Program Studi Teknik Industri
Operational Research 1 (IE G2M3)
Program Studi Teknik Industri
Fakultas Rekayasa Industri
Telkom University
Amelia Kurniawati. ST., MT.
Dasar-dasar
Metode Simplex
Tujuan PEMBELAJARAN Memahami konsep pemecahan linear programming
- dengan metode simplex
Memahami solusi-solusi unik dan solusi alternatif
Contents
1. Pendahuluan
2. Langkah Umum
3. Metode Simplex dalam Bentuk Tabular
4. Pemecahan untuk masalah minimisasi
6. Solusi-solusi Alternatif
5. Masalah-masalah komputasi
PENDAHULUAN Metode Simplex
- Dikembangkan oleh G.B. Dantzig
iteratif untuk
- Merupakan prosedur memecahkan masalah LP dengan mengekspresikannya dalam bentuk standar
PENDAHULUAN Metode Simplex
- Memerlukan kondisi dengan semua pembatas dinyatakan dalam bentuk sistem
kanonik dimana suatu solusi basis layak dapat langsung diperoleh.
PENDAHULUAN Ciri-ciri dari bentuk baku model LP adalah :
- 1. Semua kendala berupa persamaan dengan
sisi kanan non negatif
2. Semua variabel non negatif
3. Fungsi tujuan dari maksimum maupun minimum lihat kembali materi basic feasible solution
LANGKAH UMUM
Berhenti jika suatu solusi layak basis tidak dapat diperbaiki lagi maka solusi layak basis tersebut menjadi solusi optimal Cari solusi-solusi layak basis yang dapat memperbaiki nilai fungsi tujuan Perbaiki solusi awal jika mungkin
Cari solusi layak basis yang mempunyai nilai fungsi tujuan lebih baik Mulai dengan suatu solusi layak basis
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Kasus: Memaksimumkan Z = 2x + 3x
1
2
dengan pembatas-pembatas:
x + 3x 6
1
2 2x + 2x 8
1
2
1
2 x 2
- –x + x 1
2
x ≥ 0, x ≥ 01
2
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Bentuk Standar: Memaksimumkan Z = 2x +3x +0x +0x +0x +0x
1
2
3
4
5
6 dengan pembatas-pembatas:
x + 3x + x = 6
1
2
3 2x + 2x + x = 8
1
2
4
- – x + x + x = 1
1
2
5 x + x = 2
2
6
x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
1
2
3
4
5
6
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Penetapan Solusi Layak Basis Awal: Variabel basis : x , x , x , x
3
4
5
6 Dengan menetapkan x = x = 0, maka
1
2 diperoleh solusi basis : x = 6, x = 8, x = 1, x = 2
3
4
5
6 Nilai fungsi tujuan
Z = 2(0)+3(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2)= 0
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x = x = 0, x
1
2
3 = 6, x = 8, x = 1, x = 2 dengan Z= 0,
4
5
6 metode simplex memeriksa apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar Pemeriksaan dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah solusi saat ini adalah optimal
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Jika solusi belum optimal, metode simplex mencari suatu
solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible
solution) dengan nilai Z yang lebih besar Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent basic feasible solution) berbeda dengan solusi basis layak (basic feasible solution) saat ini hanya tepat satu variabel basisLANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Untuk mendapatkan solusi basis layak tetangga , metode simplex
Membuat salah satu variabel basis menjadi variabel
- – non basis Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi
- – variabel basis
Permasalahannya adalah memilih solusi basis dan solusi non basis yang pertukarannya memberikan perbaikan maksimum pada nilai fungsi tujuan.
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Dalam solusi basis layak
Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif
- – Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol
- – Membuat variabel non basis menjadi variabel basis
adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif .
LANGKAH UMUM
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah
menentukan variabel non basis mana yang dapat
memberikan perbaikan pada nilai Z.Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis menjadi satu unit dan memeriksa perubahannya pada nilai fungsi tujuan Z .
LANGKAH UMUM (CONTOH)
1 = 1, x
1 Z = 2 – 0 = 2
6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z = 2(1)+3(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
5 = 2, x
4 = 6, x
3 = 5, x
2 = 0, x
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Misalkan variabel non basis x
1 dinaikkan 1 unit 1x
1 + x
5 = 1 0x
1 + x
4 = 8 –x
1 + x
3 = 6 2x
1 +x
6 = 2 x
LANGKAH UMUM (CONTOH)
1 = 0, x
2 Z = 3 – 0 = 3
6 = 1 Nilai fungsi tujuan Z = 2(0)+3(1)+0(3)+0(6)+0(0)+0(1)= 3 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
5 = 0, x
4 = 6, x
3 = 3, x
2 = 1, x
Memperbaiki Solusi Layak Awal: Misalkan variabel non basis x
2 dinaikkan 1 unit 3x
2 + x
5 = 1 1x
2 + x
4 = 8 1x
2 + x
3 = 6 2x
2 + x
6 = 2 x
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Karena Z positif untuk x dan x nilai fungsi tujuan dapat
1
2 dinaikkan .
Karena Z untuk x > Z untuk x maka menaikkan x lebih baik.
2
1
2 Sampai seberapa jauh x dapat dinaikkan?
2 Jika x dinaikkan maka nilai variabel basis : x , x , x , x
2
3
4
5
6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak .
LANGKAH UMUM (CONTOH)
2 = 4 1x
2 = minimum (2, 4, 1, 2) = 1
Maksimum peningkatan x
2 = 2
6 = 2 x
2 + x
2 = 1 1x
5 = 1 x
2 + x
Memperbaiki Solusi Layak Awal:
Batas peningkatan x2 : Dengan memasukkan nilai x
2 + x
2 = 2 2x
3 = 6 x
2 + x
6 = 0 3x
5 , x
4 , x
3 , x
4 = 8 x
LANGKAH UMUM (CONTOH)
2 +x
6
= 22 + x
5
= 1
1x2 + x
4 = 8 1x
2 + x
3 = 6 2x
Memperbaiki Solusi Layak Awal: x
2 dinaikkan 1 unit, maka x
6 = 1 dan Z = 3 variabel masuk basis x
5 = 0 , x
4 = 6, x
3 = 3, x
2 = 1 , x
1 = 0, x
5 menjadi variabel non basis x
2 dinaikkan 1 unit 3x
LANGKAH UMUM (CONTOH)
+ x
- - 3x
5 = 3 4x
1 , x
4 , x
3
, x2 , x
6 = 1 Variabel basis : x
5 + x
1 - x
5 = 1 x
2 + x
1 + x
5 = 6
4 - 2 x
1 + x
3
1 + 2x
Memperbaiki Solusi Layak Awal: x
6 = 2 4 x
2 + x
5 = 1 x
2 + x
1 + x
4 = 8 – x
2 + x
1 + x
2x
= 6
3
2
1 + 3x
- - x
6 Variabel non basis: x
5 Sistem Kanonik
VISUALISASI LANGKAH I (6) (2)
(4) (3) (1) x
2 A B C D E F
LANGKAH UMUM (CONTOH)
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2: Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
1 4 + x = 3 x
1
3 4x + x = 6
1
4
- - x + x = 1
1
2 x + x = 1
1
6 x = 1, x = 2, x = -1 , x = 2, x = 0, x = 0
2
3
4
5
6
1 * x tidak layak batas peningkatan x kurang dari 1 unit
3
1 Nilai fungsi tujuan Z = 2(1)+3(2)+0( -1 )+0(2)+0(0)+0(0) = 8
Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
1
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
5 x - 3x = 3
3
5
x - 2 x = 64
5 x + x = 1
2
5 + x - = 1 x
5
6 x = 0, x = 0, x = 6, x = 8, x = 1, x = 2
1
2
3
4
5
6 Nilai fungsi tujuan Z = 2(0)+3(0)+0(6)+0(8)+0(1)+0(2) = 0 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
5
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
Karena Z positif untuk x nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan
1
Karena Z negatif untuk x nilai fungsi tujuan tidak dapat
5 dinaikkan Sampai seberapa jauh dapat dinaikkan? x
1 Jika x dinaikkan maka nilai variabel basis : x , x , x , x akan
1
2
3
4
6 turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak .
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2: Batas peningkatan x :
1 Dengan memasukkan nilai , , , = 0 x x x x
2
3
4
6
1
3
1
3 4 + x = 3 x x = /
4
3 4x + x = 6 x = /
1
4
1
2
- - x + x = 1 = -1
x
1
1
2 x + x = 1 x = 1
1
6
1
(3
3 Maksimum peningkatan x = minimum / , / , , 1)
1
4
2
3 = /
4
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 2:
3 x dinaikkan ke /
1
4 maka x menjadi variabel non basis
3
3
7
1 x = / , x = / , x = 0, x = 3, x = 0, x = /
1
4
2
4
3
4
5
6
4
3 dan Z = 6 /
4
LANGKAH UMUM (CONTOH)
1 /
1 + x
4 x
5 + x
6 =
1 /
4 Variabel basis : x
1 , x
2
, x
4 , x
3
, x
4 x
3 - 3x
5 = 3 4x
1 + x
4 - 2 x
5 = 6
- - x
- + x
1 + x
2 + x
5 = 1 x
1 - x
5
6 = 1
- – x
+ x
- – 1
3 -
4 x
/
Memperbaiki Solusi Layak 2: x
1 +
1 /
4 x
3 –
3 /
4 x
5 =
3 /
4
3
4 + x
5 = 3 x
2 +
1 /
4 x
3 +
1 /
4 x
5 =
7 /
4
6 Variabel non basis: x
5 Sistem Kanonik
VISUALISASI LANGKAH II (6) (2)
(4) (3) (1) x
2 A B C D E F
LANGKAH UMUM (CONTOH)
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
3
1
3 x / x = / +
1
4
3
4
- – x + x = 3
3
4 +
1
7 x / x = /
2
4
3
4
- – 1
1 / x + x = /
4
3
6
4
1
3
1 x = / , x = / , x = 1, x = 4, x = 0, x = /
1
2
2
2
3
4
5
6
2 Nilai fungsi tujuan
1
3 1 / ) + 3( / ) + 0(1) + 0(4) + 0(0) + 0( / ) Z = 2(
2
2
2
1 = 5 /
2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
3
1
3
1
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3: Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
5 –
3
3 x / x = /
1
4
5
4 x x + = 3
5
4 +
1
7 x / x = /
4
2
5
4 -
1
1 / x + x = /
4
5
6
4
1
1
1 x = 1 / , x = 1 / , x = 0, x = 2, x = 1, x = /
1
2
2
2
3
4
5
6
2 Nilai fungsi tujuan
1
1
1 Z = 2(1 / ) + 3(1 / ) + 0(0) + 0(2) + 0(1) + 0( / )
2
2
2
1 = 7 /
2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
5
1
3
3 Z = 7 / – 6 / = /
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3:
Karena Z negatif untuk x nilai fungsi tujuan tidak dapat
3 dinaikkan
Karena Z positif untuk x nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan
5 Sampai seberapa jauh dapat dinaikkan? x
5 Jika x dinaikkan maka nilai variabel basis : x , x , x , x
5
1
2
4
6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak .
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3: Batas peningkatan x :
5 Dengan memasukkan nilai , , , = 0 x x x x
2
3
4
6
3
3 x / x = / x = -1
- – 1
4
5
4
5 x + x = 3 x = 3
4
5
5
1
7 x / x = / + x = 7
2
4
5
4
5 -
1
1
/ x + x = / x = -1
4
5
6
4
5 ( Maksimum peningkatan x = minimum , 3, , )
7
5 = 3
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 3: x dinaikkan ke 3
5 maka x menjadi variabel non basis
4 x = 3, x = 1, x = 0, x = 0, x = 3, x = 1
1
2
3
4
5
6 dan Z = 9
LANGKAH UMUM (CONTOH)
x
- – x
4 x
1 /
3 +
4 x
1 /
2 +
5 = 3 x
4 + x
3 + x
7 /
1 +
1 /
4 x
3 –
3 /
4 x
5 =
5 =
- – 1
/
4
4 = 3
Memperbaiki Solusi Layak 3: x
1 –
1 /
2 x
3 +
3 /
4
x4
4
1 /
6 =
5 + x
4 x
1 /
3 -
4 x
3 /
- – x
+ x
4 = 1
4
x
3
4 + x
5 = 3 x
2 +
1 /
2 x
3 -
1 /
- – 1
/
3
, x
2 x
3 +
1 /
4
x4 + x
6 = 1 Variabel basis : x
1 , x
2
, x
5 , x
6 Variabel non basis: x
4 Sistem Kanonik
VISUALISASI LANGKAH III (6) (2)
(4) (3) (1) x
2 A B C D E
LANGKAH UMUM (CONTOH)
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4:
Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
3
1 x / – x = 3
1
2
3
- – x + x = 3
3
5
1 x / + x = 1
2
2
3
1 / x + x = 1 –
2
3
6
1
1
3 x = 3 / , x = / , x = 1, x = 0, x = 4, x = /
1
2
2
2
3
4
5
6
2 Nilai fungsi tujuan
1
1 3 / ) + 3( / ) + 0(1) + 0(4) + 0(4) + 0( / ) Z = 2(3
2
2
2
1 = 8 /
2 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
3
1
1
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4: Misalkan variabel non basis x dinaikkan 1 unit
4
3 x / + x = 3
1
4
4 + x + x = 3
4
5
1 x / - x = 1
2
4
4
1 / x + x = 1 +
4
4
6
1
1
3 x = 2 / , x = 1 / , x = 0, x = 1, x = 2, x = /
1
4
2
4
3
4
5
6
4 Nilai fungsi tujuan
1
1
3 Z = 2(2 / ) + 3(1 / ) + 0(0) + 0(1) + 0(2) + 0( / )
4
4
4
1 = 8 /
4 Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x
4 -
1
3 Z = 8 / – 9 = /
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Memperbaiki Solusi Layak 4:
Karena Z negatif untuk x nilai fungsi tujuan tidak dapat
3 dinaikkan
Karena Z negatif untuk x nilai fungsi tujuan tidak dapat
4 dinaikkan
Karena tidak ada variabel non basis yang dapat dinaikkan
yang dapat memberikan peningkatan pada nilai fungsi tujuan Z maka solusi saat ini adalah optimal .(6) x
2 LANGKAH UMUM (CONTOH)
VISUALISASI LANGKAH IV
Didapatkan nilai dari x dan
1 x adalah 3 dan 1 yang
2 menghasilkan nilai . Z = 9 (2)
(4) D E C
(3) (1) B
A
LANGKAH UMUM (CONTOH)
Untuk masalah maksimasi: Suatu solusi basis layak adalah optimal jika
- – profit relatif (Z) dari variabel non basis adalah negatif atau nol.
Metode Simplex dalam
Bentuk Tabular
(Simplex Method in Tabular Form)
Metode simplex dalam bentuk
tabular Contoh masalah LPMemaksimumkan Z = 2x + 3x
1
2 dengan pembatas-pembatas: x + 3x
6
1
2
2x + 2x 81
2
1
2 x 2
- –x + x 1
2 x ≥ 0, x ≥ 0
1
2
Metode simplex dalam bentuk
tabular Bentuk kanonik: Memaksimumkan Z = 2x +3x +0x +0x +0x +0x1
2
3
4
5
6 dengan pembatas-pembatas: x + 3x + x = 6
1
2
3 2x + 2x + x = 8
1
2
4
- – x + x + x = 1
1
2
5
x + x = 22
6 x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ 0
1
2
3
4
5
6
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Metode simplex dalam bentuk tabular Representasi tabel untuk solusi basis layak awal
2
3
c Beyond Bullet Points j
c Konstanta
B
x x x x x x
1
2
3
4
5
6 Basis
x
1
3
1
6
3
x
2
2
1
8
4 PowerPoint Slides
x
- 1
1
1
1
5
x
1
1
2
6 PowerPoint Training Baris c Nilai fungsi tujuan Metode simplex dalam bentuk tabular konstanta dan vektor dari product inner
B c Z
2
1
8
6 , , ,
Z
Metode simplex dalam bentuk tabular Pemeriksaan optimalitas
Nilai fungsi tujuan relatif (proft relatif /ongkos relatif )
untuk variabel non basis: inner prod uct dari c dan kolom yang B
c c
j j
berkaitan dengan x dalam sistem kanonik j
Kondisi optimal terjadi apabila semua nilai koefsien fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis adalah tak positif [untuk masalah Nilai fungsi tujuan relatif untuk variabel non basis Metode simplex dalam bentuk tabular
3
2
3
3 , , ,
2
1
1
2
c
1
2
1 , , ,
2
1
c
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Metode simplex dalam bentuk tabular Tabel 1 (awal)
Beyond Bullet Points
2
3
c j
c
Konstanta B
x x x x x x
1
2
3
4
5
6 Basis
x
1
3
1
6
3 PowerPoint Slides
x
2
2
1
8
4
x
- 1
1
1
1
5
x
1
1
2
6 PowerPoint Training
2
3 Z = 0
Baris c
Metode simplex dalam bentuk tabular
Penentuan variabel yang masuk (entering variable)
Variabel non basis yang dipilih untuk
- masuk ke basis (entering variable) variabel yang memberikan peningkatan per unit pada Z yang terbesar, yaitu variabel non basis yang mempunyai nilai
fungsi tujuan relatif terbesar (paling positif untuk masalah maximize).
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Metode simplex dalam bentuk tabular Penentuan variabel yang masuk (entering variable) Beyond Bullet Points
2
3
c j
c
Konstanta B
x x x x x x
1
2
3
4
5
6 Basis
x
1
3
1
6
3 PowerPoint Slides
x
2
2
1
8
4
x
- 1
1
1
1
5
x
1
1
2
6 PowerPoint Training
2
3 Z = 0
Baris c
Metode simplex dalam bentuk tabular Penentuan variabel yang keluar (leaving variable)
Untuk menentukan variabel basis yang akan diganti (leaving variable) , aturan rasio minimum (minimum ratio rule) digunakan untuk menentukan limit bagi tiap pembatas. Beyond Bullet Points PowerPoint Slides PowerPoint Training
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Penentuan variabel yang keluar (leaving variable) Nomor baris Variabel basis Batas atas bagi x
2
1 x
3 6/3 = 2
2 x
4 8/2 = 4
3 x
5 1/1 = 1 (minimum)
4 x
6 2/1 = 2
Metode simplex dalam bentuk tabular Pilih nilai rasio positif terkecil untuk menjamin nilai variabel basis masih di batas layak
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Metode simplex dalam bentuk tabular Penentuan variabel yang keluar (leaving variable) Beyond Bullet Points
2
3
c j
c
Konstanta B
x x x x x x
1
2
3
4
5
6 Basis
x
1
3
1
6
3 PowerPoint Slides
x
2
2
1
8
4
x
- 1
1
1
1
5
x
1
1
2
6 PowerPoint Training
2
3 Z = 0
Baris c
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Metode simplex dalam bentuk tabular Tabel 2
2
3 Beyond Bullet Points
c j
c
Konstanta B
x x x x x x
1
2
3
4
5
6 Basis
x
4 1 -3
3
3 PowerPoint Slides
x
4 1 -2
6
4
x 3 -1
1
1
1
2
x
1
- 1
1
1
6 PowerPoint Training
5
- 3 Z = 3
Baris c
Metode simplex dalam bentuk tabular Baris c
1
3 x
4
4 1 -2
6
3 x
2
1
3
1 x
6
1
1
1
5
Basis c j
4 1 -3
x
Beyond Bullet Points PowerPoint Slides PowerPoint Training
x
It’s not the design of your template, it’s what you do with it that
counts
Penentuan variabel yang masuk (entering variable)
c
B
2
3 Konstanta x
1
2
6
x
3
x
4
x
5
x