← Bahan Ajar Matematika – Power Point 42. vektor OK

VEKTO
R

Setelah menyaksikan tayangan ini
anda dapat
Menentukan penyelesaian
operasi aljabar vektor

Vektor
adalah
besaran
yang mempunyai
besar dan arah

 Besar vektor
artinya panjang vektor
 Arah vektor
artinya sudut yang dibentuk
dengan sumbu X positif
 Vektor disajikan dalam bentuk
ruas garis berarah

Gambar Vektor
B

u
A

45

X

ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung

Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:


 1 

 3


u   atau PQ   2 
 4
 0 
Bentuk vektor baris:  

AB  3, 4  atau v   2, 3, 0

 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI R2
Vektor di R2
adalah
vektor yang terletak di satu bidang
atau
Vektor yang hanya mempunyai

dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R

OP  PA  OA

Y
A(x,y)

yQ
j
O

2

a
i

x
P

i vektor satuan
searah
sumbu X
j vektor satuan
searah
sumbu Y

X

OP  OQ OA

OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj

Vektor di R3
Vektor di R3

adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
Z
S
z
k

O
xP
Xi

T(x,y,z)

y
Q
j

Y

OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT

Z
S
z
k
O
x

i
X P

T(x,y,z)

t

Jadi
y
YOT = xi + yj + zk
jQ
R(x,y)
atau t = xi + yj + zk

Vektor Posisi
Vektor posisi
adalah
Vektor yang
titik pangkalnya O(0,0)

Y

Contoh:

B(2,4)

Vektor posisi

b
a
O

A(4,1) titik A(4,1) adalah
X

 4
OA  a  
1

Vektor posisi titik B(2,4) adalah
OB  b 2i  4 j

Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’

a1 

Di R2, panjang vektor: a  
a2 
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2

a  a1  a 2

2

 x
 
Di R3 , panjang vektor: v  y 

 z
 

atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2

2

v  x y z

2

Contoh:
 3
1. Panjang vektor: a  4 
 

2

2
a

3

4
adalah
= 25 = 5

2. Panjang vektor: v 2i  j - 2k
2

2

adalah v  2  1  ( 2)
= 9 = 3

2

Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu

X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah
vektor
i
,
j
dan
k
1
0
0
 
 
 
 
 
 
i  0 , j  1  dan k  0 
 0
 0
 1
 
 
 

Vektor Satuan
dari vektor a = a1i + a2j+
a3k

a
ea  a 

adalaha1i  a 2 j  a3 k

e
a

2

2

a1  a 2  a3

2

Contoh: Vektor Satuan dari
vektor a = i - 2j+
2k
adalah….
a
Jawab:

e

e

a

a





a
i  2 j  2k
12  ( 2) 2  2 2

e

a

e

e

a

a





i  2 j  2k
12  ( 2) 2  2 2

i  2 j  2k

 13 i 

3
2
3

j  23 k

ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real

Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3

Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a=b
1=x-y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor
 a1 
 b1 
 
 
Misalkan: a  a 2  dan b  b 2 
b 
a 
 3
 3

Jika: a + b = c , maka vektor
 a1  b1 


c  a 2  b2 
a b 
 3 3

Contoh

 p
 3 
 
 
Diketahui: a  - 2p  b  6 
 3
 -1 
  - 5   
 
dan c  4q 
2
 

Jika a + b = c , maka p – q =....

jawab:

a+b=c
 3   p    5
     
 - 2p    6   4q 
 -1   3  2 
     
 3  p    5

  
   2 p  6   4 q 
 ( 1)  3   2 

  

 3  p    5

  
  2 p  6   4 q 
 ( 1)  3   2 

  

3 + p = -5  p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

Pengurangan
Misalkan: Vektor
a = a1i + a2j + a3k
dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k

Perhatikan gambar:

Y

B(2,4)

b
a
O

vektor AB =

 - 2
 
3

A(4,1) vektor posisi:

titik
A(4,1)
adalah:
X

 2
titik B(2,4) adalah: b  
 4

 4
a  
1

vektor AB =
 4
a  
1

 - 2
 
3

 2
b  
 4

 2
b  a   
4

4
  
 1

 - 2
 
3

 AB

Jadi secara umum: AB b  a

Contoh 1
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponenkomponen vektor AB
Jawab: AB b  a
 1  3   2
  2
     


 2  -  5    3  Jadi AB   3 
 4  2  2 
 2 
     



Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)

1
 
Jawab: P(1,2,-2)  p   2 
  2
 
  1
 
Q(-1,3,0)  q   3 
0
 
 - 1  1    2 
     
PQ = q – p =  3  -  2  1 
 0   - 2  2 
     

2 
 
PQ    1 
  2
 
2

2

PQ  2  ( 1)  ( 2)
Jadi PQ  9 3

2

Perkalian Vektor dengan Bilangan
Real

 a1 
 
Misalkan: a  a 2  dan
 a  m = bilangan real
 3
Jika: c = m.a, maka  a1   m.a1 
  

c m a 2   m.a 2 
 a   m.a 
3
 3 

Contoh

2
2
 
 
Diketahui: a  - 1 dan b  - 1
6
4
 
 

Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:  x1   2   x1   2 








misal x  x     1  2 x  3  1
2

x 
 3

 6
 

2

x 
 3

 4
 

2
 
  1 
6
 

 x1   2 
   
2 x 2  3  1 
x   4 
 3  

2
 
  1 
6
 

 2 x1   6 
   
 2 x 2    3 
 2 x   12 
 3  

2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
  2
Jadi
 
vektor x  1 
  3
 