PENGANTAR DASAR MATEMATIKA (1)

PENGANTAR DASAR MATEMATIKA
LOGIKA MATEMATIKA
(Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi, Ekivalensi, Hukum-Hukum Aljabar Proposisi)

Kelompok 1
Ketua : Reny Rosida 14.05.0.047
Anggota :
Pipit Wijaya 14.05.0.058, Ikko Fuji Lestari 14.05.0.045, Yesi Lestari
14.05.0.060, Sri Utami 14.05.0.063, Marisa 14.05.0.069, Oktaviani 14.05.0.076,
Cgloreni Permata Efendy 14.05.0.057, Fathiya Eka Putri 14.05.0.049, Safitri
14.05.0.074, Aprilia Anggraini 14.05.0.072, Lusiana Raja Ayu 14.05.0.048,
Andang Suci Sadewi 14.05.0.079, Iingraini 14.05.0.064

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
MATEMATIKA UNIVERSITAS KEPULAUAN RIAU
SEMESTER II TAHUN 2014/2015

Kata Pengantar
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat serta
hidayahNya kepada penulis. Karena berkat rahmat dan hidayahNyalah, penulis dapat
menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Tanpa anugerah ilmu yang diberikan Allah

SWT, penulis tidak akan bisa menyelesaikan makalah ini sesuai yang diharapkan. Salawat
serta salam tidak lupa kita kirimkan buat junjungan kita, Nabi besar Muhammad SAW yang
telah bersusah payah mendidik umat manusia dari alam yang tidak tahu akan apa-apa kepada
zaman yang berpengetahan tinggi serta berteknologi canggih seperti saat sekarang ini.
Makalah ini penulis susun atas tugas yang telah di berikan oleh dosen pembimbing mata
kuliah Pengantar Dasar Matematika. Makalah yang berjudul “Tautologi, Kontradiksi,
Kontingensi, Ekivalensi dan Hukum Aljabar Proposisi”bertujuan untuk mengetahui hukumhukum aljabar proposisi serta operasi yang ada dalam aljabar proposisi tersebut. Penulis
berharap semoga makalah ini dapat dimanfaatkan oleh pembaca sebagaimana mestinya.,
terutama penulis. Penulis menyadari dalam penyusunan makalah ini banyak mengalami
kekurangan dan kesalahan, oleh karena itu, penulis memiinta saran serta kritiknya demi
tulisan yang lebih baik nantinya.
Batam, 26 April 2015

Kelompok 1

ii

Daftar Isi
Judul.................................................................................................................. i
Kata Pengantar.................................................................................................. ii

Daftar Isi........................................................................................................... iii
Bab I Pendahuluan............................................................................................ 1
Bab II Pembahasan........................................................................................... 2
Tautologi................................................................................................ 2
Kontradiksi............................................................................................. 2
Kontingensi............................................................................................ 2
Ekivalensi............................................................................................. 3
Hukum-Hukum Aljabar Proposisi.......................................................... 3
Bab III Penutup................................................................................................. 5
Kesimpulan............................................................................................. 5
Saran....................................................................................................... 5
Daftar Pustaka...................................................................................................6

iii

BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Di dalam kehidupan kita sehari-hari, seringkali kita harus membuat suatu keputusan.
Sebelum dapat membuat keputusan yang baik, lebih dulu kita harus dapat menarik suatu

konklusi dari keadaan yang kita hadapi. Untuk mendapat konklusi yang tepat itulah
diperlukan kemampuan menalar. Kemampuan menalar adalah kemampuan untuk menarik
konklusi yang tepat dari bukti-bukti yang ada. Kemampuan menalar ini sangat penting dalam
kehidupan kita sehari-hari. Karena kemampuan menalar ini sumber dari sebagian besar
pengetahuan kita. Aturan-aturan untuk dapat melakukan penalaran dengan cepat dapat
dipelajari dengan logika.
Oleh sebab itu, penulis tertarik untuk menulis makalah yang yang berjudul “Tautologi,
Kontradiksi, Kontingensi, Ekivalensi dan Hukum Aljabar Proposisi”.

B. Tujuan
Tujuan penulis membuat makalah ini adalah untuk membahas :






Tautologi
Kontradiksi
Kontingensi

Ekivalensi
Hukum-hukum aljabar proposisi

1

BAB II
PEMBAHASAN
A. Tautologi
Tautologi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya. Sebuah
Tautologi yang memuat pernyataan Implikasi disebut Implikasi Logis. Untuk membuktikan
apakah suatu pernyataan Tautologi, maka ada dua cara yang digunakan. Cara pertama dengan
menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan bernilai B (benar) maka disebut
Tautologi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan penjabaran atau penurunan dengan
menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi Logika.
p
B
S

p

p∨ p

S
B

B
B

B. Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu proporsi majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua
kemungkinan kombinasi nilai kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya. Untuk
membuktikan apakah suatu pernyataan tersebut kontradiksi, maka ada dua cara yang
digunakan. Cara pertama dengan menggunakan tabel kebenaran, yaitu jika semua pilihan
bernilai F atau salah maka disebut kontradiksi, dan cara kedua yaitu dengan melakukan
penjabaran atau penurunan dengan menerapkan sebagian dari 12 hukum-hukum Ekuivalensi
Logika.
p
B
S

p
S
B

p∧ p
S
S

C. Kontingensi
Kontingensi adalah suatu proporsi majemuk yang bukan termasuk tautologi dan bukan
juga kontradiksi.
P
q
pVq
B
B
B
B
S

B
S
B
B
S
S
S

2

D. Ekuivalensi
Ekuivalensi pernyataan majemuk artinya persesuaian yang bisa diterapkan dalam konseptaan majemuk yang telah di jelaskan di atas. dengan begitu kita dapat mengetahui negasi dari
konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. konsep ekuivalensi dinyatakan dalam
rumus-rumus tertentu seperti :
1.
2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.
9.
10.
11.
12.

p∨ q=q ∨ p (komutatif)
p∧ q=q ∧ p (komutatif)
q
p ¿= p q (asosiatif)
¿
( p ∨ q ) = p ∧ q (asosiatif)
p∧ ( q ∨r )=( p ∧ q)∨( p ∧r ) (distributif)
p∨ ( q ∧r )=( p ∨ q)∧( p ∨r ) (distributif)
( p ∨ q ) = p ∧ q (de morgan)
( p ∧ q ) = p ∨ q (de morgan)
p⇒ q= p ∨ q (implikasi)
( p ⇒ q ) =p ∧ q (negasi implikasi)
p ⟺ q= ( p ⇒ q ) ⋀ ( q ⇒ p )=( p ⋁ q) ⋀( q ⋁ p) (biimplikasi)

p ⇔ q=( p ∧ q )∨(q ∧ p) (negasi biimplikasi)
p
B
B
S
S

q
B
S
B
S

p
S
S
B
B

p→ q

B
S
B
B

p∨q
B
S
B
B

E. Hukum-Hukum Aljabar Proposisi
1. Hukum Idempoten

p∨ q ≡ p

p∧ q ≡ p
2. Hukum Asosiatif

( p ∨q) ∨r ≡ p ∨( q ∨r )


( p ∧q) ∧r ≡ p ∧( q ∧r )
3. Hukum Komutatif

p∨ q ≡ q ∨ p

p∧ q ≡ q ∧ p
4. Hukum Distributif

p∨( q ∧r )≡( p ∨q)∧(p ∨ r)

p∧ ( q ∨r ) ≡ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧r )
3

5. Hukum Identitas

p∨ S ≡ p





p∨ B ≡ B
p∧ S ≡ S
p∧ B ≡ p

6. Hukum Komplemen

p∨ p ≡ B

p∧ p ≡ S

( p)≡ p

B≡S
7. Hukum Transposisi

p⇒ q ≡ q ⇒ p
8. Hukum Implikasi

p⇒ q ≡ p ∨q
9. Hukum Ekivalensi

p ⟺ q ≡( p ⇒ q )∧( q ⇒ p)

p ⇔q ≡( p ∧q)∨( q ∧ p)
10. Hukum Eksportasi

( p∧ q ) ⇒r ≡ p ⇒ ( q ⇒ r )
11. Hukum de Morgan

( p ∨ q) ≡ p ∧ q

( p ∧ q) ≡ p ∨ q

4

BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan

Setiap proposisi yang saling ekivalen dapat dipertukarkan atau diganti antara satu dengan
yang lainnya. Hukum-hukum aljabar Proposisi adalah sebagai berikut:












Hukum Idempoten (Idem)
Hukum Asosiatif (As)
Hukum Komutatif (Kom)
Hukum Distributif (Dist)
Hukum Identitas (Id)
Hukum Komplemen (Komp)
Hukum Transposisi (Trans)
Hukum Implikasi (Imp)
Hukum Ekivalensi (Eki)
Hukum Eksportasi (Eksp)
Hukum De Morgan (DM)

Dua pernyataan majemuk A dan B dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika, jika
memiliki nilai kebenaran yang sama.Tautology adalah suatu pernyataan majemuk dengan
nilai kebenaran yang selalu benar. Kontradiksi adalah suatu prnyataan majemuk yamg
memiliki nilai kebenaran yang selalu salah. Kontingensi adalah suatu pernyataan majemuk
yang memiliki nilai kebenaran yang benar dan salah.

B. Saran
Penulis menyadari dalam penyusunan makalah ini banyak mengalami kekurangan, karena
keterbatasan ilmu yang penulis miliki. Oleh karena itu, penulis sangat membutuhkan
sumbangan pemikiran dan saran dari pembaca demi membangun suatu makalah yang lebih
baik lagi.

5

DAFTAR PUSTAKA

http://www.rumusmatematikadasar.com/2014/09/logika-matematikapengertian-dan.html (diakses : 25 April 2015)

http://opanlab.com/matematika/logika-matematika/pernyataanmajemuk-yang-ekuivalen.php (diakses : 26 April 2015)
http://grahailmu.co.id/previewpdf/978-602-262-138-6-1158.pdf
(diakses : 26 April 2015)

6