BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Graf
Teori graf merupakan pokok bahasan yang banyak penerapannya pada masa kini [2]. Pemakaian teori graf telah banyak dirasakan dalam berbagai ilmu, antara lain:
optimisasi jaringan, ekonomi, psikologi, genetika, riset operasi OR, dan lain-lain. Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang
matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg [5] sekarang, bernama Kaliningrad.
Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut:
Gambar 2.1 Masalah Jembatan Königsberg
Masalah yang dikemukakan Euler: Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang
merepresentasikan ilustrasi jembatan Königsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang
menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.2 Representasi Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang
menghubungkan setiap daratan harus genap.
2.1.1 Definisi Graf
Graf merupakan struktur diskrit yang terdiri himpunan sejumlah berhingga
obyek yang disebut simpul vertices, vertex dan himpunan sisi edges yang menghubungkan simpul-simpul tersebut [8]. Graf digunakan untuk merepresentasikan
objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Notasi sebuah graf adalah G = V, E, dimana:
• V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul vertices, misalkan V = { v1 , v2 , ... , vn }
• E merupakan himpunan sisi – sisi edges yang menghubungkan sepasang simpul, misalkan E = {e1 , e2 , ... , en }
Contoh: Graf
dari masalah jembatan Königsberg dapat disajikan sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.3 Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
2.1.2 Macam – macam Graf
Macam – macam graf menurut arah dan bobotnya, graf dibagi menjadi empat bagian [8], yaitu:
1 Graf berarah dan berbobot: setiap edge mempunyai arah yang ditunjukkan dengan anak panah dan bobot. Gambar 2.4 adalah contoh graf berarah dan
berbobot yang terdiri dari tujuh vertek yaitu vertek A, B, C, D, E, F, G. Vertek A mempunyai dua edge yang masing – masing menuju ke vertek B dan vertek C,
vertek B mempunyai tiga edge yang masing – masing menuju ke vertek C, vertek D dan vertek E. Bobot antara vertek A dan vertek B pun telah di ketahui.
Gambar 2.4 Graf Berarah dan Berbobot
2 Graf tidak berarah dan berbobot: setiap edge tidak mempunyai arah tetapi mempunyai bobot. Gambar 2.5 adalah contoh graf tidak berarah dan berbobot.
Universitas Sumatera Utara
Graf terdiri dari tujuh vertek yaitu vertek A, B, C, D, E, F, G. Vertek A
mempunyai dua edge yang masing – masing berhubungan dengan vertek B dan vertek
C, tetapi dari masing – masing edge tersebut tidak mempunyai arah. Edge yang menghubungkan vertek A dan vertek B mempunyai bobot yang telah
diketahui begitu pula dengan edge – edge yang lain.
Gambar 2.5 Graf Tidak Berarah dan Berbobot
3 Graf berarah dan tidak berbobot: setiap edge mempunyai arah tetapi tidak mempunyai bobot. Gambar 2.6 adalah contoh graf berarah dan tidak berbobot.
Gambar 2.6 Graf Berarah dan Tidak Berbobot
4 Graf tidak berarah dan tidak berbobot: setiap edge tidak mempunyai arah dan
tidak terbobot. Gambar 2.7 adalah contoh graf tidak berarah dan tidak berbobot.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Graf Tidak Berarah dan Tidak Berbobot
2.1.3 Matriks Ketetanggaan adjacency matrix dan Matriks Bersisian incidency
matrix dari Suatu Graf
• Matriks
bertetanggaan Dua buah simpul dikatakan bertetangga jika kedua simpul tersebut terhubung
langsung oleh suatu sisi [8]. Matriks ketetanggaan untuk graf sederhana merupakan matriks
busur sangkar yang unsur-unsurnya hanya terdiri dari dua bilangan yaitu 0 nol dan 1 satu. Baris dan kolom pada matriks ini, masing-masing merupakan
representasi dari setiap simpul pada graf tersebut. Misalkan �
��
merupakan unsur pada matriks
tersebut, maka: a Jika
�
��
= 1 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j bertetangga. b Jika
�
��
= 0 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j tidak bertetangga. Contoh:
Perhatikan graf sederhana berikut ini:
Gambar 2.8 Graf Sederhana
Matriks ketetanggaan dari graf tersebut adalah sebagai berikut:
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Matriks Ketetanggaan dari Graf Sederhana
P Q
R S
A 1
1 B
1 1
1 C
1 1
D 1
1 1
Terlihat bahwa matriks tersebut simetris dan setiap unsur diagonalnya adalah nol 0. Matriks ketetanggaan untuk graf tak sederhana merupakan matriks bujur sangkar
yang unsur-unsurnya hanya terdiri dari bilangan 0 nol, 1 satu dan 2 dua. Baris dan kolom pada matriks ini, masing-masing merupakan representasi dari setiap simpul
pada graf tersebut. Misalkan �
��
merupakan unsur pada matriks tersebut, maka: a Jika
�
��
= n maka hal ini berarti simpul i dan simpul j bertetangga oleh n buah sisi. b Jika
�
��
= 0 maka hal ini berarti simpul i dan simpul j tidak bertetangga. Contoh:
Perhatikan graf dari masalah jembatan Königsberg:
Gambar 2.9 Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
Matriks ketetanggaan dari graf tersebut adalah sebagai berikut:
Tabel 2.2 Matriks ketetanggaan Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
P Q
R S
A 2
2 1
B 2
1 1
C 2
1 1
D 1
1 1
Universitas Sumatera Utara
• Matriks
Bersisian Sementara itu, suatu sisi e dikatakan bersisian dengan simpul v1 dan simpul v2 jika e
menghubungkan kedua simpul tersebut, dengan kata lain e = v1, v2 [8]. Seperti halnya matriks ketetanggaan, unsur-unsur matriks bersisian pun hanya terdiri dari dua
bilangan yaitu 0 nol dan 1 satu, tapi tidak harus bujur sangkar. Hal ini disebabkan, baris dan kolom pada matriks bersisian, masing-masing merepresentasikan simpul dan
sisi pada graf yang dimaksud. Misalkan �
��
merupakan unsur pada matriks tersebut, maka:
a Jika �
��
= 1 maka hal ini berarti simpul ke-i dan sisi ke-j adalah bersisian. b Jika
�
��
= 0 maka hal ini berarti simpul ke-i dan sisi ke-j tidak bersisian. Contoh:
Perhatikan graf berikut ini:
Gambar 2.10 Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
Bentuk matriks bersisian dari graf tersebut adalah:
Tabel 2.3 Matriks Bersisian Graf dari Masalah Jembatan Königsberg
�� �� �� �� �� �� �� A
1 1
1 1
1 B
1 1
1 C
1 1
1 D
1 1
1
Universitas Sumatera Utara
2.1.4 Lintasan dan Sirkuit Euler serta Lintasan dan Sirkuit Hamilton
• Lintasan dan Sirkuit Euler
Lintasan Euler dalam suatu graf merupakan lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam graf tersebut tepat satu kali [8]. Jika lintasan tersebut kembali kesimpul awal
sehingga membentuk lintasan tertutup sirkuit maka lintasan ini dinamakan sirkuit Euler
. Dengan demikian, sirkuit Euler merupakan sirkuit yang melewati masing- masing sisi tepat satu kali. Graf yang memuat sirkuit Euler dinamakan graf Euler
Eulerian graph, sedangkan graf yang memuat lintasan Euler dinamakan graf semi Euler
semi-Eulerian graph.
Contoh: Perhatikan graf berikut ini:
Gambar 2.11 Graf Euler
Graf G1 merupakan graf Euler karena memiliki lintasan yang membentuk lintasan tertutup sirkuit, yaitu: pr – rt – ts – sq – qt – tp. Sementara itu,
Gambar 2.12 Graf Semi Euler
Terlihat bahwa graf G2 merupakan graf semi Euler karena graf tersebut memiliki lintasan yang melalui masing-masing sisi didalam graf tersebut tepat satu
kali. Lintasan tersebut adalah: pq – qs – st – tp – pr – rt – tq.
Universitas Sumatera Utara
• Lintasan dan Sirkuit Hamilton
Lintasan Hamilton suatu graf merupakan lintasan yang melalui setiap simpul dalam graf
tersebut tepat satu kali [8]. Jika lintasan tersebut kembali kesimpul awal, sehingga membentuk lintasan tertutup sirkuit maka lintasan ini dinamakan sirkuit Hamilton.
Dengan demikian, sirkuit Hamilton merupakan sirkuit yang melewati masing- masing sisi tepat satu kali. Graf yang memuat sirkuit Hamilton dinamakan graf
Hamilton Hamiltonian graph, sedangkan graf yang memuat lintasan Hamilton
dinamakan graf semi Hamilton semi- Hamiltonian graph.
Contoh: Perhatikan tiga graf di bawah ini:
Gambar 2.13 graf
Graf G1 merupakan graf semi Hamilton, lintasan hamiltonya adalah:
s – r – p – q – r. Sedangkan graf G2 merupakan graf Hamilton, sirkuit hamiltonya adalah:
t – p – r – q – p – s – q – t . Sementara itu pada graf G3 tidak terdapat lintasan maupun sirkuit Hamilton.
2.2 Optimasi
Kategori