Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV
PENGGUNAAN METODE ANALISIS HOMOTOPI PADA
PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV
DINI FITRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Dini Fitri
G54100042
ABSTRAK
DINI FITRI. Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian
Persamaan Schrodinger-KdV. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Persamaan Schrodinger-KdV adalah model matematika yang dapat
diterapkan dalam menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang
bikromatik. Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear.
Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV dilakukan dengan menggunakan
metode analisis homotopi. Penggunaan metode analisis homotopi dilakukan
dengan mendefinisikan suatu fungsi homotopi. Fungsi homotopi memerlukan
parameter bantu yang dapat digunakan untuk mengontrol daerah kekonvergenan
dari penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV. Penyelesaian yang diperoleh
berbentuk rumus rekursif dengan pendekatan awal yang diberikan berbentuk
fungsi hiperbolik. Penggunaan metode analisis homotopi sangat efisien dan efektif
untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV, dan galat yang dihasilkan
sangat kecil.
Kata kunci: gelombang bikromatik, metode analisis homotopi, persamaan
diferensial parsial, persamaan Schrodinger-KdV
ABSTRACT
DINI FITRI. The Use of Homotopy Analysis Method on Solution of SchrodingerKdV Equations. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.
Schrodinger-KdV equations are mathematical model that can be applied in
determining the maximum height of the bichromatic wave packet wrapper. These
equations form nonlinear partial differential equations. Solution of SchrodingerKdV equations are done by using homotopy analysis method. The use of
homotopy analysis method is done by defining a homotopy function. Homotopy
function requires auxiliary parameter that can be used to control the convergence
area of the solution of Schrodinger-KdV equations. The obtained solution is in the
form of recursive formula with given initial approach in the form of hyperbolic
function. The use of homotopy analysis method is highly efficient and effective to
solve Schrodinger-KdV equations, and the resulting error is very small.
Keywords: bichromatic wave, homotopy analysis method, partial differential
equation, Schrodinger-KdV equations
PENGGUNAAN METODE ANALISIS HOMOTOPI PADA
PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV
DINI FITRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini bisa diselesaikan. Tema yang dipilih adalah
Persamaan Schrodinger-KdV pada masalah gelombang, dengan judul Penggunaan
Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada
1 Ayah, Ibu, Rafiq, sanak saudara dan seluruh keluarga yang senantiasa
memberikan doa, kasih sayang serta dukungan,
2 Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi,
MSi selaku Pembimbing II atas semua ilmu, dukungan, motivasi, serta
bimbingannya selama penulisan karya ilmiah ini,
3 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas kritik dan sarannya
selama penyelesaian karya ilmiah ini,
4 Seluruh staf pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan
ilmunya,
5 Seluruh staf tata usaha Departemen Matematika atas bantuannya,
6 Direktorat Pendidikan Tinggi (Dikti) yang telah memberikan bantuan biaya
kuliah selama empat tahun melalui pemberian Beasiswa Bidik Misi,
7 Teman-teman departemen Matematika, teman-teman kost, dan semua pihak
yang telah terlibat dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Dini Fitri
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Schrodinger
2
Persamaan KdV
3
Model Persamaan Schrodinger-KdV
5
Metode Analisis Homotopi
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Aplikasi
SIMPULAN DAN SARAN
9
14
Simpulan
14
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Galat
dan
2 Galat
dan
dengan penyelesaian eksak
9
dengan penyelesaian eksak
13
DAFTAR GAMBAR
1 Kurva
dan
terhadap
8
2 (a) Kurva
dan (b) kurva
8
3 (a) Kurva
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
12
4 (a) Kurva
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
12
5 (a) Penyelesaian eksak ( , ) dan (b) penyelesaian eksak ( , )
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan persamaan (20)
16
2 Penurunan persamaan (22) dan (23)
17
3 Penurunan persamaan (24)
18
4 Penurunan persamaan (25)
20
5 Penurunan persamaan (36)
21
6 Penentuan persamaan deformasi orde ke-
22
7 Penyelesaian persamaan deformasi orde ke-
25
8 Penentuan nilai hampiran ( , ) dan ( , )
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Banyak fenomena yang ada di alam semesta seperti masalah getaran dan
gerak gelombang dapat dideskripsikan ke dalam bentuk model matematika. Salah
satu model matematika yang sering muncul untuk menjelaskan masalah tersebut
adalah persamaan Schrodinger-Korteweg de Vries (Schrodinger-KdV). Persamaan
Schrodinger-KdV merupakan persamaan diferensial yang dapat diterapkan dalam
menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang bikromatik
(Kusumawinahyu dan Andonowati 2003), model dinamika taklinear Langmuir
satu dimensi dan gelombang ion-akustik dalam suatu sistem atau koordinat
bergerak dengan kecepatan ion-akustik (Golbabai dan Vaighani 2011). Persamaan
Schrodinger-KdV berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear. Modelmodel taklinear dari masalah nyata biasanya sulit diselesaikan secara analitik.
Fan dan Hon (2003) menentukan penyelesaian eksplisit dari persamaan
Schrodinger-KdV menggunakan metode extended tanh. Abdou dan Soliman
(2005) menggunakan metode iterasi variasional untuk mendapatkan hampiran
penyelesaian dari persamaan tersebut. Metode dekomposisi telah digunakan oleh
Ray (2008) untuk menyelesaikan persamaan Klein-Gordon-Schrodinger. Khuri
(1998) menggunakan teknik dekomposisi untuk mendapatkan penyelesaian
persamaan taklinear Schrodinger orde tiga.
Persamaan Schrodinger-KdV dapat diselesaikan dengan menggunakan
beberapa metode. Metode-metode yang digunakan antara lain, metode
dekomposisi Adomian, metode Perturbasi, dan metode analisis homotopi. Metode
dekomposisi Adomian adalah metode untuk menyelesaikan masalah taklinear
yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat yang hanya terdefinisi pada daerah
kekonvergenannya. Metode Perturbasi adalah metode yang mengandung
parameter ketaklinearan yang kecil. Metode analisis homotopi adalah suatu
pendekatan analitik yang memanfaatkan suatu fungsi homotopi dan parameter
bantu.
Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai penyelesaian dari persamaan
Schrodinger-KdV dengan menggunakan metode analisis homotopi. Metode
analisis homotopi diperkenalkan pertama kali oleh Liao (1992). Metode ini telah
digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan, seperti persamaan Blasius
takhomogen (Allan dan Syam 2005), gabungan persamaan KdV dan persamaan
Hirota-Satsuma (Abbasbandy 2007) dan beberapa sistem persamaan diferensial
biasa (Bataineh et al. 2008).
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka beberapa masalah yang akan
ditinjau adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana aplikasi metode analisis homotopi untuk menyelesaikan
persamaan Schrodinger-KdV.
2. Bagaimana akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan
metode analisis homotopi dan penyelesaian eksaknya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menggunakan metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger-KdV.
2. Mengkaji akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan
menggunakan metode analisis homotopi terhadap penyelesaian eksaknya.
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Schrodinger
Dalam penurunan persamaan Schrodinger (Cresser 2009), diperiksa suatu
gelombang monokromatik yang dinyatakan dalam bentuk
,
(1)
yang merepresentasikan gelombang yang bergerak dalam arah positif dan waktu
. Misalkan momentum
dan energi kinetik
dengan
J s sebagai konstanta Planck, bilangan gelombang , serta
frekuensi gelombang . Jika persamaan (1) diturunkan dua kali terhadap , maka
diperoleh
.
⁄
Jika
persamaaan (2) menjadi
⁄
(2)
digunakan, dengan
sebagai massa, maka
(3)
.
Hal yang sama, jika persamaan (1) diturunkan terhadap , maka diperoleh
,
(4)
Jika kedua ruas pada persamaan (4) dikalikan dengan
, maka diperoleh
.
(5)
Karena energi total merupakan penjumlahan dari energi kinetik dan energi
⁄
potensial
, maka energi total yang diperoleh
, sehingga
.
(6)
Berdasarkan persamaan (3) dan (5), maka persamaan (6) menjadi
,
atau
,
yang merupakan bentuk persamaan Schrodinger.
3
Persamaan KdV
Tinjau persamaan dasar fluida ideal sebagai berikut
,
,
di
di
di
di
,
,
,
,
,
,
(7)
dengan
sebagai suatu fungsi yang disebut sebagai kecepatan potensial, ,
, berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, vertikal, dan waktu dengan
{
}
sebagai gaya gravitasi,
menyatakan kurva yang membatasi air dan udara, serta sebagai kedalaman air
(Ramayanti 1999). Untuk mendapatkan persamaan KdV terlebih dahulu dilakukan
penskalaan peubah sebagai berikut
̂
,
̂
√
̂
,
̂
√ ,
√ .
(8)
̂,
(10)
Jika persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan-persamaan (7) dengan
, maka diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut
̂
̂̂̂
,
pada
̂ ,
(9)
̂
̂̂ ̂
,
di
̂ ,
̂̂
̂̂
( ̂ ̂)
̂̂ ̂̂
̂
(̂ )
̂
,
,
di
̂.
di
(11)
Untuk penyederhanaan, tanda ‘topi’ dapat dihilangkan.
Misalkan penyelesaian dari persamaan-persamaan (9), (10), dan (11)
berbentuk
.
(12)
Jika persamaan (12) disubstitusikan ke persamaan (9), maka diperoleh persamaanpersamaan sebagai berikut
,
, di
(13)
. (14)
Berdasarkan persamaan (13), diperoleh
,
,
.
Kemudian berdasarkan persamaan (14), karena
,
,
,
Untuk memperoleh
maka didapat
, maka diperoleh
di
di
di
,
,
.
, persamaan
diintegralkan dari
.
Berdasarkan persamaan (15), maka
(15)
(16)
(17)
ke ,
4
,
sehingga fungsi
,
tidak bergantung pada . Jadi dapat dimisalkan
.
(18)
Untuk memperoleh , digunakan persamaan
(18) sehingga diperoleh
dan persamaan
.
Jika persamaan
diintegralkan dari
ke , maka diperoleh
.
Berdasarkan persamaan (16), maka
.
Selanjutnya persamaan
diperoleh
diintegralkan lagi dari
.
Sedangkan untuk memperoleh
sehingga diperoleh
ke , maka
(19)
dilakukan dengan cara yang sama,
,
(20)
(lihat Lampiran 1).
Jadi bila persamaan (18), (19), dan (20) disubstitusikan ke dalam persamaan (12),
maka diperoleh
.
(21)
Kemudian dengan memisalkan
(10) dan (11) berturut-turut menjadi
pada persamaan (21), sehingga persamaan
,
(22)
dan
,
(23)
(lihat Lampiran 2).
Selanjutnya perhatikan peubah berikut
,
dan
,
dengan
,
Lalu fungsi
dinyatakan dalam peubah
√
dan
.
sebagai berikut
.
Jika fungsi
disubstitusikan ke persamaan (22) dan (23), maka diperoleh
⁄
⁄
(lihat Lampiran 3).
Kemudian dengan mengambil transformasi
, (24)
5
diperoleh persamaan
(lihat Lampiran 4).
Persamaan (22) dan (23) untuk
⁄
∫
dan
,
,
(25)
memberikan
dan
Persamaan
.
dapat diubah menjadi
.
Jika persamaan
diintegralkan terhadap , maka
,
atau
atau
,
,
sehingga persamaan (25) menjadi
.
Jika
, maka diperoleh persamaan
,
yang merupakan bentuk persamaan KdV.
Model Persamaan Schrodinger-KdV
Dalam penelitian ini akan ditinjau persamaan Schrodinger-KdV sebagai
berikut
,
,
dengan syarat awal
Penyelesaian eksak dari model persamaan (26) dengan syarat awal
u x, 0 g1 x 6 2ei x k 2 sech 2 kx ,
v x, 0 g 2 x
16k 2
3
6k 2 tanh 2 kx ,
berbentuk
u x, t 6 2exp i t / 3 2 t 10k 2 t / 3 x k 2 sech 2 k x 2 t ,
v x, t
16k 2
3
16k 2 tanh 2 k x 2 t ,
(Alomari et al. 2009).
(26)
6
Metode Analisis Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode analisis homotopi yang
disajikan dari Liao (2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai
berikut:
[
]
,
(27)
dengan
suatu operator taklinear dan
fungsi yang akan ditentukan dan
merupakan hampiran awal dari
bergantung pada peubah . Misalkan
dan suatu parameter bantu dengan
. Didefinisikan suatu operator linear
yang memenuhi
[ ]
, sehingga
.
(28)
Kemudian dengan
didefinisikan suatu fungsi
Jika
menambahkan parameter
dengan
, dan suatu fungsi homotopi , yaitu
[
]
[
maka diperoleh persamaan deformasi orde nol
[
]
Untuk
persamaan (29) menjadi
berdasarkan persamaan (28), diperoleh
[
[
].
]
.
[
Sedangkan untuk
persamaan (29) menjadi
berdasarkan persamaan (27), diperoleh
.
].
[
]
(29)
sehingga
(30)
]
sehingga
(31)
Persamaan deformasi orde nol merupakan persamaan yang mengalami
deformasi atau perubahan bentuk, di mana berdasarkan persamaan (30) dan (31),
ketika nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1, maka
berubah bentuk
secara kontinu dari penduga awal
ke penyelesaian eksak
. Perubahan
kontinu itulah yang disebut sebagai deformasi dalam homotopi. Oleh karena itu
persamaan (29) disebut dengan persamaan deformasi orde nol.
Penyelesaian eksak
ditentukan dengan menggunakan deret Taylor.
Deret Taylor dari fungsi
di sekitar
, diperoleh
Jika persamaan (30) digunakan, maka
.
∑
dengan
Jika
∑
, maka
,
.
, sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk
∑
.
Selanjutnya metode analisis homotopi akan diterapkan pada masalah nilai
awal sebagai berikut
ut u x,
(32)
vt xu x ,
7
dengan nilai awal
,
.
Penyelesaian eksak dari persamaan (32) adalah sebagai berikut
,
.
Untuk menentukan penyelesaian persamaan (32) dengan metode analisis
homotopi, terlebih dahulu ditentukan hampiran awal sebagai berikut
.
,
Berdasarkan persamaan (29), diperoleh persamaan sebagai berikut
[
]
[
,
]
.
Jika metode analisis homotopi digunakan, maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (32) sebagai berikut
∫[
∫[
dengan
] ,
] ,
dan
dengan nilai awal
.
,
Jika nilai awal tersebut digunakan, maka diperoleh penyelesaian hampiran
dan
sebagai berikut
,
,
(33)
dengan
,
,
,
,
,
,
,
.
Gambar 1 menunjukkan pemilihan nilai
untuk mendapatkan penyelesaian
hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas, artinya penyelesaian hampiran
yang diperoleh menggunakan metode analisis homotopi akan tepat pada daerah
yang lebih luas.
8
Gambar 1 Kurva
dan
terhadap
Gambar 1 menunjukkan grafik turunan pertama untuk fungsi
dan
di (2,1). Nilai yang akan dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat
dengan titik belok dari setiap gambar. Berdasarkan Gambar 1, nilai yang dipilih
yaitu di
.
Selanjutnya pada Gambar 2 terlihat perbedaan kurva antara penyelesaian
eksak dan kurva dengan penyelesaian metode homotopi, dengan parameter h yang
dipilih yaitu
. Hal ini terjadi karena penyelesaian hampiran (33) akan tepat
mendekati penyelesaian eksaknya, sehingga kurva penyelesaian hampiran yang
dihasilkan terlihat hampir sama dengan kurva penyelesaian eksaknya. Perbedaan
antara kedua kurva inilah kemudian menimbulkan galat.
(a)
: penyelesaian eksak
--- : penyelesaian homotopi
Gambar 2 (a) Kurva
dan (b) kurva
(b)
9
Tabel 1 Galat u ( x, t ) dan v( x, t ) dengan penyelesaian eksak
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
Tabel 1 menunjukkan galat untuk h 1 dengan
. Berdasarkan Tabel 1,
galat yang dihasilkan pada fungsi
sama dengan galat yang dihasilkan pada
fungsi
. Rata-rata galat yang dihasilkan pada selang yang diberikan pada
Tabel 1 sebesar
. Dengan demikian, metode analisis homotopi dapat
digunakan untuk menentukan hampiran penyelesaian eksak dari persamaan
diferensial parsial dengan nilai awal yang diberikan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi
Dalam menemukan penyelesaian persamaan (26), terlebih dahulu
dimisalkan hampiran awalnya, yaitu
.
,
Berdasarkan persamaaan (26), didefinisikan operator taklinear sebagai berikut
[
[
]
,
]
.
Fungsi
dan
yang bergantung pada dan merupakan fungsi yang
akan ditentukan sekaligus sebagai penyelesaian dari persamaan (26). Kemudian
didefinisikan operator linear
,
.
masing-masing merupakan hampiran awal dari
dan
Misal
dan
Dengan menambahkan parameter dengan
[ ] dan
parameter bantu dengan
, kemudian didefinisikan fungsi
dan
yang memenuhi persamaan deformasi orde nol yang memenuhi
, dengan
dan
persamaan
[
]
[
],
10
[
Jadi diperoleh persamaan deformasi orde nol
[
[
dengan syarat awal
Untuk
dan
]
]
]
[
[
[
].
],
],
.
(34)
(35)
diperoleh
,
,
,
,
(36)
(lihat Lampiran 5).
Karena nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1, maka nilai
dan
hingga ke
dan
bervariasi dari penduga awal
penyelesaian eksak
dan
. Dengan menggunakan teorema Taylor dan
persamaan (36), fungsi
dan
dapat diuraikan seperti berikut
dengan
Jika
|
, maka
dan
,
∑
∑
,
,
|
dan
.
sehingga fungsi
menjadi
∑
∑
(37)
Persamaan (37) merupakan penyelesaian dari persamaan taklinear (26).
Selanjutnya akan ditentukan persamaan deformasi orde ke- Persamaan
deformasi orde ke- merupakan persamaan deformasi yang diturunkan dari
persamaan deformasi orde nol. Persamaan deformasi orde ke- digunakan untuk
yang merupakan bagian dari fungsi (37).
dan
menentukan
Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke
turunkan persamaan
deformasi orde nol pada persamaan (34) dan (35) terhadap sebanyak kali,
kemudian dibagi dengan
dan masukkan nilai parameter
, sehingga
didapat persamaan sebagai berikut
dengan
dan
]
]
[
[
∑
∑
,
,
(∑
(38)
(39)
)
11
(lihat Lampiran 6).
Selanjutnya dengan menggunakan operator linear
dan
diperoleh
penyelesaian dari persamaan deformasi orde ke- (38) dan (39) sebagai berikut
∫[
∫[
]
]
(lihat Lampiran 7).
Jika diketahui nilai awal sebagai berikut
,
,
,
,
maka dapat ditentukan nilai hampiran untuk
dan
(40)
sebagai berikut
,
,
(
u2 x, t
(
(
)
)
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
)
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
3
2
2
g1 x
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
x
x
x
2
htg1 x g 2 x ,
3
1
v2 x, t ht 2(1 h) 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 4 1 h g1 x g1 x
2
x
x
x
2
2
36htg1 x g1 x g 2 x 12htg1 x g1 x 3 2 g2 x 2 g1 x
x
x
x
x
2
4
2
4 g 2 x g1 x 2iht g1 x 2 g1 x g 2 x 2 g1 x
x
x
x
x
2
3
2
6ht 3 g1 x g 2 x 3 2 g1 x 2 g2 x
x
x
x
x
2
6
3
2
3 3 g 2 x g1 x ht 6 g 2 x 6 2 g1 x
x
x
x
x
3
4
3
8 g1 x 3 g1 x 2 g1 x 4 g1 x 2ihtg1 x 3 g1 x
x
x
x
x
2
2
2iht g 2 x 3g 2 x g1 x g1 x 3 2 g1 x ,
x
x
12
dan seterusnya, sehingga diperoleh
(41)
(lihat Lampiran 8).
Diberikan syarat awal sebagai berikut
u x, 0 g1 x 6 2ei x k 2 sech 2 kx ,
v x, 0 g 2 x
16k 2
3
6k tanh
2
2
(42)
kx .
Jika syarat awal (42) disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dengan
dan
, maka diperoleh penyelesaian untuk
dan
. Gambar 3
dan Gambar 4 menunjukkan pemilihan nilai untuk mendapatkan penyelesaian
hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas.
Re
Im ---
(a)
Gambar 3 (a) Kurva
(b)
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
Re
Im ---
(a)
Gambar 4 (a) Kurva
(b)
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
13
Gambar 3 dan Gambar 4 menampilkan turunan pertama dan turunan kedua untuk
dan
dengan memisahkan bagian real dan imajiner dari setiap
persamaannya. Nilai yang dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat
dengan titik belok dari setiap gambar. Jika masing-masing gambar ditampilkan
dengan sumbu yang semakin panjang, maka semakin terlihat bahwa pergantian
kecekungan berada pada sekitar
.
Selanjutnya pada Tabel 2 akan ditunjukkan galat penyelesaian antara
penyelesaian eksak dan penyelesaian homotopinya untuk fungsi
dan
Parameter h yang dipilih yaitu
dan
Tabel 2
menunjukkan galat untuk
dan
dengan
.
Tabel 2 Galat u ( x, t ) dan v( x, t ) dengan penyelesaian eksak
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
Ketika nilai
, galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
lebih kecil dibandingkan dengan galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
. Sedangkan untuk
, galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
lebih besar dibanding galat fungsi
pada kasus
. Pada fungsi
, galat yang dihasilkan pada kasus
lebih
kecil dibanding galat yang dihasilkan pada kasus
untuk setiap . Untuk
jangka waktu panjang, penyelesaian
lebih baik menggunakan nilai
.
Sedangkan penyelesaian
lebih baik menggunakan nilai
untuk
jangka waktu panjang. Baik nilai
maupun
, galat yang
dihasilkan cukup kecil dengan rata-rata
, sehingga perubahan nilai
14
yang tidak terlalu besar tidak berpengaruh terhadap penyelesaian yang diperoleh.
Berdasarkan Tabel 2, galat yang dihasilkan akan semakin bertambah ketika nilai
meningkat.
(a)
Gambar 5 (a) Penyelesaian eksak
(b)
dan (b) penyelesaian eksak
Pada Gambar 5 menunjukkan penyelesaian eksak persamaan
dan
dengan nilai
dan
. Gambar 5 (a) menjelaskan bahwa nilai
maksimum
yang diperoleh sebesar 0.02 satuan ketika
untuk
.
Sedangkan pada Gambar 5 (b), nilai maksimum yang diperoleh sebesar 0.03
satuan saat
untuk
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger-KdV. Persamaan Schrodinger dan KdV merupakan persamaan yang
menggambarkan gerak gelombang yang bergantung pada posisi horizontal dan
waktu.
Penggunaan metode analisis homotopi memerlukan operator linear dan
taklinear. Operator taklinear ditentukan berdasarkan bentuk fungsi yang dimiliki
persamaan Schrodinger dan KdV. Dengan operator yang telah didefinisikan
sebelumnya, diperoleh rumus rekursif untuk mendapatkan penyelesaian dari
persamaan Schrodinger-KdV. Metode ini sangat efisien dalam penyelesaian
persamaan Schrodinger-KdV.
Nilai galat diperoleh dari selisih antara penyelesaian analitik dengan
penyelesaian eksak. Penyelesaian analitik yang diperoleh menggunakan metode
analisis homotopi hampir akurat mendekati penyelesaian eksaknya dengan ratarata galat yang cukup kecil yaitu
. Galat yang diperoleh akan semakin
bertambah ketika nilai meningkat, sehingga metode analisis homotopi lebih
bagus digunakan untuk selang waktu yang kecil.
15
Saran
Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV memerlukan beberapa orde
penyelesaian. Dalam karya ilmiah ini, orde yang digunakan sampai orde tiga.
Perlu adanya kajian lebih lanjut dengan menggunakan orde yang lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Abbasbandy S. 2007. The application of homotopy analysis method to solve a
generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation. Phys. Lett. A. 361:
478-483.doi:10.1016/j.physleta.2006.09.105.
Abdou MA, Soliman AA. 2005. New application of variational iteration method.
Physica. D. 211:1-8.doi:10.1016/j.physd.2005.08.002.
Allan FM, Syam MI. 2005. On the analytic solution of non-homogeneous Blasius
problem. J. Comput. Appl. Math. 182:362-371.doi:10.1016/j.cam.2004.12.
017.
Alomari AK, Noorani MSM, Nazar R. 2009. Comparison between the homotopy
analysis method and homotopy perturbation method to solve coupled
Schrodinger-KdV equation. J. Appl. Math. Comput. 31:1-12.doi:10.1007/
s12190-008-0187-4.
Bataineh AS, Noorani MSM, Hashim I. 2008. Solving system of ODEs by
homotopy analysis method. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 13:
2060-2070.doi:10.1016/j.cnsns.2007.05.026.
Cresser JD. 2009. PHYS201: Wave Mechanics. Sydney (AU): Macquarie
University.
Fan E, Hon YC. 2003. Applications of extended tanh method to ‘special’ types
of nonlinear equations. Appl. Math. Comput. 141:351-358.doi:10.1016/
S0096-3003(02)00260-6.
Golbabai A, Vaighani AS. 2011. A meshless method for numerical solution of the
coupled Schrodinger-KdV equations. Computing. 92:225-242.doi:10.1007/
s00607-010-0138-4.
Khuri SA. 1998. A new approach to the Cubic Schrodinger equation: An
application of the decomposition technique. Appl. Math. Comput. 97:
251-254.doi:10.1016/S0096-3003(97)10147-3.
Kusumawinahyu WM, Andonowati. 2003. Tinggi maksimum selubung paket
gelombang bikromatik [catatan penelitian]. Sains. 35A(1):51-63.
Liao SJ. 1992. Homotopy Analysis Method and its Application [disertasi].
Shanghai (CN): Shanghai Jiao Tong University.
Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation : Introduction to the Homotopy Analysis
Method. New York (US) : Boca Raton.
Ramayanti T. 1999. Data Hamburan pada Persamaan Korteweg-de Vries (KdV)
dengan Perturbasi [Skripsi]. Bogor (ID): Fakultas MIPA, Institut
Pertanian Bogor.
Ray SS. 2008. An application of the modified decomposition method for the
solution of the coupled Klein-Gordon-Schrodinger equation. Commun.
Nonlinear Sci. Numer. Simul. 13:1311-1317.doi:10.1016/j.cnsns.2006.12.
010.
16
Lampiran 1 Penurunan persamaan (20)
.
.
.
Karena
, maka
0, dan
0, sehingga
.
(43)
Jika persamaan (43) disubstitusikan ke dalam persamaan
diperoleh
.
Persamaan (44) diintegralkan dari
, maka
(44)
ke , sehingga didapat
.
Berdasarkan persamaan (17) dan (18), maka
, sehingga
.
Kemudian persamaan (45) diintegralkan lagi dari
(45)
ke , sehingga diperoleh
.
17
Lampiran 2 Penurunan persamaan (22) dan (23)
Persamaan (10) diturunkan terhadap , menghasilkan
, di
.
(46)
Karena
, (47)
dan
, maka
, sehingga
,
,
,
,
(48)
,
, atau
,
.
Bila persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke dalam persamaan (46),
maka diperoleh
,
atau
.
Sedangkan jika persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke persamaan
(11), diperoleh
,
Karena
berorde
, maka
, sehingga
.
18
Lampiran 3 Penurunan persamaan (24)
Diketahui
, dengan
,
,
,
maka dihasilkan
√
dengan
,
⁄
,
,
sehingga
⁄
,
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
,
,
,
⁄
⁄
⁄
,
,
,
,
.
Karena
, dan
⁄
⁄
⁄
, maka
⁄
⁄
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
⁄
,
⁄
,
,
19
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
.
Persamaan (22) diturunkan terhadap , sedangkan persamaan (23) diturunkan
terhadap . Selanjutnya kedua persamaan digabung dengan cara eliminasi,
sehingga diperoleh
1
1
1
tt ( h) xx xxtt h2 t x xt xxx h2 hx xxxx h3 ( ) xx . (49)
2
6
2
Ruas kiri dari persamaan (49) berupa
,
⁄
⁄
⁄
⁄
,
.
(50)
Sedangkan ruas kanan dari persamaan (49) yaitu
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
.
(51)
Kemudian penyetaraan persamaan (50) dan (51) menghasilkan
⁄
⁄
atau
⁄
⁄
⁄
,
.
20
Lampiran 4 Penurunan persamaan (25)
Dengan mengambil peubah
⁄
∫
, dan
,
, maka
,
(52)
.
⁄
,
⁄
sehingga
⁄
⁄
,
⁄
,
⁄
⁄
.
(53)
Jika persamaan (52) dan (53) disubstitusikan ke dalam persamaan (24), maka
diperoleh
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
, atau
.
(54)
Kedua ruas persamaan (54) dibagi dengan
,
,
,
.
21
Lampiran 5 Penurunan persamaan (36)
Untuk
, dari persamaan (34) diperoleh
]
[
.
sehingga menurut persamaan (28) diperoleh
Dengan cara yang sama, persamaan (35) menghasilkan
]
[
.
sehingga
Untuk
, dari persamaan (34) diperoleh
[
]
]
diperoleh
sehingga menurut persamaan [
Dengan cara yang sama, persamaan (35) menghasilkan
[
]
Karena
[
]
, maka diperoleh
.
.
22
Lampiran 6 Penentuan persamaan deformasi orde keUntuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke- , kedua ruas pada
persamaan deformasi orde nol (34) dan (35) diturunkan terhadap sebanyak
kali, kemudian dibagi dengan
dan masukkan nilai
.
a.
[
]
[
Turunan pertama
]
Lu x, t; q u0 x, t 1 q Lu x, t; q
q
h N 1 x, t; q qh
Untuk
, maka
]
[
Turunan kedua
[
N 1 x, t ; q
q
].
2
2Lu x, t; q 1 q Lu 2 x, t; q
q
q
2
2h N 1 x, t; q qh 2 N 1 x, t; q
q
q
Untuk
]
[
, maka
]
[
Turunan ketiga
[
[
]|
]|
, atau
.
2
3
3Lu 2 x, t; q 1 q Lu 3 x, t; q
q
q
2
3
3h 2 N 1 x, t; q qh 3 N 1 x, t; q
q
q
Untuk
, maka
Turunan keempat
[
[
]
]
[
[
]
]|
, atau
.
3
4
4Lu 3 x, t; q 1 q Lu 4 x, t; q
q
q
3
4
4h 3 N 1 x, t; q qh 4 N 1 x, t; q
q
q
23
Untuk
, maka
Untuk turunan ke-
[
[
dengan
]
]
[
]|
, diperoleh
m1
mLu m1 x, t ; q (1 q)Lu
q
mh
Untuk
[
]
, atau
.
m
m x, t ; q
q
m1
m
N
N 1 x, t; q .
x
,
t
;
q
qh
1
q m1
q m
maka
[
dengan
[
]
]
dan
[
b.
]
[
]|
[
[
, atau
]|
(55)
]
Dengan cara yang sama, untuk persamaan deformasi orde kepersamaan di atas diperoleh seperti berikut
]
[
dengan
[
dan
]|
,
dari
(56)
Kemudian didefinisikan operator taklinear sebagai berikut
[
[
]
,
]
.
Subtitusikan operator taklinear
dan
masing-masing ke dalam persamaan
(55) dan (56)
2
m1 x, t; q x, t ; q
1
x, t ; q x, t ; q
R1m um1
i
m 1
2
t
x
m 1! q
q 0
R2 m vm1
x, t ; q 3 x, t ; q
1
m1 x, t; q
6
x
,
t
;
q
x
x3
m 1! q m1 t
24
2 x, t; q
x, t; q
x
q 0
R11 u0 iu0t u0 xx u0 v0
R21 v0 v0t 6u0 v0 x v0 xxx 2u0u0 x
R12 u1 iu1t u1xx u1v0 u0 v1
R22 v1 v1t 6u1v0 x 6u0 v1x v1xxx 2u0u1x 2u1u0 x
1
2iu2t 2u2 xx 2u2 v0 2u1v1 2u0 v2
2
iu2t u2 xx u2 v0 u1v1 u0 v2
1
R23 v2 2v2t 12u2 v0 x 12u0 v2 x 12u1v1x 2v2 xxx 4u0 u2 x 4u1u1x 4u2 u0 x
2
v2t 6u2 v0 x 6u1v1x 6u0 v2 x v2 xxx 2u0u2 x 2u1u1x 2u2u0 x
1
R14 u3 3!iu3t 3!u3 xx 3!u3 v0 6u2 v1 6u1v2 3!u0 v3
3!
iu3t u3 xx u3 v0 u2 v1 u1v2 u0 v3
1
R24 v3 3!v3t (3!)6u3 v0 x 36u2 v1x 36u1v2 x (3!)6u0 v3 x 3!v3 xxx
3!
R13 u2
(3!)2u0 u3 x 12u1u2 x 12u2u1x (3!)2u3u0 x
v3t 6u3v0 x 6u2 v1x 6u1v2 x 6u0 v3 x v3 xxx 2u0u3 x 2u1u2 x 2u2u1x
2u3u0 x .
Maka untuk
diperoleh
m 1
R1m um1 i um1 t um1 xx ui vm1i ,
i 0
m 1
m 1
i 0
i 0
R2 m vm1 vm1 t 6ui (vm1i ) x vm1 xxx 2ui (um1i ) x .
25
Lampiran 7 Penyelesaian persamaan deformasi orde keDidefinisikan operator linear yaitu
,
Subtitusikan operator
dan
untuk persamaan (38) didapat
sehingga
dan
ke dalam persamaan (38) dan (39), sehingga
]
[
Sedangkan untuk persamaan (39) menjadi
sehingga diperoleh
.
[
∫[
∫[
,
]
]
.
,
]
.
26
Lampiran 8 Penentuan nilai hampiran
dan
sebagai hampiran inisial.
dan
Orde 1
(
∫[
]
Berdasarkan nilai awal (40), diperoleh
(
,
)
.
, sehingga
).
v1 x, t h v0t 6u0 v0 x v0 xxx 2u0 u0 x dt C2 x
3
ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x C2 x .
x
x
x
, sehingga
Dengan cara yang sama, diperoleh
3
v1 x, t ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x .
x
x
x
Orde 2
∫[
]
,
u2 x, t iht 2 g1 x g1 x g 2 x ih iu1t u1xx u0 v1 u1v0 dt C1 x
x
2
u2 x, t
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
3
2
2
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
g1 x
x
x
x
htg1 x g 2 x
2
C x
1
, maka
Karena
u2 x, t
, sehingga
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
27
3
2
2
g1 x
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
x
x
x
2
htg1 x g 2 x .
∫[
]
v2 x, t ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x
x
x
x
3
h v1t 6u0 v1x 6u1v0 x v1xxx 2u0 x u1 2u1x u0 dt C2 x .
Berdasarkan nilai awal (40), diperoleh
, sehingga
3
1
v2 x, t ht 2(1 h) 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 4 1 h g1 x g1 x
2
x
x
x
2
2
36htg1 x g1 x g 2 x 12htg1 x g1 x 3 2 g 2 x 2 g1 x
x
x
x
x
4
4 g 2 x g1 x
x
x
2
2
2iht g1 x 2 g1 x g 2 x 2 g1 x
x
x
2
3
2
6ht 3 g1 x g 2 x 3 2 g1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
2
6
3
2
3 3 g 2 x g1 x ht 6 g 2 x 6 2 g1 x
x
x
x
x
3
4
3
8 g1 x 3 g1 x 2 g1 x 4 g1 x 2ihtg1 x 3 g1 x
x
x
x
x
2
2
2iht g 2 x 3g 2 x g1 x g1 x 3 2 g1 x .
x
x
Orde 3
,
]
∫[
u2 ih iu2t u2 xx u0 v2 u1v1 u2 v0 dt C1 x ,
∫[
]
v2 h v2t 6u0 v2 x 6u1v1x 6u2 v0 x v2 xxx 2u0u2 u12 dt C2 x .
x
Dengan menggunakan nilai awal (40), maka diperoleh
sehingga
u3 x, t u2 ih iu2t u2 xx u0 v2 u1v1 u2 v0 dt ,
dan
v3 x, t v2 h v2t 6u0 v2 x 6u1v1x 6u2 v0 x v2 xxx 2u0u2 u12 dt.
x
,
28
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 24 September 1992 dari pasangan
Bapak Netrazan dan Ibu Sarinah. Penulis adalah putri pertama dari dua
bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SMAN 99 Jakarta
lulus pada tahun 2010 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah berkecimpung dalam
himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai
bendahara divisi keilmuan pada periode 2011-2012 dan sebagai staf keilmuan
periode 2012-2013. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan berbagai acara, di
antaranya adalah Try Out Gumatika 2012 sebagai staf divisi konsumsi, Try Out
Gumatika 2013 sebagai staf divisi konsumsi, Gumatika Calculus Competition
2012 sebagai staf desain, dekorasi, dan dokumentasi, Masa Perkenalan Fakultas
2012 sebagai staf Logistik dan Transportasi, Masa Perkenalan Departemen 2012
sebagai staf Medis, IPB Mathematics Challenge 2012 sebagai staf Logistik dan
Transportasi, IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai staf Tim Khusus,
Matematika Ria 2012 sebagai bendahara umum, dan Matematika Ria 2013
sebagai ketua divisi konsumsi.
Penulis pernah mendapat beasiswa Bidik Misi periode 2010-2014. Selain itu
penulis pernah menjadi pengajar bimbel GUMATIKA.
PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV
DINI FITRI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Januari 2015
Dini Fitri
G54100042
ABSTRAK
DINI FITRI. Penggunaan Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian
Persamaan Schrodinger-KdV. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI.
Persamaan Schrodinger-KdV adalah model matematika yang dapat
diterapkan dalam menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang
bikromatik. Persamaan ini berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear.
Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV dilakukan dengan menggunakan
metode analisis homotopi. Penggunaan metode analisis homotopi dilakukan
dengan mendefinisikan suatu fungsi homotopi. Fungsi homotopi memerlukan
parameter bantu yang dapat digunakan untuk mengontrol daerah kekonvergenan
dari penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV. Penyelesaian yang diperoleh
berbentuk rumus rekursif dengan pendekatan awal yang diberikan berbentuk
fungsi hiperbolik. Penggunaan metode analisis homotopi sangat efisien dan efektif
untuk menyelesaikan persamaan Schrodinger-KdV, dan galat yang dihasilkan
sangat kecil.
Kata kunci: gelombang bikromatik, metode analisis homotopi, persamaan
diferensial parsial, persamaan Schrodinger-KdV
ABSTRACT
DINI FITRI. The Use of Homotopy Analysis Method on Solution of SchrodingerKdV Equations. Supervised by JAHARUDDIN and SISWANDI.
Schrodinger-KdV equations are mathematical model that can be applied in
determining the maximum height of the bichromatic wave packet wrapper. These
equations form nonlinear partial differential equations. Solution of SchrodingerKdV equations are done by using homotopy analysis method. The use of
homotopy analysis method is done by defining a homotopy function. Homotopy
function requires auxiliary parameter that can be used to control the convergence
area of the solution of Schrodinger-KdV equations. The obtained solution is in the
form of recursive formula with given initial approach in the form of hyperbolic
function. The use of homotopy analysis method is highly efficient and effective to
solve Schrodinger-KdV equations, and the resulting error is very small.
Keywords: bichromatic wave, homotopy analysis method, partial differential
equation, Schrodinger-KdV equations
PENGGUNAAN METODE ANALISIS HOMOTOPI PADA
PENYELESAIAN PERSAMAAN SCHRODINGER-KdV
DINI FITRI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah swt atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini bisa diselesaikan. Tema yang dipilih adalah
Persamaan Schrodinger-KdV pada masalah gelombang, dengan judul Penggunaan
Metode Analisis Homotopi pada Penyelesaian Persamaan Schrodinger-KdV.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada
1 Ayah, Ibu, Rafiq, sanak saudara dan seluruh keluarga yang senantiasa
memberikan doa, kasih sayang serta dukungan,
2 Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Pembimbing I dan Bapak Drs Siswandi,
MSi selaku Pembimbing II atas semua ilmu, dukungan, motivasi, serta
bimbingannya selama penulisan karya ilmiah ini,
3 Bapak Drs Ali Kusnanto, MSi selaku dosen penguji atas kritik dan sarannya
selama penyelesaian karya ilmiah ini,
4 Seluruh staf pengajar Departemen Matematika yang telah memberikan
ilmunya,
5 Seluruh staf tata usaha Departemen Matematika atas bantuannya,
6 Direktorat Pendidikan Tinggi (Dikti) yang telah memberikan bantuan biaya
kuliah selama empat tahun melalui pemberian Beasiswa Bidik Misi,
7 Teman-teman departemen Matematika, teman-teman kost, dan semua pihak
yang telah terlibat dalam penyelesaian karya ilmiah ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Januari 2015
Dini Fitri
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Schrodinger
2
Persamaan KdV
3
Model Persamaan Schrodinger-KdV
5
Metode Analisis Homotopi
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
9
Aplikasi
SIMPULAN DAN SARAN
9
14
Simpulan
14
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
16
RIWAYAT HIDUP
28
DAFTAR TABEL
1 Galat
dan
2 Galat
dan
dengan penyelesaian eksak
9
dengan penyelesaian eksak
13
DAFTAR GAMBAR
1 Kurva
dan
terhadap
8
2 (a) Kurva
dan (b) kurva
8
3 (a) Kurva
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
12
4 (a) Kurva
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
12
5 (a) Penyelesaian eksak ( , ) dan (b) penyelesaian eksak ( , )
14
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan persamaan (20)
16
2 Penurunan persamaan (22) dan (23)
17
3 Penurunan persamaan (24)
18
4 Penurunan persamaan (25)
20
5 Penurunan persamaan (36)
21
6 Penentuan persamaan deformasi orde ke-
22
7 Penyelesaian persamaan deformasi orde ke-
25
8 Penentuan nilai hampiran ( , ) dan ( , )
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Banyak fenomena yang ada di alam semesta seperti masalah getaran dan
gerak gelombang dapat dideskripsikan ke dalam bentuk model matematika. Salah
satu model matematika yang sering muncul untuk menjelaskan masalah tersebut
adalah persamaan Schrodinger-Korteweg de Vries (Schrodinger-KdV). Persamaan
Schrodinger-KdV merupakan persamaan diferensial yang dapat diterapkan dalam
menentukan tinggi maksimum selubung paket gelombang bikromatik
(Kusumawinahyu dan Andonowati 2003), model dinamika taklinear Langmuir
satu dimensi dan gelombang ion-akustik dalam suatu sistem atau koordinat
bergerak dengan kecepatan ion-akustik (Golbabai dan Vaighani 2011). Persamaan
Schrodinger-KdV berbentuk persamaan diferensial parsial yang taklinear. Modelmodel taklinear dari masalah nyata biasanya sulit diselesaikan secara analitik.
Fan dan Hon (2003) menentukan penyelesaian eksplisit dari persamaan
Schrodinger-KdV menggunakan metode extended tanh. Abdou dan Soliman
(2005) menggunakan metode iterasi variasional untuk mendapatkan hampiran
penyelesaian dari persamaan tersebut. Metode dekomposisi telah digunakan oleh
Ray (2008) untuk menyelesaikan persamaan Klein-Gordon-Schrodinger. Khuri
(1998) menggunakan teknik dekomposisi untuk mendapatkan penyelesaian
persamaan taklinear Schrodinger orde tiga.
Persamaan Schrodinger-KdV dapat diselesaikan dengan menggunakan
beberapa metode. Metode-metode yang digunakan antara lain, metode
dekomposisi Adomian, metode Perturbasi, dan metode analisis homotopi. Metode
dekomposisi Adomian adalah metode untuk menyelesaikan masalah taklinear
yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat yang hanya terdefinisi pada daerah
kekonvergenannya. Metode Perturbasi adalah metode yang mengandung
parameter ketaklinearan yang kecil. Metode analisis homotopi adalah suatu
pendekatan analitik yang memanfaatkan suatu fungsi homotopi dan parameter
bantu.
Dalam penelitian ini akan dibahas mengenai penyelesaian dari persamaan
Schrodinger-KdV dengan menggunakan metode analisis homotopi. Metode
analisis homotopi diperkenalkan pertama kali oleh Liao (1992). Metode ini telah
digunakan untuk menyelesaikan beberapa persamaan, seperti persamaan Blasius
takhomogen (Allan dan Syam 2005), gabungan persamaan KdV dan persamaan
Hirota-Satsuma (Abbasbandy 2007) dan beberapa sistem persamaan diferensial
biasa (Bataineh et al. 2008).
Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, maka beberapa masalah yang akan
ditinjau adalah sebagai berikut:
1. Bagaimana aplikasi metode analisis homotopi untuk menyelesaikan
persamaan Schrodinger-KdV.
2. Bagaimana akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan
metode analisis homotopi dan penyelesaian eksaknya.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Menggunakan metode analisis homotopi untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger-KdV.
2. Mengkaji akurasi penyelesaian persamaan Schrodinger-KdV dengan
menggunakan metode analisis homotopi terhadap penyelesaian eksaknya.
TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Schrodinger
Dalam penurunan persamaan Schrodinger (Cresser 2009), diperiksa suatu
gelombang monokromatik yang dinyatakan dalam bentuk
,
(1)
yang merepresentasikan gelombang yang bergerak dalam arah positif dan waktu
. Misalkan momentum
dan energi kinetik
dengan
J s sebagai konstanta Planck, bilangan gelombang , serta
frekuensi gelombang . Jika persamaan (1) diturunkan dua kali terhadap , maka
diperoleh
.
⁄
Jika
persamaaan (2) menjadi
⁄
(2)
digunakan, dengan
sebagai massa, maka
(3)
.
Hal yang sama, jika persamaan (1) diturunkan terhadap , maka diperoleh
,
(4)
Jika kedua ruas pada persamaan (4) dikalikan dengan
, maka diperoleh
.
(5)
Karena energi total merupakan penjumlahan dari energi kinetik dan energi
⁄
potensial
, maka energi total yang diperoleh
, sehingga
.
(6)
Berdasarkan persamaan (3) dan (5), maka persamaan (6) menjadi
,
atau
,
yang merupakan bentuk persamaan Schrodinger.
3
Persamaan KdV
Tinjau persamaan dasar fluida ideal sebagai berikut
,
,
di
di
di
di
,
,
,
,
,
,
(7)
dengan
sebagai suatu fungsi yang disebut sebagai kecepatan potensial, ,
, berturut-turut menyatakan koordinat horizontal, vertikal, dan waktu dengan
{
}
sebagai gaya gravitasi,
menyatakan kurva yang membatasi air dan udara, serta sebagai kedalaman air
(Ramayanti 1999). Untuk mendapatkan persamaan KdV terlebih dahulu dilakukan
penskalaan peubah sebagai berikut
̂
,
̂
√
̂
,
̂
√ ,
√ .
(8)
̂,
(10)
Jika persamaan (8) disubstitusikan ke dalam persamaan-persamaan (7) dengan
, maka diperoleh persamaan-persamaan sebagai berikut
̂
̂̂̂
,
pada
̂ ,
(9)
̂
̂̂ ̂
,
di
̂ ,
̂̂
̂̂
( ̂ ̂)
̂̂ ̂̂
̂
(̂ )
̂
,
,
di
̂.
di
(11)
Untuk penyederhanaan, tanda ‘topi’ dapat dihilangkan.
Misalkan penyelesaian dari persamaan-persamaan (9), (10), dan (11)
berbentuk
.
(12)
Jika persamaan (12) disubstitusikan ke persamaan (9), maka diperoleh persamaanpersamaan sebagai berikut
,
, di
(13)
. (14)
Berdasarkan persamaan (13), diperoleh
,
,
.
Kemudian berdasarkan persamaan (14), karena
,
,
,
Untuk memperoleh
maka didapat
, maka diperoleh
di
di
di
,
,
.
, persamaan
diintegralkan dari
.
Berdasarkan persamaan (15), maka
(15)
(16)
(17)
ke ,
4
,
sehingga fungsi
,
tidak bergantung pada . Jadi dapat dimisalkan
.
(18)
Untuk memperoleh , digunakan persamaan
(18) sehingga diperoleh
dan persamaan
.
Jika persamaan
diintegralkan dari
ke , maka diperoleh
.
Berdasarkan persamaan (16), maka
.
Selanjutnya persamaan
diperoleh
diintegralkan lagi dari
.
Sedangkan untuk memperoleh
sehingga diperoleh
ke , maka
(19)
dilakukan dengan cara yang sama,
,
(20)
(lihat Lampiran 1).
Jadi bila persamaan (18), (19), dan (20) disubstitusikan ke dalam persamaan (12),
maka diperoleh
.
(21)
Kemudian dengan memisalkan
(10) dan (11) berturut-turut menjadi
pada persamaan (21), sehingga persamaan
,
(22)
dan
,
(23)
(lihat Lampiran 2).
Selanjutnya perhatikan peubah berikut
,
dan
,
dengan
,
Lalu fungsi
dinyatakan dalam peubah
√
dan
.
sebagai berikut
.
Jika fungsi
disubstitusikan ke persamaan (22) dan (23), maka diperoleh
⁄
⁄
(lihat Lampiran 3).
Kemudian dengan mengambil transformasi
, (24)
5
diperoleh persamaan
(lihat Lampiran 4).
Persamaan (22) dan (23) untuk
⁄
∫
dan
,
,
(25)
memberikan
dan
Persamaan
.
dapat diubah menjadi
.
Jika persamaan
diintegralkan terhadap , maka
,
atau
atau
,
,
sehingga persamaan (25) menjadi
.
Jika
, maka diperoleh persamaan
,
yang merupakan bentuk persamaan KdV.
Model Persamaan Schrodinger-KdV
Dalam penelitian ini akan ditinjau persamaan Schrodinger-KdV sebagai
berikut
,
,
dengan syarat awal
Penyelesaian eksak dari model persamaan (26) dengan syarat awal
u x, 0 g1 x 6 2ei x k 2 sech 2 kx ,
v x, 0 g 2 x
16k 2
3
6k 2 tanh 2 kx ,
berbentuk
u x, t 6 2exp i t / 3 2 t 10k 2 t / 3 x k 2 sech 2 k x 2 t ,
v x, t
16k 2
3
16k 2 tanh 2 k x 2 t ,
(Alomari et al. 2009).
(26)
6
Metode Analisis Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode analisis homotopi yang
disajikan dari Liao (2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai
berikut:
[
]
,
(27)
dengan
suatu operator taklinear dan
fungsi yang akan ditentukan dan
merupakan hampiran awal dari
bergantung pada peubah . Misalkan
dan suatu parameter bantu dengan
. Didefinisikan suatu operator linear
yang memenuhi
[ ]
, sehingga
.
(28)
Kemudian dengan
didefinisikan suatu fungsi
Jika
menambahkan parameter
dengan
, dan suatu fungsi homotopi , yaitu
[
]
[
maka diperoleh persamaan deformasi orde nol
[
]
Untuk
persamaan (29) menjadi
berdasarkan persamaan (28), diperoleh
[
[
].
]
.
[
Sedangkan untuk
persamaan (29) menjadi
berdasarkan persamaan (27), diperoleh
.
].
[
]
(29)
sehingga
(30)
]
sehingga
(31)
Persamaan deformasi orde nol merupakan persamaan yang mengalami
deformasi atau perubahan bentuk, di mana berdasarkan persamaan (30) dan (31),
ketika nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1, maka
berubah bentuk
secara kontinu dari penduga awal
ke penyelesaian eksak
. Perubahan
kontinu itulah yang disebut sebagai deformasi dalam homotopi. Oleh karena itu
persamaan (29) disebut dengan persamaan deformasi orde nol.
Penyelesaian eksak
ditentukan dengan menggunakan deret Taylor.
Deret Taylor dari fungsi
di sekitar
, diperoleh
Jika persamaan (30) digunakan, maka
.
∑
dengan
Jika
∑
, maka
,
.
, sehingga diperoleh penyelesaian berbentuk
∑
.
Selanjutnya metode analisis homotopi akan diterapkan pada masalah nilai
awal sebagai berikut
ut u x,
(32)
vt xu x ,
7
dengan nilai awal
,
.
Penyelesaian eksak dari persamaan (32) adalah sebagai berikut
,
.
Untuk menentukan penyelesaian persamaan (32) dengan metode analisis
homotopi, terlebih dahulu ditentukan hampiran awal sebagai berikut
.
,
Berdasarkan persamaan (29), diperoleh persamaan sebagai berikut
[
]
[
,
]
.
Jika metode analisis homotopi digunakan, maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (32) sebagai berikut
∫[
∫[
dengan
] ,
] ,
dan
dengan nilai awal
.
,
Jika nilai awal tersebut digunakan, maka diperoleh penyelesaian hampiran
dan
sebagai berikut
,
,
(33)
dengan
,
,
,
,
,
,
,
.
Gambar 1 menunjukkan pemilihan nilai
untuk mendapatkan penyelesaian
hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas, artinya penyelesaian hampiran
yang diperoleh menggunakan metode analisis homotopi akan tepat pada daerah
yang lebih luas.
8
Gambar 1 Kurva
dan
terhadap
Gambar 1 menunjukkan grafik turunan pertama untuk fungsi
dan
di (2,1). Nilai yang akan dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat
dengan titik belok dari setiap gambar. Berdasarkan Gambar 1, nilai yang dipilih
yaitu di
.
Selanjutnya pada Gambar 2 terlihat perbedaan kurva antara penyelesaian
eksak dan kurva dengan penyelesaian metode homotopi, dengan parameter h yang
dipilih yaitu
. Hal ini terjadi karena penyelesaian hampiran (33) akan tepat
mendekati penyelesaian eksaknya, sehingga kurva penyelesaian hampiran yang
dihasilkan terlihat hampir sama dengan kurva penyelesaian eksaknya. Perbedaan
antara kedua kurva inilah kemudian menimbulkan galat.
(a)
: penyelesaian eksak
--- : penyelesaian homotopi
Gambar 2 (a) Kurva
dan (b) kurva
(b)
9
Tabel 1 Galat u ( x, t ) dan v( x, t ) dengan penyelesaian eksak
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
Tabel 1 menunjukkan galat untuk h 1 dengan
. Berdasarkan Tabel 1,
galat yang dihasilkan pada fungsi
sama dengan galat yang dihasilkan pada
fungsi
. Rata-rata galat yang dihasilkan pada selang yang diberikan pada
Tabel 1 sebesar
. Dengan demikian, metode analisis homotopi dapat
digunakan untuk menentukan hampiran penyelesaian eksak dari persamaan
diferensial parsial dengan nilai awal yang diberikan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi
Dalam menemukan penyelesaian persamaan (26), terlebih dahulu
dimisalkan hampiran awalnya, yaitu
.
,
Berdasarkan persamaaan (26), didefinisikan operator taklinear sebagai berikut
[
[
]
,
]
.
Fungsi
dan
yang bergantung pada dan merupakan fungsi yang
akan ditentukan sekaligus sebagai penyelesaian dari persamaan (26). Kemudian
didefinisikan operator linear
,
.
masing-masing merupakan hampiran awal dari
dan
Misal
dan
Dengan menambahkan parameter dengan
[ ] dan
parameter bantu dengan
, kemudian didefinisikan fungsi
dan
yang memenuhi persamaan deformasi orde nol yang memenuhi
, dengan
dan
persamaan
[
]
[
],
10
[
Jadi diperoleh persamaan deformasi orde nol
[
[
dengan syarat awal
Untuk
dan
]
]
]
[
[
[
].
],
],
.
(34)
(35)
diperoleh
,
,
,
,
(36)
(lihat Lampiran 5).
Karena nilai parameter meningkat dari 0 sampai 1, maka nilai
dan
hingga ke
dan
bervariasi dari penduga awal
penyelesaian eksak
dan
. Dengan menggunakan teorema Taylor dan
persamaan (36), fungsi
dan
dapat diuraikan seperti berikut
dengan
Jika
|
, maka
dan
,
∑
∑
,
,
|
dan
.
sehingga fungsi
menjadi
∑
∑
(37)
Persamaan (37) merupakan penyelesaian dari persamaan taklinear (26).
Selanjutnya akan ditentukan persamaan deformasi orde ke- Persamaan
deformasi orde ke- merupakan persamaan deformasi yang diturunkan dari
persamaan deformasi orde nol. Persamaan deformasi orde ke- digunakan untuk
yang merupakan bagian dari fungsi (37).
dan
menentukan
Untuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke
turunkan persamaan
deformasi orde nol pada persamaan (34) dan (35) terhadap sebanyak kali,
kemudian dibagi dengan
dan masukkan nilai parameter
, sehingga
didapat persamaan sebagai berikut
dengan
dan
]
]
[
[
∑
∑
,
,
(∑
(38)
(39)
)
11
(lihat Lampiran 6).
Selanjutnya dengan menggunakan operator linear
dan
diperoleh
penyelesaian dari persamaan deformasi orde ke- (38) dan (39) sebagai berikut
∫[
∫[
]
]
(lihat Lampiran 7).
Jika diketahui nilai awal sebagai berikut
,
,
,
,
maka dapat ditentukan nilai hampiran untuk
dan
(40)
sebagai berikut
,
,
(
u2 x, t
(
(
)
)
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
)
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
3
2
2
g1 x
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
x
x
x
2
htg1 x g 2 x ,
3
1
v2 x, t ht 2(1 h) 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 4 1 h g1 x g1 x
2
x
x
x
2
2
36htg1 x g1 x g 2 x 12htg1 x g1 x 3 2 g2 x 2 g1 x
x
x
x
x
2
4
2
4 g 2 x g1 x 2iht g1 x 2 g1 x g 2 x 2 g1 x
x
x
x
x
2
3
2
6ht 3 g1 x g 2 x 3 2 g1 x 2 g2 x
x
x
x
x
2
6
3
2
3 3 g 2 x g1 x ht 6 g 2 x 6 2 g1 x
x
x
x
x
3
4
3
8 g1 x 3 g1 x 2 g1 x 4 g1 x 2ihtg1 x 3 g1 x
x
x
x
x
2
2
2iht g 2 x 3g 2 x g1 x g1 x 3 2 g1 x ,
x
x
12
dan seterusnya, sehingga diperoleh
(41)
(lihat Lampiran 8).
Diberikan syarat awal sebagai berikut
u x, 0 g1 x 6 2ei x k 2 sech 2 kx ,
v x, 0 g 2 x
16k 2
3
6k tanh
2
2
(42)
kx .
Jika syarat awal (42) disubstitusikan ke dalam persamaan (41) dengan
dan
, maka diperoleh penyelesaian untuk
dan
. Gambar 3
dan Gambar 4 menunjukkan pemilihan nilai untuk mendapatkan penyelesaian
hampiran dengan daerah kekonvergenan yang luas.
Re
Im ---
(a)
Gambar 3 (a) Kurva
(b)
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
Re
Im ---
(a)
Gambar 4 (a) Kurva
(b)
terhadap
dan (b) kurva
terhadap
13
Gambar 3 dan Gambar 4 menampilkan turunan pertama dan turunan kedua untuk
dan
dengan memisahkan bagian real dan imajiner dari setiap
persamaannya. Nilai yang dipilih ialah nilai yang berada di sekitar atau dekat
dengan titik belok dari setiap gambar. Jika masing-masing gambar ditampilkan
dengan sumbu yang semakin panjang, maka semakin terlihat bahwa pergantian
kecekungan berada pada sekitar
.
Selanjutnya pada Tabel 2 akan ditunjukkan galat penyelesaian antara
penyelesaian eksak dan penyelesaian homotopinya untuk fungsi
dan
Parameter h yang dipilih yaitu
dan
Tabel 2
menunjukkan galat untuk
dan
dengan
.
Tabel 2 Galat u ( x, t ) dan v( x, t ) dengan penyelesaian eksak
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
Ketika nilai
, galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
lebih kecil dibandingkan dengan galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
. Sedangkan untuk
, galat yang dihasilkan fungsi
pada kasus
lebih besar dibanding galat fungsi
pada kasus
. Pada fungsi
, galat yang dihasilkan pada kasus
lebih
kecil dibanding galat yang dihasilkan pada kasus
untuk setiap . Untuk
jangka waktu panjang, penyelesaian
lebih baik menggunakan nilai
.
Sedangkan penyelesaian
lebih baik menggunakan nilai
untuk
jangka waktu panjang. Baik nilai
maupun
, galat yang
dihasilkan cukup kecil dengan rata-rata
, sehingga perubahan nilai
14
yang tidak terlalu besar tidak berpengaruh terhadap penyelesaian yang diperoleh.
Berdasarkan Tabel 2, galat yang dihasilkan akan semakin bertambah ketika nilai
meningkat.
(a)
Gambar 5 (a) Penyelesaian eksak
(b)
dan (b) penyelesaian eksak
Pada Gambar 5 menunjukkan penyelesaian eksak persamaan
dan
dengan nilai
dan
. Gambar 5 (a) menjelaskan bahwa nilai
maksimum
yang diperoleh sebesar 0.02 satuan ketika
untuk
.
Sedangkan pada Gambar 5 (b), nilai maksimum yang diperoleh sebesar 0.03
satuan saat
untuk
.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan
Schrodinger-KdV. Persamaan Schrodinger dan KdV merupakan persamaan yang
menggambarkan gerak gelombang yang bergantung pada posisi horizontal dan
waktu.
Penggunaan metode analisis homotopi memerlukan operator linear dan
taklinear. Operator taklinear ditentukan berdasarkan bentuk fungsi yang dimiliki
persamaan Schrodinger dan KdV. Dengan operator yang telah didefinisikan
sebelumnya, diperoleh rumus rekursif untuk mendapatkan penyelesaian dari
persamaan Schrodinger-KdV. Metode ini sangat efisien dalam penyelesaian
persamaan Schrodinger-KdV.
Nilai galat diperoleh dari selisih antara penyelesaian analitik dengan
penyelesaian eksak. Penyelesaian analitik yang diperoleh menggunakan metode
analisis homotopi hampir akurat mendekati penyelesaian eksaknya dengan ratarata galat yang cukup kecil yaitu
. Galat yang diperoleh akan semakin
bertambah ketika nilai meningkat, sehingga metode analisis homotopi lebih
bagus digunakan untuk selang waktu yang kecil.
15
Saran
Penyelesaian dari persamaan Schrodinger-KdV memerlukan beberapa orde
penyelesaian. Dalam karya ilmiah ini, orde yang digunakan sampai orde tiga.
Perlu adanya kajian lebih lanjut dengan menggunakan orde yang lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Abbasbandy S. 2007. The application of homotopy analysis method to solve a
generalized Hirota-Satsuma coupled KdV equation. Phys. Lett. A. 361:
478-483.doi:10.1016/j.physleta.2006.09.105.
Abdou MA, Soliman AA. 2005. New application of variational iteration method.
Physica. D. 211:1-8.doi:10.1016/j.physd.2005.08.002.
Allan FM, Syam MI. 2005. On the analytic solution of non-homogeneous Blasius
problem. J. Comput. Appl. Math. 182:362-371.doi:10.1016/j.cam.2004.12.
017.
Alomari AK, Noorani MSM, Nazar R. 2009. Comparison between the homotopy
analysis method and homotopy perturbation method to solve coupled
Schrodinger-KdV equation. J. Appl. Math. Comput. 31:1-12.doi:10.1007/
s12190-008-0187-4.
Bataineh AS, Noorani MSM, Hashim I. 2008. Solving system of ODEs by
homotopy analysis method. Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul. 13:
2060-2070.doi:10.1016/j.cnsns.2007.05.026.
Cresser JD. 2009. PHYS201: Wave Mechanics. Sydney (AU): Macquarie
University.
Fan E, Hon YC. 2003. Applications of extended tanh method to ‘special’ types
of nonlinear equations. Appl. Math. Comput. 141:351-358.doi:10.1016/
S0096-3003(02)00260-6.
Golbabai A, Vaighani AS. 2011. A meshless method for numerical solution of the
coupled Schrodinger-KdV equations. Computing. 92:225-242.doi:10.1007/
s00607-010-0138-4.
Khuri SA. 1998. A new approach to the Cubic Schrodinger equation: An
application of the decomposition technique. Appl. Math. Comput. 97:
251-254.doi:10.1016/S0096-3003(97)10147-3.
Kusumawinahyu WM, Andonowati. 2003. Tinggi maksimum selubung paket
gelombang bikromatik [catatan penelitian]. Sains. 35A(1):51-63.
Liao SJ. 1992. Homotopy Analysis Method and its Application [disertasi].
Shanghai (CN): Shanghai Jiao Tong University.
Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation : Introduction to the Homotopy Analysis
Method. New York (US) : Boca Raton.
Ramayanti T. 1999. Data Hamburan pada Persamaan Korteweg-de Vries (KdV)
dengan Perturbasi [Skripsi]. Bogor (ID): Fakultas MIPA, Institut
Pertanian Bogor.
Ray SS. 2008. An application of the modified decomposition method for the
solution of the coupled Klein-Gordon-Schrodinger equation. Commun.
Nonlinear Sci. Numer. Simul. 13:1311-1317.doi:10.1016/j.cnsns.2006.12.
010.
16
Lampiran 1 Penurunan persamaan (20)
.
.
.
Karena
, maka
0, dan
0, sehingga
.
(43)
Jika persamaan (43) disubstitusikan ke dalam persamaan
diperoleh
.
Persamaan (44) diintegralkan dari
, maka
(44)
ke , sehingga didapat
.
Berdasarkan persamaan (17) dan (18), maka
, sehingga
.
Kemudian persamaan (45) diintegralkan lagi dari
(45)
ke , sehingga diperoleh
.
17
Lampiran 2 Penurunan persamaan (22) dan (23)
Persamaan (10) diturunkan terhadap , menghasilkan
, di
.
(46)
Karena
, (47)
dan
, maka
, sehingga
,
,
,
,
(48)
,
, atau
,
.
Bila persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke dalam persamaan (46),
maka diperoleh
,
atau
.
Sedangkan jika persamaan-persamaan pada (48) disubstitusikan ke persamaan
(11), diperoleh
,
Karena
berorde
, maka
, sehingga
.
18
Lampiran 3 Penurunan persamaan (24)
Diketahui
, dengan
,
,
,
maka dihasilkan
√
dengan
,
⁄
,
,
sehingga
⁄
,
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
,
,
,
⁄
⁄
⁄
,
,
,
,
.
Karena
, dan
⁄
⁄
⁄
, maka
⁄
⁄
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
⁄
,
⁄
,
,
19
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
,
⁄
.
Persamaan (22) diturunkan terhadap , sedangkan persamaan (23) diturunkan
terhadap . Selanjutnya kedua persamaan digabung dengan cara eliminasi,
sehingga diperoleh
1
1
1
tt ( h) xx xxtt h2 t x xt xxx h2 hx xxxx h3 ( ) xx . (49)
2
6
2
Ruas kiri dari persamaan (49) berupa
,
⁄
⁄
⁄
⁄
,
.
(50)
Sedangkan ruas kanan dari persamaan (49) yaitu
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
.
(51)
Kemudian penyetaraan persamaan (50) dan (51) menghasilkan
⁄
⁄
atau
⁄
⁄
⁄
,
.
20
Lampiran 4 Penurunan persamaan (25)
Dengan mengambil peubah
⁄
∫
, dan
,
, maka
,
(52)
.
⁄
,
⁄
sehingga
⁄
⁄
,
⁄
,
⁄
⁄
.
(53)
Jika persamaan (52) dan (53) disubstitusikan ke dalam persamaan (24), maka
diperoleh
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
, atau
.
(54)
Kedua ruas persamaan (54) dibagi dengan
,
,
,
.
21
Lampiran 5 Penurunan persamaan (36)
Untuk
, dari persamaan (34) diperoleh
]
[
.
sehingga menurut persamaan (28) diperoleh
Dengan cara yang sama, persamaan (35) menghasilkan
]
[
.
sehingga
Untuk
, dari persamaan (34) diperoleh
[
]
]
diperoleh
sehingga menurut persamaan [
Dengan cara yang sama, persamaan (35) menghasilkan
[
]
Karena
[
]
, maka diperoleh
.
.
22
Lampiran 6 Penentuan persamaan deformasi orde keUntuk mendapatkan persamaan deformasi orde ke- , kedua ruas pada
persamaan deformasi orde nol (34) dan (35) diturunkan terhadap sebanyak
kali, kemudian dibagi dengan
dan masukkan nilai
.
a.
[
]
[
Turunan pertama
]
Lu x, t; q u0 x, t 1 q Lu x, t; q
q
h N 1 x, t; q qh
Untuk
, maka
]
[
Turunan kedua
[
N 1 x, t ; q
q
].
2
2Lu x, t; q 1 q Lu 2 x, t; q
q
q
2
2h N 1 x, t; q qh 2 N 1 x, t; q
q
q
Untuk
]
[
, maka
]
[
Turunan ketiga
[
[
]|
]|
, atau
.
2
3
3Lu 2 x, t; q 1 q Lu 3 x, t; q
q
q
2
3
3h 2 N 1 x, t; q qh 3 N 1 x, t; q
q
q
Untuk
, maka
Turunan keempat
[
[
]
]
[
[
]
]|
, atau
.
3
4
4Lu 3 x, t; q 1 q Lu 4 x, t; q
q
q
3
4
4h 3 N 1 x, t; q qh 4 N 1 x, t; q
q
q
23
Untuk
, maka
Untuk turunan ke-
[
[
dengan
]
]
[
]|
, diperoleh
m1
mLu m1 x, t ; q (1 q)Lu
q
mh
Untuk
[
]
, atau
.
m
m x, t ; q
q
m1
m
N
N 1 x, t; q .
x
,
t
;
q
qh
1
q m1
q m
maka
[
dengan
[
]
]
dan
[
b.
]
[
]|
[
[
, atau
]|
(55)
]
Dengan cara yang sama, untuk persamaan deformasi orde kepersamaan di atas diperoleh seperti berikut
]
[
dengan
[
dan
]|
,
dari
(56)
Kemudian didefinisikan operator taklinear sebagai berikut
[
[
]
,
]
.
Subtitusikan operator taklinear
dan
masing-masing ke dalam persamaan
(55) dan (56)
2
m1 x, t; q x, t ; q
1
x, t ; q x, t ; q
R1m um1
i
m 1
2
t
x
m 1! q
q 0
R2 m vm1
x, t ; q 3 x, t ; q
1
m1 x, t; q
6
x
,
t
;
q
x
x3
m 1! q m1 t
24
2 x, t; q
x, t; q
x
q 0
R11 u0 iu0t u0 xx u0 v0
R21 v0 v0t 6u0 v0 x v0 xxx 2u0u0 x
R12 u1 iu1t u1xx u1v0 u0 v1
R22 v1 v1t 6u1v0 x 6u0 v1x v1xxx 2u0u1x 2u1u0 x
1
2iu2t 2u2 xx 2u2 v0 2u1v1 2u0 v2
2
iu2t u2 xx u2 v0 u1v1 u0 v2
1
R23 v2 2v2t 12u2 v0 x 12u0 v2 x 12u1v1x 2v2 xxx 4u0 u2 x 4u1u1x 4u2 u0 x
2
v2t 6u2 v0 x 6u1v1x 6u0 v2 x v2 xxx 2u0u2 x 2u1u1x 2u2u0 x
1
R14 u3 3!iu3t 3!u3 xx 3!u3 v0 6u2 v1 6u1v2 3!u0 v3
3!
iu3t u3 xx u3 v0 u2 v1 u1v2 u0 v3
1
R24 v3 3!v3t (3!)6u3 v0 x 36u2 v1x 36u1v2 x (3!)6u0 v3 x 3!v3 xxx
3!
R13 u2
(3!)2u0 u3 x 12u1u2 x 12u2u1x (3!)2u3u0 x
v3t 6u3v0 x 6u2 v1x 6u1v2 x 6u0 v3 x v3 xxx 2u0u3 x 2u1u2 x 2u2u1x
2u3u0 x .
Maka untuk
diperoleh
m 1
R1m um1 i um1 t um1 xx ui vm1i ,
i 0
m 1
m 1
i 0
i 0
R2 m vm1 vm1 t 6ui (vm1i ) x vm1 xxx 2ui (um1i ) x .
25
Lampiran 7 Penyelesaian persamaan deformasi orde keDidefinisikan operator linear yaitu
,
Subtitusikan operator
dan
untuk persamaan (38) didapat
sehingga
dan
ke dalam persamaan (38) dan (39), sehingga
]
[
Sedangkan untuk persamaan (39) menjadi
sehingga diperoleh
.
[
∫[
∫[
,
]
]
.
,
]
.
26
Lampiran 8 Penentuan nilai hampiran
dan
sebagai hampiran inisial.
dan
Orde 1
(
∫[
]
Berdasarkan nilai awal (40), diperoleh
(
,
)
.
, sehingga
).
v1 x, t h v0t 6u0 v0 x v0 xxx 2u0 u0 x dt C2 x
3
ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x C2 x .
x
x
x
, sehingga
Dengan cara yang sama, diperoleh
3
v1 x, t ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x .
x
x
x
Orde 2
∫[
]
,
u2 x, t iht 2 g1 x g1 x g 2 x ih iu1t u1xx u0 v1 u1v0 dt C1 x
x
2
u2 x, t
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
3
2
2
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
g1 x
x
x
x
htg1 x g 2 x
2
C x
1
, maka
Karena
u2 x, t
, sehingga
2
4
1
ht 2i (1 h) 2 g1 x g1 x g 2 x ht 4 g1 x
2
x
x
2
2
2ht 2 g1 x g 2 x g1 x g 2 x htg1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
27
3
2
2
g1 x
6ihtg1 x g 2 x ihtg1 x 3 g 2 x 2ihtg1 x
x
x
x
2
htg1 x g 2 x .
∫[
]
v2 x, t ht 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 2 g1 x g1 x
x
x
x
3
h v1t 6u0 v1x 6u1v0 x v1xxx 2u0 x u1 2u1x u0 dt C2 x .
Berdasarkan nilai awal (40), diperoleh
, sehingga
3
1
v2 x, t ht 2(1 h) 6 g1 x g 2 x 3 g 2 x 4 1 h g1 x g1 x
2
x
x
x
2
2
36htg1 x g1 x g 2 x 12htg1 x g1 x 3 2 g 2 x 2 g1 x
x
x
x
x
4
4 g 2 x g1 x
x
x
2
2
2iht g1 x 2 g1 x g 2 x 2 g1 x
x
x
2
3
2
6ht 3 g1 x g 2 x 3 2 g1 x 2 g 2 x
x
x
x
x
2
6
3
2
3 3 g 2 x g1 x ht 6 g 2 x 6 2 g1 x
x
x
x
x
3
4
3
8 g1 x 3 g1 x 2 g1 x 4 g1 x 2ihtg1 x 3 g1 x
x
x
x
x
2
2
2iht g 2 x 3g 2 x g1 x g1 x 3 2 g1 x .
x
x
Orde 3
,
]
∫[
u2 ih iu2t u2 xx u0 v2 u1v1 u2 v0 dt C1 x ,
∫[
]
v2 h v2t 6u0 v2 x 6u1v1x 6u2 v0 x v2 xxx 2u0u2 u12 dt C2 x .
x
Dengan menggunakan nilai awal (40), maka diperoleh
sehingga
u3 x, t u2 ih iu2t u2 xx u0 v2 u1v1 u2 v0 dt ,
dan
v3 x, t v2 h v2t 6u0 v2 x 6u1v1x 6u2 v0 x v2 xxx 2u0u2 u12 dt.
x
,
28
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 24 September 1992 dari pasangan
Bapak Netrazan dan Ibu Sarinah. Penulis adalah putri pertama dari dua
bersaudara. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SMAN 99 Jakarta
lulus pada tahun 2010 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah berkecimpung dalam
himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai
bendahara divisi keilmuan pada periode 2011-2012 dan sebagai staf keilmuan
periode 2012-2013. Penulis juga aktif dalam kepanitiaan berbagai acara, di
antaranya adalah Try Out Gumatika 2012 sebagai staf divisi konsumsi, Try Out
Gumatika 2013 sebagai staf divisi konsumsi, Gumatika Calculus Competition
2012 sebagai staf desain, dekorasi, dan dokumentasi, Masa Perkenalan Fakultas
2012 sebagai staf Logistik dan Transportasi, Masa Perkenalan Departemen 2012
sebagai staf Medis, IPB Mathematics Challenge 2012 sebagai staf Logistik dan
Transportasi, IPB Mathematics Challenge 2013 sebagai staf Tim Khusus,
Matematika Ria 2012 sebagai bendahara umum, dan Matematika Ria 2013
sebagai ketua divisi konsumsi.
Penulis pernah mendapat beasiswa Bidik Misi periode 2010-2014. Selain itu
penulis pernah menjadi pengajar bimbel GUMATIKA.