PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAR-C^* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA.

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP

PADA AUTOMORFISMA

SKRIPSI

Diajukan untuk memenuhi sebagian syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar

Oleh Nadia Shabilla

1005195

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP

PADA AUTOMORFISMA

Oleh Nadia Shabilla

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

© Nadia Shabilla 2014 Universitas Pendidikan Indonesia

Juli 2014

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Skripsi ini tidak boleh diperbanyak seluruhya atau sebagian,

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

NADIA SHABILLA

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP

PADA AUTOMORFISMA

disetujui dan disahkan oleh pembimbing:

Pembimbing I

Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si. NIP. 196901191993031001

Pembimbing II

Isnie Yusnitha, S.Si, M. Ed. NIP. 19850609201212202

Mengetahui

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika

Drs. Turmudi, M.Ed., M.Sc., Ph.D. NIP. 196101121987031003

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

ABSTRAK

NADIA SHABILLA

PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAR- ∗ OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Gerard. J. Murphy (1991) mendefinisikan suatu sistem dinamik , �, � terdiri dari aljabar- ∗ dan � semigrup dengan unsur identitas, dimana keduanya dihubungkan oleh aksi homomorfisma � oleh � pada automorfisma di . Produk silang dari sistem dinamik , �, � , yaitu , �, � terdiri dari aljabar- ∗ (yang selanjutnya dinotasikan dengan ⋊_��) dan pasangan �, � yang merupakan homomofisma kovarian di ⋊_��. Pada tulisan ini dipelajari tentang bentuk representasi isometrik reguler dari � semigrup kanselatif kanan (dengan unsur identitas) di ruang Hilbert �2 �, � dan konstruksi produk silang ⋊_�� dari sistem

dinamik , �, � , yang terdiri dari aljabar- ∗ unital dan � semigrup kanselatif kanan dengan identitas. Kemudian dikaji sifat universal dari produk silang ⋊_�� sehingga melahirkan produk silang tereduksi di , �, � .

Kata Kunci: Aljabar- ∗, Sistem Dinamik Aljabar- ∗, Produk Silang Aljabar- ∗, Produk Silang Tereduksi.

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

ABSTRACT

NADIA SHABILLA

REDUCED CROSSED PRODUCT OF C*-ALGEBRA BY SEMIGROUPS OF AUTOMORPHISMS

Gerard.J. Murphy (1991) defined a dynamical system , �, � which contains a C*-algebra and a semigroup with identity element � of automorphism on . The system , �, � is a crossed product for dynamical system , �, � , that contains C*-algebra (which later will be denoted as ⋊_�� and a covariant homomorphism which denoted as a pair �, � . In this paper, we learn a regular

isometric’s form of right-cancellative semigroup (with identity element) � on Hilbert space �2 �, � , construction of crossed product ⋊_�� from a dynamical system , �, � which contains a unital C*-algebra and right-cancellative semigroup (with identity element) �. Moreover, we investigate the universal property of a crossed product ⋊_�� that forms a reduced crossed product on

, �, � .

Keyword:C*-Algebra, C*-Algebra Dynamical System, C*-Algebra Crossed Product,

Nadia Shabilla, 2014

DAFTAR ISI

LEMBAR PERNYATAAN………..i

ABSTRAK……….………...……….ii

KATA PENGANTAR……….……….iii

DAFTAR ISI...v

BAB 1 PENDAHULUAN……….………...….1

1.1Latar belakang……….………..1

1.2Rumusan masalah……….……….2

1.3Tujuan penelitian……….………..2

1.4Sistematika penulisan……….………...2

BAB 2 KONSEP DASAR ALJABAR OPERATOR………….………4

2.1Semigrup……….………..4

2.2Ruang Banach………,………..4

2.3Ruang Hilbert……….……….………..7

2.4Aljabar-C*……….………..11

2.5Fungsional Linier Positif……….………22

2.6Representasi Gelfand-Naimark-Seagal……….………..23

BAB 3 PRODUK SILANG PADA ALJABAR-C*……….…….27

3.1Sistem Dinamik……….………..27

3.2Produk Silang……….……….34

BAB 4 PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP DARI AUTOMORFISMA……….……….….36

4.1Representasi Isometrik Reguler……….….….…36

4.2Konstruksi Produk Silang � ⋊_�� dari Sistem Dinamik (A,M,α)………..…42

4.3Produk Silang Tereduksi dari aljabar-C* � ⋊_��………..……….44 BAB 5 PENUTUP………..……..51

5.1Simpulan……….…….51

5.2Saran………....52

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Teori Crossed Products atau produk silang dari aljabar-C* oleh grup pada automorfisma memiliki peranan penting pada teori aljabar operator. Produk silang pada aljabar-C* oleh grup dari automorfisma biasa disebut produk silang yang klasik. Beberapa ilmuwan matematika telah mengembangkan teori produk silang menjadi bentuk non-klasik yang semakin menarik untuk ditelaah, diantaranya Murphy (1987,1990,1991), Adji, Laca, Nielsen dan Raeburn (1994), Adji (2000), Adji dan Rosjanuardi (2007), Rosjanuardi dan Albania (2012).

Gerard J. Murphy pada papernya yang berjudul Ordered Groups and

Crossed Products of C*-algebras (1991) telah mengenalkan sekaligus

mengembangkan konsep baru dari teori produk silang pada aljabar-C* yaitu teori produk silang oleh semigrup dari automorfisma. Dalam paper tersebut, terdapat proposisi sifat universal dari produk silang aljabar-C* dimana dalam pembuktiannya didefinisikan suatu representasi kovarian yang diinduksi dari represantasi di aljabar-C* �. Dengan menggunakan sifat universal dari produk silang, untuk setiap representasi kovarian yang diinduksi dari representasi di � akan terdapat homomorfisma-* yang unik, dimana peta dari homomorfisma-* tersebut membentuk suatu aljabar- C* baru yaitu produk silang tereduksi.

Berdasarkan uraian diatas, penulis termovitasi untuk mengkaji eksistensi produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup pada automorfisma berdasarkan sifat universal suatu produk silang yang diberikan oleh Gerard J. Murphy (1991). Bentuk sistem dinamik yang digunakan pada tugas akhir ini ialah

�, �, � yang terdiri dari aljabar-C* unital �, semigrup kanselatif kanan � dengan unsur identitas, dan � aksi homomorfisma dari � pada automorfisma dari

2

Nadia Shabilla, 2014

�. Dikarenakan produk silang tereduksi berkaitan dengan suatu representasi kovarian yang diinduksi dari representasi di �, maka sebelumnya akan dibahas bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert �2 �, � . Selanjutnya akan dikaji konstruksi produk silang dari sistem dinamik �, �, � yaitu � ⋊_�� dan sifat universal yang berlaku pada produk silang tersebut. 1.2 Rumusan Masalah

Masalah yang akan dikaji dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut: 1.2.1 Bagaimanakah bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert

�2 _{�, � ?}

1.2.2 Bagaimanakah konstruksi produk silang � ⋊_�� dari sistem dinamik

�, �, � ?

1.2.3 Bagaimanakah bentuk produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup dari automorfisma berdasarkan sifat universal dari produk silang

� ⋊�� yang diberikan oleh Gerard J. Murphy (1991)?

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang hendak dicapai dalam tugas akhir ini ialah sebagai berikut:

1.3.1 Mengetahui bentuk representasi isometrik reguler dari � di ruang Hilbert

�2 _{�, � .}

1.3.2 Mengetahui bagaimana konstruksi produk silang � ⋊_�� dari sistem

dinamik �, �, � .

1.3.3 Mengetahui bentuk produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup dari automorfisma berdasarkan sifat universal dari aljabar-C* � ⋊_�� yang

3

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

1.4 Sistematika Penulisan

Pada BAB 1 PENDAHULUAN dipaparkan terlebih dahulu seperti apa permasalahan yang dikaji oleh penulis dan tujuan dari penelitiannya. Lalu pada

BAB 2 KONSEP DASAR ALJABAR OPERATOR, penulis mengenalkan

terlebih dahulu beberapa definisi dari konsep dasar aljabar operator yang akan digunakan dalam mengkaji permasalahan yang diangkat dalam tugas akhir ini. Pada BAB 3 PRODUK SILANG ALJABAR-�∗ penulis mengenalkan beberapa definisi dasar mengenai produk silang, serta konsep produk silang penuh dan produk silang tereduksi. Pada BAB 4 PRODUK SILANG TEREDUKSI DARI

ALJABAR-�∗ OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA penulis

mengkaji terlebih dahulu bagaimana konstruksi representasi isometrik reguler, produk silang dari sistem dinamik �, �, � dan produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup pada automorfisma berdasarkan sifat universal dari aljabar-C* � ⋊_�� yang diberikan oleh Gerard J. Murphy (1991). Pada BAB 5

PENUTUP terdapat kesimpulan yang diambil berdasarkan permasalahan yang

27

Nadia Shabilla, 2014

BAB 3

PRODUK SILANG PADA ALJABAR-C*

Pada bab ini terdapat beberapa konsep aljabar yang terkait dengan produk silang pada aljabar- ∗ dengan aksi automorfisma dan beberapa contoh dari konsep tersebut. Pada bab ini juga dijabarkan konsep produk silang penuh dan tereduksi dari suatu sistem dinamik yang diberikan.

3.1 Sistem Dinamik

Pada subbab ini akan dijelaskan konsep sistem dinamik. Sistem dinamik memuat suatu aksi, oleh karena itu sebelumnya akan dijelaskan definisi dari aksi.

Definisi 3.1.1: Aksi dari Grup pada Suatu Himpunan

Misalkan grup abelian dan � suatu himpunan. Aksi dari pada X adalah pemetaan �: × � → �, , ⟼ yang memenuhi:

(i) � _� = , ∀ ∈ � dimana � _� unsur identitas dari ,

(ii) = , ∀ , ∈ , ∈ �.

Jika adalah grup topologi dan � adalah ruang topologi, maka aksi tersebut

dikatakan kontinu jika , ⟼ adalah kontinu. Contoh 3.1.2:

Misal grup dan himpunan � = dengan topologi diskrit adalah semua fungsi kontinu : → . Misal ⊆ himpunan buka, perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − yaitu

(i) − = ∅ ∈ � ,

28

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

Misal × � → � diberikan oleh , ⟼ . Akan ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut adalah sebuah aksi kontinu.

(i) Akan ditunjukkan = ∀ ∈ �.

Ambil sembarang ∈ dan ∈ �. Karena adalah identitas di maka

= .

(ii)Akan ditunjukkan = ∀ , ∈ dan ∈ �. Ambil sembarang , ∈ dan ∈ �.

Karena , ∈ dan � = maka berlaku sifat asosiatif = . (iii) Akan ditunjukkan ⟼ kontinu.

Ambil sembarang himpunan buka di yaitu dimana ⊆ . Perhatikan bahwa perhatikan bahwa ada dua kondisi untuk − , yaitu − =

∅ dan − ≠ ∅. Untuk kasus − = ∅, karena ∅ ∈ � maka

− _{∈ � . Untuk} − _{≠ ∅, karena} − ₌ ′ _{⊆ maka} − _{∈ � . Karena prapeta dari himpunan buka adalah buka maka}

⟼ kontinu.

Definisi 3.1.3: Sistem Dinamik (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misal adalah grup, adalah aljabar-C* dan didefinisikan Aut ≔ {�: → |� isomorfisma −∗}. Grup dikatakan beraksi pada bila terdapat

homomorfisma grup �: → Aut . Selanjutnya sistem , , � dikatakan

sebagai sistem dinamik dalam hal ini dua himpunan yang berbeda strukturnya, yaitu dan dihubungkan oleh aksi yang homomorfisma �.

Contoh 3.2.4:

Misalkan untuk setiap ∈ ℝ dan ∈ ℝ didefinisikan dengan �� ≔

−� _{untuk setiap ∈ ℝ. Selanjutnya}

� adalah unsur di ℝ yang

didefinisikan dengan _� ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ. (i) Akan ditunjukkan lim

→ ∞−+ � = lim→ ∞−+

29

Nadia Shabilla, 2014

Perhatikan jika → ∞ maka −� → ∞. Akibatnya lim

→∞ � = lim→∞

−� _{= 0.}

Sama halnya dengan → −∞ maka −� → −∞, akibatnya lim

→−∞ � = lim→−∞

−� _{= 0.}

Oleh karena itu lim

→ ∞−+ � = lim→ ∞−+

−� _{= 0.}

(ii)Misal ∈ ℝ akan ditunjukkan _� kontinu di .

Ambil _� barisan Cauchy di ℝ sedemikian sehingga _� → . Misal _� = _� −� karena _� → maka _� → −�.

Karena kontinu, maka _� → −� = _� . Karena _� = _� −� = _{� �} ,

maka _{� �} → _� .

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti _� ≔ −� untuk setiap ∈ ℝ adalah unsur di ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan �� adalah suatu homomorfisma dari ℝ ke ℝ dan pemetaan ⟼ �_� adalah homomorfisma grup. Sehingga dapat dibentuk suatu sistem dinamik ℝ , �, ℝ . Selanjutnya akan ditunjukkan pemetaan ⟼ �� adalah homomorfisma grup, maka diperoleh aksi

�: ℝ → Aut( ℝ ), ⟼ �� = −� ∀ ∈ ℝ

(iii) Akan ditunjukkan � pemetaan

Ambil , ∈ ℝ dengan = . Maka

= ⇔ −� ₌ −�

30

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

⇔ −� ₌ −� _{∀ ∈ ℝ} ⇔ �� = �� ∀ ∈ ℝ

∴ � pemetaan.

(iv) Akan ditunjukkan � homomorfisma grup. Ambil , ∈ ℝ dan ∈ ℝ maka

�� +� = � +�

= ( − � +� ₎

= −� −�

= −� −�

= �� �

= �� (�� ) ∴ � homomorfisma grup.

(v) Akan ditunjukkan �� homomorfisma. Ambil �� , �� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� + = + �

= + −�

= −� ₊ −�

= �� + �� = �� + �� ∴ �� homomorfisma.

31

Nadia Shabilla, 2014

(vi) Akan ditunjukkan �� = �� �� . Ambil �_� , �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� = �

= −�

= −� −�

= �� �� = (�� �� )

∴ �� = �� �� .

(vii) Akan ditunjukkan �_� � = ��_� . Ambil �_� ∈ ℝ , ∈ ℝ dan � ∈ ℂ

�� � = � �

= � −� = ��� ∴ �� � = ��� .

(viii)Akan ditunjukkan �_� ∗ = (�_� )∗ . Ambil �_� ∈ ℝ dan ∈ ℝ

�� ∗ = ∗ � = ∗ −�

= ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−� _{(karena adjoin dapat dipandang sebagai konjugasi)} = ��̅̅̅̅̅̅̅̅̅

32

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

∴ �� ∗ _{= (�� )}∗ _.

Berdasarkan (v), (vi), (vii) dan (viii) maka �� adalah homomorfisma-*. (ix) Akan ditunjukkan �_� injektif.

Ambil , ∈ ℝ sedemikian sehingga �_� = �_� Maka

�� = ��

−� ₌ −� _.

Perhatikan bahwa −� ∈ ℝ maka

� −� ₌ � −�

= .

∴ �� injektif.

(x) Akan ditunjukkan �_� onto.

Ambil fungsi ∈ ℝ akan ditunjukkan untuk suatu ∈ ℝ sedemikian sehingga = �� untuk setiap ∈ ℝ berlaku

�� = � = −� = ∀ ∈ ℝ

Pilih ∈ ℝ sedemikian sehingga

= −� _{∀ ∈ ℝ.}

Diperoleh

�� = �

= −�

= −� � = ∀ ∈ ℝ

33

Nadia Shabilla, 2014

∴ �� onto.

Berdasarkan (i) sampai (x) diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik.

Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup

dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi

kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah

representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi: �(� � ) = � � ∗ _{, ∀ ∈ , � ∈ .}

Contoh 3.2.6:

Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi

ℎ ≔ − ���

dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi

�� = ( − ��� ).

Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → ( Τ ) yang memenuhi

ℎ ≔ ℎ

dan suatu representasi uniter : ℤ → ( Τ ) yang memenuhi

�ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian

� �∗ℎ = �∗ℎ( − ��� )

= ( − ��� ₎

�∗ℎ( − ��� )

34

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

= �� ℎ

Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .

3.2 Produk Silang

Pada subbab ini akan dijelaskan perbedaan produk silang penuh dengan produk silang tereduksi.

Definisi 3.2.1: Produk Silang (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup

dan aksi yang homomorfisma �: → Aut . Produk silang dari , , � adalah

sistem , � , �_� yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan

⋊� ), homomorfisma unital � : → ⋊� dan homomorfisma ��: → ⋊� yang memenuhi:

(i) Pasangan � , �_� adalah kovarian,

(ii)Untuk setiap representasi kovarian �, dari , , � terdapat

representasi unital � × dari sedemikian sehingga � × °� = � dan � × °�� = ,

(iii) Aljabar-C* ⋊_� dibangun oleh {� � |� ∈ } ∪ {�_� | ∈ }.

3.2.1 Produk Silang Penuh dan Produk Silang Tereduksi (Sierakowski, 2009:6)

Diberikan suatu sistem dinamik , , � yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut A . Misal didefinisikan representasi kovarian �, yang terdiri dari representasi uniter : → dan representasi unital �: → sedemikian sehingga

�(� � ) = � � ∗

untuk setiap � ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan

35

Nadia Shabilla, 2014

Himpunan fungsi _� , dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈

∗ = ∑ � ( − ₎

∈�

untuk setiap ∈ dan operasi involusi

∑ ∈�

∗

= ∑ � − ∗

∈�

sehingga _� , dapat dipandang sebagai aljabar-*. Misal � × adalah representasi-* dari _� , di ruang Hilbert (Williams, 1952:49). Norm aljabar- ∗ penuh di _� , didefinisikan oleh

‖ ‖ ≔ sup{‖ � × ‖}

untuk setiap representasi � × . Lengkapan dari _� , atas norm tersebut adalah aljabar- ∗ yang disebut dengan produk silang penuh atas oleh dan dinotasikan dengan ⋊� (Williams, 1952:52). Norm aljabar- ∗ tereduksi di

� , didefinisikan oleh

‖ ‖� = ‖ �̅ × ‖ ℋ

dimana �̅ × : _� , → ℋ adalah representasi reguler yang berasosiasi dengan representasi kovarian �̅, , yang diberikan oleh

�̅ � � ,ℎ= � ,�( − �)ℎ � ,ℎ = � ,ℎ

untuk setiap � ∈ , , ∈ dan ℎ ∈ dimana �: → adalah representasi yang faithful dan

ℋ = � , ≔ {� ,ℎ: → , ⟼ � , ℎ|� , adalah delta kronecker}.

Produk silang tereduksi ⋊_�� adalah lengkapan dari _� , atas norm aljabar- ∗ tereduksi.

51

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

BAB 5

PENUTUP

5.1 Simpulan

Misalkan sebuah ruang Hilbert. Bentuk representasi isometrik reguler dari semigrup kanselatif kanan di �2 , = {�: → | ∑‖� ‖2 < +∞} ialah

�2 _{, , , dimana ∀ , ∈ pemetaan ∶ → (�}2 _{, ), ⟼} �adalah homomorfisma isometrik.

Sistem dinamik , , � terdiri dari aljabar- ∗ unital, semigrup kanselatif kanan dengan unsur identitas dan � aksi homomorfisma dari grup automorfisma . Dalam pengkonstruksian produk silang dari artinya , , � kita hendak mengkonstruksi aljabar- ∗. Diawali dengan memisalkan � sebagai aljabar-* yang bebas pada himpunan ∪ dan adalah ideal self-adjoint di � dimana �/ unital. Kemudian dimisalkan sebagai lengkapan-C* dari kosien aljabar-* ₀ dan adalah homomorfisma-* kanonik dari �/ ke yang diberikan oleh � = � + . Selanjutnya ⋊_� dipandang sebagai subaljabar-C* dari yang dibangun oleh { � _�|� ∈ , ∈ }.

Sifat universal dari produk silang ⋊_� yang didefinisikan oleh G.J Murphy adalah sebagai berikut: (Murphy, 1991: 323) misal , , � sistem dinamik. pemetaan dan injektif dan ⋊_� dibangun oleh { � _�|� ∈

, ∈ }. Jika �, adalah homomorfisma kovarian dari , , � ke

aljabar-C* yang unital ℬ maka terdapat homomorfisma-* yang tunggal � ×

: ⋊� → sedemikian sehingga

� × � � = � � � ∀� ∈ ∈

Selanjutnya berdasarkan sifat universal dari produk silang, diperoleh bentuk produk silang tereduksi dari , , � yaitu

52

Nadia Shabilla, 2014

⋊�� = �̅ × ⋊� = �̅ � �.

Karena �̅ dan injektif, maka �̅( � ) dapat diidentifikasi untuk setiap unsur � di . Oleh karena itu bentuk ⋊_�� dibangun oleh {� _�|� ∈ , ∈ }.

5.2 Saran

Untuk lebih lanjut mendalami produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup oleh automorfisma, pembaca dapat mengkaji sifat-sifat yang dimiliki oleh seminorm- ∗ dari suatu aljabar-* dan aljabar-* bernorm. Kemudian pembaca dapat memandang sebagai aljabar-C* non-unital sehingga dapat dikonstruksi suatu aljabar multiplier ℳ ⋊_� .

Nadia Shabilla, 2014

PRODUK SILANG DARI ALJABAR-C* OLEH SEMIGRUP PADA AUTOMORFISMA

Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu | perpustakaan.upi.edu

DAFTAR PUSTAKA

Albania, I. N. & Rosjanuardi, R. (2012). “On Graph Algebras and Crossed Product by Semigroups”. Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS). 67,

(1), 99-110.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. United States of America : University of Windsor.

Murphy, G. J. (1987). Ordered Groups and Toeplitz Algebras. J. Operator Theory. 18. 303-326

Murphy, G.J. (1990). C*-Algebras and Operator Theory. Ireland : University College.

Murphy, G.J. (1991). ”Ordered Groups and Crossed Products of C*-algebras”, Pacific J. Math. 148, 319-349.

Rosjanuardi, R. dan Adji, S. (2007). Twisted Semigroup Crossed Products and

Twisted Toeplitz Algebras of Ordered Groups. Acta Mathematica Sinica. 23 (9).

1639-1648.

S. Adji. (2000). Semigroup Crossed Products and The Structure of Toeplitz

Algebras. J. Operator Theory. 44. 139-150.

S. Adji, M. Laca, M. Nilsen dan I. Raeburn. (1994). Crossed Products by

Semigroups of Endomorphisms and the Toeplitz Algebras of Ordered Groups.

Proc. Amer. Math. Soc. 122. 1133-1141.

Sierakowski, A. (2009). Discrete Crossed Product C*-algebras, Denmark: Department of Mathematical Sciences, Univeristy of Copenhagen.

Simoes, R. (2011). Product Type Actions with Rokhlin Properties. Tesis, Universidade Tecnica de Lisboa.

Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia, Tugas Akhir.

∴ �� onto.

Berdasarkan (i) sampai (x) diperoleh � adalah aksi dari = ℝ melalui automorfisma sedemikan sehingga ℝ , ℝ, � adalah sistem dinamik.

Definisi 3.2.5: Representasi Kovarian (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi � yang merupakan homomorfisma �: → Aut . Sebuah representasi kovarian dari , , � adalah pasangan �, dimana �: → adalah representasi yang unital, dan : → representasi uniter yang memenuhi:

�(� � ) = � � ∗ _{, ∀ ∈ , � ∈ .}

Contoh 3.2.6:

Misal ℎ ∈ Homeo Τ dimana memenuhi

ℎ ≔ − ���

dan misal Τ , ℤ, α adalah sistem dinamik yang memenuhi

�� = ( − ��� ).

Lalu dimisalkan suatu representasi : Τ → ( Τ ) yang memenuhi

ℎ ≔ ℎ

dan suatu representasi uniter : ℤ → ( Τ ) yang memenuhi �ℎ ≔ ℎ( − ��� ).

Akan ditunjukkan bahwa , adalah representasi kovarian

� �∗ℎ = �∗ℎ( − ��� )

= ( − ��� ₎

�∗ℎ( − ��� )

= �� ℎ

Maka terbukti , adalah representasi kovarian dari Τ , ℤ, α .

3.2 Produk Silang

Pada subbab ini akan dijelaskan perbedaan produk silang penuh dengan produk silang tereduksi.

Definisi 3.2.1: Produk Silang (Rosjanuardi & Albania, 2012:101)

Misalkan , , � adalah sistem dinamik yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut . Produk silang dari , , � adalah sistem , � , �_� yang terdiri dari aljabar-C* (aljabar-C* dinotasikan dengan

⋊� ), homomorfisma unital � : → ⋊� dan homomorfisma ��: →

⋊� yang memenuhi:

(i) Pasangan � , �_� adalah kovarian,

(ii)Untuk setiap representasi kovarian �, dari , , � terdapat representasi unital � × dari sedemikian sehingga � × °� = � dan

� × °�� = ,

(iii) Aljabar-C* ⋊_� dibangun oleh {� � |� ∈ } ∪ {�_� | ∈ }.

3.2.1 Produk Silang Penuh dan Produk Silang Tereduksi (Sierakowski, 2009:6)

Diberikan suatu sistem dinamik , , � yang terdiri dari aljabar-C* , grup dan aksi yang homomorfisma �: → Aut A . Misal didefinisikan representasi kovarian �, yang terdiri dari representasi uniter : → dan representasi unital �: → sedemikian sehingga

�(� � ) = � � ∗

untuk setiap � ∈ dan ∈ . Selanjutnya didefinisikan

Himpunan fungsi _� , dilengkapi dengan konvolusi untuk setiap ∈

∗ = ∑ � ( − ₎

∈�

untuk setiap ∈ dan operasi involusi

∑

∈�

∗

= ∑ � − ∗

∈�

sehingga _� , dapat dipandang sebagai aljabar-*. Misal � × adalah representasi-* dari _� , di ruang Hilbert (Williams, 1952:49). Norm aljabar- ∗ penuh di _� , didefinisikan oleh

‖ ‖ ≔ sup{‖ � × ‖}

untuk setiap representasi � × . Lengkapan dari _� , atas norm tersebut adalah aljabar- ∗ yang disebut dengan produk silang penuh atas oleh dan dinotasikan dengan ⋊_� (Williams, 1952:52). Norm aljabar- ∗ tereduksi di

� , didefinisikan oleh

‖ ‖� = ‖ �̅ × ‖ ℋ

dimana �̅ × : _� , → ℋ adalah representasi reguler yang berasosiasi dengan representasi kovarian �̅, , yang diberikan oleh

�̅ � � ,ℎ= � ,�( − �)ℎ

� ,ℎ = � ,ℎ

untuk setiap � ∈ , , ∈ dan ℎ ∈ dimana �: → adalah representasi yang faithful dan

ℋ = � , ≔ {� ,ℎ: → , ⟼ � , ℎ|� , adalah delta kronecker}. Produk silang tereduksi ⋊_�� adalah lengkapan dari _� , atas norm aljabar- ∗ tereduksi.

BAB 5

PENUTUP

5.1 Simpulan

Misalkan sebuah ruang Hilbert. Bentuk representasi isometrik reguler dari semigrup kanselatif kanan di �2 , = {�: → | ∑‖� ‖2 < +∞} ialah �2 _{, , , dimana ∀ , ∈ pemetaan ∶ → (�}2 _{, ), ⟼}

�adalah homomorfisma isometrik.

Sistem dinamik , , � terdiri dari aljabar- ∗ unital, semigrup kanselatif kanan dengan unsur identitas dan � aksi homomorfisma dari grup automorfisma . Dalam pengkonstruksian produk silang dari artinya , , � kita hendak mengkonstruksi aljabar- ∗. Diawali dengan memisalkan � sebagai aljabar-* yang bebas pada himpunan ∪ dan adalah ideal self-adjoint di � dimana �/ unital. Kemudian dimisalkan sebagai lengkapan-C* dari kosien aljabar-* ₀ dan adalah homomorfisma-* kanonik dari �/ ke yang diberikan oleh � = � + . Selanjutnya ⋊_� dipandang sebagai subaljabar-C* dari yang dibangun oleh { � _�|� ∈ , ∈ }.

Sifat universal dari produk silang ⋊_� yang didefinisikan oleh G.J Murphy adalah sebagai berikut: (Murphy, 1991: 323) misal , , � sistem dinamik. pemetaan dan injektif dan ⋊_� dibangun oleh { � _�|� ∈

, ∈ }. Jika �, adalah homomorfisma kovarian dari , , � ke

aljabar-C* yang unital ℬ maka terdapat homomorfisma-* yang tunggal � × : ⋊� → sedemikian sehingga

� × � � = � � � ∀� ∈ ∈

Selanjutnya berdasarkan sifat universal dari produk silang, diperoleh bentuk produk silang tereduksi dari , , � yaitu

⋊�� = �̅ × ⋊� = �̅ � �.

Karena �̅ dan injektif, maka �̅( � ) dapat diidentifikasi untuk setiap unsur � di . Oleh karena itu bentuk ⋊_�� dibangun oleh {� _�|� ∈ , ∈ }.

5.2 Saran

Untuk lebih lanjut mendalami produk silang tereduksi dari aljabar-C* oleh semigrup oleh automorfisma, pembaca dapat mengkaji sifat-sifat yang dimiliki oleh seminorm- ∗ dari suatu aljabar-* dan aljabar-* bernorm. Kemudian pembaca dapat memandang sebagai aljabar-C* non-unital sehingga dapat dikonstruksi suatu aljabar multiplier ℳ ⋊_� .

DAFTAR PUSTAKA

Albania, I. N. & Rosjanuardi, R. (2012). “On Graph Algebras and Crossed

Product by Semigroups”. Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS). 67, (1), 99-110.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. United States of America : University of Windsor.

Murphy, G. J. (1987). Ordered Groups and Toeplitz Algebras. J. Operator Theory. 18. 303-326

Murphy, G.J. (1990). C*-Algebras and Operator Theory. Ireland : University College.

Murphy, G.J. (1991). ”Ordered Groups and Crossed Products of C*-algebras”, Pacific J. Math. 148, 319-349.

Rosjanuardi, R. dan Adji, S. (2007). Twisted Semigroup Crossed Products and Twisted Toeplitz Algebras of Ordered Groups. Acta Mathematica Sinica. 23 (9). 1639-1648.

S. Adji. (2000). Semigroup Crossed Products and The Structure of Toeplitz Algebras. J. Operator Theory. 44. 139-150.

S. Adji, M. Laca, M. Nilsen dan I. Raeburn. (1994). Crossed Products by Semigroups of Endomorphisms and the Toeplitz Algebras of Ordered Groups. Proc. Amer. Math. Soc. 122. 1133-1141.

Sierakowski, A. (2009). Discrete Crossed Product C*-algebras, Denmark: Department of Mathematical Sciences, Univeristy of Copenhagen.

Simoes, R. (2011). Product Type Actions with Rokhlin Properties. Tesis, Universidade Tecnica de Lisboa.

Waskita, A.C. (2008). Sifat Norm Dari Pemetaan Positif Pada Sistem Operator. Bandung: Universitas Pendidikan Indonesia, Tugas Akhir.