Asumsi Pertama Asumsi Kedua

42 kejadian B adalah expected return investor, menggunakan persamaan Bayes dapat diperoleh: π Er Er | π π | Er P P P P  2. 37 dengan, : Er : vektor expected return investor ukuran × � : return ekuilibrium CAPM dengan asumsi-asumsi sebagai berikut Subekti, 2008 :

a. Asumsi Pertama

Diasumikan bahwa keyakinan prior Er dinyatakan sebagai PEr, yang mempunyai bentuk kendala linear dari vektor expected return Er dan ditulis dengan matriks � berukuran × sehingga: �� = � + 2. 38 Notasi V adalah vektor k x 1 dari views return yang diberikan investor, sedangkan adalah vektor error k x 1 yang menandakan adanya views yang masih belum pasti. Persamaan 2.38 dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut: [ � � � � … � … � � � ⋱ … � ] [ � � � ]=[ � � � ] + [ ] Diasumsikan q berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi �, dinotasikan q~N0, �, � adalah matriks kovarians × , sehingga : 43 Ω , V ~ Er P N 2. 39

b. Asumsi Kedua

Data return ekuilibrium � dengan syarat informasi prior diasumsikan berdistribusi normal multivariat dengan mean � dan varians � Σ , sehingga dapat dinyatakan: , N ~ | Σ Er Er π  2. 40 dengan E π=Er, artinya terdapat asumsi bahwa mean return ekuilibrium sama dengan mean return pasar yang diperoleh melalui CAPM. Sedangkan nilai � adalah suatu angka yang diberikan investor untuk menyatakan keyakinan dalam pandangannya. Kebanyakan peneliti menggunakan nilai � yang berbeda. Stachell Scowcroft 2000 menentukan nilai � sama dengan 1, sedangkan He Litterman 1999 menggunakan nilai � yaitu 0,025. Nilai � tergantung dari tingkat keyakinan investor terhadap views, sehingga nilai untuk � berkisar antara 0 sampai 1. 5. Kombinasi Return Ekuilibrium dan Views Investor Asumsi 1: PEr berdistribusi normal multivariat dengan mean � dan varians � dinotasikan Ω , V ~ PEr N , sehingga fungsi probabilitasnya adalah:          V PEr Ω V Er P 2 1 exp Ω det π 2 1 Er fP 1 2. 41 44 Asumsi 2: Er π | berdistribusi normal multivariat dengan mean π dan varians-kovarians matriks   dinotasikan , r N ~ Σ E Er | π  , sehingga fungsi probabilitasnya:       Er - π Σ Er - π 2 1 exp Σ det π 2 1 Er | f π 1   2. 42 Teorema Bayes dalam konteks ini dapat dinyatakan sebagai: π Er Er | π π | Er P P P P  atau dapat dinyatakan sesuai dengan persamaan 2.36 sebagai berikut : P | π Er ∞ ��|� � � Fungsi peluang 2.41 dan 2.42 disubstitusikan pada rumus 2.36 sehingga diperoleh:                  V PEr Ω V PEr 2 1 exp Ω det π 2 1 . Er π Σ Er π 2 1 exp Σ det π 2 1 π | Er 1 1   P Dengan menghilangkan semua konstanta, maka yang tersisa adalah:              V PEr Ω V PEr 2 1 Er π Σ Er π 2 1 exp π | r E 1 1  P       2 1 exp π | Er P sehingga, � = � − � ′ �Ʃ − � − � + �� − � ′ � − �� − � 45 = � ′ �Ʃ − � − � ′ �Ʃ − � − �′ �Ʃ − � + � ′ �Ʃ − � + �� ′ � − �� − �′� − �� − �� ′� − � + �′� − � = � ′ �Ʃ − � − � ′ �Ʃ − � − �′ �Ʃ − � + � ′ �Ʃ − � + � ′ �′� − �� − �′� − �� − � ′�′� − � + �′� − � = � ′ [ �Ʃ − + � ′ � − �]� + � ′ �Ʃ − � − � ′ �Ʃ − � − �′ �Ʃ − � − �′� − �� − � ′�′� − � + �′� − � = � ′ [ �Ʃ − + � ′ � − �]� − [ �Ʃ − �′ + �� − �′]� + � ′ �Ʃ − � + �′� − � Misal, A = � ∑ − � + �′ � − � , B = P Ω P Σ 1 1     , dimana B simetris dengan B sehingga B = B C = . V Ω V π Σ π 1 1     Menggunakan notasi di atas, maka dapat ditulis kembali mejadi: = � ′ � − ′ � + = � ′ ′ − � − ′ − � + = � ′ ′ − � − ′ − � − ′ − � + + ′ − − ′ − = � ′ ′ − � − � ′ ′ − − ′ − � + ′ − + − ′ − = [� ′ ′ − � − − ′ − � − ] + − ′ − = [� ′ ′ − − ′ − ][ � − ] + − ′ − Dengan demikian − ′ − akan menjadi konstanta sehingga, 46 = [� ′ ′ − − ′ − ][ � − ] = [� ′ ′ − − ′ − ] − [ � − ] = [� ′ ′ − − ′ − ][ − � − − ] = [� ′ ′ − ′ ][ � − − ] = [� ′ ′ − − − ′ ][ � − − ] = [� ′ ′ − − − ′ ] [ � − − ] = [� ′ − − − ′ ] [ � − − ] = [� ′ − − ′ ] [ � − − ] = [� − − ′ ] [ � − − ] Sehingga diperoleh: ] A B Er B B Er 2 1 exp[ π | Er 1 1       A P Maka mean posteriornya − dan varian posteriornya adalah − . ] V Ω P π Σ [ ] P Ω P Σ [ A B 1 1 1 1 1 1            1 1 1 1 ] P Ω P Σ [ B        Jadi distribusi return kombinasi yang baru � |� sebagai distribusi posterior berdistribusi normal ] [ ], [ ] [ N ~ 1 1 1 1 1 1 1 1            P Ω P Σ q Ω P π Σ P Ω P Σ π | Er    Selanjutnya, = [ � ∑ − + � ′ Ω − �] − [ � ∑ − � + � ′ Ω − �] = [ � ∑ − + � ′ Ω − �] − � ∑ − � ∑ [ � ∑ − � + � ′ Ω − �] 47 = [ � ∑ − + � ′ Ω − � − � ∑ − ] [ � ∑ � ∑ − � + � ∑ � ′ Ω − �] = [ � ∑ � ∑ − + � ′ Ω − �] − [� + � ∑ � ′ Ω − �] = [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [� + � ∑ � ′ Ω − � + � ∑ � ′ Ω − �� − � ∑ P′Ω − ��] = [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [� + � ∑ � ′ Ω − �� + � ∑ � ′ Ω − � − � ∑ P′Ω − ��] = [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [ � + � ∑ � ′ Ω − � � + � ∑ � ′ Ω − � − �� ] = � + [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [ � ∑ � ′ Ω − � − �� ] = � + [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [ � ∑ � ′ Ω − Ω + �� ∑ �′ Ω + �� ∑ �′ − � − �� ] = � + [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [ � ∑ � ′ Ω − Ω + �� ∑ �′ ][ Ω + �� ∑ �′ − � − �� ] = � + [� + � ∑ � ′ Ω − �] − [ � ∑ � ′ + � ∑ P′Ω − �� ∑ � ′ [ Ω + �� ∑ �′ − � − �� ] = � + [ � + � ∑ � , Ω − � − �+ � ∑ P′Ω − ] � ∑ � ′ [ Ω + �� ∑ �′ − � − �� ] = � + � ∑ � ′ Ω + �� ∑ �′ − � − �� Sehingga, expected return Black Litterman dapat dirumuskan sebagai berikut: � = � � = � + � ∑ � ′ Ω + �� ∑ �′ − � − �� 2. 43 48 dengan, Er BL : expected return model Black Litterman π : vektor k x 1 untuk return ekuilibrium CAPM � : skala tingkat keyakinan dalam views range 0-1 Ʃ : matriks varians kovarians return Ω : matriks diagonal kovarians dari views P : matriks k x n untuk views yang berkaitan dengan return V : vektor k x 1 untuk views return yang diberikan investor Merujuk kembali pada model mean varian Markowitz pada persamaan 2.24 yaitu meminimumkan risiko untuk tingkat return tertentu. Kendala yang pertama adalah total bobot yang diinvestasikan di masing-masing sekuritas untuk seluruh n sekuritas adalah sama dengan 1 atau data yang diinvestasikan seluruhnya berjumlah 100. Misalnya adalah bobot sekuritas ke- yang diinvestasikan didalam portofolio yang terdiri dari sekuritas, maka kendala pertama ini dapat dituliskan sebagai: ∑ = = Kendala yang kedua adalah bobot dari masing-masing sekuritas tidak boleh bernilai negatif, artinya tidak diijinkan adanya short sale, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut: 49 ≥ , untuk = 1 sampai dengan Kendala yang ketiga adalah jumlah expected return Black-Litterman � � masing-masing sekuritas dengan masing-masing bobot saham . Kemudian akan dimodivikasi mean varian Markowitz dengan tujuan tidak terjadinya short sale yaitu dibatasinya return minimal yang diinginkan oleh investor � atau dapat ditulis sebagai berikut: ∑ � � = ≥ � Dengan demikian, model penyelesaian optimasi ini dapat ditulis sebagai berikut: Fungsi Tujuan: Meminimumkan ∑ � + ∑ ∑ � = = = dengan kendala: 1. ∑ = = 2. ≥ , untuk = 1 sampai dengan 3. ∑ � � = ≥ � 50

BAB III PEMBAHASAN