Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:
Владикавказский математический журнал
2010, Том 12, Выпуск 3, С. 21–29
УДК 517.983
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА
С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ СИМВОЛАМИ1
А. В. Гиль, В. А. Ногин
Получены необходимые и достаточные условия ограниченности многомерных операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенности на единичной сфере, действующие из H p в H q , из BM O
в L∞ , из L1 в H 1 и из BM O в BM O.
Ключевые слова: свертка, осциллирующий символ, ВМО, H p − H q оценки, мультипликатор, обобщенная функция, оператор типа потенциала.
1. Введение
В работе получены H p − H q оценки, 0 < p 6 1, p 6 q < ∞, для многомерного
оператора свертки
Z
¡ β ¢
Sθ,+ ϕ (x) =
sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
(1)
1−δ6|y|61
где
¡
¢β−1
sβθ,+ (y) = θ(|y|) 1 − |y|2 + ,
0 < β < 1,
δ > 0,
θ(1) 6= 0.
Здесь θ(r) — гладкая функция, называемая характеристикой оператора K θβ .
Для операторов (1) установлены также BM O − L∞ , L1 − H 1 и BM O − BM O оценки.
Заметим, что символ оператора (1) осциллирует на бесконечности, что существенно
используется при доказательстве соответствующих теорем. Для получения указанных
результатов, в статье развивается новый метод, основанный на получении специальных
представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим
интегралам метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для «модельных» мультипликаторов
¡ 2 ¢ −b ±i|ξ|
m±
e
, b > 0,
(2)
b (|ξ|) = v |ξ| |ξ|
где v(r) ∈ C ∞ (0, ∞) такова, что v(r) = 0, если r 6 1, v(r) = 1, если r > 2 и 0 6 v(r) 6 1.
Отметим также, что указанные оценки были установлены ранее только для мультипликаторных операторов (см., например, [1, 2]). Получить их в ситуации, когда оператор
изначально задается как оператор свертки, — такая ситуация намного труднее — удалось
благодаря описанному выше методу.
Заметим еще, что Lp − Lq оценки для оператора (1), 1 6 p < ∞, были получены
в [3, 4].
c 2010 Гиль А. В, Ногин В. А.
°
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329 a, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, госконтракт
№ 02.740.11.5024.
1
22
Гиль А. В, Ногин В. А.
2. Вспомогательные сведения
2.1. Обозначения.
R Всюду ниже используются следующие обозначения:
(F f )(ξ) := fˆ(ξ) := Rn f (x) eiξx dx — преобразование Фурье функции f ;
(F −1 f )(ξ) := f˜(ξ) := (2π)−n (F f )(−ξ) — обратное преобразование Фурье;
S — класс Шварца быстро убывающих гладких функций;
S ′ — пространство обобщенных функций медленного роста.
2.2. Некоторые пространства функций и распределений. Через H p = H p (Rn ),
0 < p 6 1, обозначим множество всех S ′ -распределений таких, что
¯
¯
f + (x) = sup ¯(f ∗ ϕε )(x)¯ ∈ Lp ,
0 (n − 1)/2;
±
1
1
c) mb (|ξ|) ∈ M (L , H ) = M (BM O, L∞ ) ⇔ b > (n − 1)/2.
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
23
¤
£
Теорема 2 [8, с. 163–171]. Пусть 0 < p 6 2 и k = n( p1 − 12 ) + 1. Если m ограниченная
¡
¢|α|
функция класса C k (Rn \ {0}) и |D α m(ξ)| 6 A|ξ|−1 , при |α| 6 k и A > 1, то m ∈
M (H p , H p ) и kmkM (H p ,H p ) 6 C An(1/p−1/2) .
2.4. Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя Jν (z).
Пусть −π/2 < α < π/2. Представляя Jν (z) в виде линейной комбинации функции Ганке(1)
(2)
ля H±ν (z) и H±ν (z) (где берется +ν, если ν > −1/2 и −ν в противном случае) и применяя
результаты [9, с. 220], получаем равенство
"
¶#
¶
µX
µX
N
N
³ πz ´−1/2
(ν) −l
(ν)
(ν) −l
(ν)
iz
−iz
Cl,+ z + RN,+ (z) , (5)
Cl,− z + RN,− (z) + e
e
Jν (z) =
2
l=0
l=0
(ν)
где C0,± =
1
2
e∓(iπ/4)(2ν+1) ,
(ν)
RN,± (z) =
(ν)
QN,± (z)
=
Z1
N
(1 − t) dt
0
±
BN
(ν)
· QN,± (z),
z N +1
(6)
∞·exp
Z (iα)
0
³
´ν−N − 3
u
2
du.
e−u uν+N +1/2 1 − ±2iz
t
(7)
2.5. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного
в [10], показывает, что справедлива следующая
Лемма 1. Пусть β > 0, f (x) ∈ C ∞ ([0, a]) и f (j) (a) = 0 (j = 0, 1, . . . ). Тогда
Za
−β
xβ−1 f (x) e±iλx dx = a±
+ W1±,β (λ),
βλ
λ > 1,
β
a±
β = f (0) Γ(β)(±i) ;
(8)
0
¯³
´(j) ¯¯
¯
¯ 6 C ±,j /λ1+β+j ,
¯ W ±,β (λ)
1
¯
¯
λ > 1,
j = 1, 2, . . . ,
(9)
постоянные C ±,j не зависят от λ.
β
3. H p − H q оценки для оператора Sθ,+
На
³
1 1
p, q
´
-плоскости рассмотрим множество:
¶
¾
1 1
n 1
: 0 < p 6 1, p 6 q < ∞, + > 1,
L (β, n) =
− 6 β + (n − 1) .
p q
p q
³
´
Через H (K) обозначим множество всех пар p1 , 1q , для которых kKkK (H p ,H q ) < ∞.
Основным результатом статьи является следующая
Теорема 3. Справедливо вложение
¡ β ¢
L (β, n) ⊂ H Sθ,+
.
(10)
½µ
1 1
,
p q
β
⊳ Представим оператор Sθ,+
в виде
¡
¢
¡ β,1 ¢
¡ β,2 ¢
β
Sθ,+
ϕ (x) = Sθ,+
ϕ (x) + Sθ,+
ϕ (x),
(11)
24
Гиль А. В, Ногин В. А.
где
¡
β,1 ¢
Sθ,+
ϕ (x)
¡ β,2 ¢
Sθ,+ ϕ (x) =
Z
=
ω(|y|) sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
1−δ6|y|61
Z
1−δ6|y|61
¡
¢
1 − ω(|y|) sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
функция ω(r) ∈ C ∞ (0, ∞) такова, что 0 6 ω(r) 6 1, ω(r) = 0, если r ∈
/ (1 − δ, 1 + δ) и
ω(r) = 1, если r ∈ [1 − δ/2, 1 + δ/2], 0 < δ < 1.
Вначале докажем вложение
¡ β,1 ¢
L (β, n) ⊂ H Sθ,+
.
(12)
Изложим схему доказательства вложения (12). Допустим мы доказали, что
¶
µ
1 1
β
p
q
,
∈ L (β, n).
ω(|y|) sθ,+ (|y|) ∈ K (H , H ),
p q
\
Заметим, что функция mβ,θ (ξ) = (ω · sβθ,+ )(ξ) является мультипликатором в S . (Это видно из равенства (15).) Тогда оператор (1) определен на всем S ′ (поскольку ω(|y|) sβθ,+ (|y|)
является свертывателем в S ) и, следовательно, на всем H p . Как показано в [2] (см. замечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство
µ
¶
°
°
° β,1 °
1 1
°S ϕ° q 6 °ω · sβ °
p
∈ L (β, n),
(13)
,
θ,+ K (H p ,H q ) kϕkH ,
θ,+
H
p q
справедливо°для всех° ϕ ∈ H p . Из °(13) вытекает
(12).
°
β °
°
°
°
Так как ω · sθ,+ K (H p ,H q ) = mβ,θ M (H p ,H q ) , то (13) (а вместе с ним и (12)) будет
следовать из соотношения
µ
¶
1 1
p
q
mβ,θ (ξ) ∈ M (H , H ),
∈ L (β, n).
(14)
,
p q
Докажем (14). Запишем mβ,θ (ξ) в виде
mβ,θ (ξ) =
Z1
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
θ(ρ) ω(ρ) dρ
1−δ
¡
Z
eiρ(ξ·σ) dσ.
(15)
S n−1
¢
Имеем mβ,θ (ξ) = 1 − v(|ξ|2 ) mβ,θ (ξ) + v(|ξ|2 ) mβ,θ (ξ) ≡ m0β,θ (ξ) + m∞
β,θ (ξ). Заметим, что
m0β,θ (ξ) ∈ M (H p , H q ),
0 < p 6 1,
0 < p 6 q < ∞.
(16)
Действительно, m0β,θ (ξ) ∈ M (H p , H p ), 0 < p 6 1, по теореме 2. Так как m0β,θ (ξ) ∈ S , то
m0β,θ (ξ) ∈ M (L1 , Lq ), 1 < q < ∞. Тогда, в силу вложения H 1 ⊂ L1 [6, с. 112], m0β,θ (ξ) ∈
M (H 1 , Lq ), 1 < q < ∞. Пользуясь соображениями выпуклости, получаем (16).
Рассмотрим m∞
β,θ (ξ). Применив формулу:
Z
S n−1
n
ei(x·σ) dσ =
(2π) 2
J n −1 (|x|),
n
|x| 2 −1 2
(17)
25
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
¤
£
+ 1, получаем
и формулу (5) с N = n+1
2
m∞
β,θ (ξ) =
N ³
X
k=0
´
β,k,+
hβ,k,−
(|ξ|)
+
h
(|ξ|)
+ R1β,N,− (|ξ|) + R1β,N,+ (|ξ|),
1
1
где
(|ξ|)
hβ,k,±
1
=
gk (ρ) = γk,± ρ
R1β,N,± (|ξ|)
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
Z1
(1 − ρ)β−1 gk (ρ) e±iρ|ξ| dρ,
0 6 k 6 N,
(18)
1−δ
n−1
−k
2
(1 + ρ)β−1 θ(ρ) ω(ρ),
γN +1,± v(|ξ|2 )
·
=
n−1
γ0,±
|ξ| 2
Z1
γ0,± = (2π)
n−1
2
iπ
e∓ 4 (n−1) ,
( n−2 )
(1 − ρ)β−1 g0 (ρ) e±iρ|ξ| RN,±2 (ρ|ξ|) dρ.
(19)
1−δ
Рассмотрим мультипликатор (18). После замены 1 − ρ = τ получаем
(|ξ|)
hβ,k,±
1
=
e±i|ξ| v(|ξ|2 )
n−1
+k
2
|ξ|
Zδ
τ β−1 gk (1 − τ ) e∓i|ξ|τ dτ.
(20)
0
Пусть функция v˜(|ξ|2 ) такова, что v˜(r) ∈ C ∞ (0, ∞), v˜(r) = 0, если r 6 1, v˜(r) = 1,
если r > 2 и 0 6 v˜(r) 6 1. Тогда v(r 2 ) v˜(r 2 ) = v(r 2 ). Преобразуем мультипликатор (20),
используя лемму 1. С учетом (8), будем иметь
´
¡ ¢³
1−n
∓,β
β
hβ,k,±
(|ξ|) = v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ| 2 −k−β · v˜ |ξ|2 ak,∓
1
β + |ξ| W1 (|ξ|) ,
где ak,∓
= γk,± θ(1) (∓i)β Γ(β) и для W1∓,β (|ξ|) справедливо неравенство (9).
β
Заметим, что
1−n
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ| 2 −β ∈ M (H p , H q )
по теореме 1 (a), если (1/p, 1/q) ∈ L (β, n). Кроме того,
´
¡ ¢³
∓,β
β
v˜ |ξ|2 ak,∓
(|ξ|)
∈ M (H p , H p ),
+
|ξ|
W
1
β
0 < p 6 1,
по теореме 2 и является мультипликатором в S . Тогда
hβ,0,±
(|ξ|) ∈ M (H p , H q ),
1
если (1/p, 1/q) ∈ L (β, n).
(|ξ|) ∈ M (H p , H q ), 1 6 k 6 N , если (1/p, 1/q) ∈
Аналогично доказывается, что hβ,k,±
1
L (β + 1, n).
Рассмотрим (19). После замены 1 − ρ = τ и с учетом равенства (6), получаем
R1β,N,± (|ξ|)
=
± ±i|ξ|
BN
e
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+N +1
2
Zδ
0
¢
( n−2 ) ¡
τ β−1 gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ.
Применяя лемму 1, будем иметь
±
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|
R1β,N,± (|ξ|) = BN
1−n
−N −1−β
2
´
¡ ¢³ +1,∓
∓,β
β
· v˜ |ξ|2 aN
(|ξ|)
+
|ξ|
W
(|ξ|)
,
1
β
26
Гиль А. В, Ногин В. А.
( n−2 )
( n−2 )
+1,∓
где aN
(|ξ|) = γN +1,± θ(1) (∓i)β Γ(β) QN,±2 (|ξ|), а QN,±2 (z) имеет вид (7). Тогда
β
±
BN
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|−
n+1
−N −β
2
∈ M (H p , H q ),
если (1/p, 1/q) ∈ L (β + 1, n), по теореме 1 (а). Применяя теорему 2, имеем
´
¡ ¢³ +1,∓
v˜ |ξ|2 aN
(|ξ|) + |ξ|β W1∓,β (|ξ|) ∈ M (H p , H p ),
β
0 < p 6 1. Кроме того, эта функция является мультипликатором в S . Тогда R 1β,N,± (|ξ|) ∈
M (H p , H q ), если (1/p, 1/q) ∈ L (β + 1, n).
Резюмируя сказанное, получаем, что
p
q
m∞
β,θ (ξ) ∈ M (H , H ),
(1/p, 1/q) ∈ L (β, n),
откуда, с учетом (16), следует (14).
Докажем вложение
β,2
L (β, n) ⊂ H (Sθ,+
).
(21)
β,2
Обозначим через mβθ,+ (y) ядро оператора Sθ,+
. Очевидно, что
¡
¢
mβθ,+ (y) ≡ 1 − ω(|y|) sβθ,+ (y) ∈ C0∞ .
Тогда,
[
mβθ,+ (ξ) ∈ M (H p , H p ),
0 < p 6 1.
(22)
[
mβθ,+ (ξ) ∈ M (H 1 , Lq ),
1 < q < ∞.
(23)
Покажем далее, что
Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем mβθ,+ (y) ∈ K (Lq , L∞ ), 1 < q ′ < ∞. То′
гда, в силу вложения L∞ ⊂ BM O и, с учетом равенства K (Lq , BM O) = K (H 1 , Lq ),
1/q ′ + 1/q = 1, получаем (23). Из (22) и (23), используя соображения выпуклости, получаем (21). Из (12) и (21) следует (10). ⊲
′
Замечание. Используя идею доказательства точности H p − H q оценок (0 < p 6 1)
для мультипликаторного оператора с символом (2), применявшуюся в [2], можно показать, что знак вложения в (10) можно заменить знаком равенства.
Из доказанной выше ограниченности оператора (1) в пространстве H 1 вытекает
Теорема 4. Оператор (1) ограничен в пространстве BM O.
4. L1 − H 1 и BM O − L∞ оценки для оператора (1)
Представляет интерес вопрос об ограниченности оператора (1) из X в Y в случае,
когда Y ⊂ X. Здесь, мы получим оценки для этого оператора из L1 в H 1 и из BM O
в L∞ .
Теорема 5. Пусть
Z1
ρn−1 (1 − ρ2 )β−1 θ(ρ) dρ = 0.
(24)
1−δ
Тогда оператор
β
Sθ,+
ограничен из L1 в H 1 и из BM O в L∞ .
27
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
⊳ Докажем, что
d
sβθ,+ (ξ) ∈ M (L1 , H 1 ) = M (BM O, L∞ ).
(25)
Тогда, с учетом (4) и замечания 2.3 из [2], получаем
° β °
°S ϕ° 1 6 ksβ kK (L1 ,H 1 ) kϕkL1 ,
θ,+
θ,+
H
β
т. е. оператор Sθ,+
ограничен из L1 в H 1 и, в силу (25), — из BM O в L∞ .
Преобразование Фурье ядра sβθ,+ :
d
sβθ,+ (ξ) =
Z1
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
θ(ρ) dρ
1−δ
Z
eiρ(ξ·σ) dσ,
S n−1
¡
¢d
d
d
d
d
β,∞
запишем в виде sβθ,+ (ξ) = 1 − v(|ξ|2 ) sβθ,+ (ξ) + v(|ξ|2 ) sβθ,+ (ξ) ≡ sβ,0
θ,+ (ξ) + sθ,+ (ξ), где
функция v(r) описана во введении.
Покажем, что
d
1
1
sβ,∞
(26)
θ,+ (ξ) ∈ M (L , H ).
d
d
d
d
β,∞
β,∞
β,∞
2
Имеем sβ,∞
θ,+ (ξ) = sθ,1 (ξ) + sθ,2 (ξ), sθ,1 (ξ) = v(|ξ| ) mβ,θ (ξ), где mβ,θ (ξ) — функция (15),
Z1
d
2
sβ,∞
θ,2 (ξ) = v(|ξ| )
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
(1 − ω(ρ)) θ(ρ) dρ
1−δ
Z
eiρ(ξ·σ) dσ;
S n−1
функция ω(r) описана в § 3.
d
Повторяя выкладки, приведенные в § 3 для sβ,∞
θ,1 (ξ) и применяя теорему 1 (c), получаем
d
1
1
sβ,∞
(27)
θ,1 (ξ) ∈ M (L , H ).
£n¤
d
Применив далее к sβ,∞
θ,2 (ξ) формулу (17), а затем формулу (5) с N = 2 + 1, будем иметь
N
X¡
¢
d
+
−
+
h−
sβ,∞
(ξ)
=
β,k (|ξ|) + hβ,k (|ξ|) + Rβ,N (|ξ|) + Rβ,N (|ξ|),
θ,2
k=0
где
h±
β,k (|ξ|) =
gk (ρ) = γk,± ρ
n−1
−k
2
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
1−δ/2
Z
gk (ρ) e±iρ|ξ| dρ,
(28)
0 6 k 6 N,
1−δ
(1 − ρ2 )β−1 (1 − ω(ρ)) θ(ρ),
γN +1,± v(|ξ|2 )
±
·
Rβ,N
(|ξ|) =
n−1
γ0,±
|ξ| 2
γ0,± = (2π)
n−1
2
iπ
e∓ 4 (n−1) ,
1−δ/2
Z
( n−2 )
g0 (ρ) e±iρ|ξ| RN,±2 (ρ|ξ|) dρ.
(29)
1−δ
Рассмотрим мультипликаторы (28). После замены 1 − ρ = τ получаем
h±
β,k (|ξ|)
=
e±i|ξ| v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
Zδ
δ/2
gk (1 − τ ) e∓i|ξ|τ dτ.
(30)
28
Гиль А. В, Ногин В. А.
Проинтегрировав по частям интеграл в (30) l + 1 раз, будем иметь
µ
(±i)2 gk′ (1 − δ)
e±i(1−δ)|ξ| v(|ξ|2 ) ¡ 2 ¢
±
hβ,k (|ξ|) =
+
·
v
˜
|ξ|
(±i)g
(1
−
δ)
+
k
n−1
|ξ|
|ξ| 2 +1+k
¶
Zδ
(l)
(±i)l+1 gk (1 − δ) (±i)l+1
(l+1)
∓i|ξ|(τ −δ)
gk
(1 − τ ) e
dτ .
+
... +
|ξ|l
|ξ|l
(31)
δ/2
Положим l =
£n¤
2
+ 1. Заметим, что
v(|ξ|2 ) e±i(1−δ)|ξ| · |ξ|
1−n
−1−k
2
∈ M (L1 , H 1 )
по теореме 1 (c). Кроме того, второй множитель в (31) принадлежит M (H 1 , H 1 ) по тео1
1
реме 2. Тогда h±
β,k (|ξ|) ∈ M (L , H ).
Рассмотрим (29). После замены 1 − ρ = τ и с учетом равенства (6), имеем
±
(|ξ|) =
Rβ,N
Zδ
± ±i|ξ|
BN
e
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+N +1
2
δ/2
¢
( n−2 ) ¡
gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ.
Заметим, что
±
BN
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|
1−n
2
−1
∈ M (L1 , H 1 )
по теореме 1 (c) и
v˜(|ξ|2 )
|ξ|N
Zδ
δ/2
¢
( n−2 ) ¡
gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ ∈ M (H 1 , H 1 )
±
также по теореме 2. Тогда Rβ,N
(|ξ|) ∈ M (H 1 , H 1 ).
Резюмируя сказанное, получаем
Из (27) и (32), следует (26).
Покажем теперь, что
d
1
1
sβ,∞
θ,2 (ξ) ∈ M (H , H ).
´
³
β,0
−1 d
sβ,0
(x)
≡
F
s
(ξ)
(x) ∈ K (BM O, L∞ ),
θ,+
θ,+
(32)
(33)
тогда из (33) и (25) будет следовать, что
Заметим, что sβ,0
θ,+ (x) ∈ S
d
∞
sβ,0
θ,+ (ξ) ∈ M (BM O, L ).
¯ n−1 ¯
d
¯
¯
sβ,0
θ,+ (0) = S
Z1
1−δ
1
в силу (24). Тогда sβ,0
θ,+ (x) ∈ H .
ρn−1 (1 − ρ2 )β−1 θ(ρ) dρ = 0
(34)
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
29
Далее, с учетом (3) и инвариантности нормы в пространстве BM O(Rn ) относительно
сдвига, имеем
°
°
° β,0
°
β,0
β,0
(35)
°(sθ,+ ∗ ϕ)(x)° ∞ 6 ksθ,+ kH 1 kϕ(x − ·)kBM O = ksθ,+ kH 1 kϕkBM O .
L
Из (35) следует (33) и, следовательно, (34). ⊲
Замечание 2. Легко видеть, что условие (24) является необходимым для ограниβ
ченности оператора Sθ,+
из L1 в H 1 и из BM O в L∞ .
Литература
1. Miyachi A. Notes on Fourier multipliers for H p , BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo. Sec. IA Math.—1983.—Vol. 30, № 2.—P. 221–242.
2. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA.—1981.—Vol. 28.—
P. 267–315.
3. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L -characteristic of some potential-type operators with radial
kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2001.—Vol. 4,
№ 3.—P. 343–366.
4. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundness of some potential-type operators with oscillating
kernels // Math. Nachr.—2005.—Vol. 278, № 5.—P. 554–574.
5. Fefferman C. L., Stein E. M. H p -spaces of several variables // Acta Math.—1972.—Vol. 129.—P. 137–193.
6. Stein E. M. Harmonic analysis: Real-variable method, orthogonality, and oscillatory integrals.—Princeton: NJ. Princeton Univ. Press, 1993.—695 p.
7. Fefferman C. L. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc.—1971.—
Vol. 77.—P. 587–588.
8. Calderon A. P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution, II // Adv.
in Math.—1977.—Vol. 24, № 2.—P. 101–171.
9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.—798 с.
10. Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Hаука, 1977.—368 с.
Статья поступила 20 ноября 2009 г.
Гиль Алексей Викторович
Южный федеральный университет,
ассистент кафедры дифференц. и интегр. уравнений
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а
E-mail: [email protected]
Ногин Владимир Александрович
Южный федеральный университет,
доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,
старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа
E-mail: [email protected]
ESTIMATES FOR SOME POTENTIAL-TYPE OPERATORS
WITH OSCILLATING SYMBOLS
Gil A. V., Nogin V. A.
In the framework of Hardy spaces H p , we study multidimensional potential-type operators whose kernels
have singularities on the unit sphere. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators
to be bounded from H p to H q , from BM O to L∞ , from L1 to H 1 or from BM O to BM O.
Key words: convolution, oscillating symbol, BMO, H p −H q -estimates, multiplier, distribution, potentialtype operator.
2010, Том 12, Выпуск 3, С. 21–29
УДК 517.983
ОЦЕНКИ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ ОПЕРАТОРОВ ТИПА ПОТЕНЦИАЛА
С ОСЦИЛЛИРУЮЩИМИ СИМВОЛАМИ1
А. В. Гиль, В. А. Ногин
Получены необходимые и достаточные условия ограниченности многомерных операторов типа потенциала с ядрами, имеющими особенности на единичной сфере, действующие из H p в H q , из BM O
в L∞ , из L1 в H 1 и из BM O в BM O.
Ключевые слова: свертка, осциллирующий символ, ВМО, H p − H q оценки, мультипликатор, обобщенная функция, оператор типа потенциала.
1. Введение
В работе получены H p − H q оценки, 0 < p 6 1, p 6 q < ∞, для многомерного
оператора свертки
Z
¡ β ¢
Sθ,+ ϕ (x) =
sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
(1)
1−δ6|y|61
где
¡
¢β−1
sβθ,+ (y) = θ(|y|) 1 − |y|2 + ,
0 < β < 1,
δ > 0,
θ(1) 6= 0.
Здесь θ(r) — гладкая функция, называемая характеристикой оператора K θβ .
Для операторов (1) установлены также BM O − L∞ , L1 − H 1 и BM O − BM O оценки.
Заметим, что символ оператора (1) осциллирует на бесконечности, что существенно
используется при доказательстве соответствующих теорем. Для получения указанных
результатов, в статье развивается новый метод, основанный на получении специальных
представлений для символов рассматриваемых операторов в виде суммы некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту, с последующим применением к этим
интегралам метода стационарной фазы и результатов A. Miyachi для «модельных» мультипликаторов
¡ 2 ¢ −b ±i|ξ|
m±
e
, b > 0,
(2)
b (|ξ|) = v |ξ| |ξ|
где v(r) ∈ C ∞ (0, ∞) такова, что v(r) = 0, если r 6 1, v(r) = 1, если r > 2 и 0 6 v(r) 6 1.
Отметим также, что указанные оценки были установлены ранее только для мультипликаторных операторов (см., например, [1, 2]). Получить их в ситуации, когда оператор
изначально задается как оператор свертки, — такая ситуация намного труднее — удалось
благодаря описанному выше методу.
Заметим еще, что Lp − Lq оценки для оператора (1), 1 6 p < ∞, были получены
в [3, 4].
c 2010 Гиль А. В, Ногин В. А.
°
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329 a, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009–2013 годы, госконтракт
№ 02.740.11.5024.
1
22
Гиль А. В, Ногин В. А.
2. Вспомогательные сведения
2.1. Обозначения.
R Всюду ниже используются следующие обозначения:
(F f )(ξ) := fˆ(ξ) := Rn f (x) eiξx dx — преобразование Фурье функции f ;
(F −1 f )(ξ) := f˜(ξ) := (2π)−n (F f )(−ξ) — обратное преобразование Фурье;
S — класс Шварца быстро убывающих гладких функций;
S ′ — пространство обобщенных функций медленного роста.
2.2. Некоторые пространства функций и распределений. Через H p = H p (Rn ),
0 < p 6 1, обозначим множество всех S ′ -распределений таких, что
¯
¯
f + (x) = sup ¯(f ∗ ϕε )(x)¯ ∈ Lp ,
0 (n − 1)/2;
±
1
1
c) mb (|ξ|) ∈ M (L , H ) = M (BM O, L∞ ) ⇔ b > (n − 1)/2.
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
23
¤
£
Теорема 2 [8, с. 163–171]. Пусть 0 < p 6 2 и k = n( p1 − 12 ) + 1. Если m ограниченная
¡
¢|α|
функция класса C k (Rn \ {0}) и |D α m(ξ)| 6 A|ξ|−1 , при |α| 6 k и A > 1, то m ∈
M (H p , H p ) и kmkM (H p ,H p ) 6 C An(1/p−1/2) .
2.4. Равномерное асимптотическое разложение функции Бесселя Jν (z).
Пусть −π/2 < α < π/2. Представляя Jν (z) в виде линейной комбинации функции Ганке(1)
(2)
ля H±ν (z) и H±ν (z) (где берется +ν, если ν > −1/2 и −ν в противном случае) и применяя
результаты [9, с. 220], получаем равенство
"
¶#
¶
µX
µX
N
N
³ πz ´−1/2
(ν) −l
(ν)
(ν) −l
(ν)
iz
−iz
Cl,+ z + RN,+ (z) , (5)
Cl,− z + RN,− (z) + e
e
Jν (z) =
2
l=0
l=0
(ν)
где C0,± =
1
2
e∓(iπ/4)(2ν+1) ,
(ν)
RN,± (z) =
(ν)
QN,± (z)
=
Z1
N
(1 − t) dt
0
±
BN
(ν)
· QN,± (z),
z N +1
(6)
∞·exp
Z (iα)
0
³
´ν−N − 3
u
2
du.
e−u uν+N +1/2 1 − ±2iz
t
(7)
2.5. Асимптотическое разложение некоторых интегралов, содержащих осциллирующую экспоненту. Анализ доказательства леммы Эрдейи, приведенного
в [10], показывает, что справедлива следующая
Лемма 1. Пусть β > 0, f (x) ∈ C ∞ ([0, a]) и f (j) (a) = 0 (j = 0, 1, . . . ). Тогда
Za
−β
xβ−1 f (x) e±iλx dx = a±
+ W1±,β (λ),
βλ
λ > 1,
β
a±
β = f (0) Γ(β)(±i) ;
(8)
0
¯³
´(j) ¯¯
¯
¯ 6 C ±,j /λ1+β+j ,
¯ W ±,β (λ)
1
¯
¯
λ > 1,
j = 1, 2, . . . ,
(9)
постоянные C ±,j не зависят от λ.
β
3. H p − H q оценки для оператора Sθ,+
На
³
1 1
p, q
´
-плоскости рассмотрим множество:
¶
¾
1 1
n 1
: 0 < p 6 1, p 6 q < ∞, + > 1,
L (β, n) =
− 6 β + (n − 1) .
p q
p q
³
´
Через H (K) обозначим множество всех пар p1 , 1q , для которых kKkK (H p ,H q ) < ∞.
Основным результатом статьи является следующая
Теорема 3. Справедливо вложение
¡ β ¢
L (β, n) ⊂ H Sθ,+
.
(10)
½µ
1 1
,
p q
β
⊳ Представим оператор Sθ,+
в виде
¡
¢
¡ β,1 ¢
¡ β,2 ¢
β
Sθ,+
ϕ (x) = Sθ,+
ϕ (x) + Sθ,+
ϕ (x),
(11)
24
Гиль А. В, Ногин В. А.
где
¡
β,1 ¢
Sθ,+
ϕ (x)
¡ β,2 ¢
Sθ,+ ϕ (x) =
Z
=
ω(|y|) sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
1−δ6|y|61
Z
1−δ6|y|61
¡
¢
1 − ω(|y|) sβθ,+ (y) ϕ(x − y) dx,
функция ω(r) ∈ C ∞ (0, ∞) такова, что 0 6 ω(r) 6 1, ω(r) = 0, если r ∈
/ (1 − δ, 1 + δ) и
ω(r) = 1, если r ∈ [1 − δ/2, 1 + δ/2], 0 < δ < 1.
Вначале докажем вложение
¡ β,1 ¢
L (β, n) ⊂ H Sθ,+
.
(12)
Изложим схему доказательства вложения (12). Допустим мы доказали, что
¶
µ
1 1
β
p
q
,
∈ L (β, n).
ω(|y|) sθ,+ (|y|) ∈ K (H , H ),
p q
\
Заметим, что функция mβ,θ (ξ) = (ω · sβθ,+ )(ξ) является мультипликатором в S . (Это видно из равенства (15).) Тогда оператор (1) определен на всем S ′ (поскольку ω(|y|) sβθ,+ (|y|)
является свертывателем в S ) и, следовательно, на всем H p . Как показано в [2] (см. замечание 2.3.), при выполнении указанных условий неравенство
µ
¶
°
°
° β,1 °
1 1
°S ϕ° q 6 °ω · sβ °
p
∈ L (β, n),
(13)
,
θ,+ K (H p ,H q ) kϕkH ,
θ,+
H
p q
справедливо°для всех° ϕ ∈ H p . Из °(13) вытекает
(12).
°
β °
°
°
°
Так как ω · sθ,+ K (H p ,H q ) = mβ,θ M (H p ,H q ) , то (13) (а вместе с ним и (12)) будет
следовать из соотношения
µ
¶
1 1
p
q
mβ,θ (ξ) ∈ M (H , H ),
∈ L (β, n).
(14)
,
p q
Докажем (14). Запишем mβ,θ (ξ) в виде
mβ,θ (ξ) =
Z1
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
θ(ρ) ω(ρ) dρ
1−δ
¡
Z
eiρ(ξ·σ) dσ.
(15)
S n−1
¢
Имеем mβ,θ (ξ) = 1 − v(|ξ|2 ) mβ,θ (ξ) + v(|ξ|2 ) mβ,θ (ξ) ≡ m0β,θ (ξ) + m∞
β,θ (ξ). Заметим, что
m0β,θ (ξ) ∈ M (H p , H q ),
0 < p 6 1,
0 < p 6 q < ∞.
(16)
Действительно, m0β,θ (ξ) ∈ M (H p , H p ), 0 < p 6 1, по теореме 2. Так как m0β,θ (ξ) ∈ S , то
m0β,θ (ξ) ∈ M (L1 , Lq ), 1 < q < ∞. Тогда, в силу вложения H 1 ⊂ L1 [6, с. 112], m0β,θ (ξ) ∈
M (H 1 , Lq ), 1 < q < ∞. Пользуясь соображениями выпуклости, получаем (16).
Рассмотрим m∞
β,θ (ξ). Применив формулу:
Z
S n−1
n
ei(x·σ) dσ =
(2π) 2
J n −1 (|x|),
n
|x| 2 −1 2
(17)
25
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
¤
£
+ 1, получаем
и формулу (5) с N = n+1
2
m∞
β,θ (ξ) =
N ³
X
k=0
´
β,k,+
hβ,k,−
(|ξ|)
+
h
(|ξ|)
+ R1β,N,− (|ξ|) + R1β,N,+ (|ξ|),
1
1
где
(|ξ|)
hβ,k,±
1
=
gk (ρ) = γk,± ρ
R1β,N,± (|ξ|)
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
Z1
(1 − ρ)β−1 gk (ρ) e±iρ|ξ| dρ,
0 6 k 6 N,
(18)
1−δ
n−1
−k
2
(1 + ρ)β−1 θ(ρ) ω(ρ),
γN +1,± v(|ξ|2 )
·
=
n−1
γ0,±
|ξ| 2
Z1
γ0,± = (2π)
n−1
2
iπ
e∓ 4 (n−1) ,
( n−2 )
(1 − ρ)β−1 g0 (ρ) e±iρ|ξ| RN,±2 (ρ|ξ|) dρ.
(19)
1−δ
Рассмотрим мультипликатор (18). После замены 1 − ρ = τ получаем
(|ξ|)
hβ,k,±
1
=
e±i|ξ| v(|ξ|2 )
n−1
+k
2
|ξ|
Zδ
τ β−1 gk (1 − τ ) e∓i|ξ|τ dτ.
(20)
0
Пусть функция v˜(|ξ|2 ) такова, что v˜(r) ∈ C ∞ (0, ∞), v˜(r) = 0, если r 6 1, v˜(r) = 1,
если r > 2 и 0 6 v˜(r) 6 1. Тогда v(r 2 ) v˜(r 2 ) = v(r 2 ). Преобразуем мультипликатор (20),
используя лемму 1. С учетом (8), будем иметь
´
¡ ¢³
1−n
∓,β
β
hβ,k,±
(|ξ|) = v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ| 2 −k−β · v˜ |ξ|2 ak,∓
1
β + |ξ| W1 (|ξ|) ,
где ak,∓
= γk,± θ(1) (∓i)β Γ(β) и для W1∓,β (|ξ|) справедливо неравенство (9).
β
Заметим, что
1−n
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ| 2 −β ∈ M (H p , H q )
по теореме 1 (a), если (1/p, 1/q) ∈ L (β, n). Кроме того,
´
¡ ¢³
∓,β
β
v˜ |ξ|2 ak,∓
(|ξ|)
∈ M (H p , H p ),
+
|ξ|
W
1
β
0 < p 6 1,
по теореме 2 и является мультипликатором в S . Тогда
hβ,0,±
(|ξ|) ∈ M (H p , H q ),
1
если (1/p, 1/q) ∈ L (β, n).
(|ξ|) ∈ M (H p , H q ), 1 6 k 6 N , если (1/p, 1/q) ∈
Аналогично доказывается, что hβ,k,±
1
L (β + 1, n).
Рассмотрим (19). После замены 1 − ρ = τ и с учетом равенства (6), получаем
R1β,N,± (|ξ|)
=
± ±i|ξ|
BN
e
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+N +1
2
Zδ
0
¢
( n−2 ) ¡
τ β−1 gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ.
Применяя лемму 1, будем иметь
±
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|
R1β,N,± (|ξ|) = BN
1−n
−N −1−β
2
´
¡ ¢³ +1,∓
∓,β
β
· v˜ |ξ|2 aN
(|ξ|)
+
|ξ|
W
(|ξ|)
,
1
β
26
Гиль А. В, Ногин В. А.
( n−2 )
( n−2 )
+1,∓
где aN
(|ξ|) = γN +1,± θ(1) (∓i)β Γ(β) QN,±2 (|ξ|), а QN,±2 (z) имеет вид (7). Тогда
β
±
BN
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|−
n+1
−N −β
2
∈ M (H p , H q ),
если (1/p, 1/q) ∈ L (β + 1, n), по теореме 1 (а). Применяя теорему 2, имеем
´
¡ ¢³ +1,∓
v˜ |ξ|2 aN
(|ξ|) + |ξ|β W1∓,β (|ξ|) ∈ M (H p , H p ),
β
0 < p 6 1. Кроме того, эта функция является мультипликатором в S . Тогда R 1β,N,± (|ξ|) ∈
M (H p , H q ), если (1/p, 1/q) ∈ L (β + 1, n).
Резюмируя сказанное, получаем, что
p
q
m∞
β,θ (ξ) ∈ M (H , H ),
(1/p, 1/q) ∈ L (β, n),
откуда, с учетом (16), следует (14).
Докажем вложение
β,2
L (β, n) ⊂ H (Sθ,+
).
(21)
β,2
Обозначим через mβθ,+ (y) ядро оператора Sθ,+
. Очевидно, что
¡
¢
mβθ,+ (y) ≡ 1 − ω(|y|) sβθ,+ (y) ∈ C0∞ .
Тогда,
[
mβθ,+ (ξ) ∈ M (H p , H p ),
0 < p 6 1.
(22)
[
mβθ,+ (ξ) ∈ M (H 1 , Lq ),
1 < q < ∞.
(23)
Покажем далее, что
Применяя неравенство Г¨ельдера, имеем mβθ,+ (y) ∈ K (Lq , L∞ ), 1 < q ′ < ∞. То′
гда, в силу вложения L∞ ⊂ BM O и, с учетом равенства K (Lq , BM O) = K (H 1 , Lq ),
1/q ′ + 1/q = 1, получаем (23). Из (22) и (23), используя соображения выпуклости, получаем (21). Из (12) и (21) следует (10). ⊲
′
Замечание. Используя идею доказательства точности H p − H q оценок (0 < p 6 1)
для мультипликаторного оператора с символом (2), применявшуюся в [2], можно показать, что знак вложения в (10) можно заменить знаком равенства.
Из доказанной выше ограниченности оператора (1) в пространстве H 1 вытекает
Теорема 4. Оператор (1) ограничен в пространстве BM O.
4. L1 − H 1 и BM O − L∞ оценки для оператора (1)
Представляет интерес вопрос об ограниченности оператора (1) из X в Y в случае,
когда Y ⊂ X. Здесь, мы получим оценки для этого оператора из L1 в H 1 и из BM O
в L∞ .
Теорема 5. Пусть
Z1
ρn−1 (1 − ρ2 )β−1 θ(ρ) dρ = 0.
(24)
1−δ
Тогда оператор
β
Sθ,+
ограничен из L1 в H 1 и из BM O в L∞ .
27
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
⊳ Докажем, что
d
sβθ,+ (ξ) ∈ M (L1 , H 1 ) = M (BM O, L∞ ).
(25)
Тогда, с учетом (4) и замечания 2.3 из [2], получаем
° β °
°S ϕ° 1 6 ksβ kK (L1 ,H 1 ) kϕkL1 ,
θ,+
θ,+
H
β
т. е. оператор Sθ,+
ограничен из L1 в H 1 и, в силу (25), — из BM O в L∞ .
Преобразование Фурье ядра sβθ,+ :
d
sβθ,+ (ξ) =
Z1
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
θ(ρ) dρ
1−δ
Z
eiρ(ξ·σ) dσ,
S n−1
¡
¢d
d
d
d
d
β,∞
запишем в виде sβθ,+ (ξ) = 1 − v(|ξ|2 ) sβθ,+ (ξ) + v(|ξ|2 ) sβθ,+ (ξ) ≡ sβ,0
θ,+ (ξ) + sθ,+ (ξ), где
функция v(r) описана во введении.
Покажем, что
d
1
1
sβ,∞
(26)
θ,+ (ξ) ∈ M (L , H ).
d
d
d
d
β,∞
β,∞
β,∞
2
Имеем sβ,∞
θ,+ (ξ) = sθ,1 (ξ) + sθ,2 (ξ), sθ,1 (ξ) = v(|ξ| ) mβ,θ (ξ), где mβ,θ (ξ) — функция (15),
Z1
d
2
sβ,∞
θ,2 (ξ) = v(|ξ| )
ρ
n−1
2 β−1
(1 − ρ )
(1 − ω(ρ)) θ(ρ) dρ
1−δ
Z
eiρ(ξ·σ) dσ;
S n−1
функция ω(r) описана в § 3.
d
Повторяя выкладки, приведенные в § 3 для sβ,∞
θ,1 (ξ) и применяя теорему 1 (c), получаем
d
1
1
sβ,∞
(27)
θ,1 (ξ) ∈ M (L , H ).
£n¤
d
Применив далее к sβ,∞
θ,2 (ξ) формулу (17), а затем формулу (5) с N = 2 + 1, будем иметь
N
X¡
¢
d
+
−
+
h−
sβ,∞
(ξ)
=
β,k (|ξ|) + hβ,k (|ξ|) + Rβ,N (|ξ|) + Rβ,N (|ξ|),
θ,2
k=0
где
h±
β,k (|ξ|) =
gk (ρ) = γk,± ρ
n−1
−k
2
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
1−δ/2
Z
gk (ρ) e±iρ|ξ| dρ,
(28)
0 6 k 6 N,
1−δ
(1 − ρ2 )β−1 (1 − ω(ρ)) θ(ρ),
γN +1,± v(|ξ|2 )
±
·
Rβ,N
(|ξ|) =
n−1
γ0,±
|ξ| 2
γ0,± = (2π)
n−1
2
iπ
e∓ 4 (n−1) ,
1−δ/2
Z
( n−2 )
g0 (ρ) e±iρ|ξ| RN,±2 (ρ|ξ|) dρ.
(29)
1−δ
Рассмотрим мультипликаторы (28). После замены 1 − ρ = τ получаем
h±
β,k (|ξ|)
=
e±i|ξ| v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+k
2
Zδ
δ/2
gk (1 − τ ) e∓i|ξ|τ dτ.
(30)
28
Гиль А. В, Ногин В. А.
Проинтегрировав по частям интеграл в (30) l + 1 раз, будем иметь
µ
(±i)2 gk′ (1 − δ)
e±i(1−δ)|ξ| v(|ξ|2 ) ¡ 2 ¢
±
hβ,k (|ξ|) =
+
·
v
˜
|ξ|
(±i)g
(1
−
δ)
+
k
n−1
|ξ|
|ξ| 2 +1+k
¶
Zδ
(l)
(±i)l+1 gk (1 − δ) (±i)l+1
(l+1)
∓i|ξ|(τ −δ)
gk
(1 − τ ) e
dτ .
+
... +
|ξ|l
|ξ|l
(31)
δ/2
Положим l =
£n¤
2
+ 1. Заметим, что
v(|ξ|2 ) e±i(1−δ)|ξ| · |ξ|
1−n
−1−k
2
∈ M (L1 , H 1 )
по теореме 1 (c). Кроме того, второй множитель в (31) принадлежит M (H 1 , H 1 ) по тео1
1
реме 2. Тогда h±
β,k (|ξ|) ∈ M (L , H ).
Рассмотрим (29). После замены 1 − ρ = τ и с учетом равенства (6), имеем
±
(|ξ|) =
Rβ,N
Zδ
± ±i|ξ|
BN
e
v(|ξ|2 )
|ξ|
n−1
+N +1
2
δ/2
¢
( n−2 ) ¡
gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ.
Заметим, что
±
BN
v(|ξ|2 ) e±i|ξ| · |ξ|
1−n
2
−1
∈ M (L1 , H 1 )
по теореме 1 (c) и
v˜(|ξ|2 )
|ξ|N
Zδ
δ/2
¢
( n−2 ) ¡
gN +1 (1 − τ ) e∓i|ξ|τ QN,±2 (1 − τ )|ξ| dτ ∈ M (H 1 , H 1 )
±
также по теореме 2. Тогда Rβ,N
(|ξ|) ∈ M (H 1 , H 1 ).
Резюмируя сказанное, получаем
Из (27) и (32), следует (26).
Покажем теперь, что
d
1
1
sβ,∞
θ,2 (ξ) ∈ M (H , H ).
´
³
β,0
−1 d
sβ,0
(x)
≡
F
s
(ξ)
(x) ∈ K (BM O, L∞ ),
θ,+
θ,+
(32)
(33)
тогда из (33) и (25) будет следовать, что
Заметим, что sβ,0
θ,+ (x) ∈ S
d
∞
sβ,0
θ,+ (ξ) ∈ M (BM O, L ).
¯ n−1 ¯
d
¯
¯
sβ,0
θ,+ (0) = S
Z1
1−δ
1
в силу (24). Тогда sβ,0
θ,+ (x) ∈ H .
ρn−1 (1 − ρ2 )β−1 θ(ρ) dρ = 0
(34)
Оценки для некоторых операторов типа потенциала
29
Далее, с учетом (3) и инвариантности нормы в пространстве BM O(Rn ) относительно
сдвига, имеем
°
°
° β,0
°
β,0
β,0
(35)
°(sθ,+ ∗ ϕ)(x)° ∞ 6 ksθ,+ kH 1 kϕ(x − ·)kBM O = ksθ,+ kH 1 kϕkBM O .
L
Из (35) следует (33) и, следовательно, (34). ⊲
Замечание 2. Легко видеть, что условие (24) является необходимым для ограниβ
ченности оператора Sθ,+
из L1 в H 1 и из BM O в L∞ .
Литература
1. Miyachi A. Notes on Fourier multipliers for H p , BMO and the Lipschitz spaces // J. Fac. Sci. Univ.
Tokyo. Sec. IA Math.—1983.—Vol. 30, № 2.—P. 221–242.
2. Miyachi A. On some singular Fourier multipliers // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo., Sec. IA.—1981.—Vol. 28.—
P. 267–315.
3. Nogin V. A., Karasev D. N. On the L -characteristic of some potential-type operators with radial
kernels, having singularities on a sphere // Fractional Calculus & Applied Analysis.—2001.—Vol. 4,
№ 3.—P. 343–366.
4. Karasev D. N., Nogin V. A. On the boundness of some potential-type operators with oscillating
kernels // Math. Nachr.—2005.—Vol. 278, № 5.—P. 554–574.
5. Fefferman C. L., Stein E. M. H p -spaces of several variables // Acta Math.—1972.—Vol. 129.—P. 137–193.
6. Stein E. M. Harmonic analysis: Real-variable method, orthogonality, and oscillatory integrals.—Princeton: NJ. Princeton Univ. Press, 1993.—695 p.
7. Fefferman C. L. Characterizations of bounded mean oscillation // Bull. Amer. Math. Soc.—1971.—
Vol. 77.—P. 587–588.
8. Calderon A. P., Torchinsky A. Parabolic maximal functions associated with a distribution, II // Adv.
in Math.—1977.—Vol. 24, № 2.—P. 101–171.
9. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций.—М.: ИЛ, 1949.—798 с.
10. Федорюк М. В. Метод перевала.—М.: Hаука, 1977.—368 с.
Статья поступила 20 ноября 2009 г.
Гиль Алексей Викторович
Южный федеральный университет,
ассистент кафедры дифференц. и интегр. уравнений
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а
E-mail: [email protected]
Ногин Владимир Александрович
Южный федеральный университет,
доцент кафедры дифференц. и интегр. уравнений
РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а;
Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А,
старший научный сотрудник лаб. вещественного анализа
E-mail: [email protected]
ESTIMATES FOR SOME POTENTIAL-TYPE OPERATORS
WITH OSCILLATING SYMBOLS
Gil A. V., Nogin V. A.
In the framework of Hardy spaces H p , we study multidimensional potential-type operators whose kernels
have singularities on the unit sphere. Necessary and sufficient conditions are obtained for such operators
to be bounded from H p to H q , from BM O to L∞ , from L1 to H 1 or from BM O to BM O.
Key words: convolution, oscillating symbol, BMO, H p −H q -estimates, multiplier, distribution, potentialtype operator.