JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
113 Gambar 2. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t=
–30 sebelum tumbukan
Gambar 3. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 0 saat tumbukan
Gambar 4. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 30 setelah tumbukan
4. REFORMULASI SOLUSI 3-SOLITON
Solusi 3-soliton dari persamaan KdV pada persamaan 3.48 dapat dinyatakan sebagai superposisi soliton individu.
Proposisi : Solusi N-soliton N = 3 dari persamaan KdV ditulis dalam bentuk
3 1
n n
u u
42
Reformulasi dari Soliton 3 … Dian Mustikaningsih dan Sutimin __________________________________________________________________
114 43
, ln
g
n n
2 1
n n
f f
44
3. 2,
1, n
, t
x dengan
n 3
n n
n
a a
adalah 3
N kasus
untuk dan
Fungsi
n n
f f
45 Bukti :
Dari persamaan 39, persamaan 45 dapat ditulis menjadi
, h
h A
h h
1 ,
h h
A h
h 1
3 1
13 3
1 2
3 2
23 3
2 1
f f
, h
h A
h h
1
2 1
12 2
1 3
f kemudian jika diatas disubstitusikan ke persamaan 44 diperoleh
3 2
23 3
2 3
2 123
3 13
2 12
2 1
1 1
h h
A h
h 1
h h
A h
A h
A 1
ln g
,
3 1
13 3
1 3
1 123
3 23
1 12
2 1
2 2
h h
A h
h 1
h h
A h
A h
A 1
ln g
,
47
2 1
12 2
1 2
1 123
2 23
1 13
2 1
3 3
h h
A h
h 1
h h
A h
A h
A 1
ln g
.
Perhatikan bahwa,
h h
h A
h h
A h
h A
h h
A h
h h
1 h
h h
A 2
h h
A 2
h h
A 2
h h
A 2
h 2
h 2
h 2
g tanh
g tanh
g tanh
2 2
1 3
2 1
123 3
2 23
3 1
13 2
1 12
3 2
1 3
2 2
123 3
2 1
3 2
23 3
2 3
1 13
3 1
2 1
12 2
1 3
3 2
2 1
1 3
3 2
2 1
1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
, 2
exp2 A
exp2 A
exp2 A
1 ,
2 exp2
A exp2
A exp2
A 1
, 2
exp2 A
exp2 A
exp2 A
1 ,
2 exp2
A exp2
exp2 1
, 2
exp2 A
exp2 exp2
1 ,
2 exp2
A exp2
exp2 1
2 1
123 2
23 1
13 3
3 1
123 3
23 1
12 2
3 2
123 3
13 2
12 1
2 1
12 2
1 3
3 1
13 3
1 2
3 2
23 3
2 1
f f
f f
f f
, h
h A
h A
h A
1 ,
h h
A h
A h
A 1
, h
h A
h A
h A
1
2 1
123 2
23 1
13 3
3 1
123 3
23 1
12 2
3 2
123 3
13 2
12 1
f f
f
n 2
n n
n n
n
g sech
x g
2 g
tanh x
2 u
dimana
a
a
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
115 .
g tanh
atau
2 2
1 3
1 n
n
a a
a f
f a
x n
48 Apabila persamaan 48 dikalikan dengan dua dan didiferensialkan terhadap
x, maka 49
diperoleh
f f
x
x 2
u
3 1
n n
. 51
5. BENTUK ASYMPTOTIK SOLUSI 3-SOLITON
Dalam pembahasan bentuk asymptotik dari solusi 3-soliton akan ditinjau perambatan gelombang pada transformasi koordinat bergerak dengan mengambil
parameter t .
t x
3 n
n n
a a
.
52
. t
Pada i
Untuk
i
konstan,
3 2
,
, maka diperoleh
53 yang ekuivalen dengan solusi soliton pertama tanpa mengalami pergeseran fase.
Untuk
2
konstan
3
,
1
,
maka diperoleh 54
yang ekuivalen dengan solusi soliton kedua yang mengalami perubahan fase sebesar
12 2
1
lnA . Untuk
3
konstan
2
,
1
,
maka diperoleh 55
yang ekuivalen dengan solusi soliton ketiga yang mengalami pergeseran fase
sebesar lnA
lnA
13 12
2 1
.
berlaku 3,
2, 1,
n ,
t x
fase abel
untuk vari sehingga
, mengambil
dan n
diasumsika keumumam
mengurangi Tanpa
n n
3 n
n n
n 3
2 1
a
a a
a a
x 2
x 2
g tanh
2 x
2 2
1 3
1 n
n n
a a
a f
f a
x
. lnA
sech 2
u u
12 2
1 2
2 2
2 2
a
lnA lnA
sech 2
u u
23 13
2 1
3 2
2 3
3
a
sech 2
u u
1 2
2 1
1
a
Reformulasi dari Soliton 3 … Dian Mustikaningsih dan Sutimin __________________________________________________________________
116 Dengan cara yang sama, diperoleh
56
6. PERGESERAN FASE SOLUSI 3-SOLITON
