Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap
MODIFIKASI MODEL EKSPONENSIAL DALAM
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Modifikasi Model
Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Nurfitriana Okataviani S.
NIM G54070061
ABSTRAK
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifikasi Model
Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap. Dibimbing oleh HADI
SUMARNO dan ALI KUSNANTO.
Data kematian penduduk suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk
tabel hayat. Menurut interval umur, tabel hayat dibagi menjadi dua, yaitu tabel
hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat ringkas sering digunakan oleh
negara dengan data kematian penduduk yang tidak lengkap. Dalam bidang
asuransi tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar
oleh pemegang asuransi. Pada karya ilmiah ini dicari suatu model kontinu untuk
tabel hayat lengkap berdasarkan model hayat ringkas. Dengan membandingkan
koefisien determinasi dari metode Kostaki (2000), model eksponensial
(Rachmadani 2006), dan model kontinu yang didapatkan maka dapat disimpulkan
tabel hayat terbaik dihasilkan oleh metode Kostaki.
Kata kunci : tabel hayat, tabel hayat ringkas, tabel hayat lengkap, metode Kostaki,
model kontinu.
ABSTRACT
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifying Exponential
Model in the Preparation of a Complete Life Table. Supervised by HADI
SUMARNO and ALI KUSNANTO.
Population mortality data of a country is usually given in life tables. Based
on the age interval, life tables are divided into two, Abridged life tables and
complete life tables. The abridged life table is often used by state with incomplete
population mortality data. In life insurance, life tables are used to determining the
amount of premium to be paid by the insurance holder. This paper creates the
continuous model for the complete life table based on the abridged life table. By
comparing the coefficient of determination of the Kostaki method (2000),
exponential model (Rachmadani 2006), and continuous models, this work
concludes that the best life table is produced by the Kostaki method.
Keywords : life table, abridged life table, complete life table, Kostaki method,
continuous model.
MODIFIKASI MODEL EKSPONENSIAL DALAM
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat
Lengkap
Nama
: Nurfitriana Oktaviani Supriatiningtias
NIM
: G54070061
Disetujui oleh
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul
Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap berhasil
diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1 Dr Ir Hadi Sumarno, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku komisi
pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh
kesabaran kepada penulis,
2 Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi yang telah
memberikan saran dan kritiknya,
3 Dr Berlian Setiawaty, MS selaku Ketua Departemen Matematika,
4 Bank CIMB NIAGA yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama
menempuh studinya di Institut Pertanian Bogor,
5 Ayah, Ibu, mas Isal, mas Iyang, mas Aris, dan almarhum mas Joang serta
seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis
menyelesaikan studi,
6 Mohammad Khamanda Syahpura yang selalu mendukung dan mendampingi,
7 Nike Arya Sari, Mufti Fathul Barri, Andri Febrian, Feri Nur Oktaviani, Bergas
Cahyo Baskoro, Mohammad Riza Febriano, Faisal Amin Nasution, dan temanteman LAWALATA-IPB yang lain,
8 Suwaibatul Aslamiyah dan teman-teman dari departemen Matematika IPB
yang lain,
9 dan semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya
ilmiah ini.
Bogor, Juni 2013
Nurfitriana Oktaviani Supriatiningtias
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODOLOGI
5
Data
5
Langkah-Langkah Penelitian
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi
5
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki
8
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial
12
Fitting Model Kontinu
13
SIMPULAN
17
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kurva lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905
Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
metode Kostaki
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model eksponensial
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model eksponensial
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model pertama
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model kedua
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model pertama dan model kedua
8
9
11
11
13
13
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10%
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905
Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Tabel perhitungan konstanta Kostaki
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model eksponensial
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model pertama
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat taun 1905 dengan menggunakan
model kedua
19
22
25
26
29
32
33
36
39
42
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Demografi adalah kajian mengenai kependudukan yang menyangkut
berbagai faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan, kelahiran, kematian,
pertumbuhan, serta variabel sosial dan ekonomi. Komponen utama dari demografi
yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kelahiran
(fertilitas), kematian (mortalitas), dan perpindahan penduduk (migrasi) (Siegel
dan Swanson 2004). Mortalitas adalah angka kematian yang terjadi pada kurun
waktu dan tempat tertentu yang dikaitkan oleh keadaan tertentu (BPS, 2009). Data
mortalitas suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk life table atau tabel
hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang
meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum
mencapai pada umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur.
Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk
menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya
akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John
Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan
menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali
diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1963 berdasarkan data registrasi
kelahiran dan kematian di kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi
bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun
1815 (Siegel dan Swanson 2004).
Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life
table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel
hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut
jenjang tertentu biasanya dalam interval lima atau sepuluh tahun, sedangkan tabel
hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap
dalam satu tahunan (Siegel dan Swanson 2004).
Tabel hayat ringkas sangat praktis. Oleh karena itu, tabel hayat ringkas
sering digunakan oleh negara dengan data kematian penduduk tidak lengkap.
Padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan dalam bidang demografi
dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang, bidang asuransi untuk
menentukan besar premi yang harus dibayar oleh pemegang asuransi, dan bidang
kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam
jangka waktu tertentu. Begitu juga dalam bidang pendidikan misalnya kita dapat
memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru,
gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang. Oleh karena
itu perlu disusun tabel hayat lengkap.
Kostaki (2000) telah menyampaikan sebuah metode tentang penyusunan
tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Sedangkan Rachmadani
(2006) menyampaikan sebuah model pendekatan kontinu dalam menyusun tabel
hayat dengan menganalisis data tentang laju kematian (
). Zulkarnaen (2012)
juga menyampaikan sebuah metode Kostaki yang telah dimodifikasi tentang
pendugaan tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Pada karya ilmiah
2
ini akan dicari model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat lengkap berdasarkan
model hayat ringkas.
Perumusan Masalah
Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan.
Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan
peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal dunia di usia 31 tahun.
Oleh karena itu diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi
lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1 mengkaji metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas) untuk
mengubah tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap,
2 menyusun tabel hayat lengkap menggunakan model kontinu,
3 menentukan model tabel hayat lengkap terbaik dengan membandingkan
koefisien determinasinya.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain:
1 sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk,
2 sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa,
3 mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan
masyarakat,
4 untuk keperluan analisis mortalitas.
TINJAUAN PUSTAKA
Demografi adalah studi statistik dan matematik dari ukuran, komposisi, dan
distribusi spasial dari populasi manusia, dan perubahan dari waktu ke waktu yang
dipengaruhi oleh lima proses, yaitu kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas),
perkawinan, migrasi, dan mobilitas sosial (Bogue 1969). Mortalitas atau kematian
adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat
terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup (Wirosuhardjo et al. 1985). Data
mortalitas disajikan dalam bentuk tabel hayat (life table), yaitu tabel yang
menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu
yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian (Siegel dan Swanson
2004).
Komponen-komponen tabel hayat antara lain
dimana:
3
=
=
=
=
=
=
=
=
umur
banyaknya orang yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x
banyaknya orang yang meninggal antara umur hingga
peluang bertahan hidup dari umur x hingga
peluang seseorang berumur meninggal sebelum mencapai
banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur dan
oleh
penduduk berumur
total waktu yang dijalani penduduk berumur x sampai akhir hayatnya
rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah
berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di
lingkungan masyarakatnya atau biasa disebut angka harapan hidup umur
x (Schoen dan Romo 2005).
Selain komponen-komponen tabel hayat di atas, ada beberapa notasi lain yang
perlu diketahui antara lain:
= banyaknya orang yang meninggal antara umur x dan x+n
= peluang bertahan hidup dari umur x hingga x+t
= peluang seseorang berumur x meninggal sebelum mencapai x+n
= tingkat kematian bagi penduduk berumur x
= banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur x dan x+n oleh
penduduk berumur x.
Nilai pada suatu tabel hayat diperoleh dari sensus atau registrasi penduduk di
suatu negara, sedangkan untuk nilai dari komponen lain pada suatu tabel hayat
dapat diperoleh dengan rumus berikut:
∑
( menyatakan usia
maksimal seseorang pada tabel hayat)
(Brown 1997).
Interpolasi adalah mecari sebuah kurva yang melalui titik-titik diskret secara
tepat berhingga (Mathews 1995). Dengan menggunakan metode interpolasi,
Kostaki (2000) menyampaikan suatu metode penyusunan tabel hayat lengkap
berdasarkan tabel hayat ringkas, dimana nilai nqx pada tabel hayat ringkas
dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai
tabel hayat standar ̃ . Asumsi metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur
[
), laju kematian dari tabel hayat ringkas
merupakan perkalian suatu
konstanta K dengan laju kematian dari tabel hayat standar ̃ pada interval umur
yang sama, yakni:
̃
(1)
4
Oleh karena itu, konstanta K untuk setiap interval umur [
dihitung menggunakan:
) dapat
(2)
∏
dengan:
= peluang seseorang tepat berumur
nqx
pada tabel hayat lengkap
̃
= peluang seseorang tepat berumur
pada tabel hayat ringkas
̃
meninggal sebelum mencapai umur
meninggal sebelum mencapai umur
(Kostaki 2000).
Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung dengan menggunakan
rumus:
̃
(3)
dengan:
̃
= peluang seseorang tepat berumur x meninggal, dan
0K0 untuk
4K1 untuk x ϵ [1,4]
9K5 untuk x ϵ [5,9]
14K10 untuk x ϵ [10,14]
⋮
⋮
⋮
K
untuk
x
ϵ [115,119]
119 115
(Kostaki 2000).
Untuk mengetahui galat atau error yang diperoleh berdasarkan metode
tertentu terhadap metode sebenarnya perlu dilakukan uji kesesuaian data,
misalnya dengan menggunakan koefisien determinasi, yaitu :
∑
∑
̂
̅
dimana
adalah nilai sebenarnya, ̂ nilai dugaan, ̅ adalah nilai rata-rata
sebenarnya, dan
adalah proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh
model. Semakin nilainya mendekati 1 maka datanya semakin sesuai (Agresti dan
Finley 1986).
5
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data sekunder tabel hayat ringkas dan tabel
hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 dan 1905 yang diunduh dari web
Berkeley Mortality Database (BMD 2011a, 2011b).
Langkah-Langkah Penelitian
1
2
3
4
5
6
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
mempelajari metode interpolasi tabel hayat yaitu menyusun tabel hayat
lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas,
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Kostaki (2000),
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model eksponensial yang
dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya (2006),
melakukan fitting model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat,
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model kontinu,
membandingkan metode dan model terbaik dalam menyusun model kontinu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi
Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada
pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data
kematian London. Tabel hayat adalah catatan kematian yang diamati pada masa
lalu untuk menggambarkan nilai kemungkinan kematian dan kehidupan. Sebuah
tabel hayat dikonstruksi secara matematis untuk memberikan deskripsi secara
lengkap mengenai angka kematian dan harapan hidup serta menunjukkan pola
kematian (mortalitas) dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang
sama berdasarkan usia yang telah dicapainya. Komponen-komponen tabel hayat
adalah
Tabel hayat merupakan komponen yang sangat diperlukan dalam model
ilmu asuransi. Faktanya, beberapa sarjana mulai memperkenalkan ilmu asuransi
sejak tahun 1693. Pada tahun tersebut, Edmund Halley menerbitkan sebuah paper
tentang perkiraan tingkat mortalitas yang di ambil dari tabel kelahiran dan
kematian di kota Breslau. Dimana pada paper tersebut, tabel hayat dinamakan
Tabel Breslau. Sampai sekarang tabel hayat atau yang sering disebut juga dengan
tabel mortalitas banyak digunakan di berbagai negara (Siegel dan Swanson 2004).
Penggunaan tabel hayat pada bidang asuransi antara lain sebagai patokan
oleh pihak asuransi, sehingga pihak asuransi dapat mengetahui peluang suatu
kejadian / peristiwa seperti kematian, sakit, dan cacat dari seorang nasabah
(pembeli asuransi). Kemudian membantu produk harga dan peristiwa yang
diasuransikan proyek masa depan. Selain itu, tabel hayat juga dapat digunakan
sebagai dasar untuk penghitungan bagi penentuan premi.
6
Pada bagian ini akan dibahas contoh penggunaan tabel hayat pada
penentuan premi asuransi. Namun tabel hayat tidak dapat langsung digunakan
begitu saja. Tabel hayat harus diubah dulu menjadi tabel mortalitas CSO
(Commissioners Standard Ordinary). Tabel CSO adalah Tabel aktuaria yang
digunakan untuk menghitung nilai non-forfeiture (non-penyitaan) minimum polis
asuransi jiwa biasa (Investopedia 2013). Tabel mortalitas CSO mencerminkan
probabilitas bahwa orang-orang di berbagai kelompok umur akan mati pada tahun
tertentu. Komponen-komponen lambang komutasi pada tabel mortalitas CSO
antara lain
Contoh tabel CSO bisa dilihat
pada Lampiran 1. Penggunaan tingkat bunga 10% ini sesuai dengan rata-rata
tingkat bunga deposito saat ini (Fatmawati 2009).
Kali ini akan dilihat pada contoh kasus anuitas hidup. Anuitas hidup adalah
serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup.
Jadi pembayaran hanya dilakukan bila saat pembayaran, orang tersebut masih
hidup. Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran
berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun,
ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. Anuitas awal
adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu satuan yang dilakukan pada awal
tahun. Sedangkan anuitas akhir adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu
satuan yang dilakukan tiap akhir tahun.
Berikut beberapa notasi dan rumus yang akan digunakan:
=
=
=
=
=
=
dimana:
=
=
=
=
=
=
=
=
anuitas akhir,
anuitas awal,
nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masingmasing orang yang hidup dan berusia ,
jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia
untuk setiap orang yang hidup dari usia sampai tak hingga (atau
dapat dikatakan sampai akhir tabel mortalitas),
nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masingmasing orang yang akan meninggal di usia ,
jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia
untuk setiap orang yang meninggal dari usia sampai tak hingga,
nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang dilakukan 1 tahun
kemudian,
tingkat suku bunga.
Dari notasi dan rumus di atas maka selanjutnya kita akan mencoba membuat
tabel mortalitas CSO berdasarkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
(Lampiran 4) dengan tingkat suku bunga 10%. Dari tabel hayat lengkap 1905
7
dapat diketahui nilai dari
. Maka kita hanya akan mencari nilai dari
. Berikut adalah contoh perhitungannya untuk
:
untuk
nilai dari:
=
=
=
maka untuk nilai dari :
=
=
=
=
= 100000
=
=
=
=
=
=
=
.
Tabel mortalitas CSO dengan tingkat bunga 10% yang dibuat berdasarkan tabel
hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 disajikan pada Lampiran 5.
Contoh kasus:
Hitunglah
dan
. Gunakan Tabel CSO pada tingkat bunga 10%.
Jawab:
= ∑
= ∑
= ∑
=
=
=
=
=
=
Nilai dari
=
=
=
diperoleh dari hubungan berikut:
8
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki
Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 (Lampiran 3),
dapat diketahui jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu
pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan
meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada Gambar 1.
Berdasarkan pengamatan pada Gambar 1 terlihat bahwa kurva pada tabel
hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 cenderung monoton turun. Ini
menunjukan bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat
1905 terus berkurang akibat adanya kematian.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 1 Kurva lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905
Permasalahan pada tabel hayat ringkas adalah tidak dapat menentukan
peluang seseorang yang berumur 65 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 68
tahun. Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan
informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk
interval umur satu tahun. Selain itu dari contoh penggunaan tabel hayat pada sub
bab sebelumnya juga menunjukkan bahwa yang diperlukan dalam perhitungan
premi asuransi adalah suatu tabel hayat lengkap. Karena untuk menyusun suatu
tabel mortalitas CSO diperlukan tabel hayat yang lengkap bukan ringkas.
Kurva pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada
Gambar 2.
9
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 2 Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 (Lampiran
4) akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan tabel hayat yang disusun
dengan menggunakan metode interpolasi dimana di sini menggunakan metode
Kostaki (2000). Kemudian dari perbandingan tersebut dapat dilihat kesesuaian
datanya sehingga bisa kita analisis galatnya.
Untuk penyusunan tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode
Kostaki melalui beberapa tahapan antara lain:
a Menentukan kostanta K untuk setiap interval umur
dengan
menggunakan rumus:
∏
̃
dimana
adalah nilai
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun
1905 dan ̃
diperoleh dari tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
(lihat Lampiran 2).
b Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
̃
dimana ̃ adalah nilai
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun
1900.
Dari dua tahapan di atas maka untuk penyusunan tabel hayat lengkap
Amerika Serikat tahun 1905 dibutuhkan nilai
pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat tahun 1900 dan nilai
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat
tahun 1905. Contoh perhitungan dalam penyusunan tabel hayat untuk
dan
, antara lain:
a Menentukan kostanta
Dari tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 diketahui nilai
. Maka:
10
=
=
=
=
dan diketahui dari tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1900 bahwa nilai
̃
. Maka:
= ̃
̃
=
=
̃
=
=
̃
=
∏
̃
= ∏
̃
=
sehingga konstanta dapat dihitung menjadi:
=
=
∏
̃
̃
=
b Menghitung nilai
Kostaki
=
̃
=
=
c Penyusunan tabel hayat Kostaki
Untuk menyusun suatu tabel hayat maka yang perlu kita cari selain nilai
adalah nilai
. Sebagai contoh kita akan mencari nilainilai tersebut untuk
. Pada bagian b kita memperoleh nilai
. Sedangkan untuk
kita memakai 100000 sebagai nilainya
. Maka:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
11
Hasil perhitungan konstanta nKx diberikan pada Lampiran 6. Sedangkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan menggunakan
metode Kostaki diberikan pada Lampiran 7. Kurva lx pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 1905 yang diperoleh dengan metode Kostaki dapat dilihat pada
Gambar 3.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 3 Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki
Metode yang digunakan untuk menguji kesesuaian model adalah dengan
cara menghitung koefisien determinasi
. Nilai koefisien determinasi yang
tinggi menunjukkan bahwa model tersebut sesuai.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
lx Asli
lx kostaki
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 4 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
metode Kostaki
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 dengan metode Kostaki mengikuti pola lx tabel hayat lengkap
12
Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2 yang
mendekati 1 yaitu 0,99997.
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial
Rachmadani (2006) telah mengemukakan model dalam penelitiannya untuk
menyusun suatu tabel hayat dengan menggunakan pendekatan kontinu yaitu
dengan menganalisis data tentang laju kematian (
). Model yang diperoleh
adalah:
dimana adalah banyaknya kelahiran yaitu 100000
.
Untuk menyusun suatu tabel hayat maka yang perlu kita cari selain nilai
adalah nilai
. Sebagai contoh kita akan mencari nilai-nilai
tersebut untuk
, sebagai berikut:
=
[
]
=
=
=
=
=
=
=
0,00082
=
=
=
=
=
=
∑
=
=
=
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan
menggunakan model eksponensial diberikan pada Lampiran 8. Sedangkan kurva lx
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang diperoleh dari model
eksponensial dapat dilihat pada Gambar 5.
13
Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model eksponensial juga cukup mengikuti
pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai
dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,652.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 5 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model eksponensial
120000
100000
lx asli
lx eksponensial
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 6 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model eksponensial
Fitting Model Kontinu
Dalam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah
dari waktu ke waktu, maka perhitungan tabel hayat menjadi sangat rumit sehingga
diperlukan tabel hayat yang bersifat kontinu. Pada bagian ini akan dicoba untuk
14
mencari kurva yang sesuai dengan tabel hayat dengan menggunakan kurva l ( x).
Dari nilai lx yang terdapat pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905, maka
akan dibuat suatu kurva yang menghubungkan antara jumlah orang yang bertahan
hidup dengan umur.
Dari kurva pada Gambar 1 akan dibuat suatu fungsi yang dapat mewakili
kurva tersebut. Dilihat dari bentuk kurvanya maka fungsi tersebut akan terbagi
atas 2 selang yaitu
dan
dengan masing-masing selang
diwakili oleh suatu fungsi. Berdasarkan bentuk kurvanya pula, fungsi yang akan
digunakan adalah fungsi eksponen dan fungsi kuadratik.
Untuk selang
akan dicoba dengan menggunakan fungsi
kuadratik dan eksponen. Sedangkan untuk selang
hanya akan
dicoba dengan menggunakan fungsi eksponen saja sebagaimana merujuk pada
model eksponensial yang dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya
(2006). Karena model yang akan kita cari adalah model kontinu maka kita harus
melihat pula dari syarat kekontinuannya. Suatu fungsi akan dikatakan kontinu
apabila memenuhi syarat sebagai berikut:
dikatakan kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
.
Dengan melihat syarat kekontinuan dan terturunkan suatu fungsi serta
mengacu pada Gambar 3 maka kita dapat mengambil beberapa titik sebagai dasar
dalam pembuatan model, yaitu:
1 Untuk model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
Untuk model pertama pada selang
, kita memakai titik
dan
sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang
, kita memakai titik
. Kalau dilihat model eksponen ini
untuk kedua selang sangatlah mirip dengan model eksponensial hanya saja
berbeda pada konstatanya saja. Ini dikarenakan memang untuk pembuatan
model pertama ini sangat berpatokan pada model eksponensial. Dengan
bantuan software maka didapatkan fungsi
sebagai berikut:
{
Sekarang kita akan mencoba untuk mengecek kekontinuan model
pertama. Sebagaimana disebutkan di atas tentang syarat kekontinuan suatu
fungsi, maka kita akan mengecek fungsi
apakah kontinu di titik
karena titik perpotongan fungsi
berada di titik
.
dikatakan
kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
.
dimana:
15
{
2
Untuk model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
Untuk model kedua pada selang
, kita memakai titik
dan
sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang
, kita memakai titik
. Untuk model eksponen yang kita
pakai pada model kedua kita samakan dengan model pertama. Sehingga kita
hanya perlu mencari model pada selang
saja. Dengan bantuan
software maka didapatkan fungsi
sebagai berikut:
{
Sekarang kita akan mencoba untuk mengecek kekontinuan model
pertama. Sebagaimana disebutkan di atas tentang syarat kekontinuan suatu
fungsi, maka kita akan mengecek fungsi
apakah kontinu di titik
karena titik perpotongan fungsi
berada di titik
.
dikatakan
kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
dimana:
{
.
Dari fitting model yang dilakukan, maka kurva dan tabel hayat dari dua
fungsi tersebut bisa kita buat. Untuk tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
yang didapat dari model pertama ditunjukkan pada Lampiran 9, sedangkan untuk
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang didapat dari model kedua
ditunjukkan pada Lampiran 10. Berikut adalah kurva Amerika Serikat 1905
yang dihasilkan oleh model pertama (Gambar 7) dan model kedua (Gambar 8).
Perbandingan antara kurva Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan oleh model
pertama dengan model kedua, serta kurva
Amerika Serikat 1905 yang
sebenarnya juga bisa dilihat pada Gambar 9.
16
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 7 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model pertama
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 8 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model kedua
Perbandngan koefisien determinasi dari nilai yang dihasilkan dengan
metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua disajikan
dalam tabel 1.
Tabel 1 Perbandingan koefisien determinasi nilai yang dihasilkan dengan
metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua
Metode Kostaki
0,9997
Model
eksponensial
0,652
Model pertama
Model kedua
0,946
0,945
17
120000
100000
lx asli
model kedua
model pertama
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 9 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model pertama dan model kedua
Berdasarkan Gambar 9 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model pertama dan model kedua juga
mengikuti pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang
ditandai dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,946 untuk model
pertama dan 0,945 juga untuk model kedua.
SIMPULAN
1 Tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan
menggunakan metode Kostaki.
2 Berdasarkan tabel hayat ringkas dapat dibuat suatu tabel hayat kontinu dengan
menggunakan model eksponensial sebagai berikut:
a Model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
{
b
Model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
{
3 Berdasarkan koefisien determinasi yang diperoleh, tabel hayat yang paling baik
dalam penelitian ini dihasilkan oleh metode Kostaki.
18
DAFTAR PUSTAKA
Agresti A, Finley B. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. California
(USA) : D. Ellen Publishing Company.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011a. Data for the United States [internet].
[diunduh 2011 Oktober 18]. Tersedia pada: http://demog. berkeley.edu/ ~bmd/
States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.1x1.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011b. Data for the United States [Internet].
[diunduh 2011 Oktober 18] : Tersedia pada: http://demog.berkeley.edu/ ~bmd/
States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.5x1.
Bogue DJ. 1969. Principles of Demography. New York (USA): John Wiley &
Sons.
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2009. Profil Kesehatan Indonesia. 2008. Jakarta
(ID): BPS.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathemathics of Demography. Connecticut
(USA) : ACTEC Publications, inc.
Fatmawati H. 2009. Pengaruh Perubahan Tingkat Mortalita terhadap Asumsi
Aktuaria pada Asuransi Jiwa [Skripsi]. Yogyakarta (ID): Universitas Negeri
Yogyakarta.
Investopedia. 2013. Commissioners Standard Ordinary Mortality Table [Internet].
[diacu 2013 Maret 23]. Tersedia pada: http://www.investopedia.com/ terms/ c/
commissioners-standard-ordinary-mortality-table-cso.asp.
Kostaki A. 2000. Degrouping mortality data for the elderly. Mathematical
Population Studies, 9 (1): 83-95. DOI: 10.1080/08898480009525465.
Mathews JH. 1995. Numerical Methods for Mathematics, Science, and
Engineering. Second edition. California (USA): Prentice Hall International.
Rachamadani N. 2006. Penyusunan Tabel Hayat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut
Pertanian Bogor.
Schoen R, Romo VC. 2005. Changing mortality and average cohort life
expectancy. Demoghraphic Research 13: 117-142. DOI: 10.4054/
DemRes.2005.13.5.
Siegel JS, Swanson DA. 2004. The Methods and Materials of Demography.
Second edition. California (USA): Elsevier Inc.
Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Kusuma SM. 1985.
Kamus Istilah Demografi. Jakarta (ID): Pusat Pembinaan dan Pengembangan
Bahasa.
Zulkarnaen. 2012. Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel
Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas [Skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor.
19
Lampiran 1 Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
1023102 23102
1000000 5770
994230 4116
990114 3347
986767 2950
983817 2715
981102 2561
978541 2417
976124 2255
973869 2065
971804 1914
969890 1852
968038 1859
966179 1913
964266 1996
962270 2069
960201 2103
958098 2156
955942 2199
953743 2260
951483 2312
949171 2382
946789 2452
944337 2531
941806 2609
939197 2705
936492 2800
933692 2904
930788 3025
927763 3154
924609 3292
921317 3437
917880 3598
914282 3767
910515 3961
906554 4161
902393 4386
898007 4625
893382 4878
1000
22,58 1023102,00 10709259,00 21001,8184 49533,1875
5,77 909090,94 9686155,00 4768,5952 28531,3613
4,14 821677,69 8777065,00 3092,4116 23762,7676
3,38 743887,31 7955385,00 2286,0461 20670,3535
2,99 673975,12 7211498,50 1831,7179 18384,3066
2,76 610872,94 6537523,50 1532,5468 16552,5898
2,61 553806,50 5926650,50 1314,1979 15020,0479
2,47 502146,25 5372844,00 1127,5483 13705,8506
2,31 455369,03 4870697,50
956,3401 12578,3027
2,12 413015,53 4415328,00
796,1469 11621,9629
1,97 374672,50 4002313,50
670,8453 10825,8161
1,91 339940,53 3627641,50
590,1042 10154,9717
1,92 308446,75 3287701,00
538,4861 9564,8672
1.98 279867,62 2979254,00
503,7527 9026,3789
2,07 253921,38 2699386,50
477,8265 8522,6250
2,15 230359,78 2445465,25
450,2747 8044,7944
2,19 208967,70 2215105,00
416,0637 7594,5200
2,25 189554,58 2006137,00
387,7755 7178,4526
2,30 171934,56 1816582,50
359,5541 6790,6772
2,37 155944,59 1644648,00
335,9346 6431,1226
2,43 141431,88 1488703,38
312,4219 6095,1885
2,51 128262,02 1347271,50
292,6191 5782,7666
2,59 116309,21 1219009,38
273,8348 5490,1479
2,68 105461,81 1102700,38
256,9613 5216,3135
2,77
95617,41
997238,75
240,8002 4959,3525
2,88
86684,12
901621,25
226,9642 4718,5527
2,99
78576,78
814937,12
213,5775 4491,5884
3,11
71219,86
736360,38
201,3731 4278,0117
3,25
64543,96
665140,50
190,6942 4076,6384
3,40
58485,63
600596,50
180,7512 3885,9441
3,56
52988,00
542110,94
171,5089 3705,1931
3,73
47999,40
489122,94
162,7847 3533,6838
3,92
43473,04
441123,53
154,9182 3370,8994
4,12
39366,02
397650,53
147,4498 3215,9812
4,35
35639,84
358284,50
140,9486 3068,5312
4,59
32258,91
322644,62
134,6049 2927,5828
4,86
29191,68
290385,72
128,9850 2792,9778
5,15
26408,90
261193,98
123,6487 2663,9927
5,46
23884,44
23475,09
118,5570 2540,3438
20
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
888504
883342
877883
872098
865967
859464
852554
845214
837413
829114
820292
810900
800910
790282
778981
766961
754191
740631
726241
710990
694843
677771
659749
640761
620782
599824
577882
554975
531133
506403
480850
454548
427593
400112
372240
344136
315982
287973
260322
233251
206989
181765
5162
5459
5785
6131
6503
6910
7340
7801
8299
8822
9392
9990
10628
11301
12020
12770
13560
14390
15251
16147
17072
18022
18988
19979
20958
21942
22907
23842
24730
25553
26302
26955
27481
27872
28104
28154
28009
27651
27071
26262
25224
23966
5,81
6,18
6,59
7,03
7,51
8,04
8.61
9,23
9,91
10,64
11,45
12,32
13,27
14,30
15,43
16,65
17,98
19,43
21,00
22,71
24,57
26,59
28,78
31,18
33,76
36,58
39,64
42,96
46,56
50,46
54,70
59,30
64,27
69,66
75,50
81,81
88,64
96,02
103,99
112,59
121,86
131,85
21594,57
19517,38
17633,42
15924,75
14375,26
12970,29
11696,37
10541,52
9494,75
8546,05
7686,47
6907,69
6202,36
5563,68
4985,57
4462,40
3989,18
3561,32
3174,66
2825,45
2510,26
2225,98
1969,81
1739,20
1531,79
1345,53
1178,46
1028,86
895,14
775,88
669,75
575,56
492,21
418,71
354,13
297,63
248,43
205,83
169,15
137,78
111,15
88,74
210900,64
189306,08
169788,70
152155,28
136230,53
121855,27
108884,99
97188,69
86647,11
77152,35
68606,31
60919,84
54012,14
47809,79
42246,10
37260,53
32798,14
28808,96
25247,63
22072,97
19247,52
16737,26
14511,28
12541,47
10802,27
9270,48
7924,95
6746,49
5717,63
4822,49
4046,61
3376,86
2801,30
2309,09
1890,38
1536,26
1238,63
990,20
784,37
615,22
477,43
366,28
114,0540
109,6511
105,6357
101,7761
98,1376
94,7998
91,5446
88,4492
85,5415
82,6657
80,0062
77,3639
74,8224
72,3277
69,9358
67,5450
65,2033
62,9039
60,6070
58,3342
56,0691
53,8083
51,5386
49,2986
47,0130
44,7457
42,4669
40,1821
37,8897
35,5915
33,3043
31,0283
28,7580
26,5156
24,3058
22,1355
20,0195
17,9669
15,9910
14,1028
12,3140
10,6362
2421,7866
2307,7327
2198,0818
2092,4460
1990,6697
1892,5320
1797,7322
1706,1876
1617,7385
1532,1970
1449,5314
1369,5251
1292,1611
1217,3387
1145,0109
1075,0752
1007,5307
942,3275
879,4236
818,8167
760,4824
704,4134
650,6051
599,0665
549,7679
502,7548
458,0091
415,5421
375,3600
337,4703
301,8788
268,5744
237,5461
208,7880
182,2724
157,9666
135,8312
115,8116
97,8447
81,8537
67,7509
55,4369
21
157799 22502
142,60
81
135297 20857
154,16
82
114440 19062
166,57
83
95378 17157
179,88
84
78221 15185
194,13
85
63036 13198
209,37
86
49838 11245
225,63
87
38593 9378
243,00
88
29215 7638
261,44
89
21577 6063
280,99
90
15514
4681
301,73
91
10833 3506
323,64
92
7327 2540
346,66
93
4787 1776
371,00
94
3011 1193
396,21
95
1818
813
447,19
96
1005
551
548,26
97
454
329
724,67
98
125
125 1.000,00
99
Sumber: Fatmawati H (2009)
70,03
54,59
41,97
31,80
23,71
17,37
12,49
8,79
6,05
4,06
2,65
1,69
1,04
0,62
0,35
0,19
0,10
0,04
0,01
277,54
207,51
152,93
110,95
79,15
55,44
38,07
25,58
16,79
10,74
6,68
4,03
2,34
1,31
0,69
0,34
0,15
0,05
0,01
9,0786
7,6500
6,3560
5,2007
4,1845
3,3063
2,5610
1,9416
1,4376
1,0374
0,7281
0,4958
0,3265
0,2076
0,1267
0,0785
0,0484
0,0263
0,0091
44,8007
35,7221
28,0721
21,7161
16,5154
12,3309
9,0246
6,4636
4,5220
3,0844
2,0470
1,3189
0,8231
0,4965
0,2890
0,1622
0,0837
0,0353
0,0091
22
Lampiran 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
86718
83496
81936
80854
80000
79379
78934
78616
78376
78172
77972
77756
77520
77268
77006
76722
76404
76052
75660
75230
74757
74244
73704
73152
72600
72053
71508
70962
70406
69838
69255
68662
68060
67451
66836
66214
65587
64953
13282
3222
1560
1082
854
621
445
318
240
204
200
216
236
252
262
284
318
352
392
430
473
513
540
552
552
547
545
546
556
568
583
593
602
609
615
622
627
634
641
0,13282
0,03714
0,01868
0,01322
0,01055
0,00777
0,00561
0,00402
0,00305
0,00260
0,00256
0,00276
0,00305
0,00324
0,00340
0,00369
0,00413
0,00462
0,00515
0,00568
0,00629
0,00686
0,00728
0,00749
0,00754
0,00754
0,00756
0,00764
0,00783
0,00807
0,00834
0,00856
0,00877
0,00895
0,00912
0,00930
0,00948
0,00967
0,00986
91036
85107
82716
81395
80427
79690
79156
78775
78496
78274
78072
77864
77638
77394
77137
76864
76562
76228
75856
75445
74994
74501
73974
73428
72876
72326
71780
71235
70684
70122
69546
68959
68362
67756
67143
66525
65900
65270
64632
4768138
4677100
4592994
4509278
4427882
4347455
4267766
4188609
4109833
4031338
3953063
3874990
3797126
3719488
3642094
3564956
3488094
3411530
3335302
3259447
3184002
3109008
3034508
2960534
2887106
2814230
2741904
2670123
2598888
2528205
2458083
2388537
2319578
2251217
2183462
2116318
2049792
1983892
1918622
47,68
53,93
55,00
55,03
54,76
54,34
53,76
53,06
52,28
51,44
50,57
49,70
48,83
47,98
47,14
46,29
45,46
44,65
43,86
43,08
42,32
41,59
40,87
40,17
39,47
38,76
38,05
37,34
36,62
35,91
35,20
34,49
33,78
33,08
32,37
31,66
30,96
30,25
29,54
23
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
64312
63667
63015
62354
61682
60996
60294
59572
58829
58063
57269
56447
55592
54702
53774
52807
51797
50741
49637
48488
47296
46064
44786
43461
42085
40657
39177
37643
36056
34411
32706
30942
29120
27252
25360
23470
21599
19760
17955
16176
14417
12691
645
652
661
672
686
702
722
743
766
794
822
855
890
928
967
1010
1056
1104
1149
1192
1232
1278
1325
1376
1428
1480
1534
1587
1645
1705
1764
1822
1868
1892
1890
1871
1839
1805
1779
1759
1726
1672
0,01004
0,01024
0,01050
0,01078
0,01111
0,01152
0,01196
0,01247
0,01303
0,01367
0,01436
0,01515
0,01601
0,01960
0,01799
0,01913
0,02039
0,02175
0,02316
0,02457
0,02606
0,02773
0,02960
0,03166
0,03392
0,03641
0,03914
0,04216
0,04562
0,04955
0,05393
0,05888
0,06416
0,06943
0,07453
0,07972
0,08512
0,09137
0,09908
0,10871
0,11972
0,13178
63990
63341
62684
62018
61338
60644
59933
59201
58446
57666
56858
56019
55147
54238
53290
52302
51269
50189
49063
47892
46680
45425
44123
42772
41371
39917
38410
36850
35234
33559
31824
30031
28286
26306
24415
22534
20679
18858
17065
15296
13555
11855
1853990
1790000
1726658
1663974
1601956
1540618
1479973
1420040
1360839
1302393
1244726
1187868
1131849
1076702
1022464
969174
916872
865603
815413
766351
718458
671778
626353
582229
539456
498085
458168
419758
382908
347674
314115
282291
252259
224073
197767
173352
150818
130138
111280
94215
78918
65363
28,83
28,12
27,40
26,69
25,97
25,26
24,55
23,84
23,13
22,43
21,73
21,04
20,36
19,68
19,01
18,35
17,70
17,06
16,43
15,80
15,19
14,58
13,99
13,40
12,82
12,25
11,69
11,15
10,62
10,10
9,60
9,12
8,66
8,22
7,80
7,39
6,98
6,59
6,20
5,82
5,47
5,15
24
11019
10225
81
1588 0,14407
9431
8697
82
1467 0,15560
7964
7302
83
1324 0,16625
6640
6055
84
1171 0,17628
5469
0,18676
4959
85
1021
4448
4006
86
883 0,19840
3565
3188
87
755 0,21175
2810
2492
88
637 0,22665
2173
1909
89
529 0,24339
1644
1430
90
429 0,26117
1215
1045
91
340 0,27984
875
744
92
262 0,29943
613
515
93
195 0,31811
418
348
94
140 0,33493
278
229
95
98 0,35252
180
146
96
67 0,36944
113
91
97
44 0,39207
69
55
98
28 0,40580
41
32
99
18 0,43902
23
18
100
10 0,43478
13
0,50000
10
101
7
6
5
102
3 0,46154
3
2
103
2 0,57143
1
1
104
0 0,33333
1
0
105
1 1,00000
0
0
106
0 0,00000
0
0
107
0 0,00000
0
0
108
0 0,00000
0
0
109
0 0,00000
0
0
110
0 0,00000
0
0
111
0 0,00000
0
0
112
0 0,00000
0
0
113
0 0,00000
0
0
114
0 0,00000
0
0
115
0 0,00000
0
0
116
0 0,00000
0
0,00000
0
117
0
0
0
118
0 0,00000
0
0
119
0 0,00000
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
53508
43283
34585
27283
21228
16270
12263
9075
6583
4674
3244
2199
1455
939
592
363
216
125
70
38
19
10
5
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,86
4,59
4,34
4,11
3,88
3,66
3,44
3,23
3,03
2,84
2,67
2,51
2,37
2,25
2,13
2,02
1,91
1,81
1,71
1,65
1,50
1,54
1,43
1,67
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
25
Lampiran 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905
100000
11575 0,11575
91965
0
88425
5198 0,05879 340420
1
83226
1606 0,01930 411370
5
81620
1149 0,01408 405369
10
80471
1689 0,02100 398437
15
78781
2392 0,03037 388088
20
76389
2541 0,03326 375697
25
73848
2954 0,04001 361981
30
70893
3161 0,04459 346649
35
67732
3478 0,05136 330171
40
64254
4127 0,06424 311165
45
60126
4688 0,07798 289290
50
55438
6055 0,10923 262700
55
49382
7670 0,15532 228261
60
41712
8779 0,21048 187116
65
32933
9866 0,29959 140211
70
23066
9563 0,41458
90992
75
13503
7521 0,55700
47498
80
9802
4195 0,70127
18108
85
1787
1495 0,83660
4400
90
292
270 0,92466
566
95
22
22 0,97727
34
100
0
0
1,00000
0
105
0
0 0,00000
0
110
0
0 0,00000
0
115
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
5030494
4938529
4598109
4186738
3781369
3382931
2994843
2619146
2257164
1910514
1580344
1269180
979889
717189
488927
301810
161599
70608
23109
5000
600
34
0
0
0
50,30
55,85
55,25
51,30
46,99
42,94
39,21
35,47
31,84
28,21
24,60
21,11
17,68
14,52
11,72
9,16
7,01
5,23
3,86
2,80
2,06
1,55
1,00
0,00
0,00
26
Lampiran 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
88425
85955
84743
83896
83226
82721
82344
82056
81825
81620
81418
81204
80974
80729
80471
80193
79887
79550
79182
78782
78347
77879
77388
76888
76389
75894
75400
74900
74385
73848
73288
72708
72111
71504
70894
70278
69654
69022
11575
2470
1212
847
669
505
377
287
231
205
202
214
230
244
258
278
306
337
368
400
434
468
491
499
499
495
494
499
515
537
560
580
596
606
611
616
623
631
639
0,11575
0,02793
0,01410
0,00999
0,00798
0,00607
0,00456
0,00349
0,00282
0,00251
0,00248
0,00263
0,00283
0,00302
0,00320
0,00345
0,00382
0,00422
0,00463
0,00505
0,00552
0,00597
0,00630
0,00645
0,00650
0,00648
0,00652
0,00662
0,00688
0,00722
0,00758
0,00792
0,00820
0,00841
0,00854
0,00869
0,00887
0,00907
0,00927
91965
87190
85349
84319
83561
82974
82532
82200
81940
81722
81519
81311
81088
80851
80600
80322
80040
79718
79366
78982
78564
78113
77634
77138
76638
76141
75647
75150
74642
74117
73568
72998
72409
71808
71199
70585
69966
69338
68703
5030494
4938529
4851339
4765990
4681670
4598109
4515135
4432601
4350402
4268461
4186738
4105220
4023909
3942820
3861968
3781369
3701037
3620997
3541278
3461913
3382932
3304367
3226254
3148620
3071482
2994843
2918702
2843056
2767906
2693264
2619146
2545578
2472580
2400172
2328364
2257164
2186579
2116614
2047276
50,30
55,85
56,44
56,24
55,80
55,25
54,58
53,83
53,02
52,17
51,30
50,42
49,55
48,69
47,84
46,99
46,15
45,33
44,52
43,72
42,94
42,18
41,43
40,69
39,95
39,21
38,46
37,71
36,95
36,21
35,47
34,73
34,01
33,28
32,56
31,84
31,11
30,39
29,66
27
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
68383
67732
67072
66400
65710
64996
64254
63479
62671
61837
60988
60126
59252
58358
57434
56464
55438
54354
53209
52001
50726
49382
47966
46478
44931
43339
41712
40051
38349
36599
34795
32933
31017
29058
27069
25066
23066
21080
19118
17193
15315
13503
650
660
672
689
714
742
775
808
834
849
861
874
894
924
970
1025
1084
1144
1208
1275
1343
1416
1488
1547
1591
1627
1661
1702
1750
1804
1862
1915
1959
1989
2002
2000
1986
1962
1925
1877
1812
1732
0,00951
0,00975
0,01003
0,1038
0,01087
0,01142
0,01206
0,01273
0,01331
0,01374
0,01412
0,01454
0,01509
0,01584
0,01690
0,01816
0,01956
0,02106
0,02270
0,02452
0,02649
0,02868
0,03102
0,03328
0,03542
0,03754
0,03983
0,04250
0,04563
0,04929
0,05351
0,05816
0,06317
0,06845
0,07398
0,07979
0,08610
0,09307
0,10071
0,10920
0,11831
0,12830
68058
67402
66736
66054
65353
64625
63866
63075
62254
61412
60557
59690
58806
57896
56948
55951
54896
53781
52605
51363
50054
48674
47222
45704
44135
42526
40881
39199
37474
35697
33864
31975
30038
28063
26067
24066
22073
20099
18155
16254
14409
12637
1978752
1910514
1843112
1776377
1710322
1644969
1580344
1516478
1453404
1391149
1329737
1269180
1209490
1150684
1092788
1035840
979889
924994
871212
818607
767243
717189
668515
621293
575588
531453
488927
448046
408846
371371
335674
301810
269835
239797
211734
185666
161599
139526
119427
101271
85017
70608
28,93
28,21
27,48
26,75
26,03
25,31
24,60
23,89
23,19
22,50
21,80
21,11
20,41
19,72
19,03
18,35
17,68
17,02
16,37
15,74
15,13
14,52
13,94
13,37
12,81
12,26
11,72
11,19
10,66
10,15
9,65
9,16
8,70
8,25
7,82
7,41
7,01
6,62
6,25
5,89
5,55
5,23
28
11771
1634 0,13886
10953
81
10136
1518 0,14981
9377
82
8618
1387 0,16100
7924
83
7230
1248 0,17267
6606
84
5982
1107
0,18514
5428
85
4874
968 0,19858
4390
86
3906
833 0,21323
3490
87
3073
704 0,22905
2721
88
2369
582 0,24583
2078
89
1787
471 0,26385
1551
90
1315
372 0,28316
1129
91
943
285 0,30276
800
92
657
212 0,32319
551
93
445
153 0,34382
368
94
292
106 0,36301
239
95
186
71 0,38172
150
96
115
46 0,40435
92
97
68
28 0,41605
54
98
40
18 0,45000
31
99
22
10 0,45455
17
100
12
6
0,50000
9
101
6
3 0,50000
4
102
3
1 0,50000
2
103
1
1 0,66667
1
104
0
0 1,00000
0
105
0
0 0,00000
0
106
0
0 0,00000
0
107
0
0 0,00000
0
108
0
0 0,00000
0
109
0
0 0,00000
0
110
0
0 0,00000
0
111
0
0 0,00000
0
112
0
0 0,00000
0
113
0
0 0,00000
0
114
0
0 0,00000
0
115
0
0 0,00000
0
116
0
0
0,00000
0
117
0
0 0,00000
0
118
0
0 0,00000
0
119
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
57970
47017
37639
29715
23109
17681
13290
9800
7078
5000
3449
2321
1520
969
600
362
211
119
65
34
17
8
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,92
4,64
4,37
4,11
3,86
3,63
3,40
3,19
2,99
2,80
2,62
2,46
2,31
2,18
2,06
1,95
1,84
1,74
1,62
1,55
1,46
1,33
1,33
1,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
29
Lampiran 5 Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
88425
85955
84743
83896
83226
82721
82344
82056
81825
81620
81418
81204
80974
80729
80471
80193
79887
79550
79182
78782
78347
77879
77388
76888
76389
75894
75400
74900
74385
73848
73288
72708
72111
71504
70894
70278
69654
69022
11575
2470
1212
847
669
505
377
287
231
205
202
214
230
244
258
278
306
337
368
400
434
468
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Modifikasi Model
Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap adalah benar karya saya
dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun
kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip
dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2013
Nurfitriana Okataviani S.
NIM G54070061
ABSTRAK
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifikasi Model
Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap. Dibimbing oleh HADI
SUMARNO dan ALI KUSNANTO.
Data kematian penduduk suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk
tabel hayat. Menurut interval umur, tabel hayat dibagi menjadi dua, yaitu tabel
hayat ringkas dan tabel hayat lengkap. Tabel hayat ringkas sering digunakan oleh
negara dengan data kematian penduduk yang tidak lengkap. Dalam bidang
asuransi tabel hayat digunakan untuk menentukan besar premi yang akan dibayar
oleh pemegang asuransi. Pada karya ilmiah ini dicari suatu model kontinu untuk
tabel hayat lengkap berdasarkan model hayat ringkas. Dengan membandingkan
koefisien determinasi dari metode Kostaki (2000), model eksponensial
(Rachmadani 2006), dan model kontinu yang didapatkan maka dapat disimpulkan
tabel hayat terbaik dihasilkan oleh metode Kostaki.
Kata kunci : tabel hayat, tabel hayat ringkas, tabel hayat lengkap, metode Kostaki,
model kontinu.
ABSTRACT
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS. Modifying Exponential
Model in the Preparation of a Complete Life Table. Supervised by HADI
SUMARNO and ALI KUSNANTO.
Population mortality data of a country is usually given in life tables. Based
on the age interval, life tables are divided into two, Abridged life tables and
complete life tables. The abridged life table is often used by state with incomplete
population mortality data. In life insurance, life tables are used to determining the
amount of premium to be paid by the insurance holder. This paper creates the
continuous model for the complete life table based on the abridged life table. By
comparing the coefficient of determination of the Kostaki method (2000),
exponential model (Rachmadani 2006), and continuous models, this work
concludes that the best life table is produced by the Kostaki method.
Keywords : life table, abridged life table, complete life table, Kostaki method,
continuous model.
MODIFIKASI MODEL EKSPONENSIAL DALAM
PENYUSUNAN TABEL HAYAT LENGKAP
NURFITRIANA OKTAVIANI SUPRIATININGTIAS
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat
Lengkap
Nama
: Nurfitriana Oktaviani Supriatiningtias
NIM
: G54070061
Disetujui oleh
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah
melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga karya ilmiah yang berjudul
Modifikasi Model Eksponensial dalam Penyusunan Tabel Hayat Lengkap berhasil
diselesaikan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada :
1 Dr Ir Hadi Sumarno, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku komisi
pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh
kesabaran kepada penulis,
2 Dr Ir Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi yang telah
memberikan saran dan kritiknya,
3 Dr Berlian Setiawaty, MS selaku Ketua Departemen Matematika,
4 Bank CIMB NIAGA yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama
menempuh studinya di Institut Pertanian Bogor,
5 Ayah, Ibu, mas Isal, mas Iyang, mas Aris, dan almarhum mas Joang serta
seluruh keluarga atas segala pengorbanan dan dukungannya selama penulis
menyelesaikan studi,
6 Mohammad Khamanda Syahpura yang selalu mendukung dan mendampingi,
7 Nike Arya Sari, Mufti Fathul Barri, Andri Febrian, Feri Nur Oktaviani, Bergas
Cahyo Baskoro, Mohammad Riza Febriano, Faisal Amin Nasution, dan temanteman LAWALATA-IPB yang lain,
8 Suwaibatul Aslamiyah dan teman-teman dari departemen Matematika IPB
yang lain,
9 dan semua pihak terkait yang telah membantu dalam proses penyusunan karya
ilmiah ini.
Bogor, Juni 2013
Nurfitriana Oktaviani Supriatiningtias
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
2
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
METODOLOGI
5
Data
5
Langkah-Langkah Penelitian
5
HASIL DAN PEMBAHASAN
5
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi
5
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki
8
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial
12
Fitting Model Kontinu
13
SIMPULAN
17
DAFTAR PUSTAKA
18
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
45
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Kurva lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905
Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
metode Kostaki
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model eksponensial
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model eksponensial
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model pertama
Kurva lx Amerika Serikat 1905 model kedua
Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model pertama dan model kedua
8
9
11
11
13
13
16
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10%
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905
Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Tabel perhitungan konstanta Kostaki
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
Metode Kostaki
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model eksponensial
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 dengan menggunakan
model pertama
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat taun 1905 dengan menggunakan
model kedua
19
22
25
26
29
32
33
36
39
42
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Demografi adalah kajian mengenai kependudukan yang menyangkut
berbagai faktor seperti jumlah, struktur usia, kepadatan, kelahiran, kematian,
pertumbuhan, serta variabel sosial dan ekonomi. Komponen utama dari demografi
yang berpengaruh terhadap struktur dan jumlah penduduk adalah kelahiran
(fertilitas), kematian (mortalitas), dan perpindahan penduduk (migrasi) (Siegel
dan Swanson 2004). Mortalitas adalah angka kematian yang terjadi pada kurun
waktu dan tempat tertentu yang dikaitkan oleh keadaan tertentu (BPS, 2009). Data
mortalitas suatu negara biasanya disajikan dalam bentuk life table atau tabel
hayat, yang terdiri dari beberapa komponen seperti jumlah penduduk yang
meninggal dunia pada umur tertentu, peluang seseorang meninggal dunia sebelum
mencapai pada umur tertentu dan angka harapan hidup seseorang menurut umur.
Tabel hayat adalah suatu tabel yang menggambarkan riwayat kematian penduduk
menurut kelompok umur tertentu yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya
akibat kematian. Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John
Graunt pada pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan
menggunakan data kematian London. Tabel hayat modern pertama kali
diperkenalkan oleh Edmund Halley pada tahun 1963 berdasarkan data registrasi
kelahiran dan kematian di kota Breslau pada tahun 1687-1691 dengan asumsi
bahwa populasi stasioner, yang selanjutnya dikembangkan oleh Milne pada tahun
1815 (Siegel dan Swanson 2004).
Ditinjau dari interval umur, tabel hayat ada dua jenis yaitu abridged life
table (tabel hayat ringkas) dan complete life table (tabel hayat lengkap). Tabel
hayat ringkas adalah tabel hayat dengan umur penduduk dikelompokkan menurut
jenjang tertentu biasanya dalam interval lima atau sepuluh tahun, sedangkan tabel
hayat lengkap adalah tabel hayat dengan umur penduduk disusun secara lengkap
dalam satu tahunan (Siegel dan Swanson 2004).
Tabel hayat ringkas sangat praktis. Oleh karena itu, tabel hayat ringkas
sering digunakan oleh negara dengan data kematian penduduk tidak lengkap.
Padahal suatu saat tabel hayat lengkap sangat diperlukan dalam bidang demografi
dalam memprediksi jumlah penduduk di masa mendatang, bidang asuransi untuk
menentukan besar premi yang harus dibayar oleh pemegang asuransi, dan bidang
kesehatan dalam menentukan peluang seseorang dapat bertahan hidup dalam
jangka waktu tertentu. Begitu juga dalam bidang pendidikan misalnya kita dapat
memperkirakan jumlah penduduk usia sekolah, jumlah murid, jumlah guru,
gedung-gedung sekolah dan pendidikan pada masa yang akan datang. Oleh karena
itu perlu disusun tabel hayat lengkap.
Kostaki (2000) telah menyampaikan sebuah metode tentang penyusunan
tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Sedangkan Rachmadani
(2006) menyampaikan sebuah model pendekatan kontinu dalam menyusun tabel
hayat dengan menganalisis data tentang laju kematian (
). Zulkarnaen (2012)
juga menyampaikan sebuah metode Kostaki yang telah dimodifikasi tentang
pendugaan tabel hayat lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas. Pada karya ilmiah
2
ini akan dicari model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat lengkap berdasarkan
model hayat ringkas.
Perumusan Masalah
Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan.
Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan
peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal dunia di usia 31 tahun.
Oleh karena itu diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi
lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1 mengkaji metode interpolasi abridged life table (tabel hayat ringkas) untuk
mengubah tabel hayat ringkas menjadi tabel hayat lengkap,
2 menyusun tabel hayat lengkap menggunakan model kontinu,
3 menentukan model tabel hayat lengkap terbaik dengan membandingkan
koefisien determinasinya.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini antara lain:
1 sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk,
2 sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa,
3 mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan
masyarakat,
4 untuk keperluan analisis mortalitas.
TINJAUAN PUSTAKA
Demografi adalah studi statistik dan matematik dari ukuran, komposisi, dan
distribusi spasial dari populasi manusia, dan perubahan dari waktu ke waktu yang
dipengaruhi oleh lima proses, yaitu kelahiran (fertilitas), kematian (mortalitas),
perkawinan, migrasi, dan mobilitas sosial (Bogue 1969). Mortalitas atau kematian
adalah hilangnya semua tanda-tanda kehidupan secara permanen yang dapat
terjadi setiap saat setelah kelahiran hidup (Wirosuhardjo et al. 1985). Data
mortalitas disajikan dalam bentuk tabel hayat (life table), yaitu tabel yang
menggambarkan riwayat kematian penduduk menurut kelompok umur tertentu
yang perlahan-lahan berkurang jumlahnya akibat kematian (Siegel dan Swanson
2004).
Komponen-komponen tabel hayat antara lain
dimana:
3
=
=
=
=
=
=
=
=
umur
banyaknya orang yang bertahan hidup hingga mencapai umur tepat x
banyaknya orang yang meninggal antara umur hingga
peluang bertahan hidup dari umur x hingga
peluang seseorang berumur meninggal sebelum mencapai
banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur dan
oleh
penduduk berumur
total waktu yang dijalani penduduk berumur x sampai akhir hayatnya
rata-rata tahun hidup yang akan dijalani oleh seseorang yang telah
berhasil mencapai umur tersebut dalam situasi kematian yang berlaku di
lingkungan masyarakatnya atau biasa disebut angka harapan hidup umur
x (Schoen dan Romo 2005).
Selain komponen-komponen tabel hayat di atas, ada beberapa notasi lain yang
perlu diketahui antara lain:
= banyaknya orang yang meninggal antara umur x dan x+n
= peluang bertahan hidup dari umur x hingga x+t
= peluang seseorang berumur x meninggal sebelum mencapai x+n
= tingkat kematian bagi penduduk berumur x
= banyaknya tahun hidup yang dijalani antara umur x dan x+n oleh
penduduk berumur x.
Nilai pada suatu tabel hayat diperoleh dari sensus atau registrasi penduduk di
suatu negara, sedangkan untuk nilai dari komponen lain pada suatu tabel hayat
dapat diperoleh dengan rumus berikut:
∑
( menyatakan usia
maksimal seseorang pada tabel hayat)
(Brown 1997).
Interpolasi adalah mecari sebuah kurva yang melalui titik-titik diskret secara
tepat berhingga (Mathews 1995). Dengan menggunakan metode interpolasi,
Kostaki (2000) menyampaikan suatu metode penyusunan tabel hayat lengkap
berdasarkan tabel hayat ringkas, dimana nilai nqx pada tabel hayat ringkas
dihubungkan dengan peluang kematian tabel hayat lengkap yang dianggap sebagai
tabel hayat standar ̃ . Asumsi metode ini adalah bahwa pada setiap interval umur
[
), laju kematian dari tabel hayat ringkas
merupakan perkalian suatu
konstanta K dengan laju kematian dari tabel hayat standar ̃ pada interval umur
yang sama, yakni:
̃
(1)
4
Oleh karena itu, konstanta K untuk setiap interval umur [
dihitung menggunakan:
) dapat
(2)
∏
dengan:
= peluang seseorang tepat berumur
nqx
pada tabel hayat lengkap
̃
= peluang seseorang tepat berumur
pada tabel hayat ringkas
̃
meninggal sebelum mencapai umur
meninggal sebelum mencapai umur
(Kostaki 2000).
Peluang kematian tabel hayat lengkap dapat dihitung dengan menggunakan
rumus:
̃
(3)
dengan:
̃
= peluang seseorang tepat berumur x meninggal, dan
0K0 untuk
4K1 untuk x ϵ [1,4]
9K5 untuk x ϵ [5,9]
14K10 untuk x ϵ [10,14]
⋮
⋮
⋮
K
untuk
x
ϵ [115,119]
119 115
(Kostaki 2000).
Untuk mengetahui galat atau error yang diperoleh berdasarkan metode
tertentu terhadap metode sebenarnya perlu dilakukan uji kesesuaian data,
misalnya dengan menggunakan koefisien determinasi, yaitu :
∑
∑
̂
̅
dimana
adalah nilai sebenarnya, ̂ nilai dugaan, ̅ adalah nilai rata-rata
sebenarnya, dan
adalah proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh
model. Semakin nilainya mendekati 1 maka datanya semakin sesuai (Agresti dan
Finley 1986).
5
METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data sekunder tabel hayat ringkas dan tabel
hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900 dan 1905 yang diunduh dari web
Berkeley Mortality Database (BMD 2011a, 2011b).
Langkah-Langkah Penelitian
1
2
3
4
5
6
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
mempelajari metode interpolasi tabel hayat yaitu menyusun tabel hayat
lengkap berdasarkan tabel hayat ringkas,
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Kostaki (2000),
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model eksponensial yang
dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya (2006),
melakukan fitting model kontinu yang sesuai dengan tabel hayat,
menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan model kontinu,
membandingkan metode dan model terbaik dalam menyusun model kontinu.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Life Table dan Contoh Penggunaannya dalam Premi Asuransi
Tabel hayat sederhana pertama kali diperkenalkan oleh John Graunt pada
pertengahan abad 17 yang telah melakukan observasi dengan menggunakan data
kematian London. Tabel hayat adalah catatan kematian yang diamati pada masa
lalu untuk menggambarkan nilai kemungkinan kematian dan kehidupan. Sebuah
tabel hayat dikonstruksi secara matematis untuk memberikan deskripsi secara
lengkap mengenai angka kematian dan harapan hidup serta menunjukkan pola
kematian (mortalitas) dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang
sama berdasarkan usia yang telah dicapainya. Komponen-komponen tabel hayat
adalah
Tabel hayat merupakan komponen yang sangat diperlukan dalam model
ilmu asuransi. Faktanya, beberapa sarjana mulai memperkenalkan ilmu asuransi
sejak tahun 1693. Pada tahun tersebut, Edmund Halley menerbitkan sebuah paper
tentang perkiraan tingkat mortalitas yang di ambil dari tabel kelahiran dan
kematian di kota Breslau. Dimana pada paper tersebut, tabel hayat dinamakan
Tabel Breslau. Sampai sekarang tabel hayat atau yang sering disebut juga dengan
tabel mortalitas banyak digunakan di berbagai negara (Siegel dan Swanson 2004).
Penggunaan tabel hayat pada bidang asuransi antara lain sebagai patokan
oleh pihak asuransi, sehingga pihak asuransi dapat mengetahui peluang suatu
kejadian / peristiwa seperti kematian, sakit, dan cacat dari seorang nasabah
(pembeli asuransi). Kemudian membantu produk harga dan peristiwa yang
diasuransikan proyek masa depan. Selain itu, tabel hayat juga dapat digunakan
sebagai dasar untuk penghitungan bagi penentuan premi.
6
Pada bagian ini akan dibahas contoh penggunaan tabel hayat pada
penentuan premi asuransi. Namun tabel hayat tidak dapat langsung digunakan
begitu saja. Tabel hayat harus diubah dulu menjadi tabel mortalitas CSO
(Commissioners Standard Ordinary). Tabel CSO adalah Tabel aktuaria yang
digunakan untuk menghitung nilai non-forfeiture (non-penyitaan) minimum polis
asuransi jiwa biasa (Investopedia 2013). Tabel mortalitas CSO mencerminkan
probabilitas bahwa orang-orang di berbagai kelompok umur akan mati pada tahun
tertentu. Komponen-komponen lambang komutasi pada tabel mortalitas CSO
antara lain
Contoh tabel CSO bisa dilihat
pada Lampiran 1. Penggunaan tingkat bunga 10% ini sesuai dengan rata-rata
tingkat bunga deposito saat ini (Fatmawati 2009).
Kali ini akan dilihat pada contoh kasus anuitas hidup. Anuitas hidup adalah
serangkaian pembayaran yang dilakukan selama seseorang tertentu masih hidup.
Jadi pembayaran hanya dilakukan bila saat pembayaran, orang tersebut masih
hidup. Ada bermacam-macam anuitas hidup, tergantung atas lamanya pembayaran
berlangsung, apakah pembayaran dilakukan permulaan ataupun akhir tahun,
ataupun apakah pembayaran ditunda selama jangka waktu tertentu. Anuitas awal
adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu satuan yang dilakukan pada awal
tahun. Sedangkan anuitas akhir adalah suatu rangkaian pembayaran sebesar satu
satuan yang dilakukan tiap akhir tahun.
Berikut beberapa notasi dan rumus yang akan digunakan:
=
=
=
=
=
=
dimana:
=
=
=
=
=
=
=
=
anuitas akhir,
anuitas awal,
nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masingmasing orang yang hidup dan berusia ,
jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia
untuk setiap orang yang hidup dari usia sampai tak hingga (atau
dapat dikatakan sampai akhir tabel mortalitas),
nilai sekarang pada usia 0 dari pembayaran sebesar 1 untuk masingmasing orang yang akan meninggal di usia ,
jumlah nilai sekarang pada usia 0 yang dibutuhkan orang berusia
untuk setiap orang yang meninggal dari usia sampai tak hingga,
nilai sekarang dari pembayaran sebesar 1 yang dilakukan 1 tahun
kemudian,
tingkat suku bunga.
Dari notasi dan rumus di atas maka selanjutnya kita akan mencoba membuat
tabel mortalitas CSO berdasarkan tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
(Lampiran 4) dengan tingkat suku bunga 10%. Dari tabel hayat lengkap 1905
7
dapat diketahui nilai dari
. Maka kita hanya akan mencari nilai dari
. Berikut adalah contoh perhitungannya untuk
:
untuk
nilai dari:
=
=
=
maka untuk nilai dari :
=
=
=
=
= 100000
=
=
=
=
=
=
=
.
Tabel mortalitas CSO dengan tingkat bunga 10% yang dibuat berdasarkan tabel
hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905 disajikan pada Lampiran 5.
Contoh kasus:
Hitunglah
dan
. Gunakan Tabel CSO pada tingkat bunga 10%.
Jawab:
= ∑
= ∑
= ∑
=
=
=
=
=
=
Nilai dari
=
=
=
diperoleh dari hubungan berikut:
8
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Metode Kostaki
Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 (Lampiran 3),
dapat diketahui jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut umur tertentu
pada interval umur lima tahunan, peluang penduduk umur tertentu akan
meninggal dunia, angka harapan hidup penduduk umur tertentu. Kurva pada
tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada Gambar 1.
Berdasarkan pengamatan pada Gambar 1 terlihat bahwa kurva pada tabel
hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905 cenderung monoton turun. Ini
menunjukan bahwa jumlah penduduk pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat
1905 terus berkurang akibat adanya kematian.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 1 Kurva lx tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905
Permasalahan pada tabel hayat ringkas adalah tidak dapat menentukan
peluang seseorang yang berumur 65 tahun dapat bertahan hidup hingga usia 68
tahun. Oleh karena itu, diperlukan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan
informasi lebih lengkap tentang jumlah penduduk yang bertahan hidup untuk
interval umur satu tahun. Selain itu dari contoh penggunaan tabel hayat pada sub
bab sebelumnya juga menunjukkan bahwa yang diperlukan dalam perhitungan
premi asuransi adalah suatu tabel hayat lengkap. Karena untuk menyusun suatu
tabel mortalitas CSO diperlukan tabel hayat yang lengkap bukan ringkas.
Kurva pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 dapat dilihat pada
Gambar 2.
9
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 2 Kurva lx pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
Selanjutnya data pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 (Lampiran
4) akan digunakan sebagai alat untuk membandingkan tabel hayat yang disusun
dengan menggunakan metode interpolasi dimana di sini menggunakan metode
Kostaki (2000). Kemudian dari perbandingan tersebut dapat dilihat kesesuaian
datanya sehingga bisa kita analisis galatnya.
Untuk penyusunan tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode
Kostaki melalui beberapa tahapan antara lain:
a Menentukan kostanta K untuk setiap interval umur
dengan
menggunakan rumus:
∏
̃
dimana
adalah nilai
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun
1905 dan ̃
diperoleh dari tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
(lihat Lampiran 2).
b Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus:
̃
dimana ̃ adalah nilai
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun
1900.
Dari dua tahapan di atas maka untuk penyusunan tabel hayat lengkap
Amerika Serikat tahun 1905 dibutuhkan nilai
pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat tahun 1900 dan nilai
pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat
tahun 1905. Contoh perhitungan dalam penyusunan tabel hayat untuk
dan
, antara lain:
a Menentukan kostanta
Dari tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905 diketahui nilai
. Maka:
10
=
=
=
=
dan diketahui dari tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1900 bahwa nilai
̃
. Maka:
= ̃
̃
=
=
̃
=
=
̃
=
∏
̃
= ∏
̃
=
sehingga konstanta dapat dihitung menjadi:
=
=
∏
̃
̃
=
b Menghitung nilai
Kostaki
=
̃
=
=
c Penyusunan tabel hayat Kostaki
Untuk menyusun suatu tabel hayat maka yang perlu kita cari selain nilai
adalah nilai
. Sebagai contoh kita akan mencari nilainilai tersebut untuk
. Pada bagian b kita memperoleh nilai
. Sedangkan untuk
kita memakai 100000 sebagai nilainya
. Maka:
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
∑
11
Hasil perhitungan konstanta nKx diberikan pada Lampiran 6. Sedangkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan menggunakan
metode Kostaki diberikan pada Lampiran 7. Kurva lx pada tabel hayat lengkap
Amerika Serikat 1905 yang diperoleh dengan metode Kostaki dapat dilihat pada
Gambar 3.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 3 Kurva lx Amerika Serikat 1905 metode Kostaki
Metode yang digunakan untuk menguji kesesuaian model adalah dengan
cara menghitung koefisien determinasi
. Nilai koefisien determinasi yang
tinggi menunjukkan bahwa model tersebut sesuai.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
lx Asli
lx kostaki
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 4 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
metode Kostaki
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 dengan metode Kostaki mengikuti pola lx tabel hayat lengkap
12
Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai dengan besarnya nilai R2 yang
mendekati 1 yaitu 0,99997.
Penyusunan Tabel Hayat dengan Menggunakan Model Eksponensial
Rachmadani (2006) telah mengemukakan model dalam penelitiannya untuk
menyusun suatu tabel hayat dengan menggunakan pendekatan kontinu yaitu
dengan menganalisis data tentang laju kematian (
). Model yang diperoleh
adalah:
dimana adalah banyaknya kelahiran yaitu 100000
.
Untuk menyusun suatu tabel hayat maka yang perlu kita cari selain nilai
adalah nilai
. Sebagai contoh kita akan mencari nilai-nilai
tersebut untuk
, sebagai berikut:
=
[
]
=
=
=
=
=
=
=
0,00082
=
=
=
=
=
=
∑
=
=
=
Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan dengan
menggunakan model eksponensial diberikan pada Lampiran 8. Sedangkan kurva lx
pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang diperoleh dari model
eksponensial dapat dilihat pada Gambar 5.
13
Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model eksponensial juga cukup mengikuti
pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang ditandai
dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,652.
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 5 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model eksponensial
120000
100000
lx asli
lx eksponensial
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 6 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model eksponensial
Fitting Model Kontinu
Dalam kepentingan proyeksi penduduk apabila tingkat kematian berubah
dari waktu ke waktu, maka perhitungan tabel hayat menjadi sangat rumit sehingga
diperlukan tabel hayat yang bersifat kontinu. Pada bagian ini akan dicoba untuk
14
mencari kurva yang sesuai dengan tabel hayat dengan menggunakan kurva l ( x).
Dari nilai lx yang terdapat pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 1905, maka
akan dibuat suatu kurva yang menghubungkan antara jumlah orang yang bertahan
hidup dengan umur.
Dari kurva pada Gambar 1 akan dibuat suatu fungsi yang dapat mewakili
kurva tersebut. Dilihat dari bentuk kurvanya maka fungsi tersebut akan terbagi
atas 2 selang yaitu
dan
dengan masing-masing selang
diwakili oleh suatu fungsi. Berdasarkan bentuk kurvanya pula, fungsi yang akan
digunakan adalah fungsi eksponen dan fungsi kuadratik.
Untuk selang
akan dicoba dengan menggunakan fungsi
kuadratik dan eksponen. Sedangkan untuk selang
hanya akan
dicoba dengan menggunakan fungsi eksponen saja sebagaimana merujuk pada
model eksponensial yang dikemukakan oleh Rachmadani dalam karya ilmiahnya
(2006). Karena model yang akan kita cari adalah model kontinu maka kita harus
melihat pula dari syarat kekontinuannya. Suatu fungsi akan dikatakan kontinu
apabila memenuhi syarat sebagai berikut:
dikatakan kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
.
Dengan melihat syarat kekontinuan dan terturunkan suatu fungsi serta
mengacu pada Gambar 3 maka kita dapat mengambil beberapa titik sebagai dasar
dalam pembuatan model, yaitu:
1 Untuk model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
Untuk model pertama pada selang
, kita memakai titik
dan
sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang
, kita memakai titik
. Kalau dilihat model eksponen ini
untuk kedua selang sangatlah mirip dengan model eksponensial hanya saja
berbeda pada konstatanya saja. Ini dikarenakan memang untuk pembuatan
model pertama ini sangat berpatokan pada model eksponensial. Dengan
bantuan software maka didapatkan fungsi
sebagai berikut:
{
Sekarang kita akan mencoba untuk mengecek kekontinuan model
pertama. Sebagaimana disebutkan di atas tentang syarat kekontinuan suatu
fungsi, maka kita akan mengecek fungsi
apakah kontinu di titik
karena titik perpotongan fungsi
berada di titik
.
dikatakan
kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
.
dimana:
15
{
2
Untuk model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
Untuk model kedua pada selang
, kita memakai titik
dan
sebagai dasar pembuatan model. Sedangkan untuk selang
, kita memakai titik
. Untuk model eksponen yang kita
pakai pada model kedua kita samakan dengan model pertama. Sehingga kita
hanya perlu mencari model pada selang
saja. Dengan bantuan
software maka didapatkan fungsi
sebagai berikut:
{
Sekarang kita akan mencoba untuk mengecek kekontinuan model
pertama. Sebagaimana disebutkan di atas tentang syarat kekontinuan suatu
fungsi, maka kita akan mengecek fungsi
apakah kontinu di titik
karena titik perpotongan fungsi
berada di titik
.
dikatakan
kontinu di titik
apabila:
1
ada yaitu
2
3
dimana:
{
.
Dari fitting model yang dilakukan, maka kurva dan tabel hayat dari dua
fungsi tersebut bisa kita buat. Untuk tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
yang didapat dari model pertama ditunjukkan pada Lampiran 9, sedangkan untuk
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 yang didapat dari model kedua
ditunjukkan pada Lampiran 10. Berikut adalah kurva Amerika Serikat 1905
yang dihasilkan oleh model pertama (Gambar 7) dan model kedua (Gambar 8).
Perbandingan antara kurva Amerika Serikat 1905 yang dihasilkan oleh model
pertama dengan model kedua, serta kurva
Amerika Serikat 1905 yang
sebenarnya juga bisa dilihat pada Gambar 9.
16
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 7 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model pertama
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 8 Kurva lx Amerika Serikat 1905 model kedua
Perbandngan koefisien determinasi dari nilai yang dihasilkan dengan
metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua disajikan
dalam tabel 1.
Tabel 1 Perbandingan koefisien determinasi nilai yang dihasilkan dengan
metode Kostaki, model eksponensial, model pertama, dan model kedua
Metode Kostaki
0,9997
Model
eksponensial
0,652
Model pertama
Model kedua
0,946
0,945
17
120000
100000
lx asli
model kedua
model pertama
80000
60000
40000
20000
0
0
20
40
60
80
100
120
140
Gambar 9 Kurva perbandingan lx Amerika Serikat 1905 sebenarnya dengan lx
model pertama dan model kedua
Berdasarkan Gambar 9 terlihat bahwa kurva lx tabel hayat lengkap Amerika
Serikat 1905 yang dihasilkan dengan model pertama dan model kedua juga
mengikuti pola lx tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905 sebenarnya yang
ditandai dengan besarnya nilai R2 yang mendekati 1 yaitu 0,946 untuk model
pertama dan 0,945 juga untuk model kedua.
SIMPULAN
1 Tabel hayat lengkap dapat disusun berdasarkan tabel hayat ringkas dengan
menggunakan metode Kostaki.
2 Berdasarkan tabel hayat ringkas dapat dibuat suatu tabel hayat kontinu dengan
menggunakan model eksponensial sebagai berikut:
a Model pertama (fungsi eksponen dan fungsi eksponen)
{
b
Model kedua (fungsi kuadratik dan fungsi eksponen)
{
3 Berdasarkan koefisien determinasi yang diperoleh, tabel hayat yang paling baik
dalam penelitian ini dihasilkan oleh metode Kostaki.
18
DAFTAR PUSTAKA
Agresti A, Finley B. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. California
(USA) : D. Ellen Publishing Company.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011a. Data for the United States [internet].
[diunduh 2011 Oktober 18]. Tersedia pada: http://demog. berkeley.edu/ ~bmd/
States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.1x1.
[BMD] Berkeley Mortality Database. 2011b. Data for the United States [Internet].
[diunduh 2011 Oktober 18] : Tersedia pada: http://demog.berkeley.edu/ ~bmd/
States/ ssa/ life.tables/ utper.lt.5x1.
Bogue DJ. 1969. Principles of Demography. New York (USA): John Wiley &
Sons.
[BPS] Badan Pusat Statistik. 2009. Profil Kesehatan Indonesia. 2008. Jakarta
(ID): BPS.
Brown RL. 1997. Introduction to the Mathemathics of Demography. Connecticut
(USA) : ACTEC Publications, inc.
Fatmawati H. 2009. Pengaruh Perubahan Tingkat Mortalita terhadap Asumsi
Aktuaria pada Asuransi Jiwa [Skripsi]. Yogyakarta (ID): Universitas Negeri
Yogyakarta.
Investopedia. 2013. Commissioners Standard Ordinary Mortality Table [Internet].
[diacu 2013 Maret 23]. Tersedia pada: http://www.investopedia.com/ terms/ c/
commissioners-standard-ordinary-mortality-table-cso.asp.
Kostaki A. 2000. Degrouping mortality data for the elderly. Mathematical
Population Studies, 9 (1): 83-95. DOI: 10.1080/08898480009525465.
Mathews JH. 1995. Numerical Methods for Mathematics, Science, and
Engineering. Second edition. California (USA): Prentice Hall International.
Rachamadani N. 2006. Penyusunan Tabel Hayat [Skripsi]. Bogor (ID): Institut
Pertanian Bogor.
Schoen R, Romo VC. 2005. Changing mortality and average cohort life
expectancy. Demoghraphic Research 13: 117-142. DOI: 10.4054/
DemRes.2005.13.5.
Siegel JS, Swanson DA. 2004. The Methods and Materials of Demography.
Second edition. California (USA): Elsevier Inc.
Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Kusuma SM. 1985.
Kamus Istilah Demografi. Jakarta (ID): Pusat Pembinaan dan Pengembangan
Bahasa.
Zulkarnaen. 2012. Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel
Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas [Skripsi]. Bogor (ID):
Institut Pertanian Bogor.
19
Lampiran 1 Tabel Mortalitas CSO 1941 pada tingkat suku bunga 10%
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
1023102 23102
1000000 5770
994230 4116
990114 3347
986767 2950
983817 2715
981102 2561
978541 2417
976124 2255
973869 2065
971804 1914
969890 1852
968038 1859
966179 1913
964266 1996
962270 2069
960201 2103
958098 2156
955942 2199
953743 2260
951483 2312
949171 2382
946789 2452
944337 2531
941806 2609
939197 2705
936492 2800
933692 2904
930788 3025
927763 3154
924609 3292
921317 3437
917880 3598
914282 3767
910515 3961
906554 4161
902393 4386
898007 4625
893382 4878
1000
22,58 1023102,00 10709259,00 21001,8184 49533,1875
5,77 909090,94 9686155,00 4768,5952 28531,3613
4,14 821677,69 8777065,00 3092,4116 23762,7676
3,38 743887,31 7955385,00 2286,0461 20670,3535
2,99 673975,12 7211498,50 1831,7179 18384,3066
2,76 610872,94 6537523,50 1532,5468 16552,5898
2,61 553806,50 5926650,50 1314,1979 15020,0479
2,47 502146,25 5372844,00 1127,5483 13705,8506
2,31 455369,03 4870697,50
956,3401 12578,3027
2,12 413015,53 4415328,00
796,1469 11621,9629
1,97 374672,50 4002313,50
670,8453 10825,8161
1,91 339940,53 3627641,50
590,1042 10154,9717
1,92 308446,75 3287701,00
538,4861 9564,8672
1.98 279867,62 2979254,00
503,7527 9026,3789
2,07 253921,38 2699386,50
477,8265 8522,6250
2,15 230359,78 2445465,25
450,2747 8044,7944
2,19 208967,70 2215105,00
416,0637 7594,5200
2,25 189554,58 2006137,00
387,7755 7178,4526
2,30 171934,56 1816582,50
359,5541 6790,6772
2,37 155944,59 1644648,00
335,9346 6431,1226
2,43 141431,88 1488703,38
312,4219 6095,1885
2,51 128262,02 1347271,50
292,6191 5782,7666
2,59 116309,21 1219009,38
273,8348 5490,1479
2,68 105461,81 1102700,38
256,9613 5216,3135
2,77
95617,41
997238,75
240,8002 4959,3525
2,88
86684,12
901621,25
226,9642 4718,5527
2,99
78576,78
814937,12
213,5775 4491,5884
3,11
71219,86
736360,38
201,3731 4278,0117
3,25
64543,96
665140,50
190,6942 4076,6384
3,40
58485,63
600596,50
180,7512 3885,9441
3,56
52988,00
542110,94
171,5089 3705,1931
3,73
47999,40
489122,94
162,7847 3533,6838
3,92
43473,04
441123,53
154,9182 3370,8994
4,12
39366,02
397650,53
147,4498 3215,9812
4,35
35639,84
358284,50
140,9486 3068,5312
4,59
32258,91
322644,62
134,6049 2927,5828
4,86
29191,68
290385,72
128,9850 2792,9778
5,15
26408,90
261193,98
123,6487 2663,9927
5,46
23884,44
23475,09
118,5570 2540,3438
20
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
888504
883342
877883
872098
865967
859464
852554
845214
837413
829114
820292
810900
800910
790282
778981
766961
754191
740631
726241
710990
694843
677771
659749
640761
620782
599824
577882
554975
531133
506403
480850
454548
427593
400112
372240
344136
315982
287973
260322
233251
206989
181765
5162
5459
5785
6131
6503
6910
7340
7801
8299
8822
9392
9990
10628
11301
12020
12770
13560
14390
15251
16147
17072
18022
18988
19979
20958
21942
22907
23842
24730
25553
26302
26955
27481
27872
28104
28154
28009
27651
27071
26262
25224
23966
5,81
6,18
6,59
7,03
7,51
8,04
8.61
9,23
9,91
10,64
11,45
12,32
13,27
14,30
15,43
16,65
17,98
19,43
21,00
22,71
24,57
26,59
28,78
31,18
33,76
36,58
39,64
42,96
46,56
50,46
54,70
59,30
64,27
69,66
75,50
81,81
88,64
96,02
103,99
112,59
121,86
131,85
21594,57
19517,38
17633,42
15924,75
14375,26
12970,29
11696,37
10541,52
9494,75
8546,05
7686,47
6907,69
6202,36
5563,68
4985,57
4462,40
3989,18
3561,32
3174,66
2825,45
2510,26
2225,98
1969,81
1739,20
1531,79
1345,53
1178,46
1028,86
895,14
775,88
669,75
575,56
492,21
418,71
354,13
297,63
248,43
205,83
169,15
137,78
111,15
88,74
210900,64
189306,08
169788,70
152155,28
136230,53
121855,27
108884,99
97188,69
86647,11
77152,35
68606,31
60919,84
54012,14
47809,79
42246,10
37260,53
32798,14
28808,96
25247,63
22072,97
19247,52
16737,26
14511,28
12541,47
10802,27
9270,48
7924,95
6746,49
5717,63
4822,49
4046,61
3376,86
2801,30
2309,09
1890,38
1536,26
1238,63
990,20
784,37
615,22
477,43
366,28
114,0540
109,6511
105,6357
101,7761
98,1376
94,7998
91,5446
88,4492
85,5415
82,6657
80,0062
77,3639
74,8224
72,3277
69,9358
67,5450
65,2033
62,9039
60,6070
58,3342
56,0691
53,8083
51,5386
49,2986
47,0130
44,7457
42,4669
40,1821
37,8897
35,5915
33,3043
31,0283
28,7580
26,5156
24,3058
22,1355
20,0195
17,9669
15,9910
14,1028
12,3140
10,6362
2421,7866
2307,7327
2198,0818
2092,4460
1990,6697
1892,5320
1797,7322
1706,1876
1617,7385
1532,1970
1449,5314
1369,5251
1292,1611
1217,3387
1145,0109
1075,0752
1007,5307
942,3275
879,4236
818,8167
760,4824
704,4134
650,6051
599,0665
549,7679
502,7548
458,0091
415,5421
375,3600
337,4703
301,8788
268,5744
237,5461
208,7880
182,2724
157,9666
135,8312
115,8116
97,8447
81,8537
67,7509
55,4369
21
157799 22502
142,60
81
135297 20857
154,16
82
114440 19062
166,57
83
95378 17157
179,88
84
78221 15185
194,13
85
63036 13198
209,37
86
49838 11245
225,63
87
38593 9378
243,00
88
29215 7638
261,44
89
21577 6063
280,99
90
15514
4681
301,73
91
10833 3506
323,64
92
7327 2540
346,66
93
4787 1776
371,00
94
3011 1193
396,21
95
1818
813
447,19
96
1005
551
548,26
97
454
329
724,67
98
125
125 1.000,00
99
Sumber: Fatmawati H (2009)
70,03
54,59
41,97
31,80
23,71
17,37
12,49
8,79
6,05
4,06
2,65
1,69
1,04
0,62
0,35
0,19
0,10
0,04
0,01
277,54
207,51
152,93
110,95
79,15
55,44
38,07
25,58
16,79
10,74
6,68
4,03
2,34
1,31
0,69
0,34
0,15
0,05
0,01
9,0786
7,6500
6,3560
5,2007
4,1845
3,3063
2,5610
1,9416
1,4376
1,0374
0,7281
0,4958
0,3265
0,2076
0,1267
0,0785
0,0484
0,0263
0,0091
44,8007
35,7221
28,0721
21,7161
16,5154
12,3309
9,0246
6,4636
4,5220
3,0844
2,0470
1,3189
0,8231
0,4965
0,2890
0,1622
0,0837
0,0353
0,0091
22
Lampiran 2 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1900
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
86718
83496
81936
80854
80000
79379
78934
78616
78376
78172
77972
77756
77520
77268
77006
76722
76404
76052
75660
75230
74757
74244
73704
73152
72600
72053
71508
70962
70406
69838
69255
68662
68060
67451
66836
66214
65587
64953
13282
3222
1560
1082
854
621
445
318
240
204
200
216
236
252
262
284
318
352
392
430
473
513
540
552
552
547
545
546
556
568
583
593
602
609
615
622
627
634
641
0,13282
0,03714
0,01868
0,01322
0,01055
0,00777
0,00561
0,00402
0,00305
0,00260
0,00256
0,00276
0,00305
0,00324
0,00340
0,00369
0,00413
0,00462
0,00515
0,00568
0,00629
0,00686
0,00728
0,00749
0,00754
0,00754
0,00756
0,00764
0,00783
0,00807
0,00834
0,00856
0,00877
0,00895
0,00912
0,00930
0,00948
0,00967
0,00986
91036
85107
82716
81395
80427
79690
79156
78775
78496
78274
78072
77864
77638
77394
77137
76864
76562
76228
75856
75445
74994
74501
73974
73428
72876
72326
71780
71235
70684
70122
69546
68959
68362
67756
67143
66525
65900
65270
64632
4768138
4677100
4592994
4509278
4427882
4347455
4267766
4188609
4109833
4031338
3953063
3874990
3797126
3719488
3642094
3564956
3488094
3411530
3335302
3259447
3184002
3109008
3034508
2960534
2887106
2814230
2741904
2670123
2598888
2528205
2458083
2388537
2319578
2251217
2183462
2116318
2049792
1983892
1918622
47,68
53,93
55,00
55,03
54,76
54,34
53,76
53,06
52,28
51,44
50,57
49,70
48,83
47,98
47,14
46,29
45,46
44,65
43,86
43,08
42,32
41,59
40,87
40,17
39,47
38,76
38,05
37,34
36,62
35,91
35,20
34,49
33,78
33,08
32,37
31,66
30,96
30,25
29,54
23
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
64312
63667
63015
62354
61682
60996
60294
59572
58829
58063
57269
56447
55592
54702
53774
52807
51797
50741
49637
48488
47296
46064
44786
43461
42085
40657
39177
37643
36056
34411
32706
30942
29120
27252
25360
23470
21599
19760
17955
16176
14417
12691
645
652
661
672
686
702
722
743
766
794
822
855
890
928
967
1010
1056
1104
1149
1192
1232
1278
1325
1376
1428
1480
1534
1587
1645
1705
1764
1822
1868
1892
1890
1871
1839
1805
1779
1759
1726
1672
0,01004
0,01024
0,01050
0,01078
0,01111
0,01152
0,01196
0,01247
0,01303
0,01367
0,01436
0,01515
0,01601
0,01960
0,01799
0,01913
0,02039
0,02175
0,02316
0,02457
0,02606
0,02773
0,02960
0,03166
0,03392
0,03641
0,03914
0,04216
0,04562
0,04955
0,05393
0,05888
0,06416
0,06943
0,07453
0,07972
0,08512
0,09137
0,09908
0,10871
0,11972
0,13178
63990
63341
62684
62018
61338
60644
59933
59201
58446
57666
56858
56019
55147
54238
53290
52302
51269
50189
49063
47892
46680
45425
44123
42772
41371
39917
38410
36850
35234
33559
31824
30031
28286
26306
24415
22534
20679
18858
17065
15296
13555
11855
1853990
1790000
1726658
1663974
1601956
1540618
1479973
1420040
1360839
1302393
1244726
1187868
1131849
1076702
1022464
969174
916872
865603
815413
766351
718458
671778
626353
582229
539456
498085
458168
419758
382908
347674
314115
282291
252259
224073
197767
173352
150818
130138
111280
94215
78918
65363
28,83
28,12
27,40
26,69
25,97
25,26
24,55
23,84
23,13
22,43
21,73
21,04
20,36
19,68
19,01
18,35
17,70
17,06
16,43
15,80
15,19
14,58
13,99
13,40
12,82
12,25
11,69
11,15
10,62
10,10
9,60
9,12
8,66
8,22
7,80
7,39
6,98
6,59
6,20
5,82
5,47
5,15
24
11019
10225
81
1588 0,14407
9431
8697
82
1467 0,15560
7964
7302
83
1324 0,16625
6640
6055
84
1171 0,17628
5469
0,18676
4959
85
1021
4448
4006
86
883 0,19840
3565
3188
87
755 0,21175
2810
2492
88
637 0,22665
2173
1909
89
529 0,24339
1644
1430
90
429 0,26117
1215
1045
91
340 0,27984
875
744
92
262 0,29943
613
515
93
195 0,31811
418
348
94
140 0,33493
278
229
95
98 0,35252
180
146
96
67 0,36944
113
91
97
44 0,39207
69
55
98
28 0,40580
41
32
99
18 0,43902
23
18
100
10 0,43478
13
0,50000
10
101
7
6
5
102
3 0,46154
3
2
103
2 0,57143
1
1
104
0 0,33333
1
0
105
1 1,00000
0
0
106
0 0,00000
0
0
107
0 0,00000
0
0
108
0 0,00000
0
0
109
0 0,00000
0
0
110
0 0,00000
0
0
111
0 0,00000
0
0
112
0 0,00000
0
0
113
0 0,00000
0
0
114
0 0,00000
0
0
115
0 0,00000
0
0
116
0 0,00000
0
0,00000
0
117
0
0
0
118
0 0,00000
0
0
119
0 0,00000
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
53508
43283
34585
27283
21228
16270
12263
9075
6583
4674
3244
2199
1455
939
592
363
216
125
70
38
19
10
5
2
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,86
4,59
4,34
4,11
3,88
3,66
3,44
3,23
3,03
2,84
2,67
2,51
2,37
2,25
2,13
2,02
1,91
1,81
1,71
1,65
1,50
1,54
1,43
1,67
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
25
Lampiran 3 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 1905
100000
11575 0,11575
91965
0
88425
5198 0,05879 340420
1
83226
1606 0,01930 411370
5
81620
1149 0,01408 405369
10
80471
1689 0,02100 398437
15
78781
2392 0,03037 388088
20
76389
2541 0,03326 375697
25
73848
2954 0,04001 361981
30
70893
3161 0,04459 346649
35
67732
3478 0,05136 330171
40
64254
4127 0,06424 311165
45
60126
4688 0,07798 289290
50
55438
6055 0,10923 262700
55
49382
7670 0,15532 228261
60
41712
8779 0,21048 187116
65
32933
9866 0,29959 140211
70
23066
9563 0,41458
90992
75
13503
7521 0,55700
47498
80
9802
4195 0,70127
18108
85
1787
1495 0,83660
4400
90
292
270 0,92466
566
95
22
22 0,97727
34
100
0
0
1,00000
0
105
0
0 0,00000
0
110
0
0 0,00000
0
115
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
5030494
4938529
4598109
4186738
3781369
3382931
2994843
2619146
2257164
1910514
1580344
1269180
979889
717189
488927
301810
161599
70608
23109
5000
600
34
0
0
0
50,30
55,85
55,25
51,30
46,99
42,94
39,21
35,47
31,84
28,21
24,60
21,11
17,68
14,52
11,72
9,16
7,01
5,23
3,86
2,80
2,06
1,55
1,00
0,00
0,00
26
Lampiran 4 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat tahun 1905
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
88425
85955
84743
83896
83226
82721
82344
82056
81825
81620
81418
81204
80974
80729
80471
80193
79887
79550
79182
78782
78347
77879
77388
76888
76389
75894
75400
74900
74385
73848
73288
72708
72111
71504
70894
70278
69654
69022
11575
2470
1212
847
669
505
377
287
231
205
202
214
230
244
258
278
306
337
368
400
434
468
491
499
499
495
494
499
515
537
560
580
596
606
611
616
623
631
639
0,11575
0,02793
0,01410
0,00999
0,00798
0,00607
0,00456
0,00349
0,00282
0,00251
0,00248
0,00263
0,00283
0,00302
0,00320
0,00345
0,00382
0,00422
0,00463
0,00505
0,00552
0,00597
0,00630
0,00645
0,00650
0,00648
0,00652
0,00662
0,00688
0,00722
0,00758
0,00792
0,00820
0,00841
0,00854
0,00869
0,00887
0,00907
0,00927
91965
87190
85349
84319
83561
82974
82532
82200
81940
81722
81519
81311
81088
80851
80600
80322
80040
79718
79366
78982
78564
78113
77634
77138
76638
76141
75647
75150
74642
74117
73568
72998
72409
71808
71199
70585
69966
69338
68703
5030494
4938529
4851339
4765990
4681670
4598109
4515135
4432601
4350402
4268461
4186738
4105220
4023909
3942820
3861968
3781369
3701037
3620997
3541278
3461913
3382932
3304367
3226254
3148620
3071482
2994843
2918702
2843056
2767906
2693264
2619146
2545578
2472580
2400172
2328364
2257164
2186579
2116614
2047276
50,30
55,85
56,44
56,24
55,80
55,25
54,58
53,83
53,02
52,17
51,30
50,42
49,55
48,69
47,84
46,99
46,15
45,33
44,52
43,72
42,94
42,18
41,43
40,69
39,95
39,21
38,46
37,71
36,95
36,21
35,47
34,73
34,01
33,28
32,56
31,84
31,11
30,39
29,66
27
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
68383
67732
67072
66400
65710
64996
64254
63479
62671
61837
60988
60126
59252
58358
57434
56464
55438
54354
53209
52001
50726
49382
47966
46478
44931
43339
41712
40051
38349
36599
34795
32933
31017
29058
27069
25066
23066
21080
19118
17193
15315
13503
650
660
672
689
714
742
775
808
834
849
861
874
894
924
970
1025
1084
1144
1208
1275
1343
1416
1488
1547
1591
1627
1661
1702
1750
1804
1862
1915
1959
1989
2002
2000
1986
1962
1925
1877
1812
1732
0,00951
0,00975
0,01003
0,1038
0,01087
0,01142
0,01206
0,01273
0,01331
0,01374
0,01412
0,01454
0,01509
0,01584
0,01690
0,01816
0,01956
0,02106
0,02270
0,02452
0,02649
0,02868
0,03102
0,03328
0,03542
0,03754
0,03983
0,04250
0,04563
0,04929
0,05351
0,05816
0,06317
0,06845
0,07398
0,07979
0,08610
0,09307
0,10071
0,10920
0,11831
0,12830
68058
67402
66736
66054
65353
64625
63866
63075
62254
61412
60557
59690
58806
57896
56948
55951
54896
53781
52605
51363
50054
48674
47222
45704
44135
42526
40881
39199
37474
35697
33864
31975
30038
28063
26067
24066
22073
20099
18155
16254
14409
12637
1978752
1910514
1843112
1776377
1710322
1644969
1580344
1516478
1453404
1391149
1329737
1269180
1209490
1150684
1092788
1035840
979889
924994
871212
818607
767243
717189
668515
621293
575588
531453
488927
448046
408846
371371
335674
301810
269835
239797
211734
185666
161599
139526
119427
101271
85017
70608
28,93
28,21
27,48
26,75
26,03
25,31
24,60
23,89
23,19
22,50
21,80
21,11
20,41
19,72
19,03
18,35
17,68
17,02
16,37
15,74
15,13
14,52
13,94
13,37
12,81
12,26
11,72
11,19
10,66
10,15
9,65
9,16
8,70
8,25
7,82
7,41
7,01
6,62
6,25
5,89
5,55
5,23
28
11771
1634 0,13886
10953
81
10136
1518 0,14981
9377
82
8618
1387 0,16100
7924
83
7230
1248 0,17267
6606
84
5982
1107
0,18514
5428
85
4874
968 0,19858
4390
86
3906
833 0,21323
3490
87
3073
704 0,22905
2721
88
2369
582 0,24583
2078
89
1787
471 0,26385
1551
90
1315
372 0,28316
1129
91
943
285 0,30276
800
92
657
212 0,32319
551
93
445
153 0,34382
368
94
292
106 0,36301
239
95
186
71 0,38172
150
96
115
46 0,40435
92
97
68
28 0,41605
54
98
40
18 0,45000
31
99
22
10 0,45455
17
100
12
6
0,50000
9
101
6
3 0,50000
4
102
3
1 0,50000
2
103
1
1 0,66667
1
104
0
0 1,00000
0
105
0
0 0,00000
0
106
0
0 0,00000
0
107
0
0 0,00000
0
108
0
0 0,00000
0
109
0
0 0,00000
0
110
0
0 0,00000
0
111
0
0 0,00000
0
112
0
0 0,00000
0
113
0
0 0,00000
0
114
0
0 0,00000
0
115
0
0 0,00000
0
116
0
0
0,00000
0
117
0
0 0,00000
0
118
0
0 0,00000
0
119
Sumber: Berkeley Mortality Database (2011)
57970
47017
37639
29715
23109
17681
13290
9800
7078
5000
3449
2321
1520
969
600
362
211
119
65
34
17
8
4
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4,92
4,64
4,37
4,11
3,86
3,63
3,40
3,19
2,99
2,80
2,62
2,46
2,31
2,18
2,06
1,95
1,84
1,74
1,62
1,55
1,46
1,33
1,33
1,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
29
Lampiran 5 Tabel Mortalitas CSO dengan tingkat suku bunga 10% berdasarkan
tabel hayat lengkap Amerika Serikat 1905
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
100000
88425
85955
84743
83896
83226
82721
82344
82056
81825
81620
81418
81204
80974
80729
80471
80193
79887
79550
79182
78782
78347
77879
77388
76888
76389
75894
75400
74900
74385
73848
73288
72708
72111
71504
70894
70278
69654
69022
11575
2470
1212
847
669
505
377
287
231
205
202
214
230
244
258
278
306
337
368
400
434
468