analisis kompleks fungsi analitik pdf

2. Fungsi Analitik

2. FUNGSI ANALITIK

f (z )

Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila
Untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks

ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.

w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan Cauchy –

Riemann. Sebelum mempelejari persamaan Cauchy-Riemann akan diperkenalkan terlebih dahulu pengertian
tentang limit fungsi dan turunan fungsi pada bilangan kompleks.
Oleh karena itu, setelah membaca Bab 2, mahasiswa diharapkan dapat


Mengerti definisi fungsi analitik



Menghitung nilai limit dari fungsi kompleks



Menentukan kekontinuan fungsi



Mencari turunan fungsi



Menentukan fungsi analitik dan fungsi harmonik

2.1 Fungsi Peubah Kompleks
Definisi

Misalkan S himpunan bilangan kompleks. Fungsi kompleks f pada S adalah aturan yang
mengawankan setiap

zS

dengan biangan kompleks w.

Notasi w = f(z).
Dalam hal ini, S disebut domain dari f dan z dinamakan variabel kompleks.

Misalkan w = u + iv adalah nilai fungsi f di z = x + iy, sehingga
u + iv = f(x + iy).
Masing-masing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga f(z) dapat dinyatakan sebagai
pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y).
Jika koordinat polar r dan θ pada x dan y digunakan, maka
u + iv = f(reiθ),
dimana w = u + iv dan z = reiθ. Sehingga f(z) dapat ditulis menjadi
f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).
Contoh 1

2

Misalkan w = f(z) = z +3z.
Tentukan u dan v serta hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i. Nyatakan juga u dan v dalam bentuk polar.
Penyelesaian:
Misal z = x + iy, sehingga

f ( z)  f ( x  iy )  ( x  iy ) 2  3( x  iy )  x 2  3x  y 2  i(2 xy  3 y)
Jadi

u  x 2  3x  y 2

Untuk z = 1 + 3i maka

dan

v  2 xy  3 y .

f ( z )  f (1  3i)  (1  3i) 2  3(1  3i)  5  15i .

Jadi u(1,3) = -5 dan v(1,3) = 15.

iθ

Jika koordinat polar digunakan dimana z = re , maka

f ( z )  f (rei )  (rei ) 2  3(rei )  r 2 e 2i  3rei
 r 2 cos 2  ir 2 sin 2  3r cos   3ir sin 
 r 2 cos 2  3r cos   i (r 2 sin 2  3r sin  )
Jadi

u  r 2 cos 2  3r cos 

dan

v  r 2 sin 2  3r sin  .

10

2. Fungsi Analitik

2.2 Pemetaan / Transformasi

Sifat-sifat dari fungsi bernilai riil dapat dilihat dari grafik fungsinya. Tetapi untuk w = f(z), dimana w dan
z bilangan kompleks, tidak ada grafik yang menyatakan fungsi f karena setiap bilangan z dan w berada di bidang
bukan di garis bilangan.
Definisi Transformasi

Korespondensi antara titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang-w disebut
pemetaan atau transformasi dari titik-titik di bidang-z dengan titik-titik di bidang w
oleh fungsi f.

Pemetaan dapat berupa:


Translasi / pergeseran



Rotasi / perputaran



Refleksi / pencerminan

Sebagai contoh, pemetaan


w = z + 1 = (x+1) +iy, dimana z = x + iy, mentranslasikan / menggeser setiap titik z satu satuan ke kanan.




 
w  iz  r exp i   , dimana z = reiθ dan i = eiπ/2, merotasi
2 


/ memutar setiap titik taknol z ke

kanan dari pusatnya berlawanan arah jarum jam.


w  z  x  iy

merefleksikan / mencerminkan setiap titik z = x + iy pada sumbu riil.

2.3 Limit
Secara umum definisi limit dalam kompleks sama dengan definisi limit pada bilangan riil dalam kalkulus.
Kalau pada bilangan riil bila x mendekati x0 hanya mendekati sepanjang garis riil sedangkan pada bilangan kompleks
bila z mendekati z0 akan mendekati dari semua arah dalam bidang kompleks.
Definisi Limit

lim f ( z )  w0

z  z0

dibaca “limit f(z) untuk z menuju z0 sama dengan w0 “, dan

didefinisikan sebagai berikut:

lim f ( z )  w0    0   0  0  z  z 0  

z  z0

berlaku

f ( z )  w0   .
Secara geometri definisi di atas mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan- dari w0, yaitu |w - w0 |<  ada suatu
lingkungan- dari z0, yaitu 0 < |z - z0| <  sedemikian sehingga setiap titik z pada image w berada pada lingkungan
Dalam hal ini


Jika limit tersebut ada, maka limitnya tunggal



z mendekati z0 dari berbagai arah atau lintasan



Jika untuk lintasan yang berbeda, nilai f(z) untuk z menuju z0 berbeda maka

lim f ( z )

z z0



f(z) tidak disyaratkan terdefinisi di z = z0

11

tidak ada

2. Fungsi Analitik

Contoh 2

f ( z) 

Misalkan

iz
i
, z  1 . Buktikan lim f ( z )  .

z
1
2
2

Bukti:
Ambil

> 0 sebarang. Pilih

f ( z) 

  2  z  1  

berlaku

i
iz i
i ( z  1) i z  1 1 z  1
  


2
2 2
2
2
2


z 1
2







2

2

2

Jadi untuk setiap z dan  positif berlaku

f ( z) 

i

2

bila

0  z  1  2 , lihat

gambar 2.
Sehingga menurut definisi limit terbukti

Contoh 3
Misalkan

f ( z) 

lim f ( z ) 
z 1

i
.
2

z
. Buktikan lim f ( z ) tidak ada.
z0
z

Bukti:
Akan ditunjukkan nilai limit dengan lintasan yang berbeda.


Pendekatan sepanjang sb-x positif, dalam hal ini y = 0.

lim f ( z ) 

z 0



x  iy
x  i.0
 lim
 lim 1  1.
( x , y )( 0, 0 ) x  iy
( x , 0 ) x  i.0
x 0
lim

Pendekatan sepanjang sb-y positif, dalam hal ini x = 0.

lim f ( z ) 

z 0



x  iy
0  i. y
 lim
 lim  1  1 .
y 0
( x , y )( 0, 0 ) x  iy
( 0, y ) 0  i. y
lim

Pendekatan sepanjang garis y = x.

lim f ( z ) 

z 0

x  iy
x  i.x
x(1  i) 1  i
 lim
 lim

.
( x , x )( 0, 0 ) x  iy
x 0 x  i.x
x 0 x(1  i )
1 i
lim

Karena pendekatan sepanjang arah yang berbeda menghasilkan nilai yang tidak sama maka

lim f ( z ) tidak ada.

z0

Teorema 1

Andaikan f(z) = u(x,y) + iv(x,y), z0 = x0 + iy0 , ω0 = u0 + iv0 maka

lim f ( z )  0

z  z0



lim

( x , y ) ( x0 , y 0 )

u( x, y)  u0

dan

lim

( x , y ) ( x0 , y 0 )

v( x, y)  v0

Bukti:

(  ) Misalkan

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y)  u 0

  0 1 ,  2  u  u 0 
v  v0 
Pilih

  min(1 ,  2 ) .


2


2

dan

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y)  v0 , artinya

,0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   1

,0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2   2

12

2. Fungsi Analitik

Karena

(u  iv )  (u0  iv 0 )  (u  u0 )  i(v  v0 )  u  u0  v  v0
dan

( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )
maka
Jadi



(u  iv )  (u 0  iv 0 ) 

2

lim f ( z )  0 .




2



bila

0  ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .

z  z0

() Misalkan lim f ( z )  0 , artinya
z  z0

  0  (u  iv )  (u0  iv 0 )  

bila 0

 ( x  iy )  ( x0  iy 0 )   .

Perhatikan bahwa

u  u 0  (u  u 0 )  i(v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )
v  v0  (u  u 0 )  i(v  v0 )  (u  iv )  (u 0  iv 0 )
dan

( x  iy )  ( x0  iy 0 )  ( x  x0 )  i( y  y0 )  ( x  x0 ) 2  ( y  y0 ) 2
Sehingga

u  u0  

dan

v  v0  

0  ( x  x0 ) 2  ( y  y 0 ) 2  
Jadi

Teorema 2

Andaikan

lim

( x , y )( x0 , y0 )

u( x, y)  u 0

.

dan

lim f ( z )  A , lim g ( z )  B

z  z0

z  z0

bila

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y)  v0 .

maka

lim  f ( z )  g ( z )  A  B .



z  z0

lim f ( z ) g ( z )  AB .



z  z0

lim



z  z0

f ( z) A
 .
g ( z) B

2.4 Limit Tak Hingga dan Limit di Tak Hingga
Kadang-kadang suatu bidang kompleks memuat titik di tak hingga.Bidang kompleks yang memuat titik
tersebut disebut bidang kompleks yang diperluas.

Teorema 3

Jika z0 dan w0 titik-titik pada bidang z dan w, maka
1)

2)

3)

lim f ( z )  

z  z0

lim f ( z )  w0

z 

lim f ( z )  

z 

1
0
z  z0 f ( z )
1
jhj lim f    w0
z 0
z
1
jhj lim
0
z 0
f (1 / z )

jhj

lim

Bukti:

13

2. Fungsi Analitik

1)

lim f ( z )   ,

Misalkan

z  z0

artinya

  0  f ( z ) 

1



bila 0 < |z – z0| <

............…………………………………..(#).
Akan dibuktikan

lim

z  z0

1
 0.
f ( z)

Titik w = f(z) berada di suatu lingkungan- ,yaitu |w| > 1/
lingkungan 0 < |z – z0| < dari z0.
Sehingga persamaan (#) dapat ditulis menjadi

2)

1
 0   bila 0 < |z – z0| <
f ( z)
1
 0.
Jadi lim
z  z0 f ( z )
Misalkan lim f ( z )  w0 ,

dari ∞ bila z ada di

.

z 

  0  f ( z )  w0  

artinya

Akan dibuktikan

bila |z| >1/ .............(*).

1
lim f    w0 .
z 0
z

Pada persamaan (*) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

1
f    w0  
z

bila 0

< |z – 0| < .

1
lim f    w0 .
z 0
z
Misalkan lim f ( z )   ,
Jadi

3)

z 

artinya

  0  f ( z ) 

Akan dibuktikan

lim

z 0

1



bila |z| > 1/ ……………....(**).

1
 0.
f (1 / z )

Pada persamaan (**) rubah z dengan 1/z, maka akan diperoleh

1
0 
f (1 / z )

0 < |z – 0| < .
Jadi

lim

z 0

1
 0.
f (1 / z )

2.5 Kekontinuan
Definisi Kontinu

Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z = z0 jika


lim f ( z )

ada

z z0




f(z0) ada

lim f ( z )  f ( z 0 )

z  z0

Dengan kata lain f(z) kontinu di z = z0 jika

lim f ( z )  f ( z 0 )    0   0  z  z 0  

z  z0

f ( z)  f ( z0 )   .

14

berlaku

bila

2. Fungsi Analitik

Fungi kompleks f(z) dikatakan kontinu pada region D jika f(z) kontinu pada tiap titik z dalam D. Misalkan f(z) =
u(x,y) + iv(x,y) kontinu di z0 = x0 + iy0 ,

 u(x,y) dan v(x,y) kontinu di (x0,y0)


lim

( x , y )( x0 , y0 )

Sifat-sifat fungsi kontinu

u( x, y)  u( x0 , y0 )

dan

lim

( x , y )( x0 , y0 )

v( x, y)  v( x0 , y0 ) .

1)

Fungsi konstan kontinu pada bidang kompleks

2)

Jika f dan g kontinu pada daerah D maka
a)

f+g kontinu

b)

f-g kontinu

c)

f.g kontinu

d)

f/g kontinu kecuali di

z0  D

sehingga g(z0) = 0.

2.6 Turunan
Definisi Turunan

Turunan fungsi f di z0, ditulis dengan

f ( z 0 )  lim

z 0

f ( z 0 )

f ( z 0  z )  f ( z 0 )
z

Notasi untuk turunan f di z adalah

f ( z ) 

didefnisikan sebagai berikut:

jika limitnya ada.

d
f ( z) .
dz

Aturan turunan pada bilangan riil berlaku juga pada bilangan kompleks.
Aturan Turunan
1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Contoh 4

d
(c )  0
dz
d
( z)  1
dz
d
c( f ( z )  cf ( z)
dz
d n
( z )  nz n 1 , z  0, n  
dz
d
 f ( z)  g ( z)  f ( z)  g ( z)
dz
d
 f ( z) g ( z)  f ( z) g ( z)  f ( z) g ( z)
dz
d  f ( z )  f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )

dz  g ( z ) 
g ( z)2

Tentukan turunan dari fungsi berikut:
1.

f(z) = (2z2 + i)5

15

2. Fungsi Analitik

2.

f ( z) 

( z  i)
pada i
z i

Penyelesaian :
1.

Dengan menggunakan aturan turunan (4) dan aturan rantai diperoleh

f ( z )  5(2 z 2  i) 4 .4 z  20 z(2 z 2  i) 4 .
2.

Dengan menggunakan aturan turunan (7) diperoleh

f ( z ) 

f ( z ) g ( z )  f ( z ) g ( z )

g ( z)

2



1( z  i)  ( z  i)1

z  i 

2



2i
( z  i) 2

Sehingga untuk z = i diperoleh

f (i) 

Aturan Rantai

2i
2i
1
 2   i.
2
2
(i  i)
4i

Misalkan f mempunyai turunan di z0, dan g mempunyai turunan di f(z0). Maka fungsi F(z) =
g[f(z)] mempunyai turunan di z0, dan

F ( z0 )  g[ f ( z0 )]. f ( z0 ).
Dengan kata lain, jika w = f(z) dan W = g(w) = F(z), maka menurut aturan rantai

dW dW dw
.

dz
dw dz

Contoh 5

Tentukan turunan dari fungsi f(z) = (2z2 + i)5 dengan menggunakan aturan rantai!
Penyelesaian:
Misalkan w = 2z2 + I dan W = w5. Maka menurut aturan rantai

dW dW dw
= (5w4)(4z) = 20z(2z2 + i)4.

dz
dw dz

2.7 Persamaan Cauchy – Riemann
Persamaan Cauchy – Riemann merupakan persamaan yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena
persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks

Definisi Persamaan Cauchy Riemann

w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika turunan parsial pertama
dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy – Riemann, yaitu

ux  vy
dengan

u y  v x

ux 

u
x

uy 

16

u
y

vx 

v
x

vy 

v
.
y

2. Fungsi Analitik

Misalkan f(z) = z2 = x2 – y2 + 2ixy.

Contoh 6

Apakah f(z) analitik untuk semua z ?
Penyelesaian :
f(z) analitik jika memenuhi persamaan Cauchy – Riemann,

ux  vy

u y  v x .

Perhatikan bahwa
u = x2 – y2 dan v = 2xy. Maka ux = 2x = vy dan uy = -2y = -vx. Karena memenuhi persamaan C-R maka
f analitik untuk semua z.

Teorema 4

Misalkan f(z) = u (x,y) + iv (x,y) terdefinisi dan kontinu di suatu lingkungan dari z = x + iy dan
mempunyai turunan di z maka ux , vy , uy , vx ada dan memenuhi persamaan Cauchy - Riemann

ux  vy

Teorema 5

u y  v x .

Jika dua fungsi kontinu yang bernilai riil u(x,y) dan v(x,y) mempunyai turunan parsial pertamanya
kontinu dan memenuhi persamaan Cauchy – Riemann dalam domain D maka fungsi kompleks f(z) =
u (x,y) + iv (x,y) analitik di D.

Apakah f(z) = z3 analitik?

Contoh 7

Penyelesaian
Perhatikan bahwa
u = x3 – 3xy2 dan v = 3x2 y – y3. Maka ux = 3x2 – 3y2 = vy dan

uy = -6xy = -vx. Karena

memenuhi persamaan C-R maka f analitik untuk semua z.

2.8 Fungsi Analitik
Definisi Fungsi Analtik

Fungsi f(z) disebut analitik (atau holomorfik atau reguler atau monogenik) di titik z0
apabila f’(z) ada di semua titik pada suatu lingkungan z0.

Teorema 5

Misal f(z) = u(x,y) + iv(x,y). Andaikan
i.

ux , vy , uy , vx kontinu di semua titik dalam lingkungan tertentu N dari titik z0

ii.

persamaan Cauchy- Riemann

ux  vy

u y  v x berlaku di setiap titik di

N
maka f(z) analitik di z0.
Buktikan f(z) = | z | 2 tidak analitik

Contoh 8

Bukti:
Karena f hanya mempunyai turunan di z = 0 atau f’(z) tidak ada pada persekitaran z = 0.
Beberapa hal yang perlu diperhatikan


Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik pada S.



Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi menyeluruh /fungsi utuh (entire function).



Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan titik pada bidang datar yang membuat f
analitik.

17

2. Fungsi Analitik

Contoh 9
Misalkan

f ( z) 

z3  z 1
. Apakah f(z) analitik?
z2 1

Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z2 + 1 = 0 atau z = ± i. Jadi f(z) analitik kecuali di z = ±
i.
Definisi Titik Singular

Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f gagal menjadi analitik
pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat paling sedikit satu titik yang membuat f
analitik.

Contoh 10
Misalkan

f ( z) 

2z  1
. Tentukan titik singular dari f dan tentukan dimana saja
z3  z

f(z) analitik!
Penyelesaian:
f’(z) ada di semua z kecuali di z3 + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i . Sehingga
titik singular dari f adalah di z = 0 dan

di z = ± i. f(z) analitik di semua z

3

kecuali di z + z = 0 atau di z = 0 dan di z = ± i .

2.9 Fungsi Harmonik
Definisi Fungsi Harmonik

Fungsi riil H(x,y) yang mempunyai turunan parsial orde 1 dan 2 yang kontinu dan
memenuhi persamaan Laplace

H xx ( x, y)  H yy ( x, y)  0
Contoh 11

disebut fungsi Harmonik.

Misalkan u(x,y) = x2 – y2 dan v(x,y) = 2xy. Apakah u dan v fungsi harmonik?
Penyelesaian:
Perhatikan bahwa:
ux = 2x

vx = 2y

uxy = 0

vxy = 2

uy = -2y

vy = 2x

uyx = 0

vyx = 2

uxx = 2

vxx = 0

uyy = -2

vyy = 0

Karena ux = 2x = vy , uy = -2y = -vx , uxx + uyy = 2 + (-2) = 0 dan vxx + vyy = 0 + 0 = 0
dimana u dan v memenuhi persamaan Laplace maka u dan v fungsi harmonik.

Definisi Fungsi Harmonik
Sekawan

Misalkan f(z) = u + iv.

v disebut fungsi harmonik sekawan dari u jika u fungsi

harmonik dan v fungsi harmonik.

Contoh 12

Misalkan u(x,y) = y3 – 3x2y. Tentukan fungsi harmonik sekawan dari u.
Penyelesaian:
ux = -6xy dan uy = 3y2 – 3x2. Menurut persamaan cauchy – Riemann diperoleh -6xy = ux

18

2. Fungsi Analitik

= vy.
Sehingga

v( x, y)   (6 xy )dy  3xy 2  h( x)

……….(1)

atau

vx = -3y2 + h’(x).
Syarat persamaan Cauchy – Riemann yang kedua harus dipenuhi, yaitu uy = -vx.
Sehingga



3 y 2  3 x 2    3 y 2  h( x )



3 y 2  3 x 2  3 y 2  h( x )
..........…………………………(2)

h ( x)  3 x 2
h( x)   3x 2 dx  x 3  c
Dari (1) dan (2) diperoleh

v(x,y) = -3xy2 + x3 + c yang merupakan fungsi harmonik sekawan dari u.

Contoh 13
Misalkan



v  x2  y2



2

. Apakah fungsi tersebut harmonik? Jika

ya,

tentukan

fungsi analitik sekawan dari
f(z) = u (x,y) + iv (x,y).
Penyelesaian:
Akan diselidiki apakah v merupakan fungsi harmonik atau bukan.
Perhatikan bahwa:
vx = 2(x2 – y2 )2x = 4x3 – 4xy2
vy = 2(x2 – y2 )(-2y) = -4x2 + 4y3
vxx = 12x2 – 4y2 dan vyy = -4x2 + 12y2 .
vxx dan vyy kontinu pada semua z, tetapi tidak memenuhi persamaan Laplace, yaitu
vxx + vyy = 8x2 + 8y2 = 8(x2 +y2 ) ≠ 0. Jadi v bukan fungsi harmonik.

Soal – soal Latihan

1
,z  0
z

2.

Misalkan a dan b konstanta kompleks. Gunakan definisi limit untuk membuktikan

b)

kedalam

bentuk

f(z) = u(r,θ) + iv(r,θ).

Tuliskan

a)

fungsi

f ( z)  z 

1.

lim (az  b)  az 0  b

z  z0

lim ( z 2  b)  z 0  b
2

z  z0

3.

Buktikan teorema 2 pada bagian 2.3

4.

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan

19

lim z n  z 0

z  z0

n

dimana n bilangan asli.

2. Fungsi Analitik

5.

6.

Tentukan

f (z ) pada persamaan

a)

f ( z )  (1  4 z 2 ) 3

b)

f ( z) 

(1  z 2 ) 4
z2

,z  0

Misalkan u dan v bilangan riil dan misalkan

z2

f ( z)   z
 0

tersebut memenuhi persamaan Cauchy – Riemann pada z = (0,0).

20

bila

z  0.

bila

z0

Buktikan bahwa fungsi