Metode Numerik 1 Metode Numerik

Met ode Numer ik

Modul :
Per samaan Non Linier

Dr a.Dwina K.,M.Kom

Metode Numerik

1

Apa yang akan dibahas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Pendahuluan dan motivasi

Analisis Kesalahan
Persamaan Tidak Linier
Persamaan Linier Simultan
Interpolasi
Integrasi Numerik
Solusi Persamaan Differensial Biasa

Metode Numerik

2

Daftar Pustaka







Chapra, S. C. and Canale, R. P. (1991): Metode

Numerik untuk Teknik. Penerbit Universitas
Indonesia, Jakarta.
Hanselman, D. and Littlefield, B. (1997): Matlab
Bahasa Komputasi Teknis. Penerbit Andi,
Yogyakarta.
Scheid, F. (1983), Numerical Analysis, McGrawHill International Editions, Singapore.
Conte, S. D. and de Boor, C. (1993), Dasar-Dasar
Analisis Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta.

Metode Numerik

3

Pendahuluan






Metode Numerik: Teknik menyelesaikan
masalah matematika dengan
pengoperasian hitungan.
Pada umumnya mencakup sejumlah
besar kalkulasi aritmetika yang sangat
banyak dan menjenuhkan
Karena itu diperlukan bantuan komputer
untuk melaksanakannya
Metode Numerik

4

Motivasi
Kenapa diperlukan?
 Pada umumnya permasalahan dalam
sains dan teknologi digambarkan dalam
persamaan matematika
 Persamaan ini sulit diselesaikan dengan
“tangan”  analitis sehingga diperlukan
penyelesaian pendekatan  numerik

Metode Numerik

5

Penyelesaian persoalan numerik






Identifikasi masalah
Memodelkan masalah ini secara matematis
Identifikasi metode numerik yang diperlukan
untuk menyelesaikannya
Implementasi metode ini dalam komputer
Analisis hasil akhir: implementasi, metode,
model dan masalah

Metode Numerik

6

Persoalan analisis numerik






Eksistensi (ada tidaknya solusi)
Keunikan (uniqueness)
Keadaan tidak sehat (ill-conditioning)
instabilitas (instability)
Kesalahan (error)

Contoh: Persamaan kuadrat
Persamaan linier simultan
Metode Numerik

7

Angka Signifikan





7,6728  7,67
15,506  15,51
7,3600  7,4
4,27002  4,3

Metode Numerik

3 angka signifikan
4 angka signifikan
2 angka signifikan
2 angka signifikan

8









Sumber Kesalahan
Kesalahan pemodelan
contoh: penggunaan hukum Newton
asumsi benda adalah partikel
Kesalahan bawaan
contoh: kekeliruan dlm menyalin data
salah membaca skala
Ketidaktepatan data
Kesalahan pemotongan (truncation error)

Kesalahan pembulatan (round-off error)
Metode Numerik

9

Kesalahan pemotongan (i)


Kesalahan yang dihasilkan dari
penggunaan suatu aproksimasi pengganti
prosedur matematika yang eksak
Contoh: approksimasi dengan deret
Taylor
2
n

f ( x i 1 )  f ( x i )  f ( x i )

x  xi 1  xi

Kesalahan:
Metode Numerik

x
x
x
n


 f ( xi )
   f ( xi )
 Rn
1!
2!
n!

f ( n 1) ( ) ( n 1)
Rn 
x
( n  1)!

10

Kesalahan pemotongan (ii)


Aproksimasi orde ke nol (zero-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )

• Aproksimasi orde ke satu (first-order appr.)
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )

x
1!

• Aproksimasi orde ke dua (second-order appr.)
x
x2
 f  ( x i )
f ( x i  1 )  f ( x i )  f ( x i )
1!

2!

Metode Numerik

11

Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear
Dalam desain tikungan jalan lingkar, terdapat
rumusan berikut:
R

R2

R T
2

2

M

R = jari-jari kurva jalan
T = jarak tangensial = 273.935 m
M = ordinat tengah = 73.773 m

Metode Numerik

12

Mot ivasi Dar i Per samaan Non Linear (ii)
Dari suatu perhitungan tentang kebutuhan akan
produksi optimal suatu komponen struktur didapat
persamaan biaya yang dibutuhkan untuk pengadaaan
produksi dalam satu hari sebagai berikut:
C  13000 N 1  158.11 N 0.5  N  0.0025 N 2

dengan
C = biaya per hari
N = jumlah komponen yang diproduksi
Metode Numerik

13

Solusi Persamaan Non Linear (i)
1) Metode Akolade (bracketing method)
Contoh: • Metode Biseksi
(Bisection Method)
• Metode Regula Falsi
(False Position Method)
Keuntungan: selalu konvergen
Kerugian: relatif lambat konvergen
Metode Numerik

14

Solusi Persamaan Non Linear (ii)
2) Metode Terbuka
Contoh: • Iterasi Titik-Tetap
(Fix Point Iteration)
• Metode Newton-Raphson
• Metode Secant
Keuntungan: cepat konvergen
Kerugian: tidak selalu konvergen
(bisa divergen)
Metode Numerik

15

Metode Bagi Dua (i)

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 
f (a0 ) f (b0 )  0

do n = 0,1,…

m  (an  bn ) / 2

if f (a n ) f (m)  0, then

else a n  1  m , bn 1  bn

if bn 1  an 1   or
end do
Metode Numerik

an 1  an , bn 1  m

f ( m)  0

exit
16

Metode Biseksi (ii)

Metode Numerik

17

Latihan

Metode Numerik

18

Asumsi: Fungsi f(x) kontinu dalam interval a0 ,b0 

Regula Falsi (i)

f (a0 ) f (b0 )  0

w  [ f (bn ) an  f (an )bn ] /[ f (bn )  f (an )]

do n = 0,1,…

if f (an ) f ( w)  0, then

else a n  1  w , bn 1  bn
if

bn 1  an 1  

or

an 1  an , bn 1  w

f ( w)  0

exit

end do
Metode Numerik

19

Regula Falsi (i)

Metode Numerik

20

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP


Syaratnya:

f(x) = 0 dapat diubah menjadi bentuk:
x = g(x) (yang tidak unik)

Cari akar dgn pertidaksamaan rekurens:
Xk+1 = g(Xk); untuk k = 0, 1, 2, 3, …
dgn X0 asumsi awalnya, sehingga diperoleh
barisan X0, X1, X2, X3, … yang diharapkan
konvergen ke akarnya.

Jika g’(x) ε [a, b] dan g’(x) ≤ k dgn k< 1 Utk setiap
x ε [a, b] , maka titik tetap tersebut tunggal dan
iterasinya akan konvergen menuju akar

Metode Numerik

21

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP (cont’d)


Dari bentuk x = g(x), berarti akar dari f(x) tak lain
adalah perpotongan antara garis lurus y = x dan
kurva y = g(x).

Metode Numerik

22

Iterasi Titik Tetap

Metode Numerik

23

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP (lanjutan)

Metode Numerik

24

ME TODE ITE RASI TITIK TE TAP (cont’d)

Metode Numerik

25

x

Metode Numerik

n 1

 g(x )
n

26

Contoh : f(x)=x2-x-2, x*=-1 & 2
|g’(x)|>1 for |x|>0.5  no convg

|g’(x)|= -1  convg

Metode Numerik

27

ME TODE NE WTON-RAPHSON





Waktu pencarian akarnya relatif lebih cepat
dibandingkan metode lainnya.
Memanfaatkan turunan fungsi f(x) pada suatu titik P
[x1, f(x1)]
Membuat garis singgung pada titik P tsb yg
memotong sumbu x  didapat xi+1
Sampai ditemukan akarnya (sesuai batas
toleransi/error yg diberikan)

Metode Numerik

28

Gambar Grafik

Metode Numerik

29

Metode Newton-Raphson

Metode Numerik

30

ME TODE NE WTON-RAPHSON
(lanjutan)







Persamaan garis singgung melalui P [X1, f(X1)] adalah:
y – f(X1) = f ’(X1) . (X – X1)
dgn f ’(X1) : gradien garis singgung
Persamaan tsb memotong sumbu x di titik (X2, 0) maka
akan diperoleh:
0 - f(X1) = f’(X1). (X2– X1)
X2 .f’(X1) - X1.f’(X1) = - f’(X1)
X2 = X1 – [f(X1)/ f’(X1)]
artinya dengan x1 didapat x2
Setelah menghitung x2 untuk praktisnya x2 dapat menjadi
x1 yang baru dan
selanjutnya menghitung x2 yang baru dst.
Metode Numerik

31

ME TODE NE WTON-RAPHSON
(lanjutan)

Secara Rekurens, persamaan tsb dinyatakan
menjadi
Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) )
,
i = 1, 2, 3, …
f’(Xi): turunan pertama f(X) pada x = xi.
x n  x n 1
ea 
 100%  100% (dalam %)
xn

Proses ini diteruskan sampai kesalahan

Metode Numerik

32

Algoritma Newton Raphson







Tahap Awal. Tentukan f(x), f ’(x), x1 , emax , imax
Tahap
1. Hitung Xi+1= Xi – (f(X1)/ f’(X1) )
2. x2 mengganti x1 ,
3. Kembali ke 1 menghitung x2 yang baru
Iterasi berhenti bila kesalahan
x n  x n 1
ea 
 100 %  100 % (dalam %)
xn
maka x2 terakir sebagai akar pendekatan
Bila jumlah iterasi mencapai imax , iterasi dihentikan,
perlu evaluasi

Metode Numerik

33

Cont oh

Metode Numerik

x3  4x 2  x  4  0

34

Metode Numerik

35

Metode Numerik

36

Metode Numerik

37

Met ode Secant
• Seperti pada Regula Falsi dengan rumusan yang sama,
hanya x1 dan x2 tidak harus mengurung akar.
x1 dan x2 disebut sebagai taksiran awal.

Perbedaannya adalah x3 akan menggantikan x2 dan x2
menggantikan x1 selanjutnya dihitung x3 yang baru,
Proses diulangi sampai kesalahan

Metode Numerik

38

Met ode Secant

Metode Numerik

39

Algor it ma

Metode Numerik

40

Cont oh

x  4x  x  4  0
3

Metode Numerik

2

dalam interval [0 ,2]

41

Metode Numerik

42

Metode Numerik

43