JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
109
c 1
c u
c u
e
. 6
Sehingga solusi gelombang soliter dari persamaan KdV adalah ct
x c
sech c
t ux,
2 1
2 2
1
. 7
Profil gelombang dari persamaan 7 untuk u positif diperlihatkan pada gambar 1, dengan c = ¼.
Gambar 1. Profil gelombang soliter ct
x c
sech c
t ux,
2 1
2 2
1
pada t =
– 50 dan t = 50, yang merambat dalam arah x
3. SOLUSI 3-SOLITON DARI PERSAMAAN KDV DENGAN METODE HIROTA
Misalkan solusi gelombang soliter u = w
x
, maka persamaan KdV dapat ditulis menjadi
w
xt
– 6w
x
w
xx
+ w
xxxx
= 0, 8
kemudian apabila diintegralkan terhadap x dan menggunakan syarat w
t
, w
x
, w
xx
, …0 untuk x maka persamaan 12 dapat ditulis menjadi
w
t
– 3w
x 2
+w
xxx
= 0. 9
Reformulasi dari Soliton 3 … Dian Mustikaningsih dan Sutimin __________________________________________________________________
110 Dengan mengambil
f f
w
x
2
dan didifferensialkan terhadap x dan t, maka diperoleh persamaan KdV hirota
10 Dengan menggunakan operator bilinier
11 maka persamaan 10 menjadi
B . = D
x
D
t
+ D
x 3
. = 2. 0 = 0 12
yang merupakan bentuk bilinear dari persamaan KdV. Solusi gelombang soliter dapat digeneralisasi ke solusi N-soliton, yang
lebih mudah diselesaikan dengan mengambil parameter sebarang , misalkan
solusi N-soliton secara umum dapat ditulis 13
dengan
t x,
1 t
x,
n 1
n n
f f
14
dan ,
2 exp
1 n
n n
f 15
dimana
n n
n n
t x
a
, n = 1, 2, 3, …. apabila persamaan 15 disubstitusikan ke persamaan 16 maka diperoleh
... .
B ε
... .
1 .
1 .
B ε
. 1
1 .
B ε
B1.1
m m
m r
r 2
1 1
2 2
1 1
f f
f f
f f
f f
16 dimana
. ...
r r
r 1
r 1
r r
2 2
r 1
1 r
r r
m m
m r
f f
f f
f f
f f
f f
f f
Jika diasumsikan 1
f
dan karena sebarang parameter maka
r
r = 1,2,… tidak identik dengan nol sehingga persamaan 16 dapat dinyatakan oleh
B 1.1 = 0, 17
t t
x x
1 1
n 1
m 1
n x
m t
1 1
t ,
x t
x, x
x t
t .
D D
g
f g
f .
4 3
xxx x
xxxx 2
xx t
x xt
f
f ff
f f
f ff
t x,
ln x
2 t
ux,
2 2
f
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
111 B
1
.1 + 1.
1
= 0, 18
B
2
.1 +
1
.
1
+ 1.
2
= 0, 19
B
3
.1 +
2
.
1
+
1
.
2
+ 1.
3
= 0, 20
begitu seterusnya.
Karena , maka B
n
.1 = B 1.
n
, dan B
n
.
n+1
= B
n+1
.
n
, untuk n = 1, 2, 3,… sehingga dari persamaan 17
– 20 dapat ditulis menjadi D
1
= 0, 21
2 D
2
= - B
1
.
1
, 22
D
3
= - B
1
.
2
. 23
Menurut persamaan 15, dimisalkan ,
2 exp
2 exp
2 exp
3 2
1 1
f 24
dengan variabel fase 3.
2, 1,
i ,
t x
i i
i i
a
Substitusi
1
ke persamaan 21, diperoleh
25 Persamaan 25 akan menentukan relasi dispersi non linier untuk solusi
3-soliton 3
2, 1,
i ,
4
3 i
i
a
sehingga variabel fase dapat ditulis menjadi
3. 2,
1, i
, t
4 x
i 3
i i
i
a a
Apabila
1
disubstitusikan ke persamaan 22 maka
. 2
2 exp
3 2
2 exp
3 2
2 exp
3 D
3 2
2 3
2 3
2 3
1 2
3 1
3 1
2 1
2 2
1 2
1 2
a
a a
a a
a a
a a
a a
a f
26
Kemudian apabila persamaan 26 diintegralkan terhadap x dan t untuk menghilangkan operator D maka diperoleh
2 2
exp 2
2 exp
2 2
exp
3 2
23 3
1 13
2 1
12 2
A A
A
f
27 1.a
D D
x t
a a.1
D D
x t
2 x
t
2 exp
2 exp
2 exp
8 2
8 2
8 2
3 2
1 3
3 3
3 2
2 3
1 1
a a
a
Reformulasi dari Soliton 3 … Dian Mustikaningsih dan Sutimin __________________________________________________________________
112
. ,
, dengan
2 3
2 3
2 23
2 3
1 3
1 13
2 2
1 2
1 12
A A
A
a
a a
a a
a a
a a
a a
a
28 Dengan cara yang sama untuk memperoleh
3
2 2
2 exp
3 2
1 2
3 2
2 3
1 2
2 1
2 3
2 2
3 1
2 2
1 3
a
a a
a a
a a
a a
a a
a f
36
. dengan
2 3
2 3
2 2
3 1
3 1
2 2
1 2
1 123
A
a
a a
a a
a a
a a
a a
a
37 Substitusi
1
,
2
, dan
3
ke persamaan 14 dengan mengambil = 1
dan
n
= 0, n = 4, 5, …, diperoleh
38
Dengan mengambil ,
h 2
exp dan
, h
2 exp
, h
2 exp
3 3
2 2
1 1
θ
θ θ
sehingga persamaan 38 dapat ditulis menjadi
3 2
1 123
3 2
23 3
1 13
2 1
12 3
2 1
h h
h A
h h
A h
h A
h h
A h
h h
1
f
39 dimana A
12
, A
13
, A
23
, dan A
123
dinyatakan pada persamaan 29 dan 37. Menurut persamaan 18, maka solusi 3-soliton dari persamaan KdV adalah
f
f
x
x 2
t ux,
40 dengan
dinyatakan pada persamaan 40 dan
. h
h h
A 2
h h
A 2
h h
A 2
h h
A 2
h 2
h 2
h 2
3 2
1 123
3 2
1 3
2 23
3 2
3 1
13 3
1 2
1 12
2 1
3 3
2 2
1 1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
f
x
41 Profil gelombang untuk solusi 3-soliton dari persamaan KdV diperlihatkan
pada gambar 2 – 4, dengan mengambil
. dan
, 3
1 ,
4 3
, 1
3 2
1
a
a a
. .
2 2
2 exp
2 2
exp 2
2 exp
2 2
exp 2
exp 2
exp 2
exp 1
t x,
3 2
1 123
3 2
23 3
1 13
2 1
12 3
2 1
A A
A A
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
θ θ
f
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER
Vol. 5. No. 2, 107 - 118, Agustus 2002, ISSN : 1410-8518 __________________________________________________________________
113 Gambar 2. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t=
–30 sebelum tumbukan
Gambar 3. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 0 saat tumbukan
Gambar 4. Profil gelombang dari solusi 3-soliton pada t = 30 setelah tumbukan
4. REFORMULASI SOLUSI 3-SOLITON
