
…
…
⋱
…
…
)(
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
)
=
⋱
−
−
)
)
−
−
−
−
−
−
)
.
−
=
,
)(
…
…
⋱
…
…
−
−
)
−
=
≥ , sebagai berikut:
−
, maka diperoleh
=
= =
=
= =
=
dengan ∈ ℕ,
…
−
…
−
⋱
…
−
−
…
−
−
…
…
⋱
…
…
⋱
(
−
…
…
⋱
…
…
−
(
)
adalah matriks berordo
−
(
dan
−
−
.
−
(
−
−
⋱
=
maka
−
,
,
=
−
−
.
, dan
(10)
12
Misalkan
,
={
dengan = , , … , .
Berdasarkan persamaan (10) diperoleh
=
−
−
jika = ,
, selainnya
−
−
Bukti:
Diketahui
berikut:
=
…
…
⋱
…
…
maka
=
(
Misalkan
−
−
+ +
+ +
+
+
+
)
juga circulant.
+
+
+
+
−
dan
)
…
…
⋱
…
…
+
−
adalah matriks-matriks circulant berukuran
dan
(
=
circulant, maka
dan
−
−
−
yang merupakan matriks circulant.
Teorema 2: Jika
−
−
⋱
(
−
−
−
=
(
…
…
⋱
…
…
−
)(
+ +
+ +
−
=
=
=
,
,
+
+
−
⋱
,
maka diperoleh hasil sebagai berikut:
=
yang merupakan matriks circulant.
⋱
−
)
…
…
⋱
…
…
−
−
−
×
sebagai
−
−
,
)
−
)
+ +
+ +
+
+
−
).
13
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan
pada Teorema 1 dan 2.
Diberikan matriks circulant berukuran × dengan
=
,
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
=
,
= cos + i sin
= cos
= cos
+ i sin
= cos
+ i sin
= ,
= i,
+ i sin
= − , dan
Nilai eigen dari matriks
sehingga diperoleh
λ = +
= +
= ,
+
+
λ = +
+
= + i + −
= − i,
λ = +
+
= + − +
= , dan
λ = +
+
= + −i +
= + i.
= −i.
yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah
λ = +
+
+
,
+
+
+
+
+
+
+
− +
−i
−
i
Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ = λ
seperti berikut ini:
λ =
λ
−
− i,
=λ =
− i,
sehingga λ = λ .
−
untuk
= , , dan
dengan
=
14
λ = ,
−
=λ = ,
λ =
+ i,
λ
sehingga λ = λ .
λ
−
=λ =
+ i,
sehingga λ = λ .
Vektor eigen dari matriks
=
=
(
)
(
yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah
=
)
=
,
= −
=
,
−
(
(
)
)
=
=
i
−
−i
−i
−
i
,
.
Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa
=λ
seperti berikut ini:
=
=
sehingga
=
λ
−
+
=
− +
− −
sehingga
=
=
,
=λ
i
i ,
i
i
=λ
=
,
.
i
−
−i
λ
=
− i
−
λ
=
−
.
−
−
+
=
− +
− −
−
i
−
−i
i
i ,
i
i
15
= −
sehingga
−
=
= −
,
=λ
+
−
=
− −
− +
i
i
i
i
−
.
,
,
−i
−
i
+ i −i
−
i
+ i
− i ,
=
− − i
− + i
λ
=
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa nilai eigen untuk λ =
dan λ = di
mana = = ℎ → ℎ = adalah bilangan real, sedangkan λ = λ̅ − = λ̅ =
− i.
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema 1,
berlaku
=
sebagai berikut:
=
=
,
=
=
,
maka diperoleh hasil
=
.
Untuk Teorema 2 jika diberikan
=
dan
adalah matriks-matriks circulant dengan
dan
=
,
maka diperoleh
=
sehingga
=
juga merupakan matriks circulant.
Matriks Circulant Simetrik
Matriks Circulant
dikatakan simetrik jika dan hanya jika
= −
untuk = , , … , − . Jika adalah matriks real simetrik maka nilai eigennya
juga real, sehingga sifat (8) menjadi
16
λ =λ
,
−
= , ,…, −
.
Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada
teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor
eigen beserta aplikasi sifatnya.
Teorema 3: Jika matriks adalah circulant simetrik sehingga
untuk setiap = , , … , − , berlaku
−
dan
λ
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (11).
Berdasarkan persamaan (6) yaitu
=e�
= cos
= cos
−
−
�
=e
−
− � + i sin − �
� − � + i sin � − �
− � + i sin
= cos
=
=
−
=λ.
maka
(11)
(12)
= cos � + i sin �, maka diperoleh
− �
= cos
− � + i sin
− �
= cos
. cos � + sin π . sin �
+i sin
. cos � − cos π . sin �
= cos � − i sin �
=
Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks .
Untuk = , , , … , − dari persamaan (5) diketahui nilai eigen
λ =
+
=
+
+
+
+
+
−
−
+
−
−
.
(13)
Berdasarkan persamaan (11) maka persamaan (13) dapat dituliskan menjadi
λ = +
+
+
+ + − (
+ −
+
ℎ−
[
[
+
ℎ−
]+
+(
[
ℎ−
+(
]+{
,
ℎ
]+
ℎ
,
jika
jika
= ℎ− ,
= ℎ.
Selanjutnya persamaan (12) diperoleh sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (14) menjadi
λ =
ℎ−
+ ∑
�=
�
cos �� + {
,
ℎ
−
jika
, jika
= ℎ− ,
= ℎ.
(14)
17
Dengan mengganti dengan
λ
−
ℎ−
=
+ ∑
�
cos
=
+ ∑
�
cos �� + {
�=
ℎ−
=λ.
�=
−
− , maka diperoleh
�� + {
,
ℎ
−
,
ℎ
−
ℎ−
jika
, jika
jika = ℎ − ,
, jika = ℎ.
= ℎ− ,
= ℎ.
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan
pada Teorema 3.
Diberikan matriks circulant simetrik berukuran × seperti di bawah ini:
=
,
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
=
,
= cos + i sin
= cos
= cos
= cos
+ i sin
+ i sin
+ i sin
=
=i
=−
= −i
̅̅̅ = cos − i sin
̅̅̅ = cos
̅̅̅ = cos
̅̅̅ = cos
− i sin
− i sin
− i sin
= ,
= −i,
= − , dan
= i.
Karena
= ℎ = → ℎ = , maka nilai eigen dari matriks
persamaan (14) adalah
,
λ = + [ + ]+
sehingga diperoleh
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [ − ]+
= + +
= ,
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [i − i] + −
= + −
= ,
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [− − ] +
= − +
= , dan
berdasarkan
18
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [−i + i] + −
= + −
= .
Vektor eigennya diperoleh
=
=
(
(
)
)
=
=
,
= −
=
,
−
(
(
)
)
=
=
i
−
−i
,
−i
−
i
.
Selanjutnya dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan
diperiksa bahwa
=λ
berikut ini:
=
λ
=
,
=λ
sehingga
=
=
sehingga
i
−
−i
=
= −
sehingga
−
,
i
−
−i
λ
=
i
−
−i
−
λ
=
i
−
−i
=
−
.
−
,
=λ
=
.
,
=λ
=
.
−
= −
−
,
,
19
−i
−
i
=
−i
−
i
=
,
λ
=
−i
−
i
= −i
−
i
,
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku
=λ
. Pada Teorema 3 berlaku untuk = , − =
= ̅̅̅ = −i,
−
=
= ̅̅̅ = − , − =
= ̅̅̅ = i dan nilai eigen λ = λ − = λ = .
Matriks Block Circulant
Diberikan
, , … , − matriks-matriks persegi berorder
≥ .
Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block
circulant , berukuran
×
yang dinotasikan sebagai berikut:
,
= circ
−
=
,
,…,
,
= , , ,…,
−
−
⋱
−
).
(15)
Didefinisikan ℭ , adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan
matriks , memiliki vektor eigen yang berbentuk
=
(
−
)
(16)
dengan
pada (16) adalah k-vektor bukan nol dan pada (6). Vektor
vektor eigen dari
=
, dengan nilai eigen λ, jika dan hanya jika
2005).
Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut:
dengan
=λ
adalah matriks persegi berorder
=
+
+
adalah
λ (Tee
dengan bentuk
+
+
−
−
.
(17)
Setiap vektor eigen dari yang bersesuaian dengan dapat memberikan vektor
eigen dari matriks block circulant pada persamaan (15) dengan nilai eigen λ
sehingga nilai eigen dari matriks adalah nilai eigen pada matriks block circulant
.
20
Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta
contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini.
Teorema 4: Diketahui matriks
⨂
dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:
⨂
∈ℭ
,
=
jika dan hanya jika
O
O
⨂
=
=
⨂
=
=
A
(A
A
A −
A
A
A
A
⨂
A A
( A A
O
O
O
(
O
A
A −
O
O
A
A
A A
( A A
Terbukti bahwa
⨂
A
A
O
O
O
O
⋱
=
=
O
O
=
A
A
A
A
O
O
−
−
A
A
A
A
A
A
−
A
A
A
A
⨂
A
A
−
−
−
.
A
A
(18)
O
O
−
−
O
−
−
jika diketahui
O
O
O
⋱
O
O
O
O
O
O
∈
O )
,
)
A
A
A
A
A
O ) (A
.
⨂
)(
yang
O )
⨂ sehingga memenuhi
⨂
A − A
A − A −
⋱
⋱
⋱
⨂
⋱
A
A
O
O
O
×
beroder
,
O
O
O
O
O
(
komutatif dengan
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
ℭ , .
A
A
∈ℭ
⋱
A
A
A − A
A − A −
A
A
A
A
)
.
)
Akan dibuktikan
∈ ℭ , jika diketahui
memenuhi persamaan
π ⨂
= π ⨂
. Misalkan matriks berukuran
×
sebagai
berikut:
21
=
dengan A
diperoleh
π ⨂
=
A
A
A
( A
A
A
=
A
( A
dan
π ⨂
=
=
O
O
(
A
( A
A
A
A
A
−
A
A
−
A
A
−
A
A
−
O
O
O
A
A
A
A
A
O )( A
O
O
=A
=A
=
=
A
A
−
)(
−
−
A
)
−
−
A
A
−
O
O
⋱
O
O
, maka
O
O
O
O
O )
,
A
A
A
A
)
⋱
−
A
A
A
A
−
)
.
A
A
=A
=A −
A
−
O
O
)
memenuhi persamaan (18) maka diperoleh
=A
= =A −
,
− =A
=A
= =A −
=A
,
−
A
,
, untuk setiap , = , , … ,
−
A
A
O
O
⋱
A
A
A
⋱
−
O
O
⋱
⋱
−
A
A
A
A
A
A
⋱
matriks segi berordo
O
O
A
A
A
(A
Jika
A
A
A
A
O
A
A
−
−
=A
=A
−
−
Misalkan A
= A , = , , ,…, .
Berdasarkan perasamaan (19) sehingga diperoleh
−
.
,
(19)
22
=
∈ℭ
maka terbukti
,
A
A
A
A
(
yaitu
A
A
⋱
A
A
A − A
A − A −
A
A
A
A
,
)
adalah matriks block circulant.
Akibat: Jika suatu matriks block circulant berbentuk
adalah nilai eigen dari matriks
dari
+
dan
, maka nilai eigen
− .
Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran
=
,
×
dengan dan adalah matriks segi berorder .
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
=
= cos + i sin
= cos
+ i sin
= , dan
=− .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks
Untuk =
= diperoleh
=
=
+
+
=
+ .
=
+
Karena nilai eigen
sama dengan nilai eigen
dengan nilai eigen .
Untuk =
= − diperoleh
=
=
pada persamaaan (17).
+
− .
, maka nilai eigen
+
sama
−
Karena nilai eigen
sama dengan nilai eigen , maka nilai eigen − sama
dengan nilai eigen .
Berdasarkan hasil yang diperoleh terbukti bahwa nilai eigen dari adalah nilai
eigen dari + dan − .
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks block circulant beserta sifat pada Teorema 4
dan sifat pada pembahasan sebelumnya mengenai matriks block circulant
berukuran
× .
23
Diberikan
=
,
=
matriks block circulant dengan
,
=
dengan
dan
=
dan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
=
= cos + i sin
= cos
+ i sin
=
+
=
sebagai berikut:
.
= , dan
=− .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks
terlebih dahulu pada persamaan (17).
Untuk =
= diperoleh
=
=
,
dengan mencari matriks
+
| −λ |=
|
−λ
−λ
|=
−λ
−
=
λ − λ+
λ − λ−
−
= .
=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ+
=
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ =
dan λ = − .
Jika λ =
disubstitusikan ke persamaan
−λ
= �, diperoleh
�
−
=
�
−
�
−
� =
−
− � + � =
� = �
� =�
Misalkan � = , maka � =
dengan λ =
adalah
=
sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian
=
.
24
Jika λ = − disubstitusikan ke persamaan
�
+
=
�
+
�
� =
−λ
= �, diperoleh
� + � =
� =− �
� = −�
Misalkan � = , maka � = − , sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − adalah
=
Untuk
=
+
=
=
=
−
| −λ |=
− −λ
|
= − diperoleh
+
+
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
.
−
−
|=
− −λ
− −λ + =
λ + λ+
λ + λ+
+
=
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
− ±√
− ± √−
−
− ± i
=− ± i
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = − + i dan λ = − − i.
Jika λ = − + i disubstitusikan ke persamaan
−λ
= �, diperoleh
�
− + − i
−
=
− + − i �
�
− i −
=
�
− i
25
− i� − � =
− � = i�
� = −i�
Misalkan � = , maka � = − i, sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − + i adalah
=
=
− i
Jika λ = − − i disubstitusikan ke persamaan
−λ
�
− + + i
−
=
− + + i �
�
i −
=
�
i
.
−i
= �, diperoleh
i� − � =
− � = − i�
� = i�
Misalkan � = , maka � = i, sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − − i adalah
=
=
.
i
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen λ = , λ = − , λ = − + i dan λ =
− − i merupakan nilai eigen dari matriks segi
yang juga merupakan nilai
eigen dari matriks block circulant , . Selanjutnya diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (16) adalah
sebagai berikut:
=(
)=
=(
)= −
=(
)=
i
,
,
−
−i
−
i
, dan
i
.
−
−i
Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) dari matriks
=(
)=
sehingga diperoleh
λ = +
+
= + + +
= ,
λ =
+
+
+
+
,
,
26
λ = +
+
= + i + −
= − − i,
λ = +
+
= + − +
= − , dan
+
+
+
+
−i
−
λ = +
+
+
= + −i + − + i
= − + i.
Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa
=λ
berikut ini:
λ
=
=
=
=
sehingga
=
=λ
−
−
=λ
,
.
−
−
,
− + i
+ i ,
=
− i
− − i
sehingga
=λ
=
=
,
sehingga
=
λ
=−
=
.
−
−
−
−
,
−i
−
i
λ
= − + i −i
−
i
− + i
+ i ,
=
− i
− − i
i
−
−i
λ
=− − i
.
i
−
−i
27
− −
−
=
+
− +
i
i
i
i
− −
−
=
+
− +
,
i
i
i
i
,
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh
=λ
maka
adalah vektor eigen dari
dengan
nilai
eigen
λ
.
,
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks block circulant pada Teorema
4, berlaku
⨂
=
⨂
sebagai berikut:
Diketahui
= −
−
dengan
−
=
=
dan
⨂
maka diperoleh
⨂
=
=
dan
⨂
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
maka diperoleh hasil
−
−
−
−
⨂
−
,
−
−
,
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
,
,
−
,
⨂
−
−
−
.
28
Jika diberikan matriks block circulant berukuran
=
,
dengan
−
−
(−
dan
−
−
−
= (−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
×
−
−
−
− )
sebagai berikut:
−
−
−
)
−
).
−
−
−
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks , sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
=(
�=
=
= ,
= cos + i sin
= cos
Untuk
=
= (−
=
+
= (−
−
= (−
| −λ |=
− −λ
| −
+ i sin
−
=
= , dan
=− .
diperoleh
− )+(
−
−
− )+(
−
−
−
−
−
)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
)
)
−
|=
− −λ
−
− −λ
−
− − −λ −
− −λ +
− − −λ −
− − −λ −
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
− −λ
+ +
λ + λ+ +
λ + λ+
+
− −λ =
− −λ =
− −λ = .
= .
29
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = − + i√ , λ = − − i√ , dan
λ =− .
Untuk =
= − diperoleh
=
= (−
+
−
−
= (−
= (−
−
−
| −λ |=
−λ
| −
−λ
−λ +
−λ +
λ −
−
−
− )+(
− )+(
− )
−
−λ − |=
−
−λ
+
+
−
λ −
λ +
λ −
λ+
λ+
λ−
−
−
−
=
−
−
−
−
+
−
−
−λ
= .
−
−
=
) −
)
+
λ=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ + λ+
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
30
=
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen yang diperoleh λ = , λ = − + i√ dan λ = − − i√ ,
sehingga nilai eigen dari matriks , yang diperoleh adalah λ = − + i√ ,
λ = − − i√ , λ = − , λ = , λ = − + i√ dan λ = − − i√ .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi
+
secara analitik
seperti berikut ini:
+
|
+
−
= (−
−
−
= (−
−
−
−λ | =
− −λ
| −
− )+(
−
−
)
−
−
−
−
−
)
−
|=
− −λ
−
− −λ
−
− − −λ −
− −λ +
= .
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
( − −λ
−
λ + λ+ +
λ + λ+
−
− −λ =
− −λ =
− −λ = .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen dari matriks
+
yang diperoleh adalah λ = − + i√ ,
λ = − − i√ , dan λ = − .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi
−
secara analitik
seperti berikut ini:
−
= (−
−
−
− )−(
−
−
−
−
−
)
31
|
−
−λ
| −
−λ
−λ +
−λ +
λ −
= (−
−
−
−λ | =
− )
−
−λ − |=
−
−λ
+
+
−
λ −
λ +
λ −
λ+
λ+
λ−
+
=
−λ
= .
−
=
+
λ=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ + λ+
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen dari matriks
−
yang diperoleh adalah λ = , λ = − +
i√ , dan λ = − − i√ . Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari
matriks , memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi
+
dan
− .
32
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai
matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai
eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai yang
ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai
eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai juga bergantung pada
(konjugat ). Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya
bergantung pada nilai , sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant
selain bergantung pada nilai juga bergantung pada vektor
yaitu vektor eigen
dari matriks .
Matriks circulant komutatif dengan matriks dan berlaku nilai eigen λ =
λ − . Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant.
Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ − = λ .
Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks
⨂
dan nilai eigen
dari matriks block circulant
− .
adalah nilai eigen dari matriks
+
dan
33
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 2004. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J,
penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear
Algebra.
Davis PR. 1979. Circulant Matrices. New York (US): John Wiley.
Jones AW. 2008. Circulants. Pennsylvania (US): Carlisle.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Montaldi J. 2012. Notes on circulant matrices. [terhubung
http://www.manchester.ac.uk/mims/eprints. [6 Januari 2016].
berkala].
Tee GJ. 2005. Eigenvectors of block circulant and alternating circulant matrices.
Res. Lett. Inf. Math. Sci. 8:123-142.
34
Lampiran 1 Program Mathematica untuk menentukan nilai eigen dan vektor
eigen matriks circulant × secara umum.
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 13 Oktober 1990. Penulis
merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah.
Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Semplak 2 Bogor, tahun 2006 penulis
lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5
Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).
Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Penulis pernah mengikuti PKM-Penelitian yang didanai oleh Dikti pada
tahun 2011/2012 dengan judul “Efektivitas Sanitasi Gulma Ageratum conyzoides
dan Pemanfaatannya sebagai Pestisida Nabati dalam Mengurangi Penyakit pada
Tanaman Cabai” sebagai anggota.
MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN
BLOCK CIRCULANT
HARYONO HERMANA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER
INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai
Eigen dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block
Circulant adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada
Institut Pertanian Bogor.
Bogor, April 2016
Haryono Hermana
NIM G54090060
ABSTRAK
HARYONO HERMANA. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks
Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant. Dibimbing oleh NUR
ALIATININGTYAS dan RUHIYAT.
Matriks circulant adalah matriks yang dibentuk dari vektor yang setiap
entri pada suatu baris (mulai dari baris kedua) diperoleh dari satu baris
sebelumnya dengan cara menggesernya satu posisi ke kanan sehingga entri-entri
diagonal utamanya sama. Pada Karya ilmiah ini ditentukan nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks circulant, circulant simetrik, dan block circulant serta beberapa
sifatnya.
Kata kunci: matriks circulant, matriks circulant simetrik, matriks block circulant,
nilai eigen, vektor eigen.
ABSTRACT
HARYONO HERMANA. The Eigenvalues and the Eigenvectors of
Circulant, Symmetric Circulant, and Block Circulant Matrices. Supervised by
NUR ALIATININGTYAS and RUHIYAT.
Circulant matrix is a matrix formed from
vectors whose entries on a
certain row (starting from the second row) are obtained from the previous row by
shifting one position to the right such that all its diagonal elements are the same.
In this work we determined the eigenvalues and eigenvector of circulant,
symmetric circulant, and block circulant matrices and discussed their properties.
Keywords:
circulant matrices, symmetric circulant matrices, block circulant
matrices, eigenvalues, eigenvectors.
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
MATRIKS CIRCULANT, CIRCULANT SIMETRIK, DAN
BLOCK CIRCULANT
HARYONO HERMANA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik.
Bidang yang dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan sejak bulan
Februari 2015 ini adalah matematika murni, dengan judul Penentuan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen Matriks Circulant, Circulant Simetrik, dan Block Circulant.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan
Ruhiyat, MSi selaku dosen pembimbing, serta Dra Farida Hanum, MSi selaku
dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih juga
disampaikan kepada ayah, ibu, kakak, adik, dan seluruh keluarga besar atas segala
doa, dukungan dan kasih sayangnya. Di samping itu, terima kasih kepada seluruh
dosen dan staf Departemen Matematika atas segala bantuan yang diberikan selama
masa perkuliahan. Tak lupa ucapan terima kasih kepada Agung, Andri, Dicky,
Ihsan, Qowi, Syaepul, dan teman-teman Matematika angkatan 46 lainnya, adik
kelas, serta seluruh pihak yang selalu mendukung dan mendoakan penulis hingga
terselesaikannya karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, April 2016
Haryono Hermana
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
0
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Matriks Circulant
2
Matriks Circulant Simetrik
2
Matriks Block Circulant
2
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
3
Konjugat Kompleks
3
PEMBAHASAN
Matriks Circulant
4
4
Matriks Circulant Simetrik
15
Matriks Block Circulant
19
SIMPULAN
32
DAFTAR PUSTAKA
33
LAMPIRAN
34
RIWAYAT HIDUP
35
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Circulant telah dikenal banyak orang sejak awal abad ke-19 ketika
terungkap dalam wujud aslinya sebagai determinan circulant. Kemudian pada
abad ini, matriks diciptakan dan circulant telah ditafsirkan kembali sebagai
matriks. Circulant kemudian dapat dilihat sebagai jenis khusus dari aljabar dan
sub-aljabar dari aljabar matriks (Jones 2008).
Matriks circulant adalah suatu matriks berukuran × yang dibentuk
dari vektor dan hanya memiliki satu input pada baris pertama. Setiap entri dari
baris sebelumnya bergeser satu posisi ke kanan pada baris berikutnya dan entri
sepanjang diagonal matriksnya adalah sama. Matriks circulant ini pada umumnya
dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan polinomial.
Matriks circulant dari
, , … , − adalah
=
−
−
(
−
⋱
−
−
−
−
−
−
−
.
)
Menarik untuk dibahas bagaimana mencari nilai eigen dan vektor eigen
dengan teori yang dijelaskan oleh Tee serta melihat sifat-sifat dari matriks
circulant, circulant simetrik, dan block circulant. Sumber utama karya ilmiah ini
ialah tulisan Tee (2005) yang berjudul Eigenvectors of Block Circulant and
Alternating Circulant Matrices.
Tujuan Karya Ilmiah
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini ialah
1. menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks circulant, circulant
simetrik, dan block circulant,
2. membuktikan sifat-sifat matriks circulant, circulant simetrik, dan block
circulant.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang
akan digunakan pada bab berikutnya, seperti matriks circulant, matriks circulant
simetrik, matriks block circulant yang juga akan dilengkapi dengan contohnya.
Matriks Circulant
Matriks =
hanya jika , =
= circ
,
,
berukuran × dikatakan matriks circulant jika dan
dengan − ≡ − (mod ) (Jones 2008).
,
,…,
−
≝
Contoh matriks circulant dengan
−
−
(
=
−
⋱
adalah sebagai berikut:
)=
=
−
−
−
−
−
−
−
. (1)
)
.
Matriks Circulant Simetrik
Suatu matriks Circulant
berukuran × dikatakan simetrik jika dan
hanya jika = − untuk = , , … , − . Dikatakan dalam Montaldi (2012)
bahwa nilai eigen dari matriks circulant simetrik bernilai real. Contoh matriks
circulant simetrik dengan = adalah sebagai berikut:
=
.
Matriks Block Circulant
Dalam Davis (1979), suatu matriks block circulant yang berukuran
×
=
∈ℝ ×
dinotasikan dengan
, , … , − dan
, = circ
,
untuk = , , … , − . Contoh matriks block circulant dengan = dan =
adalah sebagai berikut:
3
,
dengan
dan
=
=
=
=
=
.
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan adalah suatu matriks segi berukuran × . Skalar λ disebut
nilai eigen atau nilai karakteristik dari
jika terdapat suatu vektor taknol ,
sehingga
= λ . Vektor disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang
berpadanan dengan nilai eigen λ. Persamaan
= λ dapat dituliskan dalam
bentuk
−λ
= �.
(2)
Persamaan (2) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika − λ
singular atau secara ekuivalen
det − λ = .
(3)
Jika determinan pada persamaan (3) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial
berderajat dalam peubah λ
� λ = det − λ .
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (3) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks . Akar dari polinomial karakteristik
adalah nilai eigen dari (Leon 2001).
Konjugat Kompleks
Misalkan � = + i adalah sembarang bilangan kompleks, maka konjugat
kompleks (complex conjugate) dari � dinotasikan dengan simbol � dan
didefinisikan sebagai
�= − i
sehingga � diperoleh dengan cara mengubah bagian imajiner dari positif menjadi
negatif atau sebaliknya. Diketahui jika � adalah sembarang bilangan real maka
nilai � = � (Anton 2004).
4
PEMBAHASAN
Matriks Circulant
Berikut ini akan dibahas cara menentukan nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks circulant
pada persamaan (1) dan juga akan dibahas sifat-sifatnya.
Diberikan
Matriks circulant
=
(
−
)
memiliki
, λ =
= , , ,…, −
dengan = ei � / = ei
+
�
.
�≝
(4)
nilai eigen dan
+
vektor eigen yang berbentuk
+
+
+
= cos � + i sin � (Tee 2005).
Contoh 1:
Diberikan matriks circulant berukuran
=(
×
−
−
(5)
(6)
dengan
),
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
= cos + i sin = , dan
= cos + i sin = − .
Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks
sebagai berikut:
λ =
=
=
λ =
=
=
+
+
+
+
+
−
,
,
−
=( )=
=( )=
, dan
−
.
Jadi nilai eigen pada matriks circulant berukuran × dapat diperoleh dengan
penjumlahan
+
dan pengurangan
− . Kemudian nilai eigen yang
diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai dan .
5
Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
seperti di bawah ini.
| −λ |=
−λ
|
−
−λ
λ −
−λ
|=
=
λ+
secara analitik
−
= .
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ =
λ =
−
+
−
Jika λ =
(
−
(
−
,
λ−
+
�
) �
−
� =
disubstitusikan ke persamaan
�
) � =
− −
Misalkan � =
dengan
(
(
−
� +
+
−
�
) �
� =
=
Misalkan � =
+
disubstitusikan ke persamaan
�
) � =
− +
� =− �
� = −�
= �, diperoleh
∈ ℝ sembarang, maka � = , sehingga diperoleh
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ =
Jika λ =
−λ
=
− � =− �
� =�
=
.
−
− � +
+
dengan
adalah
−λ
=
=
.
= �, diperoleh
∈ ℝ sembarang, maka � = − , sehingga diperoleh
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ =
−
=
.
=
−
−
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori
nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga nilai eigen dan
vektor eigen yang dicari dengan teori tersebut berlaku untuk matriks circulant
berukuran × .
adalah
6
Contoh 2:
Diberikan matriks circulant berukuran
=(
×
dengan
),
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
π
,
= cos + i sin
= cos
= cos
π
π
+ i sin
= ,
π
π
+ i sin
=−
=−
+ i√ , dan
− i√ .
Dengan persamaan (5) diperoleh nilai eigen dan vektor eigen pada matriks
sebagai berikut:
λ =
=
+
+
+
+
=
+
+
=
+
(− + i√ ) +
λ =
=
+
−
=
−
=
+
=
−
λ =
=
+
−
,
+
+ √
+ √
+
i+
i−
(− − i√ ) +
− √
− √
=(
)=
=(
)=
i+
i−
(− + i√ )
( − i√ − )
− √
i,
(− − i√ )
( + i√ − )
+ √
i,
,
(
− + i√
− − i√
, dan
)
=(
)=
(
− − i√
− + i√
.
)
7
Jadi salah satu nilai eigen pada matriks circulant berukuran × dapat diperoleh
dengan penjumlahan entri-entrinya, yaitu
+ + . Kemudian nilai eigen
yang diperoleh dapat bernilai real atau imajiner bergantung pada nilai , , dan
.
Berikut ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen matriks
seperti di bawah ini.
| −λ |=
|
−λ
+
−λ
λ −
−λ
λ +
+
−λ
−
λ−
|=
−
−λ
−
+
=
−
λ= .
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh
λ =
λ =
=
+
(
−
=
−
=
−
=
−
=
−
=
−
λ = (
=
=
−
−
−
−
−
,
−
−
−
=
=
+
−
− √
−
−
−
−
−
− √
+ √
√−
√ −
+
− √
√ −
− √
i+ √
− √
−
−
−√
i−
+√
+ √
−
+ √
√−
√ −
+
+ √
√ −
+ √
i− √
+ √
i−
i
−
− √
i
−
−
−
)
+
i
i, dan
−
−
i
i.
−
)
+
secara analitik
8
Jika � =
(
−
−
−
−
−
(
+
−
+
−
−
−
� +
� + −
� +
−
maka diperoleh
−
� +
−
� + −
disubstitusikan ke persamaan
−
−
−
−
−
� =
� +
� +
−
�
) (� ) = ( )
�
−
−
= �, diperoleh
�
) (� ) = ( )
�
×
� =
� =
� +
−
−λ
×
(7)
� = .
Dengan metode eliminasi SPL diperoleh hasil
−
−
−
+
� =�
+
� +
� =
+
+
+
�
+
� =
Misalkan � = maka � = , substitusikan � =
(7) maka diperoleh
+
+
− −
−
−
� =
� =
+ � =
+ � =
sehingga vektor eigen yang bersesuaian dengan � =
=( )=
( ).
− √
Jika λ = −
−λ
= �, diperoleh
(
(
−λ
�
=
−
+
+ √
+ √
i+
+
adalah
+ √
i disubstitusikan ke persamaan
i+
− √
i
�
) (� ) = ( )
�
�
dengan
� = −λ
+
ke persamaan
i−
�
) (� ) = ( )
�
−λ
−λ
�
=
dan � =
− √
i.
9
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah
=
,
=
,− +
−
√
− +
√−
√
, (− +
−
−
√
,− +
i
−
√
,− +
, − + i√
i
=
�
(
(
−λ
�
�
− √
i disubstitusikan ke persamaan
i+
+ √
i
�
) (� ) = ( )
�
�
dengan
� = −λ
=
i
)
�
i−
�
) (� ) = ( )
�
−λ
−λ
�
=
−
−
−
−
�
= ( , − − i√ , − + i√ ) .
Jika λ = −
+ √
−λ
= �, diperoleh
√ √−
−
+
− √
− √
i+
+ √
i.
Dengan menggunakan perangkat lunak Mathematica diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ adalah
=
=
=
, (− +
,− +
√ √−
√
−
−
−
−
i
),
,− +
√
, − + i√ , − +
i
�
− +
√
−
√
√−
−
i
−
�
�
−
�
= ( , − + i√ , − − i√ ) .
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen dan vektor eigen yang sama dengan teori
nilai eigen dan vektor eigen yang dikemukakan oleh Tee, sehingga teori tersebut
berlaku untuk matriks circulant berukuran × .
10
Dalam Davis (1979) dikatakan bahwa matriks circulant yang bernilai real
memiliki nilai eigen
λ =λ
−
,
= , ,…, −
.
(8)
Kemudian untuk nilai eigen λ dan λℎ dengan = ℎ genap selalu bernilai real.
Berikut ini akan disajikan sifat-sifat dari matriks circulant beserta
contohnya yang terdapat pada teorema-teorema berikut ini.
Teorema 1: Diberikan matriks
hanya jika
dengan
=
adalah matriks circulant berukuran
=
Bukti:
Diketahui
maka
=
=
dan
=
(
(
(
berukuran
−
⋱
⋱
−
−
−
−
−
)(
×
matriks circulant jika dan
(9)
dalam bentuk sebagai berikut
.
⋱
(
adalah circulant berukuran
…
…
=
⋱
…
…
(
…
…
⋱
…
…
× .
×
)
dengan
−
−
−
)
−
−
−
⋱
)(
)
,
…
…
⋱
…
…
−
−
)
−
)
11
−
=
(
sehingga
Misalkan
=
=
=
=
=
−
(
−
Jika
−
=
=
=
=
=
…
…
⋱
…
…
)(
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
)
=
⋱
−
−
)
)
−
−
−
−
−
−
)
.
−
=
,
)(
…
…
⋱
…
…
−
−
)
−
=
≥ , sebagai berikut:
−
, maka diperoleh
=
= =
=
= =
=
dengan ∈ ℕ,
…
−
…
−
⋱
…
−
−
…
−
−
…
…
⋱
…
…
⋱
(
−
…
…
⋱
…
…
−
(
)
adalah matriks berordo
−
(
dan
−
−
.
−
(
−
−
⋱
=
maka
−
,
,
=
−
−
.
, dan
(10)
12
Misalkan
,
={
dengan = , , … , .
Berdasarkan persamaan (10) diperoleh
=
−
−
jika = ,
, selainnya
−
−
Bukti:
Diketahui
berikut:
=
…
…
⋱
…
…
maka
=
(
Misalkan
−
−
+ +
+ +
+
+
+
)
juga circulant.
+
+
+
+
−
dan
)
…
…
⋱
…
…
+
−
adalah matriks-matriks circulant berukuran
dan
(
=
circulant, maka
dan
−
−
−
yang merupakan matriks circulant.
Teorema 2: Jika
−
−
⋱
(
−
−
−
=
(
…
…
⋱
…
…
−
)(
+ +
+ +
−
=
=
=
,
,
+
+
−
⋱
,
maka diperoleh hasil sebagai berikut:
=
yang merupakan matriks circulant.
⋱
−
)
…
…
⋱
…
…
−
−
−
×
sebagai
−
−
,
)
−
)
+ +
+ +
+
+
−
).
13
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks circulant beserta sifat-sifatnya yang disajikan
pada Teorema 1 dan 2.
Diberikan matriks circulant berukuran × dengan
=
,
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
=
,
= cos + i sin
= cos
= cos
+ i sin
= cos
+ i sin
= ,
= i,
+ i sin
= − , dan
Nilai eigen dari matriks
sehingga diperoleh
λ = +
= +
= ,
+
+
λ = +
+
= + i + −
= − i,
λ = +
+
= + − +
= , dan
λ = +
+
= + −i +
= + i.
= −i.
yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah
λ = +
+
+
,
+
+
+
+
+
+
+
− +
−i
−
i
Selanjutnya akan diperiksa bahwa λ = λ
seperti berikut ini:
λ =
λ
−
− i,
=λ =
− i,
sehingga λ = λ .
−
untuk
= , , dan
dengan
=
14
λ = ,
−
=λ = ,
λ =
+ i,
λ
sehingga λ = λ .
λ
−
=λ =
+ i,
sehingga λ = λ .
Vektor eigen dari matriks
=
=
(
)
(
yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) adalah
=
)
=
,
= −
=
,
−
(
(
)
)
=
=
i
−
−i
−i
−
i
,
.
Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa
=λ
seperti berikut ini:
=
=
sehingga
=
λ
−
+
=
− +
− −
sehingga
=
=
,
=λ
i
i ,
i
i
=λ
=
,
.
i
−
−i
λ
=
− i
−
λ
=
−
.
−
−
+
=
− +
− −
−
i
−
−i
i
i ,
i
i
15
= −
sehingga
−
=
= −
,
=λ
+
−
=
− −
− +
i
i
i
i
−
.
,
,
−i
−
i
+ i −i
−
i
+ i
− i ,
=
− − i
− + i
λ
=
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa nilai eigen untuk λ =
dan λ = di
mana = = ℎ → ℎ = adalah bilangan real, sedangkan λ = λ̅ − = λ̅ =
− i.
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks circulant pada Teorema 1,
berlaku
=
sebagai berikut:
=
=
,
=
=
,
maka diperoleh hasil
=
.
Untuk Teorema 2 jika diberikan
=
dan
adalah matriks-matriks circulant dengan
dan
=
,
maka diperoleh
=
sehingga
=
juga merupakan matriks circulant.
Matriks Circulant Simetrik
Matriks Circulant
dikatakan simetrik jika dan hanya jika
= −
untuk = , , … , − . Jika adalah matriks real simetrik maka nilai eigennya
juga real, sehingga sifat (8) menjadi
16
λ =λ
,
−
= , ,…, −
.
Berikut ini akan disajikan sifat dari matriks circulant simetrik pada
teorema berikut ini. Selanjutnya diberikan contoh mencari nilai eigen dan vektor
eigen beserta aplikasi sifatnya.
Teorema 3: Jika matriks adalah circulant simetrik sehingga
untuk setiap = , , … , − , berlaku
−
dan
λ
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (11).
Berdasarkan persamaan (6) yaitu
=e�
= cos
= cos
−
−
�
=e
−
− � + i sin − �
� − � + i sin � − �
− � + i sin
= cos
=
=
−
=λ.
maka
(11)
(12)
= cos � + i sin �, maka diperoleh
− �
= cos
− � + i sin
− �
= cos
. cos � + sin π . sin �
+i sin
. cos � − cos π . sin �
= cos � − i sin �
=
Berikut ini akan dicari nilai eigen dari matriks .
Untuk = , , , … , − dari persamaan (5) diketahui nilai eigen
λ =
+
=
+
+
+
+
+
−
−
+
−
−
.
(13)
Berdasarkan persamaan (11) maka persamaan (13) dapat dituliskan menjadi
λ = +
+
+
+ + − (
+ −
+
ℎ−
[
[
+
ℎ−
]+
+(
[
ℎ−
+(
]+{
,
ℎ
]+
ℎ
,
jika
jika
= ℎ− ,
= ℎ.
Selanjutnya persamaan (12) diperoleh sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (6) maka persamaan (14) menjadi
λ =
ℎ−
+ ∑
�=
�
cos �� + {
,
ℎ
−
jika
, jika
= ℎ− ,
= ℎ.
(14)
17
Dengan mengganti dengan
λ
−
ℎ−
=
+ ∑
�
cos
=
+ ∑
�
cos �� + {
�=
ℎ−
=λ.
�=
−
− , maka diperoleh
�� + {
,
ℎ
−
,
ℎ
−
ℎ−
jika
, jika
jika = ℎ − ,
, jika = ℎ.
= ℎ− ,
= ℎ.
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks circulant simetrik beserta sifat yang disajikan
pada Teorema 3.
Diberikan matriks circulant simetrik berukuran × seperti di bawah ini:
=
,
maka berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
=
=
,
= cos + i sin
= cos
= cos
= cos
+ i sin
+ i sin
+ i sin
=
=i
=−
= −i
̅̅̅ = cos − i sin
̅̅̅ = cos
̅̅̅ = cos
̅̅̅ = cos
− i sin
− i sin
− i sin
= ,
= −i,
= − , dan
= i.
Karena
= ℎ = → ℎ = , maka nilai eigen dari matriks
persamaan (14) adalah
,
λ = + [ + ]+
sehingga diperoleh
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [ − ]+
= + +
= ,
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [i − i] + −
= + −
= ,
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [− − ] +
= − +
= , dan
berdasarkan
18
λ = + [ + ̅̅̅] +
= + [−i + i] + −
= + −
= .
Vektor eigennya diperoleh
=
=
(
(
)
)
=
=
,
= −
=
,
−
(
(
)
)
=
=
i
−
−i
,
−i
−
i
.
Selanjutnya dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan
diperiksa bahwa
=λ
berikut ini:
=
λ
=
,
=λ
sehingga
=
=
sehingga
i
−
−i
=
= −
sehingga
−
,
i
−
−i
λ
=
i
−
−i
−
λ
=
i
−
−i
=
−
.
−
,
=λ
=
.
,
=λ
=
.
−
= −
−
,
,
19
−i
−
i
=
−i
−
i
=
,
λ
=
−i
−
i
= −i
−
i
,
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh berdasarkan definisi nilai eigen dan vektor eigen berlaku
=λ
. Pada Teorema 3 berlaku untuk = , − =
= ̅̅̅ = −i,
−
=
= ̅̅̅ = − , − =
= ̅̅̅ = i dan nilai eigen λ = λ − = λ = .
Matriks Block Circulant
Diberikan
, , … , − matriks-matriks persegi berorder
≥ .
Matriks-matriks persegi tersebut merupakan entri-entri dari matriks block
circulant , berukuran
×
yang dinotasikan sebagai berikut:
,
= circ
−
=
,
,…,
,
= , , ,…,
−
−
⋱
−
).
(15)
Didefinisikan ℭ , adalah himpunan matriks-matriks block circulant dengan
matriks , memiliki vektor eigen yang berbentuk
=
(
−
)
(16)
dengan
pada (16) adalah k-vektor bukan nol dan pada (6). Vektor
vektor eigen dari
=
, dengan nilai eigen λ, jika dan hanya jika
2005).
Diberikan persamaan vektor eigen sebagai berikut:
dengan
=λ
adalah matriks persegi berorder
=
+
+
adalah
λ (Tee
dengan bentuk
+
+
−
−
.
(17)
Setiap vektor eigen dari yang bersesuaian dengan dapat memberikan vektor
eigen dari matriks block circulant pada persamaan (15) dengan nilai eigen λ
sehingga nilai eigen dari matriks adalah nilai eigen pada matriks block circulant
.
20
Selanjutnya akan dibahas sifat-sifat dari matriks block circulant beserta
contohnya yang disajikan pada teorema berikut ini.
Teorema 4: Diketahui matriks
⨂
dinotasikan dalam bentuk sebagai berikut:
⨂
∈ℭ
,
=
jika dan hanya jika
O
O
⨂
=
=
⨂
=
=
A
(A
A
A −
A
A
A
A
⨂
A A
( A A
O
O
O
(
O
A
A −
O
O
A
A
A A
( A A
Terbukti bahwa
⨂
A
A
O
O
O
O
⋱
=
=
O
O
=
A
A
A
A
O
O
−
−
A
A
A
A
A
A
−
A
A
A
A
⨂
A
A
−
−
−
.
A
A
(18)
O
O
−
−
O
−
−
jika diketahui
O
O
O
⋱
O
O
O
O
O
O
∈
O )
,
)
A
A
A
A
A
O ) (A
.
⨂
)(
yang
O )
⨂ sehingga memenuhi
⨂
A − A
A − A −
⋱
⋱
⋱
⨂
⋱
A
A
O
O
O
×
beroder
,
O
O
O
O
O
(
komutatif dengan
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa
ℭ , .
A
A
∈ℭ
⋱
A
A
A − A
A − A −
A
A
A
A
)
.
)
Akan dibuktikan
∈ ℭ , jika diketahui
memenuhi persamaan
π ⨂
= π ⨂
. Misalkan matriks berukuran
×
sebagai
berikut:
21
=
dengan A
diperoleh
π ⨂
=
A
A
A
( A
A
A
=
A
( A
dan
π ⨂
=
=
O
O
(
A
( A
A
A
A
A
−
A
A
−
A
A
−
A
A
−
O
O
O
A
A
A
A
A
O )( A
O
O
=A
=A
=
=
A
A
−
)(
−
−
A
)
−
−
A
A
−
O
O
⋱
O
O
, maka
O
O
O
O
O )
,
A
A
A
A
)
⋱
−
A
A
A
A
−
)
.
A
A
=A
=A −
A
−
O
O
)
memenuhi persamaan (18) maka diperoleh
=A
= =A −
,
− =A
=A
= =A −
=A
,
−
A
,
, untuk setiap , = , , … ,
−
A
A
O
O
⋱
A
A
A
⋱
−
O
O
⋱
⋱
−
A
A
A
A
A
A
⋱
matriks segi berordo
O
O
A
A
A
(A
Jika
A
A
A
A
O
A
A
−
−
=A
=A
−
−
Misalkan A
= A , = , , ,…, .
Berdasarkan perasamaan (19) sehingga diperoleh
−
.
,
(19)
22
=
∈ℭ
maka terbukti
,
A
A
A
A
(
yaitu
A
A
⋱
A
A
A − A
A − A −
A
A
A
A
,
)
adalah matriks block circulant.
Akibat: Jika suatu matriks block circulant berbentuk
adalah nilai eigen dari matriks
dari
+
dan
, maka nilai eigen
− .
Bukti: Misalkan diberikan matriks block circulant berukuran
=
,
×
dengan dan adalah matriks segi berorder .
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
=
= cos + i sin
= cos
+ i sin
= , dan
=− .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks
Untuk =
= diperoleh
=
=
+
+
=
+ .
=
+
Karena nilai eigen
sama dengan nilai eigen
dengan nilai eigen .
Untuk =
= − diperoleh
=
=
pada persamaaan (17).
+
− .
, maka nilai eigen
+
sama
−
Karena nilai eigen
sama dengan nilai eigen , maka nilai eigen − sama
dengan nilai eigen .
Berdasarkan hasil yang diperoleh terbukti bahwa nilai eigen dari adalah nilai
eigen dari + dan − .
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi mencari nilai eigen
dan vektor eigen dari suatu matriks block circulant beserta sifat pada Teorema 4
dan sifat pada pembahasan sebelumnya mengenai matriks block circulant
berukuran
× .
23
Diberikan
=
,
=
matriks block circulant dengan
,
=
dengan
dan
=
dan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
�=
= ,
=
= cos + i sin
= cos
+ i sin
=
+
=
sebagai berikut:
.
= , dan
=− .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks
terlebih dahulu pada persamaan (17).
Untuk =
= diperoleh
=
=
,
dengan mencari matriks
+
| −λ |=
|
−λ
−λ
|=
−λ
−
=
λ − λ+
λ − λ−
−
= .
=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ+
=
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ =
dan λ = − .
Jika λ =
disubstitusikan ke persamaan
−λ
= �, diperoleh
�
−
=
�
−
�
−
� =
−
− � + � =
� = �
� =�
Misalkan � = , maka � =
dengan λ =
adalah
=
sehingga diperoleh vektor eigen yang bersesuaian
=
.
24
Jika λ = − disubstitusikan ke persamaan
�
+
=
�
+
�
� =
−λ
= �, diperoleh
� + � =
� =− �
� = −�
Misalkan � = , maka � = − , sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − adalah
=
Untuk
=
+
=
=
=
−
| −λ |=
− −λ
|
= − diperoleh
+
+
−
−
−
−
−
−
=
−
=
−
.
−
−
|=
− −λ
− −λ + =
λ + λ+
λ + λ+
+
=
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
− ±√
− ± √−
−
− ± i
=− ± i
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = − + i dan λ = − − i.
Jika λ = − + i disubstitusikan ke persamaan
−λ
= �, diperoleh
�
− + − i
−
=
− + − i �
�
− i −
=
�
− i
25
− i� − � =
− � = i�
� = −i�
Misalkan � = , maka � = − i, sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − + i adalah
=
=
− i
Jika λ = − − i disubstitusikan ke persamaan
−λ
�
− + + i
−
=
− + + i �
�
i −
=
�
i
.
−i
= �, diperoleh
i� − � =
− � = − i�
� = i�
Misalkan � = , maka � = i, sehingga diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan λ = − − i adalah
=
=
.
i
Dari hasil di atas diperoleh nilai eigen λ = , λ = − , λ = − + i dan λ =
− − i merupakan nilai eigen dari matriks segi
yang juga merupakan nilai
eigen dari matriks block circulant , . Selanjutnya diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen tersebut berdasarkan persamaan (16) adalah
sebagai berikut:
=(
)=
=(
)= −
=(
)=
i
,
,
−
−i
−
i
, dan
i
.
−
−i
Berikut nilai eigen yang diperoleh berdasarkan persamaan (5) dari matriks
=(
)=
sehingga diperoleh
λ = +
+
= + + +
= ,
λ =
+
+
+
+
,
,
26
λ = +
+
= + i + −
= − − i,
λ = +
+
= + − +
= − , dan
+
+
+
+
−i
−
λ = +
+
+
= + −i + − + i
= − + i.
Dengan menggunakan definisi nilai eigen dan vektor eigen akan diperiksa bahwa
=λ
berikut ini:
λ
=
=
=
=
sehingga
=
=λ
−
−
=λ
,
.
−
−
,
− + i
+ i ,
=
− i
− − i
sehingga
=λ
=
=
,
sehingga
=
λ
=−
=
.
−
−
−
−
,
−i
−
i
λ
= − + i −i
−
i
− + i
+ i ,
=
− i
− − i
i
−
−i
λ
=− − i
.
i
−
−i
27
− −
−
=
+
− +
i
i
i
i
− −
−
=
+
− +
,
i
i
i
i
,
sehingga
=λ
.
Dari hasil yang diperoleh
=λ
maka
adalah vektor eigen dari
dengan
nilai
eigen
λ
.
,
Selanjutnya akan ditunjukkan sifat matriks block circulant pada Teorema
4, berlaku
⨂
=
⨂
sebagai berikut:
Diketahui
= −
−
dengan
−
=
=
dan
⨂
maka diperoleh
⨂
=
=
dan
⨂
=
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
maka diperoleh hasil
−
−
−
−
⨂
−
,
−
−
,
−
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
,
,
−
,
⨂
−
−
−
.
28
Jika diberikan matriks block circulant berukuran
=
,
dengan
−
−
(−
dan
−
−
−
= (−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
×
−
−
−
− )
sebagai berikut:
−
−
−
)
−
).
−
−
−
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks , sebagai berikut:
Berdasarkan persamaan (4) dan (6) diperoleh
=(
�=
=
= ,
= cos + i sin
= cos
Untuk
=
= (−
=
+
= (−
−
= (−
| −λ |=
− −λ
| −
+ i sin
−
=
= , dan
=− .
diperoleh
− )+(
−
−
− )+(
−
−
−
−
−
)
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
)
)
−
|=
− −λ
−
− −λ
−
− − −λ −
− −λ +
− − −λ −
− − −λ −
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
− −λ
+ +
λ + λ+ +
λ + λ+
+
− −λ =
− −λ =
− −λ = .
= .
29
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen yang diperoleh adalah λ = − + i√ , λ = − − i√ , dan
λ =− .
Untuk =
= − diperoleh
=
= (−
+
−
−
= (−
= (−
−
−
| −λ |=
−λ
| −
−λ
−λ +
−λ +
λ −
−
−
− )+(
− )+(
− )
−
−λ − |=
−
−λ
+
+
−
λ −
λ +
λ −
λ+
λ+
λ−
−
−
−
=
−
−
−
−
+
−
−
−λ
= .
−
−
=
) −
)
+
λ=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ + λ+
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
30
=
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen yang diperoleh λ = , λ = − + i√ dan λ = − − i√ ,
sehingga nilai eigen dari matriks , yang diperoleh adalah λ = − + i√ ,
λ = − − i√ , λ = − , λ = , λ = − + i√ dan λ = − − i√ .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi
+
secara analitik
seperti berikut ini:
+
|
+
−
= (−
−
−
= (−
−
−
−λ | =
− −λ
| −
− )+(
−
−
)
−
−
−
−
−
)
−
|=
− −λ
−
− −λ
−
− − −λ −
− −λ +
= .
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
( − −λ
−
λ + λ+ +
λ + λ+
−
− −λ =
− −λ =
− −λ = .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen dari matriks
+
yang diperoleh adalah λ = − + i√ ,
λ = − − i√ , dan λ = − .
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari matriks segi
−
secara analitik
seperti berikut ini:
−
= (−
−
−
− )−(
−
−
−
−
−
)
31
|
−
−λ
| −
−λ
−λ +
−λ +
λ −
= (−
−
−
−λ | =
− )
−
−λ − |=
−
−λ
+
+
−
λ −
λ +
λ −
λ+
λ+
λ−
+
=
−λ
= .
−
=
+
λ=
Dengan menggunakan metode faktorisasi polinomial diperoleh
λ−
λ + λ+
= .
Dengan menggunakan rumus abc diperoleh
λ
,
=
=
=
=
− ±√
− ±√
− ± √−
−
−
− ± i√
= − ± i√
maka nilai eigen dari matriks
−
yang diperoleh adalah λ = , λ = − +
i√ , dan λ = − − i√ . Berdasarkan hasil yang diperoleh nilai eigen dari
matriks , memiliki hasil yang sama dengan nilai eigen dari matriks segi
+
dan
− .
32
SIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya mengenai
matriks circulant, circulant simetrik, serta block circulant secara umum nilai
eigen matriks-matriks tersebut bergantung pada entri-entrinya dan nilai yang
ditentukan berdasarkan ordo matriksnya. Khusus matriks circulant simetrik nilai
eigennya selain bergantung pada entri-entrinya dan nilai juga bergantung pada
(konjugat ). Vektor eigen matriks circulant dan circulant simetrik hanya
bergantung pada nilai , sedangkan vektor eigen dari matriks block circulant
selain bergantung pada nilai juga bergantung pada vektor
yaitu vektor eigen
dari matriks .
Matriks circulant komutatif dengan matriks dan berlaku nilai eigen λ =
λ − . Hasil perkalian dua matriks circulant juga merupakan matriks circulant.
Untuk matriks circulant simetrik memiliki sifat nilai eigen λ real dan λ − = λ .
Untuk matriks block circulant komutatif dengan matriks
⨂
dan nilai eigen
dari matriks block circulant
− .
adalah nilai eigen dari matriks
+
dan
33
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 2004. Aljabar Linier Elementer. Ed ke-8. Harmein I, Gressando J,
penerjemah. Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Elementary Linear
Algebra.
Davis PR. 1979. Circulant Matrices. New York (US): John Wiley.
Jones AW. 2008. Circulants. Pennsylvania (US): Carlisle.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Montaldi J. 2012. Notes on circulant matrices. [terhubung
http://www.manchester.ac.uk/mims/eprints. [6 Januari 2016].
berkala].
Tee GJ. 2005. Eigenvectors of block circulant and alternating circulant matrices.
Res. Lett. Inf. Math. Sci. 8:123-142.
34
Lampiran 1 Program Mathematica untuk menentukan nilai eigen dan vektor
eigen matriks circulant × secara umum.
35
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 13 Oktober 1990. Penulis
merupakan putra kedua dari tiga bersaudara dari Bapak Edi dan Ibu Rukoyah.
Tahun 2003 penulis lulus dari SD Negeri Semplak 2 Bogor, tahun 2006 penulis
lulus dari SMP Negeri 4 Bogor dan tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 5
Bogor dan pada tahun yang sama penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB).
Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Penulis pernah mengikuti PKM-Penelitian yang didanai oleh Dikti pada
tahun 2011/2012 dengan judul “Efektivitas Sanitasi Gulma Ageratum conyzoides
dan Pemanfaatannya sebagai Pestisida Nabati dalam Mengurangi Penyakit pada
Tanaman Cabai” sebagai anggota.