33
Penyelesaian
Berdasarkan persamaan 2.26 maka dapat diperoleh persamaan, = 2
integral dari keua ruas maka akan diperoleh =
2
+ dengan merupakan konstanta. Selanjuynta dengan kondisi awal
1 = 4 maka diperoleh nilai
= 3. Sehingga diperoleh solusi dari Persamaan 2.26 adalah
=
2
+ 3. Solusi dari persamaan diferensial biasa lebih mudah ditentukan daripada solusi
dari persamaan diferensial parsial, salah satu cara untuk mendapatkan solusi persamaan diferensial parsial adalah melakukan transformasi menjadi persamaan
diferensial biasa kemudian ditentukan solusinya.
F. Persamaan Difusi
Persamaan difusi dapat diperoleh dengan ilustrasi Gambar 2.1, sebuah cairan bergerak secara perlahan mengisi sebuah pipa lurus dan sebuah zat
pencemar menyebar pada cairan tersebut pada selang [
,
1
]. Zat pencemar tersebut menyebar melalui cairan dengan arah pergerakan dari konsentrasi tinggi
menuju ke konsentrasi yang lebih rendah.
Gambar 2.1 Sebuah cairan mengisi pipa dan sebuah zat pencemar menyebar melalui cairan tersebut
34
Jika , menyatakan konsentrasi massa per satuan panjang dari zat
dengan posisi pada waktu . Maka massa zat pada selang [
,
1
] diperoleh dari integral konsentrasi
, yaitu =
,
1
sehingga,
= ,
1
= ,
1
2.27
Perubahan massa pada selang tersebut juga bergantung pada zat masuk dan zat keluar pada selang tersebut. Hukum Fick mengatakan bahwa perubahan massa
pada selang [
,
1
] terhadap waktu sebanding dengan selisih antara zat masuk dan zat keluar, secara matematis dapat ditulis dengan
= −
sehingga perubahan massa pada selang [
,
1
] adalah, =
1 1
, −
, 2.28
dengan adalah massa dari konsentrasi, , adalah konsentrasi pada posisi
dan waktu , dan adalah konstanta pembanding.
Berdasarkan Persamaan 2.27 dan 2.28 maka ,
1
=
1 1
, −
,
,
1
=
2 2
,
1
2.29 Turunan kedua ruas dari Persamaan 2.29 adalah,
, =
2 2
, 2.30 Persaman 2.30 sering disebut sebagai persamaan difusi.
35
Selanjutnya akan ditentukan solusi dari persamaan difusi dengan persamaan difusi pada whole line diberikan seperti berikut,
, =
2
, −∞ ∞, 0 ∞ dengan kondisi awal
, 0 = � 2.31 solusi dari Persamaan 2.30 dapat diperoleh dengan menentukan solusi
� terlebih dahulu kemudian baru menentukan solusi umumnya Strauss, 1992.
Sebelum menentukan solusi persamaan difusi akan dibahas terlebih dahulu lima sifat dasar persamaan difusi yang akan digunakan untuk menetukan solusi.
Lima sifat dasar dari persamaan difusi adalah sebagai berikut Strauss, 1992, a. jika
, merupakan solusi maka translasi − , juga
merupakan solusi untuk setiap y, b. jika
, merupakan solusi maka setiap turunannya juga merupakan solusi,
c. kombinasi linear dari solusi , juga merupakan solusi,
d. integral dari solusi , juga merupakan solusi, dan
e. jika , merupakan solusi maka dilatasi dari solusi juga merupakan
solusi. Langkah-langkah untuk menentukan solusi Persamaan 2.30 adalah sebagai
berikut, 1.
Diberikan persamaan difusi dalam bentuk khusus yaitu Strauss, 1992, , = dengan =
4
36
selanjutnya Persamaan , akan dibentuk kedalam Persamaan 2.30 maka,
a. Turunan pertama , terhadap adalah
= ,
= −
2 . 2.32
b. Turunan pertama , terhadap adalah
= ,
= 1
4 . 2.33
sehingga turunan kedua dari , terhadap adalah
2 2
= ,
= 1
4 1
4 ,
= 1
4
2 2
1 4
. maka
2 2
= 1
4
2 2
2.34 dari Persamaan 2.32 dan 2.34 dapat dibentuk persamaan difusi sebagai
berikut, =
2 2
sehingga, −
2 =
1 4
2 2
37
= −
1 2
2 2
2 2
+ 2 = 0
+ 2 = 0 2.35
Misalkan = maka Persamaan
2.35 dapat dibentuk menjadi,
+ 2 = 0
+ 2 = 0 2.36
Selanjutnya akan ditentukan solusi dari Persamaan 2.36 =
−2 Integral dari kedua ruas tersebut menghasilkan,
1 =
−2 ln +
1
= −
2
+
2
ln =
−
2
+
3
dengan
3
=
2
−
1
=
−
2
+
3
=
−
2
.
3
Sehingga diperoleh =
4 −
2
dengan
4
=
3
Selanjutnya dengan mensubtitusikan =
akan diperoleh, =
4 −
2
=
4 −
2
+
5
=
4 −
2
38
=
4 −
2
+
6
dengan
6
= −
5
, sehingga diperoleh
, =
4 −
2
4
+
6
2.37 Selanjutnya akan ditentukan nilai konstanta
4
dan
6
dengan menggunakan syarat awal khusus yang diberikan dalam bentuk
, 0 = 1,
0, maka pada kasus
0 maka lim
→0
+
, =
4 −
2
∞
+
6
2.38
untuk menghitung integral tak wajar seperti Persamaan 2.38 digunakan distribusi normal
1 �
−
2
∞ −∞
= 1 maka,
4 −
2
∞
+
6
=
4
� 2
+
6
sehingga diperoleh
4
� 2
+
6
= 1 2.39 Pada kasus
0 maka, lim
→0
+
, =
4 −
2
∞
+
6
4 −
2
−∞
+
6
= 0 −
4
� 2
+
6
= 0 2.40
Berdasarkan Persamaan 2.39 dan 2.40 dapat ditentukan nilai
4
dan
6
yaitu,
4
=
1 �
dan
6
=
1 2
. Sehingga diperoleh
39
, = 1
�
−
2
4
+ 1
2 untuk 0 2.41
2. Selanjutnya akan dicari solusi dari terkait dengan , berdasar sifat jika
memenuhi persamaan −
2 2
= 0 maka =
juga memenuhi persamaan tersebut. Akan ditunjukkan bahwa
memenuhi persamaan tersebut.
= =
2
= =
2 2
2 2
= =
2 2
=
3 3
Selanjutnya akan diselidiki apakah v memenuhi persamaan difusi, −
2 2
=
2
−
3 3
=
2
−
3 2
= . 0
diperoleh −
2 2
= 0 dengan demikian memenuhi persamaan difusi, sehingga Persamaan
2.41 merupakan solusi bagian khusus dari Persamaan 2.31. Misalkan , = merupakan solusi persamaan difusi, diberikan fungsi �
kemudian didefinisikan , = − , �
∞ −∞
2.42 untuk sebarang
� integral konvergen dan 0. Berdasarkan sifat persamaan difusi poin maka Persamaan 2.40 juga merupakan solusi
40
persamaan difusi. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa memenuhi kondisi awal
, 0 = � yaitu,
, = − , �
∞ −∞
, = − − , �
∞ −∞
karena − , = − − , maka,
, = − � − , ∞
−∞ − − , �′
∞ −∞
diasumsikan � → 0 untuk → ∞ maka
, 0 = − , 0 �
′ ∞
−∞
2.43
dengan , 0 = 1 untuk 0, − , 0 = 1 untuk , atau
, 0 = 0 untuk Sehingga berdasarkan Persamaan 2.43 maka diperoleh,
, 0 = �
−∞
= �
dengan demikian memenuhi kondisi awal. Sehingga solusi umum untuk
Persamaan 2.30 diperoleh, , =
1 4�
− −
2
4 ∞
−∞
� 2.44
G. Proses Stokastik
