MODUL 1 Hakikat Matematika Kegiatan Bela (2)
MODUL 1: Hakikat Matematika
Kegiatan Belajar 1: Matematika dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai
permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya,
matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran
deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasuskasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran
barangkali benar atau tidak perlu benar.
Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal
yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti
benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.
Kegiatan Belajar 2: Filsafat Matematika
Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat
disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri.
Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya
bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk
berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar
filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari
kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak,
pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis,
praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula.
Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan.
Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas,
jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah
cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan
apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme,
materialisme, dan dualisme.
Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa,
pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.
Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi.
Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori
matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.
Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles,
Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak
berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet,
listrik - sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama).
Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia permanen' merupakan realita
daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih menekankan pada 'absraksi' daripada
'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.
Kegiatan Belajar 3: Filsafat Pendidikan Matematika
Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat
mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika
mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk,
metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan
maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode
pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk
filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliranaliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik,
progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.
Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat
dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika,
kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di
kelas.
Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak
tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah
membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak
sebagai mediator dan fasilitator.
MODUL 2: Matematika sebagai Warisan Budaya
Kegiatan Belajar 1: Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850)
Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika
1000 SM - 600
: Sumeria, Babilonia, Mesir kuno
SM
Pengembang aritmetika: pedagang, orang-orang awam
600 SM - 300
: YunaniPengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
SsM
Pengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
300 - 1200
: Stagnan. Di Eropa ada beberapa orang
Boethius, Alcuino, Gerbert, Leonardo Fibonacci
1200 - 1800
: di Eropa, fajar menyingsing
Robert Recorde, Gemma Frietius, Simon Steven, John
Napier, Newton, Leibniz
Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu
bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi
dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir
kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 - 1200 ciri khas budaya
bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya bangsa Eropa mulai
eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesinmesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan
matematika.
Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika
empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk
memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi.
Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan
masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian
matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris
seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli
yang menuju ketakhingga.
Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika
terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena
alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang
telah ditemukan alat-alat elektronik digital.
Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000
tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120
perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir
orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di
antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir
Leonardo Fibonacci.
Barulah pada abad ke-16, pusat perkembangan matematika berada di Eropa.
Kegiatan Belajar 2: Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang)
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan
sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun.
Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan
indahnya.
Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya "otak
elektronik", komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada
aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar
matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.
Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi.
Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih "mengeraskan"
aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut "arimetisasi"
Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky
dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti
Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai
"hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.
Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat
sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875,
pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan
demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak
murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya
menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat
"menghasilkan") sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui
postulat pada bilangan alam.
Permasalahan terakhir adalah masalah "landasan" atau "pondasi" matematika atas
mana struktur matematika itu dibentuk.
Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh
generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam
beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan
bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk
berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan
dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.
MODUL 3: Perkembangan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Perkembangan Sebelum Renaissance
Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun
kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan
ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala
waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial
pertumbuhan biologis.
Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang
pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, "dahulu", "pertengahan",
dan "sekarang". Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan
daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara
konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat
dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM - 300),
(3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4)
Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad
ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang
umum. Pada periode "dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada
pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai dengan analisis
(Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode "sekarang" ciri
khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan
matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada
dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan
"matematika adalah cara berpikir dan bernalar", lihat Modul 1. Sedang
kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri noneuclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri noneuclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)
Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan
kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.
Kegiatan Belajar 2: Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance
Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan,
namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih
bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya
geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi
diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat
digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid)
dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang
menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya
diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi
geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan
untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai
unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata
harapan ini sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan
ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang
ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan,
asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi
oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk 'makanan' para
pakar matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak ada tujuan apa pun
terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah
kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).
Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja
matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan
hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi
hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan
pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.
MODUL 4: Berpikir Matematis
Kegiatan Belajar 1: Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak
pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan
matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah
abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai
dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode
postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini
dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu,
hampir setiap hari dikreasi matematika baru.
Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku
geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih
kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term
penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu
garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik
adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah
Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang
dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan
Hilbert yang paling berpengaruh.
Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.
Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat
rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.
Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi
kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen
jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisiproposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk
isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari
perangkat aksioma.
Kegiatan Belajar 2: Peran Logika dalam Sistem Matematika
Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan
disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang
pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term
tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem
aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka
kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead
telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam
sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya.
Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum
dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat
menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak
tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika
maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun
sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel
matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya.
Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.
Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert
memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak
menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus
ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana
bimbang dan tidak pasti.
MODUL 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1)
Kegiatan Belajar 1: Aksioma dan Proposisi Matematika
Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu
cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian.
Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris.
Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam
proposisi yang bersangkutan.
Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teoriteori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah
ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.
Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains
empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan
kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok
dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.
Kegiatan Belajar 2: Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma
Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan
definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´
)´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi
bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi
jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat
operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang
didefinisikan.
Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan
cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat
dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi
aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan
bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.
MODUL 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2)
Kegiatan Belajar 1: Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut'
dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan
secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah
kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat
diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa
itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi
dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis.
Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi
sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.
G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari
term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik
lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti.
Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari
koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2
didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa
sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z
= x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan
pertolongan logika.
Kegiatan Belajar 2: Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris
Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat
diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif
'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini
didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata
aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya
jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsipprinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan
menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma
pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa
matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran
matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma
Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang
sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus
dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian
kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.
Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah
lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS)
telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika.
Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi,
melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi
secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis
argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang
dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual
membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang
eksplisit.
MODUL 7: Landasan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau
antinomi dalam matematika.
Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam
geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua
'teori proporsi' model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak
segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan
penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.
Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini
sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya
'infinitesial'. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk
menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy
dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi
oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.
Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh
para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang
matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam
teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x
sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui
filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program
mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang
memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.
Kegiatan Belajar 2: Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan
Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan
logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin
mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh
landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat
matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.
Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap
bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari
logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi
kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental
"Principia Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan hukum
'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit
beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.
Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi
dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika
haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit.
Mereka menolak hukum 'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah
infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang
yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan
matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.
Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai
konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk
mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk
menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis
menghasilkan karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I dan II.
Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu
perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan sebelum buku
Hilebrt II diterbitkan.
John von Neumann (1903 - 1957)
John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti
kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam
matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada
permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah
seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori
permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi
dan ia membuat strategi yang menghasilkan "pemenang" dalam permainan
pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan
masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.
Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu
melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada
usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik
tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor
telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah
buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan
dalam pengembangan energi atom.
Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku
jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia
menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu
pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical
Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang
Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.
Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan
terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu
berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon
istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena
kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita
telah makin luas.
MODUL 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris
Kegiatan Belajar 1: Geometri Aksiomatis
Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara
waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'.
Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'.
Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana
matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang
terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari
teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar
langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima
tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.
Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya
ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi
logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang
dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan
pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah
dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak
dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar
untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky
dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan
geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.
Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang
mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena
teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam
perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data
empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu
kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah
apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.
Kegiatan Belajar 2: Geometri Empiris
Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni
(aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik
khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui
deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti.
Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik,
garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan
saja.
Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari
pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena
itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik.
Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian
makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua
perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni
menjadi teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap
teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi
interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah
geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam geometri
murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri fisik. Termterm 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah term-term dalam geometri fisik.
Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema
dalam geometri fisik.
Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan
pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan
ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare.
Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji
kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P
(misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi GP, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang
perlu divalidasi adalah P dan bukan G.
Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi
saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik,
tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil
geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.
MODUL 9: Matematika sebagai Metode dan Seni
Kegiatan Belajar 1: Matematika sebagai Metode
Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid
pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan
alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid.
Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari
kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal,
(iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema
dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode
langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem
matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode
membangun karya matematis).
Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema
dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong
dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.
Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat
aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk
term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik.
Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai
benar.
Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi,
abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan
pengalaman.
Kegiatan Belajar 2: Matematika adalah Seni Keindahan
Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita
mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu
berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan
pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang
dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita
pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu
struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi
statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan),
disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis,
suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan,
adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat
meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi
kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-
bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan
pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal
sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak
terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama
kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa
yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa
terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan
menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi anganangannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi
mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai
Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai
derajat dengan karakter kesarjanaan.
Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya
menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius"
mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang
sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat
kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi
tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam.
Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan
aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan
mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidangbidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan.
Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti
dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam
geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui
transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard
dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari
Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal
dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori
bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat
mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi
Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat
menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang
tanpa akhir.
Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang
menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan
matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka
dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka
dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat
seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain.
Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan
pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen
yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya;
muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap;
dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya,
dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan
dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan
hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa
kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh
Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti "Metropolis of
Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, "membangun musik,
maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu
selalu membangun". Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari
termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya
kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.
Daftar Pustaka
Bell, E. T., (1966). The Development of Mathemathics, Ner York: MCMillan.
Boyer, C. B., (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey &
Son.
Eka Darmaputra., (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung
Mulya.
Hampel, C. G., (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.
Johnson, D. A., (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.
Kattasoff, L. O., (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono.
Yogyakarta: Tiara Wacara.
Korne, Stephan., (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.
Newsom, C. W., (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.
Pujawijatna, I. I., (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.
Pujawijatna, I. I., (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta, Bina Aksara.
Rapar, J. H., (1996), Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.
Schaaf, W. L., (1963), The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.
Suparma, (1996), Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.
Struik, D. J., (1967). A Concise History of Mathematics, New York: Dover.
Suseno, Franz Magnis, (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta:
Kanisius.
Wein, G. T., (1973), Mathematics Education, London: Van Nostrand.
Moris, Kleine, (1966), Mathematical Monthly, Vol. 52, PP. 664-672.
Kegiatan Belajar 1: Matematika dan Peradaban Manusia
Rangkuman
Matematika adalah alat yang dapat membantu memecahkan berbagai
permasalahan (dalam pemerintahan, industri, sains). Dalam perjalanan sejarahnya,
matematika berperan membangun peradaban manusia sepanjang masa.
Metode yang digunakan adalah eksperimen atau penalaran induktif dan penalaran
deduktif. Penalaran induktif adalah penarikan kesimpulan setelah melihat kasuskasus yang khusus. Kesimpulan penalaran induktif memiliki derajat kebenaran
barangkali benar atau tidak perlu benar.
Penalaran deduktif adalah penarikan kesimpulan dari hal-hal yang umum ke hal
yang khusus. Kebenaran dalam penalaran deduktif adalah yakin benar atau pasti
benar asalkan asumsi yang mendasarinya juga benar.
Kegiatan Belajar 2: Filsafat Matematika
Rangkuman
Filsafat adalah ilmu pengetahuan yang menyelidiki hakikat sesuatu. Pakar filsafat
disebut filsuf, dan adjektifnya filosofi. Setiap filsuf memiliki definisi sendiri-sendiri.
Tidak bertentangan tetapi sering saling melengkapi dan ini menunjukkan luasnya
bidang persoalan dalam filsafat. Empat hal yang merangsang manusia untuk
berfilsafat: ketakjuban, ketidakpuasan, hasrat bertanya, dan keraguan. Sifat dasar
filsafat adalah: berpikir radikal, mencari asas, memburu kebenaran, mencari
kejelasan, dan berpikir rasional. Peranan filsafat adalah sebagai pendobrak,
pembebas, dan pembimbing. Aristoteles membagi filsafat ke dalam filsafat teoretis,
praktis, dan produktif. Filsuf yang lain membagi filsafat dengan cara lain pula.
Epistemologi adalah cabang filsafat yang bersangkutan dengan ilmu pengetahuan.
Pokok persoalan epistemologi adalah sumber, asal mula, sifat dasar, bidang, batas,
jangkauan, dan validitas serta reliabilitas ilmu pengetahuan. Ontologi adalah
cabang filsafat yang membahas segala sesuatu secara menyeluruh. Pembahasan
apa yang tampil dan apa yang realita. Tiga teori dalam ontologi adalah: idealisme,
materialisme, dan dualisme.
Filsafat dari berbagai bidang ilmu: misalnya filsafat politik, ekonomi, bahasa,
pendidikan, matematika, hukum, dan sebagainya.
Filsafat matematika dan filsafat umum dalam sejarahnya adalah saling melengkapi.
Filsafat matematika bersangkut paut dengan fungsi dan struktur teori-teori
matematika. Teori-teori itu terbebas dari asumsi-asumsi atau metafisik.
Filsuf matematika yang dikenalkan di sini adalah Pythagoras, Plato, Aristoteles,
Leibniz, dan Kant. Doktrin Pythagoras antara lain bahwa fenomena yang tampak
berbeda dapat memiliki representasi matematis yang identik (cahaya, magnet,
listrik - sebagai getaran - dapat memiliki persamaan diferensial yang sama).
Aristoteles menekankan, menemukan 'dunia permanen' merupakan realita
daripada 'apa yang tampak'. Aristoteles lebih menekankan pada 'absraksi' daripada
'apa yang tampak'. Leibniz dan Kant menekankan pada proposisi matematis.
Kegiatan Belajar 3: Filsafat Pendidikan Matematika
Rangkuman
Filsafat pendidikan adalah pemikiran-pemikiran filsafat tentang pendidikan. Dapat
mengonsentrasikan pada proses pendidikan, dapat juga pada ilmu pendidikan. Jika
mengutamakan proses pendidikan, yang dipersoalkan adalah cita-cita, bentuk,
metode, dan hasil dari proses pendidikan. Jika mengutamakan ilmu pendidikan
maka yang menjadi pusat perhatian adalah konsep, ide, dan metode
pengembangan dalam ilmu pendidikan. Filsafat pendidikan matematika termasuk
filsafat yang membahas proses pendidikan dalam bidang studi matematika. Aliranaliran yang berpengaruh dalam filsafat pendidikan antara filsafat analitik,
progesivisme, eksistensialisme, rekonstruksionisme, dan konstruktivisme.
Pendidikan matematika adalah bidang studi yang mempelajari aspek-aspek sifat
dasar dan sejarah matematika, psikologi belajar dan mengajar matematika,
kurikulum matematika sekolah, baik pengembangan maupun penerapannya di
kelas.
Filsafat konstruktivisme banyak mempengaruhi pendidikan matematika sejak
tahun sembilan puluhan. Konstruktivisme berpandangan bahwa belajar adalah
membentuk pengertian oleh si belajar. Jadi siswa harus aktif. Guru bertindak
sebagai mediator dan fasilitator.
MODUL 2: Matematika sebagai Warisan Budaya
Kegiatan Belajar 1: Matematika Empiris (Abad ke-6 SM - 1850)
Rangkuman
Pusat perkembangan aritmetika
1000 SM - 600
: Sumeria, Babilonia, Mesir kuno
SM
Pengembang aritmetika: pedagang, orang-orang awam
600 SM - 300
: YunaniPengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
SsM
Pengembang: para Filsuf, terutama Pythagoras
300 - 1200
: Stagnan. Di Eropa ada beberapa orang
Boethius, Alcuino, Gerbert, Leonardo Fibonacci
1200 - 1800
: di Eropa, fajar menyingsing
Robert Recorde, Gemma Frietius, Simon Steven, John
Napier, Newton, Leibniz
Budaya yang paling menonjol dapat dikatakan sebagai ciri khas budaya suatu
bangsa. Ciri khas bangsa Yunani kuno adalah ide-ide idealnya, bangsa Romawi
dengan budaya politik, militer dan suka menaklukkan bangsa lain. Bangsa Mesir
kuno dengan seni keindahan dan juga mistik. Tahun 600 - 1200 ciri khas budaya
bangsa Eropa adalah teologis. Tahun 1200 - 1800 budaya bangsa Eropa mulai
eksplorasi alam sebelum revolusi industri. Abad ke-19, dan 20 penciptaan mesinmesin otomatis berbarengan dengan kemajuan dalam bidang sains dan
matematika.
Bangsa-bangsa Babilonia, Mesir, Sumeria dapat dipandang sebagai matematika
empiris. Nama ini berkaitan dengan perkembangan matematika yang selalu untuk
memenuhi keperluan dalam perdagangan, pengukuran, survei, dan astronomi.
Dengan kata lain matematika diangkat dari pengalaman manusia bergelut dengan
masalah-masalah praktis dalam kehidupan sehari-hari. Walaupun demikian
matematika empiris ini telah mengantisipasi datangnya matematika non-empiris
seperti telah digunakannya bilangan negatif, dan sistem bilangan alam atau asli
yang menuju ketakhingga.
Kontribusi paling menonjol bangsa Yunani terhadap perkembangan matematika
terletak pada dipilihnya metode deduktif dan kepercayaannya bahwa fenomena
alam dapat disajikan dalam lambang-lambang bilangan. Dan ini terbukti sekarang
telah ditemukan alat-alat elektronik digital.
Bangsa Eropa sendiri baru belakangan tertarik pada matematika. Selama 1000
tahun matematika berkembang di Asia kecil (Yunan, Arab). Tahun 400 - 120
perkembangan matematika dapat dikatakan mandek, hanya beberapa gelintir
orang mengembangkan secara individual (tanpa ada komunikasi satu sama lain), di
antara mereka adalah Boethius, Alcuino, dan Gerberet, dan yang paling akhir
Leonardo Fibonacci.
Barulah pada abad ke-16, pusat perkembangan matematika berada di Eropa.
Kegiatan Belajar 2: Matematika Kontemporer (1850 - Sekarang)
Rangkuman
Aritmetika memiliki peran ganda: sebagai alat bantu sains dan perdagangan, dan
sebagai uji komparatif landasan dasar tempat sistem matematika itu dibangun.
Hogben, Well, dan McKey dan lain-lain telah melukiskan peran aritmetika dengan
indahnya.
Perkembangan kalkulasi yang paling spektakuler adalah diciptakannya "otak
elektronik", komputer. Komputer lebih banyak memerlukan matematika daripada
aritmetika elementer. Penciptaan komputer memerlukan kolaborasi para pakar
matematika, aritmetika, dan ahli teknik pakar mesin.
Pada abad 20 perkembangan aritmetika makin abstrak dan tergeneralisasi.
Perkembangannya mengacu pada aljabar dan analisis guna lebih "mengeraskan"
aritmetika. Sebaliknya yang terakhir ini disebut "arimetisasi"
Abstraksi dan generalisasi pada abad 20 telah diantisipasi oleh Lobachevsky
dengan munculnya geometri non-euclidnya. Selanjutnya pakar-pakar lain seperti
Peacock, Gregory, DeMorgan, memandang aljabar dan geometri sebagai
"hipothetico-deductive" dengan cara Euclid.
Dengan kritikan tajam oleh Cantor, Dedekind, dan Weirstrass terhadap sifat-sifat
sistem bilangan (seperti faktorisasi, habis dibagi dan sebagainya) pada tahun 1875,
pada tahun 1899 Hilbert muncul dengan "metode postulatsional". Dengan
demikian, dari pandangan ini, bilangan, titik, garis dan sebagainya adalah abstrak
murni, tidak mempunyai kaitan dengan benda fisik. Akhirnya Peano berjaya
menjelaskan bahwa sistem bilangan 1, 2, 3, . . . dapat diperluas (dalam arti dapat
"menghasilkan") sistem bilangan bulat, rasional, real, dan kompleks hanya melalui
postulat pada bilangan alam.
Permasalahan terakhir adalah masalah "landasan" atau "pondasi" matematika atas
mana struktur matematika itu dibentuk.
Matematika yang telah berkembang selama dua ribu lima ratus tahun oleh
generasi ke generasi, ternyata dapat diajarkan kepada anak-anak "hanya" dalam
beberapa tahun di sekolah. Oleh karena itu, Prof Judd (psikolog) mengatakan
bahwa aritmetika adalah kreasi manusia paling perfect (sempurna) dan alat untuk
berkomunikasi sesama manusia. Dengan demikian matematika perlu dijaga dan
dikembangkan untuk mengantarkan manusia menyongsong hari esok yang cerah.
MODUL 3: Perkembangan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Perkembangan Sebelum Renaissance
Rangkuman
Perkembangan matematika dilihat dari produktivitas baik kuantitatif maupun
kualitatif dari waktu ke waktu makin meningkat dan sangat cepat. Perbandingan
ini dikaitkan dengan skala waktu. Perbandingan produktivitas terhadap skala
waktu, secara kuantitatif dapat digambarkan mendekati secara eksponensial
pertumbuhan biologis.
Ada dua macam pembagian mengikuti waktu atau periode perkembangan. Yang
pertama, pembagian waktu ke dalam tiga periode, yakni, "dahulu", "pertengahan",
dan "sekarang". Pembagian ini berdasarkan pertumbuhan matematika sendiri dan
daya tahan hidup sesuai zamannya. Yang kedua, pembagian menurut cara
konvensional dalam tujuh skala waktu menurut penemuan naskah yang dapat
dihimpun, yakni (1) Babilonia dan Mesir Kuno, (2) Kejayaan Yunani (600 SM - 300),
(3) Masyarakat Timur dekat (sebagian sebelum dan sebagian lagi sesudah (2)), (4)
Eropa dan masa Renaissance, (5) Abad ke-17, (6) Abad ke-18 dan 19, dan (7) Abad
ke-20. Pembagian ini mengikuti perkembangan kebudayaan Eropa.
Setiap periode, baik yang membagi menjadi 3 atau pun 7, memiliki ciri khas yang
umum. Pada periode "dahulu", ciri khasnya adalah empiris, mendasarkan pada
pengalaman (indera) hidup manusia. Periode "pertengahan" mulai dengan analisis
(Descartes, Newton, Leibniz, Galileo), sedangkan pada periode "sekarang" ciri
khasnya adalah metode abstraksi dan generalisasi. Ternyata perkembangan
matematika dilihat dari kualitas dan kekuatannya jauh lebih penting daripada
dilihat secara kuantitas. Ingatlah akan definisi matematika yang mengatakan
"matematika adalah cara berpikir dan bernalar", lihat Modul 1. Sedang
kekuatannya, misalnya, lihatlah geometri Euclid dibanding dengan geometri noneuclid, yang terakhir ini mampu menyelesaikan masalah lebih rumit (geometri noneuclid digunakan dalam mengembangkan teori relativitas dalam ilmu fisika)
Walaupun demikian kadang-kadang korelasi antara perkembangan matematika dan
kebudayaan kadang-kadang korelasi itu negatif.
Kegiatan Belajar 2: Perkembangan Matematika Sesudah Renaissance
Rangkuman
Masing-masing dari 7 periode terdapat peningkatan kematangan yang signifikan,
namun juga terdapat keterbatasannya. Pada periode Yunani, matematika masih
bersifat empiris. Pada abad ke-17, kekurangan itu diperbaiki dengan munculnya
geometri analitik, proyektif, dan diferensial pada abad berikutnya. Revitalisasi
diperlukan agar pertumbuhan matematika makin berkembang dan dapat
digunakan dalam ilmu lainnya. Yang terakhir muncul geometri baru (non-euclid)
dan menyingkirkan geometri euclid (lama).
Dalam periode terakhir, daerah jelajah matematika makin luas. Beberapa cabang
menjadi terlepas dari induknya dan menjadi otonom. Beberapa di antaranya
diserap dalam wadah yang lebih besar, misalnya analisis telah menggeneralisasi
geometri. Pelarian dan penangkapan kembali ini mengilhami para matematikawan
untuk merangkum kembali seluruh matematika. Awal abad ke-20 dipercayai
unifikasi akan dicapai melalui logika matematis (Bertrand Russell). Ternyata
harapan ini sia-sia dan terlepas.
Motivasi yang melatar-belakangi perkembangan matematika semula diperkirakan
ekonomi. Penelitian lebih mendalam ternyata tidak demikian. Latar belakang
ekonomi benar untuk matematika praktis yang diterapkan pada perdagangan,
asuransi, sains, dan teknologi. Namun perkembangan matematika dapat dimotivasi
oleh agama (mistik), kuriositas intelektual, bahkan hanya untuk 'makanan' para
pakar matematika. Bagi para pakar matematika 'murni' tidak ada tujuan apa pun
terkecuali untuk mengembangkan teorinya yang rigor, tanpa memikirkan apakah
kelak berguna atau tidak (baca lagi sisa-sisa zaman).
Banyak matematika yang telah dikembangkan begitu sulit oleh para pekerja
matematika, namun hasilnya terkubur begitu saja. Setiap zaman meninggalkan
hasil-hasil yang rinci. Sebagian hanya menarik bagi sejarawan matematika. Jadi
hasil-hasil karya setiap zaman dapat saja terkubur, tetapi tidak perlu mati. Dan
pekerja yang sudah bersusah-payah ini memang tidak perlu sia-sia.
MODUL 4: Berpikir Matematis
Kegiatan Belajar 1: Persyaratan Aksioma dalam Sistem Matematis
Rangkuman
Sejak awal perkembangannya sampai kira-kira abad ke-16, matematika tidak
pernah mengenal kreasi matematika baru, sehingga orang mengatakan
matematika adalah statis. Tetapi pendapat ini menjadi tidak benar sebab setelah
abad ke-17, Descartes menemukan geometri analitik. Lebih-lebih setelah Bolyai
dan Lobachevsky menemukan geometri non-euclid. Ini memicu tumbuhnya metode
postulatsional atau metode aksiomatis pada abad ke-19. Pemunculan metode ini
dipandang sebagai fajar menyingsing perkembangan matematika. Mulai saat itu,
hampir setiap hari dikreasi matematika baru.
Euclid, guru besar di Aleksandria, Mesir, setelah zaman Aristoteles, menulis buku
geometri secara aksiomatis. Namun perangkat aksioma buatan Euclid masih
kurang rigor (tajam). Kurang rigor-nya ini disebabkan diberinya definisi term-term
penyusun aksioma. Contoh: Melalui dua titik yang berlainan hanya terdapat satu
garis lurus yang menghubungkan keduanya. Kemudian ia mendefinisikan: titik
adalah sesuatu tidak memakan tempat. Pembuka jalan metode aksiomatis adalah
Bolyai dan Lobachevsky dalam buku mereka geometri non-euclid. Tetapi yang
dianggap pelopornya adalah Peano dan More dari Amerika Serikat, sedangkan
Hilbert yang paling berpengaruh.
Sebuah sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma. Sejak awal abad ke19 dikehendaki adanya persyaratan baku untuk suatu perangkat aksioma.
Persyaratan ini adalah konsistensi, independensi, dan kategoris. Agar syarat-syarat
rigor dipenuhi, banyaknya term tak didefinisikan harus diminimalkan.
Perangkat aksioma dikatakan konsisten jika tidak ada jalan logis yang mendeduksi
kontradiksi di antara proposisi-proposisi yang dihasilkan. Dikatakan independen
jika setiap proposisi dalam perangkat aksioma tidak dapat dideduksi dari proposisiproposisi lainnya dalam perangkat itu. Dikatakan kategoris jika dapat dibentuk
isomorphisma dari himpunan-himpunan yang disajikan secara aktual dari
perangkat aksioma.
Kegiatan Belajar 2: Peran Logika dalam Sistem Matematika
Rangkuman
Pythagoras mengusulkan adanya konsep untuk 'bukti' yang baku dan jelas dan
disetujui oleh semua pakar. Aristoteles menyusun hukum dasar logika yang
pertama kali. Ternyata hukum dasar itu identik dengan perangkat aksioma. Term
tak didefinisikan dalam aksioma disebut kata primitif dalam logika. Dengan sistem
aksioma dalam geometri Euclid, diubah oleh Lobachevsky dan Bolyai, maka
kemudian ada maksud mengembangkan logika modern. Russell dan Whitehead
telah berhasil menyusun membangun hukum dasar logika modern. Dalam
sistemnya mereka memasukkan kata-kata atau, dan, negasi dan sebagainya.
Hukum dasar Aristoteles dipandang hanya berlaku untuk semesta tertentu. Hukum
dasar logika modern bersifat semesta. Artinya semua matematika dan sains dapat
menggunakan hukum dasar logika modern guna menarik kesimpulan, dan tidak
tergantung jenis logika yang digunakan. Ternyata baik aksioma matematika
maupun hukum dasar logika adalah variabel. Lucasiewics berjaya menyusun
sistem logika modern. Keuntungannya tidak perlu lagi menggunakan tabel-tabel
matriks nilai kebenaran untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran komponennya.
Dan dapat langsung untuk sebarang nilai kebenaran komponen-komponennya.
Russell menganggap matematika adalah cabang logika (logistik), Hilbert
memandang logika adalah cabang matematika (formalis). Brouwer tidak
menyetujui kedua-duanya dan mengatakan setiap keberadaan matematika harus
ada jalan mengkonstruksinya (intuisionis). Ini yang kemudian menjadikan suasana
bimbang dan tidak pasti.
MODUL 5: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 1)
Kegiatan Belajar 1: Aksioma dan Proposisi Matematika
Rangkuman
Teori sains empiris, misalnya fisika atau psikologi, dikatakan benar sejauh teori itu
cocok dengan bukti empiris atau kenyataan luar. Matematika tidak demikian.
Kebenaran matematika tidak ada sangkut pautnya dengan bukti empiris.
Kebenaran matematika diperoleh dari makna kata-kata yang terkandung dalam
proposisi yang bersangkutan.
Karena dalam sistem matematika diawali dengan perangkat aksioma dan teoriteori matematika diturunkan secara logis (dengan perangkat logika yang telah
ditetapkan) dari aksioma, kebenaran matematika disebut kebenaran kondisional.
Kebenaran perangkat aksioma bukanlah self-evident truth, dan bukan pula sains
empiris paling umum. Kebenaran matematika adalah kebenaran apriori, sedangkan
kebenaran sais empiris adalah postteori yakni teori itu benar selama masih cocok
dengan fakta aktual, atau sampai ada bukti lain yang menolaknya.
Kegiatan Belajar 2: Sistem Aksioma Peano sebagai Basis Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano adalah sebuah contoh sistem aritmetika postulatsional. Aksioma
Peano sangat mengagumkan. Perangkat aksioma ini terdiri dari 5 postulat dengan
definisi rekursif (maju atau mundur) bilangan-bilangan alam, misalnya 4 = 3´ = (2´
)´ = ((1´ )´ )´ = (((0´ )´ )´ )´ ,. Atau 0´ = 1, 1´ = 2, 2´ = 3, dst. P4 membatasi
bahwa setelah bilangan 0 tidak dapat mundur lagi. Dengan menambahkan definisi
jumlah D1(a), (b) dan definisi kali D2(a) dan (b), maka dapat dibuktikan sifat-sifat
operasi assosiatif, komutatif, dan distributif untuk kedua operasi yang
didefinisikan.
Dengan mendefinisikan bilangan positif, negatif, rasional, dan kompleks dengan
cara-cara yang sesuai hanya dengan mengambil term-term primitif yang termuat
dalam aksioma, semua sistem bilangan memenuhi aksioma. Demikian pula fungsi
aljabar seperti fungsi kontinu, limit, kalkulus dsb. Dengan hasil ini maka dikatakan
bahwa aksioma Peano merupakan basis matematika.
MODUL 6: Sifat Kebenaran Matematika (Bagian 2)
Kegiatan Belajar 1: Kebenaran Konsep-konsep dalam Matematika
Rangkuman
Aksioma Peano memuat tiga term tak didefinisikan: '0', 'bilangan', dan 'pengikut'
dan 5 buah aksioma. Term-term tak didefinisikan dapat diberi makna biasa, dan
secara teoretis dalam takhingga cara. Tetapi makna biasa ini harus mengubah
kelima aksioma menjadi proposisi-proposisi yang bernilai benar. Selanjutnya dapat
diciptakan definisi kata-kata baru dari term-term yang telah diberi makna biasa
itu. Syaratnya definisi ini harus menjadi proposisi yang bernilai benar. Dari definisi
dan aksioma dalam makna biasa akan diperoleh teori-teori melalui deduksi logis.
Dengan demikian teori yang telah diperoleh dengan makna biasa ini menjadi
sistem matematika yang letak kebenarannya ada pada definisi-definisi itu.
G. Frege, Russell dan Whitehead telah secara rinci memberi makna biasa dari
term-term tak didefinisikan Peano dan membuat definisi-definisi dengan teknik
lambang logika. 'Bilangan 2' dalam primitif Peano adalah kosong dari arti.
Bilangan 2 adalah makna 'biasa'. Bilangan alam 2 (biasa) adalah ciri khas dari
koleksi himpunan-himpunan C terdiri dari objek-objek, yakni n(C) = 2. Bilangan 2
didefinisikan sebagai berikut: "Terdapat objek x dan objek y sedemikian rupa
sehingga (1) x C dan y C, (2) x y, (3) Jika z C adalah sebarang anggota di C, maka z
= x atau z = y" Dari definisi ini kita dapat menyimpulkan bahwa n(C) = 2 dengan
pertolongan logika.
Kegiatan Belajar 2: Kebenaran Matematika dalam Sains Empiris
Rangkuman
Tiga term primitif Peano adalah '0', 'bilangan', dan 'pengikut', dapat
diinterpretasikan dengan makna biasa dengan banyak cara. Misalnya, primitif
'bilangan' diartikan bilangan alam 0, 1, 2, 3, ... Primitif dalam makna biasa ini
didefinisikan melalui konsep-konsep logika (ada 4 konsep pokok). Ternyata
aksioma-aksioma Peano, melalui deduksi, menjadi proposisi-proposisi. Selanjutnya
jika perlu diteruskan dengan membuat definisi-definisi non-primitif melalui prinsipprinsip logika. Dengan cara ini seluruh teori matematika dapat dideduksi dengan
menggunakan konsep-konsep logika dan jika diperlukan ditambahkan 'aksioma
pilihan' dan 'aksioma infinit'. Dari kenyataan ini maka timbullah pemikiran bahwa
matematika adalah cabang logika. Akibat selanjutnya ialah bahwa kebenaran
matematika terletak pada definisi-definisi itu. Inilah letak kebenaran aksioma
Peano dalam makna biasa. Berbeda dengan teori geometri, geometri dipandang
sebagai studi tentang struktur ruang fisik, maka primitif-primitifnya harus
dibangun dengan mengacu pada entitas fisik jenis tertentu. Jadi, dengan demikian
kebenaran teori geometri dalam interpretasi ini terletak pada persoalan empiris.
Tentang kegunaan matematika dalam sains empiris, harus dilihat dengan telaah
lebih mendalam. Sebagian terbesar perkembangan sains empiris (IPA dan IPS)
telah diperoleh melalui penerapan terus menerus proposisi-proposisi matematika.
Akan tetapi perlu diingat, bahwa fungsi matematika di sini bukan memprediksi,
melainkan sebagai analisis atau ekspliaktif. Matematika membuka asumsi-asumsi
secara eksplisit atau membuka asersi-asersi yang termuat dalam premis-premis
argumen. Matematika membuka data, yakni, mana yang diketahui dan mana yang
dipersoalkan. Jadi, penalaran matematis dan logis adalah teknik konseptual
membuka perangkat premis-premis yang implisit menjadi premis-premis yang
eksplisit.
MODUL 7: Landasan Matematika
Kegiatan Belajar 1: Landasan dan Paradoks dalam Matematika
Rangkuman
Krisis landasan dalam matematika selalu diawali dengan munculnya paradoks atau
antinomi dalam matematika.
Krisis I. Pada abad ke-5 SM, muncul paradoks bahwa ukuran sama jenis (dalam
geometri) adalah proporsional. Konsekuensi dari paradoks ini menjadikan semua
'teori proporsi' model Pythagoras dicoret dan dinyatakan salah. Krisis ini tidak
segera di atasi dan baru sekitar 500 tahun kemudian oleh Eudoxus dengan
penemuannya bilangan rasional pada tahun 370 SM.
Krisis II. Pada abad ke-17, Newton dan Leibniz menemukan kalkulus. Hasil ini
sangat diagungkan karena penerapannya yang gemilang, dengan konsepnya
'infinitesial'. Malangnya, hasil-hasil penerapannya justru digunakan untuk
menjelaskan landasannya. Krisis ini dapat diatasi pada abad ke-19 oleh Cauchy
dengan memperbaiki konsep kalkulus melalui konsep 'limit'. Dengan aritmetisasi
oleh Wierstrass, krisis landasan II telah diatasi.
Abad ke-19 Cantor menemukan teori himpunan. Teori ini disambut antusias oleh
para matematikawan dan teori himpunan telah menjadi landasan cabang-cabang
matematika. Burali Forti, Bertrand Russel mengajukan paradoks-paradoks dalam
teori himpunan. Misalnya H = {x | x H}, yakni, H adalah himpunan semua x
sedemikian sehingga x H. Sampai sekarang krisis belum dapat diatasi. Melalui
filsafat (yang selalu mencari sesuatu yang hakiki) dilakukan program-program
mengatasi krisis. Ada tiga kelompok besar yang ingin mengatasi krisis ini, yang
memunculkan tiga aliran: logistis, formalis, dan intuisionis.
Kegiatan Belajar 2: Macam-macam Aliran dalam Membangun Landasan
Rangkuman
Krisis landasan matematika, terutama yang berlandaskan teori himpunan dan
logika formal, memaksa para matematikawan mencari landasan filsafat yang ingin
mengonstruksi seluruh massa matematika yang besar, sehingga dapat diperoleh
landasan yang kokoh. Mereka terpecah ke dalam tiga aliran besar filsafat
matematika: logistis, intuisionis, dan formalis.
Kaum logistis dengan pimpinan Bertrand Russell dan Whitehead, menganggap
bahwa sebagai konsekuensi dari programnya, matematika adalah cabang dari
logika. Oleh karena itu, seluruh matematika sejak zaman kuno perlu dikonstruksi
kembali ke dalam term-term logika. Hasil program ini adalah karya monumental
"Principia Mathematica". Dalam buku ini hukum 'excluded middle' dan hukum
'kontradiksi' adalah ekuivalen. Kesulitan timbul salam usaha mereka merakit
beberapa metode kuno untuk menghilangkan aksioma reduksi yang tidak disukai.
Kaum intuisionis dengan pimpinan Brouwer, menganggap, sebagai konsekuensi
dari programnya, bahwa logika adalah cabang dari matematika. Matematika
haruslah dapat dikonstruksi seperti bilangan alam dalam sejumlah langkah finit.
Mereka menolak hukum 'excluded middle' jika akan diberlakukan untuk langkah
infinit. Heyting membangun perangkat logika-intuisionis dengan lambang-lambang
yang diciptakannya. Kesulitan yang timbul adalah berapa banyak keberadaan
matematika dapat dibangun tanpa tambahan (perangkat logika) yang diperlukan.
Kaum formalis dengan pimpinan Hilbert menganggap bahwa matematika, sebagai
konsekuensi dari programnya, adalah sistem lambang formal tanpa makna. Untuk
mengonstruksi seluruh matematika yang telah ada, diperlukan 'teori bukti' untuk
menjamin konsistensinya. Dengan lambang-lambang formal kaum formalis
menghasilkan karya monumentalnya "Grunlagen der Mathematik:", jilid I dan II.
Malangnya, K. Godel, matematikawan Italia menunjukkan bahwa konsistensi suatu
perangkat aksioma karya Hilbert 'tak dapat ditentukan', bahkan sebelum buku
Hilebrt II diterbitkan.
John von Neumann (1903 - 1957)
John von Neumann termasuk salah satu matematikawan abad 20. Seperti
kebanyakan matematikawan yang lain ia pun berkontribusi penting baik dalam
matematika maupun dalam sains. Von Neumann khususnya tertarik pada
permainan strategi dan peluang. Jadi tidak mengejutkan apabila ia adalah salah
seorang yang membuka bidang matematika baru yang disebut game theory (teori
permainan). Dengan menggunakan peluang yang terlibat dalam peluang strategi
dan ia membuat strategi yang menghasilkan "pemenang" dalam permainan
pembuatan keputusan, teori permainan von Neumann dapat menyelesaikan
masalah-masalah dalam ekonomi, sains, dan strategi militer.
Von Neumann dilahirkan di Budapest, Hongaria. Ketika berusia 6 tahun, ia mampu
melakukan operasi pembagian seperti 78.463.215: 49.673.235 di luar kepala. Pada
usia 8 tahun ia telah memperoleh master dalam kalkulus dan mempunyai trik
tertentu mengingat dalam sekali pandang terhadap nama, alamat, dan nomor
telepon dalam satu kolom buku telepon. Ketika berusia 23 tahun ia menulis sebuah
buku berjudul Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, yang digunakan
dalam pengembangan energi atom.
Pada tahun 1930, von Neumann hijrah ke Amerika Serikat untuk memangku
jabatan guru besar dalam fisika-matematika pada Universitas Princeton. Ia
menjadi berminat dalam penggunaan komputer berskala besar dan ia salah satu
pembangun otak elektronik modern, yang disebut MANIAC (Mathematical
Analyzer, Numerical Integrator and Computer). Sebagai penasihat selama Perang
Dunia II, ia memberi kontribusi dalam mendisain senjata dan peluru nuklir.
Von Neumann mempunyai banyak minat intelektual, namun kebanggaan
terbesarnya adalah menyelesaikan masalah. Suatu ketika ia menjadi begitu
berminat adalah sebuah masalah ketika dalam perjalanan ia ingin menelepon
istrinya untuk mencari tahu mengapa ia melakukan perjalanan. Karena
kemampuan von Neumann menyelesaikan masalah, cakrawala matematis kita
telah makin luas.
MODUL 8: Geometri Aksiomatis dan Empiris
Kegiatan Belajar 1: Geometri Aksiomatis
Rangkuman
Kebenaran hipotesis atau teorema dalam sains empiris hanya untuk 'sementara
waktu', atau 'sampai ditemukan ketidakcocokannya dengan data empiris baru'.
Sebaliknya kebenaran dalam matematika, sekali dibangun 'untuk selama-lamanya'.
Kebenaran matematika dapat dipahami melalui analisis metode bagaimana
matematika itu dibangun. Metode demikian adalah demonstrasi-matematis yang
terdiri dari deduksi logis dari aksioma atau suatu teorema yang dideduksi dari
teorema-teorema yang telah terlebih dahulu dibuktikan kebenarannya. Agar
langkah mundur ini tidak berkesudahan, maka harus ada proposisi yang diterima
tanpa bukti, yang disebut perangkat aksioma atau postulat.
Dalam geometri khususnya ternyata perangkat aksioma Euclid tidak cukup, artinya
ada teorema-teorema yang tidak dapat dibuktikan secara langsung melalui deduksi
logis postulat-postulatnya. Dalam buku Euclid, suatu teorema kadang-kadang
dibuktikan dengan menggunakan intuisi hubungan geometri, misalnya gambar dan
pengalaman dengan benda tegar. Ketidak-cukupan ini oleh Hilbert ditambah
dengan postulat 'terletak' dan 'antara'. Postulat kesejajaran Euclid terbukti tidak
dapat dideduksi dari postulat-postulat lainnya. Hal ini menggelitik para pakar
untuk 'mengganti' postulat ini dengan postulat yang lain. Hasilnya, Lobachevsky
dan Bolyai menemukan geometri hiperbolik sedangkan Riemann menemukan
geometri eliptik, kedua-duanya dikategorikan sebagai geometri non-euclid.
Kepastian matematis dikatakan relatif terhadap perangkat aksioma yang
mendasarinya tempat diturunkannya suatu teorema, dan dikatakan perlu karena
teorema-teorema sebenarnya hanyalah secara implisit telah terkandung dalam
perangkat postulat itu. Oleh karena perangkat postulat tidak mengacu kepada data
empiris, maka sebagai konsekuensinya, teorema-teorema pun tidak mengacu
kepada data empiris. Dan Anda juga tahu bahwa kebenaran suatu aksioma adalah
apriori, sebuah kebenaran yang diperoleh dari kata-kata yang dikandungnya.
Kegiatan Belajar 2: Geometri Empiris
Rangkuman
Geometri murni adalah geometri yang dikembangkan melalui metode formal murni
(aksiomatis). Geometri ini sama sekali tidak berkaitan dengan material fisik
khusus. Postulat-postulat ditetapkan dan teorema-teorema diperoleh melalui
deduksi logis menggunakan logika formal, dan analisis konsep, kosong dari arti.
Kebenarannya adalah persis (pasti dan perlu). Adanya nama-nama seperti titik,
garis, dan sebagainya. yang sama dengan nama-nama fisik hanyalah kebetulan
saja.
Geometri dalam sejarah perkembangannya memang merupakan generalisasi dari
pengalaman empiris dalam berbagai praktik keteknikan sederhana. Oleh karena
itu, juga sering disebut sebagai teori struktur ruang fisik, atau geometri fisik.
Geometri fisik dapat diperoleh melalui interpretasi semantik, yakni, pemberian
makna khusus, designatum, kepada primitif-primitif yang harus memenuhi semua
perangkat aksioma dalam geometri murni. Akibatnya semua geometri murni
menjadi teorema yang bermakna - pernyataan fisik dan sepenuhnya terhadap
teorema-teorema di dalamnya dapat dimunculkan sifat benar-salah. Jadi
interpretasi semantik kepada primitif ke dalam makna khusus ini akan mengubah
geometri murni menjadi geometri fisik. Term 'segitiga' adalah term dalam geometri
murni, sedangkan term 'daerah segitiga' adalah term dalam geometri fisik. Termterm 'persegi kertas', 'persegi kerangka' adalah term-term dalam geometri fisik.
Demikian pula luas daerah lingkaran adalah kali kuadrat jari-jari adalah teorema
dalam geometri fisik.
Jika geometri fisik digunakan menyelesaikan masalah yang terkait dengan
pengalaman sehari-hari dan kemudian ada ketidakcocokan, maka ketidakcocokan
ini harus dicari dari situasi fisiknya. Masalah ini dinamakan konvensi Poincare.
Penalarannya adalah sebagai berikut. Jika geometrik fisik G akan diuji
kebenarannya, maka pengujian itu tentu melibatkan benda (sains) tertentu P
(misalnya pengukuran atau observasi sistematik). Hasil ujinya adalah konfirmasi GP, dan bukan hanya G sendiri. Jika hasil amatan ternyata tidak cocok, maka yang
perlu divalidasi adalah P dan bukan G.
Apakah ruang fisik berstruktur euclid atau non-euclid, hanyalah masalah konvensi
saja. Poincare selalu mengambil geometri euclid sebagai struktur ruang fisik,
tetapi ketika Einstein mengambangkan teori relativitas umumnya, ia mengambil
geometri-eliptik (non-euclid) sebagai struktur ruang fisik.
MODUL 9: Matematika sebagai Metode dan Seni
Kegiatan Belajar 1: Matematika sebagai Metode
Rangkuman
Walaupun tidak sempurna, matematika aksiomatis dibuka oleh geometri Euclid
pada abad ketiga. Peano membuat aksioma yang mula-mulanya untuk bilangan
alam. Aksioma ini berbuah lebat. Hilbert menyempurnakan aksioma Euclid.
Perangkat aksioma harus memenuhi syarat tertentu antara lain: (a) terdiri dari
kata-kata yang kosong dari arti (primitif), (ii) banyaknya primitif harus minimal,
(iii) perangkat primitif harus konsisten, dan independen. Teorema-teorema
dideduksi secara logis dengan menggunakan logika formal. Dengan metode
langkah-langkah seperti itu maka muncul matematika baru yang disebut sistem
matematika. Karena itu geometri dapat dipandang sebagai sebuah metode (metode
membangun karya matematis).
Dalam geometri murni, term-term primitif kosong dari arti. Teorema-teorema
dideduksi secara logis menggunakan logika formal. Teorema-teorema pun kosong
dari arti. Kebenaran teorema-teorema ini adalah kondisional.
Dalam geometri fisik atau orang awam menyebutnya geometri empiris, perangkat
aksioma diambil dari geometri murni dengan cara memberi makna fisik untuk
term-term primitif. Teorema-teorema kemudian juga mengandung makna fisik.
Sekarang perangkat aksioma dan teorema-teorema dalam geometri fisik bernilai
benar.
Untuk pengembangan teorema-teorema matematikawan memiliki daya imajinasi,
abstraksi, inspirasi, dan kreativitas, yang pada umumnya juga berdasarkan
pengalaman.
Kegiatan Belajar 2: Matematika adalah Seni Keindahan
Rangkuman
Sekarang kita kembali ke pertanyaan awal kita. Apakah matematika itu? Kita
mampu mengatakan bahwa dalam nurani manusia, suatu kehidupan, selalu
berubah, entitas eksklusif, terdapat unsur-unsur yang menghasilkan seni dan
pengetahuan. Jika kita pelajari apa yang mereka hasilkan, kita dapati bahwa yang
dihasilkan itu disebut keindahan, dan memuat unsur-unsur yang dapat kita
pandang baik dari sisi dinamika kehidupan sebagai unsur-unsur dalam suatu
struktur jika dipandang oleh seniman, atau kita dapat melihat hasilnya dari sisi
statis, sebagai pengetahuan, dan menamakannya: ritme (irama) order (urutan),
disain (rancang bangun), dan harmoni (laras). Matematika adalah, pada sisi statis,
suatu kreasi ritme, order, disain, dan harmoni baru, dan pada sisi pengetahuan,
adalah studi sistematik dari berbagai ritme, orde, disain, dan harmoni. Kita dapat
meringkasnya ke dalam pernyataan bahwa matematika adalah, pada studi
kualitatif dari struktur keindahan, dan pada sisi lain adalah kreator dari bentuk-
bentuk artistik baru dari keindahan, Matematikawan adalah sekaligus kreator dan
pengkritik, tentu saja, tidak selalu pada orang yang sama. Yang sangat terkenal
sebagai kreator besar adalah Sylvester, Kleine, dan Poincare, dan mereka ini tidak
terlalu tertarik dari sisi kritik. Sedangkan dari sisi kritik terkenal nama-nama
kritikus unggul Cayley, Hilbert, dan Picard. Sylvester tidak pernah tahu bahan apa
yang akan diberikan dalam perkuliahannya. Kleine dalam situasi putus asa
terhadap Hilbert dengan kekhilafannya mengenai kreasi intuitif, dengan
menggunakan sebarang medium untuk ekspresi yang akan memenuhi anganangannya. Poincare selalu menyerang tentang pekerjaannya mengenai intuisi
mata. Namun dalam semua matematikawan besar mulai dari Pythagoras sampai
Poincare kita dapati karakter seniman yang dikombinasikan dalam berbagai
derajat dengan karakter kesarjanaan.
Kita dapat juga menjawab pertanyaan yang kedua: Mengapa matematika itu hanya
menarik sedikit orang? Mary Austin dalam bukunya "Everyman's Genius"
mengajak semua para artis yang kreatif untuk belajar matematika tinggi, hal yang
sama dianjurkan oleh Havelock Ellis. Bukan semata-mata tentang keterlibatan sifat
kesarjanaan, bukan keingintahuan besar yang dipromosikan, tetapi untuk imajinasi
tingkat tinggi yang diperlukan, untuk membangun pendalaman artistik yang tajam.
Jika, misalnya, meskipun orang hanya belajar dalam bidang-bidang bilangan
aljabar yang superkuadratik, yang mempunyai grup berorder 2N, akan
mempelajari sesuatu yang baru tentang keindahan. Jika ia hanya belajar bidangbidang bangun aljabar simetrik ia akan dipercantik oleh keindahan yang elegan.
Aljabar determinan adalah kebun yang elok, terbuka pada setiap sisinya, seperti
dapat dilihat dalam risalat Metzler. Jika orang mendapat teorema baru dalam
geometri segitiga, ia akan terkejut dengan keindahannya. Hanya mengetahui
transversal dari suatu segitiga, misalnya, dengan mengetahui titik-titik Brocard
dan lingkaran Brocard, lingkaran Lemoine, lingkaran titik-sembilan dari
Feuerbach, lingkaran-lingkaran Tucker, garis-garis isotomik, garis-garis isogonal
dan lain-lain bangun, akan membawa keindahan baru pada imajinasi. Dalam teori
bilangan teorema terakhir Fermat menunggu buktinya, dan akan mendapat
mahkota kemuliaan bagi seseorang yang memberikan bukti. Aljabar-aljabar divisi
Dickson menghiasi setiap realm (dunia akal) yang menarik dan dapat
menguntungkan bagi teorema-teorema baru. Daftar demikian dapat diperpanjang
tanpa akhir.
Banyak matematikawan telah menjadi seniman dengan cara lain-lain. Ada yang
menulis puisi, lainnya mengomposisi musik. Inkuiri yang dipimpin oleh kegiatan
matematikawan beberapa tahun lampau didapati bahwa kebanyakan dari mereka
dengan serius tertarik dalam suatu phase seni. Dan kebanyakan dari mereka
dilaporkan bahwa penemuan-penemuan atau kreasi-kreasi mereka datang tepat
seperti yang dialami para seniman mendapat inspirasi dengan cara lain.
Matematikawan adalah pemimpi, dan dalam impiannya yang ilusif datang dan
pergi; timbul dan tenggelam, dan lenyap; menggelinding kembali pada momen
yang tidak diharapkan, tetapi terlepas dari genggaman yang akan menahannya;
muncul lagi dalam tarian yang janggal, dan bermain dalam warna fantasi; lenyap;
dan suatu hari melangkah pergi menggandeng tangan yang telah menantinya,
dengan bilangan ideal Kummer sebagai hadiah. Matematikawan bermimpi dan
dalam kekisruhannya yang kalut, bunga yang jujur dalam bentuk fantasi mekar dan
hilang; angin sepoi-sepoi menggerayanginya dengan kilasan burung-burung masa
kini dan seterusnya; dan matematika baru telah lahir, aljabar asosiatif linear oleh
Benjamin Peirce. Inilah tanah yang kaya, dan kota, seperti "Metropolis of
Tomorrow"nya Hugh Ferris, yang dalam kata-kata Tennyson, "membangun musik,
maka yang sesungguhnya sama sekali tidak pernah membangun, dan karena itu
selalu membangun". Inilah dunia yang mengetahui tidak ada hukum kedua dari
termodinamika, dunia yang menjamin bagi orang-orang yang memang dasarnya
kreatif, keabadian waktunya, dan juga ketidakkekalannya.
Daftar Pustaka
Bell, E. T., (1966). The Development of Mathemathics, Ner York: MCMillan.
Boyer, C. B., (1967). A Concise History of Mathematics. New York: Willey &
Son.
Eka Darmaputra., (1996). Etika Sederhana untuk Semua. Jakarta: Gunung
Mulya.
Hampel, C. G., (1966). University of New Mexico: Philosophical Series.
Johnson, D. A., (1970). Invitation to Mathemathics. London: John Murray.
Kattasoff, L. O., (1986). Pengantar Filsafat. Alih bahasa: Suyono Sumargono.
Yogyakarta: Tiara Wacara.
Korne, Stephan., (1986). The Philosophy of Mathematics. New York: Dover.
Newsom, C. W., (1966). Mathematical Monthly. Vol. 52. Pp 543-556.
Pujawijatna, I. I., (1963). Pembimbing ke Filsafat. Jakarta: Pembangunan.
Pujawijatna, I. I., (1982). Etika, Filsafat Tingkah Laku. Jakarta, Bina Aksara.
Rapar, J. H., (1996), Pengantar Filsafat. Yogyakarta: Kanisius.
Schaaf, W. L., (1963), The Arithmatics Teacher. Vol. 8. Pp.5-9.
Suparma, (1996), Ilmu, Teknologi, dan Etika. Jakarta: Gunung Mulya.
Struik, D. J., (1967). A Concise History of Mathematics, New York: Dover.
Suseno, Franz Magnis, (1995). Filsafat sebagai Ilmu Kritis. Yogyakarta:
Kanisius.
Wein, G. T., (1973), Mathematics Education, London: Van Nostrand.
Moris, Kleine, (1966), Mathematical Monthly, Vol. 52, PP. 664-672.