cHierarchy Di Matematika Hierarchy Di Matematika Hierarchy Di Matematika

Hierarchy di Matematika, Kemampuan Belajar, dan Masyarakat
1. Hierarchy di Matematika Sebuah tema bab sebelumnya adalah asumsi bahwa matematika
memiliki tetap unik hirarki struktur. Analog dari tesis ini meliputi asumsi yang
pembelajaran matematika paling terorganisir dengan cara ini, bahwa kemampuan matematika
adalah terstruktur dengan cara ini, dan masyarakat yang memiliki struktur yang lebih atau kurang
hierarkis tetap, mana pendidikan harus mencerminkan. Ini adalah asumsi sosial yang mendalam dan
pendidikan penting, penjamin bab untuk diri mereka sendiri.
A. Apakah Matematika memiliki Struktur hirarkis Unik? Pertanyaan ini dapat dianalisis dalam dua
bagian, mengenai keberadaan dan keunikan struktur hirarkis untuk matematika. Dengan demikian
kita memiliki dua anak pertanyaan: apakah struktur hirarkis keseluruhan pengetahuan matematika
ada? Dan jika demikian, apakah ini struktur hirarkis yang unik dan tetap? Hirarki dapat didefinisikan
untuk setiap tubuh pengetahuan matematika dengan keseluruhan struktur. Apakah itu adalah
struktur aksiomatik, berdasarkan aksioma dan aturan inferensi, atau struktur definisi, berdasarkan
istilah primitif dan selanjutnya ditetapkan istilah, maka hirarki adalah didefinisikan, sebagai berikut.
Primitif ekspresi dari hirarki (aksioma atau istilah primitif) terdiri dari level terendah (0). Setiap
lainnya Ekspresi E dalam struktur dapat dicapai dalam beberapa jumlah minimum n aturan
aplikasi (aturan inferensi atau definisi) dari ekspresi tingkat 0. Ini nomor n mendefinisikan tingkat E
ekspresi dalam hierarchy.1 Jadi ekspresi setiap ditugaskan ke tingkat yang unik dalam hirarki. Jadi
setiap tubuh matematika pengetahuan dapat diberi bentuk hirarki kanonik asalkan itu merupakan
sistem matematika tunggal atau struktur, dihubungkan oleh inferensial atau definisi relationships.2
Dari jumlah tersebut, hubungan inferensial adalah yang paling tepat untuk mempertimbangkan,

karena mereka mencerminkan link pembenaran antara proposisi matematika dan formula,
menyediakan struktur teori aksioma deduktif. Hirarki 233 Menggunakan perbedaan antara tingkat
wacana formal, informal dan sosial matematika, kita melihat bahwa untuk sebuah teori matematika
yang tepat formal, hirarki dapat didefinisikan. Untuk ranah penyelidikan matematika informal, hal ini
mungkin tidak mungkin. Untuk dasar aksiomatik mungkin tidak sepenuhnya ditentukan, dan logis
hubungan antara proposisi matematika informal yang mungkin tidak konklusif didirikan. Jadi berikut
ini kita akan fokus hanya pada matematis formal teori, atau teori-teori matematika informal yang
siap untuk formalisasi. Untuk jika kondisi untuk membangun hirarki tidak dapat dipenuhi.
Kami sekarang siap untuk mempertimbangkan dua pertanyaan. Pertama-tama: melakukan suatu
keseluruhan Struktur hirarkis pengetahuan matematika ada? Kita telah melihat bahwa untuk formal
teori matematika, dengan tetap set aksioma, ada struktur hirarkis. Pilihan set aksioma, bersamasama dengan spesifikasi aturan inferensi dan bahasa latar belakang formal, menentukan teori
matematika hirarkis. Namun, matematika terdiri dari berbagai teori, banyak yang memiliki
banyak aksiomatis formulasi yang berbeda. Teori himpunan aksiomatik, misalnya, memiliki
jumlah axiomatizations sangat berbeda seperti Zermelo-Fraenkel Teori Set dan Godel-Bernays-von
Neumann Teori (Kneebone, 1963). Di luar ini, banyak matematikawan lebih bervariasi teori
aksiomatis menetapkan mereka belajar dengan menambahkan lanjut aksioma (Jech, 1971; Maddy,
1984). Akibatnya, tidak ada struktur keseluruhan untuk matematika formal, karena dibuat up
segudang teori yang berbeda dan formulasi teori, masing-masing dengan sendiri struktur dan hirarki.
Selain itu, hampir setiap satu dari teori-teori aksiomatik tidak lengkap, menurut (1931) Teorema
Godel. Jadi ada kebenaran dari teori yang tidak memiliki tempat dalam hirarki deduktif. Seperti yang

kita lihat di awal bab, upaya oleh beberapa matematikawan besar abad ini membangun pengetahuan
matematika dalam sistem dasar tunggal apakah logicist, formalis atau intuisionis, semuanya gagal.

Demikian hasil meta-matematika memaksa kita untuk mengakui bahwa matematika terdiri dari
aneka ragam teori yang berbeda, yang ini tidak dapat direduksi menjadi sistem tunggal, dan bahwa
tidak ada salah satu dari ini cukup untuk menangkap semua kebenaran bahkan dalam domain
terbatas aplikasi. Oleh karena itu, pertanyaan tentang keberadaan matematika keseluruhan hirarki
harus dijawab dalam negatif. Ini tidak dapat dibatalkan. Namun, dalam keadilan, kita juga harus
mempertimbangkan pertanyaan yang lebih lemah. Melakukan informal yang besar dan komprehensif
struktur matematika ada, bahkan jika itu gagal memenuhi kriteria ketat diperlukan untuk
memberikan struktur yang jelas untuk matematika? Struktur seperti dapat ditemukan dalam Unsur
Bourbaki
(Kneebone,
1963).
Bourbaki
menyediakan
akun
sistematis
matematika, dimulai dengan menetapkan teori, dan mengembangkan satu setelah lain
utama teori murni, matematika struktural. Meskipun Bourbaki struktur tidak bisa dikatakan lengkap

(dalam arti informal), untuk itu daun keluar aspek komputasi dan rekursif matematika, itu
merupakan informal kodifikasi sebagian besar matematika. Apakah ini memberikan suatu afirmatif
menjawab pertanyaan melemah banyak? Jika kita mengakui bahwa hal itu, maka peringatan berikut
harus
diingat:
Filosofi
Pendidikan
Matematika
234 1 sebagian besar pengetahuan matematika dihilangkan; 2 sistem ini tidak secara formal cukup
baik didefinisikan untuk memungkinkan hirarki tetap pengetahuan matematika untuk menghasilkan;
3 seluruh sistem tergantung pada asumsi teori klasik ditetapkan sebagai dasar matematika;
4 seluruh sistem adalah budaya-terikat, mencerminkan pertengahan abad kedua puluh
strukturalisme. Jadi hanya dalam bentuk yang sangat lemah yang bisa kita menyatakan bahwa ada
struktur keseluruhan ke signifikan bagian dari matematika. Pertanyaan kedua adalah sebagai berikut.
Mengingat asumsi bahwa ada keseluruhan struktur pengetahuan matematika adalah suatu struktur
yang unik dan tetap pada mana hirarki dapat didasarkan? Pertanyaan ini lagi memiliki dua bagian.
Yang pertama berkaitan dengan keunikan struktur matematika. Yang kedua masalah tersebut
definability dari hirarki yang tepat dalam hal struktur ini. Kita telah melihat bahwa kedua
Bagian ini tidak bisa dipertahankan. Bahkan jika struktur yang disediakan oleh Bourbaki yang
mengakui menjadi unik, informal dan karena itu tidak cukup untuk definisi yang tepat dari

hirarki. Jadi dalam arti sempit, kita sudah dapat menyatakan bahwa tidak ada yang unik
hirarki untuk matematika. Tapi mari kita beralih ke keunikan struktur matematika. Keunikan ini
tampaknya akan bergantung pada kesepakatan mengenai dasar matematika. Bourbaki
mengasumsikan mengatur yayasan teoritis. Mengabaikan perbedaan antara set yang berbeda
teori, dapat mengatur teori dikatakan untuk memberikan yang unik, universal disepakati dasar untuk
matematika? Pertanyaan ini harus dijawab dengan negatif. Kita telah melihat bahwa klaim
foundationist bahwa matematika bersandar pada landasan yang unik gagal. Di setidaknya dua
alternatif untuk fondasi set teori matematika ada. Pertama-tama, telah mengklaim bahwa Teori
Kategori dapat memberikan landasan alternatif matematika, di tempat teori himpunan (Lawvere,
1966). Klaim ini belum sepenuhnya dibenarkan, tapi tetap merupakan tantangan untuk keunikan set
teoritis yayasan. Memang, ada cabang teori kategori (teori Topos) yang logika intuitionistic baik dan
klasik dapat dikurangi (Bell, 1981). Sejak set aksiomatik Teori ini dinyatakan dalam logika orde
pertama klasik, dapat dikurangi dengan teori kategori. Kedua, logika intuisionis menyediakan fondasi
untuk matematika. Meskipun tidak semua matematika klasik dinyatakan dalam bentuk dasar ini,
banyak yang intuisionis program telah direalisasikan untuk analisis, oleh Uskup (1967) dan lain-lain.
Selain itu, logika intuitionistic mengakomodasi matematika kombinatorial, tidak seperti yang
settheoretic dasar matematika klasik. Jadi atas dasar kedua argumen, klaim bahwa ada struktur yang
unik untuk matematika disangkal. Bahkan, sejarah matematika mengajarkan kita pelajaran

sebaliknya. Sepanjang nya matematika pengembangan perubahan melalui restrukturisasi mendasar

matematika konsep, teori dan pengetahuan (Lakatos, 1976). Jadi meskipun struktur memainkan
peran sentral dalam mengorganisir pengetahuan matematika, mereka struktur beberapa yang
membentuk, membubarkan dan reformasi atas berlalunya waktu. Sana tidak ada alasan untuk
menganggap bahwa proses ini akan pernah berhenti, atau untuk mengasumsikan bahwa
teori alternatif dan formulasi ulang akan pernah habis. Pandangan demikian adalah pusat
Hirarki 235 ke konstruktivisme sosial, dan filsafat lainnya dari matematika yang mengakui dasar
historisnya. Jadi tidak hanya itu tidak benar bahwa pada satu waktu matematika dapat dijelaskan
oleh struktur hirarkis tunggal yang unik, tetapi juga lebih waktu apapun struktur hadir berubah dan
berkembang. Dalam menyangkal klaim bahwa matematika memiliki struktur hirarkis yang unik,
Perhatian telah dibatasi dengan logis, yang merupakan struktur deduktif matematika teori.
Sebagaimana telah kita lihat hirarki dapat didefinisikan dengan cara lain, terutama, sebagai hierarki
istilah dan definisi. Sementara ini tidak hampir sama signifikan dalam matematika sebagai struktur
deduktif, argumen yang sama dapat dialihkan ke bidang ini. Untuk struktur deduktif teori apapun
membawa dengan itu hirarki definisi, dan hampir sebagai struktur definisi sebanyak yang deduktif
ada. Dengan demikian tidak ada hirarki yang unik dari definisi baik. Tidak, lanjut global yang
hirarki sedang digunakan dalam matematika. Dalam teori individu atau domain tertentu hirarki tentu
memang ada, seperti derajat Turing (dari terasa berat) di rekursi teori (Bell dan Machover, 1977). Tapi
ini tidak ada struktur cara yang bahkan signifikan fraksi pengetahuan matematika. Dengan demikian
dapat ditegaskan tegas matematika yang tidak memiliki struktur hirarkis keseluruhan, dan tentu saja
tidak unik satu, bahkan ketika klaim tersebut ditafsirkan murah hati dan longgar.

Apakah matematika seperangkat komponen pengetahuan diskrit? Ada sebuah asumsi lebih lanjut
mengenai sifat dan struktur matematika pengetahuan yang layak pemeriksaan karena impor
pendidikannya. Ini adalah asumsi bahwa matematika dapat dianalisis ke dalam komponen
pengetahuan diskrit, jumlah terstruktur (atau lebih tepatnya diatur) yang setia mewakili disiplin. Ini
Asumsi mensyaratkan bahwa proposisi matematika adalah pembawa independen arti dan makna.
Membedakan antara wacana formal, informal dan sosial matematika, jelas bahwa klaim ini adalah
terbaik yang dibuat untuk matematika formal. Untuk dua lainnya domain mengandaikan konteks
yang berarti, seperti yang akan dikatakan di bawah ini. Karena struktur yang salah satu karakteristik
pengetahuan matematika, klaim ini juga dapat beristirahat pada beralasan asumsi bahwa ada
struktur yang unik untuk matematika. Ini mungkin diperlukan agar ketika diskrit 'molekul'
pengetahuan digabungkan kembali, yang tetap dan ditentukan utuh (tubuh pengetahuan
matematika) hasil. Kami memiliki dibuang dari asumsi kedua di atas. Namun, anggapan pra-bahwa
proposisi matematika adalah pembawa independen arti dan makna juga gagal. Pertama-tama,
ekspresi matematis formal berasal signifikansi mereka dari aksiomatik teori atau sistem formal di
mana mereka terjadi. Tanpa konteks ini mereka kehilangan sebagian signifikansi mereka, dan struktur
yang dikenakan oleh teori runtuh. Kedua, ekspresi matematika formal eksplisit berasal semantik
mereka makna dari penafsiran atau interpretasi kelas dimaksudkan terkait dengan
teori formal yang diberikan dan bahasa. Semantik tersebut telah menjadi bagian standar dari
logika formal sejak Tarski (1936). Gagasan ini telah diperpanjang untuk pengobatan
Filosofi Pendidikan Matematika 236 resmi ilmiah teori oleh Sneed (1971), yang menambahkan kelas

dimaksudkan penafsiran struktur formal teori. Dengan demikian pemisahan ekspresi matematika
menjadi bagian-bagian terpencil dan diskrit menyangkal mereka banyak dari mereka
signifikansi dan semua makna semantik mereka. Ekspresi seperti akibatnya memiliki
sedikit mengklaim dianggap sebagai 'molekul' komponen pengetahuan matematika. Bahkan lebih

dari atas, ekspresi wacana matematika informal yang memiliki makna implisit terkait dengan teori
latar belakang dan konteks keseluruhan. Untuk aturan dan makna yang mengatur ekspresi tersebut
tidak memiliki tepat resmi ketentuan, tetapi lebih bergantung pada aturan implisit penggunaan
(Wittgenstein,
1953).
Model
semantik
bahasa
formal
dan
informal
semakin
menarik pada konteks ucapan (Barwise dan Perry, 1982). Apakah dinyatakan dalam formal atau
bahasa informal, ekspresi matematika tidak dapat dianggap sebagai berdiri bebas, independen
pembawa makna. Dengan demikian matematika tidak dapat diwakili hanya sebagai satu set 'molekul'

proposisi, untuk ini tidak mewakili struktural hubungan antara proposisi, serta kehilangan
contextdependent mereka makna. B. Pendidikan Implikasi Fakta bahwa disiplin matematika tidak
memiliki hirarki yang unik struktur, dan tidak dapat direpresentasikan sebagai koleksi 'molekul'
proposisi, memiliki implikasi pendidikan yang signifikan. Namun, pertama hubungan antara
disiplin matematika, dan isi dari kurikulum matematika perlu dipertimbangkan. Hubungan antara
matematika dan kurikulum Dua hubungan alternatif yang mungkin. (1) Kurikulum matematika harus
perwakilan seleksi dari disiplin matematika, meskipun dipilih dan dirumuskan sehingga dapat diakses
oleh peserta didik. (2) Kurikulum matematika adalah independen entitas, yang tidak perlu mewakili
disiplin matematika. Paling teori kurikulum menolak kemungkinan kedua ini, berdebat kasus umum
bahwa Kurikulum harus mencerminkan baik pengetahuan dan proses penyelidikan dari
subjek disiplin (Stenhouse, 1975; Schwab, 1975, Hirst dan Peters, 1970). Suatu bentuk Kasus 2 yang
amat satir oleh Benjamin (1971). Studi perubahan kurikulum telah mendokumentasikan bagaimana
perkembangan matematika menimbulkan melalui tekanan yang diberikan oleh matematikawan
perubahan dalam sekolah matematika kurikulum mencerminkan perkembangan (Cooper, 1985;
Howson et al, 1981.). Secara umum, dalam pendidikan matematika diterima bahwa isi kurikulum
harus mencerminkan sifat disiplin matematika. Penerimaan tersebut adalah baik implisit atau
eksplisit, seperti dalam Thwaites (1979), Confrey (1981) dan Robitaille dan Dirks:
Hirarki 237 pembangunan kurikulum matematika ... [hasil dari] beberapa Faktor yang beroperasi
pada tubuh matematika untuk memilih dan merestrukturisasi konten yang dianggap paling sesuai
untuk kurikulum sekolah. (Robitaille dan Dirks, 1982, halaman 3) Sebuah seminar internasional

tentang masa depan pendidikan matematika eksplisit mempertimbangkan kemungkinan bahwa
'matematika nyata' tidak akan membentuk dasar dari matematika kurikulum untuk semua orang
(mayoritas akan mempelajari hanya 'berguna ) matematika '. Namun, ini dibantah oleh tiga pilihan
lain dipertimbangkan, termasuk pandangan yang paling diterima secara luas bahwa berbeda tapi
perwakilan Kurikulum diperlukan (Howson dan Wilson, 1986). Dari lima ideologi dibedakan dalam
buku ini, semua tetapi pelatih industri sangat mendukung kasus 1. Sebagai konsekuensi dari ini survei
singkat, dapat dikatakan bahwa prinsip bahwa kurikulum matematika harus pilihan perwakilan
daridisiplin
matematika
merupakan
konsensus
dari
para
ahli.
Jika kurikulum matematika karena itu untuk mencerminkan disiplin matematika
setia, tidak harus mewakili matematika sebagai memiliki hirarki, yang unik tetap
struktur. Ada beberapa struktur dalam salah satu teori, dan tidak ada satu struktur
atau hirarki pernah bisa dikatakan utama. Dengan demikian kurikulum matematika harus
memungkinkan untuk cara yang berbeda dari penataan pengetahuan matematika. Selain itu,
matematika kurikulum tidak harus menawarkan koleksi proposisi terpisah sebagai

konstitutif
matematika.
Untuk
komponen
matematika
adalah
berbagai
terstruktur dan saling berkaitan, dan hal ini harus tercermin dalam matematika
kurikulum.
Ini implikasi pendidikan memungkinkan kita untuk mengkritik Kurikulum Nasional di

matematika
atas
dasar
epistemologis.
Untuk
kurikulum
matematika
direpresentasikan sebagai sebuah hirarki yang unik dari empat belas 'topik' (target pencapaian) di
sepuluh tingkat (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1989). Selanjutnya, pada tingkat

masing-masing, topik diwakili oleh sejumlah proposisi atau proses, dan penguasaan
disiplin matematika dipahami sebagai akibat dari penguasaan tersebut berbeda
komponen. Dengan demikian Kurikulum Nasional memberitahukan matematika, bertentangan
dengan prinsip diterima kurikulum. Ini mewujudkan sebuah hirarki yang dibenarkan dalam
hal
sifat
matematika,
serta
menggambarkan
pengetahuan
matematika
sebagai
seperangkat fakta diskrit dan keterampilan.
Sebuah pertahanan yang mungkin adalah bahwa kurikulum matematika mungkin gagal untuk
mewakili disiplin matematika untuk memenuhi tujuan psikologis, seperti untuk
mewakili hirarki psikologis matematika.
Filosofi
238
2. Hirarki dalam Belajar Matematika

Pendidikan

Matematika

A. The View bahwa Matematika Belajar adalah hirarkis
Hal ini sering mengklaim bahwa belajar matematika adalah hirarkis, yang berarti bahwa ada
adalah barang-barang dari pengetahuan dan keterampilan yang merupakan prasyarat yang
diperlukan untuk belajar dari selanjutnya item pengetahuan matematika. Pandangan tersebut
diwujudkan dalam Piaget teori perkembangan intelektual. Piaget mendalilkan urutan empat tahap
(Sensorimotor, pra-operasional, operasional konkret, operasional formal) yang membentuk
hirarki pembangunan. Pelajar harus menguasai operasi pada satu tahap sebelum dia
siap untuk berpikir dan beroperasi pada tingkat berikutnya. Namun aspek hirarki kaku
Teori Piaget telah dikritik (Brown dan Desforges, 1979). Memang Piaget diciptakan
istilah
'decalage'
untuk
menggambarkan
hierarki-melangkahi
kompetensi.
Lain psikolog yang mengusulkan bahwa belajar adalah hirarkis adalah Gagne. Dia
berpendapat bahwa topik hanya dapat dipelajari ketika hierarki prasyarat telah
belajar.
[A]
topic
(yaitu,
item
pengetahuan)
pada
tingkat
tertentu
dalam
hirarki
dapat didukung oleh satu atau lebih topik pada tingkat yang lebih rendah berikutnya ... Setiap
individu
tidak
akan
dapat
belajar
topik
tertentu
jika
ia
telah
gagal
mencapai salah satu topik bawahan yang mendukungnya.
(Gagne, 1977, halaman 166-7)
Gagne menyatakan bahwa dalam pengujian empiris, tidak satu pun dari hierarki topik nya telah ada
sebelumnya
Sudah
lebih
dari
3
persen
dari
kasus
sebaliknya.
Jadi dua psikolog berpengaruh wakil dari perkembangan dan neobehaviourist
tradisi
menyatakan
bahwa
belajar
adalah
hirarkis.
Selanjutnya,
kedua
psikolog
telah
membuat
studi
khusus
matematika.
Dalam
matematika
pendidikan, telah ada penelitian empiris yang mengaku untuk mengungkap belajar

hirarki dalam matematika. Sebuah proyek Inggris yang berpengaruh, Konsep di Sekunder
Matematika dan Ilmu Pengetahuan, mengusulkan sejumlah 'hierarki pemahaman' di
beberapa bidang utama matematika sekolah (Hart, 1981). Penelitian ini menawarkan hingga
delapan tingkat hirarki di setiap topik dipelajari.
Teori-teori
dikutip
dan
pekerjaan
empiris
adalah
pilihan
kecil
penelitian
prihatin dengan mengidentifikasi hirarki dalam pembelajaran matematika. Seperti penelitian,
mungkin
ditambah
dengan
absolut-foundationist
dilihat
dari
sifat
matematika,
telah
menyebabkan
kepercayaan
bahwa
pembelajaran
matematika
mengikuti
hirarkis urutan. Misalnya, pandangan ini diartikulasikan dalam Laporan Cockcroft.
Matematika adalah pelajaran yang sulit baik untuk mengajar dan belajar. Salah satu alasan
mengapa demikian adalah bahwa matematika adalah subjek yang hirarkis ... kemampuan untuk
lanjutkan ke pekerjaan baru sangat sering tergantung pada pemahaman yang memadai
dari
satu
atau
lebih
lembar
kerja,
yang
telah
pergi
sebelum.
(Cockcroft, 1982, halaman 67, penekanan asli)
Pandangan
hirarkis
belajar
matematika
memiliki
ekspresi
tertinggi
dalam
Hirarki
239
Kurikulum Nasional dalam matematika, seperti yang telah kita lihat (Departemen Pendidikan dan
Science,
1989).
Ini
adalah
spesifikasi
hirarkis
tetap
kurikulum
matematika
pada sepuluh tingkat, yang merupakan dasar hukum yang diperlukan untuk studi matematika dari
semua anak (di sekolah negeri Inggris dan Welsh) dari usia 5 sampai 16 tahun.
B. Kritik dari View hirarkis Pembelajaran Matematika
Pandangan hirarkis belajar matematika bersandar pada dua asumsi. Pertama-tama,
bahwa selama konsep pembelajaran dan keterampilan yang 'diperoleh'. Jadi sebelum beberapa
tertentu pengalaman belajar peserta didik akan kekurangan konsep tertentu atau keterampilan, dan
setelah pengalaman belajar yang tepat dan sukses pelajar akan memiliki, atau memiliki
diperoleh,
konsep
atau
keterampilan.
Kedua,
bahwa
akuisisi
matematika
konsep atau keterampilan tentu tergantung pada kepemilikan dipelajari sebelumnya
konsep dan keterampilan. Ini hubungan ketergantungan antara konsep dan keterampilan
menyediakan struktur pada hirarki belajar. Jadi untuk belajar konsep tingkat n +1, yang
pembelajar harus sudah memperoleh bagian yang tepat dari konsep-konsep tingkat n (tapi
belum tentu semua tingkat itu). Akibatnya, menurut pandangan ini, matematika
pengetahuan terorganisir secara unik menjadi beberapa tingkatan diskrit. Masing-masing dari kedua
asumsi yang bermasalah, dan terbuka untuk kritik.
Hirarkis ketergantungan hubungan antara konsep
Salah satu asumsi adalah bahwa ada hubungan hirarkis tetap ketergantungan antara
konsep dan keterampilan, sehingga dalam hirarki yang unik dari konsep dan keterampilan. Dua
utama kritik dapat menguat terhadap asumsi ini. Pertama, hal itu mengandaikan bahwa
konsep atau keterampilan adalah suatu entitas yang dimiliki atau tidak dimiliki oleh seorang pelajar,
ini adalah asumsi kedua, dikritik bawah. Tapi tanpa asumsi ini tidak dapat

mengklaim bahwa konsep tingkat n +1, tergantung pada kepemilikan konsep tingkat
n. Untuk membuat klaim ini harus mungkin untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinately
memiliki,
atau
belum,
konsep
atau
tingkat
n
atau
n
+1.
Kritik
lebih
substantif
adalah
bahwa
keunikan
hierarki
belajar
tidak
dikonfirmasi secara teoritis maupun empiris. Resnick dan Ford (1984) menyimpulkan mereka
review penelitian pada belajar hirarki dengan peringatan bahwa mereka harus digunakan
dengan hati-hati, dan mengutip komentar Gagne tentang 1968 sebagai sisa valid: 'belajar A
hirarki ... tidak dapat mewakili rute unik atau paling efisien untuk setiap pelajar diberikan. "
(Halaman 57).
Sejumlah studi yang membandingkan efek dari instruksi berikut yang berbeda
urutan konsep-konsep dari hirarki yang diusulkan (Phillips dan Kane, 1973) atau
pencocokan pengetahuan peserta didik individu untuk hirarki belajar dengan cara yang berbutir
halus (Denvir dan Brown, 1986) menegaskan bahwa tidak ada hirarki yang terbaik menggambarkan
urutan atau struktur akuisisi pengetahuan setiap peserta didik '. Meskipun banyak penulis
melaporkan efektivitas hierarki belajar untuk instruksi sequencing (Bell et al, 1983.;
Filosofi Pendidikan Matematika
240
Horon dan Lynn, 1980), kenyataannya adalah bahwa strategi alternatif sama efektif seperti
'Muka penyelenggara', 'pertanyaan tambahan' dan 'prinsip akhir mendalam' sengaja
menggagalkan asumsi hirarkis mereka memesan (Begle, 1979; Bell et al, 1983;. Dessart,
1981). Dengan demikian studi mengajar tersebut tidak memberitahu kita bagaimana pengetahuan
pelajar 'terstruktur.
Pandangan
umum
dari
para
ilmuwan
kognitif
dan
psikolog
adalah
bahwa
organisasi (dan sifat) pengetahuan peserta didik yang istimewa, dan bahwa hal itu tidak bisa
akan dimasukkan ke sebuah struktur tetap tunggal. Oleh karena itu peserta didik 'konsep atau
konseptual struktur telah disebut 'konsep alternatif' atau 'kerangka alternatif'
(Easley, 1984; Gilbert dan Watts, 1983; Pfundt dan Duit, 1988). Sementara seperti
perbedaan pada skala mikro, pemahaman gagasan bahwa peserta didik 'di
topik matematika yang berbeda dapat disamakan dalam hirarki matematika secara keseluruhan
juga menolak (Ruthven, 1986, 1987;. Noss et al, 1989).
Konsep sebagai entitas yang diakuisisi .Asumsi yang tersisa menyangkut sifat konsep-konsep
matematika dan keterampilan, tetapi pengobatan konsep saja sudah cukup untuk membangun
argumen. Istilah 'Konsep' memiliki dua makna psikologis. Arti sempit adalah bahwa dari sebuah
atribut atau sekumpulan objek. Hal ini dapat didefinisikan secara intensif, dengan cara properti
mendefinisikan, atau luas, dalam hal keanggotaan dari himpunan. Sebuah konsep dalam pengertian
ini memungkinkan diskriminasi antara orang-orang benda-benda yang jatuh di bawahnya, dan
mereka
yang
tidak.
Konsep
dalam
pengertian
ini
adalah
sederhana,
kesatuan jiwa benda. Pengertian luas tentang 'konsep' adalah bahwa struktur konseptual,
terdiri dari sejumlah konsep (dalam arti sempit) bersama-sama dengan hubungan
antara mereka (Bell et al., 1983). Struktur konseptual juga disebut skema, atau
'Konsep dengan kebatinan' (Skemp, 1979). Hampir semua yang disebut sebagai konsep dalam
psikologi
matematika,
seperti
konsep
nilai
tempat,
atau
bahkan
konsep

sepuluh, memiliki arti luas ini struktur konseptual, karena komponen anak perusahaan dapat
dibedakan dalam setiap konsep.
Mengingat perbedaan ini, tiga keberatan utama dapat diajukan terhadap asumsi
bahwa konsep diperoleh sekaligus, atau baik 'dimiliki' atau 'kurang' oleh seorang pelajar.
Pertama-tama, mengingat bahwa konsep yang paling sebenarnya struktur konseptual komposit, itu
adalah jelas bahwa konstruksi mereka harus menjadi proses pertumbuhan diperpanjang, bukannya
semua atau keadaan tidak ada urusan. Dalam pandangan Interkoneksi yang kompleks antara
konsep,
akuisisi
konsep
dapat
menjadi
urusan
hampir
seumur
hidup.
Kedua, kepemilikan pembelajar konsep hanya dapat diwujudkan secara tidak langsung,
melalui penggunaannya, karena struktur mental adalah entitas teoritis yang tidak dapat
langsung diamati. Tapi penggunaan pelajar terhadap konsep tentu harus berada dalam beberapa
konteks, sehingga konsep ini terkait dengan konteks penggunaan. Untuk abstrak 'esensi' dari
Konsep dari konteks penggunaan, dan mengklaim bahwa 'esensi' merupakan konsep
adalah dugaan. Saat ini berpikir dalam psikologi poin ke kontekstual terletak
sifat kognisi (Brown et al, 1989;. Love, 1988; Solomon, 1989; Walkerdine,
1988). Memang, ada tubuh besar penelitian yang menunjukkan bahwa penggunaan pembelajar
konsep matematika atau keterampilan dalam konteks yang berbeda sangat bervariasi (Carraher,
Hirarki
241
1988; Evans, 1988a). Dengan demikian pemahaman peserta didik dari konsep tumbuh sesuai dengan
berbagai konteks penggunaan yang dikuasai, sekali lagi merusak gagasan bahwa perusahaan
akuisisi
adalah
proses
semua
atau
tidak.
Ketiga,
gagasan
bahwa
konsep
adalah
unik
specifiable
obyektif
yang
ada
entitas, terbuka untuk kedua kritik filosofis dan psikologis, seperti Bab 4 dan 5
memiliki ditampilkan. Hal ini diterima secara luas bahwa individu membangun pribadi yang unik
makna (Novak, 1987). Untuk mengklaim bahwa individu yang berbeda baik memiliki sama
Konsep, bukan untuk mengatakan bahwa beberapa entitas tujuan yang sama, meskipun abstrak,
adalah 'milik' oleh mereka berdua. Ini akan reify entitas teoritis murni hipotetis. Demikian
klaim hanyalah Facon de parler, yang berarti bahwa kinerja dua individu 'yang
sebanding. Sejak memperoleh konsep adalah proses mempengaruhi suatu istimewa
konstruksi pribadi, itu tidak lagi berlaku untuk mengklaim bahwa seorang pelajar determinately
memiliki atau tidak memiliki konsep tertentu. Secara keseluruhan, kita melihat bahwa klaim bahwa
pembelajaran matematika mengikuti unik hirarki belajar tidak bisa dipertahankan. Pembangunan
individu konsep dan hubungan mereka bersifat pribadi dan istimewa, bahkan jika hasilnya dapat
dibagi kompetensi. Vergnaud A dikatakan:
[T]
dia
hirarki
kompetensi
matematika
tidak
mengikuti
total
order
organisasi,
sebagai
teori
tahap
sayangnya
menunjukkan,
melainkan
parsial memesan satu: situasi dan masalah yang mahasiswa master progresif,
prosedur dan representasi simbolik yang mereka gunakan, dari usia 2 atau 3 sampai
untuk pelatihan dewasa dan profesional, lebih baik dijelaskan oleh seorang partialorder
skema di mana orang menemukan kompetensi yang tidak bergantung pada satu sama lain,
meskipun mereka semua mungkin memerlukan seperangkat kompetensi yang lebih primitif dan
[Mungkin]
semua
diperlukan
untuk
satu
set
yang
lebih
kompleks.
Vergnaud (1983, halaman 4)

Konsekuensi untuk Kurikulum Nasional di Matematika
Diskusi ini memiliki konsekuensi untuk kerangka kurikulum hirarkis, dan karenanya
untuk Kurikulum Nasional dalam matematika (Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan,
1989). Yang paling penting, tidak ada pembenaran psikologis untuk memaksakan unik,
tetap hirarki struktur pada kurikulum matematika untuk semua anak dari usia 5
sampai 16. Hasil empiris dilaporkan di atas sebagian besar menyangkut porsi kecil dari
matematika kurikulum dan dibatasi usia dan rentang pencapaian. Bahkan di bawah ini
menguntungkan
pembatasan,
dugaan
bahwa
hirarki
tunggal
akurat
mewakili
matematika secara psikologis harus ditolak. Di luar ini, kita telah melihat bahwa ada
alasan teoritis yang kuat mengapa hirarki tetap tidak dapat menggambarkan belajar siswa.
Ditambah
dengan
penolakan
sebelumnya
epistemologis,
hasilnya
adalah
kuat
kecaman
dari
kerangka
pada
prinsipnya,
tanpa
pengawasan
rinci
isinya.
Hal ini juga diperhatikan bahwa hampir semua argumen yang digunakan dalam kritik ini dapat
dialihkan
ke
area
lain
dari
kurikulum,
karena
referensi
rinci
untuk
isi kurikulum nasional belum dibuat.
Filosofi
Pendidikan
Matematika
242
Ketika
isi
rinci
dari
Kurikulum
Nasional
dalam
matematika
yang
dibawa ke dalam diskusi, pembenaran yang mungkin dapat diantisipasi. Yaitu, bahwa
meskipun kurikulum tidak memiliki epistemologis atau psikologis keharusan, namun mungkin
mencerminkan
pengetahuan
terbaik
yang
tersedia
tentang
anak-anak
keseluruhan prestasi dalam matematika. Ada sejumlah besar pengetahuan tersebut tersedia dari
skala
besar
Pencapaian pengujian di Inggris dan negara-negara lain, seperti di Penilaian
Kinerja Unit (1985), Hart (1981), Tombol dan Foxman (1989), Carpenter et al.
(1981), Lindquist (1989) dan Lapointe et al. (1989), Robitaille dan Taman (1989),
dan Travers dan Westbury (1989). Informasi tersebut pasti merupakan produk budaya,
mencerminkan
hasil
dari
kurikulum
matematika
dimediasi
oleh
institusional
struktur sekolah dan sistem penilaian. Namun demikian, ia menyediakan data dasar,
meskipun pragmatis, itu yang dikenakan hirarkis diusulkan matematika kurikulum dapat
divalidasi. Informasi tidak perlu sepenuhnya membatasi kurikulum baru, karena di sana
mungkin alasan yang jelas untuk mengubah aspek praktek masa lalu. Namun, mengingat ini
peringatan, apapun, serius skala besar pengembangan kurikulum harus melaksanakan minimal
memeriksa daerah perjanjian dimaksudkan dan perselisihan dengan penelitian empiris, dan
membenarkan
dan
mengantisipasi
setiap
penyimpangan
yang
besar.
Kurikulum Nasional dalam matematika telah mengabaikan isu-isu tersebut, dan tidak
mencerminkan keadaan saat ini pengetahuan. Keohane dan Hart (1989) dan Hart (1989)
menunjukkan bahwa tingkat satu dari kurikulum yang direncanakan meliputi isi yang ada
telah sangat bervariasi fasilitas. Tingkat empat termasuk dalam program studi
untuk anak-anak dari usia 8-16. Dalam sebuah penelitian terhadap sampel besar dari 11 tahun (Hart,
1981),
ada fasilitas tingkat menyebar dari 2 persen menjadi 95 persen pada item
sesuai
dengan
tingkat
empat
laporan
pencapaian.
Tidak hanya Kurikulum Nasional dalam matematika kekurangan setiap paritas dengan, atau

referensi untuk, hasil penelitian empiris. Kelompok Kerja adalah Matematika
diperintahkan oleh ketuanya, D.Graham, tidak akan peduli dengan hal-hal tersebut.
[T] kelompok itu tidak diharapkan untuk datang dengan air-ketat berbasis penelitian
rekomendasi, diharapkan untuk mencerminkan praktek yang baik dalam cara pragmatis.
(Nash,
1988,
halaman
1)
Ini menggambarkan kenyataan bahwa tidak ada upaya untuk mengembangkan Nasional
Kurikulum berdasarkan penelitian, apalagi untuk menguji secara empiris. Sebaliknya, itu dimasukkan
bersama-sama oleh sebuah komite, bekerja sebagai tiga sub-komite, dalam hitungan beberapa
minggu. Secara keseluruhan, telah terbukti kurang setiap epistemologis atau psikologis
validitas, asumsi hierarkis nya. Mengingat statusnya, dan sumber daya yang tersedia,
ini
sangat
lalai
penciptanya
(pemerintah).
Hirarki
243
3.
The
Hirarki
Kemampuan
Matematika
A.
View
hirarkis
Kemampuan
Matematika
Umum intelijen telah dianggap oleh para psikolog sebagai, tetap mental yang bawaan
listrik,
seperti
kutipan
berikut
dari
acara
Schonell.
Umum intelijen dapat didefinisikan sebagai kekuatan, bawaan serba mental yang
tapi
yang
sedikit
diubah
dalam
derajat
oleh
lingkungan
meskipun
yang
realisasi
dan
arah
ditentukan
oleh
pengalaman.
(Tansley
dan
Gulliford,
1960,
halaman
24)
Meskipun luas, pandangan ini tidak dimiliki oleh semua psikolog modern (Pigeon,
1977). Namun demikian, kemampuan matematika 'karena telah diidentifikasi sebagai faktor utama
dari kecerdasan umum (Wrigley, 1958), hal itu juga mungkin telah memberi kontribusi pada
luas
persepsi
bahwa
kemampuan
matematika
seseorang
adalah
tetap
dan
bertahan. Dalam analisis tajam Ruthven (1987) menunjukkan bahwa persepsi ini
luas, dan sering terlihat oleh para guru dan orang lain sebagai penyebab utama
berbeda tingkat pencapaian dalam matematika. Dia menggunakan 'stereotip kemampuan' istilah
karena kecenderungan guru untuk menghibur persepsi stabil kemampuan murid bersama-sama
dengan harapan prestasi mereka, bahkan dalam menghadapi bukti sebaliknya.
Akibatnya,
murid
individual
tampaknya
dikenakan
bentuk
stereotip
di
yang
guru
ciri
mereka
dalam
hal
penilaian,
ringkasan
global
yang
kemampuan
kognitif
dan
menghibur
Sejalan
overgeneralized
harapan
dari
mereka.
(Ruthven,
1987,
halaman
252)
Salah satu konsekuensi dari sterotyping kemampuan adalah bahwa, dalam kasus yang ekstrim,
diamati
perbedaan kinerja pada tugas-tugas tertentu yang diambil sebagai indikasi dari
'Matematika kemampuan' peserta didik individu. Sebuah contoh yang terkenal adalah 'tujuh tahun
Perbedaan
'dari
Cockcroft
(1982).
Hal
ini
dibahas
setelah
karakterisasi
numerik pencapaian 'rata-rata', 'jauh di bawah rata-rata' dan (implisit) 'banyak
di
atas
rata-rata
anak-anak
'
[T]
di
sini
adalah
'tujuh
tahun
perbedaan'
dalam
mencapai
pemahaman

nilai
tempat
yang
cukup
untuk
menuliskan
nomor
yang
adalah 1 lebih dari 6399. Dengan ini dimaksudkan bahwa sementara 'rata-rata' anak bisa
melakukan tugas ini pada usia 11 tapi tidak pada usia 10, ada beberapa 14 tahun
yang
tidak
bisa
melakukannya
dan
beberapa
7
tahun
yang
bisa.
(Cockcroft,
1982,
halaman
100)
Kutipan ini menunjukkan bahwa anak-anak individu pertunjukan pada item tertentu
pada kesempatan tertentu terkait dengan, dan bahkan diambil sebagai indikator dari keseluruhan
membangun dari 'kemampuan matematika'. Pengandaian yang mendasarinya dan
persisten global yang konstruk kemampuan matematika 'individu, sehingga menimbulkan
tingkat
pencapaian
abadi,
dikonfirmasi
oleh
kutipan
berikut.
Filosofi
Pendidikan
Matematika
244
Bahkan
jika
tingkat
rata-rata
pencapaian
dapat
diangkat,
kisaran
Pencapaian kemungkinan akan tetap sama besar seperti pada saat ini, atau mungkin menjadi
masih lebih besar, karena setiap langkah yang memungkinkan semua siswa untuk belajar
matematika lebih berhasil akan menguntungkan attainers tinggi sebanyak, dan
mungkin
lebih
dari,
mereka
yang
pencapaian
lebih
rendah.
(Cockcroft,
1982,
halaman
101).
Dalam kasus anak-anak yang rendah pencapaian dalam matematika dikaitkan
dengan
kemampuan
umum
rendah,
kursus
matematika
perlu
secara
khusus
dirancang untuk membangun jaringan ide-ide terkait sederhana dan aplikasi mereka
(Cockcroft,
1982,
halaman
98)
Secara
keseluruhan,
ada
asumsi
luas,
jelas
dalam
Cockcroft
(1982),
yang
ada hirarki linier tetap kemampuan matematika dari paling tidak mampu untuk
yang paling mampu (atau secara matematis berbakat), setiap anak dapat diberi posisi dalam
hirarki, dan hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah.
Salah
satu
yang
penting
hasil
dari
persepsi
stereotip
dan
harapan
murid adalah penerapan tujuan terbatas untuk pendidikan matematika yang lebih rendah
mencapai murid. Ruthven menyediakan bukti tentang hal ini, dan menyimpulkan bahwa
penekanan
pada
kegiatan
berulang,
pada
pembelajaran
instrumental,
dan
perhitungan-mencerminkan
persepsi
stereotip
kemampuan
kognitif
kurang murid sukses dan tujuan kurikulum yang sesuai untuk mereka, dan
stereotip harapan masa depan mereka, baik sebagai peserta didik dan sebagai anggota
masyarakat.
(Ruthven,
1987,
halaman
250)
B.
Kritik
dari
View
hirarkis
Kemampuan
Matematika
Ruthven (1987) memberikan kritik yang kuat dari stereotip kemampuan, berdebat pada
satu sisi, bahwa konsistensi pencapaian mahasiswa matematika kurang dari yang
seharusnya,
bervariasi
di
kedua
topik
dan
waktu.
Di
sisi
lain,
guru
harapan
dan
stereotip
menjadi
diri
memenuhi,
dan
diferensiasi
kurikulum
matematika yang membuat tuntutan kognitif tinggi dan rendah tinggi dan rendah mencapai
siswa,
masing-masing,
memperburuk
perbedaan
yang
ada.
Kritik
ini
dapat
didukung
melalui
dua
perspektif
teoritis:
sosiologis
dan
psikologis.
Argumen sosiologis untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan dalam
matematika berasal dari teori pelabelan. Sebuah hubungan yang kuat antara sosial

latar belakang dan kinerja pendidikan hampir semua jenis adalah salah satu yang terpanjang
didirikan dan terbaik didukung temuan dalam penelitian sosial dan pendidikan
(Departemen Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Secara khusus, ada luas
bukti di Inggris dari korelasi kesempatan hidup pendidikan dan kelas sosial
(Meighan,
1986).
Mungkin
penjelasan
terbaik
teoritis
didukung
dari
efek
didasarkan pada teori pelabelan, karena Becker (1963) dan lain-lain. Fitur kunci dari
pelabelan individu sebagai 'attainers rendah matematika', misalnya, adalah bahwa hal itu sering
Hirarki
245
self-fulfilling. Jadi streaming dengan kemampuan, yang tersebar luas dalam pengajaran
matematika, meskipun hanya longgar terkait dengan pencapaian diukur, memiliki efek
pelabelan dengan kemampuan, sehingga mempengaruhi prestasi dalam matematika, menjadi
selffulfilling
(Meighan,
1986;
Ruthven,
1987).
Dasar teori kedua untuk menolak pandangan hirarkis tetap kemampuan yang
psikologis. Ada sebuah tradisi dalam psikologi Soviet yang menolak gagasan
tetap kemampuan, dan link perkembangan psikologis dengan pengalaman sosial dimediasi.
Perkembangan ini dipercepat secara politis oleh larangan 1.936 Soviet pada penggunaan
tes mental, yang menghentikan penelitian pada perbedaan individu dalam kemampuan (Kilpatrick
dan
Wirszup, 1976). Seorang kontributor mani tradisi ini adalah Vygotsky (1962), yang
mengusulkan bahwa bahasa dan pemikiran berkembang bersama-sama, dan bahwa pembelajar
kemampuan
dapat diperpanjang, melalui interaksi sosial, di sebuah 'zona perkembangan proksimal'.
Interaksi
pengembangan
pribadi
dan
konteks
sosial
dan
gol
melalui
'Kegiatan' telah menjadi dasar dari Teori Kegiatan Leont'ev (1978) dan lain-lain.
Dalam
tradisi
keseluruhan,
psikolog
Krutetskii
(1976)
telah
mengembangkan
konsep kemampuan matematika yang lebih cair dan kurang hirarkis dari itu
dibahas di atas. Dia pertama kali menawarkan kritik dari pandangan relatif tetap dari matematika
kemampuan yang berasal dari tradisi psikometri dalam psikologi. Dia kemudian menawarkan nya
sendiri teori kemampuan matematika berdasarkan pada proses mental yang dikembangkan oleh
individu yang digunakan dalam menyerang masalah matematika. Dia mengakui individu
perbedaan dalam pencapaian matematika, tetapi memberi bobot besar bagi perkembangan
dan pengalaman formatif para pelajar dalam mewujudkan potensi matematika nya.
Tentu saja, 'potensi' tidak konstan atau tidak dapat diubah. Guru harus
tidak berpuas diri
dengan
gagasan
bahwa
anak-anak bervariasi
pertunjukandalam matematika mengatakan-adalah refleksi dari tingkat kemampuan mereka. Kemampuan tidak
ditahbiskan sebelumnya sesuatu sekali dan untuk semua: mereka terbentuk dan dikembangkan
melalui
instruksi, praktek dan penguasaan suatu kegiatan. Oleh karena itu kami berbicara tentang
perlunya membentuk, mengembangkan, menumbuhkan dan meningkatkan kemampuan anak-anak,
dan kita tidak bisa memprediksi secara tepat seberapa jauh perkembangan ini mungkin pergi.
(Krutetskii,
1976,
halaman
4)
Tradisi psikologis Soviet adalah memiliki dampak peningkatan pada matematika
pendidikan (Christiansen dan Walther, 1986; Crawford, 1989; Mellin-Olsen, 1987). Sekarang

semakin diakui bahwa tingkat kognitif dari respon siswa dalam matematika
ditentukan bukan oleh 'kemampuan' dari siswa, tetapi keterampilan dengan mana guru adalah
mampu terlibat siswa dalam matematika 'aktivitas'. Ini melibatkan pengembangan
pendekatan pedagogis dalam matematika yang sensitif dan berhubungan dengan siswa
tujuan dan budaya. Siswa diberi label sebagai 'matematis kurang mampu' secara dramatis dapat
meningkatkan
tingkat kinerja mereka ketika mereka menjadi terlibat dalam sosial dan budaya
kegiatan
terkait
dalam
matematika
(Mellin-Olsen,
1987).
Lain konfirmasi empiris dari fluiditas kemampuan dapat ditemukan di idiot
savant fenomena. Di sini, orang-orang yang dicap sebagai 'yg tdk dpt dididik' bisa tampil pada
mengejutkan tingkat tinggi dalam domain di mana mereka telah bertunangan (Howe, 1989).
Secara keseluruhan, ada teori yang kuat (dan empiris) dasar untuk menolak tetap
Filosofi
Pendidikan
Matematika
246
hirarkis melihat kemampuan matematika, dan menghubungkan lebih banyak untuk sosial
pembangunan,
yang
berasal
dari
tradisi
Soviet.
Ditambah
dengan
sosiologis
argumen, ini terdiri dari sebuah kasus yang kuat terhadap pandangan hirarkis kemampuan dalam
matematika.
C.
View
hirarkis
Kemampuan
dalam
Kurikulum
Nasional
Sebuah pandangan hirarkis kemampuan matematika jelas dalam publikasi mengenai
Kurikulum Nasional. Kelompok Tugas Penilaian dan Pengujian didirikan untuk
mengembangkan pengujian 'untuk segala usia dan kemampuan' (Departemen Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan,
1987a, halaman 26) dan terms of reference termasuk pemberian rekomendasi
penilaian untuk 'mempromosikan belajar di berbagai kemampuan' (Departemen Pendidikan
dan Ilmu Pengetahuan, 1988b). Sekretaris Negara untuk Pendidikan (K.Baker) menulis kepada
chair
(P.Black)
pada
kemampuan
dan
diferensiasi,
sebagai
berikut.
Saya
meminta
kelompok
kerja
subjek
[matematika
termasuk]
untuk
merekomendasikan target pencapaian untuk keterampilan, pengetahuan dan pemahaman
yang siswa dari berbagai kemampuan yang berbeda biasanya harus diharapkan
mencapai pada usia empat poin, tetapi sejauh mungkin untuk menghindari pengaturan
kualitatif
berbeda-target
dalam
hal
bidang
pengetahuan,
keterampilan
atau
pemahaman-untuk
anak-anak
kemampuan
yang
berbeda.
(Departemen
Pendidikan
dan
Ilmu
Pengetahuan,
1988b,
Lampiran
B)
Laporan akhir dari kelompok kerja matematika (Departemen Pendidikan dan
Ilmu, 1988) juga menggunakan bahasa stereotip kemampuan. Surat yang menyertainya
kepada Sekretaris Negara menyatakan bahwa proposal tertutup adalah: 'sesuai untuk
anak-anak dari segala usia dan kemampuan, termasuk anak-anak dengan kebutuhan pendidikan
khusus.
"
(Halaman vi). Contoh-contoh selanjutnya dipilih secara acak dari laporan tersebut meliputi: 'Guru
anak bayi ... akan perlu ... mengacu pada program B untuk memperpanjang kerja
murid mereka yang paling mampu '(halaman 63)'. Ada waktu datang ketika bahkan anak terang
kebutuhan
untuk membuat upaya '(halaman 68)' beberapa persen mampu setidaknya 10 per murid mungkin
memiliki

kesulitan dengan, misalnya, Level 1 pada usia 7 dan Level 2 pada usia 11 '(halaman 83).
Kutipan tersebut sangat menyarankan bahwa baik resmi (pemerintah) melihat dan
yang terwakili dalam publikasi dari Kelompok Kerja Matematika adalah dari
hirarki kemampuan matematika, di mana individu secara umum dapat diberi
tetap
dan
posisi
relatif
stabil.
Selain
itu,
Kurikulum
Nasional
dalam
hasil
matematika
dalam
pembatasan
pengalaman kurikulum untuk siswa mencapai rendah dalam matematika. Sebagai
kurikulum dan kerangka penilaian untuk menunjukkan Kurikulum Nasional (Gambar
11,1), hasil bersih adalah satu kurikulum dalam matematika untuk semua siswa, dengan orang-orang
'Rendah
kemampuan'
terbatas
pada,
tingkat
yang
lebih
rendah
sederhana.
Hasil
dari
asumsi
dalam
Kurikulum
Nasional
dalam
matematika
adalah
cenderung menjadi eksaserbasi dan berlebihan dari perbedaan individu dalam
kinerja. Sebagaimana telah kita lihat, ini hampir pasti menjadi self-fulfilling, menyangkal
Keberhasilan dalam matematika untuk jumlah yang sangat besar anak-anak sekolah.
Hirarki
247
Tentu saja kemampuan stereotip dalam matematika tidak hanya karena diamati
perbedaan dalam pencapaian. Ada bukti tak terbantahkan bahwa kelas (serta
Faktor etnis dan gender) memainkan peran utama dalam pelabelan tersebut (Meighan, 1986). Itu
Kemampuan stereotip yang dibangun ke dalam Kurikulum Nasional dalam matematika
mengasumsikan
bahwa
setiap anak dapat diberi posisi dalam 'hierarki kemampuan matematika', dan
bahwa hanya sedikit menggeser posisi mereka selama tahun-tahun sekolah. Akibatnya, bekerja
kelas, anak-anak hitam dan perempuan cenderung ditempatkan lebih rendah, bukan lebih tinggi,
hirarki ini, sesuai dengan harapan stereotip. Ini adalah satu lagi antiegalitarian
fitur
dari
Kurikulum
Nasional,
yang
akan
memberlakukan
tetap
dan
hirarkis
'pecking
order'
dengan
pencapaian
pada
siswa.
Gambar
11.1:
Kurikulum
dan
Penilaian
Kerangka
Kurikulum
Nasional
(Diadaptasi
dari
Departemen
Pendidikan
dan
Ilmu
Pengetahuan,
1988b)
Garis-garis menunjukkan kemajuan siswa dengan kemampuan: kemampuan tinggi '(persentil ke-90)top
garis putus-putus, 'rata-rata kemampuan' (persentil ke-50)-tengah garis, 'kemampuan rendah' (10
persentil
line)-rendah
bertitik.
Filosofi
Pendidikan
Matematika
248
4.
Hirarki
sosial
B.
Akar
Hierarchy
Sosial
Hirarki sosial memiliki sejarah panjang, dating kembali ke Ibrani kuno dan
Greeks.3 Dalam Testment Lama Ibrani hirarki Tuhan tempat implisit di atas,
diikuti oleh malaikat dalam barisan mereka, kemudian datang nabi duniawi seperti Musa,
diikuti oleh kepala suku, laki-laki, dan kemudian mungkin perempuan dan anak-anak. Di bawah
mereka adalah setan, dan akhirnya Lucifer atau Setan sendiri. Seperti hirarki linier
perintah manusia, tetapi meluas urutan atas dan di bawah batas atau 'ideal
poin
',
analog
dengan
geometri
proyektif.
Nilai
sangat
terkait
dengan
hirarki, semakin tinggi semakin baik, dengan ekstrem diidentifikasi dengan Baik dan Jahat.

Nilai-nilai ini memiliki fungsi pembenaran, melayani untuk melegitimasi pelaksanaan
otoritas dan kuasa oleh atasan pada bawahan dalam hirarki. Yang berikutnya
'Hak
ilahi
raja-raja'
adalah
contoh
dari
pembenaran
kekuasaan.
Dalam Bab 7 pandangan ini dijiplak dari sumber alternatif, pandangan Aristoteles
alam, dengan yang direkat pada abad pertengahan untuk menimbulkan Rantai Besar
Menjadi (Lovejoy, 1936). Sumber lain yang penting dari tradisi ini adalah pembagian
orang menjadi tiga jenis bertingkat, disebut emas, perak dan perunggu (Plato, 1941). Ini adalah
signifikan karena link dengan pendidikan, di mana kurikulum yang berbeda adalah
dianggap tepat untuk tiga jenis, ditentukan oleh kebutuhan stasiun berbeda
dalam hidup mereka akan berasumsi. Ini adalah sumber dari tema yang akan terlihat berjalan
melalui bagian ini. Kami juga telah melihat bahwa Yunani membedakan antara
bekerja dari tangan dan kerja otak, sehingga menimbulkan hubungan antara
murni
pengetahuan
dan
kelas
yang
lebih
kuat
(dan
depan
nya).
Hasil
yang
modern
gabungan
dari
tradisi
adalah
diterima
secara
luas
piramidal hirarkis model masyarakat, dengan kekuasaan terkonsentrasi di bagian atas,
disahkan dan diperkuat, jika tidak direproduksi, dengan budaya dan nilai-nilai yang terkait.
Model masyarakat dipandang oleh banyak orang sebagai 'alami' keadaan, seperti
dicontohkan oleh manusia dan kelompok hewan di alam liar. Seperti biologi akar
secara tegas ditolak oleh analisis ulang feminis sejarah dan antropologi, yang melihat
hirarki piramidal yang terkait dengan dominasi laki-laki dalam masyarakat, dan menolak
mengklaim bahwa itu bersifat universal (Fisher, 1979). Memang, seperti dipertanyakan hirarkis
pandangan masyarakat dapat dilihat sebagai bagian dari budaya yang menopang ada
struktur masyarakat, dan karenanya dominasi laki-laki dan atas / kelas menengah. Itu
identifikasi
hierarki
piramidal
sebagai
struktur
'alami'
masyarakat
merupakan
contoh dari 'kesalahan naturalistik', asumsi yang salah bahwa apa yang terjadi, adalah apa yang
harus,
kontingensi
adalah
keliru
untuk
kebutuhan.
Ketika struktur kekuasaan masyarakat secara fisik terancam, kekuatan cenderung
dibawa ke dalam bermain untuk mempertahankannya. Namun, apa yang lebih menarik, adalah
dampak
dari
dianggap ancaman terhadap budaya dan nilai-nilai terkait. Menurut Douglas (1966),
kelompok sosial memiliki 'kelompok' batas, anggota membedakan dari luar, dan
'Grid' batas-batas, membedakan sektor yang berbeda atau strata dalam group.4
Di bawah ancaman, menurut Douglas, kelompok menjadi prihatin dengan kemurnian dalam Surat
Hirarki
249
budaya, dan dengan kelompok yang ketat dan batas-batas grid. Dalam pandangan ini, kemurnian
terkait
dengan
budaya
kelas
dominan,
menjadi
intensif,
seperti
halnya
ketatnya
batas
definisi,
termasuk
gradasi
internal
dalam
suatu
hirarki.
B.
Pendidikan
dan
Reproduksi
Hirarki
Sosial
Mungkin teori modern yang paling berpengaruh pada struktur masyarakat adalah Karl Marx
(1967). Dia berargumen bahwa materi kondisi dan hubungan-hubungan produksi memiliki
pusat yang menentukan kekuasaan atas struktur dan antar-hubungan dalam masyarakat. Di
Khususnya, masyarakat memiliki infrastruktur, atau basis ekonomi, yang dalam 'contoh terakhir'
menentukan