Judul Artikel: Times New Roman 11pt, Bold, Center, Kapital
Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut:
Definisi 2.2. [9], [10]Himpunan tak kosong
P
disebut himpunan terurut parsial ≤ jika memenuhi:
i. Refleksif :
∀ x ∈ P x ≤ x
ii. Antisimetri : ∀ x , y ∈ P
x ≤ y dan
y ≤ x ⟹ x = y
iii. Transitif :
∀ x , y , z ∈ P x≤ y
dan y ≤ z
⟹ y≤ z Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari
Partial Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya. Definisi 2.3 .[12], [13] Misalkan
S suatu himpunan tak kosong. Himpunan S bersama operasi biner
.
dan
≤
disebut semigrup terurut parsial jika:
i.
S , . membentuk semigrup
ii.
S ,≤
membentuk himpunan terurut parsial poset iii.
∀ a , b , x ∈ S a ≤ b
⟹ xa ≤ xb
dan ax ≤bx
Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah:
Definisi 2.4. [12], [13] Misalkan
S , ., ≤ semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak kosong
I
disebut ideal dari semigrup
S
jika: i.
∀ a ∈ S ∀ b ∈ I
a ≤ b ⟹ a ∈ I
ii.
IS ⊆ I dan SI ⊆ I
2.2. Semigrup Bentuk Bilinear
Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai
berikut: Himpunan
LX
dan
LY
adalah himpunan semua operator linear X dan
Y
. Jika f
∈ L X , maka diperoleh subruang vektor
X
:
N f =
{
u ∈ X
|
f u=0
}
dan
R f =
{
v ∈ X
|
f x =v , untuk suatu x ∈ X
}
Elemen f
∈ L X dikatakan pasangan adjoin dari g ∈ LY relatif terhadap bentuk bilinear
B
dan sebaliknya jika
B x , g y
= B
f x , y
untuk semua x
∈ X dan y ∈ Y . Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut:
L X =
{
f ∈ LX
|
N B
¿
⊆ N f , R f ∩ N B
¿
=
{ }
}
L Y =
{
g ∈ LY
|
N B
¿
⊆ N g , R g ∩ N B
¿
=
{ }
}
S B
=
{
f , g ∈ L
X × L Y
op
|
f , g pasangan adjoin
}
Karyati, dkk [4], [5] mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap operasi biner berikut:
f , g f
, g =
f f , g g
. Semigrup
S B
ini selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear.
Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh rajendran dkk [17], yang dilanjutkan oleh Karyati dkk [4], [5], [6], [7], [8]. Penelitian
dilanjutkan dalam versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk.[6], [7], [8] Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari
Seminar Nasional Matematika 2014 3 Prosiding
Judul Artikel: Times New Roman 11pt, Bold, Center, Kapital
semigrup bentuk bilinear maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.
2.3. Semigrup Fuzzy
Merujuk pada tulisan Asaad [1], Kandasamy [3], Mordeson Malik [16], Shabir [18] dan Zimmerman [19], maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy
α pada himpunan
S
adalah suatu pemetaan dari
S
ke
[
0,1
]
, yaitu
α : S →
[
0,1
]
. Berikut diberikan definisi subsemigrup fuzzy.
Definisi 2.5. [6], [7] Misalkan
S
adalah semigrup. Pemetaan
α : S →
[
0,1
]
disebut subsemigrup fuzzy jika berlaku
α xy≥ min
{
α x , α y
}
untuk setiap
x , y ∈ S
.
Definisi 2.6. [6], [7] Misal
α
adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup
S
, maka:
i α disebut ideal kiri fuzzy jika
∀ x , y∈ S α xy≥ α y
ii α disebut ideal kanan fuzzy jika
∀ x , y ∈ S α xy ≥ αx
iii
α
disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu:
∀ x , y ∈ S α
xy ≥ maks{α
x , α
y }
Apabila
S
merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal dua sisi fuzzy dari
S didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.7. [12], [13] Misalkan
S , ., ≤
semigrup terurut parsial. Subhimpunan
fuzzy
α dari S disebut ideal kiri fuzzy jika :
i.
∀ x , y∈ S αxy≥ α y
ii. ∀ x , y ∈ S
x ≤ y ⟹ α x≥ α y
Definisi 2.8. [12], [13] Misalkan
S , ., ≤
semigrup terurut parsial. Subhimpunan
fuzzy
α
dari
S
disebut ideal kanan fuzzy jika :
i. ∀ x , y ∈ S
αxy ≥ αx ii.
∀ x , y∈ S x ≤ y ⟹ α x≥ α y
2.4. Fuzzy Quasi-Ideals
