2 Barisan Dan Deret Indonesia

BARISAN DAN
DERET

HJ. Elis Sulastri

1

D. Standar kompetensi: 9. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar

Kriteria Kerja

9.1. Mengidentifikas
i pola, barisan
dan deret
bilangan

 Suatu barisan dan deret
ditunjukkan pola
bilangannya
 Suatu deret dituliskan

dengan Notasi Sigma

9.2. Menerapkan
konsep barisan
dan deret
aritmatika

 Suatu barisan aritmatika
ditentukan suku ke-n nya
 Suatu deret aritmatika
ditentukan jumlah n suku
pertamanya
 Masalah program
keahlian yang berkaitan
dengan deret aritmatika
dapat diselesaikan.

 Barisan dan deret
aritmatika
 Suku ke n suatu

barisan aritmatika
 Jumlah n suku
suatu deret
aritmatika

 Barisan dan
deret aritmatika

9.2. Menerapkan
konsep barisan
dan deret
geometri

 Suatu barisan geometri
ditentukan suku ke-n nya
 Suatu deret geometri
ditentukan jumlah n suku
pertamanya
 Suatu deret geometri tak
hingga ditentukan jumlah

n suku
 Masalah program
keahlian yang berkaitan
dengan deret geometri
dapat diselesaikan.

 Barisan dan deret
geometri
 Suku ke-n suatu
barisan geometri
 Jumlah n suku
suatu deret
geometri
 Deret geometri
tak hingga

 Barisan dan
deret geometri
 Deret geometri
tak hingga

HJ. Elis Sulastri

2

Lingkup Materi
Belajar
 Pola bilangan,
barisan, dan deret
 Notasi Sigma

Materi Pokok Pembelajaran
Sikap
Pengetahuan
Keterampilan
Kritis dan logis
 Pola bilangan,
 Menyelesaikan masalah
dalam
barisan, dan deret

barisan dan deret dengan
memecahkan
 Notasi Sigma
cepat
masalah barisan
dan deret

F. Cek kemampuan
No
Pertanyaan
1. Dapatkah anda menunjukan pola bilangan dari suatu barisan
dan deret?
2.

Dapatkah anda membedakan pola bilangan, barisan, dan deret?

3.

Dapatkah anda menuliskan suatu deret dengan notasi sigma?

4.

Dapatkah anda menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika?

5.

Dapatkah anda menentukan jumlah n suku suatu deret
aritmetika?

6.

Dapatkah anda menyelesaikan masalah program keahlian yang
berkaitan dengan deret aritmetika?

7.

Dapatkah anda menjelaskan barisan dan deret geometri?

8.

Dapatkah anda menentukan suku ke-n suatu barisan geometri?

9.

Dapatkah anda menentukan jumlah n suku suatu deret
geometri?

10. Dapatkah anda menentukan jumlah n suku suatu deret geometri
tak hingga?
11. Dapatkah anda menyelesaikan masalah program keahlian yang
berkaitan dengan deret geometri?

BAB II

HJ. Elis Sulastri

3

Ya

Tidak

PEMBELAJARAN
A. Rencana Belajar Peserta Didik
Sebagaimana telah diinformasikan dalam pendahuluan bahwa modul ini hanya
sebagian dari sumber belajar yang dapat anda pelajari untuk menguasai standar
kompetensi menyelesaikan masalah barisan dan deret, untuk mengembangkan
kompetensi dalam substansi non instruksional kita perlu latihan. Aktifitas-aktifitas
yang dirancang dalam modul ini selain mengembangkan kompetensi matematika juga
mengembangkan kompetensi substansi non instruksional. Dalam penggunaan modul
ini kita harus mengerjakan tugas-tugas yang telah dirancang.
1. Buatlah rencana belajar berdasarkan rancangan pembelajaran yang telah disusun
oleh guru, untuk menguasai standar kompetensi menyelesaikan masalah barisan
dan deret gunakan format berikut!
No Kegiatan
Pencapaian
Alasan
Paraf
perubahan bila
Tanggal

Jam
Tempat
Siswa Guru
diperlukan

Mengetahui

Palembang,

Guru pembimbing

Siswa

(

)

(

)

2. Rumuskan hasil belajar sesuai standar bukti belajar yang telah ditetapkan
a. Untuk penguasaan pengetahuan buat suatu ringkasan menurut pengertian Anda
terhadap konsep-konsep yang berkaitan dengan kompetensi yang telah dipelajari.
Selain ringkasan anda juga dapat melengkapi dengan kliping tentang informasiinformasi yang relevan dengan kompetensi yang sedang dipelajari.
b. Tahapan pelajaran dapat dituliskan/digambarkan dalam diagram alur yang
dilengkapi dengan penjelasan.
c. Produk hasil praktek kegiatan ini dapat dikumpulkan berupa contoh-contoh dalam
bentuk visualisasi.
d. Tahapan proses akan diakhiri, lakukan diskusi dengan guru pembimbing untuk
mendapatkan persetujuan dan apabila ada hal-hal yang harus dibetulkan atau
dilengkapi maka ikuti saran guru pembimbing.
B.

Kegiatan Belajar

HJ. Elis Sulastri

4

1. Kegiatan belajar 1.
a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar mengidentifikasi pola, barisan dan deret
bilangan ini diharapkan siswa dapat:
1) Menunjukan pola bilangan dari suatu barisan dan deret.
2) Membedakan pola bilangan, barisan, dan deret.
3) Menuliskan suatu deret dengan notasi sigma.

b. Uraian materi

Saat mengendarai motor, pernahkah kalian mengamati speedometer pada motor tersebut?
Pada speedometer terdapat angka-angka 0,20, 40, 60, 80, 100, dan 120 yang menunjukkan
kecepatan motor saat kalian mengendarainya. Angka-angka ini berurutan mulai dari yang
terkecil ke yang terbesar dengan pola tertentu sehingga membentuk sebuah pola barisan.

Bayangkan anda seorang penumpang taksi. Dia harus membayar biaya buka pintu Rp
15.000 dan argo Rp 2.500 /km.

Buka pintu

1 km

2 km

3 km

20.000

25.000

4 km

10.000

HJ. Elis Sulastri

15.000

5

...

A. POLA BILANGAN, BARISAN BILANGAN, DAN NOTASI BILANGAN
1. Pola dan Barisan Bilangan
 Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, …
 Barisan bilangan genap: 2, 4, 6, 8, …
 Barisan bilangan gajil: 1, 3, 5, 7, …
Pola bilangan digunakan dalam menentukan urutan atau letak suatu bilangan
dari sekumpulan bilangan. Misalkan bilangan kelima dari sekumpulan bilangan
genap : 9, 12, 15, 18, 21, …adalah 21. Bagaimana menentukan bilangan kelima
belas?
Dengan mengetahui pola atau aturan bilangan, maka bilangan ke-n dapat
ditentukan dengan mudah.
Barisan bilangan adalah susunan anggota suatu himpunan bilangan yang
diurutkan berdasarkan pola atau aturan tertentu.
Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai berikut:
U1 , U2 , U3 , . . . , Un

Sedangkan penjumlahan dari suku-suku suatu barisan disebut deret. Bentuk umum
deret bilangan adalah sebagai berikut:
U1 + U2 + U3 + . . . + Un

Menurut banyak suku-suku pembentuknya deret bilangan dibedakan menjadi deret
hingga dan deret tak hingga, Misalnya:
 2 + 5 +8 + 11 + 14 + 17 adalah suatu deret hingga.
 2 + 5 +8 + 11 + . . .
adalah suatu deret tak hingga.
2. Notasi Sigma
Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
………..
(1)
Pada bentuk (1)
Suku ke-1 =
1
= 2.1 – 1
Suku ke-2 =
3
= 2.2 – 1
Suku ke-3 =
5
= 2.3 – 1
Suku ke-4 =
7
= 2.4 – 1
Suku ke-5 =
9
= 2.5 – 1
Suku ke-6 =
11
= 2.6 – 1
Secara umum suku ke-k pada (1) dapat dinyatakan dalam bentuk:
6
2k – 1, k Î { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

1+3+5+7+ 9+11= ∑ ( 2k-1 )
k =1

HJ. Elis Sulastri

6

Dengan notasi sigma bentuk penjumlahan (1) dapat ditulis
Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat digunakan notasi
sigma atau penjumlahan sebagai berikut:
n

U1 + U2 + U3 + . . . + Un =

Uk
∑
k=1

Sifat-sifat Notasi Sigma :
n

1. ∑ ak =a1 +a2 +a3 . ..+an .
k =1
n

n

2. ∑ Cak=C ∑ ak
k=m

k=m

n

n

n

3 . ∑ ( ak+bk )= ∑ ak+ ∑ bk
k =m

n

4. ∑ ak
k=m

k=m

k =m

n+ p

ak− p

∑

k=m+ p

n

5 . ∑ C=(n−m+1)C
k=m

p−1

n

n

6. ∑ ak+ ∑ ak= ∑ ak
k=m

k= p

k=m

m=1

7. ∑ ak=0
k=m

Contoh1:
5

Hitunglah
Jawab:

∑ k +1=.. .

k =2

5

∑ k +1=( 2+1 ) ( 3+ 1 ) ( 4+ 1 ) ( 5+1 ) =3+4 +5+6=18

k =2

Contoh 2:
Tunjukkan bahwa:
Jawab:

3

3

( 4 i+2)= ∑ ( 4 j+2 )
∑
k =1
j=1

3

(4 i+2)=( 4 .1+2 )+(4 .2+2 )+(4 .3+3 )=30
∑
i=1
3

(4 j+2)=(4 . 1+2)+(4 . 2+2)+(4 . 3+2)=30
∑
j=1
HJ. Elis Sulastri

7

Contoh 3 :
Hitung nilai dari:
3

Jawab:

3

6
2

6 k + ∑ 6 k2
∑
k =1
k =4
6

6

2

2

6
2

6 k + ∑ 6 k = ∑ 6 k =6 ∑ k 2
∑
k=1
k=4
k =1
k=1
= 6 (12 +22 + 32 + 42 + 52 + 62)
= 6 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36)
= 6.91
= 546

c. Rangkuman
1.

Barisan bilangan adalah susunan anggota suatu himpunan yang diurutkan
berdasarkan pola (aturan) tertentu.
Anggota barisan bilangan disebut suku barisan yang dinyatakan sebagai:
U1, U2, U3, …, Un
Notasi sigma digunakan untuk menuliskan penjumlahan suku-suku
barisan bilangan.
Penjumlahan berurut suku-suku dari suatu barisan disebut deret.
Bentuk umum deret dinyatakan sebagai: U1 + U2 + U3 + … + Un

2.
3.
4.
5.

d. Tes formatif
1. Tulislah lima suku pertama barisan berikut:
a.
b.

2

U n =n −2n
U n=

n
n +1
2

2. Tulislah lima suku berikutnya dari barisan:
a.7, 12, 17, …
b. 3, 8, 15, …
3. Tentukan hasil penjumlahan berikut:
10

a.

3 k+1
∑
k=1

b.

3 k+k 2
∑
k =2

11

a.

4. Nyatakan penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
3 + 6 + 9 + . . . + 33

b.

1+

HJ. Elis Sulastri

2 3
11
+
+...+
3 5
21

8

e. Kunci jawaban
1a. Lima suku pertama barisan

2

U n=n −2n

U n =n2 −2n
U 1 =(1)2 −2(1)=1−2=−1
U 2 =(2)2−2(2)=4−4=0
U 3 =(3)2 −2(3)=9−6=3
U 4 =(4)2 −2(4)=16−8=8
U 5 =(5)2 −2(5)=25−10=15

b. Lima suku pertama barisan

U n=

n
n +1
2

n
2
n +1
1
1
1
U 1 = 2 =1+1 =2
(1) +1
1
1
1
U 2 = 2 = 4+1 =5
(2 ) +1
1
1
1
U 3 = 2 =9+1 =10
(3 ) +1
1
1
1
U 4 = 2 =16+1 =17
(4 ) +1
1
1
1
U 5 = 2 =25+1 =26
(5 ) +1
U n=

2a. Lima suku berikutnya dari barisan: 7, 12, 17, …
7, 12, 17, 22, 27, 32, 37, 42.
b. Lima suku berikutnya dari barisan: 3, 8, 15, …
3, 8, 15, 24, 35, 48, 63, 80.
10

2.

a. Hasil penjumlahan dari

3 k+1
∑
k=1

6

3k+1= ( 3. 1+1 ) ( 3.2+1 ) ( 3.3+1 ) ( 3.4+1 ) ( 3.5+1 ) ( 3.6+1 )
∑
k=1
¿4+7+10+13+16+19
¿70
b. Hasil penjumlahan dari

HJ. Elis Sulastri

7

3 k +k 2
∑
k =2

9

7

3 k +k 2= (3 . 2+22 ) + ( 3 . 3+32 )+ ( 3. 4 +4 2 )+ (3 . 5+52 )+ ( 3. 6+62 ) + ( 3 . 7+72 )
∑
k =2
¿ 10+18+28+40+54+70
¿ 220
3.

Tentukan penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
11

a . 3+6+9=.. .+33=∑ 3 k
1
6

2 3
11
n
b .1+ 3 + 5 +. ..+ 21 =∑ 2n−1
1

f. Lembar kerja
1. Tulislah lima suku pertama barisan berikut:
a.

2

U n =n −2n
U n=

n
n +1
2

b.
2. Tulislah lima suku berikutnya dari barisan:
a. 7, 12, 17, …
b. 3, 8, 15, …
3. Tentukan hasil penjumlahan berikut:
10

a.

3 k+1
∑
k=1
11

3 k+k 2
∑
k =2

b.
4. Tentukan penjumlahan berikut dalam notasi sigma.
a. 3 + 6 + 9 + . . . + 33
b.

HJ. Elis Sulastri

2 3
11
1+ + +...+
3 5
21

10

2. Kegiatan belajar 2.
a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar menerapkan konsep barisan dan deret
aritmetika ini, diharapkan siswa dapat:
1) Menentukan suku ke-n suatu barisan aritmetika.
2) Menentukan jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika dengan
menggunakan rumus.
3) Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri.
4) Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri.
5) Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri tak hingga.
b. Uraian materi
BARISAN ARITMETIKA
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, …, Un-1, Un.
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan aritmetika, jika selisih untuk
setiap suku ke-n (Un) dengan suku sebelumnya (Un-1) adalah tetap (konstan).
Selisih tersebut dinamakan
beda (b).
Misalkan suku pertama = a, beda = b, maka
U1, U2,
U3, ...,
Un

a,
a + b, a + 2b, …, a+(n – 1)b
Dengan demikian, rumus suku ke-n barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n 1)b

Contoh:
1. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan bilangan
6, 11, 16, . . . .
Jawab:
a=6
b = 11 – 6 = 5
Un = a + (n – 1)b
= 6 + (n – 1). 5
= 6 + 5n - 5
= 5n + 1
2. Diketahui barisan aritmatika 14, 9, 4, .... Tentukan suku ke-9 dari barisan
tersebut.
Jawab
a = 14
b = 9 – 14 = -5
Un = a + (n – 1)b
U9 = 14 + (9 – 1). (-5)

HJ. Elis Sulastri

11

= 14 + 8.(- 5)
= 14 - 40
= - 26
3. Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 18 dan U10 = 38. Tentukan Suku
ke-15 dari barisan tersebut?
Jawab:
a + 9b = 38
a + 4b = 18
5b = 20
b=4

b = 4 disubstitusikan ke persamaan a + 9b = 38
a + 9b = 38
a + 9(4) = 38
a = 38 – 36
a=2
U15 = a + 14 b = 2 + 14(4) = 2 + 56 = 58

DERET ARITMATIKA
adalah bentuk penjumlahaan barisan aritmatika. Jika U1, U2, U3, …,Un adalah
barisan aitmatika, maka U1 + U2 + U3 + …,Un merupakan deret aritmatika.
Jumlah n suku pertama disimbolkan dengan Sn.
Sn = U1 + U2 + U3 + …,Un
Rumus jumlah n suku pertama adalah :
Sn

=

U n=S n−S n−1

1
2 n { 2a+(n−1)b }
Contoh:
1. Diketahui deret aritmetika 10 + 17 + 24 + . . . .
Tentukan:
a. Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
b. Jumlah 10 suku pertama
Jawab:
1a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika 10 + 18 + 26 + . .
a = 10
b=8

HJ. Elis Sulastri

12

1
S n = n { 2a+(n−1)b }
2
1
S n =2 .n {2.10+(n−1).8 }
1
S n =2 .n {20+8n−8 }
1
S n =2 .n {12+8n }
S n =6n+4n2
b. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika 10 + 18 + 26 + . . . .

1
S 10=2 n { 2a+(n−1)b }
1
S 10=2 .10 {2.10+(10−1).8 }
S 10=5 ( 20+72 )
S 10=5.92
S 10=460

2. Jumlah n buah suku pertama deret aritmetika dinyatakan oleh Sn =

n
(5n−19)
2

. Tentukan Suku pertama dari deret tersebut?

Jawab:

Sn =
S1 =
S1 =
S1 =

n
(5n−19)
2
1
(5.1−19)
2
1
(5−19)
2
1
.(−14)
2

S1 = - 7

Sn =
S2 =
S2 =
S2 =
S2 =

n
(5n−19)
2
1
(5.2−19)
2
1
(10−19)
2
1
.(−9)
2
−9
.
2

U n =S n−S n−1
U 1 =S 2 −S 1
−9
−9
5
U 1 = −( −7 ) = +7=
2
2
2

HJ. Elis Sulastri

13

c. Rangkuman
1. Barisan Aritmetika memiliki pola (aturan) yaitu selisih antara dua suku
yang berurutan selalu tetap.
2. Rumus suku ke-n barisan aritmetika dan jumlah n suku pertama deret
aritmetika dirumuskan sebagai berikut:
Un = a + (n -1)b
Dimana, Un = suku ke-n
Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
b = beda
n = banyak suku

U n=S n−S n−1
Sn =

Sn =

1
2 n { 2a+(n−1)b }
1
2 n(a+Un)

d. Tes formatif
1. Diketahui deret aritmetika 10 + 16 + 22 + ....
Tentukan:
a.
Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
b.
Jumlah 8 suku
2. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan
tersebut 21 dan hasil kalinya 280. Carilah bilangan-bilangan itu?
3. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + ... adalah 5.550.
a. Hitung banyaknya suku pada deret tersebut.
b. Tentukan suku ke-20 dan suku terakhir dari deret tersebut.
e. Kunci jawaban
1a. Tentukan rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika 10 + 16 +
22 + ....
a = 10
b=6

HJ. Elis Sulastri

14

1
S n = n { 2a+(n−1)b }
2
1
S 8 =2 .n {2.10+(n−1).6 }
1
S 8 =2 .n {20+6n−6 }
1
S 8 =2 .n {14+6n }
S 8 =7n+3n2
b. Tentukan jumlah 8 suku pertama dari deret aritmetika 10 + 16 + 22 + ....

1
S 8 =2 n { 2a+(n−1)b }
1
S 8 =2 .8 {2.10+(8−1).6 }
S 8 =4 ( 20+42 )
S 8 =4 .62
S 8 =248

2. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan
tersebut 21 dan hasil kalinya 280. Carilah bilangan-bilangan itu?
Misal: bilangan-bilangan itu adalah (a –b), a, (a + b)
(a – b) + a + (a + b) = 21

(a – b) . a . (a + b) = 280

3a = 21

(7 – b) . 7 . (7 + b) = 280

a = 7

(7 – b) (7 + b) = 40
49 – b2 = 40
b2 = 9
b =±3

Untuk a = 7 dan b = 3
(a –b), a, (a + b) = (7 – 3), 7, (7 + 3) = 4, 7, 10
Untuk a = 7 dan b = -3
(a –b), a, (a + b) = (7 – (-3)), 7, (7 + (-3)) = 10, 7, 3

3. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + ... adalah 5.550.

HJ. Elis Sulastri

15

a. Banyaknya suku pada deret tersebut adalah
a = 4, b = 3
n

=

1
n 2a+(n−1)b }
2 {

S

1
n 2.4+(n−1).3 }
2 {
5.550

=

1
n 8+3n−3 }
2 {
5.550

=

1
2 n {5+3n }
5.550 =
11.100 = 5n + 3n2
3n2 + 5n – 11.100 = 0
(3n + 185)(n - 60) = 0
3n + 185 = 0
atau n – 60 = 0
n = -185/3 (TM) atau n = 60
Jadi, Banyaknya suku pada deret tersebut adalah 60
b. Tentukan suku ke-20 dan suku terakhir dari deret tersebut.
U20 = a + 19 b
= 4 + 19.3
= 4 + 57
= 61
Suku terakhir Un

1
S n=2 n(a+U n )
1
5.550=2 .60( 4+Un)
5.550=30(4+U n )
5.550=120+30U n
30U n=5.550−120
30U n=5.430
5.430
U n=30
U n=181

Jadi, suku ke-20 adalah 61 dan suku terakhir adalah 181
f. Lembar kerja siswa

HJ. Elis Sulastri

16

1. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-n dari barisan bilangan
5, 11, 17, ..., 53.
2. Diketahui barisan aritmatika 3, 7, 11, .... Tentukan suku ke-9 dari barisan
tersebut.
3. Diketahui barisan aritmetika dengan U5 = 5 dan U10 = 15. Tentukan
Suku ke-20 dari barisan tersebut?
4. Diketahui barisan aritmetika dengan U3 = 16 dan U6 = 7. Tentukan Suku
ke-8 barisan tersebut ?
5. Diketahui deret aritmetika 10 + 16 + 22 + ... Tentukan:
a. Rumus jumlah n suku pertama (Sn)
b. Jumlah 8 suku
6. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan
tersebut 21 dan hasil kalinya 280. Carilah bilangan-bilangan itu?
7. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + ... adalah 5.550.
a. Hitung banyaknya suku pada deret tersebut.
b. Tentukan suku ke-20 dan suku terakhir dari deret tersebut.
3. Kegiatan belajar 3.
a. Tujuan kegiatan belajar
Setelah mempelajari kompetensi dasar menerapkan konsep barisan dan deret
aritmetika ini, diharapkan siswa dapat:
1) Menentukan suku ke-n suatu barisan geometri.
2) Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri.
3) Menentukan jumlah n suku suatu deret geometri tak hingga.
b. Uraian materi
BARISAN GEOMETRI
Misalkan suatu barisan bilangan adalah U1, U2, U3, U4, …, Un-1, Un
Barisan bilangan tersebut dikatakan barisan geometri, jika nilai perbandingan
untuk setiap suku ke–n ( Un ) dengan suku sebelumnya ( Un-1) adalah tetap.
Nilai perbandingan itu disebut rasio ( r ), ditulis :

r=

Un
U n−1

Dimana r ≠ 0 atau r ≠ 1
Misalkan suku pertama sama dengan a, rasio sama dengan r, maka :
U1, U2,
U3, ...,
Un

HJ. Elis Sulastri

17

a,
ar,
ar2 , …
,arn – 1
Dengan demikian, rumus suku ke – n barisan geometri adalah :
Un = arn-1

Contoh:
1. Diketahui barisan geometri 5, 10, 20,....
Tentukan:
a. Suku pertama
b. Rasio
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke-6
Jawab:
a. Suku pertama = a = 5
b.
c.

Rasio =

r=

U n 10
= =2
U n−1 5

5 n
2n
.2
1
Rumus suku ke-n = Un = arn-1 = 5 . 2n-1 = 5. 2 = 2
5 6
.2 =5.25 =5.32=160
2

d.
Suku ke-6 = U6 =
2. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp. 80.000.000,00.setiap tahun nilai
jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun?
Jawab:
a = 80.000;

3
4

r=
Un = a.rn-1
U3 = a.r2= 80.000.000.
U3 = 80.000.000.
U3 = 45.000.000

3
4

()

2

9
16

( )

DERET GEOMETRI
Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan, maka diperoleh :

HJ. Elis Sulastri

18

( a ) + ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + .. + (arn-1) = Sn
U1 + U2 + U3 + U4 + .. + Un = Sn
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri diperoleh dengan cara berikut :
Sn
= ( a ) + ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + ... + (arn-1) → kalikan kedua ruas
r.Sn
= ( ar ) + ( ar2 ) + ( ar3 ) + ... + (arn-1) + (arn)
dengan r, maka:
-----------------------------------------------------------------------------Sn - r.Sn = a + 0 + 0 + 0 + ... + 0 - (arn)
(1 - r)Sn = a - arn
= a(1 - rn)
a (1−r n)
Sn= 1−r
Keterangan:
a = suku awal
r = rasio
n = banyak suku
Sn = Jumlah n suku yang pertama

DERET GEOMETRI TAK HINGGA
Jika nilai mutlak rasio deret geometri a + ar + ar 2 + ar3 + .. lebih dari satu,
yaitu |r| > 1, maka semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin membesar nilai suku
tersebut. Dapat dikatakan bahwa jika n mendekati bilangan tak hingga, maka suku
ke-n pun akan mendekati bilangan tak hingga. Jika suku-sukunya mendekati
bilangan tak hingga, maka jumlah suku-sukunya pun akan mendekati bilangan tak
hingga. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi matematika berikut :

S ∞=

lim
x →∞

a ( r n −1 )
r−1 =∞

Dengan demikian, untuk
, maka jumlah deret geometri tersebut tidak
dapat ditentukan. Deret geometri tak hingga dengan |r| > 1 tersebut dinamakan
deret geometri divergen.
Jika deret geometri a + ar + ar2 + ar3 + .. mempunyai rasio 0 < |r| < 1, maka
semakin tinggi indeksnya (n) akan semakin kecil (mendekati nol) nilai sukunya.
Jika suku ke-tak hingga mendekati nol, maka jumlah suku-sukunya akan
mendekati bilangan tertentu. Pernyataan tersebut dapat ditulis dalam notasi
matematika berikut :

HJ. Elis Sulastri

19

r −1 )
a ( 1−0 ) a
lim a (r−1
= lim
=
(1−r) 1−r
n

S ∞=

x →∞

x→∞

Sehingga untuk x → ∞ , maka jumlah deret geometri tersebut berupa bilangan
tertentu. Deret geometri tak hingga dengan 0 < |r| < 1 tersebut dinamakan deret
geometri konvergen.
c. Rangkuman
1. Barisan geometri memiliki pola (aturan) yaitu rasio antara dua suku yang
berurutan selalu tetap.
2. Rumus suku ke-n barisan geometri dan jumlah n suku pertama deret
geometri dirumuskan sebagai berikut:

r=

Un
U n−1

Dimana, Un = suku ke-n

Sn = jumlah n suku pertama
a = suku pertama
r = rasio
n = banyak suku

Un = arn-1

a ( r n −1 )
S n = r−1

, ( r > 1)

a ( 1−r n )
S n = 1−r
, ( r < 1)
3. Deret geometri tak hingga adalah deret geometri ysng bsnysk suku-sukunya
tak hingga.
 Jika – 1 < r < 1, maka deret geometri tak hingga akan konvergen,
yaitu jumlah deretnya mempunyai limit.
 Jika r ¿ -1 atau r ¿ 1, maka deret geometri tak hingga akan
divergen, yaitu jumlah suku-sukunya tidak terbatas atau tidak
menuju suatu bilangan tertentu.
4. Jumlah deret geometri tak hingga konvergen dirumuskan sebagai berikut:

S ∞=

a
1−r

Dengan

S∞

: jumlah deret tak hingga

d. Tes formatif
1.

HJ. Elis Sulastri

Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut :
a. 3 + 9 + 27 + ...
3
3
b. 3 + 4 + 16 + ...

20

2.
Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri
a. 3 + 6 + 12 + ...
b. 4 + 2 + 1 + ...
3.

Tentukan banyaknya suku deret geometri 2 + 4 + 8 + … = 2.048

4. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 64 + 32 + 16 +
8+…

e. Kunci jawaban
1. Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut :
a. 3 + 9 + 27 + ...
3
3
b. 3 + 4 + 16 + ...
Jawab:
a. 3 +

9

a ( r n −1 )
S n =r−1
3 ( 3n −1 )
S n=
3−1
3 ( r n −1 )
S n =2
3
S n = ( r n −1 )
2

+ 27

+ ...
a=3

3
3
b. 3 + 4 + 16 + ...
a=3
3
4

1
r= =
3 4

HJ. Elis Sulastri

21

n
a ( 1−r )
S n =1−r
1n

S n=

3 (1−4

, ( r < 1)

)

1
1− 4
1n

3 (1−4

S n =3

)

4

S n =3 . 34 . (1−14

n

)

1n
S n =4 .. 1−4
1n
S n =4−4 . 4
n
S n =4−41 . 4−
S n =4−41−n

(

)

2. Hitunglah jumlah 6 suku pertama dari deret geometri
a. 3 + 6 + 12 + ...
b. 4 + 2 + 1 + ...
Jawab:
a. a = 3
b. a = 4
r=2

r=

1
2

a ( 1−r n )
S n =1−r
16

S6=

n

a ( r −1 )
S n =r−1
3 ( 26 −1 )
S 6 =2−1
3 ( 64−1 )
S 6=
1
S n =3 .63=189

4 ( 1−2

)

1−12
1

4 ( 1−64 )

S 6 =1
2

4 . 63
64

S 6 =1
2

63 2 63
S 6 =4 . 64 . 1 =8

3. Tentukan banyaknya suku deret geometri 2 + 4 + 8 + … = 2.048
Jawab:
a=2

HJ. Elis Sulastri

22

r=2
Sn = 2.046
n

a ( r −1 )
S n =r−1
2 ( 2n −1 )
2046= 2−1
2 ( 2n −1 )
2046=
1
n
2046=2 ( 2 −1 )
1023=2n −1
2n =1023+1
2n =1024
n
10
2 =2 ⇔ n=10
4. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 64 + 32 + 16 + 8
+…
Jawab:
64 + 32 + 16 + 8 + …
a = 64
r=

1
2

a
1−r
64
S ∞= 1
1−2
64
S ∞= 1
S ∞=

2

S ∞=128

f. Lembar kerja siswa
1. Diketahui barisan geometri 4,8,16,....Tentukan:
a. Suku pertama

HJ. Elis Sulastri

23

b. Rasio
c. Rumus suku ke-n
d. Suku ke-6
2. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = -6
Tentukan rasio barisan tersebut?
3. Jika (p + 1), (p - 2),(p - 8), . . . . membentuk barisan geometri, maka
tentukan rasionya?
4. Diketahui 4, a, b, c, 100 membentuk barisan geometri. Tentukan nilai dari

ac
b

?

5. Pertambahan penduduk tiap tahun di suatu daerah mengikuti deret
geometri. Pertambahan pendudk pada tahun 2000 sebesar 45 orang dan
tahun 2002 sebesar 180 orang. Berapakah pertambahan penduduk tahun
2007?
6. Tentukan jumlah n suku pertama deret geometri berikut :
a. 2 + 6 + 18 + ...
b. 4 + 8 + 16 + ...
7. Hitunglah jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 4 + 8 + 16 + ...
8. Tentukan banyaknya suku deret geometri 6 + 12 + 24 + … = 12.282
9. Diantara deret geometri berikut, mana yang dapat (konvergen) dan mana
yang tidak dapat (divergen) ditentukan jumlahnya :
a. 2 + 4 + 8 + ...
b. 16 + 8 + 4 + ...
c. 5 + 25 + 125 + ...
10. Tentukan jumlah sampai suku tak hingga deret geometri 625 + 125 + 25 +
5+ …

BAB III
EVALUASI

HJ. Elis Sulastri

24

A. Instrumen penilaian
Petunjuk : Jawablah semua pertanyaan di bawah ini secara cermat dan teliti. Setelah
selesai menjawab cocokkanlah dengan kunci jawaban yang terdapat pada halaman
berikutnya. Kemudian lakukan penskoran dan penilaian, berapa persen pencapaian
kemampuan Anda, apakah dapat meneruskan untuk mempelajari modul selanjutnya,
atau anda harus mengulang mempelajari modul ini kembali.
B. Soal evaluasi
1. Tulislah lima suku pertama barisan
2. Tentukan hasil penjumlahan

2

U n =2n −3n

8

∑ 2 k −3

k=3

3. Diketahui barisan aritmatika
4, 9, 14, ....
Tentukan suku ke-11 dari barisan tersebut.
4. Diketahui barisan aritmetika dengan U2 = 7 dan U6 = 19. Tentukan suku ke-9 barisan
tersebut.
5. Diketahui deret aritmetika 10 + 15 + 20 + ....
Tentukan jumlah 20 suku pertama
6. Jumlah deret aritmetika 4 + 7 + 10 + ... adalah 5.550.
Hitung banyaknya suku pada deret tersebut.
7. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-5 = 162 dan suku ke-2 = -6
Tentukan rasio barisan tersebut?
8. Pertambahan penduduk tiap thn di suatu daerah mengikuti deret geometri. Pertambahan
pendudk pada tahun 2000 sebesar 45 orang dan thn 2002 sebesar 180 orang.
Berapakah pertambahan penduduk tahun 2007?
9. Jumlah deret geometri 2 + 6 + 18 + ... adalah 2.186
Hitung banyaknya suku pada deret tersebut.
10. Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga 24 + 12 + 6 + ...
BAB IV
PENUTUP

HJ. Elis Sulastri

25

Setelah mempelajari keseluruhan uraian materi yang terdapat dalam modul ini
termasuk mempelajari rangkuman dan mengerjakan soal-soal latihan, maka sebaiknya
anda dapat menilai kemampuan diri sendiri dengan rambu-rambu sebagai berikut:
1. Apabila Anda merasa yakin bahwa telah memahami sebagian besar isi uraian
modul ini tanpa mengalami kesulitan-kesulitan, maka Anda dapat meneruskan
mempelajari modul berikutnya. Tetapi apabila Anda banyak menemukan kesulitan
dan hanya sebagian kecil saja menguasai modul ini maka sebaiknya Anda
mengulang kembali untuk mempelajarinya. Jangan segan bertanya kepada
guru/instruktur Anda dan minta bantuan untuk mendapatkan buku sumber lain
untuk menunjang materi modul
2. Anda dapat mengukur pemahaman sendiri dan hasil-hasil penilaian dalam
mengerjakan soal dan latihan, perhatikan kriteria berikut:
a. Menguasai di atas 75% dapat langsung mempelajari modul berikutnya
b. Menguasai 50% - 75% mengulang kembali mempelajari bagian-bagian yang
belumdipahami.
c. Menguasai kurang dari 50% mengulang kembali dengan mempelajari seluruh

isi uraian modul ini.

SISTIM PENILAIAN
Program keahlian

HJ. Elis Sulastri

: Teknologi

26

Mata pelajaran
Standar kompetensi
Alokasi waktu
Kompetensi dasar

: Matematika
: 9. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
pemecahan masalah.
: 24 jam

Metode penilaian

9.1. Mengidentifi- Pemberian tugas
kasi pola,
- Uraian objektif
barisan dan deret
bilangan

Penilaian
Instrumen
Nilai
- Tugas

9.2. Menerapkan
konsep barisan
dan deret
aritmatika

- Pemberian tugas
- Uraian objektif

- Tugas

9.3. Menerapkan
konsep barisan
dan deret
geometri

- Pemberian tugas
- Uraian objektif

- Tugas

Total nilai

DAFTAR PUSTAKA

Alamsyah, M.K. dkk. (2006). Matematika SMK Tingkat 2. Bandung: Armico

HJ. Elis Sulastri

27

Ket

Endang Kelanawati, Dra. Departemen Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat Jenderal
Pendidikan Dasar dan Menengah Pusat Pengembangan Penataran Guru (PPPG)
Matematika, Yogyakarta, 1998/1999.
Harahap. B. Drs, dkk. (1986). Ringkasan Matematika SMA. Jakarta: Yudistira
Kasmina, dkk. (2008). Matematika Program keahlian Teknologi, Kesehatan, dan
Pertanian untuk SMK dan MAK Kelas XI. Jakarta: Erlangga
Negoro, ST. dan Harahap B. (1998). Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia
Indonesia
Tim Matematika. (1990). Matematika Program Ilmu-ilmu Fisik untuk Sekolah
Menengah Atas. PT Klaten: PT Intan Pariwara

HJ. Elis Sulastri

28