Rumusan Masalah Tujuan Penelitian Sistem Dinamik

Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu �. Dikarenakan produk silang tereduksi berkaitan dengan suatu representasi kovarian yang diinduksi dari representasi di �, maka sebelumnya akan dibahas bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert � 2 �, � . Selanjutnya akan dikaji konstruksi produk silang dari sistem dinamik �, �, � yaitu � ⋊ � � dan sifat universal yang berlaku pada produk silang tersebut.

1.2 Rumusan Masalah

Masalah yang akan dikaji dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1.2.1 Bagaimanakah bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert � 2 �, � ? 1.2.2 Bagaimanakah konstruksi produk silang � ⋊ � � dari sistem dinamik �, �, � ? 1.2.3 Bagaimanakah bentuk produk silang tereduksi dari aljabar-C oleh semigrup dari automorfisma berdasarkan sifat universal dari produk silang � ⋊ � � yang diberikan oleh Gerard J. Murphy 1991?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang hendak dicapai dalam tugas akhir ini ialah sebagai berikut: 1.3.1 Mengetahui bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert � 2 �, � . 1.3.2 Mengetahui bagaimana konstruksi produk silang � ⋊ � � dari sistem dinamik �, �, � . 1.3.3 Mengetahui bentuk produk silang tereduksi dari aljabar-C oleh semigrup dari automorfisma berdasarkan sifat universal dari aljabar-C � ⋊ � � yang diberikan oleh Gerard J. Murphy 1991. Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

1.4 Sistematika Penulisan

Pada BAB 1 PENDAHULUAN dipaparkan terlebih dahulu seperti apa permasalahan yang dikaji oleh penulis dan tujuan dari penelitiannya. Lalu pada

BAB 2 KONSEP DASAR ALJABAR OPERATOR, penulis mengenalkan

terlebih dahulu beberapa definisi dari konsep dasar aljabar operator yang akan digunakan dalam mengkaji permasalahan yang diangkat dalam tugas akhir ini. Pada BAB 3 PRODUK SILANG ALJABAR- � ∗ penulis mengenalkan beberapa definisi dasar mengenai produk silang, serta konsep produk silang penuh dan produk silang tereduksi. Pada BAB 4 PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAR- � ∗ OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA penulis mengkaji terlebih dahulu bagaimana konstruksi representasi isometrik reguler, produk silang dari sistem dinamik �, �, � dan produk silang tereduksi dari aljabar-C oleh semigrup pada automorfisma berdasarkan sifat universal dari aljabar-C � ⋊ � � yang diberikan oleh Gerard J. Murphy 1991. Pada BAB 5 PENUTUP terdapat kesimpulan yang diambil berdasarkan permasalahan yang dibahas dan saran dari penyusun untuk pembaca. Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu BAB 3 PRODUK SILANG PADA ALJABAR-C Pada bab ini terdapat beberapa konsep aljabar yang terkait dengan produk silang pada aljabar- ∗ dengan aksi automorfisma dan beberapa contoh dari konsep tersebut. Pada bab ini juga dijabarkan konsep produk silang penuh dan tereduksi dari suatu sistem dinamik yang diberikan.

3.1 Sistem Dinamik

Pada subbab ini akan dijelaskan konsep sistem dinamik. Sistem dinamik memuat suatu aksi, oleh karena itu sebelumnya akan dijelaskan definisi dari aksi. Definisi 3.1.1: Aksi dari Grup pada Suatu Himpunan Misalkan grup abelian dan � suatu himpunan. Aksi dari pada X adalah pemetaan �: × � → �, , ⟼ yang memenuhi: i � � = , ∀ ∈ � dimana � � unsur identitas dari , ii = , ∀ , ∈ , ∈ �. Jika adalah grup topologi dan � adalah ruang topologi, maka aksi tersebut dikatakan kontinu jika , ⟼ adalah kontinu. Contoh 3.1.2: Misal grup dan himpunan � = dengan topologi diskrit adalah semua fungsi kontinu : → . Misal ⊆ himpunan buka, perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − yaitu i − = ∅ ∈ � , ii − ≠ ∅ ⇔ − = ′ ⊆ . Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Misal × � → � diberikan oleh , ⟼ . Akan ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut adalah sebuah aksi kontinu. i Akan ditunjukkan = ∀ ∈ �. Ambil sembarang ∈ dan ∈ �. Karena adalah identitas di maka = . ii Akan ditunjukkan = ∀ , ∈ dan ∈ �. Ambil sembarang , ∈ dan ∈ �. Karena , ∈ dan � = maka berlaku sifat asosiatif = . iii Akan ditunjukkan ⟼ kontinu. Ambil sembarang himpunan buka di yaitu dimana ⊆ . Perhatikan bahwa perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − , yaitu − = ∅ dan − ≠ ∅. Untuk kasus − = ∅, karena ∅ ∈ � maka − ∈ � . Untuk − ≠ ∅, karena − = ′ ⊆ maka − ∈ � . Karena prapeta dari himpunan buka adalah buka maka ⟼ kontinu. Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik Rosjanuardi Albania, 2012:101 Misal adalah grup, adalah aljabar-C dan didefinisikan Aut ≔ {�: → |� isomorfisma −∗}. Grup dikatakan beraksi pada bila terdapat homomorfisma grup �: → Aut . Selanjutnya sistem , , � dikatakan sebagai sistem dinamik dalam hal ini dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan dihubungkan oleh aksi yang homomorfisma �. Contoh 3.2.4: Misalkan untuk setiap ∈ ℝ dan ∈ ℝ didefinisikan dengan � � ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ. Selanjutnya � adalah unsur di ℝ yang didefinisikan dengan � ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ. i Akan ditunjukkan lim → ∞ − + � = lim → ∞ − + −� = 0. Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu Perhatikan jika → ∞ maka −� → ∞. Akibatnya lim →∞ � = lim →∞ −� = 0. Sama halnya dengan → −∞ maka −� → −∞, akibatnya lim →−∞ � = lim →−∞ −� = 0. Oleh karena itu lim → ∞ − + � = lim → ∞ − + −� = 0. ii Misal ∈ ℝ akan ditunjukkan � kontinu di . Ambil � barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga � → . Misal � = � −� karena � → maka � → −� . Karena kontinu, maka � → −� = � . Karena � = � −� = � � , maka � � → � . Berdasarkan i dan ii terbukti � ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ adalah unsur di ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan � � adalah suatu homomorfisma dari ℝ ke ℝ dan pemetaan ⟼ � � adalah homomorfisma grup. Sehingga dapat dibentuk suatu sistem dinamik ℝ , �, ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan ⟼ � � adalah homomorfisma grup, maka diperoleh aksi �: ℝ → Aut ℝ , ⟼ � � = −� ∀ ∈ ℝ iii Akan ditunjukkan � pemetaan Ambil , ∈ ℝ dengan = . Maka = ⇔ −� = −� ⇔ −� = −� ∀ ∈ ℝ Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ⇔ −� = −� ∀ ∈ ℝ ⇔ � � = � � ∀ ∈ ℝ ∴ � pemetaan. iv Akan ditunjukkan � homomorfisma grup. Ambil , ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka � � +� = � +� = − � +� = −� −� = −� −� = � � � = � � � � ∴ � homomorfisma grup. v Akan ditunjukkan � � homomorfisma. Ambil � � , � � ∈ ℝ dan ∈ ℝ � � + = + � = + −� = −� + −� = � � + � � = � � + � � ∴ � � homomorfisma. Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu vi Akan ditunjukkan � � = � � � � . Ambil � � , � � ∈ ℝ dan ∈ ℝ � � = � = −� = −� −� = � � � � = � � � � ∴ � � = � � � � . vii Akan ditunjukkan � � � = �� � . Ambil � � ∈ ℝ , ∈ ℝ dan � ∈ ℂ � � � = � � = � −� = �� � ∴ � � � = �� � . viii Akan ditunjukkan � � ∗ = � � ∗ . Ambil � � ∈ ℝ dan ∈ ℝ � � ∗ = ∗ � = ∗ −� = −� ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ karena adjoin dapat dipandang sebagai konjugasi = � � ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = � � ∗ Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ∴ � � ∗ = � � ∗ . Berdasarkan v, vi, vii dan viii maka � � adalah homomorfisma-. ix Akan ditunjukkan � � injektif. Ambil , ∈ ℝ sedemikian sehingga � � = � � Maka � � = � � −� = −� . Perhatikan bahwa −� ∈ ℝ maka � −� = � −� = . ∴ � � injektif. x Akan ditunjukkan � � onto. Ambil fungsi ∈ ℝ akan ditunjukkan untuk suatu ∈ ℝ sedemikian sehingga = � � untuk setiap ∈ ℝ berlaku � � = � = −� = ∀ ∈ ℝ Pilih ∈ ℝ sedemikian sehingga = −� ∀ ∈ ℝ. Diperoleh � � = � = −� = −� � = ∀ ∈ ℝ Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu ∴ � � onto. Berdasarkan i sampai x diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik. Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian Rosjanuardi Albania, 2012:101 Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C , grup dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi: �� � = � � ∗ , ∀ ∈ , � ∈ . Contoh 3.2.6: Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi ℎ ≔ − ��� dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi � � = − ��� . Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → Τ yang memenuhi ℎ ≔ ℎ dan suatu representasi uniter : ℤ → Τ yang memenuhi � ℎ ≔ ℎ − ��� . Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian � � ∗ ℎ = � ∗ ℎ − ��� = − ��� � ∗ ℎ − ��� = � � ℎ Nadia Shabilla, 2014 PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu = � � ℎ Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .

3.2 Produk Silang