2014 Soal SBMPTN TKD Saintek Matematika
SOAL DAN PEMBAHASAN TKD SAINTEK
MATA UJI MATEMATIKA SBMPTN 2014
1.
Jika � adalah matriks berukuran 2 × 2 dan
�
[� 1]� � � = � 2 + 5� + 8,
1
maka matriks � yang mungkin adalah …
Pembahasan Karena masing-masing matriks [�
Tinjauan
�
1] dan �1� memiliki
komponen variabel � dan polinomial pada ruas kanan berderajat dua,
maka semua komponen dari matriks � haruslah konstanta. Selain itu,
suku-� 2 pada ruas kanan memiliki koefisien 1, sehingga komponen
pada baris pertama dan kolom pertama pada matriks �, �11 , haruslah 1.
Sehingga kita peroleh,
1 � �
[� 1] �
� � � = � 2 + 5� + 8
� � 1
�
⟺ [� + � �� + �] � � = � 2 + 5� + 8
1
2
⟺
� + �� + �� + � = � 2 + 5� + 8
⟺
2.
3.
� 2 + (� + �)� + � = � 2 + 5� + 8
Dari persamaan tersebut, kita dapatkan
� + � = 5; dan
� = 8.
Dari pilihan A, B, C, D, dan E, yang memenuhi hanyalah pilihan E,
yaitu
1
� = −3
�=�
�
�=8 �=8
(Jawaban E)
Banyaknya akar real �(�) = � 9 − � adalah … buah.
Pembahasan Perhatikan bahwa,
� 9 − � = �(� 4 + 1)(� 2 + 1)(� + 1)(� − 1)
4
Sehingga diperoleh akar-akarnya � = 0, � = ± √−1, � = ±√−1, � =
−1, dan � = 1. Jadi banyaknya akar real adalah 3 (Jawaban B).
Diketahui,
2
1 + log 3 (tan �) + (log 3 (tan �))2 + (log 3 (tan �))3 + ⋯ =
3
Dengan 0 ≤ � ≤ �, � ≠ �⁄2, nilai sin 2� adalah …
Halaman 1 dari 14
Soal nomor 1
memiliki jawaban
lebih dari satu. Salah
satu jawaban yang
memenuhi adalah
1 1
�
�. Sehingga
4 8
melihat pilihan
jawaban sebelum
menjawab soal
sangat diperlukan.
Tinjauan
Pembahasan Pertama kita perhatikan persamaan yang diberikan
berikut,
Kunci dari nomor 3
ini adalah
menyederhanakan
persamaan. Untuk
deret geometri tak
hingga,
2
3
Ruas kiri dari persamaan tersebut merupakan deret geometri tak hingga
dengan,
�1 = 1, dan
log 3 (tan �)
�=
= log 3 (tan �)
1
Sehingga ruas kiri dari persamaan tersebut dapat kita sederhanakan
menjadi bentuk,
1
�1
=
�∞ =
1 − � 1 − log 3 (tan �)
Diperoleh,
1
2
=
1 − log 3 (tan �)
3
⟺
3 = 2 − 2 log (tan �)
�∞ =
�1
1−�
1 + log 3 (tan �) + (log 3 (tan �))2 + (log 3 (tan �))3 + ⋯ =
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
3
−
1 = −2 log 3 (tan �)
1
= log 3 (tan �)
2
1
− log 3 3 = log 3 (tan �)
2
1
log 3 3−2 = log 3 (tan �)
1
3−2 = tan �
1
⟺
tan � =
√3
1
⟺
tan � = √3
3
Karena 0 ≤ � ≤ � maka diperoleh
1
� = tan−1 √3 = 30°
3
Sehingga,
sin 2(30°) = sin 60°
1
= √3
2
Halaman 2 dari 14
1 1
∙
2 1�
√3
1
1
= ∙
2 tan 30°
1
=
2 tan 30°
Karena � = 30°, maka
1
sin 2� =
2 tan �
(Jawaban B)
Semua nilai � sehingga �(�) = log(4� + � ∙ 2� + � + 3) selalu
bernilai real adalah …
Pembahasan Agar �(�) = log(4� + � ∙ 2� + � + 3), maka
4� + � ∙ 2� + � + 3 > 0 ⟺ (2� )2 + � ∙ 2� + � + 3 > 0
Misal � = 2� maka pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan,
=
4.
� 2 + �� + � + 3 > 0,
di mana � = 2� > 0. Sehingga, terdapat dua kasus dalam
permasalahan ini.
Kasus 1: − ��2 < 0 ⟺ � > 0
Untuk kasus ini, agar � 2 + �� + � + 3 > 0 maka
� + 3 > 0 ⟺ � > −3
Sehingga selesaian untuk kasus ini adalah � > 0
Kasus 2: − ��2 ≥ 0 ⟺ � ≤ 0
5.
Untuk kasus ini, agar � 2 + �� + � + 3 > 0 maka
� = �2 − 4� − 12 ≤ 0 ⟺ (� + 2)(� − 6) ≤ 0
⟺ −2 ≤ � ≤ 6
Sehingga selesaian untuk kasus ini adalah −2 ≤ � ≤ 0
Jadi, berdasarkan kasus 1 dan 2, selesaian dari permasalahan ini adalah
� ≥ −2 (Jawaban B).
Misalkan diberikan titik �(1, 0) dan �(0, 1). Jika � bersifat
����|: |��
����| = √�: √�, maka � terletak pada lingkaran dengan
|��
persamaan …
Pembahasan Dengan menggunakan rumus jarak,
�(� − 1)2 + � 2
�� 2 + (� − 1)2
=
√�
√�
Halaman 3 dari 14
Tinjauan
Pembagian kasus
pada nomor 4
didasarkan pada
letak sumbu simetri
dari grafik fungsi.
(� − 1)2 + � 2 = �
�
� 2 + (� − 1)2
� 2 − 2� + 1 + � 2 = �
�
� 2 + � 2 − 2� + 1
2
2
�� 2 − 2�� + � + �� 2 = �� + �� − 2�� + �
�� 2 + � + �� 2 − �� 2 − �� 2 − � = −2�� + 2��
(� − �)� 2 + (� − �)� 2 + (� − �) = 2(�� − ��)
(� − �)(� 2 + � 2 + 1) = 2(�� − ��)
(Jawaban E).
Tinjauan
Untuk masalah
pembagian
polinomial, pada
umumnya masalah
tersebut dapat
diselesaikan jika kita
jadikan dalam
bentuk (6.1) dan
(6.2).
6.
2
Diketahui �(�) suatu polinomial. Jika ���(�)� − 6��(�) dan
�(� 2 − 6�) berturut-turut memberikan sisa –9 dan 9 apabila masing-
masing dibagi � − 1, maka �(�) dibagi � 2 + 4� − 5 memberikan sisa
…
Pembahasan Perhatikan bahwa,
2
���(�)� − 6��(�) = (� − 1)�1 (�) − 9; dan
�(� 2 − 6�) = (� − 1)�2 (�) + 9.
…(6.1)
…(6.2)
Jika kita substitusi � = 1 pada persamaan (6.1) dan (6.2) maka
diperoleh,
2
��(1)� − 6�(1) = −9; dan
�(−5) = 9.
Selanjutnya kita selesaiakan persamaan (6.3).
2
��(1)� − 6�(1) = −9
2
⟺
��(1)� − 6�(1) + 9 = 0
⟺
�(1) − 3 = 0
⟺
⟺
(�(1) − 3)2 = 0
�(1) = 3
…(6.3)
…(6.4)
persamaan (6.3)
tambahkan 9 di kedua ruas
faktorkan
akar persamaan
hasil
Misalkan �� + � merupakan sisa �(�) jika dibagi dengan � 2 + 4� −
5 = (� + 5)(� − 1). Sehingga,
�(�) = (� + 5)(� − 1)�3 (�) + �� + �
…(6.5)
Dengan mensubstitusi � = −5 dan � = 1 ke persamaan (6.5), kita
peroleh
Halaman 4 dari 14
⟺
�(−5) = −5� + �
subsitusi –5 ke �
�(1) = � + �
substitusi 1 ke �
9 = −5� + �
dan
⟺
�(−5) = 1
3 =�+�
�(1) = 3
Dengan mengurangi persamaan � + � = 3 dengan persamaan −5� +
� = 9, didapatkan 6� = −6 ⟺ � = −1. Sehingga, −1 + � = 3
7.
menghasilkan � = 4. Jadi, jika �(�) dibagi � 2 + 4� − 5 memberikan
sisa −� + 4.
(2� + 3) < 1 adalah …
Penyelesaian pertidaksamaan log 1�
(|�|+1)
Pembahasan
log 1�
(|�|+1)
(2� + 3) < 1
1
�
(|�|+1) |�| + 1
Karena 0 < 1�|�| + 1 < 1 untuk setiap � ∈ ℝ, maka
⟺
log 1�
(|�|+1)
(2� + 3) < log 1
�
2� + 3 >
�
1
|�| + 1
2� − |�| + 2
>0
|�| + 1
Penyebut dari pertidaksamaan di atas beberbentuk |�| + 1. Karena
|�| ≥ 0 untuk semua � ∈ ℝ, maka |�| + 1 > 0. Oleh karena itu, agar
2� − |�| + 2
>0
|�| + 1
maka pembilanganya haruslah positif, 2� − |�| + 2 > 0. Kita bagi dua
kasus:
Kasus 1: Perhatikan bahwa ketika � ≥ 0, 2� − |�| + 2 > 0 jika,
⟺
⟺
⟺
⟺
2� − |�| + 2 > 0
2� − � + 2 > 0
�+2 >0
� > −2
pembuat positif
sifat harga mutlak
sederhanakan
kurangi kedua ruas dengan 2
Sehingga selesaian untuk kasus ini � > 0.
Kasus 2: Sedangkan ketika � < 0, 2� − |�| + 2 > 0 jika,
Halaman 5 dari 14
Tinjauan
Pembagian kasus
pada soal nomor 6
didasarkan pada
definisi nilai mutlak.
⟺
⟺
2� − |�| + 2 > 0
pembuat positif
2� − (−�) + 2 > 0
sifat harga mutlak
sederhanakan
3� + 2 > 0
⟺
3� > −2
kurangi kedua ruas dengan 2
2
bagi kedua ruas dengan 3
3
Diperoleh selesaian untuk kasus ini − 2�3 < � < 0.
⟺
�
>−
Sehingga secara keseluruhan, 2� − |�| + 2 > 0 jika � > − 2�3.
Maka selesaian untuk pertidaksamaan,
(2� + 3) < 1
log 1�
(|�|+1)
8.
adalah � > − 2�3 (Jawaban A).
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis � = −2, dan garis
singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis 4� + � = 4. Titik
puncak parabola tersebut adalah …
Pembahasan Diketahui sumbu simetri dari parabola, misalkan �(�) =
�� 2 + �� + � dengan � ≠ 0, simetris terhadap garis � = −2. Hal ini
berarti,
�
1
−
= −2 ⟺ � = �
2�
4
Selanjutnya, garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis
4� + � = 4, sehingga gradien dari garis singgung tersebut adalah −4.
Padahal persamaan garis singgung parabola tersebut sama dengan
turunan pertamanya. Sehingga,
⟺
⟺
�′(�) = 2�� + �
�′(0) = 2�(0) + �
−4 = �
turunan pertama
substitusi � = 0
gradien di (0, 1) sama dengan –4
Sehingga, � = 1�4 ∙ −4 = −1. Karena parabola tersebut melalui titik
(0, 1), maka
⟺
⟺
�(0) = 1 melalui (0, 1)
−02 − 4(0) + � = 1 subsitusi � = 0 ke �(�)
� = 1 hasil
Halaman 6 dari 14
Sehingga diperoleh persamaan parabola tersebut adalah �(�) = −� 2 −
4� + 1. Maka,
9.
�(−2) = −(−2)2 − 4(−2) + 1 = 5.
Jadi, titik puncak dari parabola tersebut adalah P(–2, 5) (Jawaban E).
�����⃗, � = �����⃗
�����⃗ . Jika �
Diberikan limas �. ���. Misalkan � = ��
��, � = ��
adalah titik berat ∆���, maka �����⃗
�� =…
Pembahasan Perhatikan gambar di bawah ini.
�����⃗. Berdasarkan gambar limas
��, dan � = ��
Misalkan � = �����⃗
�� , � = �����⃗
�. ��� di atas,
2
2 1
�����⃗
�� = � + � � + ��
�� = � + �����⃗
3
3 2
2
2 1
�����⃗
�� = � + �����⃗
�� = � + � � + ��
3
3 2
2
2 1
�����⃗
�� = � + � � + ��
�� = � + ������⃗
3
3 2
Sehingga dengan menjumlahkan ketiga vektor di atas, didapatkan
2 3
3
3
�����⃗ = � + � + � + � � + � + ��
3��
3 2
2
2
�����⃗ = � + � + � + � + � + �
⟺ 3��
⟺
⟺
�����⃗
3��
�����⃗
��
=�+�+�
1
= (� + � + �)
3
(Jawaban A).
10. Diberikan kubus ����. ���� dengan panjang rusuk 3�. Titik-titik
�, �, dan � masing-masing pada ��, ��, dan �� sehingga �� =
Halaman 7 dari 14
�� = �� = �. Misalkan � adalah irisan bidang yang melalui �, �,
dan �. Luas alas yang berada di bawah bidang � adalah … �2 .
Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar tersebut, kita bisa melihat bahwa
∠��� ≅ ∠���
(bertolak belakang)
∠��� ≅ ∠���
(sudut siku-siku)
Sehingga, ∆���~∆���. Karena ∆��� merupakan segitiga sama kaki,
maka ∆��� juga merupakan segitiga sama kaki dengan �� = � = ��.
Berdasarkan sd.sd (∠��� ≅ ∠��� dan ∠��� ≅ ∠���) maka
diperoleh ∆���~∆���. Karena ��: �� = (2�): (�) = 2: 1, maka
��: �� = 2: 1. Padahal diketahui �� = 3�. Sehingga, �� = 2� dan
�� = �. Dengan kata lain, ∆��� dan ∆��� merupakan dua segitiga
sama kaki.
Selanjutnya, dikontruksi bahwa ����
�� ∥ ����
��. Sehingga ∆��� merupakan
segitiga sama kaki. Didapatkan, proyeksi segitiga tersebut ke bidang
���� (bidang yang sejajar dengan bidang ���), yaitu ∆��� juga
merupakan segitiga sama kaki.
Sehingga segienam ������ dapat digambarkan sebagai berikut.
Halaman 8 dari 14
Selanjutnya luas dari segienam tersebut dapat ditentukan sebagai
berikut.
������� = ����� − (�∆��� + ���� )
= (3�)2 − �
2� ∙ 2� � ∙ �
+
�
2
2
5
= 9�2 − �2
2
13 2
=
�
2
Jadi, luas alas yang berada di bawah bidang � adalah 13�2 �2 satuan
luas (Tidak ada pilihan jawaban)
11. Jika 3 sin � + 4 cos � = 5, maka nilai maksimum 3 cos � + 4 sin �
adalah …
Pembahasan Dengan menguadratkan kedua ruas dari persamaan
3 sin � + 4 cos � = 5, kita peroleh
⟺
(3 sin � + 4 cos �)2 = 52
9 sin2 � + 24 sin � cos � + 16 cos2 � = 25
…(11.1)
Misalkan 3 cos � + 4 sin � = �, maka dengan menguadratkan kedua
ruas dari persamaan tersebut diperoleh
⟺
(3 cos � + 4 sin �)2 = � 2
9 cos 2 � + 24 cos � sin � + 16 sin2 � = � 2
…(11.2)
Dengan menjumlahkan persamaan (11.1) dan (11.2), kita mendapatkan
9(sin2 � + cos 2 �) + 24(sin � cos � + cos � sin �) +
16(cos2 � + sin2 �) = 25 + � 2
Halaman 9 dari 14
…(11.3)
Tinjauan
Pada soal nomor 11
ini terdapat clue
bahwa koefisien dan
konstanta dari
persamaan yang
diberikan adalah 3,
4, dan 5, yang
memberikan arah
pengerjaannya
dengan
mengkuadratkannya.
Karena sin2 � + cos 2 � = 1 dan sin � cos � + cos � sin � =
sin(� + �) maka persamaan (11.3) dapat disederhanakan menjadi
⟺
9(1) + 24(sin(� + �)) + 16(1) = 25 + � 2
24 sin(� + �) + 25 = 25 + � 2
24 sin(� + �) = � 2
⟺
�2
24
Karena −1 ≤ sin(� + �) ≤ 1, maka nilai � akan bernilai maksimum
jika
⟺
sin(� + �) =
�2
24
= 24
1 =
⟺
⟺
�2
� = 2√6
memberikan nilai maksimum untuk �
kalikan kedua ruas dengan 24
akarkan kedua ruas
(Jawaban C)
12. Diketahui �, � + �, dan � + 5� merupakan 3 suku pertama suatu
barisan geometri. Jika �, � + �, �, �, dan � merupakan 5 suku pertama
suatu barisan aritmetika dan � + � + � = −15, maka suku ke 10
barisan aritmetika tersebut adalah …
Pembahasan �, � + �, �, �, dan � merupakan 5 suku pertama suatu
barisan aritmetika, maka beda dari barisan tersebut adalah
(� + �) − � = �
Sehingga,
� = � + 2�,
� = � + 3�, dan
� = � + 4�.
Karena � + � + � = −15, maka kita mendapatkan
3� + 9� = −15
…(12.1)
Perhatikan bahwa �, � + �, dan � + 5� merupakan 3 suku pertama
suatu barisan geometri. Sehingga,
� + 5�
�+�
rasio dari barisan geometri
=
�+�
�
⟺ �2 + 2�� + � 2 = �2 + 5�� kalikan dengan �(� + �)
⟺
� 2 − 3�� = 0
Halaman 10 dari 14
sederhanakan
⟺
�(� − 3�) = 0
⟺
faktorkan
� = 0 atau � = 3�
hasil
Jika � = 0 maka suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah �.
Jika � = 3�, maka dengan mensubstitusikan nilai � tersebut ke
persamaan (12.1) diperoleh
⟺
3� + 9(3�) = −15
30� = −15
substitusi 3� ke �
sederhanakan
1
bagi kedua ruas dengan 30
2
Sehingga, � = 3(− 1⁄2) = − 3⁄2. Maka suku ke-10 dari barisan
aritmetika tersebut adalah
1
3
�10 = − + 9 �− � = −14
2
2
(Jawaban B)
⟺
� =−
13. Misalkan �(�) menyatakan luas daerah di bawah kurva � = �� 2 , 0 ≤
� ≤ �. Jika titik �(�0 , 0) sehingga �(�0 ): �(1) = 1: 8, maka
perbandingan luas trapesium ����: ���� =…
Pembahasan Karena �(�0 ): �(1) = 1: 8 maka
�0
2
1
� �� �� : � �� 2 �� = 1: 8 luas di bawah kurva
0
0
Halaman 11 dari 14
⟺
⟺
�0
1
1
1
� �� 3 � : � �� 3 � = 1: 8 integralkan
3
3
0
0
�0 3 : 1 = 1: 8 substitusi
1
sederhanakan
8
1
akar pangkat tigakan
⟺
�0 =
2
Sehingga perbandingan luas trapesium ���� dan ���� dapat
ditentukan sebagai berikut.
⟺
�0 3 =
1 1
� − (−1)� (�(−1)2 )
�����
2 2
����� =
1
1
�1 − � (� ∙ 12 )
2
2
3�
= 2
1�
2
3
=
1
Jadi, perbandingan luas trapesium ����: ���� = 3: 1 (Jawaban B)
14. Banyak cara menyusun 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku
kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah …
Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Terdapat 3 jenis buku, yang terdiri dari 4, 3, dan 2 buku matematika,
fisika, dan kimia. Sehingga banyaknya cara menyusun buku-buku
tersebut agar buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah
�33 (�44 ∙ �33 ∙ �22 ) = 6(24 ∙ 6 ∙ 2) = 1.728
(Jawaban A)
15. Jika,
dan
1 �
�(�) = � ��(�) + �(�)���
� 0
Halaman 12 dari 14
�(�0 − �) − �(�0 )
=0
�→0
�
maka �(�0 ) = …
Pembahasan Perhatikan bahwa,
�(�0 − �) − �(�0 )
= � ′ (�0 )
lim
�→0
�
padahal seperti yang diberikan soal,
�(�0 − �) − �(�0 )
lim
=0
�→0
�
Sehingga, kita mendapatkan
� ′ (�0 ) = 0
Selanjutnya, kita sederhanakan fungsi C yang diberikan sebagai berikut.
lim
1 �
�(�) = � ��(�) + �(�)���
� 0
1
= [�(�) + �(�)]�0
�
1
= [�(�) − �(0) + �(�) − �(0)]
�
Sehingga diperoleh,
��(�) + �(�)�� − [�(�) − �(0) + �(�) − �(0)]
�2
Dengan mensubstitusikan � = �0 dan � ′ (�0 ) = 0 didapatkan
� ′ (�) =
0 =
��(�0 ) + �(�0 )��0 − [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
�0 2
⟺ 0 = ��(�0 ) + �(�0 )��0 − [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
Atau dengan kata lain,
��(�0 ) + �(�0 )��0 = [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
Padahal, sesuai definisi integral tentu
�0
[�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)] = � ��(�) + �(�)���
Sebagai akibatknya, kita memperoleh
�0
0
� ��(�) + �(�)��� = ��(�0 ) + �(�0 )��0
0
Selanjutnya kita gunakan hasil tersebut untuk menentukan nilai dari
�(�0 ) sebagai berikut.
�(�0 ) =
1 �0
� ��(�) + �(�)���
�0 0
Halaman 13 dari 14
Tinjauan
Yang perlu diingat
dalam mengerjakan
soal nomor 15
adalah definisi
turunan.
=
(Jawaban C)
1
∙ ��(�0 ) + �(�0 )��0
�0
= �(�0 ) + �(�0 )
Halaman 14 dari 14
MATA UJI MATEMATIKA SBMPTN 2014
1.
Jika � adalah matriks berukuran 2 × 2 dan
�
[� 1]� � � = � 2 + 5� + 8,
1
maka matriks � yang mungkin adalah …
Pembahasan Karena masing-masing matriks [�
Tinjauan
�
1] dan �1� memiliki
komponen variabel � dan polinomial pada ruas kanan berderajat dua,
maka semua komponen dari matriks � haruslah konstanta. Selain itu,
suku-� 2 pada ruas kanan memiliki koefisien 1, sehingga komponen
pada baris pertama dan kolom pertama pada matriks �, �11 , haruslah 1.
Sehingga kita peroleh,
1 � �
[� 1] �
� � � = � 2 + 5� + 8
� � 1
�
⟺ [� + � �� + �] � � = � 2 + 5� + 8
1
2
⟺
� + �� + �� + � = � 2 + 5� + 8
⟺
2.
3.
� 2 + (� + �)� + � = � 2 + 5� + 8
Dari persamaan tersebut, kita dapatkan
� + � = 5; dan
� = 8.
Dari pilihan A, B, C, D, dan E, yang memenuhi hanyalah pilihan E,
yaitu
1
� = −3
�=�
�
�=8 �=8
(Jawaban E)
Banyaknya akar real �(�) = � 9 − � adalah … buah.
Pembahasan Perhatikan bahwa,
� 9 − � = �(� 4 + 1)(� 2 + 1)(� + 1)(� − 1)
4
Sehingga diperoleh akar-akarnya � = 0, � = ± √−1, � = ±√−1, � =
−1, dan � = 1. Jadi banyaknya akar real adalah 3 (Jawaban B).
Diketahui,
2
1 + log 3 (tan �) + (log 3 (tan �))2 + (log 3 (tan �))3 + ⋯ =
3
Dengan 0 ≤ � ≤ �, � ≠ �⁄2, nilai sin 2� adalah …
Halaman 1 dari 14
Soal nomor 1
memiliki jawaban
lebih dari satu. Salah
satu jawaban yang
memenuhi adalah
1 1
�
�. Sehingga
4 8
melihat pilihan
jawaban sebelum
menjawab soal
sangat diperlukan.
Tinjauan
Pembahasan Pertama kita perhatikan persamaan yang diberikan
berikut,
Kunci dari nomor 3
ini adalah
menyederhanakan
persamaan. Untuk
deret geometri tak
hingga,
2
3
Ruas kiri dari persamaan tersebut merupakan deret geometri tak hingga
dengan,
�1 = 1, dan
log 3 (tan �)
�=
= log 3 (tan �)
1
Sehingga ruas kiri dari persamaan tersebut dapat kita sederhanakan
menjadi bentuk,
1
�1
=
�∞ =
1 − � 1 − log 3 (tan �)
Diperoleh,
1
2
=
1 − log 3 (tan �)
3
⟺
3 = 2 − 2 log (tan �)
�∞ =
�1
1−�
1 + log 3 (tan �) + (log 3 (tan �))2 + (log 3 (tan �))3 + ⋯ =
⟺
⟺
⟺
⟺
⟺
3
−
1 = −2 log 3 (tan �)
1
= log 3 (tan �)
2
1
− log 3 3 = log 3 (tan �)
2
1
log 3 3−2 = log 3 (tan �)
1
3−2 = tan �
1
⟺
tan � =
√3
1
⟺
tan � = √3
3
Karena 0 ≤ � ≤ � maka diperoleh
1
� = tan−1 √3 = 30°
3
Sehingga,
sin 2(30°) = sin 60°
1
= √3
2
Halaman 2 dari 14
1 1
∙
2 1�
√3
1
1
= ∙
2 tan 30°
1
=
2 tan 30°
Karena � = 30°, maka
1
sin 2� =
2 tan �
(Jawaban B)
Semua nilai � sehingga �(�) = log(4� + � ∙ 2� + � + 3) selalu
bernilai real adalah …
Pembahasan Agar �(�) = log(4� + � ∙ 2� + � + 3), maka
4� + � ∙ 2� + � + 3 > 0 ⟺ (2� )2 + � ∙ 2� + � + 3 > 0
Misal � = 2� maka pertidaksamaan di atas ekuivalen dengan,
=
4.
� 2 + �� + � + 3 > 0,
di mana � = 2� > 0. Sehingga, terdapat dua kasus dalam
permasalahan ini.
Kasus 1: − ��2 < 0 ⟺ � > 0
Untuk kasus ini, agar � 2 + �� + � + 3 > 0 maka
� + 3 > 0 ⟺ � > −3
Sehingga selesaian untuk kasus ini adalah � > 0
Kasus 2: − ��2 ≥ 0 ⟺ � ≤ 0
5.
Untuk kasus ini, agar � 2 + �� + � + 3 > 0 maka
� = �2 − 4� − 12 ≤ 0 ⟺ (� + 2)(� − 6) ≤ 0
⟺ −2 ≤ � ≤ 6
Sehingga selesaian untuk kasus ini adalah −2 ≤ � ≤ 0
Jadi, berdasarkan kasus 1 dan 2, selesaian dari permasalahan ini adalah
� ≥ −2 (Jawaban B).
Misalkan diberikan titik �(1, 0) dan �(0, 1). Jika � bersifat
����|: |��
����| = √�: √�, maka � terletak pada lingkaran dengan
|��
persamaan …
Pembahasan Dengan menggunakan rumus jarak,
�(� − 1)2 + � 2
�� 2 + (� − 1)2
=
√�
√�
Halaman 3 dari 14
Tinjauan
Pembagian kasus
pada nomor 4
didasarkan pada
letak sumbu simetri
dari grafik fungsi.
(� − 1)2 + � 2 = �
�
� 2 + (� − 1)2
� 2 − 2� + 1 + � 2 = �
�
� 2 + � 2 − 2� + 1
2
2
�� 2 − 2�� + � + �� 2 = �� + �� − 2�� + �
�� 2 + � + �� 2 − �� 2 − �� 2 − � = −2�� + 2��
(� − �)� 2 + (� − �)� 2 + (� − �) = 2(�� − ��)
(� − �)(� 2 + � 2 + 1) = 2(�� − ��)
(Jawaban E).
Tinjauan
Untuk masalah
pembagian
polinomial, pada
umumnya masalah
tersebut dapat
diselesaikan jika kita
jadikan dalam
bentuk (6.1) dan
(6.2).
6.
2
Diketahui �(�) suatu polinomial. Jika ���(�)� − 6��(�) dan
�(� 2 − 6�) berturut-turut memberikan sisa –9 dan 9 apabila masing-
masing dibagi � − 1, maka �(�) dibagi � 2 + 4� − 5 memberikan sisa
…
Pembahasan Perhatikan bahwa,
2
���(�)� − 6��(�) = (� − 1)�1 (�) − 9; dan
�(� 2 − 6�) = (� − 1)�2 (�) + 9.
…(6.1)
…(6.2)
Jika kita substitusi � = 1 pada persamaan (6.1) dan (6.2) maka
diperoleh,
2
��(1)� − 6�(1) = −9; dan
�(−5) = 9.
Selanjutnya kita selesaiakan persamaan (6.3).
2
��(1)� − 6�(1) = −9
2
⟺
��(1)� − 6�(1) + 9 = 0
⟺
�(1) − 3 = 0
⟺
⟺
(�(1) − 3)2 = 0
�(1) = 3
…(6.3)
…(6.4)
persamaan (6.3)
tambahkan 9 di kedua ruas
faktorkan
akar persamaan
hasil
Misalkan �� + � merupakan sisa �(�) jika dibagi dengan � 2 + 4� −
5 = (� + 5)(� − 1). Sehingga,
�(�) = (� + 5)(� − 1)�3 (�) + �� + �
…(6.5)
Dengan mensubstitusi � = −5 dan � = 1 ke persamaan (6.5), kita
peroleh
Halaman 4 dari 14
⟺
�(−5) = −5� + �
subsitusi –5 ke �
�(1) = � + �
substitusi 1 ke �
9 = −5� + �
dan
⟺
�(−5) = 1
3 =�+�
�(1) = 3
Dengan mengurangi persamaan � + � = 3 dengan persamaan −5� +
� = 9, didapatkan 6� = −6 ⟺ � = −1. Sehingga, −1 + � = 3
7.
menghasilkan � = 4. Jadi, jika �(�) dibagi � 2 + 4� − 5 memberikan
sisa −� + 4.
(2� + 3) < 1 adalah …
Penyelesaian pertidaksamaan log 1�
(|�|+1)
Pembahasan
log 1�
(|�|+1)
(2� + 3) < 1
1
�
(|�|+1) |�| + 1
Karena 0 < 1�|�| + 1 < 1 untuk setiap � ∈ ℝ, maka
⟺
log 1�
(|�|+1)
(2� + 3) < log 1
�
2� + 3 >
�
1
|�| + 1
2� − |�| + 2
>0
|�| + 1
Penyebut dari pertidaksamaan di atas beberbentuk |�| + 1. Karena
|�| ≥ 0 untuk semua � ∈ ℝ, maka |�| + 1 > 0. Oleh karena itu, agar
2� − |�| + 2
>0
|�| + 1
maka pembilanganya haruslah positif, 2� − |�| + 2 > 0. Kita bagi dua
kasus:
Kasus 1: Perhatikan bahwa ketika � ≥ 0, 2� − |�| + 2 > 0 jika,
⟺
⟺
⟺
⟺
2� − |�| + 2 > 0
2� − � + 2 > 0
�+2 >0
� > −2
pembuat positif
sifat harga mutlak
sederhanakan
kurangi kedua ruas dengan 2
Sehingga selesaian untuk kasus ini � > 0.
Kasus 2: Sedangkan ketika � < 0, 2� − |�| + 2 > 0 jika,
Halaman 5 dari 14
Tinjauan
Pembagian kasus
pada soal nomor 6
didasarkan pada
definisi nilai mutlak.
⟺
⟺
2� − |�| + 2 > 0
pembuat positif
2� − (−�) + 2 > 0
sifat harga mutlak
sederhanakan
3� + 2 > 0
⟺
3� > −2
kurangi kedua ruas dengan 2
2
bagi kedua ruas dengan 3
3
Diperoleh selesaian untuk kasus ini − 2�3 < � < 0.
⟺
�
>−
Sehingga secara keseluruhan, 2� − |�| + 2 > 0 jika � > − 2�3.
Maka selesaian untuk pertidaksamaan,
(2� + 3) < 1
log 1�
(|�|+1)
8.
adalah � > − 2�3 (Jawaban A).
Diketahui suatu parabola simetris terhadap garis � = −2, dan garis
singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis 4� + � = 4. Titik
puncak parabola tersebut adalah …
Pembahasan Diketahui sumbu simetri dari parabola, misalkan �(�) =
�� 2 + �� + � dengan � ≠ 0, simetris terhadap garis � = −2. Hal ini
berarti,
�
1
−
= −2 ⟺ � = �
2�
4
Selanjutnya, garis singgung parabola tersebut di titik (0, 1) sejajar garis
4� + � = 4, sehingga gradien dari garis singgung tersebut adalah −4.
Padahal persamaan garis singgung parabola tersebut sama dengan
turunan pertamanya. Sehingga,
⟺
⟺
�′(�) = 2�� + �
�′(0) = 2�(0) + �
−4 = �
turunan pertama
substitusi � = 0
gradien di (0, 1) sama dengan –4
Sehingga, � = 1�4 ∙ −4 = −1. Karena parabola tersebut melalui titik
(0, 1), maka
⟺
⟺
�(0) = 1 melalui (0, 1)
−02 − 4(0) + � = 1 subsitusi � = 0 ke �(�)
� = 1 hasil
Halaman 6 dari 14
Sehingga diperoleh persamaan parabola tersebut adalah �(�) = −� 2 −
4� + 1. Maka,
9.
�(−2) = −(−2)2 − 4(−2) + 1 = 5.
Jadi, titik puncak dari parabola tersebut adalah P(–2, 5) (Jawaban E).
�����⃗, � = �����⃗
�����⃗ . Jika �
Diberikan limas �. ���. Misalkan � = ��
��, � = ��
adalah titik berat ∆���, maka �����⃗
�� =…
Pembahasan Perhatikan gambar di bawah ini.
�����⃗. Berdasarkan gambar limas
��, dan � = ��
Misalkan � = �����⃗
�� , � = �����⃗
�. ��� di atas,
2
2 1
�����⃗
�� = � + � � + ��
�� = � + �����⃗
3
3 2
2
2 1
�����⃗
�� = � + �����⃗
�� = � + � � + ��
3
3 2
2
2 1
�����⃗
�� = � + � � + ��
�� = � + ������⃗
3
3 2
Sehingga dengan menjumlahkan ketiga vektor di atas, didapatkan
2 3
3
3
�����⃗ = � + � + � + � � + � + ��
3��
3 2
2
2
�����⃗ = � + � + � + � + � + �
⟺ 3��
⟺
⟺
�����⃗
3��
�����⃗
��
=�+�+�
1
= (� + � + �)
3
(Jawaban A).
10. Diberikan kubus ����. ���� dengan panjang rusuk 3�. Titik-titik
�, �, dan � masing-masing pada ��, ��, dan �� sehingga �� =
Halaman 7 dari 14
�� = �� = �. Misalkan � adalah irisan bidang yang melalui �, �,
dan �. Luas alas yang berada di bawah bidang � adalah … �2 .
Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Dari gambar tersebut, kita bisa melihat bahwa
∠��� ≅ ∠���
(bertolak belakang)
∠��� ≅ ∠���
(sudut siku-siku)
Sehingga, ∆���~∆���. Karena ∆��� merupakan segitiga sama kaki,
maka ∆��� juga merupakan segitiga sama kaki dengan �� = � = ��.
Berdasarkan sd.sd (∠��� ≅ ∠��� dan ∠��� ≅ ∠���) maka
diperoleh ∆���~∆���. Karena ��: �� = (2�): (�) = 2: 1, maka
��: �� = 2: 1. Padahal diketahui �� = 3�. Sehingga, �� = 2� dan
�� = �. Dengan kata lain, ∆��� dan ∆��� merupakan dua segitiga
sama kaki.
Selanjutnya, dikontruksi bahwa ����
�� ∥ ����
��. Sehingga ∆��� merupakan
segitiga sama kaki. Didapatkan, proyeksi segitiga tersebut ke bidang
���� (bidang yang sejajar dengan bidang ���), yaitu ∆��� juga
merupakan segitiga sama kaki.
Sehingga segienam ������ dapat digambarkan sebagai berikut.
Halaman 8 dari 14
Selanjutnya luas dari segienam tersebut dapat ditentukan sebagai
berikut.
������� = ����� − (�∆��� + ���� )
= (3�)2 − �
2� ∙ 2� � ∙ �
+
�
2
2
5
= 9�2 − �2
2
13 2
=
�
2
Jadi, luas alas yang berada di bawah bidang � adalah 13�2 �2 satuan
luas (Tidak ada pilihan jawaban)
11. Jika 3 sin � + 4 cos � = 5, maka nilai maksimum 3 cos � + 4 sin �
adalah …
Pembahasan Dengan menguadratkan kedua ruas dari persamaan
3 sin � + 4 cos � = 5, kita peroleh
⟺
(3 sin � + 4 cos �)2 = 52
9 sin2 � + 24 sin � cos � + 16 cos2 � = 25
…(11.1)
Misalkan 3 cos � + 4 sin � = �, maka dengan menguadratkan kedua
ruas dari persamaan tersebut diperoleh
⟺
(3 cos � + 4 sin �)2 = � 2
9 cos 2 � + 24 cos � sin � + 16 sin2 � = � 2
…(11.2)
Dengan menjumlahkan persamaan (11.1) dan (11.2), kita mendapatkan
9(sin2 � + cos 2 �) + 24(sin � cos � + cos � sin �) +
16(cos2 � + sin2 �) = 25 + � 2
Halaman 9 dari 14
…(11.3)
Tinjauan
Pada soal nomor 11
ini terdapat clue
bahwa koefisien dan
konstanta dari
persamaan yang
diberikan adalah 3,
4, dan 5, yang
memberikan arah
pengerjaannya
dengan
mengkuadratkannya.
Karena sin2 � + cos 2 � = 1 dan sin � cos � + cos � sin � =
sin(� + �) maka persamaan (11.3) dapat disederhanakan menjadi
⟺
9(1) + 24(sin(� + �)) + 16(1) = 25 + � 2
24 sin(� + �) + 25 = 25 + � 2
24 sin(� + �) = � 2
⟺
�2
24
Karena −1 ≤ sin(� + �) ≤ 1, maka nilai � akan bernilai maksimum
jika
⟺
sin(� + �) =
�2
24
= 24
1 =
⟺
⟺
�2
� = 2√6
memberikan nilai maksimum untuk �
kalikan kedua ruas dengan 24
akarkan kedua ruas
(Jawaban C)
12. Diketahui �, � + �, dan � + 5� merupakan 3 suku pertama suatu
barisan geometri. Jika �, � + �, �, �, dan � merupakan 5 suku pertama
suatu barisan aritmetika dan � + � + � = −15, maka suku ke 10
barisan aritmetika tersebut adalah …
Pembahasan �, � + �, �, �, dan � merupakan 5 suku pertama suatu
barisan aritmetika, maka beda dari barisan tersebut adalah
(� + �) − � = �
Sehingga,
� = � + 2�,
� = � + 3�, dan
� = � + 4�.
Karena � + � + � = −15, maka kita mendapatkan
3� + 9� = −15
…(12.1)
Perhatikan bahwa �, � + �, dan � + 5� merupakan 3 suku pertama
suatu barisan geometri. Sehingga,
� + 5�
�+�
rasio dari barisan geometri
=
�+�
�
⟺ �2 + 2�� + � 2 = �2 + 5�� kalikan dengan �(� + �)
⟺
� 2 − 3�� = 0
Halaman 10 dari 14
sederhanakan
⟺
�(� − 3�) = 0
⟺
faktorkan
� = 0 atau � = 3�
hasil
Jika � = 0 maka suku ke-10 dari barisan aritmetika tersebut adalah �.
Jika � = 3�, maka dengan mensubstitusikan nilai � tersebut ke
persamaan (12.1) diperoleh
⟺
3� + 9(3�) = −15
30� = −15
substitusi 3� ke �
sederhanakan
1
bagi kedua ruas dengan 30
2
Sehingga, � = 3(− 1⁄2) = − 3⁄2. Maka suku ke-10 dari barisan
aritmetika tersebut adalah
1
3
�10 = − + 9 �− � = −14
2
2
(Jawaban B)
⟺
� =−
13. Misalkan �(�) menyatakan luas daerah di bawah kurva � = �� 2 , 0 ≤
� ≤ �. Jika titik �(�0 , 0) sehingga �(�0 ): �(1) = 1: 8, maka
perbandingan luas trapesium ����: ���� =…
Pembahasan Karena �(�0 ): �(1) = 1: 8 maka
�0
2
1
� �� �� : � �� 2 �� = 1: 8 luas di bawah kurva
0
0
Halaman 11 dari 14
⟺
⟺
�0
1
1
1
� �� 3 � : � �� 3 � = 1: 8 integralkan
3
3
0
0
�0 3 : 1 = 1: 8 substitusi
1
sederhanakan
8
1
akar pangkat tigakan
⟺
�0 =
2
Sehingga perbandingan luas trapesium ���� dan ���� dapat
ditentukan sebagai berikut.
⟺
�0 3 =
1 1
� − (−1)� (�(−1)2 )
�����
2 2
����� =
1
1
�1 − � (� ∙ 12 )
2
2
3�
= 2
1�
2
3
=
1
Jadi, perbandingan luas trapesium ����: ���� = 3: 1 (Jawaban B)
14. Banyak cara menyusun 4 buku matematika, 3 buku fisika, dan 2 buku
kimia sehingga buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah …
Pembahasan Perhatikan gambar berikut.
Terdapat 3 jenis buku, yang terdiri dari 4, 3, dan 2 buku matematika,
fisika, dan kimia. Sehingga banyaknya cara menyusun buku-buku
tersebut agar buku-buku sejenis dalam satu kelompok adalah
�33 (�44 ∙ �33 ∙ �22 ) = 6(24 ∙ 6 ∙ 2) = 1.728
(Jawaban A)
15. Jika,
dan
1 �
�(�) = � ��(�) + �(�)���
� 0
Halaman 12 dari 14
�(�0 − �) − �(�0 )
=0
�→0
�
maka �(�0 ) = …
Pembahasan Perhatikan bahwa,
�(�0 − �) − �(�0 )
= � ′ (�0 )
lim
�→0
�
padahal seperti yang diberikan soal,
�(�0 − �) − �(�0 )
lim
=0
�→0
�
Sehingga, kita mendapatkan
� ′ (�0 ) = 0
Selanjutnya, kita sederhanakan fungsi C yang diberikan sebagai berikut.
lim
1 �
�(�) = � ��(�) + �(�)���
� 0
1
= [�(�) + �(�)]�0
�
1
= [�(�) − �(0) + �(�) − �(0)]
�
Sehingga diperoleh,
��(�) + �(�)�� − [�(�) − �(0) + �(�) − �(0)]
�2
Dengan mensubstitusikan � = �0 dan � ′ (�0 ) = 0 didapatkan
� ′ (�) =
0 =
��(�0 ) + �(�0 )��0 − [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
�0 2
⟺ 0 = ��(�0 ) + �(�0 )��0 − [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
Atau dengan kata lain,
��(�0 ) + �(�0 )��0 = [�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)]
Padahal, sesuai definisi integral tentu
�0
[�(�0 ) − �(0) + �(�0 ) − �(0)] = � ��(�) + �(�)���
Sebagai akibatknya, kita memperoleh
�0
0
� ��(�) + �(�)��� = ��(�0 ) + �(�0 )��0
0
Selanjutnya kita gunakan hasil tersebut untuk menentukan nilai dari
�(�0 ) sebagai berikut.
�(�0 ) =
1 �0
� ��(�) + �(�)���
�0 0
Halaman 13 dari 14
Tinjauan
Yang perlu diingat
dalam mengerjakan
soal nomor 15
adalah definisi
turunan.
=
(Jawaban C)
1
∙ ��(�0 ) + �(�0 )��0
�0
= �(�0 ) + �(�0 )
Halaman 14 dari 14