Edisi 9 Maret Pekan Ke-1, 2009 Nomor Soal: 81-90

  

Solusi Pengayaan Matematika

Edisi 9

Maret Pekan Ke-1, 2009

  

Nomor Soal: 81-90

Perhatikan diagram berikut ini yang menunjukkan denah jalan Cemara di Pagelaran Bogor. Jarak 81. jalan DA = 100 m, AB = 200 m, B ke C ke D = 300 m. Jalan AC dan jalan AB saling tegak lurus.

  D adalah pos keamanan. Berapa jarak pos keamanan D dari pojok C? C A. 80 m

  B. 75 m D

  C. 60 m

  D. 50 m

  E. 48 m A B

  Solusi: [D] Misalnya jarak CD = x m, maka jarak BC = (300 – x) m.

  C Menurut Teorema Pythagoras: _{2 2 2} x

BC  AB  AC

  _{2 2 2 D} (300

• – x)

  ( 300  x )  200  ( 100  x ) _{2 2}       90 . 000 600 x x

  40 . 000 10 . 000 200 x x 100  800 x

  40 . 000

  x 

  50 A 200 B Jadi, pos keamanan D dari pojok C adalah 50 meter.

  82. titik A ke titik singgungnya adalah 6 cm. Rasio panjang AC dan BC adalah ….

  Diberikan ABC dengan AB = 14 cm. Lingkaran dalamnya memiliki diameter 8 cm. Jarak dari

A. 1 : 5 B. 1 : 3 C. 3 : 5 D. 13 : 15 E. 13 : 14

  Solusi: [D]

  1

  1 r  d   8  4 cm

  2

2 C

  AD  s  a 

  6 cm

   k k BD  AB  AD  s  b 

  14  6  8 cm

  E

      cm

  AF AD s a

  6 F r = 4    

  BE BD s b

  8 cm

  8

  6 Ambillah CE  CF  s  c  k , sehingga O  c  cm AB

14 BC  a  (

  8  k ) cm

  A

  6 D

  8 B AC  b  (

  6  k )

  cm

  1

  1 s ( a b c ) ( 8 k 6 k 14 ) ( k 14 )

  Setengah keliling ABC adalah           cm

  2

  2 Menurut Heron, luas ABC adalah ABC   L s s  a s b s c   , sehingga    

   

       

  L ( k

  14 )( 6 )( 8 )( k ) ( k

  14 )( 6 )( 8 )( k )

  

4

3 k ( k 14 )

  L r  s

  4 3 k ( k 14 )  4  k

  14     k

  14 ₂ 3 k ( k 14 )

  ( k  14 )  ₂ 3 k ( k  14 ) ( k  14 )  3 k ( k  14 ) 

  ( k  14 )( k  14  3 k )  ( k  14 )(  2 k  14 ) 

  k  

  14 (ditolak) atau k  7 (diterima).

  Jadi,      cm dan      cm.

  AC

  6 k

  6

  7

  13 BC 8 k

  8

  7

  15 Terdapat sebuah persegi dengan panjang sisi 14 cm. Pada masing-masing sisi kita menggambar 83.

  suatu setengah lingkaran berjari-jari 7 cm dengan pusat pada peretengahan sisi itu. Tentukan luas daerah yang diarsir. ₂ A. 72 cm ₂ B. 96 cm ₂ C. 102 cm ₂ D. 108 cm ₂ E. 112 cm Solusi: [E]

   Luas tembereng AB = Luas juring AOB _o

– luas  AOB

  90

  22 ₂

  1 B

   =   _o 7   7 

  7 360

  7

  2

  49 77  =

  7 cm

  2 ₂

  2 = 14 cm _{2 7 cm} A O Jadi, luas daerah yang diarsir   8 14 112  cm . ₂ Sebidang tanah berbentuk persegi panjang, luasnya 288 m jumlah kuadrat sisi-sisinya adalah 84. ₂

  864 m . Berapakah panjang sisi terpendeknya dari tanah itu ?

A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 16 m D. 24 m

  Solusi: [D] Ambillah sisi-sisi persegi panjang itu adalah x dan y m.

  Luasnya = 288 xy  288

  Jumlah kuadrat sisi-sisinya = 1440 _{2 2 2 2}

     

  x x y y 1440 _{2 2}

   y 

  x 720 ₂

     ( x y ) 2 xy 720 ₂ Substitusi xy  288 ke persamaan ( x  y )  ₂ 2 xy  720 , maka diperoleh

  ( x  y )  576  720 ₂ ( x  y )  1296

  x  y 

  36 y  36  x (diterima) atau x  y   36 (ditolak)

  

   36  

  Substitusikan y x ke persamaan xy 288 , maka diperoleh:

   x 

  x ( ₂ 36 ) 288 x  x

  36  288  ( x  12 )( x  24 ) 

  x 

  12 atau x 

  24 Untuk  , maka y  24 atau untuk  , maka y 

  12

  x

  12 x

  24 Jadi, panjang sisi terpendek sebidang tanah itu adalah 12 meter.

  Diberikan dua tiang yang berdiri tegak lurus pada tanah tingginya masing-masing 10 m dan 8 m.

  85. Dari masing-masing puncaknya dibentangkan tali ke bawah tiang yang lainnya. Berapakah tinggi titik temu kedua utas tali itu dari tanah?

  4

  4

  7

  4

  4 7 m B. 6 m C. 5 m D. 5 m E. 4 m A.

  9

  9

  9

  9

  9 Solusi: [E]

  AB EF 

  A BF CF CF 

  EF CF  …. (1)

  AB BF  CF D

  

10 m

CD EF

  E 

  BF  CF BF 8 m

  EF BF  …. (2)

  B C CD BF  CF

  F Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

  EF EF CF BF   

  AB CD BF CF BF CF  

  EF EF  

  1 AB CD AB CD 

   10 8

  4 EF  

  

  4 AB  CD 10 

  8

  9

  4 Jadi, tinggi titik temu kedua utas tali itu adalah 4 m.

  9 Pada diagram O adalah pusat dari lingkaran yang berjari-jari r, dan ED = r. Jika 86. p

        DEC BOA , maka nilai p q .... q

  B

  A. 8

  B. 7 r D

  C. 6

  D. 4 r A

  C O E

  E. 3 Solusi: [D] Misalnya  DEO  .

  α Karena  DOC  .

  DEO sama kaki, maka α B o

  EDO 180

  2    α . r _{o o} D

   BDO  180  180  2  2 .

  α α

    Karena  DBO  2 .

  BDO sama kaki, maka α r A

  C O E o o

   BOD  180  2  2  180  4 . _{o o}  α α  α      

  BOA 180 α 180

  4 α 3 α _{o o}    BOA  180   180  4 

  3

  α α α  

  1  

  α BOA

  3 1 p    ekuivalen dengan    

DEC BOA DEC BOA

  3 q      

  Sehingga p

  1 dan q 3 . Karenanya p q 1 3 4 .

  Antara pukul 10.30 dan 11.00 jarum panjang dan jarum pendek suatu arloji berimpit pada pukul 87. 10 lebih ….

  6

  6

  6

  6

  6 54 menit B. 27 menit C. 15 menit D. 5 menit E. 4 menit A.

  11

  11

  11

  11

  11 Solusi: [A] 

  

  Setiap 1 menit, jarum panjang bergerak  360 

  6 dan

  12

  60

  11

   

  

  10 jarum pendek bergerak 30  ,

  5 .

  60 Ambillah kedua jarum berimpit setelah x menit, sehingga

  9  6 x , 5 x   

   5 , 5 x  135

  6 

  x

  24

  6

  11

  6

  6 Jadi, kedua jarum berimpit pada pukul 10 lebih   menit.

  30

  24

  54

   

  11

  11 Tiga lingkaran pada gambar bersinggungan satu sama lain. Jika dan , carilah jari-

  r  ₁ 9 r  ₂

  4 88. jari lingkaran paling kecil.

  31 A.

  25

  32 B.

  25

  33 C.

  25

  r ₁

  34 D.

  r ₂

  25

  36 E.

  25 Solusi: [E]

  Misalnya jari-jari lingkaran kecil x, sehingga _{2 2} FG  AG  AF _{2 2}  ( 9  x )  ( 9  x ) r A ₁

   ( 9  x  9  x )( 9  x  9  x )

  r ₂ I

   

  B

  36 x ₂ 6 x ₂ F

HG  BG  BH

  H G D C E

  2 ² ( 4 x ) ( 4 x )        

  16 x  4 x

      ( _{2 2 2} 4 x 4 x )( ₂ 4 x 4 x )

   

  BI  AB  AI (

  9 4 ) (

  9 4 ) 169

  25  144 

  12     FH  BI  CE 

  12  

  FH FG HG

   

  12 6 x 4 x 

  12 10 x

  6 

  x

  5

  36

  x 

  25

  36 Jadi, jari-jari lingkaran kecil adalah .

  25 Jika panjang dan lebar persegi panjang adalah 2a dan a, hitunglah luas daerah yang diarsir.

  89.

  2 3a 2a

  A.

  2 2a B.

  2 ₂

  a C. a

  3

  1 ₂

  a D.

  2

  1 ₂

  a E.

  3 Solusi: [C]

  AB EF A

  

  BF  CF CF EF CF

  

  …. (1) AB BF  CF a D

  E CD EF

  1

  

  a

  

  BF CF BF

  2 EF BF

  

  

…. (2) C F B

CD BF  CF

  Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: EF EF CF BF

    

  AB CD BF  CF BF  CF EF EF

   

  1 AB CD

  1 ₂ a  a

  AB  CD a a

  2 EF    

  1 AB  CD 3 a

  3 a a

  

  2

  1

  1

  1

  1 a 

  1 ₂ BEA  ABC  BCE  BC  AB  BC  EF  BC ( AB  EF )  a    a   a

       

  2

  2

  2

  2

  3

  3

   

  1 ²

  2 ² Jadi, luas daerah yang diarsir  2  BEA    .

   

  2 a a

  3

  3 Jika panjang sebuah persegi panjang ditambah 2 cm dan lebarnya 3 cm, maka hasil perubahan itu 90. berupa sebuah persegi. Sedangkan jika panjangnya di tambah 3 cm dan lebarnya ditambah 2 cm, ₂ maka persegi panjang itu luasnya bertambah 43 cm . Berapakah keliling persegi panjang tersebut?

A. 50 cm B. 45 cm C. 42 cm D. 40 cm E. 30 cm

  Solusi: [E] Ambillah panjang dan lebar persegi panjang itu adalah x dan y, sehingga: x 

  2  y  3 (persegi)

  y  x 

  1 …. (1)

      ( x 3 )( y 2 ) xy

  43     

  xy

  2 x 3 y 6 xy

  43  y  2 x

  3

  37

  …. (2) Dari persamaan (1) dan (2) kita memperoleh:

  2 x  x 3 (  1 ) 

  37 2 x  x 3  3 

  37 5 x 

  40 

  x

  8  y  x  1   

  x

  8 

  8

  1

  7 Jadi, keliling persegi panjang itu = 2(8 + 7) = 30 cm.