Perbandingan Metode Analisis Homotopi dan Metode Iterasi Variasional pada Penyelesaian Masalah Gelombang Internal di Atmosfer

PERBANDINGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI DAN METODE
ITERASI VARIASIONAL PADA PENYELESAIAN MASALAH
GELOMBANG INTERNAL DI ATMOSFER

ZULFIQAR BUSRAH

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Perbandingan Metode
Analisis Homotopi dan Metode Iterasi Variasional pada Penyelesaian Masalah
Gelombang Internal di Atmosfer adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan
tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada

Institut Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2014
Zulfiqar Busrah
NIM G551120081

RINGKASAN
ZULFIQAR BUSRAH. Perbandingan Metode Analisis Homotopi dan Metode
Iterasi Variasional pada Penyelesaian Masalah Gelombang Internal di Atmosfer.
Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan TONI BAKHTIAR.
Gelombang internal merupakan fenomena alam yang keberadaannya tidak
dapat dilihat secara langsung. Selain terdapat di lautan, gelombang internal juga
terdapat pada lapisan atmosfer. Gelombang internal di atmosfer dapat
direpresentasikan dalam suatu model matematika. Representasi matematis
gelombang internal di atmosfer diturunkan dari persamaan dasar fluida ideal yang
memiliki sifat takkental dan taktermampatkan. Penurunan persamaan dasar fluida
didasarkan pada hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan momentum.
Selain itu, diasumsikan pula bahwa ketinggian gelombang relatif jauh lebih kecil
jika dibandingkan dengan panjang gelombang. Asumsi ini dikenal sebagai asumsi
fluida dangkal.
Pada dasarnya perambatan gelombang internal di atmosfer yang

direpresentasikan dengan persamaan dasar fluida berupa sistem persamaan
diferensial parsial (PDP) taklinear. Penyelesaian analitik dari sistem PDP taklinear
umumnya sulit diselesaikan, sehingga diperlukan suatu metode pendekatan
analitik tertentu. Pendekatan analitik yang dapat diterapkan dalam memperoleh
penyelesaian hampiran adalah metode analisis homotopi (HAM) dan metode
iterasi variasional (VIM). Pada penelitian ini persamaan dasar fluida yang
menggambarkan perambatan gelombang internal di atmosfer diselesaikan dengan
HAM dan VIM.
Dalam penentuan penyelesaian hampiran persamaan dasar fluida,
berdasarkan HAM, persamaan deformasi orde nol dikonstruksi berdasarkan
bentuk dari persamaan dasar fluida. Persamaan deformasi orde nol terdiri atas
operator linear, operator taklinear, pendekatan awal dan parameter bantu.
Kemudian bentuk dari persamaan deformasi orde tinggi ditentukan berdasarkan
pendekatan awal pada persaman deformasi orde nol. Penyelesaian persamaan
dasar fluida dengan HAM diperoleh dalam bentuk deret. Suku-suku yang
digunakan pada penyelesaian deret diperoleh dari persamaan deformasi orde nol
dan persamaan deformasi orde tinggi. Daerah kekonvergenan penyelesaian
hampiran HAM dapat dikontrol melalui pemilihan parameter bantu.
Keunggulan VIM dalam menyelesaikan masalah taklinear yaitu dalam
penyelesaiannya tidak perlu dilakukan linearisasi, transformasi dan perturbasi.

Selain itu penyelesaian hampiran VIM cepat konvergen ke penyelesaian eksak.
Dalam penentuan penyelesaian hampiran persamaan dasar fluida, berdasarkan
VIM, fungsi koreksi dikonstruksi berdasarkan bentuk persamaan dasar, kemudian
nilai optimal pengali Lagrange ditentukan melalui teori variasional. Fungsi
koreksi dan pengali Lagrange yang diperoleh menghasilkan suatu rumus iterasi.
Dalam menentukan penyimpangan HAM dan VIM, kedua metode ini
dibandingkan dengan penyelesaian numeriknya. Penyelesaian numerik ditentukan
dengan menggunakan bantuan program komputasi simbolik. Penyelesaian pada
kasus ini menggunakan metode numerik standar melalui penerapan metode beda
hingga.

Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran HAM
mendekati dengan baik penyelesaian numeriknya. Demikian pula dengan
penyelesaian dari VIM memberikan hasil dengan galat mutlak yang sangat kecil
terhadap penyelesaian numerik persamaan dasar fluida. Pada kasus ini, VIM lebih
mudah digunakan daripada HAM. Secara umum, kedua metode ini sangat efisien
dalam menyelesaikan sistem PDP taklinear.
Kata kunci: Gelombang internal, metode analisis homotopi, metode iterasi
variasional, sistem persamaan diferensial parsial taklinear

SUMMARY
ZULFIQAR BUSRAH. Comparison of the Homotopy Analysis and
Variational Iteration Methods in Solving Internal Waves Problem in the
Atmosphere. Supervised by JAHARUDDIN and TONI BAKHTIAR.
Internal waves are natural phenomena whose existence can’t be seen
directly. In addition to being at a layer of the ocean, internal waves can be found
at the layers of atmosphere. Internal waves in the atmosphere can be represented
by a mathematical model. The mathematical representation of internal waves in
the atmosphere is obtained from the basic equation of ideal fluid which is inviscid
and incompressible. Fundamental equations of fluid are governed by the laws of
conservation of mass and momentum. Furthermore, it is also assumed that the
wave height is relatively much smaller than the wavelength. This is known as the
assumption of shallow fluid.
Basically a mathematical model of internal waves in the atmosphere is a
system of nonlinear partial differential equations (PDE). Generally, the solution of
nonlinear PDE system cannot be obtained analytically, so we need an approaching
method. The approaches that can be applied to obtain approximation solutions are
Homotopy Analysis Method (HAM) and Variational Iteration Method (VIM). In
this study, the basic equations of fluid that describe the propagation of internal
waves in the atmosphere are solved by HAM and VIM.

In determining the approximation solutions of the basic equations of fluid,
based on HAM, zero-order deformation equations are constructed based on the
form of the basic equations of fluid. Zero-order deformation equations consist of
linear operator, nonlinear operator, the initial approximations and auxiliary
parameters. Then, the high-order deformation equations are determined based on
the initial approximations at zero-order deformation equations. Solutions of the
basic equations of fluid by HAM are obtained in the form of series. The terms of
the series are obtained by zero-order deformation and the high-order deformation
equations. Convergence region of approximation solutions of HAM can be
controlled via the auxiliary parameters.
VIM has many advantages, especially in solving nonlinear problems which
their iteration formulas can be determined directly without linearization,
transformation and perturbation. In addition, the approximation solutions of VIM
converge quickly to the exact solution. In determining the approximation
solutions of the basic equations of fluid, based on VIM, correction function is
constructed based on the form of the basic equations, then the optimal value of the
Lagrange multipliers are determined via the variational theory. Correction
function and Lagrange multipliers thus provide iteration formulas.
In determining the deviation of HAM and VIM, both methods are compared
with numerical solutions. Numerical solutions are calculated by using package of

symbolic computational program. In this package, standard numerical methods are
used in solving the problem with finite differences method.
The results obtained show that the solution by HAM approaches the
numerical solution well. Similarly, the solution by VIM performs a very small
absolute error of the numerical solution of basic equation of fluid. In this case, the

VIM is easier than HAM. Moreover, both methods are efficient in approximating
the numerical solutions.
Keywords: Homotopy analysis method, internal waves, nonlinear PDE system,
variational iteration method

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2014
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

PERBANDINGAN METODE ANALISIS HOMOTOPI DAN METODE
ITERASI VARIASIONAL PADA PENYELESAIAN MASALAH
GELOMBANG INTERNAL DI ATMOSFER

ZULFIQAR BUSRAH

Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis : Dr Ir Endar H Nugrahani, MS

Judul Tesis : Perbandingan Metode Analisis Homotopi dan Metode Iterasi
Variasional pada Penyelesaian Masalah Gelombang Internal di
Atmosfer
Nama
: Zulfiqar Busrah
NIM
: G551120081

Disetujui oleh
Komisi Pembimbing

Dr Jaharuddin, MS
Ketua

Dr Toni Bakhtiar, MSc
Anggota

Diketahui oleh

Ketua Program Studi

Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr Jaharuddin, MS

Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr

Tanggal Ujian:
18 September 2014

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah subhana wa ta’ala atas
segala limpahan rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak Januari
2014 ialah gelombang internal, dengan judul Perbandingan Metode Analisis
Homotopi dan Metode Iterasi Variasional pada Penyelesaian Gelombang Internal
di Atmosfer.

Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor. Penulis menyadari bahwa bantuan-bantuan dan arahan-arahan
dari kedua pembimbing sangat membantu dalam menyelesaikan karya tulis ini.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Jaharuddin, MS selaku pembimbing I,
dan Dr Toni Bakhtiar, MSc selaku pembimbing II.
Pada kesempatan ini penulis juga menyampaikan terima kasih kepada :
1. Prof Dr Ir Herry Suhardiyanto, MSc selaku Rektor Institut Pertanian Bogor.
2. Dr Ir Dahrul Syah, MScAgr selaku Dekan Sekolah Pascasarjana Institut
Pertanian Bogor.
3. Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan.
4. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Ayahanda dan Ibunda tercinta, Bustang, SPd dan Husrah, AMaPd yang telah
membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kasih sayang demi
keberhasilan penulis selama menjalani proses pendidikan, juga kepada
saudara-saudara penulis Zhulfitrani Busrah, SP dan Zhulmuqzith Busrah serta
keluarga besar penulis atas doa dan dukungannya.
6. Seluruh dosen dan staf pegawai tata usaha Departemen Matematika IPB.
7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2012 pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah

Pascasarjana IPB.
8. Rekan-rekan Wisma Celebes Bara III, Ahmad Firman Ashari, Muhammad
Mu’min F, Muhammad Fitrah Irawan, Seniarwan, Munawir Syarif yang telah
menjadi keluarga baru di Bogor.
9. Rekan-rekan Forum Mahasiswa Pascasarjana Sulawesi Selatan.
10. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah subhana wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua
pihak yang membutuhkan.
Bogor, Oktober 2014
Zulfiqar Busrah

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
1
Latar Belakang ............................................................................................... 1
Tujuan Penelitian ........................................................................................... 2
2 TINJAUAN PUSTAKA
2
Persamaan Dasar Fluida ................................................................................ 2
Asumsi Fluida Dangkal ................................................................................. 3
Metode Analisis Homotopi ............................................................................ 6
Metode Iterasi Variasional ............................................................................. 8
3 METODE

9

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Analisis Metode ........................................................................................... 10
Aplikasi Metode........................................................................................... 15
Hasil ............................................................................................................. 19
5 SIMPULAN DAN SARAN
27
Simpulan ...................................................................................................... 27
Saran ............................................................................................................ 28
DAFTAR PUSTAKA

28

LAMPIRAN

30

RIWAYAT HIDUP

44

DAFTAR TABEL
1 Galat mutlak antara penyelesaian
hampiran HAM pada saat
dan
2 Galat mutlak antara penyelesaian
hampiran HAM pada
dan
3 Galat mutlak antara penyelesaian
hampiran VIM pada saat
dan
4 Galat mutlak antara penyelesaian
hampiran VIM pada
dan

numerik dengan penyelesaian
20
numerik dengan penyelesaian
21
numerik dengan penyelesaian
24
numerik dengan penyelesaian
24

DAFTAR GAMBAR
1 Domain fluida
2 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran HAM pada saat
dan
3 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran HAM pada saat
dan
4 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran HAM pada saat
dan
5 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran HAM pada
dan
6 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran VIM pada saat
dan
7 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran VIM pada saat
dan
8 Perbandingan antara penyelesaian numerik
hampiran VIM pada saat
dan
9 Perbandingan antara penyelesaian numerik,
HAM dan VIM pada saat
dan
10 Perbandingan antara penyelesaian numerik,
HAM dan VIM pada
dan
11 Grafik penyelesaian numerik 2D pada

4
dengan
untuk
dengan
untuk
dengan
untuk
dengan

penyelesaian
21
penyelesaian
22
penyelesaian
22
penyelesaian
23

dengan penyelesaian
untuk
dengan penyelesaian
untuk
dengan penyelesaian
untuk
penyelesaian hampiran

25
25
25
26

penyelesaian hampiran
26
dan
27

DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5

Penurunan persamaan (2.1) dan (2.2)
Penurunan persamaan (2.3), (2.4) dan (2.5)
Penurunan persamaan (4.17)
Penurunan persamaan (4.31)
Penurunan persamaan (4.32)

30
31
33
38
38

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Gelombang internal merupakan fenomena alam yang keberadaannya tidak
dapat dilihat secara langsung. Selain terdapat di laut dalam, gelombang internal
juga terdapat pada lapisan atmosfer. Gelombang ini terus merambat dan
berinteraksi dengan aliran lain, namun sulit untuk diamati. Keberadaan gelombang
tersebut dapat dikenali melalui perubahan rapat massa fluida yang disebabkan
oleh perubahan temperatur udara (Cassady 2010). Berdasarkan variabel
temperatur, lapisan atmosfer secara vertikal dibedakan atas empat lapisan utama,
yaitu troposfer, stratosfer, mesosfer, dan thermosfer. Penelitian mengenai
gelombang internal di atmosfer, sebelumnya telah diterapkan pada model
peramalan kecepatan dan arah angin menggunakan pendekatan deret Fourier
(Rottman et al. 2007).
Gelombang internal di atmosfer dapat dimodelkan dalam persamaan
matematika dengan menggunakan asumsi fluida dangkal (Warner 2011). Asumsi
fluida dangkal telah diterapkan pada pemodelan iklim, gelombang Kelvin (Clancy
dan Lynch 2011), gelombang Rossby (Duba dan McKenzie 2012) dan gelombang
tsunami (Blaise dan St-Cyr 2012). Pada dasarnya representasi matematis dari
gelombang internal di atmosfer berupa suatu sistem persamaan diferensial parsial
(PDP) taklinear (Warner 2011). Dalam berbagai kasus, sistem PDP taklinear
sangat sulit diselesaikan secara analitik. Dengan demikian dibutuhkan suatu
metode pendekatan analitik yang dapat memberikan penyelesaian hampiran.
Pendekatan analitik yang dapat digunakan dalam menyelesaikan PDP
taklinear yaitu Homotopy Analysis Method (HAM) yang pertama kali
diperkenalkan oleh Liao pada tahun 1992. Keunggulan HAM terletak pada
pemilihan nilai awal dan parameter bantu sehingga dapat memperluas daerah
kekonvergenan (Liao 2004). HAM sebelumnya telah diterapkan dalam berbagai
penyelesaian masalah taklinear di antaranya pada persamaan Klein-Gordon
(Alomari et al. 2008), model El Nino Southern Oscillation (Jiaqi et al. 2010),
persamaan Huxley (Hemida dan Mohamed 2010), persamaan Zakharov-Kuznetsov
(Usman et al. 2013) dan model pertumbuhan satu spesies pada lingkungan yang
tercemar (Jaharuddin 2014).
Pendekatan analitik lain yang dapat digunakan pada penyelesaian sistem
PDP taklinear yaitu Variational Iteration Method (VIM) yang pertama kali
diperkenalkan oleh He pada tahun 1997. Keunggulan VIM dalam menyelesaikan
masalah taklinear yaitu rumus iterasi dapat ditentukan secara langsung tanpa
linearisasi, transformasi dan perturbasi (Miansari et al. 2009). Selain itu
penyelesaian hampiran VIM cepat konvergen ke penyelesaian eksak. VIM telah
diaplikasikan dalam berbagai kasus di antaranya pada penyelesaian persamaan
termoelasitisitas taklinear (Swheilam dan Khader 2007), persamaan SawadaKotera (Jafari et al. 2008), persamaan KdV-Burgers-Kuramoto (Safari et al.
2009), persamaan Whitham-Broer-Kaup (Matinfar et al. 2009) dan masalah
taklinear pada reaksi difusi konveksi (Duangpithak dan Torvattanabun 2012).
Pada penelitian ini, akan ditinjau penyelesaian model matematika gelombang
internal di atmosfer melalui pendekatan HAM dan VIM. Penyelesaian hampiran

2
dari kedua metode tersebut akan dibandingkan terhadap penyelesaian numerik
melalui perhitungan galat dan visualisasi grafik penyelesaian.

Tujuan Penelitian
Tujuan yang akan dicapai pada penelitian ini adalah sebagai berikut
1. Menggunakan HAM dalam menentukan penyelesaian hampiran model
matematika gelombang internal di atmosfer.
2. Menggunakan VIM dalam menentukan penyelesaian hampiran model
matematika gelombang internal di atmosfer.
3. Membandingkan penyelesaian hampiran HAM dan VIM terhadap
penyelesaian numerik masalah gelombang internal di atmosfer.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Persamaan Dasar Fluida
Pada bagian ini, atmosfer dianggap sebagai fluida ideal yang memiliki sifat
takkental (inviscid) dan taktermampatkan (incompressible). Persamaan dasar
fluida ideal diturunkan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum
kekekalan momentum. Hukum kekekalan massa menghasilkan persamaan
kontinuitas yang didasarkan pada kesetimbangan massa sedangkan hukum
kekekalan momentum menghasilkan persamaan momentum yang didasarkan pada
hukum Newton II. Hukum kekekalan massa menyatakan bahwa laju perubahan
massa merupakan selisih antara massa yang masuk dengan massa yang keluar
dalam suatu sistem (Anderson 1995).
Misalkan patikel-partikel fluida diasumsikan bergerak dalam arah tiga
dimensi memunyai rapat massa
, dengan
merupakan koordinat
gerak partikel fluida dalam arah horizontal, sebagai koordinat gerak partikel
fluida dalam arah vertikal dan merupakan waktu. Misalkan pula kecepatan gerak
partikel fluida dinotasikan dengan
dalam arah horizontal- ,
dalam arah horizontal- , dan w
pada arah vertikal- . Berdasarkan
hukum kekekalan massa, jika digunakan asumsi fluida taktermampatkan
(incompressible) berarti fluida yang mengalir tidak mengalami perubahan
kerapatan massa terhadap perubahan waktu selama terjadi aliran, maka diperoleh
persamaan kontinuitas berikut
(2.1)
(2.2)
Penurunan persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dilihat pada Lampiran 1.

3
Selanjutnya hukum kekekalan momentum menyatakan bahwa, laju
perubahan momentum dalam suatu sistem merupakan selisih antara momentum
masuk dengan yang keluar ditambah dengan gaya-gaya yang bekerja pada sistem
tersebut. Gaya yang terjadi pada sistem tersebut yaitu adanya gaya gravitasi
dan perubahan tekanan fluida
baik arah horizontal maupun vertikal.
Sedangkan gaya gesek diabaikan karena diasumsikan fluida bersifat takkental
(inviscid). Berdasarkan hukum kekekalan momentum diperoleh persamaan
momentum atau persamaan Euler berikut
(2.3)
(2.4)
(2.5)
Penurunan persamaan (2.3), (2.4) dan (2.5) dapat dilihat pada Lampiran 2
Asumsi Fluida Dangkal
Pada bagian ini persamaan momentum disederhanakan dengan
menggunakan asumsi fluida dangkal. Asumsi fluida dangkal menyatakan bahwa
panjang gelombang relatif jauh lebih panjang bila dibandingkan dengan
ketinggian lapisan fluida (Warner 2011). Hal ini menunjukkan bahwa percepatan
aliran arah vertikal sangat kecil daripada percepatan gravitasi. Demikian pula
dengan kecepatan arah vertikal yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan
kecepatan arah horizontal, sehingga
(2.6)
Dalam hal ini

merupakan operator turunan total dalam bentuk
(2.7)

Selanjutnya, atmosfer juga diasumsikan sebagai fluida yang memiliki sifat
autobarotropik, hal ini berarti bahwa fluida memunyai rapat massa yang konstan
dan homogen. Selain perubahan tekanan, gaya lain yang memengaruhi momentum
pada arah horizontal adalah gaya yang dihasilkan oleh rotasi bumi. Fenomena
perputaran bumi pada porosnya menghasilkan angin dan mengakibatkan adanya
gaya Coriolis dengan parameter
. Adanya keseimbangan antara
gaya Coriolis dengan perubahan tekanan dan gaya gravitasi menghasilkan arus
geostropik.
Dengan demikian, berdasarkan persamaan (2.6) dan (2.7), maka momentum
pada persamaan (2.3) – (2.5) menjadi

4
(2.8)
(2.9)
(2.10)
Persamaan (2.8) dan (2.9) menunjukkan momentum horizontal yang
dipengaruhi oleh keseimbangan perubahan tekanan pada arah horizontal dan gaya
Coriolis. Persamaan (2.10) merepresentasikan keseimbangan hidrostatik yang
diperoleh dari asumsi fluida dangkal. Tinjau domain fluida pada Gambar 1 berikut.
z
H
Lapisan inert

Lapisan aktif fluida

x
Gambar 1 Domain fluida
Jika asumsi fluida taktermampatkan dan homogen digunakan, maka
mana konstan, sehingga persamaan (2.10) menjadi

, di
(2.11)

Karena

konstan, maka turunan persamaan (2.11) terhadap

adalah
(2.12)

Persamaan (2.12) menyatakan bahwa tidak terjadi perubahan laju tekanan pada
arah horizontal-x dan tidak terjadi perubahan laju tekanan pada arah vertikall-z.
Dengan mengintegralkan persamaan (2.11) terhadap diperoleh
(2.13)
di mana
dan masing-masing merupakan tekanan pada batas atas dan batas
bawah fluida, dan memenuhi
(2.14)

5
dengan

sebagai ketinggian fluida. Jika

atau

, maka
(2.15)

Jika persamaan (2.15) diturunkan terhadap , maka diperoleh
(2.16)
Hal ini menunjukkan bahwa perubahan tekanan batas bawah pada arah horizontal
sebanding dengan perubahan ketinggian fluida terhadap arah horizontal-x.
Demikian pula untuk arah horizontal-y yaitu
(2.17)
Pendekatan lain yang dipertimbangkan adalah dengan memisalkan
dan
menjadi

. Dari persamaan (2.16) dan (2.17), maka persamaan (2.8) dan (2.9)
(2.18)
(2.19)

Kemudian dengan mengintegralkan persamaan (2.1) terhadap ketinggian , maka
diperoleh
(2.20)
maka untuk

diproleh
(2.21)

Pada batas bawah dalam arah dan
di
kondisi batas kinematik

berupa batas bawah yang kaku, berlaku
,
(2.22)

Berdasarkan persamaan (2.7), (2.21) dan (2.22) maka diperoleh
(2.23)

6
Dengan demikian diperoleh persamaan dasar yang terdiri dari tiga variabel
takbebas
dan sebagai berikut
(2.24)
(2.25)
(2.26)
Sebagai penyederhanaan, diasumsikan bahwa kecepatan partikel fluida
hanya bergantung pada arah horizontal-x dan perubahan tekanan dalam arah
horizontal-y bernilai konstan. Sehingga persamaan satu dimensi dari persamaan
(2.24), (2.25) dan (2.26) dapat ditulis dalam bentuk berikut
(2.27)
(2.28)
(2.29)
dengan
(2.30)
di mana merupakan ketinggian fluida yang dipengaruhi oleh tekanan pada arah
horizontal-y sedangkan
merupakan suatu konstanta yang merepresentasikan
kecepatan arus geostropik. Persamaan (2.27) – (2.30) merupakan persamaan dasar
fluida yang akan digunakan untuk menggambarkan perambatan gelombang
internal di atmosfer, dan akan diselesaikan dengan menggunakan pendekatan
HAM dan VIM.
Metode Analisis Homotopi
Metode analisis homotopi adalah suatu metode pendekatan analitik untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear. Pada bagian ini akan diberikan secara
ringkas konsep dasar dari metode homotopi dalam penyelesaian masalah taklinear
(Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut
(2.31)
di mana
merupakan suatu operator turunan,
merupakan fungsi yang
tidak diketahui serta dan sebagai variabel bebas. Kemudian didefinisikan suatu
operator linear yang memenuhi
, bila

(2.32)

7
Misalkan pula
, dan
fungsi real
berikut

sebagai pendekatan awal dari penyelesaian persamaan
sebagai parameter bantu. Dengan parameter
dan
, didefinisikan suatu fungsi
sebagai

(2.33)
Berdasarkan persamaan (2.33), pada saat

diperoleh
(2.34)

dan pada saat

, persamaan (2.33) menjadi
(2.35)

Berdasarkan persamaan (2.32) dan (2.34) diperoleh
sebagai
. Berdasarkan persamaan (2.31)
penyelesaian dari
dan (2.35) diperoleh persamaan
sebagai penyelesaian dari
. Peningkatan nilai parameter
dari 0 ke 1
merupakan peningkatan dari pendekatan awal
ke penyelesaian eksak
. Dalam kajian topologi, hal ini dikenal dengan deformasi.
, maka
Selanjutnya dengan memisalkan
diperoleh persamaan deformasi orde-nol berikut
(2.36)
Berdasarkan deret Taylor, maka
pangkat terhadap dengan

dapat diekspansi menjadi suatu deret

(2.37)
di mana
(2.38)
Selanjutnya jika kedua ruas pada persamaan (2.36) diturunkan terhadap
hingga kali dan mengevaluasinya pada
kemudian dibagi oleh , maka
diperoleh bentuk persamaan orde ke- berikut
(2.39)
dengan
(2.40)
(2.41)
dan
(2.42)

8
Dengan
diperoleh

pada saat

, maka berdasarkan persamaan (2.37)
(2.43)

Dengan demikian persamaan (2.43) merupakan penyelesaian masalah
taklinear yang diberikan pada persamaan (2.31), di mana
merupakan
diperoleh dari penyelesaian persamaan (2.39) sedangkan
pendekatan awal yang didefinisikan. Hasil ini menunjukkan adanya hubungan
.
dan
antara penyelesaian eksak
dengan pendekatan awal
Metode Iterasi Variasional
Pada bagian ini, diberikan konsep dasar VIM dalam menentukan
penyelesaian hampiran dari suatu masalah taklinear (He 1997; He 1999).
Misalkan diberikan suatu persamaan diferensial berikut
(2.44)
di mana merupakan operator linear,
sebagai suatu operator taklinear,
merupakan fungsi yang didefinisikan dan
merupakan fungsi yang akan
dicari dari persamaan diferensial yang diberikan. Berdasarkan metode iterasi
variasional, dikonstruksi suatu fungsi koreksi yang dinyatakan dalam bentuk
berikut
(2.45)

di mana merupakan pengali Lagrange. Nilai optimal pada faktor koreksi dapat
diidentifikasi melalui teori kalkulus variasional. Suku kedua pada persamaan
(2.45) disebut sebagai koreksi sedangkan indeks
untuk
menyatakan hampiran orde-k. Selanjutnya
merupakan variasi terbatas dan
. Dalam menentukan pengali Lagrange dapat diidentifikasi dengan
(2.46)

Fungsi koreksi mencapai kondisi stasioner, jika memenuhi
(2.47)
Selanjutnya dengan fungsi koreksi dan nilai pengali Lagrange, maka diperoleh
suatu rumus iterasi. Iterasi dapat terus dilakukan untuk memperluas daerah
kekonvergenan. Secara umum, penyelesaian pendekatan VIM dapat dinyatakan
sebagai berikut
(2.48)
Persamaan (2.48) merupakan penyelesaian dari persamaan (2.44).

9

3 METODE
Pada penelitian ini, difokuskan pada penentuan penyelesaian hampiran
persamaan dasar fluida yang menggambarkan perambatan gelombang internal di
atmosfer yang direpresentasikan oleh persamaan (2.27) – (2.30) dengan
menggunakan HAM dan VIM. Implementasi di komputer akan menggunakan
bantuan program komputasi simbolik berbasis fungsional. Berikut langkahlangkah yang akan dilakukan.
1. Metode numerik
Penyelesaian numerik dilakukan dengan menggunakan bantuan program
komputasional simbolik berbasis fungsional. Pada program ini, tersedia package
yang dapat digunakan untuk menyelesaiakn sistem persamaan diferensial parsial
taklinear. Metode yang digunakan berupa metode beda hingga melalui skema
implisit terpusat (centered implicit scheme). Dengan ini didefinisikan parameter,
syarat awal, dan syarat batas. Selanjutnya penyelesaian yang diperoleh,
ditampilkan dalam grafik pada variabel bebas tertentu.
2. Metode analisis homotopi.
a. Analisis metode.
Pada bagian analisis metode, dilakukan perluasan konsep dasar metode
analisis homotopi. Perluasan tersebut berupa penyesuaian jumlah fungsi
dan variabel bebas yang digunakan.
b. Aplikasi metode.
1. Mendefinisikan operator linear dan taklinear berdasarkan persamaan
dasar.
2. Menetapkan pendekatan awal berdasarkan syarat awal pada
penyelesaian numerik.
3. Mendefinisikan fungsi homotopi, fungsi bantu dan parameter bantu.
4. Menentukan penyelesaian deformasi orde tinggi
5. Menyusun algoritma untuk kebutuhan penyusunan program komputasi
metode homotopi.
6. Mengevaluasi penyelesaian hampiran.
3. Metode iterasi variasional.
a. Analisis metode.
Pada bagian analisis metode, dilakukan perluasan konsep dasar metode
iterasi variasional. Perluasan tersebut berupa penyesuaian jumlah fungsi
dan variabel bebas yang digunakan.
b. Aplikasi metode.
1. Mendefinisikan operator taklinear dan operator linear berdasarkan
persamaan dasar.
2. Mengonstruksi fungsi koreksi.
3. Menentukan nilai optimal pengali Lagrange.
4. Menentukan rumus iterasi.
5. Menyusun algoritma untuk kebutuhan penyusunan program komputasi
metode iterasi variasional.
6. Mengevaluasi penyelesaian hampiran VIM.

10
4. Membandingkan hasil penyelesaian persamaan dasar fluida antara
penyelesaian hampiran HAM dan VIM dengan penyelesaian numerik pada
nilai awal dan parameter yang sama, melalui perhitungan galat mutlak dan
visualisasi grafik penyelesaian.

4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Analisis Metode
Metode Analisis Homotopi
Pada penelitian ini, masalah gelombang internal di atmosfer
direpresentasikan dengan sistem PDP taklinear yang terdiri atas tiga fungsi yang
tidak diketahui yaitu
,
dan
. Pada bagian ini akan dibahas
perluasan dari konsep dasar HAM sebagai penyelesaian persamaan (2.27) - (2.30).
Berikut didefinisikan operator turunan taklinear yang dinyatakan dalam bentuk
berikut

(4.1)

dengan
,
dan
masing-masing merupakan operator turunan taklinear,
dan
adalah peubah bebas, sedangkan
dan
merupakan
fungsi yang tidak diketahui. Selanjutnya didefinisikan
,
dan
sebagai
operator linear yang memenuhi
a
a

(4.2)

a
Misalkan pula
,
dan
masing-masing sebagai pendekatan
awal dari penyelesaian persamaan
dan
, fungsi real
, serta parameter bantu
dan
dan
Didefinisikan fungsi
dan
dengan suatu parameter
sebagai
berikut

(4.3)

11

Berdasarkan persamaan (4.3), pada saat
berikut

maka diperoleh persamaan

(4.4)
sedangkan pada saat

diperoleh persamaan berikut

(4.5)

Berdasarkan sifat operator linear pada persamaan (4.2) dan persamaan (4.4),
maka persamaan

(4.6)
masing-masing memberikan penyelesaian berikut
(4.7)

sedangkan berdasarkan persamaan (4.1) dan (4.4), maka persamaan

(4.8)
masing-masing memberikan penyelesaian sebagai berikut
(4.9)

Peningkatan nilai parameter
dan
masing-masing dari

dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai

,

12
ke
(4.10)

ke
ke

Kemudian akan ditentukan penyelesaian
dan
dari
persamaan (4.1) melalui penyelesaian persamaan deformasi orde nol. Misalkan,
(4.11)
berdasarkan persaman (4.3) dan (4.11), maka diperoleh deformasi orde nol berikut

(4.12)

Berdasarkan persamaan (4.12), pada saat pada saat
berikut

diperoleh persamaan

(4.13)
Pada saat

diperoleh persamaan berikut

(4.14)
dan
Karena nilai parameter dari 0 ke 1, maka
masing-masing memetakan pendekatan awal ke penyelesaian eksak yaitu dari,
ke
ke

(4.15)

ke
Dengan menggunakan deret Taylor dari
terhadap diperoleh

dan

(4.16)

13

dengan

(4.17)

Kemudian persamaan (4.12) diturunkan terhadap parameter sebanyak
kali
kemudian dibagi dengan
maka diperoleh persamaan deformasi orde- berikut

(4.18)

di mana

(4.19)

dengan
(4.20)

dan
(4.21)
Penurunan persamaan (4.18) diberikan pada Lampiran 3.

14
Berdasarkan persamaan (4.14) dan (4.16) pada saat

diperoleh

(4.22)

Persamaan (4.22) merupakan penyelesaian masalah taklinear yang
untuk
dan
diberikan pada persamaan (4.1), di mana
diperoleh dari penyelesaian persamaan (4.18) sedangkan
,
dan
masing-masing sebagai pendekatan awal yang didefinisikan.
Metode Iterasi Variasional
Pada bagian ini akan dibahas perluasan dari konsep dasar VIM dalam
menentukan penyelesaian hampiran persamaan (2.27) – (2.30). Berdasarkan
persamaan (2.44) didefinisikan fungsi berikut

(4.23)
Selanjutnya berdasarkan persamaan (2.45)
koreksi berikut

dikonstruksi suatu fungsi

(4.24)

di mana , dan merupakan pengali Lagrange. Indeks untuk
menunjukkan hampiran orde hampiran ke- . Sedangkan
dan

dianggap

15
sebagai variasi terbatas dengan
mencapai kondisi stasioner, jika memenuhi

dan

. Fungsi koreksi

(4.25)

Iterasi dapat terus dilakukan untuk memperluas daerah kekonvergenan.
Secara umum, penyelesaian hampiran VIM dapat ditulis dengan

(4.26)

Persamaan (4.26) merupakan penyelesaian dari persamaan (4.23).

Aplikasi Metode
Tinjau persamaan fluida satu dimensi pada persamaan (2.27) - (2.29) dalam
bentuk berikut

(4.27)

Persamaan (4.27) merupakan representasi matematis untuk menggambarkan
perambatan gelombang internal di atmosfer. Karena bentuknya yang taklinear,
maka model ini sulit diselesaikan secara analitik. Oleh karena itu, dalam
penyelesaian persamaan (4.27) dapat ditentukan melalui metode numerik (NUM).
Dalam penerapan metode numerik ditetapkan syarat awal dan syarat batas untuk
memperoleh penyelesaiannya. Syarat awal yang digunakan, dipilih dalam bentuk
berikut

(4.28)
Selanjutnya syarat batas yang digunakan pada penyelesaian persamaan
(4.27) berupa suatu polinomial yang ditentukan melalui penyelesaian HAM dan
VIM. Penyelesaian persamaan (4.27) secara numerik diselesaikan dengan bantuan

16
program komputasi simbolik. Penyelesaian numerik yang dihasilkan akan
dibandingkan dengan penyelesaian hampiran yang dihasilkan dengan HAM dan
VIM.
Adapun parameter yang digunakan untuk kebutuhan evaluasi di antaranya
parameter Coriolis
yang bergantung pada kecepatan sudut rotasi
bumi
dan
. Parameter lain adalah ketinggian yang
diakibatkan oleh perubahan tekanan horizontal arah yang dirumuskan dengan
di mana
sebagai kecepatan arus geostropik yang
bernilai konstan. Selanjutnya terdapat pula konstanta percepatan gravitasi
Aplikasi Metode Analisis Homotopi
Pada bagian ini, HAM akan diimplementasikan untuk menentukan
penyelesaian hampiran sistem PDP taklinear pada persamaan (4.27). Berdasarkan
persamaan (4.27) dan perluasan konsep HAM pada analisis metode yang telah
diuraikan, didefinisikan operator linear sebagai berikut

(4.29)

dan operator taklinear sebagai berikut

(4.30)

Berdasarkan operator linear persamaan (4.29) dan deformasi ordepersamaan (4.18) diperoleh

pada

(4.31)

17

Penurunan persamaan (4.31) dapat dilihat pada Lampiran 4.
dari

Berdasarkan operator taklinear
dan
yaitu

,

dan

diperoleh bentuk umum

(4.32)

Penurunan persamaan (4.32) dapat dilihat pada Lampiran 5
Penerapan HAM pada penyelesaian persamaan (4.27), melibatkan proses
perhitungan yang rekursif. Berikut langkah-langkah penggunaan HAM dalam
menentukan penyelesaian hampiran persamaan (4.27) .
1. Penyelesaian awal dipilih berdasarkan persamaan (4.28) sebagai syarat awal
yang digunakan pada penentuan penyelesaian numerik.
2. Nilai dari
,
dan
, untuk
ditentukan
berdasarkan persamaan (4.32).
ditentukan berdasarkan
dan
3. Untuk
, nilai dari
dapat
dan
persamaan (4.31). Secara umum, nilai
ditentukan berdasarkan persamaan (4.21) dan (4.32) yang disubstitusikan pada
persamaan (4.31) di mana parameter bantu
dan
dapat dipilih
sembarang, sebagai penyederhanaan dapat dipilih
.
Langkah (2) dan (3) diulangi untuk
.
4. Penyelesaian hampiran ditentukan melalui penyelesaian deret berdasarkan
persamaan (4.22) dengan menggunakan hasil yang diperoleh pada langkah (3).

18
5. Evaluasi penyelesaian hampiran untuk nilai dan yang kontinu melalui
penyelesaian deret yang diperoleh pada langkah 4. Penentuan orde hampiran
HAM bergantung pada kemampuan program komputasi yang digunakan.
Aplikasi Metode Iterasi Variasional
Pada bagian ini, VIM digunakan untuk menentukan penyelesaian
hampiran pada penyelesaian persamaan (4.27) , dengan pendekatan awal yang
diberikan pada persamaan (4.28). Berdasarkan persamaan (4.27) dan (4.24) dapat
dikonstruksi fungsi koreksi sebagai berikut

(4.33)

di mana
dan
merupakan pengali Lagrange. Persamaan (4.33) dapat
ditulis kembali dengan menetapkan variasi terhadap variabel bebas
dan
dalam bentuk berikut

(4.34)

dengan
dari persamaan berikut

dan

maka pengali lagrange dapat ditentukan

(4.35)

19
Persamaan (4.35) memberikan kondisi stasioner berikut
(4.36)

sehingga diperoleh nilai optimal dari pengali Langrange

dan

berikut
(4.37)

Substitusi pengali Lagrange persamaan (4.37) pada fungsi koreksi persamaan
(4.33), maka diperoleh rumus iterasi sebagai berikut

(4.38)

Penerapan VIM pada penyelesaian persamaan (4.27), melibatkan proses
perhitungan yang berulang. Berikut langkah-langkah penggunaan VIM dalam
menentukan penyelesaian hampiran persamaan (4.27) .
1. Penyelesaian awal dipilih berdasarkan persamaan (4.28) sebagai syarat awal
yang digunakan pada penentuan penyelesaian numerik dan HAM.
ditentukan berdasarkan
dan
2. Untuk
, nilai dari
penyelesaian awal persamaan (4.28) yang disubstitusi pada persamaan (4.38).
dan
Secara umum, untuk
nilai
dapat ditentukan berdasarkan persamaan (4.38).
3. Penyelesaian hampiran VIM diperoleh berdasarkan persamaan (4.26) berupa
fungsi yang bergantung pada dan .

4. Penyelesaian hampiran VIM dievaluasi pada nilai
berdasarkan fungsi yang diperoleh pada langkah (3).

dan

tertentu

Hasil
Pada aplikasi HAM, penyelesaian deformasi orde tinggi ditentukan
berdasarkan persamaan (4.31). Penyelesaian deformasi orde tinggi yang diperoleh
merupakan basis dalam menentukan penyelesaian deret. Hasil penyelesaian deret
berupa fungsi yang bergantung pada nilai dan . Pada bagian ini, penyelesaian
deret yang diperoleh dievalusi pada nilai dan tertentu untuk menentukan

20
penyelesaian hampiran dari HAM. Penyelesaian hampiran yang diperoleh
dibandingkan dengan penyelesaian numeriknya melalui perhitungan galat mutlak
dan visualisai grafik penyelesaian.
Berdasarkan pendekatan awal pada persamaan (4.28) dan parameterparameter yang diberikan, diperoleh penyelesaian deformasi orde tinggi berikut

Dengan menggunakan bantuan program komputasi simbolik, penyelesaian
deformasi orde yang lebih tinggi di atas dapat dilanjutkan hingga
Berdasarkan penyelesaian deformasi orde tinggi, diperoleh penyelesaian HAM
yang dapat dinyatakan dalam bentuk berikut

Selanjutnya dengan memilih parameter bantu
diperoleh galat
mutlak antara penyelesaian numerik dengan hampiran HAM yang dievaluasi
pada saat
dan
.
Tabel 1 Galat mutlak antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian hampiran
HAM pada saat
dan

0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

0
2.74E-03
6.26E-03
2.60E-03
2.96E-03
3.69E-02
1.06E-03
8.26E-02
2.71E-05
6.28E-03
7.55E-03

6E-11
1.20E-03
1.09E-03
6.70E-04
2.28E-04
2.54E-04
9.15E-05
4.45E-04
6.86E-04
5.18E-04
2.13E-04

1.9E-11
1.22E-04
1.51E-04
8.95E-05
5.46E-04
6.87E-05
1.14E-03
1.00E-03
2.19E-06
7.22E-04
7.86E-04

21
Berikut diberikan pula perbandingan antara penyelesaian numerik dengan
penyelesaian hampiran HAM yang dievaluasi pada
dan
melalui perhitungan galat mutlak.
Tabel 2 Galat mutlak antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian hampiran
HAM pada
dan

0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15

8.44E-15
3.68E-03
5.89E-03
6.71E-03
6.22E-03
4.53E-03
1.77E-03
1.92E-03
6.38E-03
1.14E-02
1.68E-02
2.24E-02
2.79E-02
3.29E-02
3.73E-02
4.06E-02

9.44E-16
1.90E-04
3.37E-04
4.31E-04
4.60E-04
4.14E-04
2.81E-04
5.35E-05
2.80E-04
7.26E-04
1.29E-03
1.99E-03
2.82E-03
3.80E-03
4.91E-03
6.18E-03

6.94E-17
4.22E-04
6.91E-04
8.12E-04
7.91E-04
6.39E-04
3.64E-04
1.93E-05
4.97E-04
1.05E-03
1.67E-03
2.31E-03
2.97E-03
3.62E-03
4.21E-03
4.72E-03

Berdasarkan Tabel 1 dan Tabel 2, diperoleh bahwa pada metode analisis
homotopi, penyelesaian hampiran memiliki galat mutlak yang kecil terhadap
penyelesaian numerik yang dievaluasi pada nilai veriabel bebas tertentu.
Penyelesaian hampiran pada kasus ini juga dapat ditinjau melalui visualisasi
grafik penyelesaian. Berikut perbandingan antara grafik penyelesaian hampiran
HAM dengan penyelesaian metode numerik yang dievaluasi pada saat
dan
.

Gambar 2 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran HAM pada
saat
dan
untuk

22

Gambar 3 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran HAM pada
saat
dan
untuk

Gambar 4 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran HAM pada
saat
dan
untuk
Gambar 2, Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan perbandingan antara
penyelesaian numerik dengan penyelesaian hampiran HAM memiliki galat mutlak
yang sangat kecil.
Berikut visualisasi grafik perbandingan antara penyelesaian hampiran HAM
dengan penyelesaian metode numerik yang dievaluasi pada
dan
.

23

Gambar 5 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran HAM pada
dan
Gambar 5 menunjukkan perbandingan antara penyelesaian numerik dengan
penyelesaian hampiran HAM memiliki galat mutlak yang sangat kecil.
Pada aplikasi VIM, diperoleh penyelesaian hampiran berupa fungsi yang
bergantung pada nilai dan . Sebagai kebutuhan simulasi, penyelesaian awal dan
parameter-parameter yang digunakan disesuaikan dengan metode numerik dan
HAM. Berdasarkan pemilihan nilai awal persamaan (4.28) dan rumus iterasi
(4.38) diperoleh

Dengan menggunakan bantuan program komputasi simbolik, iterasi dapat
dilanjutkan hingga
. Berikut diberikan galat mutlak antara penyelesaian
hampiran VIM dengan penyelesaian dengan metode numerik yang dievaluasi pada
dan pada daerah
.

24
Tabel 3
.
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1

Galat mutlak antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian
hampiran VIM pada saat
dan
3E-11
4.08E-03
4.19E-03
4.19E-03
5.85E-03
1.27E-02
8.95E-03
9.03E-03
2.86E-02
3.23E-03
5.56E-03

3 E-11
4.22E-04
6.91E-04
5.67E-04
2.63E-04
1.13E-04
1.09E-04
2.34E-04
4.89E-04
4.60E-04
2.72 E-04

1.1E-11
2.18E-04
1.14E-04
2.79E-04
5.81E-04
2.31E-05
8.32E-04
9.38E-04
2.96E-04
3.52E-04
5.58E-04

Berikut diberikan pula galat mutlak antara penyelesaian hampiran VIM
dengan penyelesaian metode numerik yang dievaluasi pada saat
dan
.
Tabel 4

0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
0.11
0.12
0.13
0.14
0.15

Galat mutlak antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian
hampiran VIM pada
dan
8.44E-15
3.68E-03
5.89E-03
6.71E-03
6.26E-03
4.64E-03
2.02E-03
1.46E-03
5.57E-03
1.01E-02
1.48E-02
1.95E-02
2.37E-02
2.71E-02
2.95E-02
3.02E-02

9.44E-16
1.89E-04
3.33E-04
4.23E-04
4.45E-04
3.89E-04
2.44E-04
8.20E-08
3.52E-04
8.20E-04
1.41E-03
2.13E-03
2.99E-03
3.98E-03
5.12E-03
6.38E-03

6.94E-17
4.22E-04
6.90E-04
8.12E-04
7.94E-04
6.48E-04
3.87E-04
4.12E-04
9.09E-04
9.09E-04
1.44E-03
1.97E-03
2.46E-03
2.88E-03
3.19E-03
3.34E-03

Berdasarkan Tabel 3 dan Tabel 4 diperoleh bahwa VIM memberikan
penyelesaian hampiran dengan galat yang sangat kecil. Berikut diberikan pula
visualisasi grafik penyelesaian yang membandingkan penyelesaian numerik
dengan hampiran VIM yang dievaluasi pada saat
dan
.

25

Gambar 6 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran VIM pada
saat
dan
untuk

Gambar 7 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran VIM pada
saat
dan
untuk

Gambar 8 Perbandingan antara penyelesaian numerik
dengan penyelesaian hampiran VIM pada saat
dan
untuk

26
Gambar 6, Gambar 7 dan Gambar 8, menunjukkan bahwa perbandinagn
antara penyelesaian numerik dengan penyelesaian hampiran VIM memiliki galat
mutlak yang kecil.
Berikut diberikan visualisassi grafik penggabungan penyelesaian numerik,
penyelesaian hampiran HAM dan VIM yang dievaluasi pada saat
dan
.

Gambar 9 Perbandingan antara penyelesaian numerik,
penyelesaian hampiran HAM dan VIM pada
saat
dan
Berikut diberikan pula visualisassi grafik penggabungan penyelesaian
numerik, penyelesaian hampiran HAM dan VIM yang dievaluasi pada
dan
.

Gambar 10 Perbandingan antara penyelesaian numerik,
penyelesaian hampiran HAM dan VIM pada
dan
Gambar 9 dan Gambar 10 menunjukkan bahwa penyelesaian hampiran
HAM dan VIM memiliki galat mutlak yang kecil terhadap penyelesaian
numeriknya.

27
Selanjutnya Gambar 11 menunujukkan grafik 2D dari penyelesaian numerik
yang dievaluasi pada
dan
.

a.

b.

Gambar 11 Grafik penyelesaian numerik 2D pada

c.

dan

Gambar 11a menunjukkan bahwa kecepatan arah horizontal-x berubah
terhadap waktu. Semakin bertambah waktu, berakibat pada semakin tingginya
kecepatan maksimal fluida. Selain itu, kecepatan maksimal dari waktu ke waktu
mengalami perubahan posisi. Gambar 11b menunjukkan bahwa perubahan
kecepatan maksimal fluida arah horizontal-y relatif tidak berubah terhadap
perubahan waktu. Kecepatan maksimal dari waktu ke waktu hanya mengalami
perubahan posisi dalam arah horizontal-x.
Selanjutnya grafik penyelesaian pada Gambar 11c menunjukkan perubahan
ketinggian maksimal atau titik puncak fluida terhadap perubahan waktu. Semakin
bertambah waktu, berakibat pada semakin berkurangnya ketinggian maksimal
fluida. Selain itu, ketinggian maksimal fluida dari waktu ke waktu juga
mengalami perubahan posisi.

5 SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Masalah gelombang internal di atmosfer dapat digambarkan melalui
persamaan dasar fluida. Representasi matematis dari persamaan dasar fluida
berupa sistem persamaan diferensial parsial taklinear yang sulit diselesaikan
secara analitik. HAM dan VIM dapat diterapkan dalam menentukan penyelesaian
hampiran pada masalah tersebut. Penggunaan HAM dan VIM pada penyelesaian
persamaan dasar fluida efisien dan sederhana, karena hanya melibatkan
perhitungan yang sederhana dengan memanfaatkan integral biasa.

28
Penggunaan HAM dalam menyelesaikan persamaan dasar fluida diperlukan
suatu operator linear dan taklinear. Berdasarkan bentuk operator linear dan
taklinear, diperoleh persamaan deformasi orde tinggi. Penyelesaian hampiran
HAM ditentukan melalui penyelesaian deret. Suku-suku pada deret dihasilkan dari
penyelesaian deformasi orde nol dan deformasi orde tinggi. Kekonvergenan
penyelesaian hampiran terhadap penyelesaian numerik dapat dikontrol melalui
pemilihan parameter bantu. Penerapan VIM dalam menyelesaikan persamaan
dasar fluida dilakukan dengan mengonstruksi fungsi koreksi dan menentukan nilai
pengali Lagrange yang optimal. Berdasarkan fungsi koreksi dan pengali Lagrange,
diperoleh rumus iterasi yang dapat memberikan penyelesaian hampiran.
Penyelesaian persamaan dasar fluida yang menggambarkan perambatan
gelombang internal di atmosfer menunjukkan bahwa kecepatan maksimal fluida
dalam arah horizontal-x mengalami perubahan nilai dan perubahan posisi terhadap
perubahan waktu. Selanjutnya, kecepatan maksimal fluida dalam arah horizontal-y
relatif tidak berubah dan hanya megalami perubahan posisi terhadap perubahan
waktu. Sedangkan titik puncak fluida mengalami penurunan dan perubahan posisi
terhadap perubahan waktu.

Saran
Pada penelitian ini hanya difokuskan pada penentuan penyelesaian hampiran
sistem PDP taklinear satu dimensi. Dengan ini disarankan perlunya dilakukan
penentuan penyelesaian untuk dua dimensi. Selanjutnya untuk kebutuhan validasi
model, perlu dilakukan pengembangan simulasi numerik dengan melibatkan datadata meteorologi yang tepat. Penerapan HAM dan VIM pada penyelesaian
masalah taklinear efisien. Dengan ini disarankan pula untuk dapat menerapkan
HAM dan VIM dalam berbagai model matematis dari fenomena alam lainnya.

DAFTAR PUSTAKA
Alomari AK, Noorani MS, Roslinda MN. 2008. Approximate analytical solutions
of the Klein-Gordon equation by means of the homotopy analysis method.
JQMA. 4(1):45-57.
Anderson JD, 1995. Computational Fluid Dynamics The Basics with Aplication .
New York (US). McGraw-Hill, Inc.
Blaise S, St-Cyr A. 2012. A dynamic hp-Adaptive discontinuous Galerkin method
for shallow-water flows on the sphere with application to a global tsunami
simulation. Mont Wea Rev. 140:978-996.
Clancy C, Lynch P. 2011. Laplace transform integration of the shallow-water
equations: Eulerian formulation and Kelvin wave. Quart J Roy Meteor Soc.
137 (656):792-799.
Cassady BP. 2010. Numerical simulation of atmospheric internal waves with
time-dependent critical levels and turning points. Provo (US). Brigham Young
University.

29
Duba CT, McKenzie JF. 2012. Propagation properties of Rosby waves for
latitudinal β-plane variations off and zonal variations of the shallow water
speed. Ann. Geophys. 30:849-855.
Duangpithak S, Torvattanabun M. 2012. Variational iteration method for solving
nonlinear reaction-diffusion-convection poblems. AMS. 6(17): 843 – 849.
Jafar H, Yazdan A, Vah d J, Gan DD. 2008. Appl cat on of He’s Var at onal
Iteration Method for solving seventh order Sawada-Kotera Equations. Applied
Mathematical Science. 2(10):471-477.
He JH. 1997. A new approach to nonlinear partial equations. CNSNS. 2(4):230235.
He JH. 1999. Variational iteration method a kind of nonlinear analytical
tekhnique some examples. IJNLM. 34:699-708.
Hemida KM, Mohamed MS. 2010. Numerical simulation of the generalized
Huxley equation by homotopy analysis method. JAFA. 5(4): 334-350.
Jaharuddin. 2014. A single species population model in polluted environment
solved by homotopy analysis method. AMS. 8(20):951-961.
Jiaqi M, Wantao L, Hai W. 2009. A class of homotopic solving method for ENSO
model. Acta Mathematica Scientis. 29B(1):101-110.
Liao SJ. 1992. The proposed homotopy analysis technique for the solution of
nonlinear problem. Ph.D thesis, Sanghai Jiao Tong University.
Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to The Homotopy Analysis
Method. New York (US) . A CRC Press Company.
Matinfar M, Fereidoon A, Aliasghartoyeh A, Ghanbari M. 2009. Variational
iteration method for solving nonlinear WBK equations. IJNS. 8(4):419-423.
Miansari MO, Miansari ME, Barari A, Ganji DD. 2009. Applcat on of He’s
variatio