AdMathEdu
ISSN: 2088-687X
25
BINARY CUCKOO SEARCH UNTUK OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN
KENDALA CARDINALITY
Lilik Muzdalifah
Program Studi Matematika FMIPA Universitas PGRI Ronggolawe Tuban
Jl. Manunggal No. 61 Tuban
moezdalif_ah@yahoo.co.id
ABSTRAK
Cuckoo Search merupakan salah satu metode optimasi metaheuristik yang terinspirasi dari
tingkah laku burung Cuckoo. Algoritma Cuckoo Search pertama kali dikembangkan oleh Yang dan
Deb pada tahun 2009. Pada dasarnya algoritma ini dikembangkan untuk menyelesaikan masalah
optimasi yang hanya melibatkan variabel kontinu (real). Akan tetapi, pada kenyataannya banyak
masalah optimasi yang melibatkan tidak hanya variabel real, teapi juga variabel diskrit, bulat, dan
biner. Masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality, yaitu permasalahan membentuk
komposisi dari berbagai aset dalam portofolio sehingga didapatkan hasil yang optimal dengan cara
memilih aset dari aset yang tersedia. Masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality
melibatkan variabel real dan biner (0-1). Pada variabel biner, nol artinya aset tersebut tidak dipilih
sedangkan satu artinya aset tersebut dipilih untuk dimasukkan ke dalam portofolio. Pada penelitian
ini penulis memodifikasi algoritma Cuckoo Search sehingga mampu mengatasi masalah optimasi
yang melibatkan variabel real dan biner, yang selanjutnya disebut algoritma Binary Cuckoo Search.
Kemudian algoritma tersebut diterapkan pada masalah meminimumkan risiko (Minrisk) dan
memaksimumkan return (Maxret) dengan memilih 20 saham dari 31 saham Hangseng. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa Binary Cuckoo Search merupakan algoritma yang handal untuk
mengatasi masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality.
Kata Kunci: algoritma cockoosearch, binary cuckoo search, optimasi portofolio, cardinality
ABSTRACT
Cuckoo Search is one of metaheuristic optimization method that inspired by the behavior
of Cuckoo Bird. Cuckoo Search algorithm is developed by Yang and Deb, Firstly at 2009.
Basically, this algorithm is developed to solve optimization problem that just include continue
variable (real). However, in fact there are many optimization problems not only includes real
variable but also discrete, integer, and binary variable. Portfolio optimization problem with
cardinality constraint is a problem to set some assets composition in portfolio such that gained
optimal solution, by choosing assets from available assets. Portfolio optimization problem with
cardinality constraint include real and binary (0-1) variables. In binary, zero means the asset is not
chosen and one means the asset is chosen to be portfolio input. In this paper, the researcher modify
Cuckoo Search algorithm such that is able to handle optimization problem with real and binary
variable, called Binary Cuckoo Search Algorithm. Hereafter, that algorithm is applied to risk
minimization and return maximization problem by choosing 20 assets from 31 Hangseng assets.
This paper result shows that Binary Cuckoo Search is reliable algorithm to handle portfolio
optimization problem with cardinality constraint.
Key Words: cuckoo search algorithm, binary cuckoo search, portfolio optimization, cardinality
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
26
ISSN: 2088-687X
Pendahuluan
Cuckoo Search merupakan salah
satu
metode
metaheuristik.
Cuckoo
Search terinspirasi dari perilaku unik
burung Cuckoo. Yang dan Deb (2009)
pertama kali mengembangkan metode ini
dengan menggunakan asumsi:
a.
Setiap
burung
Cuckoo
hanya
meletakkan satu telur pada satu
waktu
dan
meletakkannya
pada
sarang burung lain yang dipilih
secara acak.
b.
Sarang
terbaik
dengan
telur
berkualitas tinggi (solusi), akan lolos
Gambar 1. Algoritma Cuckoo Search
menuju generasi selanjutnya.
c.
Banyaknya sarang yang tersedia
Algoritma
tersebut
tetap, dan peluang telur burung
dikombinasikan dengan Lévy Flight,
Cuckoo ditemukan oleh burung yang
yaitu random walk dengan langkah acak
menjadi sasaran parasitnya adalah
yang berdistribusi Lévy. Solusi baru
∈ 0,1 . Jika telur burung Cuckoo
ditemukan, maka burung pemilik
+1
,
+1
=
dibangkitkan
⊕ é
+
�
(1)
> 0 adalah panjang langkah
dimana
Dalam hal ini, telur pada sarang
cuckoo ,
dengan Lévy Flight,
sarang akan meninggalkan sarangnya
dan membuat sarang baru.
untuk
yang
berkaitan
dengan
skala
burung yang menjadi sasaran parasit
permasalahan (bisa digunakan
burung Cuckoo merepresentasikan suatu
dan ⊕ merupakan perkalian entrywise.
solusi.
Telur
burung
Cuckoo
yang
berkualitas tinggi kemudian akan menjadi
solusi baru, yang akan menggantikan
= 1)
Dalam masalah ini digunakan panjang
langkah,
, yang mengikuti algoritma
mantegna,
solusi yang kurang baik dalam sarang
=
, 0<
1/
2
(2)
tersebut.
Algoritma
dasar
dari
Cuckoo
Searchdisajikan seperti pada gambar 1
(Yang 2010, Yang dan Deb 2009).
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
~
=
0,
,
Γ 1+
Γ 1+
~
0,
/2
/2
2 −1 /2
=1
(3)
1/
(4)
(5)
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
27
persamaan
masalahmeminimumkan risiko (Minrisk)
stokastik untuk random walk. Random
dengan diberikan target return sebesar
walk dengan Lévy Flighttelah terbukti
, masalah tersebut dirumuskan sebagai
Persamaan
(1)
adalah
efisien dalam mengeksplorasi daerah
berikut
Portofolio merupakan kumpulan
Kendala
�
investasi yang dimiliki oleh institusi atau
perorangan.
Masing-masing
�
Min � =
pencarian solusi (Yang dan Deb 2009).
investasi
(6)
=
�
memiliki imbal hasil (return) dan risiko
yang
berbeda.
portofolio
Masalah
merupakan
optimasi
= 1, 2, … ,
permasalahan
∈ 0,1
membentuk komposisi dari berbagai aset
=
=1
dalam portofolio sehingga didapatkan
hasil yang optimal. Markowitz (1952)
telah mengembangkan teori portofolio
modern
yang
melibatkan
masalah
memaksimumkan return (Maxret) dan
Sedangkan
masalah
berani diterima sebesar � , dirumuskan
sebagai berikut
=−
Min
Kendala
portofolio disebut sebagai portofolio
jika
portofolio
tersebut
�
menghasilkan return maksimum dengan
risiko tertentu atau menghasilkan risiko
banyaknya
investor
jenis
portofolionya.
Mereka
dalam
melakukan
investasi hanya pada sejumlah
dilakukan pemilihan kombinasi
aset
yang membentuk portofolio optimal.
Masalah inilah yang disebut sebagai
kendala
optimasi
portofolio
cardinality.
dimana� dan
�
=�
=
secara berturut-turut
adalah risiko dan return yang didapatkan.
1
aset dari
aset yang tersedia. Sehingga perlu
masalah
=1
membatasi
aset
=1
(7)
∈ 0,1
Untuk keperluan monitoring dan
para
�
= 1, 2, … ,
minimum dengan target return tertentu.
kontrol,
memaksimumkan
return (Maxret) dengan risiko yang
meminimumkan risiko (Minrisk). Suatu
efisien
=1
=
2
⋮
adalah proporsi
investasimasing-masing aset (
∈
dengan
Untuk
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
28
ISSN: 2088-687X
12 …
11
0,1 )dan =
⋮
2
⋮ ⋱
2…
1
Masalah (6)/(8)
1
22 …
21
merupakan
⋮
modifikasi
merupakan mean return
⋮
yang
( ). Pada penelitian ini akan dilakukan
1
=
optimasi
melibatkan variabel real ( ) dan biner
adalah matriks variansi-kovariansi.
2
masalah
dan (7)/(9)
pada
Cuckoo
algoritma
Search (Gambar 1) sehingga algoritma
tersebut
dari masing-masing aset. Sedangkan
1
= 1 adalah matriks satuan.
⋮
1
mampu
mengatasi
masalah
optimasi yang melibatkan variabel real
dan biner, selanjutnya disebut algoritma
dan
Binary
Cuckoo
algoritma
merupakan batas bawah dan batas
∈ 0,1
atas proporsi investasi dan
Search.
tersebut
Kemudian
diterapkan
pada
masalah (8) dan (9) dengan memilih 20
saham dari 31 saham Hangseng.
adalah variabel biner yang menyatakan
suatu aset dipilih atau tidak untuk
Metode Penelitian
dimasukkan ke dalam portofolio.
Masalah
(6)
dan
Tujuan utama dari penelitian ini
(7)
dapat
diselesaikan dengan cara mengubahnya
menjadi masalah optimasi tanpa kendala,
yaitu
dengan
penalti.
menggunakan
Fungsi
penalti
fungsi
yang
akan
diminimumkan menjadi
�=
�
=−
dimana
�
+
+
�
�
−
�
+
−
�
2
+
�
−1
2
−1
�
�
adalah untuk menyelesaikan masalah
optimasi
portofolio
cardinality
Binary
dengan
menggunakan
Cuckoo
Search.
kendala
algortma
Data
yang
digunakan adalah 31 saham Hangseng,
kemudian
dipilih
20
saham
untuk
2
dimasukkan ke dalam portofolio ( =
2
−1
20). Data yang digunakan adalah data
+
(8)
2
mingguan pada periode Maret 1992 (2.44)
September
1997
(http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/o
2
−1
rlib/files/), dengan mean return pada
+
tabel 1.
(9)
Tabel 1.Mean Return 31 Saham
adalah parameter penalti yang
merupakan bilangan positif yang cukup
besar.
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
Hangseng
Saha
m
Mean
Return
Saha
m
Mean
Return
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
29
0.001309
0.004177
0.001487
0.004515
0.010865
0.001759
0.002594
0.004950
0.007115
0.003186
0.002093
0.005202
0.004489
0.003642
0.003960
0.000141
0.000282
0.000392
0.005294
0.004801
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0.002699
0.001879
0.004656
0.003842
0.002690
0.004793
0.003286
0.002338
0.005817
0.001993
0.002380
menggunakan
fungsi
sigmoid
yang
didefinisikan sebagai berikut,
=
1
0
( )
0,5
(10)
dengan
=
1
1+
−
(Hongqing Zheng, Yongquan Zhou ,
Sucai He, Xinxin Ouyang 2012, Yanhong
Feng, Ke Jia, dan Yichao He 2014).
Kriteria pemberhentian yang digunakan
adalah
maximum
generation(iterasi
maksimum) dan kriteria pemberhentian
Cauchy. Kriteria pemberhentian Cauchy
Data tersebut dimodelkan dalam
digunakan untuk mengontrol efisiensi
portofolio Markowitz kemudian diolah
waktu dalam pencarian solusi terbaik,
untuk
tanpa
dicari
solusi
optimumnya
menunggu
sampai
iterasi
menggunakan alat bantu Matlab R2013a
maksimum
berakhir.
dengan algoritma BinaryCuckoo Search.
pemberhentian
inidilakukan
Data diproses dengan melakukan running
iterasi mencapai setengah dari iterasi
sebanyak 20 kali dan solusi yang diambil
maksimum dan dilakukan pengecekan
adalah solusi terbaik (optimum).
selama 50 iterasi secara berturut-turut.
setelah
Cuckoo
Dalam penelitian ini, digunakan asumsi
Searchpada dasarnya tidak mengurangi
bahwa jika selama 50 iterasi secara
atau menghilangkan sifat dasar dari
berturut-turut tidak ada perubahan solusi
Cuckoo Search. Asumsi dan langkah
(�
yang digunakan masih sama dengan
proses selesai.
asumsi
dimana,
Algoritma
dan
Binary
Kriteria
langkah
dari
algoritma
� =
Cuckoo Search. Hanya saja, variabel
yang digunakan tidak hanya variabel real
tetapi
juga
variabel
biner,
[ , ].
Variabel biner ( ) didapatkan dengan
cara mengkonversi variabel real ( )
, = , + 1, … , + 49) maka
−
= : + 49
−1
,
adalah indeks iterasi yang dimulai dari
1
2
+ 50,
adalah nilai
fungsi solusi terbaik pada iterasi ke-i, dan
adalah batas toleransi pemberhentian
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
30
ISSN: 2088-687X
(biasanya
Binary
10−12 ).
dipilih
Cuckoo
Algoritma
Search
= 0.1,
dirumuskan
Begin
= 10 ,
= 200000,
10−12 ,
sebagai berikut,
= 31,
digunakan adalah,
= 102 ,
=
= 105 .
dan
Untuk masalah Minrisk, digunakan target
Fungsi
�
1, … ,
,
objektif
,
=
=
,
�
1, … ,
masalah Maxret, besar risiko yang berani
Bangkitkan populasi awal sebanyak
sarang
,
<
while
, = 1, 2, … ,
diterima, � = 0.0025. Syarat batas
dan
Bangkitkan sarang baru dengan
Lévy flight dan evaluasi
0.0075 dan syarat batas maksimum tiap
= 1. Dari 31 saham
saham adalah
Hangseng tersebut akan dipilih 20 saham
= 20 .
kualitas/fitness-nya,
Masalah
Pilih satu sarang dari
=
minimum tiap saham adalah
�
sarang yang
ada secara acak (katakan, )
seperti
yang
persamaan
(8)
optimasi
portofolio
didefinisikan
dan
(9),
pada
dikerjakan
menggunakan algoritma Binary Cuckoo
<
if
= 0.006. Sedangkan untuk
return,
ganti dengan solusi baru
Search dan setelah dilakukan proses
end
running sebanyak 20 kali, didapatkan
Sarang terburuk dengan peluang
hasil terbaik sebagai berikut,
ditemukan
>
∈ 0,1 ,
digantikan dengan sarang baru
Tabel 2. Hasil Minrisk dan Maxret
dengan KendalaCardinalitydipilih 20
Saham dari 31 saham Hangseng
Simpan solusi baru
Urutkan semua solusi dan tentukan
Saha
m
solusi terbaik saat ini.
end while
Hasil dan visualisasi
End
Hasil dan Pembahasan
Pada
Bab
ini
akan
dibahas
mengenai hasil penerapan Binary Cuckoo
Search untuk masalah optimasi portofolio
dengan kendala cardinality, yaitu masalah
(8) dan (9). Adapun input parameter yang
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Minrisk dengan
kendala
cardinality
Pers. (2.55)
�
0.0000
0.0075
0.0075
0.0075
0.2561
0.0000
0.0000
0.0223
0.0794
0.0075
0.0000
0.0000
0.0619
0.0075
0.0727
�
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Maxret dengan
kendala
cardinality
Pers. (2.56)
�
0.0075
0.0000
0.0000
0.0000
0.4477
0.0000
0.0075
0.0000
0.0466
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
�
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0.0000
0.0075
0.0075
0.0000
0.0075
0.0075
0.0000
0.0000
0.0000
0.0075
0.1446
0.0075
0.1326
0.1165
0.0315
0.0000
31
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0.0075
0.0075
0.0075
0.3576
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
0.0075
0.0075
0.0125
0.0075
0.0075
0.0231
0.0075
0.0000
� = 0.0010
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
optimasi
portofolio
dengan
kendala
cardinality dengan sangat baik.
Akan tetapi, penelitian ini hanya
terbatas
pada
modifikasi
algoritma
Cuckoo Search menjadiBinary Cuckoo
Search untuk kemudian diterapkan pada
masalah
optimasi
portofolio
dengan
kendala cardinality. Solusi optimum yang
didapatkan belum dibandingkan dengan
solusi optimum dari penelitian lain
= 0.0076
dengan masalah optimasi yang sama dan
Dari hasil masalah Minrisk dan
algoritma berbeda. Hal ini dilakukan
Cuckoo
untuk
saham yang terpilih untuk dimasukkan
Search lebih baik atau tidak lebih baik
ke dalam portofolio adalah saham dengan
dari algoritma metaheuristik lain dalam
nilai
= 1, dengan proporsi saham yang
akan diinvestasikan sebesar
dan
return
. Risiko
yang didapatkan
membuktikan
Binary
Maxretdengan kendala cardinality, 20
menyelesaikan
masalah
optimasi
portofolio dengan kendala cardinality.
secara
berturut-turut adalah � = 0.0010 dan
Kesimpulan
proporsi
investasi
memenuhi
yang pada dasarnya dikembangkan untuk
kendala
yang diberikan, (1) Jumlah
menyelesaikan masalah optimasi yang
proporsi investasi semua saham adalah 1,
hanya melibatkan variabel kontinu (real),
= 1, proporsi investasi
dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan
Alhasil, algoritma Cuckoo Search
= 0.0076. Dari tabel 2 terlihat bahwa
(2) ketika
sudah
selalu lebih dari batas bawah,
=
0.0075, dan kurang dari 1, (3) ketika
= 0 maka tidak ada investasi untuk
saham terkait,
= 0, dan (4)
tepat
terpilih 20 saham yang membentuk
masalah
optimasi
yang
melibatkan
variabel real dan biner, disebut algoritma
Binary
Cuckoo
Search.
Penerapan
algoritma Binary Cuckoo Search untuk
menyelesaikan
masalah
optimasi
= 20. Hal ini
portofolio dengan kendala cardinality,
membuktikan bahwa Binary Cuckoo
memberikan hasil yang sangat baik. Dari
Search mampu menyelesaikan masalah
31 saham Hangseng terpilih tepat 20
portofolio optimum,
saham
yang
membentuk
portofolio
optimum, dengan risiko dan return yang
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
32
ISSN: 2088-687X
didapatkan secara berturut-turut adalah
� = 0.0013 dan
= 0.0128.
Markowitz,
H.
1952.
The
Selection.
Lebih lanjut, hasil dari penelitian
Portofolio
Journal
of
Finance,Vol. 7, pp. 77-91.
ini perlu dibandingkan dengan hasil
Yang, X. S. 2010. Nature-Inspired
penelitian lain dengan masalah optimasi
Metaheuristic Algorithms, Second
yang sama dan algoritma berbeda. Hal ini
Edition,
ditujukan
untuk
Luniver Press.
kehandalan
Binary
dibandingkan
membandingkan
Cuckoo
dengan
Search
algoritma
United
Kingdom:
Yang, X. S. dan Deb, S. 2009. Cuckoo
Search
via
Lévy
Flights.
metaheuristik lainnya dalam mengatasi
Proceeding of World Congres on
masalah optimasi tersebut. Selain itu,
Nature and Biologically Inspired
algoritma Binary Cuckoo Search juga
Computing (NaBIC 2009, India),
diharapkan
masalah
dapat
diterapkan
pada
IEEE Publications, USA, pp.210-
optimasi
lainnya
yang
214.
melibatkan variabel real dan biner. Lebih
Yanhong Feng, Ke Jia, dan Yichao He.
jauh lagi, algoritma Cuckoo Search
2014.
diharapkan dapat dimodifikasi untuk
Encoding
menyelesaikan berbagaimasalah optimasi
Algorithm
for
dengan berbagai macam variabel lainnya.
Problems.
The
Improved
Hybrid
Cuckoo
Search
0-1
Knapsack
Journal
of
Computational Intelligence and
Pustaka
Hongqing Zheng, Yongquan Zhou , Sucai
He, Xinxin Ouyang. 2012. A
Discrete
An
Cuckoo
Search
Algorithm for Solving Knapsack
Problems.Advances
in
Neuroscience,Vol. 2014, Article
ID 970456, 9 pages.
http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or
lib/files/, Diakses pada tanggal8
April 2016, pukul 15.00 WIB
information Sciences and Service
Sciences(AISS), Vol. 4.
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
25
BINARY CUCKOO SEARCH UNTUK OPTIMASI PORTOFOLIO DENGAN
KENDALA CARDINALITY
Lilik Muzdalifah
Program Studi Matematika FMIPA Universitas PGRI Ronggolawe Tuban
Jl. Manunggal No. 61 Tuban
moezdalif_ah@yahoo.co.id
ABSTRAK
Cuckoo Search merupakan salah satu metode optimasi metaheuristik yang terinspirasi dari
tingkah laku burung Cuckoo. Algoritma Cuckoo Search pertama kali dikembangkan oleh Yang dan
Deb pada tahun 2009. Pada dasarnya algoritma ini dikembangkan untuk menyelesaikan masalah
optimasi yang hanya melibatkan variabel kontinu (real). Akan tetapi, pada kenyataannya banyak
masalah optimasi yang melibatkan tidak hanya variabel real, teapi juga variabel diskrit, bulat, dan
biner. Masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality, yaitu permasalahan membentuk
komposisi dari berbagai aset dalam portofolio sehingga didapatkan hasil yang optimal dengan cara
memilih aset dari aset yang tersedia. Masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality
melibatkan variabel real dan biner (0-1). Pada variabel biner, nol artinya aset tersebut tidak dipilih
sedangkan satu artinya aset tersebut dipilih untuk dimasukkan ke dalam portofolio. Pada penelitian
ini penulis memodifikasi algoritma Cuckoo Search sehingga mampu mengatasi masalah optimasi
yang melibatkan variabel real dan biner, yang selanjutnya disebut algoritma Binary Cuckoo Search.
Kemudian algoritma tersebut diterapkan pada masalah meminimumkan risiko (Minrisk) dan
memaksimumkan return (Maxret) dengan memilih 20 saham dari 31 saham Hangseng. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa Binary Cuckoo Search merupakan algoritma yang handal untuk
mengatasi masalah optimasi portofolio dengan kendala cardinality.
Kata Kunci: algoritma cockoosearch, binary cuckoo search, optimasi portofolio, cardinality
ABSTRACT
Cuckoo Search is one of metaheuristic optimization method that inspired by the behavior
of Cuckoo Bird. Cuckoo Search algorithm is developed by Yang and Deb, Firstly at 2009.
Basically, this algorithm is developed to solve optimization problem that just include continue
variable (real). However, in fact there are many optimization problems not only includes real
variable but also discrete, integer, and binary variable. Portfolio optimization problem with
cardinality constraint is a problem to set some assets composition in portfolio such that gained
optimal solution, by choosing assets from available assets. Portfolio optimization problem with
cardinality constraint include real and binary (0-1) variables. In binary, zero means the asset is not
chosen and one means the asset is chosen to be portfolio input. In this paper, the researcher modify
Cuckoo Search algorithm such that is able to handle optimization problem with real and binary
variable, called Binary Cuckoo Search Algorithm. Hereafter, that algorithm is applied to risk
minimization and return maximization problem by choosing 20 assets from 31 Hangseng assets.
This paper result shows that Binary Cuckoo Search is reliable algorithm to handle portfolio
optimization problem with cardinality constraint.
Key Words: cuckoo search algorithm, binary cuckoo search, portfolio optimization, cardinality
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
26
ISSN: 2088-687X
Pendahuluan
Cuckoo Search merupakan salah
satu
metode
metaheuristik.
Cuckoo
Search terinspirasi dari perilaku unik
burung Cuckoo. Yang dan Deb (2009)
pertama kali mengembangkan metode ini
dengan menggunakan asumsi:
a.
Setiap
burung
Cuckoo
hanya
meletakkan satu telur pada satu
waktu
dan
meletakkannya
pada
sarang burung lain yang dipilih
secara acak.
b.
Sarang
terbaik
dengan
telur
berkualitas tinggi (solusi), akan lolos
Gambar 1. Algoritma Cuckoo Search
menuju generasi selanjutnya.
c.
Banyaknya sarang yang tersedia
Algoritma
tersebut
tetap, dan peluang telur burung
dikombinasikan dengan Lévy Flight,
Cuckoo ditemukan oleh burung yang
yaitu random walk dengan langkah acak
menjadi sasaran parasitnya adalah
yang berdistribusi Lévy. Solusi baru
∈ 0,1 . Jika telur burung Cuckoo
ditemukan, maka burung pemilik
+1
,
+1
=
dibangkitkan
⊕ é
+
�
(1)
> 0 adalah panjang langkah
dimana
Dalam hal ini, telur pada sarang
cuckoo ,
dengan Lévy Flight,
sarang akan meninggalkan sarangnya
dan membuat sarang baru.
untuk
yang
berkaitan
dengan
skala
burung yang menjadi sasaran parasit
permasalahan (bisa digunakan
burung Cuckoo merepresentasikan suatu
dan ⊕ merupakan perkalian entrywise.
solusi.
Telur
burung
Cuckoo
yang
berkualitas tinggi kemudian akan menjadi
solusi baru, yang akan menggantikan
= 1)
Dalam masalah ini digunakan panjang
langkah,
, yang mengikuti algoritma
mantegna,
solusi yang kurang baik dalam sarang
=
, 0<
1/
2
(2)
tersebut.
Algoritma
dasar
dari
Cuckoo
Searchdisajikan seperti pada gambar 1
(Yang 2010, Yang dan Deb 2009).
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
~
=
0,
,
Γ 1+
Γ 1+
~
0,
/2
/2
2 −1 /2
=1
(3)
1/
(4)
(5)
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
27
persamaan
masalahmeminimumkan risiko (Minrisk)
stokastik untuk random walk. Random
dengan diberikan target return sebesar
walk dengan Lévy Flighttelah terbukti
, masalah tersebut dirumuskan sebagai
Persamaan
(1)
adalah
efisien dalam mengeksplorasi daerah
berikut
Portofolio merupakan kumpulan
Kendala
�
investasi yang dimiliki oleh institusi atau
perorangan.
Masing-masing
�
Min � =
pencarian solusi (Yang dan Deb 2009).
investasi
(6)
=
�
memiliki imbal hasil (return) dan risiko
yang
berbeda.
portofolio
Masalah
merupakan
optimasi
= 1, 2, … ,
permasalahan
∈ 0,1
membentuk komposisi dari berbagai aset
=
=1
dalam portofolio sehingga didapatkan
hasil yang optimal. Markowitz (1952)
telah mengembangkan teori portofolio
modern
yang
melibatkan
masalah
memaksimumkan return (Maxret) dan
Sedangkan
masalah
berani diterima sebesar � , dirumuskan
sebagai berikut
=−
Min
Kendala
portofolio disebut sebagai portofolio
jika
portofolio
tersebut
�
menghasilkan return maksimum dengan
risiko tertentu atau menghasilkan risiko
banyaknya
investor
jenis
portofolionya.
Mereka
dalam
melakukan
investasi hanya pada sejumlah
dilakukan pemilihan kombinasi
aset
yang membentuk portofolio optimal.
Masalah inilah yang disebut sebagai
kendala
optimasi
portofolio
cardinality.
dimana� dan
�
=�
=
secara berturut-turut
adalah risiko dan return yang didapatkan.
1
aset dari
aset yang tersedia. Sehingga perlu
masalah
=1
membatasi
aset
=1
(7)
∈ 0,1
Untuk keperluan monitoring dan
para
�
= 1, 2, … ,
minimum dengan target return tertentu.
kontrol,
memaksimumkan
return (Maxret) dengan risiko yang
meminimumkan risiko (Minrisk). Suatu
efisien
=1
=
2
⋮
adalah proporsi
investasimasing-masing aset (
∈
dengan
Untuk
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
28
ISSN: 2088-687X
12 …
11
0,1 )dan =
⋮
2
⋮ ⋱
2…
1
Masalah (6)/(8)
1
22 …
21
merupakan
⋮
modifikasi
merupakan mean return
⋮
yang
( ). Pada penelitian ini akan dilakukan
1
=
optimasi
melibatkan variabel real ( ) dan biner
adalah matriks variansi-kovariansi.
2
masalah
dan (7)/(9)
pada
Cuckoo
algoritma
Search (Gambar 1) sehingga algoritma
tersebut
dari masing-masing aset. Sedangkan
1
= 1 adalah matriks satuan.
⋮
1
mampu
mengatasi
masalah
optimasi yang melibatkan variabel real
dan biner, selanjutnya disebut algoritma
dan
Binary
Cuckoo
algoritma
merupakan batas bawah dan batas
∈ 0,1
atas proporsi investasi dan
Search.
tersebut
Kemudian
diterapkan
pada
masalah (8) dan (9) dengan memilih 20
saham dari 31 saham Hangseng.
adalah variabel biner yang menyatakan
suatu aset dipilih atau tidak untuk
Metode Penelitian
dimasukkan ke dalam portofolio.
Masalah
(6)
dan
Tujuan utama dari penelitian ini
(7)
dapat
diselesaikan dengan cara mengubahnya
menjadi masalah optimasi tanpa kendala,
yaitu
dengan
penalti.
menggunakan
Fungsi
penalti
fungsi
yang
akan
diminimumkan menjadi
�=
�
=−
dimana
�
+
+
�
�
−
�
+
−
�
2
+
�
−1
2
−1
�
�
adalah untuk menyelesaikan masalah
optimasi
portofolio
cardinality
Binary
dengan
menggunakan
Cuckoo
Search.
kendala
algortma
Data
yang
digunakan adalah 31 saham Hangseng,
kemudian
dipilih
20
saham
untuk
2
dimasukkan ke dalam portofolio ( =
2
−1
20). Data yang digunakan adalah data
+
(8)
2
mingguan pada periode Maret 1992 (2.44)
September
1997
(http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/o
2
−1
rlib/files/), dengan mean return pada
+
tabel 1.
(9)
Tabel 1.Mean Return 31 Saham
adalah parameter penalti yang
merupakan bilangan positif yang cukup
besar.
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
Hangseng
Saha
m
Mean
Return
Saha
m
Mean
Return
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
29
0.001309
0.004177
0.001487
0.004515
0.010865
0.001759
0.002594
0.004950
0.007115
0.003186
0.002093
0.005202
0.004489
0.003642
0.003960
0.000141
0.000282
0.000392
0.005294
0.004801
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0.002699
0.001879
0.004656
0.003842
0.002690
0.004793
0.003286
0.002338
0.005817
0.001993
0.002380
menggunakan
fungsi
sigmoid
yang
didefinisikan sebagai berikut,
=
1
0
( )
0,5
(10)
dengan
=
1
1+
−
(Hongqing Zheng, Yongquan Zhou ,
Sucai He, Xinxin Ouyang 2012, Yanhong
Feng, Ke Jia, dan Yichao He 2014).
Kriteria pemberhentian yang digunakan
adalah
maximum
generation(iterasi
maksimum) dan kriteria pemberhentian
Cauchy. Kriteria pemberhentian Cauchy
Data tersebut dimodelkan dalam
digunakan untuk mengontrol efisiensi
portofolio Markowitz kemudian diolah
waktu dalam pencarian solusi terbaik,
untuk
tanpa
dicari
solusi
optimumnya
menunggu
sampai
iterasi
menggunakan alat bantu Matlab R2013a
maksimum
berakhir.
dengan algoritma BinaryCuckoo Search.
pemberhentian
inidilakukan
Data diproses dengan melakukan running
iterasi mencapai setengah dari iterasi
sebanyak 20 kali dan solusi yang diambil
maksimum dan dilakukan pengecekan
adalah solusi terbaik (optimum).
selama 50 iterasi secara berturut-turut.
setelah
Cuckoo
Dalam penelitian ini, digunakan asumsi
Searchpada dasarnya tidak mengurangi
bahwa jika selama 50 iterasi secara
atau menghilangkan sifat dasar dari
berturut-turut tidak ada perubahan solusi
Cuckoo Search. Asumsi dan langkah
(�
yang digunakan masih sama dengan
proses selesai.
asumsi
dimana,
Algoritma
dan
Binary
Kriteria
langkah
dari
algoritma
� =
Cuckoo Search. Hanya saja, variabel
yang digunakan tidak hanya variabel real
tetapi
juga
variabel
biner,
[ , ].
Variabel biner ( ) didapatkan dengan
cara mengkonversi variabel real ( )
, = , + 1, … , + 49) maka
−
= : + 49
−1
,
adalah indeks iterasi yang dimulai dari
1
2
+ 50,
adalah nilai
fungsi solusi terbaik pada iterasi ke-i, dan
adalah batas toleransi pemberhentian
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
30
ISSN: 2088-687X
(biasanya
Binary
10−12 ).
dipilih
Cuckoo
Algoritma
Search
= 0.1,
dirumuskan
Begin
= 10 ,
= 200000,
10−12 ,
sebagai berikut,
= 31,
digunakan adalah,
= 102 ,
=
= 105 .
dan
Untuk masalah Minrisk, digunakan target
Fungsi
�
1, … ,
,
objektif
,
=
=
,
�
1, … ,
masalah Maxret, besar risiko yang berani
Bangkitkan populasi awal sebanyak
sarang
,
<
while
, = 1, 2, … ,
diterima, � = 0.0025. Syarat batas
dan
Bangkitkan sarang baru dengan
Lévy flight dan evaluasi
0.0075 dan syarat batas maksimum tiap
= 1. Dari 31 saham
saham adalah
Hangseng tersebut akan dipilih 20 saham
= 20 .
kualitas/fitness-nya,
Masalah
Pilih satu sarang dari
=
minimum tiap saham adalah
�
sarang yang
ada secara acak (katakan, )
seperti
yang
persamaan
(8)
optimasi
portofolio
didefinisikan
dan
(9),
pada
dikerjakan
menggunakan algoritma Binary Cuckoo
<
if
= 0.006. Sedangkan untuk
return,
ganti dengan solusi baru
Search dan setelah dilakukan proses
end
running sebanyak 20 kali, didapatkan
Sarang terburuk dengan peluang
hasil terbaik sebagai berikut,
ditemukan
>
∈ 0,1 ,
digantikan dengan sarang baru
Tabel 2. Hasil Minrisk dan Maxret
dengan KendalaCardinalitydipilih 20
Saham dari 31 saham Hangseng
Simpan solusi baru
Urutkan semua solusi dan tentukan
Saha
m
solusi terbaik saat ini.
end while
Hasil dan visualisasi
End
Hasil dan Pembahasan
Pada
Bab
ini
akan
dibahas
mengenai hasil penerapan Binary Cuckoo
Search untuk masalah optimasi portofolio
dengan kendala cardinality, yaitu masalah
(8) dan (9). Adapun input parameter yang
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Minrisk dengan
kendala
cardinality
Pers. (2.55)
�
0.0000
0.0075
0.0075
0.0075
0.2561
0.0000
0.0000
0.0223
0.0794
0.0075
0.0000
0.0000
0.0619
0.0075
0.0727
�
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
Maxret dengan
kendala
cardinality
Pers. (2.56)
�
0.0075
0.0000
0.0000
0.0000
0.4477
0.0000
0.0075
0.0000
0.0466
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
�
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
ISSN: 2088-687X
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
0.0000
0.0075
0.0075
0.0000
0.0075
0.0075
0.0000
0.0000
0.0000
0.0075
0.1446
0.0075
0.1326
0.1165
0.0315
0.0000
31
0
1
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0.0075
0.0075
0.0075
0.3576
0.0075
0.0000
0.0075
0.0000
0.0075
0.0075
0.0125
0.0075
0.0075
0.0231
0.0075
0.0000
� = 0.0010
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
optimasi
portofolio
dengan
kendala
cardinality dengan sangat baik.
Akan tetapi, penelitian ini hanya
terbatas
pada
modifikasi
algoritma
Cuckoo Search menjadiBinary Cuckoo
Search untuk kemudian diterapkan pada
masalah
optimasi
portofolio
dengan
kendala cardinality. Solusi optimum yang
didapatkan belum dibandingkan dengan
solusi optimum dari penelitian lain
= 0.0076
dengan masalah optimasi yang sama dan
Dari hasil masalah Minrisk dan
algoritma berbeda. Hal ini dilakukan
Cuckoo
untuk
saham yang terpilih untuk dimasukkan
Search lebih baik atau tidak lebih baik
ke dalam portofolio adalah saham dengan
dari algoritma metaheuristik lain dalam
nilai
= 1, dengan proporsi saham yang
akan diinvestasikan sebesar
dan
return
. Risiko
yang didapatkan
membuktikan
Binary
Maxretdengan kendala cardinality, 20
menyelesaikan
masalah
optimasi
portofolio dengan kendala cardinality.
secara
berturut-turut adalah � = 0.0010 dan
Kesimpulan
proporsi
investasi
memenuhi
yang pada dasarnya dikembangkan untuk
kendala
yang diberikan, (1) Jumlah
menyelesaikan masalah optimasi yang
proporsi investasi semua saham adalah 1,
hanya melibatkan variabel kontinu (real),
= 1, proporsi investasi
dapat dimodifikasi untuk menyelesaikan
Alhasil, algoritma Cuckoo Search
= 0.0076. Dari tabel 2 terlihat bahwa
(2) ketika
sudah
selalu lebih dari batas bawah,
=
0.0075, dan kurang dari 1, (3) ketika
= 0 maka tidak ada investasi untuk
saham terkait,
= 0, dan (4)
tepat
terpilih 20 saham yang membentuk
masalah
optimasi
yang
melibatkan
variabel real dan biner, disebut algoritma
Binary
Cuckoo
Search.
Penerapan
algoritma Binary Cuckoo Search untuk
menyelesaikan
masalah
optimasi
= 20. Hal ini
portofolio dengan kendala cardinality,
membuktikan bahwa Binary Cuckoo
memberikan hasil yang sangat baik. Dari
Search mampu menyelesaikan masalah
31 saham Hangseng terpilih tepat 20
portofolio optimum,
saham
yang
membentuk
portofolio
optimum, dengan risiko dan return yang
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
32
ISSN: 2088-687X
didapatkan secara berturut-turut adalah
� = 0.0013 dan
= 0.0128.
Markowitz,
H.
1952.
The
Selection.
Lebih lanjut, hasil dari penelitian
Portofolio
Journal
of
Finance,Vol. 7, pp. 77-91.
ini perlu dibandingkan dengan hasil
Yang, X. S. 2010. Nature-Inspired
penelitian lain dengan masalah optimasi
Metaheuristic Algorithms, Second
yang sama dan algoritma berbeda. Hal ini
Edition,
ditujukan
untuk
Luniver Press.
kehandalan
Binary
dibandingkan
membandingkan
Cuckoo
dengan
Search
algoritma
United
Kingdom:
Yang, X. S. dan Deb, S. 2009. Cuckoo
Search
via
Lévy
Flights.
metaheuristik lainnya dalam mengatasi
Proceeding of World Congres on
masalah optimasi tersebut. Selain itu,
Nature and Biologically Inspired
algoritma Binary Cuckoo Search juga
Computing (NaBIC 2009, India),
diharapkan
masalah
dapat
diterapkan
pada
IEEE Publications, USA, pp.210-
optimasi
lainnya
yang
214.
melibatkan variabel real dan biner. Lebih
Yanhong Feng, Ke Jia, dan Yichao He.
jauh lagi, algoritma Cuckoo Search
2014.
diharapkan dapat dimodifikasi untuk
Encoding
menyelesaikan berbagaimasalah optimasi
Algorithm
for
dengan berbagai macam variabel lainnya.
Problems.
The
Improved
Hybrid
Cuckoo
Search
0-1
Knapsack
Journal
of
Computational Intelligence and
Pustaka
Hongqing Zheng, Yongquan Zhou , Sucai
He, Xinxin Ouyang. 2012. A
Discrete
An
Cuckoo
Search
Algorithm for Solving Knapsack
Problems.Advances
in
Neuroscience,Vol. 2014, Article
ID 970456, 9 pages.
http://people.brunel.ac.uk/~mastjjb/jeb/or
lib/files/, Diakses pada tanggal8
April 2016, pukul 15.00 WIB
information Sciences and Service
Sciences(AISS), Vol. 4.
Binary Cuckoo… (Lilik Muzdalifah)
AdMathEdu | Vol.6 No.1 | Juni 2016