Matriks Ruang Vektor SPL & Matriks

  Matriks & Ruang Vektor Pertemuan 1

Sistem Persamaan Linier dan

Matriks

  Matriks & Ruang Vektor Outline Materi

• Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL)
• SPL & Matriks

  Matriks & Ruang Vektor Persamaan Linear tidak memuat

• Persamaan dimana variabel atau peubahnya

  eksponensial, trigonometri, perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri , x yang dinyatakan dalam bentuk :

• N buah variable x , …, x
_{1 2 n} a x + a x x = b _{1 1 2} 2 n n<
• ….+ a

  dengan

  b, a a ...., a adalah konstanta-konstanta riil _{1, 2, n}

• Sekumpulan nilai sebanyak n yang disubtitusikan ke n variabel :

  x =k , x =k =k _{1 1 2 2 n n} … x

sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi, maka himpunan

  Matriks &amp; Ruang Vektor Persamaan Linear

• Contoh

  2x + x + 3x =5 _{1 2 3} x =1; x =0; x =1  (1,0,1) solusi _{1 2 3} x =0; x =5; x =0  (0,5,0) solusi _{1 2 3} x =2; x =1; x =0  (2,1,0) solusi _{1 3} Suatu persamaan linier bisa mempunyai solusi &gt;1

  Matriks &amp; Ruang Vektor Sistem Persamaan Linear

• Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier

  didalam n variable: x , x , disebut Sistem Persamaan Linier

_{1 2 n} …..,x (SPL)

  ,

• Jika sistem m persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui x
₁ x , : _{2 n} …..,x a x + a x x = b _{11 1 12 2 1n n 1} …
• a x + a x x = b
_{21 1 22 2 2n n} …. + a ₂ …………………………...........……… ……………………………...........…&he
• a x + a x x = b

  Matriks &amp; Ruang Vektor SPL

• SPL dengan satu variabel
• SPL dengan dua variabel
• SPL dengan banyak variabel

  Matriks &amp; Ruang Vektor Contoh SPL dengan Satu Variabel

• 5x + 12 =34
• 4t -33 = 21
• 7y + 56 = 105

• • Harga kamera canon ditambah pajak pembelian 10%

  adalah Rp. 450000 x + 0,1 x = 1,1x = Rp. 450000

  Matriks &amp; Ruang Vektor Contoh SPL dengan 2 variabel Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y) maka ia harus membayar $5.000, sedangkan jika

membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar

$10.000.

  

Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL

x + 2y = 5000 3x + y = 10000

  Matriks &amp; Ruang Vektor SPL &amp; Matriks adalah kelompok bilangan yang disusun dalam suatu jajaran

• Matriks

  berbentuk persegi atau persegi panjang yang terdiri atas baris-baris dan kolom-kolom. Detil . x x x x a + a + a = b

• …+a _n

  11

  1

  12

  2

  13 3 1n

  1 x x x x a + a + a = b

• …+a _n

  21

  1

  22

  2

  23 3 2n

  2 SPL Umum: : x x x x a + a + a = b

_{m n n nn n m}

+ …+a

  1

  1

  2

  2

  3

  

3

Matriks Koefisien x b

  Contoh:

  1. Kelompok bilangan merupakan matriks, sebab susunannya berbentuk persegi dan bilangan-bilangan itu tersusun dalam baris dan kolom.

2. Kelompok bilangan

BEBERAPA ISTILAH DALAM MATRIKS

  1. Baris

  2. Kolom

  3. Elemen/unsur

  

Baris, Kolom, dan Elemen

 Baris dari suatu matriks adalah bagian susunan bilangan yang dituliskan mendatar atau horisontal dalam matriks.

  

 Kolom dari suatu matriks adalah bagian yang dituliskan tegak

atau vertikal dalam matriks.

  Contoh:

  Ordo dan Banyak Elemen Matriks

 Ordo atau ukuran dari suatu matriks ditentukan oleh banyak

baris dan banyak kolom dari matriks itu.

   Banyak elemen atau banyak unsur dari suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dengan banyak kolom dari matriks itu.

  Contoh:  Matriks A dikatakan berordo atau berukuran 2 × 3  Notasi :  Banyak elemen dalam matriks A ditentukan oleh 2

  × 3 = 6

• Matriks Baris • Matriks Kolom atau Matriks Lajur • Matriks Persegi • Matriks Segitiga

  Jenis

• Matriks Diagonal

  Matriks

• Matriks Identitas • Matriks Datar • Matriks Tegak

  

Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks berordo 1

  × n terdiri atas satu baris dan memuat n elemen disebut matriks baris.

  Matriks berordo m × 1 terdiri atas satu kolom dan memuat m elemen disebut matriks kolom atau matriks lajur.

  Contoh:

  

Matriks Persegi dan Matriks Segitiga

Misalkan suatu matriks berordo m

  × n dengan nilai m = n, sehingga diperoleh matriks berordo n

  × n disingkat matriks berordo n disebut matriks persegi berordo n.

  

Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks

yang berada di bawah diagonal utama atau di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks segitiga

  Contoh:

• Matriks Persegi

  • Matriks Segitiga (triangular)

  Matriks Diagonal dan Matriks Identitas Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks yang berada di bawah dan di atas diagonal utama semuanya bernilai nol disebut matriks diagonal.

  Matriks diagonal berordo n dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1 disebut matriks

  Contoh:

• • Matriks Diagonal

  • Matriks Identitas

  

Matriks Datar dan Matriks Tegak

Matriks berordo m

  × n dengan m &lt; n, berarti banyak kolom lebih banyak dibandingkan dengan banyak baris disebut matriks datar.

  Matriks berordo m × n dengan m &gt; n, berati banyak baris lebih banyak dibandingkan dengan banyak kolom, sehingga susunan elemen-elemennya membentuk persegi panjang

  Contoh:

  Matriks Skalar

• • Matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan

  nol atau satu.

• Contoh :
• a
• a
• … + a
• a
• a
• … + a

  23 x

  a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃ … a _1n b ₁ a ₂₁ a ₂₂ a ₂₃

  Matriks Augmented _{Matriks Koefesien dengan satu kolom tambahan, matrik B yang} unsur-unsurnya adalah konstanta-

  x _n = b _m

  3

  x

  2

  x

  1

  2 : a _m1 x

  = b

  2n x _n

  3

  2

  22 x

  1

  21 x

  1 a

  = b

  1n x n

  3

  13 x

  2

  12 x

  1

  11 x

  Penyajian SPL sebagai Matriks Augmented a

• a _m2
• a _m3
• … + a mn

  … a _2n b _{. 2 :}

• dan B=(b
• .

       

  .... b ..... a a .... .... ..... .... ....

  11

  12

  21 1 1n

  22

  m m2 m1 2 2n

  

  Matriks lengkap sistem tersebut adalah :      

  atau AX = B dengan A=(a ij

  )

  2 ,…,b n

  1 ,b

  )

  2 ,…..,x n

  1 ,x

  , X=(x

  ) matriks koefisien

  ..... b a a a ..... b a a a (AB)

• x
3
• – 7x
2<
• – x
2<
• – 5x
3
• 2x
₁ + 3x ₂
• – 4x
3
• x
₁ + x ₃ = 4 Dng notasi matriks

• 2x
₃ = 7 x ₁ + 3x ₂

  X = B

  3x ₁

  Dng notasi matriks

    



  





  

  4

  3

  2

  1

  7

  3

      

      

  3 ^{2 1} x x x

  =

     

   

  7 A

  4

      

  1

  Contoh

  2x ₁

      

      

   

  

  1

  5

  =     

  3

  1

  2

  1

  2     

      

  3 ^{2 1} x x x

  A X = B

  Pembagian SPL

1. SPL Homogen

  a x + a x x = 0

• …….. + a

  11

  1

  12 2 1n n

  a x + a x x = 0

• …….. + a

  21

  1

  22 2 2n n …………………………………….

  ……………………………………. a x + a x x = 0

• …….. + a

  m1 1 m2 2 mn n

  Contoh:

2. SPL Non Homogen

  a x + a x x = b

• ….+ a

  11

  1

  12 2 1n n

  1 a + x + a x x = b ….+ a

  21

  1

  22 2 2n n

  2 ………………………………… ………………………………… a + x + a x x = b ….+ a m1 1 m2 2 mn n m

  CONTOH x + 3x = 4

• – 2x

  1

  2

  3

  SPL Konsisten dan Inkonsisten

• Apabila SPL mempunyai penyelesaian, maka

  konsisten

disebut sistem persamaan linear yang ,

sebaliknya SPL tidak mempunyai penyelesaian inkonsisten disebut sistem persamaan linear yang .

• • Suatu SPL yang konsisten mempunyai penyelesaian

  tunggal atau penyelesaian sebanyak tak berhingga.

  TUNGGAL Mempunyai penyelesaian disebut KONSISTEN BANYAK

  P ₂ Jika kedua persamaan tersebut dinyatakan dalam grafik, maka:

  U ₂ X ₁ U ₂ X ₁ U ₂ X ₁ P ₁ P ₂ P ₁ P ₂

  x + y = 7 x + y = 5 Var =&gt; sama Konst =&gt; tidak berpotongan di 1 titik berimpit berpotongan di 1 titik

  P ₁ P ₂

  

SUSUNAN PERSAMAAN LINIER

HOMOGEN NON HOMOGEN

_{AX=0 AX=B, B≠0}

SELALU ADA JAWAB TAK PUNYA JAWAB MEMPUNYAI JAWAB R(a) ≠ r(A,B) _{Jawab Trivial Jawab Nontrivial r&lt;n} Hanya Selain Jawab Trivial, Ada Juga _{JAWAB UNIK BANYAK (TUNGGAL) JAWAB} (x1, x2, …xn =0); r=n _{r = n r &lt; n}

  

Sistem Persamaan Linier Non Homogen

Bentuk umum: Ax = B, dimana B≠0 Sistem Persamaan linier non homogen akan mempunyai jawab bila : Rank(A) = Rank(A|B) Contoh ; 1. carilah titik persekutuan garis. -3x+6y = -9 dengan garis. x-2y = 3 Jawab:
• 3x+6y=-9 x-2y=3 Dalam bentuk matriks= 

  3 6 x

  9        atau A x  B       y

  1 

  2

  3       3 6 : 

  9 1  2 :

  3 ₍₃₎ 1  2 :

  3      

  Contoh

  2

       

       

     

       

       

       

  3 ^{2 1}   

  1

  2

  1

  3

  1

  4

  2. Selesaikan sistem persamaan linier non homogen Di bawah ini : Jawab :

  3

  1

  2

  4

  2

  2 x x x

  1

  3

  4

        B x A

  3 ^{2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1}      

  4x 4 2x 2x 3x 3 x 4x 3x 1 2x x 2x 2 x x

    

  _{(  2 ) (}  _{1 / 6 )}

  B

B

_{12 3}

  1

  2

  1

  2 1 

  1

   

_{~ ~}

   

  1

  1

  1

  1

  1

  1

   

      

  11

  5

  5

  6

  6

   

_{( 11 )}

  B  

_{( 1 ) 32} B ₁₃ 1 

  1

  1

  1     _~    

  1

  1

  1

  1        

  1

  1 _{( }

_{1 )}

  1

  1     B ₂₃    

  Rank (A) = R (A|B) = 3 = banyaknya variabel Jadi jawabnya tunggal Matriks lengkap di atas menyatakan:

      x 0x 0x _{1 2 3} 1 x ₁

  1

  

Sistem Persamaan Linier Homogen

Bentuk umum: Ax = 0, yaitu: a x + a x + ... a x = 0 _{11 1 12 2 1n n} a x + a x + ... a x = 0 _{21 2 22 2 2n n}

      a x +a x + ... a x = 0 _{m1 m m2 m mn n} Atau= a a  a x

        _{11 12 1 n 1}      

  a a a x _{21 22}  _{2 n 2}

        

           

       

  a a a x _{mn m 2 mn n} 

       

  Matriks A berukuran (m x n)

  

Contoh

1. Selesaikan sistem persamaan linier dibawah ini :

      

  1

  1

  1 0) | (A ^{~ ) 1 ( 21} B ^ _{) 1 (}

  ^     

      

  1

  1

  1

  1

  1 _{~ 23} B     

  1

  1

  1

  1

  1

  1 _~ ^{) 1 ( 12} B ^

  ) ^{1 (} ₁₃ B ^

     

    

  1

  1 0x x 0x 0x 0x x _{3 2 1 3 2 1}

       

  1

  2

  Jawab :

  2

  2x x x 2x x x x x x

  3 ^{2 1 3 2 1 3 2 1}

       

    

       

     

       

       

     

       x x x

  1

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  1 atau _{3 2} ¹

      

      

  

  1

  2

31 B

2. Selesaikan sistem persamaan linier di bawah ini :

  1 0) | A ( ~ )

  3

  2

  1  

    

  4

  2

  3

  1

  1

  1

  1

  1 (

  1

atau

  21 B   

   

  3

  1

  2

  1

  1

  1

  1 ~ )

  1 (

  32 B

  4

  Jawab : 2x x x 4x 2x 3x x x x x x

  4

     

  3

  1

  4

  3

  2

  1

  4

  3

  2

  1       

           

        

  1

       

       

     

   x x x x

  1

  1

  2

  4

  2

  3

  1

  1

  1

  

Rank (A) = (A|0) = 2&lt; n = 4

jadi solusinya tidak tunggal

(banyak)

  1 x

  1

  1 2 / 1 2 /

  1

  1

  3

  1 x

  2

  2

      

  1 0x x _{4 3 2 1}

      _{4 3 1}

  3

  1 x

  2

  1 x

  2

   2 / 3 2 /

      

      

  1 _~ ^{) 2 / 1 (} ₂ B     

      

  3

  1

  2

  1

  1

  1

       2 /

  

  3 2 /

  1

  1

  1

  1

  1

  1 _~ ^{) 1 (} ₁₂ B

  1 x   

  1/2b 1/2a - x x x x ^{2 1}

     

  0b a 3/2b - 1/2a -

  1 1/2 - 1/2 - a

  1/2 b

   3/2 -

     

      

   

     

      

     

      

       

  Dimana : x ₃ dan x ₄ bebas.

• didapat x b dan x a untuk x
• x b

     

  2 ^{1 4 3}

  1

  2

  1 a

  2

  1

  2

  3 a

  2

  b

  Sehingga :

  Matriks &amp; Ruang Vektor Latihan

  1. Yang manakah dari persamaan berikut yang merupakan persamaan linier dalam x ₁ , x ₂ , dan x ₃ ?

  a. x ₁ + 2x ₁ x ₂ + x ₃ =2

  b. x ₁ + x ₂ + x ₃ = sin k (k adalah sebuah konstanta)

  c. x ₁ - 3x ₂ + 2x ₃ ^1/2 =4

  d. x ₁ = 2x ₃ - x ₂ + 7

  e. x ₁ + x ₂ ^-1 -3x ₃ =5

  f. x ₁ = x ₃

2. Carilah himpunan penyelesaian untuk:

  a. 6x-7y=3

  b. 2x ₁ + 4x ₂ - 7x ₃ =8

  Matriks &amp; Ruang Vektor Latihan

4. Carilah sebuah SPL yang bersesuaian dengan setiap matriks

  augmented berikut!

  1

  1 1 −1 2 _a.

  1

  2 b.

  2

  1

  1

  3

  1

  3 0 −1

  2

  4 0 0 0 1 4

  5. Definisikan SPL berikut sebagai ‘Konsisten’ atau ‘inkonsisten’ dengan menggambarkan garis persamaannya.

  a. x + y =4

  b. x + y = 4 2x 2x + 2y = 6

• – 2y = 8